江苏省高一下学期期末考试(数学)
江苏省苏州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试 数学含答案
苏州市2023~2024学年第二学期学业质量阳光指标调研卷高一数学（答案在最后）2024.6注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）､多项选择题（第9题~第11题）､填空题（第12题~第14题）､解答题（第15题~第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名､调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位，已知复数11i z =+，则||z =（）A.12B.2C.D.22.sin164sin 44cos16sin 46-= （）A.12-B.2C.12D.23.某射击运动员射击6次，命中的环数如下：7，9，6，9，10，7，则关于这组数据的说法正确的是（）A.极差为10B.中位数为7.5C.平均数为8.5D.4.某科研单位对ChatGPT 的使用情况进行满意度调查，在一批用户的有效问卷（用户打分在50分到100分之间的问卷）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，估计这批用户问卷的得分的第75百分位数为（）A.78.5B.82.5C.85D.87.55.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若6b =，2c =，60B =︒，则A =（）A.45︒B.60︒C.75︒D.105︒6.已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若//l m ，//l α，//m β，则//αβB.若l m ⊥，l α⊥，//m β，则//αβC.若//αβ，l ⊂α，m β⊂，则//l mD.若l m ⊥，l α⊥，m β⊥，则αβ⊥7.在ABC 中，已知2cos 2cos 22cos A B C +=，则ABC 的形状一定为（）A .等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形8.长篇评弹《玉蜻蜓》在江南可谓家喻户晓，是苏州评弹的一颗明珠.为了让更多年轻人走近评弹､爱上经典，苏州市评弹团在保留原本精髓的基础上，打造了《玉蜻蜓》精简版，将长篇压缩至三场，分别是《子归》篇､《认母》篇､《归宗》篇.某班级开展对《玉蜻蜓》的研究，现有三位学生随机从三篇中任意选一篇研究，记“三人都没选择《子归》篇”为事件M ，“至少有两人选择的篇目一样”为事件N ，则下列说法正确的是（）A.M 与N 互斥B.()()P M P MN = C.M 与N 相互独立D.()()1P M P N +<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数2()sin 2233f x x x =+-，则（）A.()f x 的最小正周期为2π B.()2f x ≥-C.()f x 的图象关于直线π6x=对称 D.()f x 在区间π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增10.已知复数1z ，2z ，3z ，则下列说法正确的有（）A.1212||||||z z z z = B.若120z z ->，则12z z >C.若120z z =，则1212||||z z z z -=+ D.若1213z z z z =且10z ≠，则23z z =11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G ，H 分别为AB ，1CC ，11A D ，1DD 的中点，则（）A.1B D ⊥平面EFGB.//AH 平面EFGC.点1B ，D 到平面EFG 的距离相等D.平面EFG 截该正方体所得截面的面积为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设向量(1,3)m = ，(4,2)n =- ，p m n λ=+，若m p ⊥ ，则实数λ的值为___________.13.在直角三角形ABC 中，已知CH 为斜边AB 上的高，AC =2BC =，现将BCH V 沿着CH 折起，使得点B 到达点B '，且平面B CH '⊥平面ACH ，则三棱锥B ACH '-的外接球的表面积为___________.14.在ABC 中，已知cos 21sin 2cos 212C C C =++，则3sin 2sin A B +的最大值为___________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E ，F ，G 分别为线段AD ，BC ，PB 的中点.（1）求证：AG ⊥平面PBC ；（2）求证：//PE 平面AFG .16.一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球.设事件A =“第一次摸到红球”，B =“第二次摸到黑球”，C =“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”.（1）用数组()12,x x 表示可能的结果，1x 是第一次摸到的球的标号，2x 是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间Ω；（2）分别求事件A ，B ，C 发生的概率；（3）求事件A ，B ，C 中至少有一个发生的概率.17.如图，在平面四边形ABCD 中，已知AC 与BD 交于点E ，且E 是线段BD 的中点，BCE 是边长为1的等边三角形.（1）若sin 14ABD ∠=，求线段AE 的长；（2）若:AB AD =AE BD <，求sin ADC ∠.18.如图，在平行四边形ABCD 中，已知3A π=，2AB =，1AD =，E 为线段AB 的中点，F 为线段BC 上的动点（不含端点）.记BF mBC =.（1）若12m =，求线段EF 的长；（2）若14m =，设AB xCE yDF =+ ，求实数x 和y 的值；（3）若CE 与DF 交于点G ，AG EF ∥，求向量GE 与GF的夹角的余弦值.19.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知侧面11CDD C 为矩形，60BAD ABC ∠=∠=︒，3AB =，2AD =，1BC =，1AA =，12AE EA =uu u r uuu r ，2AF FB = .（1）求证：平面DEF 平面1A BC ；（2）求证：平面11ADD A ⊥平面ABCD ；（3）若三棱锥1E A BC -的体积为33，求平面1A BC 与平面ABCD 的夹角的余弦值.苏州市2023~2024学年第二学期学业质量阳光指标调研卷高一数学2024.6注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）､多项选择题（第9题~第11题）､填空题（第12题~第14题）､解答题（第15题~第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名､调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位，已知复数11i z =+，则||z =（）A.12B.2C.D.2【答案】B 【解析】【分析】利用复数的商的运算法则求得z ，进而可求||z .【详解】11i 1i 1i 1i (1i)(21i)z --====-++-，则2||2z ==.故选：B .2.sin164sin 44cos16sin 46-= （）A.12-B. C.12D.32【解析】【分析】利用诱导公式与两角差的正弦公式化简求值.【详解】()()sin164sin 44cos16sin 46sin 18016sin 9046cos16sin 46-=---()1sin16cos 46cos16sin 46sin 1646sin 302=-=-=-=-.故选：A.3.某射击运动员射击6次，命中的环数如下：7，9，6，9，10，7，则关于这组数据的说法正确的是（）A.极差为10B.中位数为7.5C.平均数为8.5D.【答案】D 【解析】【分析】利用极差、中位数、平均数、标准差的定义，根据条件逐一对各个选项分析判断即可得出结果.【详解】某射击运动员射击6次，命中的环数从小到大排列如下：6，7，7，9，9，10，对A ，极差为1064-=，故A 错误；对B ，中位数为7982+=，故B 错误；对C ，平均数为677991086+++++=，故C 错误；对D ，标准差为=，故D 正确.故选：D4.某科研单位对ChatGPT 的使用情况进行满意度调查，在一批用户的有效问卷（用户打分在50分到100分之间的问卷）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，估计这批用户问卷的得分的第75百分位数为（）A.78.5B.82.5C.85D.87.5【答案】B【分析】根据百分位数计算规则计算可得.【详解】因为()0.010.0250.035100.70.75++⨯=<，()0.010.0250.0350.02100.90.75+++⨯=>，所以第75百分位数位于[)80,90，设为x ，则()()0.010.0250.035100.02800.75x ++⨯+-=，解得82.5x =.故选：B5.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若b =，2c =，60B =︒，则A =（）A.45︒B.60︒C.75︒D.105︒【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理求出C ，即可求出A .【详解】由正弦定理sin sin c b C B=，则32sin 22sin 2c B C b ⨯===，又c b <，所以60C B <=︒，所以45C =︒，所以180604575A =︒-︒-︒=︒.故选：C6.已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若//l m ，//l α，//m β，则//αβB.若l m ⊥，l α⊥，//m β，则//αβC.若//αβ，l ⊂α，m β⊂，则//l mD.若l m ⊥，l α⊥，m β⊥，则αβ⊥【答案】D 【解析】【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可.【详解】对于A ：若//l m ，//l α，则//m α或m α⊂，又//m β，则//αβ或α与β相交，故A 错误；对于B ：若l m ⊥，l α⊥，则//m α或m α⊂，又//m β，则//αβ或α与β相交，故B 错误；对于C ：若//αβ，l ⊂α，则//l β，又m β⊂，则l 与m 平行或异面，故C 错误；对于D ：若l m ⊥，l α⊥，则//m α或m α⊂，若//m α，则在平面α内存在直线c ，使得//m c ，又m β⊥，则c β⊥，又c α⊂，所以αβ⊥；若m α⊂，又m β⊥，所以αβ⊥；综上可得，由l m ⊥，l α⊥，m β⊥，可得αβ⊥，故D 正确.故选：D7.在ABC 中，已知2cos 2cos 22cos A B C +=，则ABC 的形状一定为（）A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形【答案】C 【解析】【分析】利用二倍角公式及正弦定理将角化边，即可判断.【详解】因为2cos 2cos 22cos A B C +=，所以22212sin 12sin 22sin A B C -+-=-，所以222sin sin sin A B C +=，由正弦定理可得222+=a b c ，所以ABC 为直角三角形.故选：C8.长篇评弹《玉蜻蜓》在江南可谓家喻户晓，是苏州评弹的一颗明珠.为了让更多年轻人走近评弹､爱上经典，苏州市评弹团在保留原本精髓的基础上，打造了《玉蜻蜓》精简版，将长篇压缩至三场，分别是《子归》篇､《认母》篇､《归宗》篇.某班级开展对《玉蜻蜓》的研究，现有三位学生随机从三篇中任意选一篇研究，记“三人都没选择《子归》篇”为事件M ，“至少有两人选择的篇目一样”为事件N ，则下列说法正确的是（）A.M 与N 互斥B.()()P M P MN = C.M 与N 相互独立D.()()1P M P N +<【答案】B 【解析】【分析】计算事件M 和事件N 的概率，由互斥事件的性质和相互独立事件的定义，对选项进行判断即可.【详解】三个人随机选三篇文章研究，样本空间共33327⨯⨯=种，事件M ：“三人都没选择《子归》篇”共有：2228⨯⨯=，所以()827P M =，事件N ：“至少有两人选择的篇目一样”共有27621-=种，所以()1272P N =，()()1P M P N +>，所以M 与N 不互斥，A 错误，D 错误；事件MN 共有2338++=种，所以()782P MN =，B 正确；因为()()()P MN P M P N ≠，所以C 错误.故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数2()sin 2f x x x =+-，则（）A.()f x 的最小正周期为2π B.()2f x ≥-C.()f x 的图象关于直线π6x =对称 D.()f x 在区间π,04⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增【答案】BD 【解析】【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，在根据正弦函数的性质计算可得.【详解】因为2()sin 2sin 22f x x x x x=+=+132sin 2cos 222x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故A 错误；因为π1sin 213⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭x ，所以()2f x ≥-，故B 正确；因为πππ2sin 2663f ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于直线π6x =对称，故C 错误；当π,04x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则,ππ233π6x ⎛⎫-∈ ⎝+⎪⎭，又sin y x =在ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在区间π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故D 正确.故选：BD10.已知复数1z ，2z ，3z ，则下列说法正确的有（）A .1212||||||z z z z = B.若120z z ->，则12z z >C.若120z z =，则1212||||z z z z -=+ D.若1213z z z z =且10z ≠，则23z z =【答案】ACD 【解析】【分析】A 项，表达出12||z z 和12||||z z ，即可得出相等；B 项，作出示意图即可得出结论；C 项，写出12||z z -和12||z z +的表达式，利用120z z =得出两复数的实部和虚部的关系，即可得出结论；D 项，对1213z z z z =进行化简即可得出结论.【详解】由题意，设12i,i,,,,Rz a b z c d a b c d =+=+∈A 项，()()()12i i i z z a b c d ac bd bc ad =++=-++=12z z ==∴1212||||||z z z z =,A 正确；B 项，当120z z ->时，若两复数是虚数1z ，2z 不能比较大小，B 错误；C 项，()()1212i,i z z a c b d z z a c b d -=-+-+=+++，12z z -==12z z +==，当120z z =时，12120z z z z ==0=，∴0,0a b ==，,c d 任取，或0,0c d ==，,a b 任取，即12,z z 至少有一个为0∴1212z z z z -=+=（其中至少有两项为0），C 正确；D 项，∵1213z z z z =，∴()1230z z z -=，∵10z ≠，∴230z z -=，即23z z =，D 正确；故选：ACD.11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G ，H 分别为AB ，1CC ，11A D ，1DD 的中点，则（）A.1B D ⊥平面EFGB.//AH 平面EFGC.点1B ，D 到平面EFG 的距离相等D.平面EFG 截该正方体所得截面的面积为【答案】ACD 【解析】【分析】取BC 的中点L ，11C D 的中点K ，1AA 的中点M ，即可得到正六边形LEMGKF 为平面EFG 截该正方体所得截面，求出截面面积，即可判断D ；根据线面垂直的判定定理说明A ，证明1//AD 平面EFG ，即可说明B ，根据正方体的性质判断D.【详解】如图，取BC 的中点L ，11C D 的中点K ，1AA 的中点M ，连接GK 、KF 、FL 、LE 、EM 、MG 、11A C 、MF 、AC 、1AD ，则11//GK A C ，//EL AC ，11////A C AC MF ，所以//GK MF ，所以G 、K 、F 、M 四点共面，又//EL MF ，所以L 、E 、F 、M 四点共面，同理可证//KF ME ，所以K 、E 、F 、M 四点共面，正六边形LEMGKF 为平面EFG 截该正方体所得截面，又12EL AC ===，所以216sin 602LEMGKF S =⨯⨯⨯︒=D 正确；因为AC ⊥平面11DBB D ，1DB ⊂平面11DBB D ，所以1AC DB ⊥，则1EL DB ⊥同理可证1FL DB ⊥，又EL FL L = ，,EL FL ⊂平面LEMGKF ，所以1DB ⊥平面LEMGKF ，即1B D ⊥平面EFG ，故A 正确；因为1//GM AD ，GM ⊂平面LEMGKF ，1AD ⊄平面LEMGKF ，所以1//AD 平面LEMGKF ，即1//AD 平面EFG ，又1AH AD A = ，1,AH AD ⊂平面11AD A A ，平面EFG ⋂平面11AD A A GM =，所以AH 不平行平面EFG ，故B 错误；设O 为正方体的中心，即O 为1DB 的中点，根据正方体的性质可知1EF DB O = ，即1DB 交平面LEMGKF 于点O ，所以点1B ，D 到平面LEMGKF 的距离相等，即点1B ，D 到平面EFG 的距离相等，故D 正确.