江苏省高一下学期数学第一次月考试卷
江苏省泰州市姜堰区罗塘高级中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题
江苏省泰州市姜堰区罗塘高级中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题一、单选题1．cos50cos20cos40sin20︒︒+︒︒的值为（ ）A ．12-B ．12C D ．2．已知向量()()1,1,1,1a b ==-r r，若()()a b a b λμ+⊥+r r r r ，则（ ）A ．1λμ+=B ．1λμ+=-C ．1λμ=D ．1λμ=-3．已知角θ的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则sin 2θ=（ ）A ．45-B ．35-C ．35D ．454．如图，在ABC V 中，点D 为BC 边的中点，O 为线段AD 的中点，连接CO 并延长交AB 于点E ，设AB a u u u r r=，AC b =u u u r r ，则CE =u u u r （ ）A ．1344a b -r rB ．14a b -r rC ．13a b -r rD ．1334a b -r r5．已知3cos 64πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2sin 2cos 6212παπα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A ．14B ．12CD ．16．八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =u u u r给出下列结论（ ）①OA u u u r 与OH u u u r 的夹角为π3；②OD OF OE +=u u u r u u u r u u u r ；③OA OC -u u u r u u u r u uu r ；④OA u u u r 在OD u u u r 上的投影（其中e r 为与OD u u u r 同向的单位向量）．其中正确结论为（ ） A ．① B ．② C ．③D ．④7．如图，A ，B 是半径为1的圆O 上的两点，且π.3AOB ∠=若C 是圆O 上的任意一点，则·OA BC u u u r u u u r 的最大值为（ ）A ．32-B ．14C ．12D ．18．在ABC V 中，“ABC V 是钝角三角形”是“tan tan 1A B <”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件二、多选题9．已知在同一平面内的向量,,a b c r r r均为非零向量，则下列说法中正确的有（ ）A ．若,a b b c r r r r∥∥，则a c r r ∥B ．若a c a b ⋅=⋅r r r r ，则b c =r rC ．()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r rD ．若a b r r P 且a c ⊥r r，则()0c a b ⋅+=r r r10．下列计算结果正确的是（ ）A ．44ππcos sin 88-=B ．1tan151tan15+︒-︒C ．2sin15sin 751︒︒=D ．)sin140tan1901︒︒=11．定义两个平面向量的一种运算sin a b a b θ⊗=⋅⋅r r r r ，θ为,a b rr 的夹角，则对于两个平面向量,a b rr ，下列结论正确的有（ ）A ．a b b a⊗=⊗r r r r B ．()()=a b a b λλ⊗⊗r r r rC ．()()2222·a ba ba b ⊗+=⋅r r r r r rD ．若()()1122,,,a x y b x y ==r r ，则1221a b x y x y ⊗=-rr三、填空题12．已知向量()4,3a =-r ，()2,1b x =-r，若a b a ⋅=-r r r ，则x =．13．已知()0,παβ∈、，tan α与tan β是方程240x ++=的两个根，则αβ+=． 14．已知()()1122,,,A x y B x y 是角αβ､终边与单位圆的两个不同交点，且1221x y x y =，则121222x x y y -+-的最大值为.四、解答题15．已知向量a r ，b r不共线，且2OA a b =-u u u r r r ，3OB a b =+u u u r r r ，OC a b λ=+u u u r r r ．(1)将AB u u u r用a r ，b r 表示；(2)若OA OC u u u r u u u r∥，求λ的值；(3)若3λ=-，求证：A ，B ，C 三点共线． 16．已知02a π<<，02βπ<<，4sin 5α=，5cos()13αβ+=.（1）求cos β的值； （2）求2sin sin 2cos 21ααα+-的值.17．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上中点，点F 在边上CD 上.（1）若点F 是CD 上靠近C 的三等分点，设EF AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，求λμ+的值.（2）若2AB =，当1AE BF ⋅=u u u r u u u r时，求cos EAF ∠的值.18．现某公园内有一个半径为20米扇形空地OAB ，且π3AOB ∠=，公园管理部门为了优化公园功能，决定在此空地上建一个矩形MNPQ 的老年活动场所，如下图所示有两种情况可供选择.(1)若选择图一，设NOA ∠α=，请用α表示矩形MNPQ 的面积，并求面积最大值 (2)如果选择图二，求矩形MNPQ 的面积最大值，并说明选择哪种方案更优（面积最大）（参1.414≈ 1.732）19．已知O 为坐标原点，对于函数()sin cos f x a x b x =+，称向量(,)OM a b =u u u u r为函数()f x 的相伴特征向量，同时称函数()f x 为向量OM u u u u r的相伴函数.（1）设函数53()sin sin 62g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，试求()g x 的相伴特征向量OM u u u u r ；（2）记向量ON =u u u r 的相伴函数为()f x ，求当8()5f x =且,36x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，sin x 的值；（3）已知(2,3)A -，(2,6)B ，(OT =u u u r 为()sin 6h x m x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的相伴特征向量，()23x x h πϕ⎛⎫=-⎪⎝⎭，请问在()y x ϕ=的图象上是否存在一点P ，使得AP BP ⊥u u u r u u u r .若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由.。
高一数学下学期第一次月考试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
2015-2016学年某某鄂尔多斯市准格尔旗世纪中学高一（下）第一次月考数学试卷一．选择题（每题5分，共60分）1．tan 300°+sin 450°的值为（）A．1+B．1﹣C．﹣1﹣ D．﹣1+2．以下命题正确的是（）A．小于90°的角是锐角B．A={α|α=k•180°，k∈Z}，B={β|β=k•90°，k∈Z}，则A⊆BC．﹣950°12′是第三象限角D．α，β终边相同，则α=β3．在空间直角坐标系中的点P（a，b，c），有下列叙述：①点P（a，b，c）关于横轴（x轴）的对称点是P1（a，﹣b，c）；②点P（a，b，c）关于yOz坐标平面的对称点为P2（a，﹣b，﹣c）；③点P（a，b，c）关于纵轴（y轴）的对称点是P3（a，﹣b，c）；④点P（a，b，c）关于坐标原点的对称点为P4（﹣a，﹣b，﹣c）．其中正确叙述的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．04．已知α是第二象限的角，其终边上一点为P（a，），且cosα=a，则sinα的值等于（）A．B．C．D．5．函数y=2sin（﹣2x）（x∈[0，π]）为增函数的区间是（）A．[0，] B．[] C．[，] D．[，π]6．已知，且，则tanφ=（）A．B．C．﹣D．7．已知点A（1，2，﹣1），点C与点A关于平面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则线段BC的长为（）A．2 B．4 C．2 D．28．直线y=a（a为常数）与y=tanωx（ω＞0）的相邻两支的交点距离为（）A．πB．C． D．与a有关的值9．函数的图象（）A．关于原点成中心对称B．关于y轴成轴对称C．关于成中心对称D．关于直线成轴对称10．已知θ∈[0，2π），|cosθ|＜|sinθ|，且sinθ＜tanθ，则θ的取值X围是（）A．B．C．D．11．化简cosα+sinα（π＜α＜）得（）A．sinα+cosα﹣2 B．2﹣sinα﹣cosαC．sinα﹣cosα D．cosα﹣sinα12．圆心角为60°的扇形，它的弧长为2π，则它的内切圆的半径为（）A．2 B．C．1 D．二、填空题（每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．函数的定义域为．14．函数y=2cos（ωx）的最小正周期是4π，则ω=．15．已知tanα=2，则tan2α的值为．16．已知sin（﹣x）=，则cos（﹣x）=．三．解答题（共70分）17．已知sinα+cosα=，α∈（0，π），求的值．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）当，求f（x）的值域．19．sin θ和cos θ为方程2x2﹣mx+1=0的两根，求+．20．已知函数y=2acos（2x﹣）+b的定义域是[0，]，值域是[﹣5，1]，求a、b的值．21．函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值．22．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；（2）函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？2015-2016学年某某鄂尔多斯市准格尔旗世纪中学高一（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（每题5分，共60分）1．tan 300°+sin 450°的值为（）A．1+B．1﹣C．﹣1﹣ D．﹣1+【考点】诱导公式的作用．【分析】由诱导公式逐步化简可得原式等于﹣tan60°+sin90°，为可求值的特殊角，进而可得答案．【解答】解：由诱导公式可得：tan 300°+sin 450°=tan（360°﹣60°）+sin（360°+90°）=﹣tan60°+sin90°=﹣+1=1﹣，故选B2．以下命题正确的是（）A．小于90°的角是锐角B．A={α|α=k•180°，k∈Z}，B={β|β=k•90°，k∈Z}，则A⊆BC．﹣950°12′是第三象限角D．α，β终边相同，则α=β【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据角的X围以及终边相同角的关系分别进行判断即可．【解答】解：A．∵0°角满足小于90°，但0°角不是锐角，故A错误，B．当k=2n时，β=k•90°=n•180°，当k=2n+1时，β=k•90°=k•180°+90°，则A⊆B成立，C．﹣950°12′=﹣4×360°+129°48′，∵129°48′是第二象限角，∴﹣950°12′是第二象限角，故C错误，D．α，β终边相同，则α=β+k•360°，k∈Z，故D错误，故选：B3．在空间直角坐标系中的点P（a，b，c），有下列叙述：①点P（a，b，c）关于横轴（x轴）的对称点是P1（a，﹣b，c）；②点P（a，b，c）关于yOz坐标平面的对称点为P2（a，﹣b，﹣c）；③点P（a，b，c）关于纵轴（y轴）的对称点是P3（a，﹣b，c）；④点P（a，b，c）关于坐标原点的对称点为P4（﹣a，﹣b，﹣c）．其中正确叙述的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据空间点的对称性分别进行判断即可．【解答】解：①点P（a，b，c）关于横轴（x轴），则x不变，其余相反，即对称点是P1（a，﹣b，﹣c）；故①错误，②点P（a，b，c）关于yOz坐标平面的对称，则y，z不变，x相反，即对称点P2（﹣a，b，c）；故②错误③点P（a，b，c）关于纵轴（y轴）的对称，则y不变，x，z相反，即对称点是P3（﹣a，b，﹣c）；故③错误，④点P（a，b，c）关于坐标原点的对称，则x，y，z都为相反数，即对称点为P4（﹣a，﹣b，﹣c）．故④正确，故选：C4．已知α是第二象限的角，其终边上一点为P（a，），且cosα=a，则sinα的值等于（）A．B．C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】根据三角函数的大小建立方程求出a的值即可得到结论．【解答】解：∵α是第二象限的角，其终边上一点为P（a，），且cosα=a，∴a＜0，且cosα=a=，平方得a=﹣，则sinα===，故选：A．5．函数y=2sin（﹣2x）（x∈[0，π]）为增函数的区间是（）A．[0，] B．[] C．[，] D．