实对称阵的相似矩阵
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5.4 对称矩阵的相似矩阵
由 于 对 称 矩 阵 A的 特 征 值 线性方程组 (A −
λ
i
为实数,所以齐次
λ
i
E )x = 0
是 实 系 数 方 程 组 ,由 A −
λ
i
E = 0知 必 有 实 的 基 础 解
系,从 而 对 应 的 特 征 向 量 可 以 取 实 向 量 .
定理 2 设λ1 , λ 2 是对称矩阵 A的两个特征值 , p1 , p2是对应的特征向量 , 若λ1 ≠ λ 2 , 则p1与p2正交 .
当abc ≠ 0 时，ax + by + cz = 0 的两个正交解为 ( −b, a , 0)T ,(ac, bc, − a 2 − b2 )T 当abcd ≠ 0 时, ax + by + cz + dw = 0 的三个两两正交解为 ( − b, a , 0,0)T ,(0, 0 − d , c )T , (a(c 2 + d 2 ), b(c 2 + d 2 ), − c(a 2 + b2 ), −d (a 2 + b2 ))T
则
说明： 说明： （1）在不计对角矩阵中对角元的排列次序条件下，对 ）在不计对角矩阵中对角元的排列次序条件下， 称矩阵的正交相似标准形唯一的，但是所用的正交矩阵 称矩阵的正交相似标准形唯一的， 却不是唯一的。 却不是唯一的。 （2）对于一般的齐次线性方程，有如下公式： ）对于一般的齐次线性方程，有如下公式：
第四节 对称矩阵的相似标准形
一、对称矩阵的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明， 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明， 均指实对称矩阵 实对称矩阵． 均指实对称矩阵． 定理1 对称矩阵的特征值为实数， 定理1 对称矩阵的特征值为实数，其特征向量一定是 实向量。 实向量。 证明略 定理1 定理1的意义
λ
i
为实数,所以齐次
λ
i
E )x = 0
是 实 系 数 方 程 组 ,由 A −
λ
i
E = 0知 必 有 实 的 基 础 解
系,从 而 对 应 的 特 征 向 量 可 以 取 实 向 量 .
定理 2 设λ1 , λ 2 是对称矩阵 A的两个特征值 , p1 , p2是对应的特征向量 , 若λ1 ≠ λ 2 , 则p1与p2正交 .
当abc ≠ 0 时，ax + by + cz = 0 的两个正交解为 ( −b, a , 0)T ,(ac, bc, − a 2 − b2 )T 当abcd ≠ 0 时, ax + by + cz + dw = 0 的三个两两正交解为 ( − b, a , 0,0)T ,(0, 0 − d , c )T , (a(c 2 + d 2 ), b(c 2 + d 2 ), − c(a 2 + b2 ), −d (a 2 + b2 ))T
则
说明： 说明： （1）在不计对角矩阵中对角元的排列次序条件下，对 ）在不计对角矩阵中对角元的排列次序条件下， 称矩阵的正交相似标准形唯一的，但是所用的正交矩阵 称矩阵的正交相似标准形唯一的， 却不是唯一的。 却不是唯一的。 （2）对于一般的齐次线性方程，有如下公式： ）对于一般的齐次线性方程，有如下公式：
第四节 对称矩阵的相似标准形
一、对称矩阵的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明， 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明， 均指实对称矩阵 实对称矩阵． 均指实对称矩阵． 定理1 对称矩阵的特征值为实数， 定理1 对称矩阵的特征值为实数，其特征向量一定是 实向量。 实向量。 证明略 定理1 定理1的意义
14实对称矩阵的相似对角化
且与对角阵相似。
1
2
3
A
PP 1
1 3
7 0 2
1 2 2
P (1,2 ,3) 2 2 1
2 1 2
0 5 2
2 2 6
P 1
1 9
1 2 2
2 2 1
2 1 2
例2：设1，1，1是三阶实对称方阵 A的3个特征值，
1 （1，1，1）T ,2 （2，2，1）T 是A的属于特征值1的
m
征向量i1,i2 , ,iri；(i 1,2, , m),由性质知 ri n. i 1
(iii) 用施密特正交化方法将每一个重特征值i所对应的 ri个线性无关的特征向量i1,i2 , ,iri；(i 1,2, , m) 先正交化再单位化为i1,i2 , ,iri；(i 1,2, , m)， 它们仍为属于i的特征向量。
1 0 1
1 0 1
2
2
Q 0 1 0
1 2
0
1 2
A, P或Q及三者的互求
已知A，可以求出 A的特征值及特征向量，从而可以
判断A能否与对角阵相似，并在相似时求出对角阵及相
似变换矩阵P.