故选：ACD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设向量(1,3)m = ，(4,2)n =- ，p m n λ=+，若m p ⊥ ，则实数λ的值为___________.【答案】15##0.2【解析】【分析】求出p，利用m p ⊥ ，即可求出实数λ的值.【详解】由题意，(1,3)m = ，(4,2)n =- ，p m n λ=+，∴()4,32p λλ=+-∵m p ⊥ ，∴()()143320λλ⨯++-=，解得：15λ=，故答案为：15.13.在直角三角形ABC 中，已知CH 为斜边AB 上的高，AC =2BC =，现将BCH V 沿着CH 折起，使得点B 到达点B '，且平面B CH '⊥平面ACH ，则三棱锥B ACH '-的外接球的表面积为___________.【答案】13π【解析】【分析】证明,,HA HB HC '两两垂直，由,,HA HB HC '的边长，求出外接球半径，求表面积即可.【详解】直角三角形ABC 中，AC =2BC =，则斜边4AB =，30A = ，CH 为斜边AB 上的高，则CH =3AH =，1HB =，平面B CH '⊥平面ACH ，平面B CH ' 平面ACH CH =，B H CH '⊥，B H '⊂平面B CH '，则B H '⊥平面ACH ，又AH CH ⊥，所以,,HA HB HC '两两垂直，HC =3HA =，1HB '=，则三棱锥B ACH '-的外接球半径1322R ==，所以三棱锥B ACH '-的外接球表面积为24π13πS R ==.故答案为：13π.14.在ABC 中，已知cos 21sin 2cos 212C C C =++，则3sin 2sin A B +的最大值为___________.【解析】【分析】利用二倍角公式化简，即可求出C ，从而得到π3A B +=，从而将3sin 2sin A B +转化为A 的三角函数，再利用辅助角公式计算可得.【详解】因为cos 21sin 2cos 212C C C +=++，所以222cos sin 12sin cos 2cos 112C C C C C -+=+-+，即()()()cos sin cos sin 132cos cos sin 2C C C C C C C -+=+，所以cos sin 1113tan 2cos 222C C C C -=-=，所以tan C =，又()0,πC ∈，所以2π3C =，则π3A B +=，所以π3sin 2sin 3sin 2sin 3A B A A ⎛⎫+=+-⎪⎝⎭()ππ3sin 2sin cos 2cos sin 2sin33A A A A A A ϕ=+-==+，取ϕ为锐角，其中sinϕ=，cos ϕ=1sin 2ϕ=>，所以π6ϕ>，所以当π2A ϕ+=时3sin 2sin AB +.【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出C 的值，从而将3sin 2sin A B +转化为A 的三角函数，结合辅助角公式求出最大值.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E ，F ，G 分别为线段AD ，BC ，PB 的中点.（1）求证：AG ⊥平面PBC ；（2）求证：//PE 平面AFG .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先证BC ⊥平面PAB ，有BC AG ⊥，再由AG PB ⊥，可证AG ⊥平面PBC ；（2）连接BE 交AF于点H ，由AHE FHB ≅ ，得H 为BE 中点，可得//GH PE ，线面平行的判定定理得//PE 平面AFG .【小问1详解】底面ABCD 为矩形，所以BC AB ⊥，PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，则PA BC ⊥，AB PA A = ，,AB PA ⊂平面PAB ，则BC ⊥平面PAB ，AG ⊂平面PAB ，所以BC AG ⊥，又PA AB =，G 为PB 中点，则AG PB ⊥，,BC PB ⊂平面PBC ，BC PB B = ，所以AG ⊥平面PBC .【小问2详解】连接BE 交AF 于点H ，连接GH ，由四边形ABCD 为矩形，,E F 分别为,AD BC 中点，所以AHE FHB ≅ ，则BH HE =，即H 为BE 中点，又因为G 为BP 中点，有//GH PE ，GH Ì平面AFG ，PE ⊄平面AFG ，所以//PE 平面AFG .16.一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球.设事件A =“第一次摸到红球”，B =“第二次摸到黑球”，C =“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”.（1）用数组()12,x x 表示可能的结果，1x 是第一次摸到的球的标号，2x 是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间Ω；（2）分别求事件A ，B ，C 发生的概率；（3）求事件A ，B ，C 中至少有一个发生的概率.【答案】（1）()()()()()()()()()()()(){}Ω1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3=（2）()12P A =，()14P B =，()13P C =（3）()34P A B C ⋃⋃=【解析】【分析】（1）根据事件的定义列出样本空间即可；（2）根据古典概型概率计算公式计算即可；（3）根据古典概型概率计算公式计算即可.【小问1详解】样本空间()()()()()()()()()()()(){}Ω1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3=，Ω共有12个基本事件；【小问2详解】事件A 的基本事件为：()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4共6个基本事件，所以()12P A =，事件B 的基本事件为：()()(){}1,3,2,3,4,3共3个基本事件，所以()14P B =，事件C 的基本事件为：()()()(){}1,42,4,4,1,4,2共4个基本事件，所以()13P C =，【小问3详解】事件A ，B ，C 中至少有一个发生的基本事件为：()()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,44,1,4,2,4,3共9个基本事件，所以()34P A B C ⋃⋃=.17.如图，在平面四边形ABCD 中，已知AC 与BD 交于点E ，且E 是线段BD 的中点，BCE 是边长为1的等边三角形.（1）若sin 14ABD ∠=，求线段AE 的长；（2）若:AB AD =AE BD <，求sin ADC ∠.【答案】（1）12（2）7【解析】【分析】（1）由sin 14ABD ∠=，有cos 14ABD ∠=，又120AEB ∠= ，AEB △中，()sin sin BAE AEB ABD ∠=∠+∠，求值后由正弦定理求线段AE 的长；（2）在AED △和AEB △中，余弦定理得22222AB AD AE +=+，又:AB AD =解得13AE =，在ACD 中，由余弦定理求cos ADC ∠，再得sin ADC ∠.【小问1详解】因为BCE 为等边三角形，所以120AEB ∠= ，又sin 14ABD ∠=，所以cos 14ABD ∠=，在AEB △中，()()sin sin 180sin BAE AEB ABD AEB ABD ⎡⎤∠=-∠+∠=∠+∠⎣⎦，所以21sin sin cos cos sin 7BAE AEB ABD AEB ABD ∠=∠∠+∠∠=，由正弦定理得sin sin AE BEABD BAE =∠∠，21sin 114sin 2217BE ABD AE BAE ⋅∠===∠.【小问2详解】()cos cos 180cos AED AEB AEB ∠=-∠=-∠ ，1DE BE ==，在AED △中，由余弦定理，2222cos AD AE DE AE DE AED =+-⋅⋅∠，在AEB △中，由余弦定理，2222cos AB AE BE AE BE AEB =+-⋅⋅∠两式相加得222222222AB AD AE DE BE AE +=++=+，因为:AB AD =，所以设AB =，AD =，则AE =，在AEB △中，120AEB ∠= ，由余弦定理得，2222cos AB AE BE AE BE AEB =+-⋅⋅∠，得2211310112m m ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭，化简得23m =由0m >，解得1m =或13m =，当1m =时，3AE BD =>，不合题意，舍去；当13m =时，13AE BD =<，符合题意，所以13AE =，43AC AE EC =+=，73AD ==，在DCE △中，1CE DE ==，120DEC ︒=∠，可得CD =，在ACD中，由余弦定理，222cos 2AD CD AC ADC AD CD+-∠==⋅，所以sin 7ADC ∠=.18.如图，在平行四边形ABCD 中，已知3A π=，2AB =，1AD =，E 为线段AB 的中点，F 为线段BC 上的动点（不含端点）.记BF mBC =.（1）若12m =，求线段EF 的长；（2）若14m =，设AB xCE yDF =+ ，求实数x 和y 的值；（3）若CE 与DF 交于点G ，AG EF ∥，求向量GE 与GF的夹角的余弦值.【答案】（1）2（2）68,1111x y =-=（3）7-【解析】【分析】（1）由向量的线性运算可得1122EF AD AB =+，两边平方可求解；（2）由已知可得34DF DC CF AB AD =+=- ，12CE CB BE AD AB =+=--，可得结论；（3）利用向量的线性关系可得1255GE AB AD =-- ，933510GF AD AB =-+，计算可得结论.【小问1详解】若12m =，则1122BF BC AD == ，12BE AB =-，所以1122EF BF BE AD AB =-=+ ，两边平方可得22222211117()(2)(12122)44424EF AD AB AD AD AB AB =+=++=+⨯⨯⨯+= ，所以2EF =；【小问2详解】若14m =，则1144BF BC AD == ，所以34CF AD =-，34DF DC CF AB AD =+=- ①，12CE CB BE AD AB =+=-- ②，由①②可得681111AB CE DF =-+；【小问3详解】1122EF EB BF AB mBC AB mAD =+=+=+，1122EC EB BC AB BC AB AD =+=+=+ ，设2EG EC AB AD λλλ==+ ，又122AG AE EG AE AB AD AB AD λλλλ+=+=++=+，又AG EF ∥，所以1212m λλ=+①，由EG EC λ= ，可得GE CE λ= ，所以CE CG CE λ-=，所以(1)CG CE λ=- ，所以11(1)(1)()(1)22CG CE AB BC CB CD λλλλ-=-=---=-+ ，由BF mBC = ，可得(1)CF m CB =- ，11CB CF m=-所以11(1)12CG CE CF CD m λλλ--=-=+-，又,,D F G 三点共线，所以11112m λλ--+=-②，联立①②解11,23m λ==，所以1142EG AB AD =+ ，所以1142GE AB AD =--，111111242424CG CB CD BC DC AD AB =+=--=-- ，21111(32464GF CF CG AD AD AB AD AB =-=----=-+ ），所以2211111111····64422412168GE GF AD AB AB AD AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫=-+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111112412484=+--=-，又2222111111113()4216444444GE AB AD AB AB AD AD =--=++=++=，所以||2GE =，同理可得||6GF = ，所以1214cos ,726GE GF -==-.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是用基底表示向量后，求向量模或者夹角就可以利用公式直接计算.19.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知侧面11CDD C 为矩形，60BAD ABC ∠=∠=︒，3AB =，2AD =，1BC =，1AA =，12AE EA =uu u r uuu r ，2AF FB =.（1）求证：平面DEF 平面1A BC ；（2）求证：平面11ADD A ⊥平面ABCD ；（3）若三棱锥1E A BC -的体积为3，求平面1A BC 与平面ABCD 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）19或7.【解析】【分析】（1）由已知可得//EF 平面1A BC ，//DF 平面1A BC ，从而可证结论；（2）由余弦定理可得23DC =，从而可证AD CD ⊥，进而结合已知可证CD ⊥平面11ADD A ，可证结论；（3）延长,AD BC 交于N ，过1A 作1A M AD ⊥于M ，过M 作MH BN ⊥于H ，连接1A H ，可得1A HM ∠为平面1A BC 与平面ABCD 所成二面角的平面角，求解即可.【小问1详解】因为12AE EA =uu u r uuu r ，2AF FB = ，所以1EF A B ∥，又1A B ⊂平面1A BC ，EF ⊄平面1A BC ，所以//EF 平面1A BC ，2AF FB = ，3AB =，可得2AF =，又2AD =，60BAD ∠=︒，所以ADF △是等边三角形，所以2DF =，60AFD ∠=︒，又60ABC ∠=︒，所以DF BC ∥，又BC ⊂平面1A BC ，DF ⊄平面1A BC ，//DF 平面1A BC ，又DF EF F = ，又,DF EF ⊂平面DEF ，所以平面DEF 平面1A BC ；【小问2详解】由侧面11CDD C 为矩形，可得1CD DD ⊥，连接CF ，可得BCF △是等边三角形，所以60BFC ∠=︒，所以60DFC ∠=︒，又2DF =，1CF =，由余弦定理可得22211221232DC =+-⨯⨯⨯=，所以222DC CF DF +=，所以90FCD ∠=︒，所以30FDC ∠=︒，所以90ADC ∠=︒，所以AD CD ⊥，又1AD DD D = ，1,AD DD ⊂平面11ADD A ，所以CD ⊥平面11ADD A ，又CD ⊂平面ABCD ，所以平面11ADD A ⊥平面ABCD ；【小问3详解】延长,AD BC 交于N ，可得ABN 是等边三角形，过1A 作1A M AD ⊥于M ，由（1）可知//EF 平面1A BC ，所以三棱锥1E A BC -的体积即为三棱锥1F A BC -的体积，又三棱锥1F A BC -的体积等于三棱锥1A BCF -的体积，由（2）可知平面11ADD A ⊥平面ABCD ，且两平面的交线为AD ，所以AM ⊥平面ABCD ，所以111111331133223B F BCF A C V S A M A M -==⨯⨯⨯⨯= ，解得14A M =，过M 作MH BN ⊥于H ，连接1A H ，AM ⊥平面ABCD ，BN ⊂平面ABCD ，所以AM BN ⊥，又1HM A M M ⋂=，1,HM A M ⊂平面1A MH ，所以BN ⊥平面1A MH ，又1A H ⊂平面1A MH ，1BN A H ⊥，所以1A HM ∠为平面1A BC 与平面ABCD 所成二面角的平面角，若12A AD π∠<，则点M 在线段AD 上，且为AD 中点，又117AA =，由勾股定理可得1AM =，所以2MN =，所以3MH =131619A H =+=，所以1357cos 1919A HM ∠==，所以平面1A BC 与平面ABCD 的夹角的余弦值为5719；若12A AD π∠>，则点M 在线段DA 延长线上，此时13,7MH A H ==，11321cos 727MH A HM A H ∠===.。