[，π]【考点】复合三角函数的单调性．【分析】利用正弦函数的单调性，确定单调区间，结合x的X围，可得结论．【解答】解：由正弦函数的单调性可得≤﹣2x≤（k∈Z）∴﹣﹣kπ≤x≤﹣﹣kπk=﹣1，则故选C．6．已知，且，则tanφ=（）A．B．C．﹣D．【考点】同角三角函数间的基本关系．【分析】先由诱导公式化简cos（φ）=﹣sinφ=确定sinφ的值，再根据φ的X 围确定cosφ的值，最终得到答案．【解答】解：由，得，又，∴∴tanφ=﹣故选C．7．已知点A（1，2，﹣1），点C与点A关于平面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则线段BC的长为（）A．2 B．4 C．2 D．2【考点】空间中的点的坐标．【分析】求出对称点的坐标，然后求解距离．【解答】解：点A（1，2，﹣1），点C与点A关于平面xoy对称，可得C（1，2，1），点B与点A关于x轴对称，B（1，﹣2，1），∴|BC|==4故选：B．8．直线y=a（a为常数）与y=tanωx（ω＞0）的相邻两支的交点距离为（）A．πB．C． D．与a有关的值【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】直线y=a与正切曲线y=tanωx两相邻交点间的距离，便是此正切曲线的最小正周期．【解答】解：因为直线y=a（a为常数）与正切曲线y=tanωx相交的相邻两点间的距离就是正切函数的周期，∵y=tanωx的周期是：，∴直线y=a（a为常数）与正切曲线y=tanωx相交的相邻两点间的距离是：．故选：B．9．函数的图象（）A．关于原点成中心对称B．关于y轴成轴对称C．关于成中心对称D．关于直线成轴对称【考点】正弦函数的对称性．【分析】将x=0代入函数得到f（0）=2sin（﹣）=﹣1，从而可判断A、B；将代入函数f（x）中得到f（）=0，即可判断C、D，从而可得到答案．【解答】解：令x=0代入函数得到f（0）=2sin（﹣）=﹣1，故A、B不对；将代入函数f（x）中得到f（）=0，故是函数f（x）的对称中心，故C 对，D不对．故选C．10．已知θ∈[0，2π），|cosθ|＜|sinθ|，且sinθ＜tanθ，则θ的取值X围是（）A．B．C．D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】由已知的sinθ＜tanθ，移项并利用同角三角函数间的基本关系变形后得到tanθ（1﹣cosθ）大于0，由余弦函数的值域得到1﹣cosθ大于0，从而得到tanθ大于0，可得出θ为第一或第三象限，若θ为第一象限角，得到sinθ和cosθ都大于0，化简|cosθ|＜|sinθ|，并利用同角三角函数间的基本关系得到tanθ大于1，利用正切函数的图象与性质可得出此时θ的X围；若θ为第三象限角，得到sinθ和cosθ都小于0，化简|cosθ|＜|sinθ|，并利用同角三角函数间的基本关系得到tanθ大于1，利用正切函数的图象与性质可得出此时θ的X围，综上，得到满足题意的θ的X围．【解答】解：∵sinθ＜tanθ，即tanθ﹣sinθ＞0，∴tanθ（1﹣cosθ）＞0，由1﹣cosθ＞0，得到tanθ＞0，当θ属于第一象限时，sinθ＞0，cosθ＞0，∴|cosθ|＜|sinθ|化为cosθ＜sinθ，即tanθ＞1，则θ∈（，）；当θ属于第三象限时，sinθ＜0，cosθ＜0，∴|cosθ|＜|sinθ|化为﹣cosθ＜﹣sinθ，即tanθ＞1，则θ∈（，），综上，θ的取值X围是．故选C11．化简cosα+sinα（π＜α＜）得（）A．sinα+cosα﹣2 B．2﹣sinα﹣cosαC．sinα﹣cosα D．cosα﹣sinα【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数基本关系式、三角函数值在各个象限的符号即可得出．【解答】解：∵π＜α＜，∴==，同理可得=，∴原式=﹣（1﹣sinα）﹣（1﹣cosα）=﹣2+cosα+sinα．故选：A．12．圆心角为60°的扇形，它的弧长为2π，则它的内切圆的半径为（）A．2 B．C．1 D．【考点】圆的标准方程．【分析】设扇形和内切圆的半径分别为R，r．由弧长公式可得2π=R，解得R．再利用3r=R=6即可求得扇形的内切圆的半径．【解答】解：设扇形和内切圆的半径分别为R，r．由2π=R，解得R=6．由题意可得3r=R=6，即r=2．∴扇形的内切圆的半径为2．故选：A．二、填空题（每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．函数的定义域为．【考点】正切函数的定义域．【分析】根据正弦函数的定义域，我们构造关于x的不等式，解不等式，求出自变量x的取值X围，即可得到函数的定义域．【解答】解：要使函数的解析式有意义自变量x须满足：≠kπ+，k∈Z解得：故函数的定义域为故答案为14．函数y=2cos（ωx）的最小正周期是4π，则ω=±．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用周期公式列出关于ω的方程，求出方程的解即可得到ω的值．【解答】解：∵=4π，∴ω=±．故答案为：±15．已知tanα=2，则tan2α的值为﹣．【考点】二倍角的正切．【分析】由条件利用二倍角的正切公式求得tan2α的值．【解答】解：∵tanα=2，∴tan2α===﹣，故答案为：﹣．16．已知sin（﹣x）=，则cos（﹣x）= ﹣．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵sin（﹣x）=，∴cos（﹣x）=cos[+（﹣x）]=﹣sin（﹣x）=﹣．故答案为：﹣三．解答题（共70分）17．已知sinα+cosα=，α∈（0，π），求的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】把已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系变形求出2sinαcosα的值，进而判断出sinα﹣cosα的正负，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系求出sinα﹣cosα的值，联立求出sinα与cosα的值，即可确定出的值．【解答】解：把sinα+cosα=①，两边平方得：（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，∴2sinαcosα=﹣，∵α∈（0，π），∴sinα＞0，cosα＜0，即sinα﹣cosα＞0，∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=，即sinα﹣cosα=②，联立①②，解得：sinα=，cosα=﹣，则==﹣．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）当，求f（x）的值域．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的定义域和值域．【分析】（1）根据最低点M可求得A；由x轴上相邻的两个交点之间的距离可求得ω；进而把点M代入f（x）即可求得φ，把A，ω，φ代入f（x）即可得到函数的解析式．（2）根据x的X围进而可确定当的X围，根据正弦函数的单调性可求得函数的最大值和最小值．确定函数的值域．【解答】解：（1）由最低点为得A=2．由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=，即T=π，由点在图象上的故∴又，∴（2）∵，∴当=，即时，f（x）取得最大值2；当即时，f（x）取得最小值﹣1，故f（x）的值域为[﹣1，2]19．sin θ和cos θ为方程2x2﹣mx+1=0的两根，求+．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用韦达定理可求得sinθ+cosθ=，sinθ•cosθ=，利用同角三角函数基本关系式即可解得m，将所求的关系式化简为sinθ+cosθ，即可求得答案．【解答】解：∵sinθ和cosθ为方程2x2﹣mx+1=0的两根，∴sinθ+cosθ=，sinθ•cosθ=，∵（sinθ+cosθ）2=sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=1+2sinθcosθ，∴m2=1+2×，解得：m=±2，∴+=+=sinθ+cosθ=．20．已知函数y=2acos（2x﹣）+b的定义域是[0，]，值域是[﹣5，1]，求a、b的值．【考点】余弦函数的定义域和值域．【分析】由求出的X围，由余弦函数的性质求出cos（2x﹣）的值域，根据解析式对a分类讨论，由原函数的值域分别列出方程组，求出a、b的值．【解答】解：由得，，∴cos（2x﹣），当a＞0时，∵函数的值域是[﹣5，1]，∴，解得，当a＜0时，∵函数的值域是[﹣5，1]，∴，解得，综上可得，或．21．函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值．【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．【分析】（Ⅰ）由题目所给的解析式和图象可得所求；（Ⅱ）由x∈[﹣，﹣]可得2x+∈[﹣，0]，由三角函数的性质可得最值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=3sin（2x+），∴f（x）的最小正周期T==π，可知y0为函数的最大值3，x0=；（Ⅱ）∵x∈[﹣，﹣]，∴2x+∈[﹣，0]，∴当2x+=0，即x=时，f（x）取最大值0，当2x+=，即x=﹣时，f（x）取最小值﹣322．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；（2）函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．【分析】（1）由函数的解析式求得周期，由求得x的X围，即可得到函数的单调增区间（2）由条件可得，再根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律得出结论．【解答】解：（1）由函数，可得周期等于 T==π．由求得，故函数的递增区间是．（2）由条件可得．故将y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，即可得到f（x）的图象．。
无锡市江阴高级中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题
江苏省江阴高级中学2022-2023学年高一第一学期第一次月考数学试卷一､单选题（本大题共8小题，共40.0分．）1.给出下列关系：①πR ∈；②3∈Q ；③3-∉Z ；④|3|-∉N ；⑤0∉Q ，其中正确的个数（）A.1B.2C.3D.42.设全集U 是实数集R ，{}3M x x =≥，{}25N x x =≤≤都是U 的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（）A.{}23x x << B.{}23x x ≤< C.{}23x x <≤ D.{}25x x ≤≤3.已知函数()(),f x g x 分别由下表给出：x4567x3456()f x 7645()g x 4654下列能满足()()()()g f x f g x <的x 的值是（）A.3B.4C.5D.74.设集合{}1,1,12A a a =++，{}21,,B b b =，若A B =，则b 的值为（）A.1B.12-C.1或12-D.1-5.若函数()11f x x x =-+，则函数()1f x -的定义域为（）A.()1,1- B.[]2,0- C.[]1,1- D.[]0,26.若函数()1f x ax =+在区间[]1,2上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值为（）A.2B.2或2- C.3D.3或3-7.已知11,15x y x y -≤+≤≤-≤，则32x y -的取值范围是（）A.[]2,13 B.[]3,13 C.[]2,10 D.[]5,108.若对于任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数，例如21=，31=，[]1.62-=-，那么“[][]=x y ”是“1x y -<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二､多选题（本大题共4小题，共20.0分．在每小题有多项符合题目要求）9.中国清朝数学学李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function ”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合{}1,1,2,4M =-，{}1,1,2,4,16N =-，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是（）A.1y x=B.y x =C.1y x =+ D.2y x =10.下列说法正确的有（）A.任意非零实数,a b ，都有2b a a b+≥ B.不等式21031x x -<+的解集是11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C.函数234y x x =--的零点是()()4,0,1,0- D.函数()4211-=+x f x x 与()21g x x =-为同一个函数；11.