P1AP
1
, 1,
, n为A的特征值；
n
P (P1, , Pn ), P1, , Pn为A的特征向量。
2 (
2, 5
1 5
,0)T
，3
(2 35
,
4 35
,
5 35
)T
Q 1 2
1
3
3
2 3
2 3
2 5
1 5
0
2
3 5
4
35 5
35
Q
1
2
3
A
PP 1
1 3
7 0 2
1 2 2
P (1,2 ,3) 2 2 1
2 1 2
0 5 2
2 2 6
P 1
1 9
1 2 2
2 2 1
2 1 2
例2：设1，1，1是三阶实对称方阵 A的3个特征值，
1 （1，1，1）T ,2 （2，2，1）T 是A的属于特征值1的
m
征向量i1,i2 , ,iri；(i 1,2, , m),由性质知 ri n. i 1
(iii) 用施密特正交化方法将每一个重特征值i所对应的 ri个线性无关的特征向量i1,i2 , ,iri；(i 1,2, , m) 先正交化再单位化为i1,i2 , ,iri；(i 1,2, , m)， 它们仍为属于i的特征向量。
1 0 1
1 0 1
2
2
Q 0 1 0
1 2
0
1 2
A, P或Q及三者的互求
已知A，可以求出 A的特征值及特征向量，从而可以
判断A能否与对角阵相似，并在相似时求出对角阵及相
似变换矩阵P.
P1AP
1
, 1,
, n为A的特征值；
n
P (P1, , Pn ), P1, , Pn为A的特征向量。
2 (
2, 5
1 5
,0)T
，3
(2 35
,
4 35
,
5 35
)T
Q 1 2
1
3
3
2 3
2 3
2 5
1 5
0
2
3 5
4
35 5
35
Q
第四节 实对称矩阵的相似矩阵
1 2 1 3. 设 2为非奇异矩阵A的一个特征值， 则矩阵( A ) 有一个 3 特征值等于( ).( 93年) 4 3 1 1 答案：B ( A ) ， ( B ) ， (C) ， ( D) . 3 4 2 4 4. 向量组 1 (1， 1，， )， 2 (0，，， )， 3 ( 3，，，4)， 2 4 31 2 0 7 1 4 (1， 2，， )， 5 ( 2，，， )的极大线性无关组为( ).(94年) 2 0 1 5 10 ( A ) 1， 2， 3，B ) 1， 2， 4，C) 1， 2， 5，D) 1， 2， 4， 5 . 答案： . ( ( ( B
第五章 相似矩阵
第四节 实对称矩阵的相似矩阵
1. 实对称矩阵的性质：
(1) 实对称矩阵的特征值必为实数. 证: 设为对称矩阵 的特征值 对应的特征向量为, A , x 则 Ax x , x 0. Ax x, A x x， A x x,
( A x )T ( x )T , x T A x T , x T Ax x T x , x T x x T x , ( ) x T x 0.
( 3) 设A为 n阶对称矩阵, 是A的 k重特征值, 则R(E A) n k , 从而对应 恰有k个线性无关的特征向量.
2. 实对称矩阵相似对角化 ：
(1) 实对称矩阵必与对角矩 阵相似， 即可对角化. 如果把对应特征值i ( i 1，， ，)的k i 个线性无关的特征向量 2 r pi 1， i 2， ， iki p p ei 1，i 2， ，iki ， e e 正交规范化得 则ei 1，i 2， ，iki 为i的两两正交的单位特征 e e 向量. 令P (e11，12， ，rk r )， 则P为正交矩阵，且P 1 AP ， e e 其中为对角矩阵， 且该矩阵主对角线上元 素为A的特征值. ( 2) 设A为实对称矩阵， 则存在正交矩阵P， P 1 AP为对角矩阵. 使
6-3实对称矩阵的相似对角化
1 = (2 λ )(4 λ ) , 3λ
2
0
得特征值 λ1 = 2, λ2 = λ3 = 4.
0 对 λ1 = 2,由( A 2 E ) x = 0, 得基础解系 ξ1 = 1 1 对 λ 2 = λ 3 = 4,由( A 4 E ) x = 0, 得基础解系
1 0 ξ 2 = 0 , ξ 3 = 1 . ξ 2与ξ 3 恰好正交 , 0 1
α Tα1 α Tα1 α Tα1 1 2 n T α 2 α Tα 2 α Tα 2 2 n α1 =E T α α α Tα α Tα 1 n 2 n n n
1, 当 i = j; α α i = δ ij = 0, 当i ≠ j
T j
( i , j = 1, 2, , n )
§6.3
实对称矩阵的相似 对角化
一,实对称矩阵特征值与特征向量的性质
定理1 定理1 的特征值为实数. 实对称矩阵 ( AT = A) 的特征值为实数.