2022-2023学年江苏省徐州市高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省徐州市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z 满足z （1+i ）＝5+i ，则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，则两次掷出的点数之和为6的概率为（ ） A ．19B ．536C ．16D ．7363．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ⊂α B ．若m ，n 与α所成的角相等，则m ∥n C ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βD ．若m ∥n ，n ⊥β，m ⊂α，则α⊥β4．有一组样本数据，x 1，x 2，…，x n ，其平均数为a ，中位数为b ，方差为c ，极差为d ．由这组数据得到新样本数据，y 1，y 2，…，y n ，其中y i ＝2x i +8（i ＝1，2，…，n ），则新样本数据的（ ） A ．样本平均数为2a B ．样本中位数为2b C ．样本方差为4cD ．样本极差为2d +85．已知向量a →，b →的夹角为π3，若(a →−b →)⊥a →，则向量a →在向量b →上的投影向量为（ ） A ．14b →B ．12b →C ．√32b →D ．b →6．已知sin(α+π3)+sinα=√33，则sin(2α−π6)的值是（ ）A ．79B ．−79C ．29D ．−297．如图，一种工业部件是由一个圆台挖去一个圆锥所制成的．已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，且圆台的母线与底面所成的角为π3，圆锥的底面是圆台的上底面，顶点在圆台的下底面上，则该工业部件的体积为（ ）A ．2√3πB ．16√3πC ．7√3π3D ．56√33π8．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a cos B ﹣b cos A ＝b ，则b a+c的取值范围是（ ）A ．(√33，√22)B ．(2−√3，1)C ．(2−√3，√2−1)D ．(√2+1，√3+2)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022-2023学年江苏省盐城市高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省盐城市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合M ＝{x |sin x ＝1}，N ＝{x |cos x ＝0}，则下列说法正确的是（ ） A ．M ＝N B ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ，N 关系不确定2．在△ABC 中，已知a =√2，b =√3，B ＝60°，则角A 等于（ ） A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．60°或120°3．已知一组样本数据x 1，x 2，…，x n （n ∈N *）的均值和方差分别为2和0.25，则3x 1+2，3x 2+2，…，3x n +2的均值和方差分别为（ ） A ．6和0.75B ．8和0.75C ．8和2.25D ．6和2.254．函数f(x)=lnx −1x的零点为x 0，且x 0∈[k ，k +1），k ∈Z ，则k 的值为（ ） A ．1B ．2C ．0D ．35．已知△ABC 中，点M 是线段BC 的中点，N 是线段AM 的中点，则向量BN →为（ ）A ．BN →=12AC →−32AB →B ．BN →=14AC →+34AB →C ．BN →=12AC →−34AB →D ．BN →=14AC →−34AB →6．欧拉公式e i θ＝cos θ+i sin θ（e 为自然对数的底数，i 为虚数单位）由瑞士数学家Euler （欧拉）首先发现．它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则下列运算一定正确的是（ ）A ．（cos θ1+i sin θ1）（cos θ2+i sin θ2）＝cos θ1cos θ2﹣sin θ1sin θ2B ．（cos θ1+i sin θ1）（cos θ2+i sin θ2）＝cos （θ1•θ2）+i sin （θ1•θ2）C ．（cos θ1+i sin θ1）（cos θ2+i sin θ2）＝cos （θ1+θ2）+i sin （θ1+θ2）D ．（cos θ1+i sin θ1）（cos θ2+i sin θ2）＝cos θ1cos θ2+sin θ1sin θ27．已知a ＝sin49°，b ＝cos42°，c ＝tan50°，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a8．柯西不等式是数学家柯西（Cauchy ）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量a →=（x 1，y 1），b →=（x 2，y 2），由|a →⋅b →|≤|a →||b →|得到(x 1x 2+y 1y 2)2≤(x 12+y 12)(x 22+y 22)，当且仅当x 1y 2＝x 2y 1时取等号．现已知a ≥0，b ≥0，a +b ＝5，则√2a +2+√b +3的最大值为（ ） A ．18B ．9C ．2√3D ．3√3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022-2023学年江苏省南京市高一下学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省南京市高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知()()cos15,sin15,cos 75,sin 75OA OB =︒︒=︒︒，则AB =A ．2B ．3C ．2D ．1【答案】D 【详解】()()()()22cos 75cos15,sin 75sin15cos 75cos15sin 75sin1522cos 7515211AB =--=-+-=--=-=.故选D .2．平面α与平面β平行的充分条件可以是（）A ．α内有无穷多条直线都与β平行；B ．直线a α⊂，直线b β⊂，且b a αβ, ；C ．直线,a a αβ∥∥，且直线a 不在α内，也不在β内；D ．α内的任何一条直线都与β平行.【答案】D【分析】由直线与平面、平面与平面的位置关系结合充分条件的概念依次判断即可.【详解】对于A ，α内有无穷多条直线都与β平行，推不出平面α与平面β平行，平面α与平面β可以相交，A 错误；对于B ，推不出平面α与平面β平行，平面α与平面β也可以相交，B 错误；对于C ，推不出平面α与平面β平行，平面α与平面β也可以相交，C 错误；对于D ，由面面平行的定义知能推出平面α与平面β平行，D 正确.故选：D3．i 为虚数单位，则32i -满足的方程是（）A ．26130x x --=B ．26130x x ++=C ．26130x x +-=D ．26130x x -+=【答案】D【分析】根据实系数一元二次方程根与系数关系进行求解即可.【详解】四个选项中的方程是实数系一元二次方程，所以可知32i -是实系数一元二次方程的根，因此32i +也是该实系数一元二次方程的根，而()()32i+3+2i 6,32i 3+2i 9413-=-=+=，因此选项D 符合，故选：D4．设D 为ABC 所在平面内一点，3CD BD =，则（）A ．1433AD AB AC=-+B ．3122AD AB AC =-C ．3212AD AB AC =-+D ．4133AD AB AC=- 【答案】B【分析】根据3CD BD =，可推得12BD CB =，利用向量的加减运算，可求得答案.【详解】由3CD BD =可得2CD BD BD -=，即12BD CB =,故1131=+=+=+()=2222AD AB BD AB CB AB AB AC AB AC --,故选：B二、多选题5．近年来，我国人口老龄化持续加剧，为改善人口结构，保障国民经济可持续发展，国家出台了一系列政策，如2016年起实施全面两孩生育政策，2021年起实施三孩生育政策等．根据下方的统计图，下列结论正确的是（）2010至2022年我国新生儿数量折线图A ．2010至2022年每年新生儿数量的平均数高于1400万B ．2010至2022年每年新生儿数量的第一四分位数低于1400万C ．2015至2022年每年新生儿数量呈现先增加后下降的变化趋势D ．2010至2016年每年新生儿数量的方差大于2016至2022年每年新生儿数量的方差【答案】AC【分析】根据折线图逐项进行分析验证即可求解.【详解】对于A ，由折线图可知：2010至2022年每年新生儿数量13个数据中有2010至2018年的数量（9个）均高于1500万，3个数据低于1400万，根据数据之间的差距可得2010至2022年每年新生儿数量的平均数高于1400万，故选项A 正确；对于B ，由图可知共有13个数据，因为1325% 3.25⨯=，所以第一四分位数是按照从小到大排列的数据的第4个数据，由折线图可知，第4个数据为2019年新生儿的数量，其值大于1400万，故选项B 错误；对于C ，由折线图可知2015至2022年每年新生儿数量呈现先增加后下降的变化趋势，故选项C 正确；对于D ，由折线图可知：2010至2016年每年新生儿数量的波动比2016至2022年每年新生儿数量的波动小，所以2010至2016年每年新生儿数量的方差小于2016至2022年每年新生儿数量的方差，故选项D 错误，故选：AC.三、单选题6．设常数a 使方程sin 23cos 2x x a +=在区间[]0,2π上恰有五个解()1,2,3,4,5i x i =，则51i i x ==∑（）A ．73πB ．256πC ．133πD ．143π【答案】C【分析】令π()sin 23cos 22sin 23f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，作出函数在[]0,2π上的图像，判断方程sin 23cos 2x x a +=在区间[]0,2π上恰有五个解的条件，解方程.【详解】13πsin 23cos 22sin 2cos 22sin 2223x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭作出函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0,2π上的图像:由图像可知，sin 23cos 2x x a +=在区间[]0,2π上恰有五个解，只有3a =时才能成立，由π2sin 2=33x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，[]0,2πx ∈解得：1=0x ，2π=6x ，3=πx ，47π=6x ，5=2πx 51π7π13π0++π++2π=663ii x==∑，故选：C7．已知一组数1x ，2x ，3x ，4x 的平均数是1x =，方差22s =，则数据121x +，221x +，321x +，421x +的平均数和方差分别是（）A ．3，4B ．3，8C ．2，4D ．2，8【答案】B【分析】根据1x ，2x ，3x ，4x 的平均数是1，方差是2，可计算出1234x x x x +++、22222341x x x x +++值，代入另一组的平均数和方差的计算公式即可．【详解】由题知，1234144x x x x +++=⨯=，()()()()222221234111114s x x x x ⎡⎤=-+-+-+-⎣⎦2222123412341[()2()14]24x x x x x x x x =+++-++++⨯=，2222123412x x x x ∴+++=．另一组数据的平均数()12341212121214x x x x =+++++++()()123411214244344x x x x ⎡⎤=++++⨯=⨯+=⎣⎦，另一组数据的方差222212341[(213)(213)(213)(213)]4x x x x =+-++-++-++-()()()2222123412341148444123216844x x x x x x x x ⎡⎤=+++-++++⨯=⨯-+=⎣⎦．故选：B ．四、多选题8．已知()cos 4cos3f θθθ=+，且1θ，2θ，3θ是()f θ在()0,π内的三个不同零点，则（）A ．{}123π,,7∈θθθB ．123π++=θθθC ．1231cos cos cos 8θθθ=-D ．1231cos cos cos 2θθθ++=【答案】ACD【分析】根据题意结合余弦函数的图像性质，解出1θ，2θ，3θ，即可判断选项A 、B ，将123cos cos cos θθθ根据诱导公式化为π2π4π77cos cos cos 7，分子分母同乘sin π7，结合倍角公式即可判断C ，将123cos cos cos ++θθθ通过诱导公式化为coscos 2π4π6π777cos ---，再将分子分母同乘sin π7，结合积化和差公式进行化简即可判断D.【详解】解：由题知1θ，2θ，3θ是cos 4cos30+=θθ的三个根，cos 4cos30+=θθ可化为cos 4cos3=-θθ，即()cos 4cos π3=+θθ，所以可得4π32πk =++θθ或4π32πk ++=θθ，Z k ∈，解得π2πk =+θ或π2π77k =-+θ，Z k ∈，因为()0,πθ∈，所以π2πk =+θ不成立，当π2π77k =-+θ，Z k ∈成立时，取1k =，解得()π0,π7=∈θ，取2k =，解得()3π0,π7=∈θ，取3k =，解得()5π0,π7=∈θ，取4k =，解得()π0,π=∉θ（舍），故1π7=θ，23π7=θ，35π7=θ，所以选项A 正确；因为1239ππ7++=≠θθθ，所以选项B 错误；123cos cos cos cos cos π3πc s5π777o =θθθπ4π2π777cos cos πcos π⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-ππ2π4π2sin π2π4π7cos cos 77coscos cos cos 7π7772sin 7==2π2π4π2sin 777cos π4s 7c sino =cos 4π4π2sin 77π8sin 7=π8ππsin πsinsin 1777πππ88sin 8sin 8sin 777⎛⎫+- ⎪⎝⎭====-，故选项C 正确；而123cos cos cos cosco π3π5π777s cos ++++=θθθ6π4πcos πcos πcos π2π777⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭--⎝-⎝⎭⎭coscos 2π4π6π77s 7co =---π2π4π6πsin 777cos cos c 7πsin 7os ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=π2ππ4ππ6πsin sin sin 7777cos cos c 77πossin 7⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=，根据积化和差公式：()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦，所以原式可化为：1π2ππ2ππ4ππ4ππ6ππ6πsin sin sin sin sin sin 2777777777777πsin 7⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+++-+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦13π1π15π13π17π15πsin sin sin sin sin sin 272727272727πsin 7⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=13π1π15π13π17π15πsin sin sin sin sin sin 272727272727πsin 7⎛⎫--+-+- ⎪⎝⎭=1πsin 127π2sin 7⎛⎫-- ⎪⎝⎭==，故选项D 正确.故选：ACD【点睛】思路点睛：此题考查三角函数的化简问题，属于中难题，关于化简问题常用的思路有：（1）利用诱导公式将角化为关系比较接近的；（2）遇见cos cos 2cos3cos 4αααα的形式，分子分母同乘sin α，再用倍角公式化简；（3）积化和差公式：()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦，()()1cos sin sin sin 2αβαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦，()()1sin sin cos cos 2αβαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦，()()1cos cos cos cos 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦.9．已知事件A ，B 满足()0.5P A =，()0.2P B =，则（）A ．若B A ⊆，则()0.5P AB =B ．若A 与B 互斥，则()0.7P A B +=C ．若A 与B 相互独立，则()0.9P AB =D ．若()|0.2P B A =，则A 与B 相互独立【答案】BD【分析】对于A ，由题意可得()()P AB P B =，从而即可判断；对于B ，由互斥事件的概率计算公式计算即可；对于C ，先求得()0.8P B =，再根据独立事件的计算公式计算即可；对于D ，判断()()()P AB P A P B =⋅是否成立即可.【详解】解：对于A ，因为()0.5P A =，()0.2P B =，B A ⊆，所以()()0.2P AB P B ==，故错误；对于B ，因为A 与B 互斥，所以()()()0.50.20.7P A B P A P B +=+=+=，故正确；对于C ，因为()0.2P B =，所以()10.20.8P B =-=，所以()0.50.80.4P AB =⨯=，故错误；对于D ，因为()|0.2P B A =，即()0.2()P AB P A =，所以()0.2()0.1P AB P A =⨯=，又因为()()0.50.20.1P A P B ⨯=⨯=，所以()()()P AB P A P B =⋅，所以A 与B 相互独立，故正确.故选：BD10．在ABC 中，下列说法正确的有：（）A ．若AB >，则sin sin A B >B ．若A B >，则cos cos A B <C ．若A B >，则sin(2)sin(2)A B >D ．若A B >，则cos(2)cos(2)A B <【答案】ABD【分析】利用大边对大角定理结合正弦定理可判断A 选项的正误；利用A 选项中的结论结合二倍角的余弦公式可判断D 选项的正误；利用余弦函数的单调性可判断B 选项的正误；利用特殊值法可判断C 选项的正误.【详解】对于A 选项，若A B >，则a b >，由正弦定理可得sin sin A B >，A 对；对于B 选项，因为0B A π<<<，且余弦函数cos y x =在()0,π上为减函数，故cos cos A B <，B 对；对于C 选项，取6B π=，23A π=，则3sin 2sin 32B π==，43sin 2sin 32A π==-，此时，sin 2sin 2AB <，C 错.对于D 选项，若A B >，则sin sin A B >，则22cos 212sin 12sin cos 2A A B B =-<-=，D 对；故选：ABD.11．如图所示，四边形A B C D ''''是由斜二测画法得到的平面四边形ABCD 水平放置的直观图，其中，5A D ''=，2C D C B ''''==，点P '在线段C D ''上，P '对应原图中的点P ，则在原图中下列说法正确的是（）A ．四边形ABCD 的面积为14B ．与AB 同向的单位向量的坐标为34(,)55-C ．AD 在向量AB 上的投影向量的坐标为912(,)55-D ．|3|PA PB +的最小值为17【答案】ABD【分析】根据直观图可得四边形ABCD 为直角梯形，从而可求得原图形的面积，即可判断A ；以点D为坐标原点建立平面直角坐标系，写出AB 的坐标，再根据与AB同向的单位向量为AB AB，即可判断B ；根据AD 在向量AB上的投影向量的坐标为AB AD AB ABAB⋅⋅ 即可判断C ；设()[]0,,0,4P y y ∈，根据向量线性运算的坐标表示及模的坐标表示即可判断D.