已知关于x 的不等式22430(0)x ax a a -+<<的解集为{}12xx x x <<∣，则（）A.12120x x x x ++<的解集为4|03a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B.1212x x x x ++的最小值为43-C.不等式22430(0)x ax a a -+<<的解集为{}|3x a x a <<D.1212a x x x x ++312.已知函数2210,1()21,1x ax x f x a x x⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值可以是（）A.1B.2C.3D.4三､填空题（本大题共4小题，共20分）13.命题“x ∀∈R ，211x +≥”的否定为__________．14.函数()268f x x x =-+的单调减区间是______．15.函数2231x y x -=+的值域是__________．16.设集合{}1,2,3,4,6M =，1S ，2S ，⋅⋅⋅，k S 都是M 的含有两个元素的子集，则k =______；若集合A 是由这k个元素()12,,,k S S S ⋅⋅⋅中的若干个组成的集合，且满足：对任意的{},i S a b =，{},j S c d =（i j ≠，i ，{}1,2,3,,j k ∈⋅⋅⋅，a b <，c d <）都有a bc d≠，则A 中元素个数的最大值是______四､解答题（本大题共6小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知全集{}N 05U x x =∈<<，集合{}21,2,A m =，{}2540B x x x =-+=．（1）若21U a B +∈ð且a U ∈，求实数a 的值；（2）设集合()U C A B =⋂ð，若C 的真子集共有3个，求实数m 的值．18.已知集合14,3A xx x ⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭N ，{}10B x ax =-≥．（1）当2a =时，求A B ⋂；（2）若__________，求实数a 的取值范围．请从①“x B ∈”是“x A ∈”的必要条件；②x A ∀∈，x B ∉；③x A ∃∈，x B ∉；这三个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）19.已知函数)21+=+gx .（1）求函数()g x 的解析式；（2）设()()2-=g x xf x x，若存在[]2,3x ∈使()0f x kx -≤成立，求实数k 的取值范围.20.已知函数2()x af x x+=，且(1)2f =（1）求实数a 的值；（2）判断函数()f x 在[)1,+∞上的单调性，并用定义证明；（3）求函数()f x 在[)1,3上的值域．21.已知函数()232f x x x =-+-．（1）求不等式()3f x ≤的解集M ；（2）在（1）的条件下，设M 中的最小的数为m ，正数,a b 满足3a b m +=，求225b a a b++的最小值．22.某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W (单位：千克)与施用肥料x (单位：千克)满足如下关系：()253,02()50,251x x W x xx x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)20x 元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，()f x (单位：元)（1）写单株利润()f x (元)关于施用肥料x (千克)的关系式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？2022-2023学年江苏省江阴高级中学高一第一学期第一次月考数学试卷一､单选题（本大题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.给出下列关系：①πR ∈；②3∈Q ；③3-∉Z ；④|3|-∉N ；⑤0∉Q ，其中正确的个数（）A.1B.2C.3D.4【答案】A 【解析】【分析】依次判断出各数所属于的数域范围，进而判断出正误.【详解】π是实数，①正确；3是无理数，②错误；3-是整数，③错误；|3|3-=是自然数，④错误；0是有理数，⑤错误，所以正确的个数为1．故选：A ．2.设全集U 是实数集R ，{}3Mx x =≥，{}25N x x =≤≤都是U 的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（）A.{}23x x << B.{}23x x ≤< C.{}23x x <≤ D.{}25x x ≤≤【答案】B 【解析】【分析】题图中阴影部分表示集合()U N M ⋂ð，即可求【详解】题图中阴影部分表示集合(){}{}{}25323U N M x x x x x x ⋂=≤≤⋂<=≤<ð.故选：B3.已知函数()(),f x g x 分别由下表给出：x4567x3456()f x 7645()g x 4654下列能满足()()()()g f x f g x <的x 的值是（）A.3 B.4C.5D.7【答案】C 【解析】【分析】根据表格依次判断3,4,5,7x =时两个函数值的大小关系即可.【详解】对于A ，当3x =时，()3f 无意义，A 错误；对于B ，当4x =时，()47f =，()()()47g f g ∴=无意义，B 错误；对于C ，当5x =时，()56f =，()55g =，()()()564g f g ∴==，()()()556f g f ==，则()()()()55g f f g <，C正确；对于D ，当7x =时，()7g 无意义，D 错误.故选：C.4.设集合{}1,1,12A a a =++，{}21,,B b b =，若A B =，则b 的值为（）A.1B.12-C.1或12-D.1-【答案】B 【解析】【分析】根据集合相等得到2112a ba b +=⎧⎨+=⎩或2112a b a b⎧+=⎨+=⎩，解出,a b 的值，检验是否符合即可得出结果.【详解】因为A B =，所以2112a b a b +=⎧⎨+=⎩或2112a b a b ⎧+=⎨+=⎩，解得01a b =⎧⎨=⎩或34.12a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩经检验，知当1b=时，集合B 中的元素不满足互异性，舍去；当12b =-时，满足题意.故选：B.5.若函数()f x =，则函数()1f x -的定义域为（）A.()1,1- B.[]2,0- C.[]1,1- D.[]0,2【答案】D 【解析】【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解()f x 的定义域，再由1x -在()f x 的定义域内求得x 的范围，即可得到(1)f x -的定义域．【详解】解：要使原函数有意义，则1010x x -≥⎧⎨+≥⎩，解得11x -≤≤．由111x -≤-≤，得02x ≤≤．∴函数(1)f x -的定义域为[0,2]．故选：D ．6.若函数()1f x ax =+在区间[]1,2上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值为（）A.2B.2或2- C.3D.3或3-【答案】B 【解析】【分析】注意讨论0a =的情况，然后利用一次函数的单调性分类讨论可求得.【详解】依题意，当0a=时，()1f x =，不符合题意；当0a >时，()1f x ax =+在区间[]()()()212112f f a a -=+-+=，得2a =；当a<0时，()1f x ax =+在区间[]1,2上单调递减，所以()()()121212f f a a -=+-+=，得2a =-．综上，a 的值为2±故选:B .7.已知11,15x y x y -≤+≤≤-≤，则32x y -的取值范围是（）A.[]2,13 B.[]3,13 C.[]2,10 D.[]5,10【答案】A 【解析】【分析】设()()()()32x y m x y n x y m n x m n y -=+--=-++，求出,m n 的值，根据,x y x y +-的范围，即可求出答案.【详解】设()()()()32x y m x y n x y m n x m n y -=+--=-++，所以32m n m n -=⎧⎨+=-⎩，解得：()()1152,32,5222m x y x y x y n ⎧=⎪⎪-=++-⎨⎪=-⎪⎩，因为11,15x y x y -≤+≤≤-≤，所以()()[]15322,1322x y x y x y -=++-∈，故选：A.8.若对于任意实数x ，[]x 表示不超过x的最大整数，例如1=，1=，[]1.62-=-，那么“[][]=x y ”是“1x y -<”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据高斯函数的定义以及充分必要条件的定义推导即可.【详解】如果[][],x y n n Z ==∈，则有[)1212,,,0,1x n d y n d d d =+=+∈，x y ∴-=121d d -＜，所以[][]=x y 是1x y -＜的充分条件；反之，如果1x y -＜，比如3.9,4.1x y ==，则有0.21x y -=＜，根据定义，[][][][]3,4,x y x y ==≠，即不是必要条件，故[][]=x y 是1x y -＜的充分不必要条件；故选：A.二､多选题（本大题共4小题，共20.0分．在每小题有多项符合题目要求）9.中国清朝数学学李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function ”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合{}1,1,2,4M =-，{}1,1,2,4,16N =-，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是（）A.1y x=B.y x= C.1y x =+ D.2y x =【答案】BD 【解析】【分析】根据函数定义逐一判断即可.【详解】A.1y x =，当{}21,1,2,4M ∈=-，但{}11,1,2,4,162N ∉=-，A 不是；B.y x =，任意{}1,1,2,4a M ∈=-，都有{}1,1,2,4,16a N ∈=-，B 是；C.1y x =+，当{}41,1,2,4M ∈=-，但{}51,1,2,4,16N ∉=-，C 不是；D.2y x =，任意{}1,1,2,4a M ∈=-，都有{}1,1,2,4,16a N ∈=-，D 是；故选：BD.10.下列说法正确的有（）A.任意非零实数,a b ，都有2b aa b+≥ B.不等式21031x x -<+的解集是11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C.函数234y x x =--的零点是()()4,0,1,0- D.函数()4211-=+x f x x 与()21g x x =-为同一个函数；【答案】BD 【解析】【分析】根据基本不等式、分式不等式的解法、二次函数零点、相同函数等知识对选项进行分析，从而确定答案.【详解】A 选项，若1,1ab ==-，则22b aa b+=-<，所以A 选项错误.B 选项，()()2102131031x x x x -<⇔-+<+，解得1132x -<<，所以不等式21031x x -<+的解集是11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 选项正确.C 选项，函数234y x x =--的零点是4,1-，C 选项错误.D 选项，对于()4211-=+x f x x ，()f x 的定义域为R ，且()()()()224222111111x x x f x x g x x x +--===-=++，所以D 选项正确.故选：BD 11.已知关于x 的不等式22430(0)x ax a a -+<<的解集为{}12x x x x <<∣，则（）A.12120x x x x ++<的解集为4|03a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B.1212x x x x ++的最小值为43-C.不等式22430(0)x ax a a -+<<的解集为{}|3x a x a << D.1212ax x x x ++的最小值为3【答案】AB 【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法求得12,x x ，对选项进行分析，结合一元二次不等式、二次函数的性质等知识求得正确答案.【详解】()()224303x ax a x a x a =---+<，由于a<0，所以不等式的解集为{}|3x a x a <<，C 选项错误，所以123,a x x a ==，A 选项，()1212234340a a a x x x a x ==+++<+，解得403a -<<，即不等式12120x x x x ++<的解集为4|03a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，A 选项正确.B 选项，2121234x x x x a a ++=+，令()2340y a a a =+<，()2340y a a a =+<的开口向上，对称轴为4263a =-=-，所以当23a =-时，234y a a =+取得最小值为222434333⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 选项正确.D 选项，12212144033a a x x a a x x aa ++=+=+<，所以D 选项错误.