2018年江苏省高一下学期期中考试数学试卷

2018年江苏省高一下学期期中考试数学试卷参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高． 锥体的体积3ShV =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 球的体积343R V π=，其中R 是球的半径．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．sin15cos15的值是 ▲ ． 2．若tan 2α=，则tan 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值是 ▲ ． 3．正方体1111ABCD A BC D -中，异面直线11AC 与1B C 所成角的大小是 ▲ ． 4．函数2sin sin cos y x x x =+的最小正周期是 ▲ ．5．在ABC ∆中，如果4:3:2sin :sin :sin =C B A ,那么cos C = ▲ ．6．将一个底面半径为2，高为9的圆柱形铁块熔化后重新铸造成一个半径为r 的铁球（不及损耗），则r 的值为 ▲ ．7．在△ABC 中，已知cos cos a A b B =，则△ABC 的形状是 ▲ ． 8．若圆锥的侧面展开图是半径为10、圆心角为65π的扇形,则该圆锥的体积为 ▲ ． 9．为了测量灯塔AB 的高度，第一次在C 点处测得30=∠ACB ，然后向前走了40米到达点D 处测得45ADB ∠=，点B D C ,,在同一直线上，则灯塔AB 的高度为 ▲ ． 10．已知13sin ),0142πααββα=-=<<<，则β＝ ▲ ．11．已知,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面．给出下列命题： ①若,,//,//,l m l m ααββ⊂⊂则//αβ； ②若 l m αα⊥⊥且，则//l m ； ③若//,,l m αβαβ⊂⊂则//l m ； ④,//,l m αβαβ⊥⊥，则l m ⊥． 其中正确命题的序号是 ▲ ． 12．△ABC 中，3sin 5A =，cos C =513，则sin B = ▲ ．13．△ABC 中，6a =，60B =，若解此三角形时有两解，则b 的取值范围为 ▲ ．14．△ABC 中，A ＝120°，AB ＝4，点M 是边BC 上一点,且CM ＝4MB ，AM ，则BC 的长为 ▲ ．二、解答题:本大题共6小题，共计90分。

请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（本题满分14分）已知sin 2παπα⎛⎫∈=⎪⎝⎭，，. （1）求cos()4πα+的值；（2）求5sin(2)6πα-的值.已知1111ABCD A BC D -是正方体．（1）证明：11AC ∥平面1ACB ； （2）证明：平面1ACB ⊥平面11B BDD ．17．（本题满分15分）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知5a =，4cos 5B =． （1）若6c =，求b 和sin A 的值；（2）若cos cos c A a C +=ABC △的面积．18．（本题满分15分）已知函数()22cos 2f x x x =+．（1）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求()f x 的值域；（2）在△ABC 中，若C 为锐角，()0f A B +=，AC ＝6，BC ＝AB 的长．已知等腰梯形PDCB 中（如图1），DC ∥PB ，PB =3，DC =1，PD =BC =，A 为PB 边上一点，且P A ⊥AD ，将△P AD 沿AD 折起，使面P AD ⊥面ABCD （如图2）．（1）证明：P A ⊥BC ；（2）若M 为PB 上一点，且PD ∥平面AMC ，求BM 的长； （3）在M 满足（2）的情况下，求多面体P ADCM 的体积．20．（本题满分16分）某农户准备建一个水平放置的直四棱柱形储水窖（如图），其中直四棱柱的高1AA =10m ，底面ABCD 是等腰梯形，AB //CD ,(0)2ADC πθθ∠=<<且2AD =，2.5AB =，.若储水窖顶盖每平方米的造价为100元，侧面每平方米的造价为400元，底部每平方米的造价为500元.（1）试将储水窖的造价y 表示为θ的函数； （2）该农户现有资金4万元，是否能保证无论如何设计，储水窖都能顺利建成． 1.414=）2018年江苏省高一下学期期中考试数学试卷高 一 数 学（答案）一、填空题1．142．－3 3．60° 4．π 5．14- 6．3 7．等腰或直角三角形8．96π 9．)201 10．3π11．② 12．636513. ()14．二、解答题:15．（1）∵()sin 2ααπ∈π=，，，∴cos α== ……3分 ()cos cos cos sin sin sin )αααααπππ+=-=-=；……7分（2）∵2243sin 22sin cos cos2cos sin αααααα==-=-=，……10分∴()()134sin2sin cos 2cos sin 2666255ααα⎛5π5π5π-=-=⨯+⨯-= ⎝14分 16．（1）证明：因为在正方体1111D C B A ABCD -中，1111//BB ，AA BB AA =，1111//BB ，CC BB CC =，所以1111//AA ，CC AA CC =，所以四边形C C AA 11为平行四边形…………………………………………2分 所以AC C A //11………………………………………4分 因为⊄11C A 面，ACB 1，⊂AC 面，ACB 1所以//11C A 面1ACB …………………………………………7分（2）因为在正方体1111D C B A ABCD -中，⊥1BB 面ABCD ，⊂AC 面ABCD所以⊥1BB AC …………………………………………9分2018．