【详解】解：由直观图可得，四边形ABCD 为直角梯形，且5,4,2AD CD BC ===，则四边形ABCD 的面积为()254142+⨯=，故A 正确；如图，以点D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则()()()()0,0,5,0,0,4,2,4D A C B ，则()3,4AB =- ，所以与AB同向的单位向量的坐标为34,55AB AB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故B 正确；()5,0AD =-，则AD 在向量AB上的投影向量的坐标为()3,415912,5555AB AD AB ABAB -⋅⎛⎫⋅=⨯=- ⎪⎝⎭，故C 错误；设()[]0,,0,4P y y ∈，则()()5,,2,4PA y PB y =-=-，则()317,44PA PB y +=- ，()2231744PA PB y +=+- ，当1y =时，3PA PB +取得最小值17，故D 正确.故选：ABD.12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点,,,E F G M 分别是1111,,,BC AA C D BB 的中点则（）A ．直线1,AG EF 是异面直线B ．平面1DMC 截正方体所得截面的面积为122C ．三棱锥11A MCD -的体积为163D ．三棱锥11A BDC -的内切球的体积为323π27【答案】ACD【分析】对于A ，根据异面直线的概念即可判断；对于B ，利用平面基本性质作出截面图形，从而可以判断；对于C ，利用等体积法求解锥体体积即可判断；对于D ，利用体积分割法求出锥体的内切球的半径，代入球的体积公式即可判断.【详解】对于A ，如图，取11B C 的中点P ，连接PE ，取PE 的中点Q ，连接1AQ ，则11,A F EQ A F EQ =∕∕，所以四边形1A FEQ 是平行四边形，所以1EF AQ ∕∕，又因111AG AQ A ⋂=，所以直线1,AG EF 是异面直线，故A 正确；对于B ，如图，延长1,C M CB 交于点H ，连接HD 交AB 点N ，连接1,MN AB ，因为11,BB CC M ∕∕为1BB 的中点，则112BM CC =，所以B 为HC 的中点，因为AB CD ∕∕，所以N 为AB 的中点，则1MN AB ∕∕，因为1111,AD B C AD B C =∕∕，所以11AB C D 为平行四边形，所以11AB DC ∕∕，所以1MN DC ∕∕，则平面1DMC 截正方体所得截面为等腰梯形1MNDC ，在等腰梯形1MNDC 中，1142,22,25DC MN DN MC ====，则梯形的高为20232-=，所以等腰梯形1MNDC 的面积为()422232182+⨯=，故B 错误；对于C ，连接11,BC B C ，则11BC B C ⊥，因为AB ⊥平面11BCC B ，1B C ⊂平面11BCC B ，所以1AB B C ⊥，又11,,AB BC B AB BC =⊂ 平面11ABC D ，所以1B C ⊥平面11ABC D ，又因为M 为1BB 的中点，所以三棱锥11M AC D -的高为1124B C =，111424822AC D S =⨯⨯= ，所以111111682233A MC D M AC D V V --==⨯⨯=，故C 正确；对于D ，由题意，三棱锥11A BDC -为边长42的正面体，设其内切球的球心为O ，半径为R .则11111111211111134(42)3333334A BDC A BD A C D A CBC BD V S R S R S R S R S R R -=⋅+⋅+⋅+⋅=⋅=⨯⨯⨯⨯ 表，又11131164444444323A BDC A ABD V V V --=-=-⨯⨯⨯⨯⨯=正方体，所以213644(42)343R ⨯⨯⨯⨯=，解得233R =，则三棱锥11A BDC -的内切球的体积为3423323ππ3327⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ACD.五、填空题13．某校高二年级有1000名学生，其中文科生有300名，按文理生比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为50的样本，则应抽取的理科生人数为.【答案】35【分析】直接根据分层抽样的比例关系得到答案.【详解】应抽取的理科生人数为：()501000300351000⨯-=.故答案为：35.【点睛】本题考查了分层抽样，意在考查学生的理解能力和计算能力.14．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为35π，则原圆锥的母线长为【答案】25【分析】设圆台的母线长为l ，根据圆台的侧面积公式求出圆台的母线长，利用圆台的性质以及相似三角形即可求解．【详解】用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，设圆台的母线长为l ，该圆台的侧面积为35π，∴由圆台侧面积公式可得()π123π35πl l +==，解得5l =，设截去的圆锥的母线为l '，由三角形相似可得12l l l '='+，则25l l '='+，解得5l '=，∴原圆锥的母线长为5525l l +=+='．故答案为：25．15．已知ABC ∆中的内角为,,A B C ，重心为G ，若2sin 3sin 3sin 0A GA B GB C GC ⋅+⋅+⋅= ，则cos B =.【答案】112【详解】试题分析：设,,a b c 为角,,A B C 所对的边，由正弦定理得2330aGA bGB cGC ++= ，则2333()aGA bGB cGC c GA GB +=-=--- 即()()23330a c GA b c GB -+-= ，又因为,GA GB 不共线，则23=0a c -,33=0b c -,即233,a b c ==所以33,23b b ac ==，2221cos 212a c b B ac +-∴==.【解析】向量及解三角形.16．足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的B 底线宽72AB =码，球门宽8EF =码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点P ，使得EPF ∠最大，这时候点P 就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点O 处（OA AB =，OA AB ⊥）时，根据场上形势判断，有OA 、OB 两条进攻线路可供选择.若选择线路OA ，则甲带球码时，APO 到达最佳射门位置；若选择线路OB ，则甲带球码时，到达最佳射门位置.【答案】72165-722165-【分析】若选择线路OA ，设AP t =，利用两角差的正切公式可得出tan EPF ∠关于t 的表达式，利用基本不等式可求得tan EPF ∠的值及OP 的长；若选择线路OB ，若选择线路OB ，以线段EF 的中点N为坐标原点，BA 、AP 的方向分别为x 、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，利用斜率公式、两角差的正切公式以及基本不等式可求得结果.【详解】若选择线路OA ，设AP t =，其中072t <≤，32AE =，32840AF =+=，则32tan AE APE AP t ∠==，40tan AF APF AP t∠==，所以，()tan tan tan tan 1tan tan APF APE EPF APF APE APF APE∠-∠∠=∠-∠=+∠∠2240328885128012801280201280112t t t t t t t t t-===≤=+++⋅，当且仅当1280t t=时，即当165t =时，等号成立，此时72165OP OA AP =-=-，所以，若选择线路OA ，则甲带球72165-码时，APO 到达最佳射门位置；若选择线路OB ，以线段EF 的中点N 为坐标原点，BA 、AP 的方向分别为x 、y 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则()36,0B -、()36,72O 、()4,0F -、()4,0E ，7213636OB k ==+，直线OB 的方程为36y x =+，设点(),36P x x +，其中3636x -<≤，36tan 4PF x AFP k x +∠==+，36tan 4PE x AEP k x +∠==-，所以，()tan tan tan tan 1tan tan AEP AFP EPF AEP AFP AEP AFP∠-∠∠=∠-∠=+∠∠()()()2222836363684416363616361361443616x x x x x x x x x x x x x x x +++--+-===++-++⋅+++-++-，令(]360,72m x =+∈，则36x m =-，所以，()223616161280128036272227236m x x m m m x m m m---++=+=+-≥⋅-+321072=-，当且仅当12802m m =时，即当810m =，即当81036x =-时，等号成立，所以，881tan 12803210724109272EPF m m∠=≤=--+-，当且仅当81036x =-时，等号成立，此时，()23681036722165OP =⋅--=-，所以，若选择线路OB ，则甲带球722165-码时，到达最佳射门位置.故答案为：72165-；722165-.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.六、解答题17．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100．(1)求图中a 的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x ）与数学成绩相应分数段的人数（y ）之比如表所示，求数学成绩在[)60,70之间的人数．分数段[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90:x y 1:12:13:44:5【答案】(1)0.005a =(2)73分(3)20人【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1得到方程，即可求出a 的值．（2）由频率分布直方图能求出平均分．（3）由频率分布直方图能求出语文成绩在[)60,70的人数，从而得解．【详解】（1）解：由频率分布直方图可得：10(20.020.030.04)1a ⨯+++=，解得0.005a =．（2）解：由频率分布直方图可得平均分为：()550.005650.04750.03850.02950.0051073⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=（分)，（3）解：数学成绩在[)60,70的人数为11000.0410202⨯⨯⨯=（人)．18．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量(),3m a b =u r ，()cos ,cos 2n B A ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，且m n ⊥ ．(1)求A ；(2)若3c =，△ABC 的面积为332，求a ．【答案】(1)3A π=(2)7a =．【分析】（1）由m n ⊥ 结合正弦定理的边化角公式得出A ；（2）由面积公式得出2b =，再由余弦定理得出7a =.【详解】（1）由()cos ,cos 2n B A ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得()sin ,cos n B A =- ，又m n ⊥ ，所以sin 3cos 0a B b A -=．由正弦定理得sin sin 3sin cos 0A B B A -=，又sin 0B ≠，所以sin 3cos 0A A -=，即tan 3A =．又A 为△ABC 的内角，所以3A π=．（2）由1sin 2ABC S bc A = 得，33133222b =⨯⨯，解得2b =．又根据余弦定理得2222212cos 2322372a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，所以7a =．19．如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，BC AB ⊥，点M ，N 分别是线段11AC ，1A B 的中点．(1)求证：平面1A BC ⊥平面1A AB ；(2)设平面1MNB 与平面11BCC B 的交线为l ，求证：//MN l ．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)根据给定条件证明1BC AA ⊥即可推理作答.(2)连接1BC ，证明//MN 平面11BCC B ，再结合线面平行的性质即可推理作答.【详解】（1）三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，而BC ⊂平面ABC ，则1BC AA ⊥，又BC AB ⊥，1AB AA A ⋂=，1,AB AA ⊂平面1A AB ，于是得BC ⊥平面1A AB ，而BC ⊂平面1A BC ，所以平面1A BC ⊥平面1A AB .（2）连接1BC ，如图，因点M ，N 分别是线段11AC ，1AB 的中点，则1//MN BC ，因1BC ⊂平面11BCC B ，MN ⊄平面11BCC B ，因此，//MN 平面11BCC B ，而平面1MNB ⋂平面11BCC B l =，MN ⊂平面1MNB ，所以//MN l .20．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n （单位：枝，n ∈N ）的函数解析式．（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n 14151617181920频数10201616151310(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率.【答案】（Ⅰ）1085,17,{()85, 17,n n y n N n -<=∈>（Ⅱ）0.160.160.150.130.10.7p =++++=【详解】试题分析：（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；（2）①这100天的日利润的平均数，利用100天的销售量除以100即可得到结论；②当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故可求当天的利润不少于75元的概率试题解析：（1）当日需求量n≥17时，利润y ＝85．当日需求量n<17时，利润y ＝10n －85．所以y 关于n 的函数解析式为1085,17{85,17n n y n -<=≥（n ∈N ）．（2）①这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的日利润的平均数为1100×（55×10＋65×20＋75×16＋85×54）＝76．4．②利润不低于75元时日需求量不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为p ＝0．16＋0．16＋0．15＋0．13＋0．1＝0．7．【解析】概率的应用；函数解析式的求解及常用方法；众数、中位数、平均数21．ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，点O 为ABC 的内心，记△OBC ，,OAC OAB的面积分别为1S ，2S ，3S ，已知22213132S S S S S +-=，2AB =．(1)若ABC 为锐角三角形，求AC 的取值范围；(2)在①4sin sin cos 21B A A +=；②12cos 12cos 0sin sin A B A B--+=；③cos cos 1a C c A +=中选一个作为条件，判断△ABC 是否存在，若存在，求出ABC 的面积，若不存在，说明理由．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）【答案】(1)(3,23)(2)答案见解析【分析】（1）由题意，根据ABC 的内切圆的性质可得222a c b ac +-=，利用正、余弦定理可得sin 3sin sin AB B AC C C⋅==，结合角C 的取值范围即可求解；（2）选择①，根据正弦定理可得2a b =，由（1）得23440b b -+=，方程无解即△ABC 不存在．选择②，根据三角恒等变换可得24a b c +==，由（1）得2242a b a +-=，解得2a b ==，结合三角形的面积公式计算即可.选择③，由（1），根据余弦定理可得2412a a +-=，方程无解即△ABC 不存在．【详解】（1）设ABC 的内切圆半径为r ，因为22213132S S S S S +-=，所以22211111()()()()()22222ar cr ar cr br +-⋅=，化简得：222a c b ac +-=，所以2221cos 22a cb B ac +-==，因为()0,πB ∈，所以π3B =，所以2π3A C +=，因为sin sin AC AB B C =，所以sin 3sin sin AB B AC C C⋅==，因为ABC 为锐角三角形，所以π02C <<，2ππ032C <-<，解得：ππ62C <<，所以1sin 12C <<，所以AC 的取值范围为(3,23)．（2）选择①，因为4sin sin cos 21B A A +=，所以24sin sin 1cos 22sin B A A A =-=，因为sin 0A ≠，所以sin 2sin 0A B -=，所以2a b =，由（1）知222a c b ac +-=，2c =，所以22444b b b +-=，整理得23440b b -+=，方程无实数解，所以ABC 不存在．选择②，由12cos 12cos 0sin sin A B A B--+=得：sin sin 2(sin cos cos sin )0A B A B A B +-+=，所以sin sin 2sin()A B A B +=+，即sin sin 2sin A B C +=，所以24a b c +==，由（1）知222a c b ac +-=，2c =，所以2242a b a +-=，所以224(4)2a a a +--=，解得2a b ==，所以ABC 存在且唯一，ABC 的面积113sin 43222S ac B ==⨯⨯=．