故选：AB 12.已知函数2210,1()21,1x ax x f x a x x⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值可以是（）A.1B.2C.3D.4【答案】ABC 【解析】【分析】根据题意可得1210121021a a a a ≥⎧⎪->⎨⎪-+≥-⎩，解之即可得解.【详解】解：因为函数2210,1()21,1x ax x f x a x x⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩是R 上的减函数，所以1210121021a a a a ≥⎧⎪->⎨⎪-+≥-⎩，解得13a ≤≤.故选：ABC .三､填空题（本大题共4小题，共20分）13.命题“x ∀∈R ，211x +≥”的否定为__________．【答案】0R x ∃∈，211x +<【解析】【分析】根据全称命题，符号为∀，其否定为特称命题“存在”，符号∃，“≥”的否定为“<”，即可选出答案.【详解】解： 全称命题的否定是特称命题，∴命题x ∀∈R ，211x +≥的否定是：0R x ∃∈，2011x +<，故答案为：0R x ∃∈，2011x +<.14.函数()268f x x x =-+的单调减区间是______．【答案】[]0,3，(],3-∞-【解析】【分析】根据绝对值的定义去绝对值，写成分段函数形式，再根据函数单调性求得单调递减区间．【详解】去绝对值，得函数2268()68x x f x x x ⎧-+=⎨++⎩0x x ≥<当0x ≥时，函数2()68f x x x =-+的单调递减区间为[]0,3当0x <时，函数2()68f x x x =++的单调递减区间为(],3-∞-综上，函数2268()68x x f x x x ⎧-+=⎨++⎩0x x ≥<的单调递减区间为[]0,3，(],3-∞-故答案为：[]0,3，(],3-∞-15.函数2231x y x -=+的值域是__________．【答案】[)3,1-【解析】【分析】22234111x y x x -==-++，然后可求出答案.【详解】2222211344111x x y x x x --=+==-+++，因为211x +≥，所以(]240,41x ∈+，所以[)244,01x -∈-+，所以[)2233,11x y x -=∈-+，故答案为：[)3,1-16.设集合{}1,2,3,4,6M=，1S ，2S ，⋅⋅⋅，k S 都是M的含有两个元素的子集，则k=______；若集合A 是由这k 个元素()12,,,k S S S ⋅⋅⋅中的若干个组成的集合，且满足：对任意的{},i S a b =，{},j S c d =（i j ≠，i ，{}1,2,3,,j k ∈⋅⋅⋅，a b <，c d <）都有a bc d≠，则A 中元素个数的最大值是______【答案】①.10②.6【解析】【分析】根据集合{}1,2,3,4,6M=，写出其含有两个元素的所有子集，即可得k 的值；根据a bc d≠，排除掉不符合题意的集合，即可得到符合题意的集合个数的最大值.【详解】集合M 的含有两个元素的子集有{}1,2，{}1,3，{}1,4，{}1,6，{}2,3，{}2,4，{}2,6，{}3,4，{}3,6，{}4,6，共10个，故10k =．因为a bc d≠，所以{}1,2，{}2,4，{}3,6中只能取一个作为A 中的元素，{}1,3，{}2,6中只能取一个作为A 中的元素，{}2,3，{}4,6中只能取一个作为A 中的元素，故10个元素中至少有4个不出现在集合A 中，故A 中元素个数的最大值为6．故答案为:10;6四､解答题（本大题共6小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知全集{}N 05U x x =∈<<，集合{}21,2,A m =，{}2540B x x x =-+=．（1）若21U aB +∈ð且a U ∈，求实数a 的值；（2）设集合()U C A B =⋂ð，若C 的真子集共有3个，求实数m 的值．【答案】（1）1a =（2）m =【分析】（1）先求得U 和B ，进而求得{}2,3U B =ð，再根据21U a B +∈ð求解即可；（2）分情况讨论23m ≠与23m =分析即可.【小问1详解】因为{}{}N 051,2,3,4U x x =∈<<=，{}{}25401,4B x x x =-+==，因此，{}2,3UB =ð．若21U a B +∈ð，则212a +=或213a +=，解得1a =±或．又a U ∈，所以1a =．【小问2详解】{}21,2,A m= ，{}2,3U B =ð，当23m ≠时，{}2C =，此时集合C 共有1个真子集，不符合题意，当23m =时，{}2,3C =，此时集合C 共有3个真子集，符合题意，综上所述，m =18.已知集合14,3A x x x ⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭N ，{}10B x ax =-≥．（1）当2a =时，求A B ⋂；（2）若__________，求实数a 的取值范围．请从①“x B ∈”是“x A ∈”的必要条件；②x A ∀∈，x B ∉；③x A ∃∈，x B ∉；这三个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．【答案】（1）{}1,2,3A B = （2）选①：{}1a a ≥；选②：13a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭；选③：{}1a a <【解析】【分析】（1）解不等式求得集合B ，由交集定义可得结果；（2）若选①，由必要条件定义可知A B ⊆，可分别在0a =、a<0和0a >的情况下，由包含关系构造不等式求得a 的范围；若选②，由全称命题可知A B ⋂=∅，分别在0a =、a<0和0a >的情况下，由交集结果构造不等式求得a 的范围；若选③，由存在性命题可得A B ⋂≠∅R ð，分别在0a =、a<0和0a >的情况下，由交集结果构造不等式求得a 的范围.【小问1详解】当2a =时，{}12102B x x x x ⎧⎫=-≥=≥⎨⎬⎩⎭，又{}14,1,2,33A x x x ⎧⎫=<<∈=⎨⎬⎩⎭N ，{}1,2,3AB ∴⋂=.【小问2详解】若选条件①：若“x B ∈”是“x A ∈”的必要条件，则A B ⊆；当0a =时，B =∅，不合题意；当a<0时，1B x x a ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，又{}1,2,3A =，13a∴≥，解得：103a <≤（舍）；当0a >时，1B x x a ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，又{}1,2,3A =，11a ∴≤，解得：a<0或1a ≥，1a ∴≥；综上所述：实数a 的取值范围为{}1a a ≥.若选条件②：x A ∀∈，x B ∉，A B ∴⋂=∅；当0a =时，B =∅，满足题意；当a<0时，1B x x a ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，又{}1,2,3A =，11a∴<，解得：a<0或1a >（舍），<0a ∴；当0a >时，1B x x a ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，又{}1,2,3A =，13a ∴>，解得：103a <<，103a ∴<<；综上所述：实数a 的取值范围为13aa ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭.若选条件③：x A ∃∈，x B ∉，A B ∴≠∅R ð；当0a =时，B =∅，则B =R R ð，又{}1,2,3A =，{}1,2,3A B ∴=R ð，满足题意；当a<0时，1B x x a ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，则1B x x a ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭R ð，又{}1,2,3A =，13a∴<，解得：a<0或13a >（舍），<0a ∴；当0a >时，1B x x a ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则1B x x a ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭R ð，又{}1,2,3A =，11a ∴>，解得：01a <<，01a ∴<<；综上所述：实数a 的取值范围为{}1a a <.19.已知函数)21+=+g x .（1）求函数()g x 的解析式；（2）设()()2-=g x xf x x，若存在[]2,3x ∈使()0f x kx -≤成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）()()()212=-≥g x x x ；（2）3,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）由配凑法得))2221g =-22+≥，即可求出()g x 的解析式；（2）先求出()f x ，将题设转化为2141k xx ≥-+在[]2,3x ∈上有解，换元后利用二次函数的性质求出最小值即可求解.【小问1详解】)))2221121g x =+==-，则()()21g x x =-22≥，则()()()212=-≥g x x x ；【小问2详解】()()()22212142g x x x x x f x x x x x x --+-===+-≥，又存在[]2,3x ∈使()0f x kx -≤成立，即2141k x x≥-+在[]2,3x ∈上有解，令111,,32t t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，设()()224123=-+=--h t t t t ，易得()h t 在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦单减，则()min 1324h t h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，即34k ³-，故实数k 的取值范围为3,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.20.已知函数2()x a f x x+=，且(1)2f =（1）求实数a 的值；（2）判断函数()f x 在[)1,+∞上的单调性，并用定义证明；（3）求函数()f x 在[)1,3上的值域．【答案】（1）1a =（2）函数()f x 在[)1,+∞上的单调递增，证明见解析（3）102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）利用待定系数法，即可求出结果；（2）根据函数单调性定义，证明即可得到结果；（3）由（2）可知()f x 在[)1,3上单调递增，利用单调性即可求出函数的值域.【小问1详解】解：(1)2f = ，121a +∴=，解得1a =.【小问2详解】解：由（1）得21()x f x x+=函数()f x 在[)1,+∞上的单调递增，证明如下：设[)12,1,x x ∀∈+∞，且12x x <，则有()()()()222212122121121212121212111x x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x x +++---==--=-121x x ≤<Q ，120x x ∴-<，1210x x ->，120x x >，12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <，∴函数()f x 在[)1,+∞上的单调递增.【小问3详解】解：由（2）得函数()f x 在[)1,+∞上的单调递增，[)[)1,31,⊆+∞ ，()f x ∴在[)1,3上单调递增，又(1)2f =，10(3)3f =()f x ∴在[)1,3上的值域是102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.21.已知函数()232f x x x =-+-．（1）求不等式()3f x ≤的解集M ；（2）在（1）的条件下，设M 中的最小的数为m ，正数,a b 满足3a b m +=，求225b a a b ++的最小值．【答案】（1）28|33M x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭（2）132【解析】【分析】（1）将()f x 表示为分段函数的形式，由此解不等式()3f x ≤.（2）结合基本不等式求得225b a a b ++的最小值.【小问1详解】()353,232321,2235,2x x f x x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=-+-=-≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩，不等式()3f x ≤可化为32533x x ⎧<⎪⎨⎪-≤⎩，或32213x x ⎧≤≤⎪⎨⎪-≤⎩，或2353x x >⎧⎨-≤⎩，解得2833x ≤≤，所以28|33M x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭.【小问2详解】由（1）可知23m =，所以2a b +=，所以()()22222525a b b a a b a b-+-++=+224944a a b b ab -+-+=+()94941948662a b a b a ba b a b ⎛⎫=+++-=+-=++- ⎪⎝⎭194113136136222b a a b ⎛⎫⎛⎫=++-≥-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当94b a a b =，23a b =，即64,55a b ==时等号成立，所以225b a a b ++的最小值为132．22.某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W (单位：千克)与施用肥料x (单位：千克)满足如下关系：()253,02()50,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)20x 元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为()f x (单位：元)（1）写单株利润()f x (元)关于施用肥料x (千克)的关系式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）27530225,02()75030,251x x x f x x x x x⎧-+⎪=⎨-<⎪+⎩ ；（2）4千克，480元﹒【解析】【分析】(1)用销售额减去成本投入得出利润()f x 的解析式；(2)分段判断()f x 的单调性，求出()f x 的最大值即可．【小问1详解】依题意()15()1020f x W x x x =--，又()253,02()50,251x x W x x x x ⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，∴27530225,02()75030,251x x x f x x x x x⎧-+⎪=⎨-<⎪+⎩ ．【小问2详解】当02x 时，2()7530225f x x x =-+，开口向上，对称轴为15x =，()f x ∴在[0，15上单调递减，在1(5，2]上单调递增，()f x ∴在[0，2]上的最大值为()2465f =．当25x <时，25()78030(1)780304801f x x x =-++-⨯=+ ，当且仅当2511x x=++时，即4x =时等号成立．∵465480<，∴当4x =时，max ()480f x =．∴当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是480元．。
2021-2022学年江苏省无锡市太湖高级中学高一年级下册学期3月月考数学试题【含答案】
2021-2022学年江苏省无锡市太湖高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．在矩形中，，，则（ ）ABCD 3AB =4=AD AB AC AD ++= A ．5B ．6C ．8D ．10D【分析】只需用几何法直接求对角线的长度即可.【详解】由题意 ， ；AC AB AD =+ 210AB AC AD AC ++=== 故选：D.2．如图，在中，设，，若点E 在上，且，则ABCD AB a = AD b = CD 2CE ED ==（ ）BEA ．B ．C ．D ．23a b - 23a b -+13a b -+ 13a b - B【分析】运用平面向量基本定理，结合平面向量加法的运算性质、平行四边形的性质进行求解即可.【详解】因为，所以，2CE ED = 23CE CD=在中，，ABCD ,CD BA BC AD == 所以，22223333BC CE AD CD AD BA BE AD AB b a=+=+=+=-=-故选：B3．设，向量，，，若，则,x y R ∈()1,2a =()3,4b =()5,6c =c xa yb =+ （ ）x y +=A ．B ．C ．1D ．33-1-C【分析】利用向量的坐标公式计算即可.【详解】向量，，，()1,2a =()3,4b =()5,6c =c xa yb =+ ，∴()()()5,61,23,4x y =+，解得.53624x yx y =+⎧∴⎨=+⎩12x y =-⎧⎨=⎩则.1x y +=故选：C4．设向量，，且，则向量与的夹角为(,1)a x =(1,b = a b ⊥a b A ．B ．C ．D ．6π3π23π56πD【详解】向量，，且，则(),1a x =(1,b =a b ⊥0,a bx x ⋅=== ,a =-(0,4)=()014(a b⋅=⨯+⨯=- ,设向量与的夹角为，则4,2a b =a b θ ，，选D.cos θ=50,6πθπθ≤≤∴= 5．在△ABC 中，△ABC 的最小角为（ ）7,a b c ===A．B ．C ．D ．3π6π4π12πB【分析】由小边对小角原理判断三边大小可知最小，求即可.C cos C 【详解】由三角形边角关系可知，角C 为△ABC 的最小角，则cos C =，所以C =.222π22a b c C ab +-=<<6π故选：B .本题考查由余弦定理求解最小角，属于基础题6．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，则必为ABC cos cAb <ABC （ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形A【分析】由正弦定理得到，得出，进而sin cos sin C A B <sin cos 0A B <，即可求解.sin 0,0cos A B ><【详解】因为，由正弦定理可得，即，cos cAb <sin cos sin C A B <sin cos sin C A B <又因为，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+所以，即，sin cos cos s co si in s n A B A B A B +<sin cos 0A B <因为，所以，,(0,)A B π∈sin 0,0cos A B ><所以，所以为钝角三角形.(,)2B ππ∈ABC 故选：A.7．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，，且D ABC 4b c ==120A =︒是边上的动点(不含端点)，则的取值范围是（ ）BC ()()DA DB DA DC+⋅+A ．B ．C ．D ．[8,10)-[16,40)-[8,40)-[16,48)-C【分析】以BC 所在直线为轴，以BC 的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标x y 系，利用向量数量积的坐标运算求出即可求解.()()DA DB DA DC +⋅+【详解】解：以BC 所在直线为轴，以BC 的中垂线为轴建立如图所示的平面直角x y 坐标系，因为，，所以，，，设，4b c ==120A =︒()0,2A ()B -()C (),0D x，(x ∈-则，，，(),2DA x =-(),0DB x =--(),0DC x =-所以，()()()()22,22,248DA DB DA DC x x x +⋅+=--⋅=-因为，所以，(x ∈-()248[8,40)x-∈-所以的取值范围是，()()DA DB DA DC +⋅+[8,40)-8．已知O 为锐角三角形的外心，，则的值为ABC 2340OA OB OC ++=cos ACB ∠（ ）ABC ．D ．1434A【分析】根据平面向量数量积的定义和运算运算性质，结合余弦的二倍角公式、三角形外心的性质进行求解即可.【详解】设锐角三角形的外接圆的半径为，即，ABC R OA OB OC R ===，22223404(23)164912OA OB OC OC OA OB OC OA OB OA OB ++=⇒=-+⇒=++⋅ ，显然是锐角，2221164912cos cos 04R R R R R AOB AOB ⇒=++⋅⋅⋅∠⇒∠=>AOB ∠因为O 为锐角三角形的外心，所以O 在锐角三角形内部，ABC ABC 由圆的性质可知：，显然是锐角，12ACB AOB ∠=∠ACB ∠211cos 2cos 1cos 44AOB ACB ACB ∠=⇒∠-=⇒∠=故选：A 二、多选题9．下列说法中错误的为（ ）A ．若，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是()1,2a =()1,1b =a ab l + λ5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底()12,3e =-213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．若，则在方向上的投影向量的模为//a b a b aD ．非零向量和满足，则与的夹角为a b a b a b==- a a b + 60︒ACD【分析】对于A ，由与的夹角为锐角，可得且与不共线，a ab l + ()0a a b λ⋅+> a a b l +从而可求出的取值范围，对于B ，判断两个向量是否共线，对于C ，由可得与λ//a b a可能同向，也可能反向，然后利用数量积的几何意义求解即可，对于D ，由b，可得，从而可求出，，再利用向量的夹角公式可a a b=- 22b a b=⋅ ()a a b⋅+ a b+【详解】对于A ，，，与的夹角为锐角，(1,2)a = (1,1)b = a a b l + ，∴()(1,2)(1,2)142350a a b λλλλλλ⋅+=⋅++=+++=+>且（时与的夹角为），所以且，故A 错误；0λ≠=0λa a b l + 0︒53λ>-0λ≠对于B ，向量，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B12(2,3)4e e =-=正确；对于C ，若，当与反向时，则在方向上的投影为，故C 错误；//a b a b a b a- 对于D ，因为，两边平方得，则，a ab =- 22b a b=⋅()2232a a b a a b a ⋅+=+⋅=a + 故，cos ,a a b +[]0,π得与的夹角为，故D 项错误．a ab +6π故选：ACD10．等边三角形中，，，与交于F ，则下列结论正确ABC BD DC = 2EC AE =AD BE 的是（ ）A ．B ．()12AD AB AC=+2133BE BA BC=+C ．D ．1344AFAB AE=+ 1123BF BA BC=+ ABC【分析】根据向量线性运算，求得各选项的表达式，由此判断出正确选项.【详解】如下图所示：选项A ：，为中点，，A 正确；BD DC = D ∴BC ()12AD AB AC∴=+选项B ：，B 正确；()11213333BE BA AE BA AC BA AB BC BA BC=+=+=++=+选项C ：,,由于三点共线，，故2EC AE = 13AE AC∴=,,E F B BF BE λ= ，设()()1113AF AE AB AC ABλλλλ=+-=+- ，由此可得，()111222AF xAD x AB AC xAB xAC==+=+11332411122x x x λλλ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-=⎪⎪⎩⎩，C 正确；()111111332224444AF AD AB AC AB AE AB AE∴==⨯+=+⨯=+ 选项D ：，D()111111++222224BF BA AF BA AD BA BD BA BA BC BA BA BC⎛⎫=+=+=-=-=+ ⎪⎝⎭错误.故选：ABC.11．已知的重心为G ，点E 是边上的动点，则下列说法正确的是（ ）ABC BC A ．A BG CGG +=B ．若，则的面积是面积的2133AE AB AC=+ EAC ABC 23C ．若，，则2AB AC ==3BC =76AB AG ⋅=D ．若，，则当2AB AC ==3BC =EA EB ⋅ BCD【分析】根据三角形重心的向量性质判断A ，由向量的线性运算求得与的关系，EC BC 判断B ，由数量积的定义计算判断C ，设，计算数量积后求最小值，从而可计BE x =算出判断D ．AE 【详解】因为的重心为G ，所以，所以，A 错；ABC 0GA GB GC ++=AG BG CG +=- 2133AE AB AC=+32AE AB AC ⇒=+ 2()2AE AB AC AE BE EC ⇒-=-⇒= ，B 正确；23EC BC ⇒=23EAC BACS S ⇒= ，， 是等腰三角形，，2AB AC ==3BC =ABC 332sin 24BAG ∠==是锐角，BAG ∠cos BAG ∠==AG =，C 正确；7cos 26AB AG AB AG BAG ⋅=∠==设，，(03)BE x x =≤≤3cos 4B =2223()cos()2(4EA EB AE BE AB BE BE AB BE BE AB BE B x x x π⋅=⋅=+⋅=⋅+=-+=⋅-+ ，22339(2416x x x =-=--所以时，取得最小值，34x =EA EB ⋅916-此时， D 正确．BE ==故选：BCD ．12．在的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是（ ）ABC A ．若，则B ．若，22ab c =04C π<<2a b c +=03C π<≤C ．若，则D ．