证明 设复数 λ为对称矩阵 A的特征值 , 复向量 x为
对应的特征向量 , Ax = λx , x ≠ 0. 即
用 λ 表示λ的共轭复数, x表示x的共轭复向量, 表示 则 A x = A x = ( Ax ) = (λx ) = λ x .
定理 2 设λ1 , λ 2 是对称矩阵 A的两个特征值 , p1 , p2是对应的特征向量 , 若λ1 ≠ λ 2 , 则p1与p2正交 .
证明 λ1 p1 = Ap1 , λ2 p2 = Ap2 , λ1 ≠ λ2 ,
∵ A对称, A = AT ,
∴ λ1 p1 = (λ1 p1 ) = ( Ap1 ) = p1 T AT = p1 T A,
范正交化.
定理5 定理5 设 α1 , α 2 , L , α s 是一组线性无关的向 量,则可以找到一组正交的向量 β 1 , β 2 , L , β s 等价. 使得向量组 α1 , α 2 , L , α s 与 β 1 , β 2 , L , β s 等价. 证明 首先, 首先,令 β 1 = α1 再令 β2 = α2 + kβ1 及 β 1 , β 2 = 0 即 β 1 , α 2 + k β 1 , β 1 = 0 从而求出
第二节实对称矩阵的相似对角化（精品）
−3 1
1 −3
⎥ ⎥ ⎦
⎢ ⎢ ⎣
x x
3 4
⎥ ⎥ ⎦
⎢0⎥
⎢⎣0
⎥ ⎦
解得基础解系
ζ1 = [1 −1 −1 1]′
当λ2 = λ3 = λ4 = 1时，有
⎡ 1 1 1 −1⎤⎡ x1 ⎤ ⎡0⎤
⎢ ⎢
1
1 −1
1⎥⎥
⎢⎢x
2
⎥ ⎥
=
⎢⎢0⎥⎥
⎢ 1 −1 ⎢⎣−1 1
1 1
1⎥ ⎥
⎢ ⎢
x
⎡ 2⎤
p2 =
ζ2 ζ2
⎢⎥
=
⎢ ⎢
⎢
2⎥
0
⎥ ⎥
⎢⎣ 0 ⎥⎦
⎡ 1⎤
p3 =
ζ3 ζ3
=
1 6
⎢⎢− 1⎥⎥ ⎢ 2⎥
,
⎢⎥
⎣ 0⎦
⎡− 1⎤
p4 =
ζ4 ζ4
=
1
⎢ ⎢
1
⎥ ⎥
2 3⎢1⎥
⎢⎥
⎣3⎦
令
P = [p1 p2 p3 p4 ]
则P是正交阵，且满足
⎡− 3
⎤
⎢ P−1AP = Λ = ⎢
ζ3
=
ξ2
−
[ξ2 , ζ2 [ζ 2 , ζ2
] ]ζ2
=
⎢⎢0⎥⎥ ⎢1⎥ ⎢⎥
−
1 2
⎢⎢1⎥⎥ ⎢0⎥ ⎢⎥
=
1 2
⎢⎢− 1⎥⎥ ⎢ 2⎥ ⎢⎥
⎣0⎦ ⎣0⎦ ⎣ 0⎦
ζ4
=
ξ3
−
[ξ3 [ζ 3
, ,
ζ ζ
3 3
] ]
ζ
3
ch5-4 实对称矩阵的相似矩阵
2 1 1 2 ( 1)( 3)
解: 由 A E
1 1 1 对1 1,由A E ~ 0 0 , 得 1 1 ; 1 1 1 对2 3,由A 3 E ~ 0 0 , 得 2 1
1
素的对角矩阵.
福 州 大 学
2013-7-21
4
三、利用正交矩阵将实对称矩阵 对角化的方法
根据上述结论，利用正交矩阵将实对称矩阵 化为对角矩阵，其具体步骤为： 1. 求A的特征值 1 , 2 ,, n ; 2. 由 A i E x 0, 求出A的特征向量 ; 3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化得 P1 , P2 ,, Pn . 5。写出正交阵 P P 1
征向量，求A的属于特征值 1的特征向量。
T 解 设A的属于特征值 1的特征向量为 3 x1，x2，x3） , （
3与1 , 2正交， [3 ,1] [3 ,2 ] 0
x1 x2 x3 0 2 x1 2 x2 x3 0
1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 2 2 1 令 x2 = 1 x1 x2 T 3 11 0 （ ，） ， x3 0
福Hale Waihona Puke 州 大 学2013-7-21
3
性质3：实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性无 关的特征向量恰有k个。 由此推出：实对称矩阵A一定能对角化。
二、实对称矩阵的相似对角化：
定理1：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。
实
定理2： A为n阶对称矩阵, 则必有正交矩阵P , 使 设
P AP , 其中 是以 A的 n 个特征值为对角元
解: 由 A E
1 1 1 对1 1,由A E ~ 0 0 , 得 1 1 ; 1 1 1 对2 3,由A 3 E ~ 0 0 , 得 2 1
1
素的对角矩阵.