选择③，因为cos cos 1a C c A +=，所以222222122a b c b c a a c b ab bc+-+-⋅+⋅==，由（1）知222a c b ac +-=，2c =，所以2412a a +-=，整理得2230a a -+=，方程无实数解，所以ABC 不存在．22．三棱台111ABC A B C -中，若1A A ⊥面111,,2,1ABC AB AC AB AC AA AC ⊥====，,M N 分别是,BC BA 中点.(1)求证：1A N //平面1C MA ；(2)求平面1C MA 与平面11ACC A 所成夹角的余弦值；(3)求点C 到平面1C MA 的距离．【答案】(1)证明见解析(2)23(3)43【分析】（1）先证明四边形11MNAC 是平行四边形，然后用线面平行的判定解决；（2）利用二面角的定义，作出二面角的平面角后进行求解；（3）方法一是利用线面垂直的关系，找到垂线段的长，方法二无需找垂线段长，直接利用等体积法求解【详解】（1）连接1,MN C A .由,M N 分别是,BC BA 的中点，根据中位线性质，MN //AC ，且12AC MN ==，由棱台性质，11AC //AC ，于是MN //11AC ，由111MN AC ==可知，四边形11MNAC 是平行四边形，则1A N //1MC ，又1A N ⊄平面1C MA ，1MC ⊂平面1C MA ，于是1A N //平面1C MA .（2）过M 作ME AC ⊥，垂足为E ，过E 作1EF AC ⊥，垂足为F ,连接1,MF C E .由ME ⊂面ABC ，1A A ⊥面ABC ，故1AA ME ⊥，又ME AC ⊥，1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面11ACC A ，则ME ⊥平面11ACC A .由1AC ⊂平面11ACC A ，故1ME AC ⊥，又1EF AC ⊥，ME EF E ⋂=，,ME EF ⊂平面MEF ，于是1AC ⊥平面MEF ，由MF ⊂平面MEF ，故1AC MF ⊥.于是平面1C MA 与平面11ACC A 所成角即MFE ∠.又12AB ME ==，11cos 5CAC ∠=，则12sin 5CAC ∠=，故121sin 5EF CAC =⨯∠=，在Rt MEF 中，90MEF ∠= ，则43155MF =+=，于是2cos 3EF MFE MF ∠==（3）[方法一：几何法]过1C 作1C P AC ⊥，垂足为P ，作1C Q AM ⊥，垂足为Q ，连接,PQ PM ，过P 作1PR C Q ⊥，垂足为R .由题干数据可得，115C A C C ==，22115C M C P PM =+=，根据勾股定理，21232522C Q ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，由1C P ⊥平面AMC ，AM ⊂平面AMC ，则1C P AM ⊥，又1C Q AM ⊥，111C Q C P C = ，11,C Q C P ⊂平面1C PQ ，于是AM ⊥平面1C PQ .又PR ⊂平面1C PQ ，则PR AM ⊥，又1PR C Q ⊥，1C Q AM Q = ，1,C Q AM ⊂平面1C MA ，故PR ⊥平面1C MA .在1Rt C PQ 中，1122223322PC PQ PR QC ⋅⋅===，又2CA PA =，故点C 到平面1C MA 的距离是P 到平面1C MA 的距离的两倍，即点C 到平面1C MA 的距离是43.[方法二：等体积法]辅助线同方法一.设点C 到平面1C MA 的距离为h .()1211112223323C AMC AMC V C P S -=⨯⨯=⨯⨯⨯= ，1111132233222C C MA AMC h V h S h -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= .由11223C AMC C C MA h V V --=⇔=，即43h =.。
江苏高一高中数学期末考试带答案解析
江苏高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.集合A={1，2}，B={2，3}，则A∩B= ．2.函数y=+的定义域是 ．3.已知函数f （x ）=，则f[f （﹣2）]= ．4.已知正四棱锥的底面边长是6，侧棱长为5，则该正四棱锥的侧面积为 ．5.若函数f （x ）=a•2x +2﹣x 为偶函数，则实数a 的值是 ． 6.（）+（0.25）= ．7.函数y=6+log 3（x ﹣4）的图象恒过点 ．8.已知偶函数f （x ）在[0，+∞）单调递减，f （2）=0，若f （x ﹣1）＞0，则x 的取值范围是 ． 9.已知m ，n ，l 是直线，α，β是平面，下列命题中： ①若m ⊂α，l ⊂β，且α∥β，则m ∥l ；②若l 平行于α，则α内可有无数条直线与l 平行； ③若m ⊂α，l ⊂β，且l ⊥m ，则α⊥β； ④若m ⊥n ，n ⊥l ，则m ∥l ； 所有正确的命题序号为 ．10.已知函数f （x ）=mx 2﹣2x+3，对任意x 1，x 2∈[﹣2，+∞）满足＜0，则实数m 的取值范围 ． 11.若不等式恒成立，则实数a 的最小值为 ．12.已知函数满足条件：y=f （x ）是R 上的单调函数且f （a ）=﹣f （b ）=4，则f （﹣1）的值为 ．13.定义在区间[x 1，x 2]长度为x 2﹣x 1（x 2＞x 1），已知函数f （x ）=（a ∈R ，a≠0）的定义域与值域都是[m ，n]，则区间[m ，n]取最长长度时a 的值是 ． 14.已知x ∈R ，符号[x]表示不超过x 的最大整数，若函数f （x ）=﹣a （x ＞0）有且仅有3个零点，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题1.已知集合A={x|a≤x≤a+4}，B={x|x 2﹣x ﹣6≤0}． （1）当a=0时，求A∩B ，A ∪（∁R B ）； （2）若A ∪B=B ，求实数a 的取值范围．2.如图，已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AC=BC ，M ，N 分别是棱CC 1，AB 的中点．（1）求证：CN ⊥平面ABB 1A 1； （2）求证：CN ∥平面AMB 1．3.已知四边形ABCD 是矩形，AB=1，AD=2，E ，F 分别是线段AB ，BC 的中点，PA ⊥平面ABCD．（1）求证：DF⊥平面PAF；（2）若∠PBA=45°，求三棱锥C﹣PFD的体积；（3）在棱PA上是否存在一点G，使得EG∥平面PFD，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．4.在一条笔直公路上有A，B两地，甲骑自行车从A地到B地，乙骑着摩托车从B地到A地，到达A地后立即按原路返回，如图是甲乙两人离A地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象，根据图象解答以下问题：（1）直接写出y甲，y乙与x之间的函数关系式（不必写过程），求出点M的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；（2）若两人之间的距离不超过5km时，能够用无线对讲机保持联系，求在乙返回过程中有多少分钟甲乙两人能够用无线对讲机保持联系；（3）若甲乙两人离A地的距离之积为f（x），求出函数f（x）的表达式，并求出它的最大值．5.已知f（x）=ax2﹣（a+1）x+1﹣b（a，b∈R）．（1）若a=1，不等式f（x）≥x﹣1在b∈[6，17]上有解，求x的取值范围；（2）若b=0，函数g（x）=是奇函数，判断并证明y=g（x）在（0，+∞）上的单调性；（3）若f（﹣1）=0，且|a﹣b|≤t（t＞0），求a2+b2+b的最小值．6.设函数y=f（x）的定义域为D，值域为A，如果存在函数x=g（t），使得函数y=f（g（t））的值域仍是A，那么称x=g（x）是函数y=f（x）的一个等值域变换．（1）已知函数f（x）=x2﹣x+1，x∈B，x=g（t）=log2t，t∈C．1°若B，C分别为下列集合时，判断x=g（t）是不是函数y=f（x）的一个等值域变换：①B=R，C=（1，+∞）；②B=R，C=（2，+∞）2°若B=[0，4]，C=[a，b]（0＜a＜b），若x=g（t）是函数y=f（x）的一个等值域变换，求a，b满足的条件；（2）设f（x）=log2x的定义域为x∈[2，8]，已知x=g（t）=是y=f（x）的一个等值域变换，且函数y=f[g（t）]的定义域为R，求实数m，n的值．江苏高一高中数学期末考试答案及解析一、填空题1.集合A={1，2}，B={2，3}，则A∩B=．【答案】{2}．【解析】直接利用交集的运算求解．解：∵A={1，2}，B={2，3}，∴A∩B={1，2}∩{2，3}={2}．故答案为：{2}．【考点】交集及其运算．2.函数y=+的定义域是．【答案】{x|x≥﹣1，且x≠2}【解析】根据使函数y=+的解析式有意义的原则，构造不等式组，解不等式组可得函数的定义域．解：要使函数y=+的解析式有意义自变量x须满足：解得x≥﹣1，且x≠2故函数y=+的定义域是{x|x≥﹣1，且x≠2}故答案为：{x|x≥﹣1，且x≠2}【考点】函数的定义域及其求法．3.已知函数f（x）=，则f[f（﹣2）]= ．【答案】8【解析】根据自变量的大小确定该选用哪一段的函数解析式求解，从内向外逐一去括号即可求出所求．解：∵﹣2＜0，∴f（﹣2）=（﹣2）2=4，即f[f（﹣2）]=f（4），∵4≥0，∴f（4）=2×4=8，即f[f（﹣2）]=f（4）=8，故答案为：8．【考点】函数的值．4.已知正四棱锥的底面边长是6，侧棱长为5，则该正四棱锥的侧面积为．【答案】48【解析】利用正四棱锥的结构特征求解．解：已知正四棱锥P﹣ABCD中，AB=6，PA=5，取AB中点O，连结PO，则PO⊥AB，AO=3，∴PO==4，∴该正四棱锥的侧面积：=4×=48．S=4S△PAB故答案为：48．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．5.若函数f（x）=a•2x+2﹣x为偶函数，则实数a的值是．【答案】1【解析】根据函数奇偶性的定义建立方程关系进行求解即可．解：∵f（x）=a•2x+2﹣x为偶函数，∴f （﹣x ）=f （x ），即a•2﹣x +2x =a•2x +2﹣x ，即a•（2﹣x ﹣2x ）=2﹣x ﹣2x ， 则a=1，故答案为：1．【考点】函数奇偶性的性质． 6.（）+（0.25）= ．【答案】【解析】利用对数的运算法则化简求解即可． 解：（）+（0.25）==．故答案为：．【考点】对数的运算性质．7.函数y=6+log 3（x ﹣4）的图象恒过点 ． 【答案】（5，6）．【解析】令x=5代入函数y=6+log 3（x ﹣4），求出y 的值即可． 解：x=5时：y=6+log 3（5﹣4）=6， 故答案为：（5，6）．【考点】对数函数的图象与性质．8.已知偶函数f （x ）在[0，+∞）单调递减，f （2）=0，若f （x ﹣1）＞0，则x 的取值范围是 ． 【答案】（﹣1，3）【解析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f （|x ﹣1|）＞f （2），即可得到结论． 解：∵偶函数f （x ）在[0，+∞）单调递减，f （2）=0， ∴不等式f （x ﹣1）＞0等价为f （x ﹣1）＞f （2）， 即f （|x ﹣1|）＞f （2）， ∴|x ﹣1|＜2， 解得﹣1＜x ＜3，故答案为：（﹣1，3）【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．9.已知m ，n ，l 是直线，α，β是平面，下列命题中： ①若m ⊂α，l ⊂β，且α∥β，则m ∥l ；②若l 平行于α，则α内可有无数条直线与l 平行； ③若m ⊂α，l ⊂β，且l ⊥m ，则α⊥β； ④若m ⊥n ，n ⊥l ，则m ∥l ； 所有正确的命题序号为 ． 【答案】②【解析】在①中，m 与l 平行或异面；在②中，由直线与平面平行的性质得α内可有无数条直线与l 平行；在③中，α与β相交或平行；在④中，m 与l 相交、平行或异面． 解：由m ，n ，l 是直线，α，β是平面，知：在①中：若m ⊂α，l ⊂β，且α∥β，则m 与l 平行或异面，故①错误；在②中：若l 平行于α，则由直线与平面平行的性质得α内可有无数条直线与l 平行，故②正确； 在③中：若m ⊂α，l ⊂β，且l ⊥m ，则α与β相交或平行，故③错误； 在④中：若m ⊥n ，n ⊥l ，则m 与l 相交、平行或异面，故④错误． 故答案为：②．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．10.已知函数f （x ）=mx 2﹣2x+3，对任意x 1，x 2∈[﹣2，+∞）满足＜0，则实数m 的取值范围 ． 【答案】[﹣，0]．【解析】先求出函数的单调性，再通过讨论m 的范围，结合二次函数的性质从而求出m 的范围即可．解：对任意x 1，x 2∈[﹣2，+∞）满足＜0，得f （x ）在[﹣2，+∞）单调递减，当m=0时：f （x ）=﹣2x+3，符合题意， m≠0时，则m ＜0， 此时，对称轴x=﹣=≤﹣2，解得：m≥﹣， 故答案为：[﹣，0]． 【考点】二次函数的性质．11.若不等式恒成立，则实数a 的最小值为 ．【答案】．【解析】不等式整理为x 2≤log a x 在x ∈（0，]时恒成立，只需x 2的最大值小于log a x 的最小值，利用分类讨论对a 讨论即可． 解：不等式恒成立，即为x 2≤log a x 在x ∈（0，]时恒成立，∴x 2的最大值小于log a x 的最小值． ∴x 2≤≤log a x ，当a ＞1时，log a x 为递增，但最小值为负数不成立． 当0＜a ＜1时，log a x 为递减， 最小值在x=上取到，∴log a≥=log a ，∴a≥，故a 的最小值为． 故答案为：．【考点】函数恒成立问题．12.已知函数满足条件：y=f （x ）是R 上的单调函数且f （a ）=﹣f （b ）=4，则f （﹣1）的值为 ． 【答案】﹣3【解析】由已知，求出a ，b 的值，得到函数的解析式，将x=﹣1代入可得答案． 解：∵函数满足条件：y=f （x ）是R 上的单调函数，∴，又∵f （a ）=﹣f （b ）=4， ∴， 解得：，∴，∴f （﹣1）=﹣3， 故答案为：﹣3【考点】分段函数的应用．13.定义在区间[x 1，x 2]长度为x 2﹣x 1（x 2＞x 1），已知函数f （x ）=（a ∈R ，a≠0）的定义域与值域都是[m ，n]，则区间[m ，n]取最长长度时a 的值是 ． 【答案】7【解析】根据分式函数的性质，判断函数为增函数，根据函数定义域与值域都是[m ，n]，得到，转化为f （x ）=x ，有两个同号的相异实数根，利用一元二次方程根与系数之间的关系进行求解． 解：设[m ，n]是已知函数定义域的子集．x≠0，[m ，n]⊆（﹣∞，0）或[m ，n]⊆（0，+∞）， 故函数f （x ）=﹣在[m ，n]上单调递增，则，故m ，n 是方程f （x ）=﹣=x 的同号的相异实数根，即a 2x 2﹣（a 2+a ）x+2=0的同号的相异实数根 ∵mn=，m+n==∴m ，n 同号，只需△=（a 2+a ）2﹣8a 2=a 2•[（a+1）2﹣8]＞0， 即（a+1）2﹣8＞0∴a ＞2﹣1或a ＜﹣2﹣1， n ﹣m====，n ﹣m 取最大值为．此时=，即a=7，故答案为：7【考点】函数与方程的综合运用；函数的定义域及其求法；函数的值域．14.已知x ∈R ，符号[x]表示不超过x 的最大整数，若函数f （x ）=﹣a （x ＞0）有且仅有3个零点，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】（，]． 【解析】由题意可得，方程=a 在（0，+∞）上有且仅有3个实数根，且 a≥0，[x]=1，2，3．分别求得[x]=1，2，3，4时，a 的范围，从而确定满足条件的a 的范围． 解：因为f （x ）=﹣a ，有且仅有3个零点，则方程=a 在（0，+∞）上有且仅有3个实数根，且a≥0．∵x ＞0，∴[x]≥0； 若[x]=0，则=0；若[x]≥1，因为[x]≤x ＜[x]+1， ∴＜≤1，∴＜a≤1，且随着[x]的增大而增大．故不同的[x]对应不同的a 值， 故有[x]=1，2，3． 若[x]=1，则有 ＜≤1； 若[x]=2，则有 ＜≤1； 若[x]=3，则有 ＜≤1； 若[x]=4，则有 ＜≤1．综上所述，＜a≤． 故答案为：（，]．【考点】函数零点的判定定理．二、解答题1.已知集合A={x|a≤x≤a+4}，B={x|x 2﹣x ﹣6≤0}． （1）当a=0时，求A∩B ，A ∪（∁R B ）； （2）若A ∪B=B ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）A∩B={x|0≤x≤3}，A ∪（∁R B ）={x|x ＜﹣2或x≥0}；（2）实数a 的范围是{a|﹣2≤a≤﹣1}．【解析】（1）求出B 中不等式的解集确定出B ，把a=0代入确定出A ，找出A 与B 的交集，求出A 与B 补集的并集即可；（2）根据A 与B 的并集为B ，得到A 为B 的子集，由A 与B 确定出a 的范围即可． 解：（1）由B 中不等式变形得：（x ﹣3）（x+2）≤0， 解得：﹣2≤x≤3，即B={x|﹣2≤x≤3}， ∴∁R B={x|x ＜﹣2或x ＞3}， 把a=0代入得：A={x|0≤x≤4}，则A∩B={x|0≤x≤3}，A ∪（∁R B ）={x|x ＜﹣2或x≥0}； （2）∵A ∪B=B ，∴A ⊆B ， 则有，解得：﹣2≤a≤﹣1，则实数a 的范围是{a|﹣2≤a≤﹣1}．【考点】交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用．2.如图，已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AC=BC ，M ，N 分别是棱CC 1，AB 的中点．（1）求证：CN ⊥平面ABB 1A 1； （2）求证：CN ∥平面AMB 1． 【答案】见解析【解析】（1）证明AA 1⊥CN ，CN ⊥AB ，即可证明CN ⊥平面ABB 1A 1；（2）设AB 1的中点为P ，连接NP 、MP ，利用三角形中位线的性质，可得线线平行，利用线面平行的判定，可得CN ∥平面AMB 1．证明：（1）∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，CN ⊂平面ABC ， ∴AA 1⊥CN ，∵AC=BC ，N 是棱AB 的中点， ∴CN ⊥AB ， ∵AA 1∩AB=A ，∴CN ⊥平面ABB 1A 1；（2）设AB 1的中点为P ，连接NP 、MP ∵M 、N 分别是棱CC 1、AB 的中点∴CM ∥AA 1，且CM=AA 1，NP ∥AA 1，且NP=AA 1， ∴CM ∥NP ，CM=NP∴CNPM 是平行四边形，∴CN ∥MP ∵CN ⊄平面AMB 1，MP ⊂平面AMB 1，∴CN ∥平面AMB 1．