若，则为锐角三角()2a b c ab +<2C π>444a b c +=ABC 形ABD【分析】根据题目所给的条件，运用余弦定理以及基本不等式可以得出结论.【详解】对于A ，，22ab c =由余弦定理（当且仅当 时等号成立），222322cos 224ab aba b ab C ab ab +--=≥=>a b = 故A 正确；对于B ， ， ，22224a b ab c ++=22224a b abc ++=由余弦定理，()22222223131144222cos 2222a b ab a b a b ab ab ab C ab ab ab +++-+--==≥=当且仅当 时等号成立，故B 正确；a b =对于C ，依条件有，，()a b c ab≤+<24abc c <由余弦定理 （当且仅当 时等222222744cos 02228ab aba b ab a b c C ab ab ab +--+-=>≥=>a b =号成立），故C 错误；对于D ，， ，()()222222220a b c a b +-=>222a b c +>并且 ，由三角形大边对大角得 ,,c a c b >>,C A C B ∠>∠∠>∠由余弦定理 ，222cos 02a b c C ab +-=>角C 是锐角，所以角A 和角B 也是锐角，故D 正确；故选：ABD.三、填空题13．已知，是两个不共线的向量，若与共线，则的a b()m a kb k R =-+∈ 32n a b =- k 值为_________．23【分析】根据题意得到，列出方程组，即可求解.λ= m n 【详解】由题意，向量与共线，m a kb =-+ 32n a b =-可得，即，可得，解得.λ= m n (32)a kb a b λ-+=- 312k λλ=-⎧⎨=-⎩23k =故答案为.2314．设的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且，则角ABC cos a C b =的大小为_________．A 6π30【分析】由正弦定理得，化简得到2sin 2sin cos B C A C =，进而求得的值，即可求解.2cos sin 0A C C =cos A【详解】因为，可得的，cos a C b =2cos 2a C b =由正弦定理得，2sin 2sin cos B C A C =因为，2sin 2sin()2sin cos 2cos sin B A C A C A C =+=+化简得，2cos sin 0A C C =又因为，可得，所以(0,)C π∈sin 0C >cos A =又由，可得.(0,)A π∈6A π=故答案为.6π15．在中，，，，若对任意的实ABC (,2)AB m m =+ (cos ,sin )AC αα= (,)m α∈∈R R 数t ，恒成立，则面积的最小值是_________AB t AC AB AC-≥- ABC 0.512【分析】由对任意的实数t ，恒成立，可得，根据AB t AC AB AC CB-≥-= BC AC ⊥向量的模长公式以及勾股定理，求出、，从而根据即可求解.AC 12ABCBC S AC =【详解】解：因为对任意的实数t ，恒成立，AB t AC AB AC CB-≥-=所以由向量减法的几何意义可知，点B 到直线AC 的最短距离为BC ，所以，BC AC ⊥因为，，(,2)AB m m =+ (cos ,sin )AC αα=所以，1AC ==AB ==所以，即面积的最小1212ABC AC C S B ===≥ ABC 值是，12故答案为.12四、双空题16．已知的外接圆圆心为O ．且，，则ABC 2AO AB AC =+ 2OA AB == _________，向量在向量上的投影向量的模长为_________AB AC ⋅=CA CB ； .03【分析】根据平面向量的加法运算性质，结合平面向量数量积的运算性质、投影向量的定义进行求解即可.【详解】由，22AO AB AC AO OB OC OB A C AO O O ⇒=++==+⇒+所以点共线，因为的外接圆圆心为O ．B C O 、、ABC 所以是圆O 的直径，故，BC 900BAC AB AC AB AC ︒∠=⇒⊥⇒⋅= 因为，所以，，2OA = 4BC =21sin 3042ACB ACB ︒∠==⇒∠=向量在向量上的投影向量的模长为：CA CB，cos 3CA ACB ⋅∠== 故；03五、解答题17．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ABC a =，，求边c 和的面积．b =30B =︒ABCc =ABC c =ABC 【分析】利用余弦定理可得，再利用三角形面积计算公式即可得出．c【详解】∵，，a =b =30B =︒∴，2222cos b a c ac B =+﹣∴，化为，解得．226230c c cos =+-⨯ 240c -+=c =当∴S △ABC =c =1sin 2ac B当∴S △ABC =c =1sin 2ac B18．设向量()()()122121a b c ===-，，，，，（1）若向量 与向量 平行，求 的值； a b λ-c λ（2）若向量 与向量互相垂直，求 的值.b c μ+b c μ- μ（1）；（2）1或.54λ=1-【分析】(1)根据平面向量的坐标运算，结合平行向量的判定定理求解即可；(2)根据平面向量的坐标运算，结合向量垂直的判定定理求解即可.【详解】（1），()122a b λλλ-=--， 向量 与向量 平行， a b λ- c ()512225404λλλλ∴-+-=-=⇒=（2）因为 ，()()()212221b c μμμμμ+=+-=-+，，， ，()()()221221b c μμμμμ-=--=+-，，，因为 与 互相垂直，所以 ，b c μ+ b c μ- ()()b c b c μμ+⋅-= 即，()()()()411110μμμμ-+++-=，解得 或 .()()3110μμ∴-+=1μ=1-19．如图，在中，点D 是边上一点，ABC BC 14,6,10AB BD AD ===(1)求的大小；ADC ∠(2)若的面积为，求边的长．ABCAC (1)；3π(2)【分析】（1）运用余弦定理，结合诱导公式进行求解即可；（2）根据正弦定理、余弦定理、三角形面积公式进行求解即可.【详解】(1)，因为，14,6,10AB BD AD ===所以，222100361961cos 221062AD BD AB ADB AD BD ∠+-+-===-⋅⋅⨯⨯；1cos cos()cos 23ADC ADB ADB ADC π∠π∠∠∠=-=-=⇒=(2)由正弦定理可知：，10sin sin sin sin AD AB ABD ABD ADB ABD =⇒=∠=∠∠∠因为的面积为ABC 所以，于是，114142BC BC ⨯⋅=⇒=1468CD BC BD =-=-=由余弦定理可知：.AC ===20．如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x 轴、y 轴正Ox Oy 60︒12,e e 方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标12OP xe ye =+ (),x y OP 系中的坐标，记，已知在该坐标系下Oxy (),OP x y =(1,2),(2,3)a b ==-(1)计算的大小a b+ (2)求与的夹角大小a b + aθ(1)，a + (2) .60θ︒=【分析】题目给出的是非直角坐标系，与直角坐标系不同的是，当两向量垂直的时候，其数量积不为0；（1）将向量 用基底 表示，按照模的运算法则即可；a b +12,e e （2）求出向量 的模，用向量夹角公式计算即可.a【详解】(1)依题意，1212122233a b e e e e e e +=++-=- ，()()2222212121239231023cos 607a b a be e e e e e ︒+=+=-=+-⨯=-⨯⨯=；a + (2)，()22221212122447a e e e e ee =+=++= ，()2212123251cos 72a b a e e e e a b aθ+-+====+ ；60θ︒=综上，，.a + 60θ︒=21．如图，在中，已知，，，点D 是上一点，满ABC 1CA =2CB =60ACB ∠=︒AB 足，点E 是边上一点，满足AD AB λ= CB BE BC λ=(1)当时，求12λ=AE CD⋅(2)是否存在非零实数，使得？若存在，求出的值：若不存在，请说明理λAE CD ⊥λ由(1)14(2)存在非零实数，使得23λ=AE CD⊥【分析】（1）当时，、分别是，的中点，则、12λ=D E BC AB 12AE AC CB=+ ，然后根据已知条件即可求解；1()2CD CA CB =+AE CD ⋅ （2）假设存在非零实数，使得，利用、为基底分别表示出和λAE CD ⊥ CB CA CD，AE由求出值即可．0AE CD ⋅=λ【详解】(1)解：当时，，，12λ=12AD AB = 12BE BC = 、分别是，的中点，D ∴E BC AB ，，∴12AE AC CE AC CB =+=+ 1()2CD CA CB =+∴11()()22AE CD AC CB CA CB ⋅=+⋅+ 211112244AC CA AC CB CB CA CB=⋅+⋅+⋅+；221111112cos12021cos6022244=-⨯+⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒+⨯14=(2)解：假设存在非零实数，使得，λAE CD ⊥ 由，得，AD AB λ=()AD CB CA λ=- ；∴()(1)CD CA AD CA CB CA CB CA λλλ=+=+-=+-又，BE BC λ= ；∴()()(1)AE AB BE CB CA CB CB CA λλ=+=-+-=-- ∴222(1)(1)(1)AE CD CB CB CA CB CA CA λλλλλ⋅=--⋅+-⋅-- ，解得或（不合题意，舍去）24(1)(1)(1)λλλλλ=--+---2320λλ=-+=23λ=0λ=，所以存在非零实数，使得．23λ=AE CD ⊥22．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A ，B ，C 满足1233OC OA OB=+(1)求证：A ，B ，C 三点共线，并求和值．AC CB(2)已知，，，若函数(1,cos )A x (1cos ,cos )B x x +,03x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的最小值为，求实数m 的值()223f x OA OC m AB⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭3-(1)证明见解析，2AC CB→→=(2)52【分析】(1) 化简得，进而可得的值；2BC CA = AC CB（2）先求出，再换元利用二次函数的图像和性质求实数2()cos 2cos 1f x x m x =-+的值.m 【详解】(1)由题意知，，即，32OC OA OB =+2()OC OB OA OC -=- 所以，则，为公共点，所以A ，B ，C 三点共线，2BC CA = //BC CAC 则.2AC CB= (2)易知，，，(1,cos )OA x = (1cos ,cos )OB x x =+(cos ,0)AB x →=则，，2(1cos ,cos )3OC x x →=+cos AB x=所以，2()cos 2cos 1f x x m x =-+令，cos t x =则，，其对称轴方程是.()222()211g t t mt t m m =-+=-+-1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t m =当时，的最小值为，解得（舍）；12m <()g t 15324g m ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭174m =当时，的最小值为，解得（舍）；112m ≤≤()g t ()213g m m =-=-2m =±当时，的最小值为，解得.1m >()g t (1)1213g m =-+=-52m =综上可知，实数的值为.m 52。
高一数学第一次月考试题与答案
2017-2018学年度高一数学9月月考试卷本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间120分钟。