福 州 大 学
2013-7-21
4
三、利用正交矩阵将实对称矩阵 对角化的方法
根据上述结论，利用正交矩阵将实对称矩阵 化为对角矩阵，其具体步骤为： 1. 求A的特征值 1 , 2 ,, n ; 2. 由 A i E x 0, 求出A的特征向量 ; 3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化得 P1 , P2 ,, Pn . 5。写出正交阵 P P 1
征向量，求A的属于特征值 1的特征向量。
T 解 设A的属于特征值 1的特征向量为 3 x1，x2，x3） , （
3与1 , 2正交， [3 ,1] [3 ,2 ] 0
x1 x2 x3 0 2 x1 2 x2 x3 0
1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 2 2 1 令 x2 = 1 x1 x2 T 3 11 0 （ ，） ， x3 0
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3
性质3：实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性无 关的特征向量恰有k个。 由此推出：实对称矩阵A一定能对角化。
二、实对称矩阵的相似对角化：
定理1：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。
实
定理2： A为n阶对称矩阵, 则必有正交矩阵P , 使 设
P AP , 其中 是以 A的 n 个特征值为对角元
实对称矩阵的相似矩阵
4 0 0 | A–E |= 0 3 1 = (2–)(4–)2=0
0 1 3
得A的特征值1=2, 2=3=4.
第二步, 由(A–iE)x=0, 求A的特征向量.
对1=2,由(A–2E)x=0, 得
2x1
x2
x3
0 0
,
得基础解系
x2 x3 0
0
1
1 1
对2=3=4,由(A–4E)x=0, 得
1. 求A的特征值1, 2 , ···, s ; 2. 由(A–iE)x=0求出i 的ri 个特征向量; 3. 将i 的ri 个特征向量正交化;
4. 将所有特征向量单位化.
例1:对实对称矩阵A, 求正交矩阵P, 使P-1AP =为
对角阵.
A022
2 1
2
020.
解: 第一步, 求A的特征值.
2 2 0 | A–E |= 2 1 2 =(4–)(–1)( +2)=0
§5.4 实对称矩阵的相似矩阵
一、实对称矩阵的性质
说明: 本节所提到的对称矩阵, 除非特别说明, 均 指实对称矩阵.
定理5: 实对称矩阵的特征值为实数. 证明: 设向量x(x0)为实对称矩阵A的对应复特征
值的特征向量, 即 Ax =x,
用 表示的共轭复数, 用 x表示x的共轭复向量.
AxAx A xxx.
0 2
得A的特征值1=4, 2=1, 3=–2.
第二步, 由(A–iE)x=0, 求A的特征向量.
对1=4,由(A–4E)x=0, 得
22xx11
2x2 3x2
2x3
0 0,
2x2 4x3 0
得基础解系 1
2 2 1
.
对2=1,由(A–E)x=0, 得
第五篇第四节实对称矩阵的相似矩阵
2 ( p1' p2 ).
(1 2 )( p1' p2 ) 0.
1 2 , 即 1 2 0.
p1' p2 0. 即 p1与 p2 正交. 证毕.
3
返回
定理八. 设是实对称阵A的k重特征值,
那么对应与的所有特征向量中, 其最大线
性无关组所包含的向量个数恰为k.
推论. 实对称矩阵必与对角矩阵相似.
2
返回
性质2.设1 , 2是 实 对 称 阵A的 两 个 特 征 值, p1, p2 是相应的特征向量, 若1 2 ,
则 p1与 p2 正交.
证明: Ap1 1 p1, Ap2 2 p2 .
1( p1' p2 ) (1 p1') p2 ( Ap1 )' p2
( p1' A') p2 p1'( Ap2 ) p1 '(2 p2 )
求出A的特征向量.
对于 1 2, 解方程组 (2E A)X 0.
2
2E
A
0
0
0 1 1
0
1 1
r1
(
1 2
)
r3 r2
1
0 0
0 1 0
0
1. 0
取同解方程组:
x1 x2
0 x3
0.
7
返回
x1 x2
0 k1
x3 k1
x1 0
x2
k1
1
.
x3 1
8
返回
0
基础解系:
1
1
.
1
对于 2 3 4, 解方程组 (4E A)X 0.
0
4E A 0 0
0 1 1