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．3.已知四边形ABCD是矩形，AB=1，AD=2，E，F分别是线段AB，BC的中点，PA⊥平面ABCD．（1）求证：DF⊥平面PAF；（2）若∠PBA=45°，求三棱锥C﹣PFD的体积；（3）在棱PA上是否存在一点G，使得EG∥平面PFD，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）．（3）．【解析】（1）由勾股定理的逆定理可得DF⊥AF，由PA⊥平面ABCD得PA⊥DF，故而DF⊥平面PAF；（2）根据PA⊥AB，∠PBA=45°可得PA=1，把△CDF作棱锥的底面，则PA为棱锥的高；（3）过E作EH∥DF交AD于H，过H作HG∥PD，则平面EGH∥平面PDF，根据长方形的性质和平行线等分线段成比例定理可求得的值．解：（1）在矩形ABCD中，∵F是BC的中点，AB=1，AD=2，∴AF=DF=，∴AF2+DF2=4=AD2，∴DF⊥AF．∵PA⊥平面ABCD，DF⊂平面ABCD，∴PA⊥DF，又∵PA⊂平面PAF，AF⊂平面PAF，PA∩AF=A，∴DF⊥平面PAF．（2）∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB，∵∠PBA=45°，∴PA=AB=1．∴三棱锥C﹣PFD的体积V=S△CDF×PA==．（3）过E作EH∥DF交AD于H，过H作HG∥PD，则平面EGH∥平面PDF，∴EG∥平面PDF．∵EH∥DF，∴，又∵HG∥PD，∴．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．4.在一条笔直公路上有A，B两地，甲骑自行车从A地到B地，乙骑着摩托车从B地到A地，到达A地后立即按原路返回，如图是甲乙两人离A地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象，根据图象解答以下问题：（1）直接写出y甲，y乙与x之间的函数关系式（不必写过程），求出点M的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；（2）若两人之间的距离不超过5km时，能够用无线对讲机保持联系，求在乙返回过程中有多少分钟甲乙两人能够用无线对讲机保持联系；（3）若甲乙两人离A地的距离之积为f（x），求出函数f（x）的表达式，并求出它的最大值．【答案】（1）M （，），甲乙经过h 第一次相遇，此时离A 距离km ；（2）甲乙两人能够用无线对讲机保持联系；（3）可得f （x ）的最大值为f （2）=1600．【解析】（1）由图形，结合一次函数的解析式的求法，可得所求解析式；再令y 甲=y 乙，求得M 的坐标，进而得到几何意义；（2）令y 甲﹣y 乙≤5，解不等式可得x 的范围，进而得到所求结论；（3）运用分段函数的形式写出f （x ），再由二次函数的最值的求法，即可得到所求的最大值． 解：（1）y 甲=20x ，0≤x≤2；y 乙=，令y 甲=y 乙，可得20x=40﹣40x ，解得x=， 进而y 甲=y 乙=，即有M （，），M 的坐标表示：甲乙经过h 第一次相遇，此时离A 距离km ； （2）乙返回过程中，当1＜x≤2时，乙与甲相距5km 之内， 即y 甲﹣y 乙≤5，即为20x ﹣（40x ﹣40）≤5，解得x≥，即≤x≤2， 则（2﹣）×60=15分钟，甲乙两人能够用无线对讲机保持联系； （3）f （x ）===，当0＜x≤1时，f （x ）的最大值为f （）=200；当1＜x≤2时，f （x ）递增，f （2）为最大值，且为1600． 综上可得f （x ）的最大值为f （2）=1600．【考点】函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义．5.已知f （x ）=ax 2﹣（a+1）x+1﹣b （a ，b ∈R ）．（1）若a=1，不等式f （x ）≥x ﹣1在b ∈[6，17]上有解，求x 的取值范围； （2）若b=0，函数g （x ）=是奇函数，判断并证明y=g （x ）在（0，+∞）上的单调性；（3）若f （﹣1）=0，且|a ﹣b|≤t （t ＞0），求a 2+b 2+b 的最小值． 【答案】（1）x≥4或x≤﹣1．（2）g （x ）=﹣x+为减函数．（3）见解析【解析】（1）根据一元二次不等式的解法进行求解即可． （2）根据函数奇偶性的性质求出a 的值即可．（3）利用消元法消去b ，构造关于a 的函数，结合一元二次函数的性质进行求解即可． 解：（1）若a=1，则f （x ）=x 2﹣2x+1﹣b ，则不等式f （x ）≥x ﹣1在b ∈[6，17]上有解，等价为不等式x 2﹣2x+1﹣b≥x ﹣1在b ∈[6，17]上有解， 即x 2﹣3x+2≥b 在b ∈[6，17]上有解， 即x 2﹣3x+2≥6，得x 2﹣3x ﹣4≥0， 即x≥4或x≤﹣1． （2）若b=0，则g （x ）==ax ﹣（a+1）+，若g （x ）是奇函数，则g （﹣x ）=﹣g （x ），即﹣ax ﹣（a+1）﹣=﹣（ax ﹣（a+1）+）=﹣ax+（a+1）﹣， 即﹣（a+1）=a+1，则a+1=0，则a=﹣1． 即g （x ）=﹣x+，当x ＞0时，函数y=﹣x 为减函数，y=为减函数， 则g （x ）=﹣x+为减函数．（3）若f （﹣1）=0，则2a+2﹣b=0，即b=2a+2， ∵|a ﹣b|≤t （t ＞0）， ∴﹣2﹣t≤a≤﹣2+t ，a 2+b 2+b=a 2+（2a+2）2+2a+2=5a 2+10a+6， 令g （a ）=5a 2+10a+6，对称轴为a=﹣1， ∵t ＞0，∴﹣2﹣t ＜﹣2＜﹣1，①若0＜t≤1，则﹣2+t≤﹣1，则g （a ）min =g （﹣2+t ）=5t 2﹣10t+6， ②若t ＞1，则﹣2+t ＞﹣1，则g （a ）min =g （﹣1）=1． 【考点】二次函数的性质；函数奇偶性的性质．6.设函数y=f （x ）的定义域为D ，值域为A ，如果存在函数x=g （t ），使得函数y=f （g （t ））的值域仍是A ，那么称x=g （x ）是函数y=f （x ）的一个等值域变换．（1）已知函数f （x ）=x 2﹣x+1，x ∈B ，x=g （t ）=log 2t ，t ∈C ． 1°若B ，C 分别为下列集合时，判断x=g （t ）是不是函数y=f （x ）的一个等值域变换：①B=R ，C=（1，+∞）；②B=R ，C=（2，+∞） 2°若B=[0，4]，C=[a ，b]（0＜a ＜b ），若x=g （t ）是函数y=f （x ）的一个等值域变换，求a ，b 满足的条件； （2）设f （x ）=log 2x 的定义域为x ∈[2，8]，已知x=g （t ）=是y=f （x ）的一个等值域变换，且函数y=f[g （t ）]的定义域为R ，求实数m ，n 的值． 【答案】（1）或．（2）或．【解析】（1）根据等值域变换的定义，分别进行推导判断即可．（2）利用f （x ）的定义域，求得值域，根据x 的表达式，和t 值域建立不等式，利用存在t 1，t 2∈R 使两个等号分别成立，求得m 和n ．解：1°f （x ）=x 2﹣x+1=（x ﹣）2+≥，即函数f （x ）的值域为[，+∞），①C=（1，+∞）时，g （t ）∈（0，+∞），f （g （t ））=（g （t ））2﹣g （t ）+1=（g （t ）﹣）2+≥， 即函数f （g （t ））的值域为[，+∞），即x=g （t ）是函数y=f （x ）的一个等值域变换②B=R ，C=（2，+∞）时，g （t ）∈（1，+∞），f （g （t ））=（g （t ））2﹣g （t ）+1=（g （t ）﹣）2+＞1′， 即函数f （g （t ））的值域为（1，+∞），即x=g （t ）不是函数y=f （x ）的一个等值域变换， 故①是等值域变换，②不等值域变换2°B=[0，4]，C=[a ，b]（0＜a ＜b ），f （x ）的值域为[，13]，x=g （t ）的值域是[log 2a ，log 2b] 当f （x ）=13时，x=﹣3或4，结合图象可知，若x=g （t ）是函数y=f （x ）的一个等值域变换， 则或，解得或，故若x=g （t ）是函数y=f （x ）的一个等值域变换，则a ，b 满足的条件是：或．（2）f （x ）=log 2x 定义域为[2，8]，由y=log 2x ，知1≤y≤3， 即f （x ）=log 2x 的值域为[1，3]，因为x=g （t ）是y=f （x ）的一个等值域变换，且函数f （g （t ））的定义域为R ， 所以x=g （t ）=，t ∈R 的值域为[2，8]，则2≤≤8，∴2（t 2+1）≤mt 2﹣3t+n≤8（t 2+1）， 所以，恒有，且存在t 1，t 2∈R 使两个等号分别成立，于是，解得或．【考点】函数与方程的综合运用；函数的定义域及其求法；函数的值域．。
最新版江苏省高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案
高一数学一、填空题 1.函数x y 2sin 21=图象的振幅为 . 2.已知角α的终边经过点)5,12(P ，则αtan 的值为 .3.已知51cos sin =+αα，则=α2sin . 4.直线l 经过两点)3,2(A ，)1,4(B ，则直线l 的斜率为 .5.直线0232=-+y x 与直线01)12(=+-+y m mx 垂直，则实数m 的值为 .6.已知直线l 经过直线02=+-y x 和012=++y x 的交点，且直线l 与直线023=+-y x 平行，则直线l 的方程为 .7.函数)2|)(|3sin 2πϕϕ<+=x y （图象的一条对称轴为直线12π=x ，则=ϕ .8.与点)3,4(A ，)2,5(B ，)0,1(C 距离都相等的点的坐标为 .9.已知直线l 过点)2,2(P ，且直线l 在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l 的方程为 .10.在三角形ABC 中，45=A ，2=b ，三角形ABC 的面积为213+，则Ccsin 的值为 .11.已知M 为三角形ABC 的边BC 的中点，过线段AM 的中点G 的直线分别交线段AB ，AC 于点P ，Q .若x =，y =，则y x +的值是 .12.若33)6cos =-θπ（，则=--+)23cos 3)65cosθπθπ（（ .13.圆0222=-+ax y x 上有且仅有一点满足:到定点)0,0(O 与)0,3(A 的距离之比为2，则实数a 的取值范围为 .14.在平面直角坐标系xOy 中，直线2+=kx y 与圆O :122=+y x 交于B A ,两点，若圆O 上存在点C 满足⋅+⋅=ααsin cos ，其中α为锐角，则k 的值为 . 二、解答题15. 已知向量)sin ,1(x =，)21,(cos x =，其中]2,2[ππ-∈x . （1）若//，求实数x 的值；（2）若⊥，求向量的模||.16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知)0,3(A ，)4,0(B ，),6(t C .（1）若点C B A ,,在同一条直线上，求实数t 的值；（2）若ABC ∆是以BC 为底边的等腰三角形，求ABC ∆的面积.17.已知βα，均为锐角，且2626sin =α，32tan =β. （1）求βα+的值；（2）求)2cos(βα+的值.18. 如图所示，某公园内从点A 处出发有两条道路AC AB ,连接到南北方向的道路BC .从点A 处观察点B 和点C 的方位角分别是PAB ∠和PAC ∠，且257cos =∠PAB ，53C cos =∠PA ， 2.5km =AB . （1）求AC 和BC ；（2）现有甲乙二人同时从点A 处出发，甲以5h km /的速度沿道路AC 步行，乙以6h km /的速度沿C B A --路线步行，问半小时后两人的距离是多少？19.已知圆O :422=+y x 交x 轴于B A ,两点，点P 是直线4=x 上一点，直线PB PA ,分别交圆O 于点M N ,.（1）若点)2,0(N ，求点M 的坐标；（2）探究直线MN 是否过定点，若过定点，求出该定点；若不存在，请说明理由.20.已知直线01=++y x 与圆C :0222=+-++a ay x y x 交于B A ,两点. （1）若3=a ，求AB 的长；（2）是否存在实数a 使得以AB 为直径的圆过原点，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由；（3）若对于任意的实数21≠a ，圆C 与直线l 始终相切，求出直线l 的方程.2015~2016学年度第二学期期末学情调研高一数学参考答案一、填空题：1．21； 2．125； 3．2524-； 4．1-； 5．83； 6．043=+-y x ； 7．4π； 8．)1,3(；9．04=-+y x 或0=-y x ； 10．22； 11．4； 12．0； 13．{1,3}； 14．7±三、解答题：本大题共6个题，共70分． 15．解：（1）因为//，所以21cos sin =x x ， 所以12sin =x ，因为]2,2[ππ-∈x ，所以4π=x . （2）因为⊥，所以0cos sin 21=+x x ，所以2tan -=x ， 所以55314411tan tan 1cos sin sin 1sin 1||222222=++=++=++=+=x x x x x x . 16．解：（1）由题意知)4,3(-=，),3(t =.因为点C B A ,,在同一条直线上，所以AC AB //，所以0123=--t ，所以4-=t .（2）因为ABC ∆是以BC 为底边的等腰三角形，所以BC AC =.因为54322=+=AB ，29t AC +=，所以ABC ∆的面积为1255242121=⨯⨯=⨯⨯=AB d S . 17．（1）因为α为锐角，且2626sin =α，所以26265cos =α，51tan =α， 因为1325113251tan tan 1tan tan )tan(=⨯-+=-+=+βαβαβα，又因为),0(πβα∈+，所以4πβα=+. （2）因为β为锐角，且32tan =β，所以13132sin =β，13133cos =β，所以2626221313222131334sinsin 4coscos )4cos()2cos(=⨯-⨯=-=+=+πβπβπββα.18．（1）因为257cos =∠PAB ，53C cos =∠PA ， 2.5km =AB ，所以在ABC ∆中，257cos -=B ，53C cos =，所以2524sin =B ，54C sin =，12544sin cos cos sin )sin(sin =+=+=C B C B C B A ， 在ABC ∆中，由正弦定理B AC A BC C AB sin sin sin ==得：)(1.1s i n s i n km CAAB BC ==，)(3sin sin km CBAB AC ==（2）半小时后，假设甲位于点D ，则km AB 5.2=，假设乙位于点E ，因为乙的路程为km 3，大于km 5.2，故点应位于道路BC 上，且km CE 6.0=，在CDE ∆中，由余弦定理得：2222225.06.06.05.026.05.0cos 2=⨯⨯⨯-+=⋅-+=C CE DC CE DC DE ，所以km DE 5.0=.19.解：（1）因为点)2,0(N ，)0,2(-A ，所以直线AN 的方程为2+=x y ，令4=x ，则)6,4(P ，又因为)0,2(B ，所以直线BP 的方程为)2(3-=x y ，由)2(3-=x y 及422=+y x ，得)56,58(-M 。
2022-2023学年江苏省苏州高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省苏州高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．cos105°cos45°+sin105°sin45°＝（ ） A ．12B ．−12C ．√32D ．−√322．已知复数z 是一元二次方程x 2+2x +2＝0的一个根，则|z |＝（ ） A ．0B ．1C ．√2D ．23．抛掷三枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，“既有正面向上，也有反面向上”的概率为（ ） A ．14B ．38C ．12D ．344．已知A （2，3），B （4，﹣3），点P 在线段AB 的延长线上，且|AP →|=2|PB →|，则点P 的坐标为（ ） A ．（0，9） B ．（6，﹣9） C ．(103，−1) D ．（6，﹣9）或(103，−1) 5．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”的“祖暅原理”，其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高．如图，已知正六棱台的上、下底面边长分别为1和2，高为2√3，一个不规则的几何体与此棱台满足“幂势既同”，则该几何体的体积为（ ）A ．72√33B ．16√3C ．18√3D ．216．已知平面向量a →，b →满足|b →|=1，a →⋅b →=−2，则3a →−b →在b →上的投影向量为（ ） A ．7b →B ．−7b →C ．5b →D ．−5b →7．已知a =45，b =sin 23，c =cos 13，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a8．用长度分别为2，3，4，5，6（单位：cm ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（ ） A ．8√5cm 2B ．6√10cm 2C ．15√2cm 2D ．3√55cm 2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知一组数据4，2，a ，10，7的平均数为5，则此组数据的（ ） A ．众数为2B ．中位数为4C ．极差为3D ．方差为48510．下列条件中能推导出△ABC 一定是锐角三角形的有（ ） A ．AB →⋅AC →＞0B ．sin A ：sin B ：sinC ＝4：5：6C ．cos A cos B cos C ＞0D ．tan A •tan B ＝211．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子（如图1），打开后形成以O 为圆心的两个扇形（如图2），若∠AOB ＝150°，OA ＝2OC ＝2，点F 在AB ̂上，∠BOF ＝120°，点E 在CD ̂上，OE →=xOC →+yOD →（x ，y ∈R ），则（ ）A ．