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________分卷I一、选择题(共12小题,每小题5.0分,共60分)1.已知集合M ＝{x ∈N ＋|2x ≥x 2}，N ＝{－1,0,1,2}，则(∁R M )∩N 等于( ) A ． ∅ B ． {－1} C ． {1,2} D ． {－1,0}2.已知集合P ＝{4,5,6}，Q ＝{1,2,3}，定义P ⊕Q ＝{x |x ＝p －q ，p ∈P ，q ∈Q }，则集合P ⊕Q 的所有真子集的个数为( )A ． 32B ． 31C ． 30D ． 以上都不对3.定义A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若A ＝{1,2,4,6,8,10}，B ＝{1,4,8}，则A －B 等于( ) A ． {4,8} B ． {1,2,6,10} C ． {1} D ． {2,6,10}4.下列各组函数中，表示同一个函数的是( ) A ．y ＝x －1和y ＝B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2 D ．f (x )＝和g (x )＝5.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图像是( )A ．B ．C ．D ．6.下列三个函数：①y ＝3－x ；②y ＝；③y ＝x 2＋2x －10.其中值域为R 的函数有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 7.一次函数g (x )满足g [g (x )]＝9x ＋8，则g (x )是( ) A ．g (x )＝9x ＋8 B ．g (x )＝3x ＋8C ．g (x )＝－3x －4D ．g (x )＝3x ＋2或g (x )＝－3x －4 8.下列函数中，在[1，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝(x －2)2 B ．y ＝|x －1| C ．y ＝D ．y ＝－(x ＋1)2 9.若非空数集A ＝{x |2a ＋ ≤x ≤3a －5}，B ＝{x |3≤x ≤ }，则能使A ⊆B 成立的所有a 的集合是( ) A ． {a | ≤a ≤9} B ． {a |6≤a ≤9} C ． {a |a ≤9} D ． ∅10.若函数f (x )＝ ，， ， ，φ(x )＝， ， ， ，则当x ＜0时，f (φ(x ))为( ) A ． －x B ． －x 2C ．XD ．x 2 11.若函数f (x )＝的最小值为f (0)，则实数m 的取值范围是( )A ． [－1,2]B ． [－1,0]C ． [1,2]D ． [0,2]12.已知函数f (x )＝4x 2－kx －8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k 的取值范围是( )A． [160，＋∞) B． (－∞，40]C． (－∞，4 ]∪[ 6 ，＋∞) D． (－∞， ]∪[8 ，＋∞)分卷II二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)13.已知M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}，且M＝N，则有序实数对(a，b)的值为________．14.已知函数y＝f(x2－1)的定义域为{x|－2＜x＜3}，则函数y＝f(3x－1)的定义域为____________．15.设函数f(x)＝， ，， ，若f(f(a))＝2，则a＝_________.16.已知函数y＝f(x)的定义域为{1,2,3}，值域为{1,2,3}的子集，且满足f[f(x)]＝f(x)，则这样的函数有________个．三、解答题(共6小题,,共70分)17.（10分）用单调性的定义证明函数f(x)＝2x2＋4x在[－1，＋∞)上是增函数．18（12分）.根据下列函数解析式求f(x)．(1)已知f(x＋1)＝2x2＋5x＋2；(2)已知f＝x3＋3－1；(3)已知af(x)＋f(－x)＝bx，其中a≠± 19（12分）.已知集合A＝{x| ≤x<7}，B＝{x|3<x<10}，C＝{x|x<a}．(1)求A∪B，(∁R A)∩B；(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围．20（12分）.经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且销售量近似满足g(t)＝80－2t，价格近似满足f(t)＝20－|t－10|.(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t( ≤t≤ )的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．21（12分）.已知函数f(x)＝(x－a)2－(a2＋1)在区间[0,2]上的最大值为g(a)，最小值为h(a)(a∈R)．(1)求g(a)和h(a)；(2)作出g (a )和h (a )的图像，并分别指出g (a )的最小值和h (a )的最大值各为多少？22（12分）.已知函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，当x >1时，f (x )>0，且f (x ·y )＝f (x )＋f (y )． (1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )在定义域上是增函数；(3)如果f (3)＝－1，求满足不等式f (x )－f (x － )≥ 的x 的取值范围．2017-2018学年度高一数学9月月考试卷答案解析1.【答案】D【解析】因为M ＝{1,2}，所以(∁R M )∩N ＝{－1,0}，故正确答案为D. 2.【答案】B【解析】由所定义的运算可知P ⊕Q ＝{1,2,3,4,5}， ∴P ⊕Q 的所有真子集的个数为25－1＝31.故选B. 3.【答案】D【解析】A －B 是由所有属于A 但不属于B 的元素组成，所以A －B ＝{2,6,10}．故选D. 4.【答案】D【解析】A 中的函数定义域不同；B 中y ＝x 0的x 不能取0；C 中两函数的对应关系不同，故选D. 5.【答案】C【解析】考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是离开学校的距离，由此知，此函数图像一定是下降的，由此排除A ；再由小明骑车上学，开始时匀速行驶，可得出图像开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有一段函数图像与x轴平行，由此排除D，后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图像下降的比较快，由此可确定C正确，B不正确．故选C.6.【答案】B【解析】7.【答案】D【解析】∵g(x)为一次函数，∴设g(x)＝kx＋b，∴g[g(x)]＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kx＋b，又∵g[g(x)]＝9x＋8，∴9，8，解得3，或3，4，∴g(x)＝3x＋2或g(x)＝－3x－4.故选D.8.【答案】B【解析】y＝(x－2)2在[2，＋∞)上为增函数，在(－∞，2]为减函数；y＝|x－1|＝ ， ，，在[1，＋∞)上为增函数，故选B.9.【答案】B 10.【答案】B【解析】x＜0时，φ(x)＝－x2＜0，∴f(φ(x))＝－x2.11.【答案】D【解析】当x≤ 时，f(x)＝(x－m)2，f(x)min＝f(0)＝m2，所以对称轴x＝m≥ .当x>0时，f(x)＝x＋＋m≥ ＋m＝2＋m，当且仅当x＝，即x＝1时取等号，所以f(x)min＝2＋m.因为f(x)的最小值为m2，所以m2≤ ＋m，所以 ≤m≤ .12.【答案】C【解析】由于二次函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，因此函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上是单调函数．二次函数f(x)＝4x2－kx－8图像的对称轴方程为x＝8，因此8≤5或8≥ ，所以k≤4 或k≥ 6 .13.【答案】(0,1)或(4，)【解析】∵M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}，且M＝N，∴或即或或4当a＝0，b＝0时，集合M＝{2,0,0}不成立，∴有序实数对(a，b)的值为(0,1)或(4，)，故答案为(0,1)或(4，)．14.【答案】{x| ≤x＜3}【解析】∵函数y＝f(x2－1)的定义域为{x|－2＜x＜3}，∴－2<x<3.令g(x)＝x2－1，则－ ≤g(x)<8，故－ ≤3x－1＜8，即 ≤x＜3，∴函数y＝f(3x－1)的定义域为{x| ≤x＜3}．15.【答案】【解析】若a≤ ，则f(a)＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1>0，所以－(a2＋2a＋2)2＝2，无解；若a>0，则f(a)＝－a2<0，所以(－a2)2＋2(－a2)＋2＝2，解得a＝.故a＝.16.【答案】10【解析】∵f[f(x)]＝f(x)，∴f(x)＝x，①若f：{ , ,3}→{ , ,3}，可以有f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝3，此时只有1个函数；②若f：{ , ,3}→{ }，此时满足f(1)＝1；同理有f：{ , ,3}→{ }；f：{ , ,3}→{3}，共有3类不同的映射，因此有3个函数；③首先任选两个元素作为值域，则有3种情况．例如选出1,2，且对应关系f：{ , ,3}→{ , }，此时满足f(1)＝1，f(2)＝2.则3可以对应1或2，又有2种情况，所以共有3× ＝6个函数．综上所述，一共有1＋3＋6＝10个函数．17.【答案】设x1，x2是区间[－1，＋∞)上的任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝(2＋4x1)－(2＋4x2)＝2(－)＋4(x1－x2)＝2(x1－x2)(x1＋x2＋2)．∵－ ≤x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1＋x2＋2＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在[－1，＋∞)上是增函数．18.【答案】(1)方法一(换元法)设x＋1＝t，则x＝t－1，∴f(t)＝2(t－1)2＋5(t－1)＋2＝2t2＋t－1，∴f(x)＝2x2＋x－1.方法二(整体代入法)∵f(x＋1)＝2x2＋5x＋2＝2(x＋1)2＋(x＋1)－1，∴f(x)＝2x2＋x－1.(2)(整体代入法)∵f＝x3＋3－1＝3－3x2·－3x·－1＝3－3－1，∴f(x)＝x3－3x－1(x≥ 或x≤－2)．(3)在原式中以－x替换x，得af(－x)＋f(x)＝－bx，于是得＋ － ＝ ，－ ＋ ＝－消去f(－x)，得f(x)＝.故f(x)的解析式为f(x)＝x(a≠± )．19.【答案】(1)因为A＝{x| ≤x<7}，B＝{x|3<x<10}，所以A∪B＝{x| ≤x<10}．因为A＝{x| ≤x<7}，所以∁R A＝{x|x<2或x≥7}，则(∁R A)∩B＝{x|7≤x<10}．(2)因为A＝{x| ≤x<7}，C＝{x|x<a}，且A∩C≠∅，所以a>2.20.【答案】(1)y＝g(t)·f(t)＝(80－2t)·( －|t－10|)＝(40－t)(40－|t－10|)＝3 4 ， ，4 5 ，(2)当 ≤t＜10时，y的取值范围是[1 200,1 225]，在t＝5时，y取得最大值1 225；当 ≤t≤ 时，y的取值范围是[600,1 200]，在t＝20时，y取得最小值600.综上，第5天，日销售额y取得最大值1 225元；第20天，日销售额y取得最小值600元．21.【答案】( )∵f(x)＝(x－a)2－(a2＋1)，又x∈[ , ]，∴当a≤ 时，g(a)＝f(2)＝3－4a，h(a)＝f(0)＝－1；当0<a≤ 时，g(a)＝f(2)＝3－4a，h(a)＝f(a)＝－(a2＋1)；当1<a<2时，g(a)＝f(0)＝－1，h(a)＝f(a)＝－(a2＋1)；当a≥ 时，g(a)＝f(0)＝－1，h(a)＝f(2)＝3－4a.综上可知g(a)＝3 4h(a)＝3 4(2)g(a)和h(a)的图像分别为：由图像可知，函数y＝g(a)的最小值为－1，函数y＝h(a)的最大值为－1.【解析】22.【答案】(1)解令x＝y＝1，得f(1)＝2f(1)，故f(1)＝0.(2)证明令y＝，得f(1)＝f(x)＋f()＝0，故f()＝－f(x)．任取x1，x2∈( ，＋∞)，且x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f()＝f().由于>1，故f()>0，从而f(x2)>f(x1)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(3)解由于f(3)＝－1，而f(3)＝－f(3)，故f(3)＝1.在f(x·y)＝f(x)＋f(y)中，令x＝y＝3，得f(9)＝f(3)＋f(3)＝2.故所给不等式可化为f(x)－f(x－ )≥f(9)，∴f(x)≥f[9(x－2)]，∴x≤94.又∴ <x≤94，∴x的取值范围是94.【解析】。
江苏省平潮高级中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题