04因为ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥……………………11分 因为1BB BD B =，⊂BD 面D D BB 11，⊂BD 面D D BB 11所以⊥AC 面D D BB 11…………………………………………13分因为⊂AC 面，ACB 1所以面⊥1ACB 面D D BB 11………………………14分 注意：本次阅卷按逻辑段给分．1.如果逻辑段的条件和结论均正确，才能给分；否则，该逻辑段得零分，但不影响后面逻辑得分；2.用定理时，条件缺一不可；3.如果某逻辑段结论未写，且此结论为下一逻辑的条件之一，则这两个逻辑段均不给分．17．解：（1）在ABC △中，由余弦定理，得2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b =. …………2分又3sin 5B === …………4分由正弦定理sin sin a bA B =,得sin sin 13a B Ab ==.所以b sin A . …………7分（2）由余弦定理知22222222b c a a b c ca b bc ab+-+-+==． …………10分 由余弦定理知2222cos b a c ac B =+-，所以244525255c c =+-⨯⨯⨯解得10c =或2c =-（舍去） …………13分 113s i n 51015225S a c B ==⨯⨯⨯=． …………15分18．解：(1) f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋1＋3sin 2x＝2sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭＋1[或＝2cos 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＋1]． ………3分当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，72,666x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，1sin 2,162x π⎛⎫⎛⎤+∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦所以()f x 的值域为(]0,3 ……. 7分 (2) 由f (A ＋B )＝0，得sin 226A B π⎛⎫++⎪⎝⎭＝－12. 因为A ，B 是△ABC 的内角，所以2A ＋2B ＋π6＝7π6或2A ＋2B ＋π6＝11π6，解得A ＋B ＝π2或A ＋B ＝5π6 …………10分因为A ＋B ＋C ＝π，所以C ＝π2，或C ＝π6.因为C 为锐角，所以C ＝π6 …………12分因为AC ＝6，BC ＝所以由余弦定理得，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos C ＝36＋27－2×6××32＝9，即AB ＝3. ……15分19．证明：（1）因为P A ⊥AD ，P A ⊂平面P AD ，平面P AD ∩平面ABCD =AD ，面P AD ⊥面ABCD ，所以AP ⊥平面ABCD ， ……2分 又因为BC ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥BC ． ……4分 （2）连结DB 交AC 于点O ，由平几知识得1,2PA AB == …… 因为PD ∥平面AMC ，PD ⊂平面PDB ，平面AMC ∩平面PDB ＝OM ， 所以OM ∥PD ， ……6分 因为PB =3，DC =1，所以AB =2＝2 DC ，又因为DC ∥AB ，所以BO :DO ＝2:1， ……8分 又OM ∥PD ，所以BM :MP ＝BO :DO ＝2:1，又Rt PBA ∆中，PB =3BM =；……10分 注意：本次阅卷按逻辑段给分．1.如果逻辑段的条件和结论均正确，才能给分；否则，该逻辑段得零分，但不影响后面逻辑得分；2.用定理时，条件缺一不可；3.如果某逻辑结论未写，且此结论为下一逻辑的条件之一，则这两个逻辑段均不给分． （3）由（2）知，BM :MP ＝BO :DO ＝2:1，所以23BM BP =所以M 到平面ABCD 的距离是P 到平面ABCD 距离的23， P ABCD M ABC V V V --=-＝112333ABCD ABC S PA S PA ∆⎛⎫- ⎪⎝⎭＝()1111251211213232318⎡⎤⎛⎫⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ ……16分（若有其它解法，依步给分）20．解：（1）过A 作AE DC ⊥，垂足为E ，则2sin AE θ=，2cos DE θ=，4cos 2.5CD θ=+ ………………2分()1105001010024002104002y AB CD AB CD AE AD =⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯ ()()1250010004cos 2.580054cos sin 16000θθθ=+++++()4000cos sin 3200sin cos 31000θθθθ=+++，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭………………8分（2）令(sin cos 1,4t πθθθ⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭……10分则2140003200310002ty t-=++21600400029400t t=++……13分2516002694t⎛⎫=++⎪⎝⎭在(上单调递增，则当t=即4πθ=时，y有最大值38256＜40000……15分所以无论如何设计，储水窖都能顺利建成．……16分。