OE →⋅EF →的取值范围为[﹣2，1] B ．OE →⋅EF →的取值范围为[﹣3，1] C ．当OE →⊥EF →时，x +y =1+√3D ．当OE →⊥EF →时，x +y =2+√312．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 在线段AC 上运动，则下列说法正确的有（ ） A ．B 1P ⊥BD 1B ．三棱锥C 1﹣A 1DP 的体积为定值C ．若Q 为棱BC 上一动点，则△B 1PQ 的周长的最小值为√3+1D ．过P 作平面α，使得A 1C ⊥α，则α截正方体所得的截面可以是四边形 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知事件A 与B 相互独立，P （A ）＝0.6，P （AB ）＝0.42，则P （A +B ）＝ ．14．已知三条不同的直线a ，b ，c 和两个不同的平面α，β满足以下条件：①a ⊥α，b ⊥β；②α∩β＝m ；③c ⊥a ，c ⊥b ，c ⊄α，c ⊄β，则c 与m 的位置关系是 ．（填“相交”，“平行”或“异面”） 15．已知棱长为4的正四面体A ﹣BCD 的四个顶点都在同一球面上，过棱AB 的中点M 的一个平面截此球所得截面面积为k π（k ∈N *），请写出一个符合条件的k 的值： ． 16．已知α，β为一个斜三角形的两个内角，若cosα−sinαcosα+sinα=cos2β，则tan α+tan β的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知i 为虚数单位，复数z 0＝3+4i ． （1）若复数z 1满足z 1z 0＝3z 1+z 0，求z 1的虚部；（2）设复数z ＝（x 2﹣4x ）+（x +2）i （x ∈R ），若复平面内表示复数z +z 0的点位于第二象限，求x 的取值范围．18．（12分）数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和可能性．苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一，提出了2023年交易金额达2万亿元的目标．现从使用数字人民币的市民中随机选出200人，并将他们按年龄（单位：岁）进行分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中a 的值和第25百分位数；（2）在这200位市民中用分层随机抽样的方法从年䯍在[25，35）和[45，55）内抽取6位市民做问卷调查，并从中随机抽取两名幸运市民，求两名幸运市民年龄都在[25，35）内的概率．19．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 是菱形，平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，AB ⊥BC ，M 和N 分别是AB 和B 1C 1的中点． （1）求证：MN ∥平面AA 1C 1C ； （2）求证：B 1C ⊥AC 1．20．（12分）已知向量a →=(sinx ，cosx)，b →=(cosx ，√3cosx)，函数f(x)=a →⋅b →−√32．（1）若f(x 02)=−13，且x 0∈(−π2，π2)，求sin x 0的值；（2）已知A （﹣3，2），B （3，10），将f （x ）的图象向左平移π12个单位长度得到函数g （x ）的图象．在g（x）的图象上是否存在一点P，使得AP⊥BP？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．21．（12分）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部传世巨著，该书以基本定义、公设和公理作为推理的出发点，第一次实现了几何学的系绕化、条理化，成为用公理化方法建立数学演绎体系的最早典范．书中第Ⅰ卷第47号命题是著名的毕达哥拉斯（勾股定理），证明过程中以直角三角形ABC中的各边为边分别向外作了正方形（如图1）．某校数学兴趣小组对上述图形结构作拓广探究，提出了如下问题，请帮忙解答．问题：如图2，已知△ABC满足AC=2√2，AB＝2，设∠BAC＝θ（0＜θ＜π），四边形ABGF、四边形ACED、四边形BCQP都是正方形．（1）当θ=π2时，求EQ的长度；（2）求AQ长度的最大值．22．（12分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，DE＝3，AE＝2，BC＝CD＝1，∠BCD=∠CDE=2π3，∠AEB=π2．（1）当AB⊥BC时，求直线AB与平面BCDE所成角的大小；（2）当二面角A﹣BE﹣C为π3时，求平面ABC与平面ADE所成二面角的正弦值．2022-2023学年江苏省苏州高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．cos105°cos45°+sin105°sin45°＝（ ） A ．12B ．−12C ．√32D ．−√32解：cos105°cos45°+sin105°sin45°=cos(105°−45°)=cos60°=12． 故选：A ．2．已知复数z 是一元二次方程x 2+2x +2＝0的一个根，则|z |＝（ ） A ．0B ．1C ．√2D ．2解：设z ＝a +bi ，a ，b ∈R ，（a +bi ）2+2（a +bi ）+2＝0，即a 2﹣b 2+2a +2+（2ab +2b ）i ＝0，故{a 2−b 2+2a +2=02ab +2b =0，解得{a =−1b =1或{a =−1b =−1，故z ＝﹣1±i ，所以|z|=√1+1=√2． 故选：C ．3．抛掷三枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，“既有正面向上，也有反面向上”的概率为（ ） A ．14B ．38C ．12D ．34解：抛掷三枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况： （正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）， （反，反，正），（反，正，反），（正，反，反），（反，反，反）， 共有8种不同的结果，既有正面向上，也有反面向上情况：（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）， （反，反，正），（反，正，反），（正，反，反）， 有6种不同的结果，所以，既有正面向上，也有反面向上的概率为68=34．故选：D ．4．已知A （2，3），B （4，﹣3），点P 在线段AB 的延长线上，且|AP →|=2|PB →|，则点P 的坐标为（ ）A ．（0，9）B ．（6，﹣9）C ．(103，−1) D ．（6，﹣9）或(103，−1) 解：由题意得，点B 为AP 中点，设点P （x ，y ），则{x+22=4y+32=−3，解得{x =6y =−9，所以点P 的坐标为（6，﹣9）． 故选：B ．5．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”的“祖暅原理”，其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高．如图，已知正六棱台的上、下底面边长分别为1和2，高为2√3，一个不规则的几何体与此棱台满足“幂势既同”，则该几何体的体积为（ ）A ．72√33B ．16√3C ．18√3D ．21解：因为正六棱台的上下底面为正六边形， 所以S 上=6×√34×12=3√32，S 下=6×√34×22=6√3， 所以V 六棱台=13(3√32+6√3+√3√32×6√3)×2√3=21， 由祖暅原理知该几何体的体积也为21． 故选：D ．6．已知平面向量a →，b →满足|b →|=1，a →⋅b →=−2，则3a →−b →在b →上的投影向量为（ ） A ．7b →B ．−7b →C ．5b →D ．−5b →解：由题意，3a →−b →在b →上的投影向量为(3a →−b →)⋅b→|b →|•b →=3a →⋅b →−b→2|b →|•b →=3×(−2)−11•b →=−7b →． 故选：B ．7．已知a =45，b =sin 23，c =cos 13，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a解：因为sin 23＜sin π4=√22＜45＜sin π3=√32，c =cos 13＞cosπ6=√32＞45=a ， 所以c ＞a ，所以b ＜a ＜c ． 故选：C ．8．用长度分别为2，3，4，5，6（单位：cm ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（ ） A ．8√5cm 2B ．6√10cm 2C ．15√2cm 2D ．3√55cm 2解：方法一：因为三角形的周长为20，所以三角形越接近等边三角形，面积越大，所以三边长为6，7，7时面积最大，此时边长为6的边上的高为√72−32=2√10，面积为S =12×6×2√10=6√10， 方法二：设三角形的三边分别为a ，b ，c ， 令p =a+b+c2，则p ＝10．由海伦公式S =√p(p −a)(p −b)(p −c)， 知S =√10(10−a)(10−b)(10−c)≤√10[(10−a)+(10−b)+(10−c)3]3=100√39＜20＜3√55， 由于等号成立的条件为10﹣a ＝10﹣b ＝10﹣c ，故“＝”不成立， ∴S ＜20＜3√55．排除CD ；由以上不等式推测，当三边长相等时面积最大，故考虑当a ，b ，c 三边长最接近时面积最大， 此时三边长为7，7，6，用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为6组成三角形，此三角形面积最大，解法同一可知面积为6√10cm 2， 故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知一组数据4，2，a ，10，7的平均数为5，则此组数据的（ ） A ．众数为2 B ．中位数为4C ．极差为3D ．方差为485解：由题意可得4+2+a+10+75=5⇒a =2，所以A 正确：2，2，4，7，10的中位数为4，故B 正确； 极差为10﹣2＝8，故C 错误；对于D ：S 2=(4−5)2+(2−5)2+(2−5)2+(10−5)2+(7−5)25=485，D 正确．10．下列条件中能推导出△ABC 一定是锐角三角形的有（ ） A ．AB →⋅AC →＞0B ．sin A ：sin B ：sinC ＝4：5：6C ．cos A cos B cos C ＞0D ．tan A •tan B ＝2解：对于A ，因为AB →⋅AC →=|AB →||AC →|cos〈AB →⋅AC →〉＞0，即cos〈AB →⋅AC →〉＞0， 又0＜〈AB →⋅AC →〉＜π，故角A 为锐角，但无法确定另两个角的范围，故△ABC 不一定是锐角三角形，故A 错误； 对于B ：因为sin A ：sin B ：sin C ＝4：5：6，由正弦定理得a ：b ：c ＝4：5：6， 令a ＝4k ，则b ＝5k ，c ＝6k ，显然最大角为C ，且cosC =a 2+b 2−c 22ab =(4k)2+(5k)2−(6k)22×4k×5k＞0， 所以最大角C 为锐角，所以△ABC 一定是锐角三角形，故B 正确； 对于C ，因为cos A cos B cos C ＞0，若cos A ＜0，则cos B ＜0，cos C ＞0或cos B ＞0，cos C ＜0，又0＜A ，B ，C ＜π，则除了角A 为钝角外，还有一角为钝角，矛盾； 同理cos B ＜0，cos C ＜0都不可能，故cos A ＞0，cos B ＞0，cos C ＞0，即三个角均为锐角，故C 正确；对于D ，因为tan A •tan B ＝2＞0，易知tan A ＞0，tan B ＞0，则A ，B 均为锐角， 又tanC =−tan(A +B)=−tanA+tanB1−tanA⋅tanB=tanA +tanB ＞0，则C 也为锐角，所以△ABC 一定为锐角三角形，故D 正确． 故选：BCD ．11．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子（如图1），打开后形成以O 为圆心的两个扇形（如图2），若∠AOB ＝150°，OA ＝2OC ＝2，点F 在AB ̂上，∠BOF ＝120°，点E 在CD ̂上，OE →=xOC →+yOD →（x ，y ∈R ），则（ ）A ．OE →⋅EF →的取值范围为[﹣2，1]B ．OE →⋅EF →的取值范围为[﹣3，1]C ．当OE →⊥EF →时，x +y =1+√3D ．当OE →⊥EF →时，x +y =2+√3解：对于A ，OE →⋅EF →=OE →⋅(OF →−OE →)=OE →⋅OF →−OE →2=OE →⋅OF →−1=2cos∠EOF −1， 因为∠EOF ∈[0，2π3]．所以cos ∠EOF ∈[−12，1]，所以2cos ∠EOF ﹣1∈[﹣2，1]， 即OE →⋅EF →∈[−2，1]，A 正确；B 错误；对于C ，如图，当OE →⊥EF →时，可判断E 为BF 中点，OF ＝2OE ＝2，则∠OFE ＝∠AOF ＝30°，OA ∥BF ，作EM ∥OB ，则四边形OBEM 为平行四边形， 则OE →=OM →+OB →，OM =BE =EF =√3，所以OM →=√3OC →，OB →=2OD →， 所以OE →=OM →+OB →=√3OC →+2OD →．所以x +y =2+√3，C 错误，D 正确． 故选：AD ．12．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 在线段AC 上运动，则下列说法正确的有（ ） A ．B 1P ⊥BD 1B ．三棱锥C 1﹣A 1DP 的体积为定值C ．若Q 为棱BC 上一动点，则△B 1PQ 的周长的最小值为√3+1D ．过P 作平面α，使得A 1C ⊥α，则α截正方体所得的截面可以是四边形 解：对于A ，在正方体中，DD 1⊥平面ABCD ，所以DD 1⊥AC ， 又因为BD ⊥AC ，BD ∩DD 1＝D 且BD ⊂平面BDD 1，DD 1⊂平面 BDD 1， 所以AC ⊥平面BDD 1，所以AC ⊥BD 1，同理可证AB 1⊥BD 1， 又因为AC ∩AB 1＝A ，AC ⊂平面AB 1C ，AB 1⊂平面AB 1C ，所以BD 1⊥平面AB 1C ，因为B 1P ⊂平面AB 1C ，所以B 1P ⊥B 1D ，故A 正确； 因为在正方体中，AA 1∥CC 1，且AA 1＝CC 1，所以ACC 1A 1是平行四边形， 所以AC ∥A 1C 1，又A 1C 1⊂平面A 1DC 1，AC ⊄平面A 1DC 1，所以AC ∥平面A 1DC 1，又P ∈AC ，所以点P 到平面A 1DC 1的距离为定值，而△A 1DC 面积为定值， 所以三棱锥C 1﹣A 1DF 的体积为定值，故B 正确；对C，如图，将△AB1C绕AC旋转，△BB1C绕BC旋转，使得△AB1C与和△BB1C与△ABC共面，如图点P在AC上，点Q在BC上，若△B1PQ周长最小，即B1P+PQ+QB1最小，当B1，P，Q，B1四点共线时，B1P+PQ+QB1最小，在△CB1B1中，由余弦定理得B1B12=（√2）2+（√2）2﹣2×√2×√2×cos150°＝4+2√3，所以B1B1=√3+1，故C正确；对于D，如图，在正方体中，与正方体体对角线垂直的截面只有两种图形，三角形与六边形，所以D错误．故选：ABC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知事件A与B相互独立，P（A）＝0.6，P（AB）＝0.42，则P（A+B）＝0.88．解：因为事件A与B相互独立，所以P（AB）＝P（A）×P（B）＝0.6×P（B）＝0.42⇒P（B）＝0.7，所以P（A+B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝0.6+0.7﹣0.42＝0.88．故答案为：0.88．14．已知三条不同的直线a，b，c和两个不同的平面α，β满足以下条件：①a⊥α，b⊥β；②α∩β＝m；③c⊥a，c⊥b，c⊄α，c⊄β，则c与m的位置关系是平行．（填“相交”，“平行”或“异面”）解：由题意可知，直线a与直线b不平行，过a上一点A作与直线b′∥b，如图所示，则a 与b ′确定一个平面γ， 由a ⊥α，a ⊂γ，则γ⊥α，由b ⊥β，b ′∥b ，则b ′⊥β，又b ′⊂γ，则γ⊥β， 由α∩β＝m ，得m ⊥γ，由c ⊥b ，得c ⊥b ′，又c ⊥a ，a ∩b ′＝A ，a ，b ′⊂γ，所以c ⊥γ， c ⊄a ，c ⊄β，所以c ∥m ． 故答案为：平行．15．已知棱长为4的正四面体A ﹣BCD 的四个顶点都在同一球面上，过棱AB 的中点M 的一个平面截此球所得截面面积为k π（k ∈N *），请写出一个符合条件的k 的值： 4或5或6 ． 解：如图，棱长为4的正四面体ABCD ，置入到正方体中，此正方体棱长为2√2，四面体外接球即为此正方体外接球，球心即为正方体中心O ， 半径R =12×√(2√2)2+(2√2)2+(2√2)2=√6． 则过点M 的最大截面圆即为过球心时，此时截面圆半径即为球半径√6，截面面积为π×(√6)2=6π， 当点M 为截面圆圆心时，此时截面圆面积最小，其中OM =√2， 最小截面圆半径为r =√R 2−OM 2=√6−2=2，截面圆面积为π×22＝4π，所以过点M 的截面圆面积取值范围为[4π，6π]， 所以k ∈{4，5，6}． 故答案为：4或5或6．16．已知α，β为一个斜三角形的两个内角，若cosα−sinαcosα+sinα=cos2β，则tan α+tan β的最小值为 −14 ．解：cosα−sinαcosα+sinα=cos2β，等号左边弦化切，右边用二倍角公式可得，1−tanα1+tanα=cos 2β−sin 2βcos 2β+sin 2β，1−tanα1+tanα=1−tan 2β1+tan 2β，tan α＝tan ²β，∴tan α+tan β＝tan ²β+tan β＝（tan β+12）²−14≥−14，取等号条件：tan β=−12时， 此时tan α=14，tan （α+β）=−29＜0，0＜α＜π2，π2＜β＜π，π2＜(α+β)＜π，0＜π−(α+β)＜π2，∴满足α、β、π﹣（α+β）为一斜三角形内角．所以tan α+tan β最小值为−14． 故答案为：−14．