江苏省平潮高级中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题一、单选题1．sin15cos75cos15sin 75+o o o o 等于（ ）．A ．0B ．12CD ．12．设平面向量()1,2a =r ，()2,b y =-r ，若a b r r∥，则3a b +r r 等于（ ）ABC D 3．已知cos 3sin 0αα+=，则tan2α=（ ）A ．34B ．34-C ．35-D ．38-4．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则DF =u u u vA ．1324AB AD -+u u uv u u u vB ．1223AB AD +u u uv u u u vC ．1132AB AD -u u u v u u u v D ．1324AB AD -u u u v u u u v 5．已知(,)22ππα∈-，且212sin 5cos 9αα-=，则cos2=α（ ） A ．13B ．79-C ．34-D ．186．已知平面向量,a b r r 满足|||1,(2)a b a a b ==⊥+r r r r r ，则向量,a b r r的夹角为（ ）A ．3π B ．4π C ．23π D ．34π7．已知()ππ,,,tan 3,cos 22αβααβ⎛⎫∈-=+= ⎪⎝⎭()tan αβ-=（ ）A ．52-B ．12C ．2D ．1128．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆DABE V ，BEC V ，ECD V 均是边长为4的等边三角形，设点P 为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，AC BP ⋅u u u r u u u r的最大值为（ ）A ．24 B．24+C．30+ D ．48二、多选题9．下列各式中值为12的是（ ）A ．2sin 75cos75︒︒B ．23tan151tan 15-︒︒C ．cos20cos40sin200sin140︒︒+︒︒D ．tan 20tan 25tan 20tan 25︒+︒+︒︒10．已知向量()2,1a =r ，()3,1b =-r ，e r是与b r 同向的单位向量，则下列结论正确的是（ ）A ．()a b a +r r r∥B．若c =⎝⎭r ，则a c ⊥r rC ．a r 与a b -r rD ．向量a r 在向量b r 上的投影向量为12e -r 11．定义：a r ，b r 两个向量的叉乘a b ⨯r r的模sin ,a b a b a b ⨯=⋅⋅r r r r r r ，则下列命题正确的是（ ） A ．若平行四边形ABCD 的面积为4，则4AB AD ⨯=u u u r u u u rB ．在正ABC V 中，若()AD AB AC AB AC =⨯+u u u r u u u r u u u uu u u r r u ur ，则33AD BC=u u u r u u ur C．若a b ⨯=r r ，1a b ⋅=r r，则2a b +r r的最小值为D ．若1a b ⨯=r r ，2b c ⨯=r r ，且b r为单位向量，则a c ⨯r r的值可能为2+三、填空题12．sin 48cos18sin 30sin18︒-︒︒=︒.13．如图，已知菱形ABCD 的边长为1，60DAB ∠︒＝，,2DE EC DF FB ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，则AE AF ⋅=u u u r u u u r．14．已知ABC V 中，AB 边上的中线2CM =，若动点P 满足()221sin cos 2AP AB AC R θθθ=⋅+⋅∈u u u r u u u r u u u r ，则()PA PB PC +⋅u u u r u u u r u u u r 的最小值是．四、解答题15．已知(1,3),(3,),(1,),//AB BC m CD n AD BC =-==u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r． （1）求实数n 的值；（2）若AC BD ⊥u u u r u u u r，求实数m 的值．16．已知π0π2αβ<<<<，tan 24πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，sin β=.（1）求sin 3cos 2sin cos αααα+-的值；（2）求()sin 2αβ+的值.17．如图，有一壁画，最高点A 处离地面6米，最低点B 处离地面3米．若从离地高2米的C 处观赏它，视角为θ.（1）若3tan 4θ=时，求C 点到墙壁的距离． （2）当C 点离墙壁多远时，视角θ最大？18．已知向量()2cos ,sin a x x θ=r，()2sin ,cos b x x θ=-r .(1)若a b r r∥，求()cos x θ+；(2)若4πθ=，函数()[]()0,f x a b x π=⋅∈r r，求()f x 的值域.19．如图，在ABC V 中，已知1CA =，2CB =，60ACB ∠=︒，点D 是AB 上一点，满足AD AB λ=uuu r uu u r，点E 是边CB 上一点，满足BE BC λ=u u u r u u u r(1)当12λ=时，求AE CD ⋅u u u r u u u r (2)是否存在非零实数λ，使得AE CD ⊥u u u r u u u r？若存在，求出λ的值：若不存在，请说明理由。
2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试题含答案 (2)
（2）问从种植起，第几年树木生长最快？
22.对于定义在D上的函数f(x)，如果存在实数x0，使得f(x0)＝x0，那么称x0是函数f(x)的一个不动点.已知f(x)＝ax2＋1.
（1）当a＝－2时，求f(x)的不动点；
（2）若函数f(x)有两个不动点x1，x2，且x1＜2＜x2.
【答案】（1） ；（2） ．
19.已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的定义域，并判断函数 的奇偶性；
（Ⅱ）求解关于 的不等式 ．
【19题答案】
【答案】（Ⅰ）定义域为 ，函数 既不是奇函数，也不是偶函数；（Ⅱ） .
20.已知函数 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数 在区间 上 单调递增区间.
【20题答案】
A. B.
C. D.
【5题答案】
【答案】D
6. “ ”是“ ”成立的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【6题答案】
【答案】B
7.函数 的部分图象如图所示.将 图象上所有的点向右平移 个单位长度，所得图象的函数解析式是（）
A. B.
C. D.
【7题答案】
① 在区间 上是单调的；
②当定义域是 时， 的值域也是 ，则称 是函数 的一个“黄金区间”.
如果 可是函数 的一个“黄金区间“，则 的最大值为（）
A. B.1C. D.2
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9.若 为第二象限角，则下列结论正确的是（）
A B. C. D.
【9题答案】
高一数学第一次月考试题(含解析)
所以CC1⊥BC．
因为AC=BC=2， ，
所以由勾股定理的逆定理知BC⊥AC．
又因为AC∩CC1=C，
所以BC⊥平面ACC1A1．
因为AM 平面ACC1A1，
所以BC⊥AM．
(Ⅱ）过N作NP∥BB1交AB1于P，连结MP，则NP∥CC1．
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
【答案】A
【解析】
试题分析：先利用正弦定理化简 得 ，再由 可得 ，然后利用余弦定理表示出 ，把表示出的关系式分别代入即可求出 的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的值．
由 及正弦定理可得 ，
故选A．
考点：正弦、余弦定理
4.如图， 是水平放置的 的直观图，则 的面积为
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.在 中，角 的对边分别为 ，若 ，则角 的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据余弦定理得到 由特殊角的三角函数值得到角B.
【详解】根据余弦定理得到 进而得到角B= .
故答案为： .
【点睛】在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
A. 6B.
C. D. 12
【答案】D
【解析】
△OAB是直角三角形，OA＝6，OB＝4，∠AOB＝90°，∴S△OAB＝ ×6×4＝12.
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江苏省高一下学期数学第一次月考试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2018高三上·邹城期中) 已知 , ，则与的夹角为（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） (2020高一下·扬州期中) 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若
，则的形状是（）
A . 锐角三角形
B . 直角三角形
C . 钝角三角形
D . 不确定
3. （2分） (2015高二下·会宁期中) 等差数列{an}中，S10=120，那么a2+a9的值是（）
A . 12
B . 24
C . 16
D . 48
4. （2分）已知平面向量，，若，则等于（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分）(2018·吉林模拟) 若公差为的等差数列的前项和为 ,且成等比数列，则（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分） (2020高一下·河北期中) 在中，若，则的形状是（）
A . 钝角三角形
B . 直角三角形
C . 锐角三角形
D . 不能确定
7. （2分）如图，在塔底的正西方处测得塔顶的仰角为，在它的南偏东的处测得塔顶的仰角为，若的距离是，则塔高为（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分） (2016高一下·石门期末) 在△ABC中，tanA是以﹣4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tanB是以为第三项，9为第六项的等比数列公比，则这个三角形是（）
A . 钝角三角形
B . 锐角三角形
C . 等腰直角三角形
D . 以上都不对
9. （2分） (2019高二上·河南期中) 为了测量某塔的高度，某人在一条水平公路两点进行测量.在
点测得塔底在南偏西，塔顶仰角为，此人沿着南偏东方向前进10米到点，测得塔顶的仰角为，则塔的高度为（）
A . 5米
B . 10米
C . 15米
D . 20米
10. （2分） (2019高一下·淮安期末) 三条线段的长分别为5，6，8，则用这三条线段（）
A . 能组成直角三角形
B . 能组成锐角三角形
C . 能组成钝角三角形
D . 不能组成三角形
11. （2分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）
A . 直角三角形
B . 锐角三角形
C . 钝角三角形
D . 不确定
12. （2分） (2019高二上·大冶月考) 已知数列满足，，则
（）.
A . 9
B . 15
C . 18
D . 30
二、填空题 (共4题；共5分)
13. （1分） (2020高一下·陕西月考) 在中，，，，则的面积等于________.
14. （1分） (2020高一上·苏州期末) 已知 A(2,−3),B(8,3)，若，则点 C 的坐标为________.
15. （1分）(2018·淮南模拟) 若数列为等差数列，为其前项和，且，则
________
16. （2分）(2019·四川模拟) 在体积为的四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，侧棱底面ABCD ，其中，，，则线段BC的长度为________．
三、解答题 (共6题；共62分)
17. （10分） (2020高二下·海安月考) 已知等差数列的前n项和为．
（1）求的通项公式；
（2）数列满足为数列的前n项和，是否存在正整数m ，，使得 ?若存在，求出m ， k的值；若不存在，请说明理由．
18. （10分） (2019高二下·镇海期末) 已知在△ABC中，|AB|＝1，|AC|＝2．
（Ⅰ）若∠BAC的平分线与边BC交于点D，求；
（Ⅱ）若点E为BC的中点，当取最小值时，求△ABC的面积．
19. （10分） (2019高一上·金华期末) 设平面向量，， . （1）求的值；
（2）若，求的值.
20. （2分） (2020高二上·舒城开学考) 已知分别为三个内角的对边，
.
（1）求A的大小；
（2）若a= 7，求的周长的取值范围．
21. （15分）(2017·芜湖模拟) 设等差数列{an}的前n项和为Sn ，若S9=81，a3+a5=14．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn= ，若{bn}的前n项和为Tn ，证明：Tn＜．
22. （15分） (2018高三上·重庆期末) 已知数列满足：。
（I）求证：为等差数列；
（II）设，求数列的前项和。
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
答案：1-1、
考点：
解析：
答案：2-1、
考点：
解析：
答案：3-1、
考点：
解析：
答案：4-1、考点：
解析：
答案：5-1、考点：
解析：
答案：6-1、考点：
解析：
答案：7-1、考点：
解析：
答案：8-1、考点：
解析：
答案：9-1、考点：
解析：
答案：10-1、考点：
解析：
答案：11-1、
考点：
解析：
答案：12-1、
考点：
解析：
二、填空题 (共4题；共5分)
答案：13-1、考点：
解析：
答案：14-1、考点：
解析：
答案：15-1、考点：
解析：
答案：16-1、考点：
解析：
三、解答题 (共6题；共62分)
答案：17-1、
答案：17-2、
考点：解析：
答案：18-1、考点：
解析：
答案：19-1、
答案：19-2、考点：
解析：
答案：20-1、答案：20-2、
考点：
解析：
答案：21-1、
答案：21-2、考点：
解析：
答案：22-1、考点：
解析：。