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知i 为虚数单位，复数z 0＝3+4i ． （1）若复数z 1满足z 1z 0＝3z 1+z 0，求z 1的虚部；（2）设复数z ＝（x 2﹣4x ）+（x +2）i （x ∈R ），若复平面内表示复数z +z 0的点位于第二象限，求x 的取值范围．解：（1）设z 1＝a +bi （a ，b ∈R ），则由z 1z 0＝3z 1+z 0可得（a +bi ）（3+4i ）＝3（a +bi ）+3+4i ，整理得﹣4b ﹣3+（4a ﹣4）i ＝0，所以{4a −4=0−4b −3=0，解得a ＝1，b =−34，所以z 1的虚部为−34；（2）z +z 0=(x 2−4x)+(x +2)i +3−4i =(x 2−4x +3)+(x −2)i ， 因为复平面内表示复数z +z 0的点位于第二象限， 所以{x 2−4x +3＜0x −2＞0⇒⇒{1＜x ＜3x ＞2⇒⇒2＜x ＜3，即x 的取值范围为（2，3）．18．（12分）数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和可能性．苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一，提出了2023年交易金额达2万亿元的目标．现从使用数字人民币的市民中随机选出200人，并将他们按年龄（单位：岁）进行分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中a 的值和第25百分位数；（2）在这200位市民中用分层随机抽样的方法从年䯍在[25，35）和[45，55）内抽取6位市民做问卷调查，并从中随机抽取两名幸运市民，求两名幸运市民年龄都在[25，35）内的概率．解：（1）（a +0.03+0.015+0.01×2）×10＝1⇒a ＝0.035， 因为第一组的频率为0.01×10＝0.1，0.1＜0.25， 第二组的频率为0.03×10＝0.3，0.1+0.3＞0.25，所以第25百分位数在第二组，设为x ，则0.1+x−2510×0.3=0.25⇒x =30， 所以第25百分位数为30．（2）年龄在[25，35）的市民人数为200×0.3＝60，年龄在[45，55）的市民人数为200×0.15＝30， 用分层随机抽样的方法抽取年龄在[25，35）的人数为6×6060+30=4人，年龄在[45，55）的人数为6×3060+30=2人，设年龄在[25，35）的4人为A ，B ，C ，D ，年龄在[45，55）的2人为E ，F ，从这6为市民中抽取两名的样本事件为{（AB ），（AC ），（AD ），（AE ），（AF ），（BC ），（BD ），（BE ），（BF ），（CD ），（CE ），（CF ），（DE ），（DF ），（EF ）}，共15种，其中2名年龄都在[25，35）内的样本事件有{（AB ），（AC ），（AD ），（BC ），（BD ），（CD ）}6种， 所以两名幸运市民年龄都在[25，35）内的概率为615=25．19．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 是菱形，平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，AB ⊥BC ，M 和N 分别是AB 和B 1C 1的中点． （1）求证：MN ∥平面AA 1C 1C ； （2）求证：B 1C ⊥AC 1．证明：（1）取AC 中点为Q ，连接MQ ，C 1Q ，∵M ，Q 分别为AB ，AC 中点，∴MQ ∥BC ，MQ =12BC ，∵BC ∥B 1C 1，BC ＝B 1C 1，又N 为B 1C 1中点， ∴NC 1∥BC ，NC 1=12BC ， ∴MQ ∥NC 1，MQ ＝NC 1， ∴四边形MQC 1N 为平行四边形， ∴MN ∥C 1Q ，∵C 1Q ⊂平面AA 1C 1C ，MN ⊄平面AA 1C 1C ， ∴MN ∥平面AA 1C 1C ． （2）连接B 1C ，∵四边形BB 1C 1C 是菱形， ∴B 1C ⊥BC 1，∵平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，平面ABC ∩平面BB 1C 1C ＝BC ，AB ⊂平面ABC ，AB ⊥BC ， ∴AB ⊥平面BB 1C 1C ， 又B 1C ⊂平面BB 1C 1C ， ∴AB ⊥B 1C ，∵AB ∩BC 1＝B ，AB ，BC 1⊂平面ABC 1， ∴B 1C ⊥平面ABC 1， ∵AC 1⊂平面ABC 1， ∴B 1C ⊥AC 1．20．（12分）已知向量a →=(sinx ，cosx)，b →=(cosx ，√3cosx)，函数f(x)=a →⋅b →−√32．（1）若f(x02)=−13，且x 0∈(−π2，π2)，求sin x 0的值； （2）已知A （﹣3，2），B （3，10），将f （x ）的图象向左平移π12个单位长度得到函数g （x ）的图象．在g （x ）的图象上是否存在一点P ，使得AP ⊥BP ？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）f(x)=a →⋅b →−√32=sinxcosx +√3cos 2x −√32=12sin2x +√32(1+cos2x)−√32=sin(2x +π3)，f(x 02)=sin(x 0+π3)=−13，因为x 0∈(−π2，π2)，所以x 0+π3∈(−π6，5π6)，而sin(x 0+π3)=−13＜0，所以x 0+π3∈(−π6，0)， 所以cos(x 0+π3)=√1−sin 2(x 0+π3)=2√23， 所以sinx 0=sin[(x 0+π3)−π3]=12sin(x 0+π3)−√32cos(x 0+π3)=−1+2√66； （2）由题意得g(x)=sin(2(x +π12)+π3)=cos2x ， 假设g （x ）的图象上存在点P （x 1，cos2x 1）使得AP ⊥BP ， 因为AP →=(x 1+3，cos2x 1−2)，BP →=(x 1−3，cos2x 1−10)， 因为AP ⊥BP ，所以AP →⋅BP →=(x 1+3)(x 1−3)+(cos2x 1−2)(cos2x 1−10)=x 12+cos 22x 1−12cos2x 1+11=0， 令ℎ(x 1)=x 12+cos 22x 1−12cos2x 1+11=x 12+(cos2x 1−6)2−25，因为cos2x 1∈[﹣1，1]，所以ℎ(x 1)=x 12+(cos2x 1−6)2−25≥x 12+(1−6)2−25=x 12≥0，当且仅当{x 1=0cos2x 1=1时取等，所以h （x 1）＝0存唯一解x 1＝0，此时cos2x 1＝1，点P （0，1）， 综上，符合条件的点P 坐标为（0，1）．21．（12分）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部传世巨著，该书以基本定义、公设和公理作为推理的出发点，第一次实现了几何学的系绕化、条理化，成为用公理化方法建立数学演绎体系的最早典范．书中第Ⅰ卷第47号命题是著名的毕达哥拉斯（勾股定理），证明过程中以直角三角形ABC 中的各边为边分别向外作了正方形（如图1）．某校数学兴趣小组对上述图形结构作拓广探究，提出了如下问题，请帮忙解答．问题：如图2，已知△ABC 满足AC =2√2，AB ＝2，设∠BAC ＝θ（0＜θ＜π），四边形ABGF 、四边形ACED 、四边形BCQP 都是正方形．（1）当θ=π2时，求EQ的长度；（2）求AQ长度的最大值．解：（1）在△ABC中，AC=2√2，AB＝2，∠BAC=π2，则BC=2√3，cos∠ACB=23，因为∠ACB+∠ECQ＝π，所以cos∠ECQ=cos(π−∠ACB)=−cos∠ACB=√2 3，在△ECQ中，CE=AC=2√2，CQ=BC=2√3，由余弦定理EQ2=CE2+CQ2−2CE×CQ×cos∠ACB=8+12−2×2√2×2√3×√2√3)=36⇒EQ=6，所以EQ的长度为6．（2）在△ABC中，BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•cosθ，所以BC2=12−8√2cosθ，设∠ACB＝α，在△ACQ中，AQ2=AC2+CQ2−2AC⋅CQ⋅cos(α+π2 )，所以AQ2=8+12−8√2cosθ+4√2⋅CQ⋅sinα①，在△ABC中，由正弦定理得ABsinα=BCsinθ，所以CQ•sinα＝BC•sinα＝AB•sinθ＝2sinθ，代入①可得AQ2=20−8√2cosθ+8√2sinθ=20+16sin(θ−π4 )，因为0＜θ＜π，所以−π4＜θ−π4＜3π4，当θ−π4=π2即θ=3π4时，AQ2的最大值为20+16＝36，所以AQ长度的最大值为6．22．（12分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，DE＝3，AE＝2，BC＝CD＝1，∠BCD=∠CDE=2π3，∠AEB=π2．（1）当AB⊥BC时，求直线AB与平面BCDE所成角的大小；（2）当二面角A﹣BE﹣C为π3时，求平面ABC与平面ADE所成二面角的正弦值．解：（1）如图，延长BC ，ED 交于点F ，连接AF ．∵∠BCD =∠CDE =2π3，∴∠FCD =∠FDC =π3，故△CDF 为等边三角形， ∴CF ＝DF ＝1，∠F =π3．∵DE ＝3，BC ＝1，∴BF ＝2，EF ＝DF +DE ＝4，在△BEF 中，由余弦定理得BE 2＝BF 2+EF 2﹣2BF •EF cos ∠BFE ＝12， ∴BE =2√3，∴BF 2+BE 2＝EF 2，∴BC ⊥BE ．∵AB ⊥BC ，AB ∩BE ＝B ，∴BC ⊥平面ABE ． ∵AE ⊂平面ABE ，∴BC ⊥AE ． ∵AE ⊥BE ，BE ∩BC ＝B ， ∴AE ⊥平面BCDE ，∴∠ABE 即为直线AB 与平面BCDE 的所成角， 在Rt △AEB 中，tan ∠ABE =AEBE =√33， 故直线AB 与平面BCDE 所成角的大小为π6．（2）过E ，F 分别作BC ，BE 的平行线交于点G ，连接AG ，取EG 的中点H ，连接AH ．则四边形BFGE 为平行四边形， 由（1）知，BF ＝2，故EG ＝2，∵BC ⊥BE ，EG ∥BC ，∴EG ⊥BE ．又∵AE ⊥BE ，∴∠AEG 为二面角A ﹣BE ﹣C 的平面角，即∠AEG =π3． 在△AEG 中，∵AE ＝EG ＝2，∠AEG =π3，∴△AEG 为等边三角形， ∴AH ⊥EG ，且AH =√3，AG ＝2． 由（1）知BC ⊥BE ，∴EG ⊥BE ，∵AE ⊥BE ，AE ∩EG ＝E ，∴BE ⊥平面AEG ． ∵AH ⊂平面AEG ，∴BE ⊥AH ． ∵EG ∩BE ＝E ，∴AH ⊥平面BFGE ， ∵FG ∥BE ，∴FG ⊥平面AEG ， ∵AG ⊂平面AEG ，∴FG ⊥AG ，在△AFG 中，AG ＝2，FG =2√3，∠AGF =π2，∴AF ＝4． 在△AEF 中，AE ＝2，EF ＝AF ＝4，∴cos ∠EAF =AE 2+AF 2−EF 22AE⋅AF=4+16−162×2×4=14， 故sin ∠EAF =√1−cos 2∠EAF =√154，∴S △AEF =12AE ⋅AFsin∠EAF =√15． 易求得S △BEF =2√3．设点B 到平面AEF 和边AF 的距离分别为d 1，d 2， ∵V A ﹣BEF ＝V B ﹣AEF ，∴13S △BEF ⋅AH =13S △AEF ⋅d 1，即2√3×√3=√15×d 1，∴d 1=6√15． 在△ABF 中，AB ＝AF ＝4，BF ＝2，故△ABF ≌△FEA ， 故S △ABF ＝S △AEF ，∴12×4×d 2=√15，∴d 2=√152．设平面ABC 与平面ADE 所成二面角的大小为θ，则sinθ=d1d 2=6√152√15=45．。
2024届江苏省南京市、盐城市高一数学第二学期期末综合测试试题含解析
2024届江苏省南京市、盐城市高一数学第二学期期末综合测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 等于（ ）A ．56B ．153C ．52D ．1562． “结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量.如图所示的是一位农民记录自己采摘果实的个数.在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一.根据图示可知，农民采摘的果实的个数是（ ）A ．493B ．383C ．183D ．1233．若tan 0α>，则（ ） A ．sin 0α> B ．cos 0α>C ．sin 20α>D ．cos20α>4．已知ππ042βα<<<<，且π10sin 410α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π4sin 45β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()sin αβ+=( )A ．1010B ．1010-C ．31010D ．31010-5．设集合{1,2,3,4,5},{1,2,5}U A ==，则U C A =（ ） A ．{1,5}B ．{3,4}C ．{3,5}D ．{1,2,3,4,5}6．给出下列命题：（1）存在实数α使5sin cos 3αα+= . （2）直线20192x π=是函数cos y x =图象的一条对称轴. （3）()()cos sin y x x R =∈的值域是[]cos1,1.（4）若,αβ都是第一象限角，且sin sin αβ>，则tan tan αβ>. 其中正确命题的题号为（ ） A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（1）（4）7．汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以16等于58，如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为（ ）A ．32B ．40C ．32103D ．1038．某单位职工老年人有30人，中年人有50人，青年人有20人，为了了解职工的建康状况，用分层抽样的方法从中抽取10人进行体检，则应抽查的老年人的人数为（ ） A ．3B ．5C ．2D ．19．直线310x y -+=的倾斜角为 A ．23π B ．56π C ．3π D ．6π 10．正四棱柱的高为3cm ,17,则正四棱柱的侧面积为( ) A ．10B ．24C ．36D ．40二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高一下学期期末考试（数学）
一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1.已知集合{
}{}=⋂==B A B A ,4,3,2,5,3,1 2.在等比数列{}n a 中，若===642,1,4a a a 则 3.函数164-=
x y 的定义域为
4.计算=+8
5
lg
4lg 2 5.在ABC ∆中，设角B A ,所对边分别为b a ,，若
b
B
a A cos sin =
，则角=B 】
6.一个容量为
20
的数据样本分组后，分组与频数为：
(](](](](](]个。
个；个；个；个；个2,70,604,60,505,50,404,40,303,30,20;2,20.10则样本数据在(]5010，上的频率为
7.已知α为第二象限角，且=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=
4cos ,54sin παα则 8.已知向量()()2,1,1,3==b a ，则向量b a 与的夹角=θ
9.投掷一颗质地均匀的骰子两次，观察出现的点数，记下第一次的点数为m ，第二次的点数为n ，设向量()()n b m a ,3,2,==，则“向量b a 与共线”的概率为 10.计算=-
40sin 160cos 140cos 200sin 11.已知正数y x ,满足,12=+y x 则
y
x 1
1+的最小值 12.一个伪代码如右图所示，输出的结果是
S
Print For
End I ×3 +S S 10 to 1 From I For 1
S ←← ：
13.若对任意的实数n m ,，都有()()()()21005,=+=+f n m f n f m f 且，则
()()()()=++++2009531f f f f
14.已知()
为常数a a 100≤≤，在区间[]100，
上任取两个实数y x ,，设“a y x ≤+2”的概率为p ，“a y x ≥-2”的概率为q ，若有q p ≤，则实数a 的取值范围 二．解答题（本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
）
15.（本小题满分14分）
已知函数()x
x
x f +-=11lg
（1）求()x f 的值域；（2）证明()x f 是奇函数；（3）判断函数()x f y =与2=y 的图像是否有公共点，并说明理由。
.
—
16.（本小题满分14分）
已知向量()(
)
x x n x x m cos 2,cos 3,cos ,sin 2==，定义函数()1-⋅=n m x f
（1） 求()x f 的最小正周期 （2） 求()x f 的单调递增区间 /
|
17.（本小题满分14分）
在ABC ∆中，已知角A,B,C 所对的三条边分别是c b a ,,，且c
a b
C B +-
=2cos cos （1） 求角B 的大小
（2） 若4,13=+=c a b ，求ABC ∆的面积
|
（
18.（本小题满分16分） 已知函数()x
x
x f 42-=
（1） 求()x f 的值域；
（2） 解不等式()x
x f 2916⨯->；
（3） ^
（4）
若关于x 的方程()m x f =在[]1,1-上有解，求m 的取值范围
~
19.（本小题满分16分）
如图所示，某学校的教学楼前有一块矩形空地ABCD ，其长为32米，宽为18米，现要在此空地上种植一块矩形草坪，三边留有人行道，人行道宽度为a 米与b 米均不小于2米，且要求“转角处（图中矩形AEFG ）”的面积为8平方米 （1） 试用a 表示草坪的面积()a S ，并指出a 的取值范围
（2） 如何设计人行道的宽度a 、b ，才能使草坪的面积最大并求出草坪的最大面积。
（3） 直接写出（不需要给出演算步骤）草坪面积的最小值及此时a 的值
？
@
20.(本小题满分16分)
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足n n a S -=2 （1） 求数列{}n a 的通项公式
（2） 设数列{}n b 满足2
n n n a a b -=λ，若5≥n 时，n n b b <+1恒成立，求实数λ的取值
范围
【。