第七部分能带——总结与习题指导
能带理论课件
2
k V k
II、能量的二级修正：
Ek(2)
k
Ek0 Ek0
kV k
a. k k n 2
a
kVka 10 aei2a nV()dVn
b. k kn2 kV k 0
a
2
二级微扰能：
E (2) k
k
kV k Ek0 Ek0
n
Vn 2
2 2m
k
2
(k
n a
2
)2
微扰下的电子能量就可写成：
有 N个具有相同能量 的束缚态波函数 ，所以在不考虑原 认为一个电子在离子实和其他电子所形成的势场中运动，称为哈特里—福克自洽场近似，也称为单电子近似。
二、近自由电子近似（Nearly Free Electron）模型
在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较 小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电 子
的运动就几乎是自由的。因此，我们可以把自由电子看成是
它的零级近似，而将周期场的影响看成小的微扰来V求解。
（也称为弱周期V 场(近x)似）V。势场V(x)可用平均势 代替，
E
Ek0
Vn
2Tn
(
2Tn Vn
1)
Ek0 Vn
2Tn
(
2Tn Vn
1)
E i：原来较低的
E
0 k
态微扰使它下降为：
E ii：原来较高的
E
0 k
态微扰使它更高为：
差别为 2 V n
——在近自由电子近似中，在晶体中运动的共有电子被看成
是近自由电子。所有电子及原子实产生的场是具有晶格周期
性的等效势场，周期性势场的起伏对共有化电子
能带理论学习资料课件
Formal Charge High spin;
Automatic Low spin: 0
8: 0.00
eV P: 0.00
eV
0.00
eV
Formal spin
Spin state; Direction
High
Spin:
Help
Help
20
CASTEP Calculation
Setup Electronic] Propeties| Job Control
上面的右图可以发现， Pb 的 6s和 O2p 有态密度共振，也成键；另外 Pb6d 和 Pb6d 在 O2p 态密度处有明显的峰(有贡献),所以O2p 与Pb6s,6d 也是成键的。
15
七.识图
原则 1.能带和DOS一一对应，并相互印证 2.能带是分子轨道按能量大小排列
3.应结合PDOS进行分析
1
7.带宽：能带的最高和最低之间的能量差值。 其数值和几何构型有着密切的关系。
8.Caste和Dmol只能绘制散点图和线形图，并 且很不美观。后续通常需要origin进行处理。
2
二.费米能级
1.费米能级（fermi level ）是绝对零度下的最 高能级。
2.在Castep 中费米能级的默认值是0 。这给我 们带来了很大的方便。（在计算能带宽度 时）。
apha beta
5
四.性质
1.能带是能量关于d(k) 的函数 2.横坐标是布里渊区上的高对称性点（其距
离受到smearing 的影响） 3.在计算过程中只能简单的调节G点
6
4.有多少条线就有多少个轨道，就有多少条
能带。
5.能带的底部主要是成键，中部为非键，上
能带理论及其应用ppt课件
分布向电场反方向移动。因为有
dk
e
dt
•
（a）布洛赫振荡：刚有外场时，由于
v(k )
是
k
的周
期函数，故电子速度发生周期性振荡，电子在实空
间位置也发生振荡，此效应称为布洛赫振荡。
• （b）当电子运动时，受到晶格振动、杂质和缺陷 的散射，达到一个稳定的不对称分布，不再振荡。 此时，沿电场正反方向电子数不相等，总的电流不
(1)研究离子运动时，认为电子能跟上离子位置变化，不考 虑其影响——即晶格振动问题，描述原子或离子围绕平衡
位置的小振动问题。
(2)研究电子运动时，假定离子实静止在平衡位置上，晶格 具有严格周期性，而晶格振动对电子影响当作微扰来处
理——即能带理论，研究固体中的电子状态。
单电子近似：含有大量电子的体系中，每个电子受到其
•
出,
l1,
k
l2,l3 为整数），
相邻取值相差很小。
最新版整理ppt
12
•
2． 能带： 对于同一个n的
En(k)
由不同的
k
组成许多靠得很
近的能级组，称为能带。
• 3． 能带结构 对于不同的n，En(k) 形成单电子能谱。En(k) 的总体 称为晶体的能带结构。
1．
所以单电子能谱是由许多能带组成（每个n对应 一个能带）。 • 对值一，个靠能得带很中近的为准En(k连)是续）k 相的邻准能连带续E函n(k)数和（分立 En1(k) 之间可以相接，重叠或分开。
23
紧束缚近似的晶格势场
A
rRm
注：
V(rR m)
r
Rm
Rm 处格点对A处
电子的作用；
a
V
第七部分 能带-总结与习题指导
(a)非简并情况
固定一个波矢 k，考虑一个特定的倒易点阵矢量 G1，使得相应的自由电子 能量满足
0 0 | εk U ，对固定的 k 和所有 G ≠ G1 -G1 − ε k -G |
2
这里 ε =
0 K
2
2m
K 2 ，表示波矢为 K 的自由电子能量。U 表示势的典型傅里叶分量。
由此(7.9)可以得到修正到 U2 的电子能量为
0 ε = εk -G + ∑
2
| U G -G1 |2
-G
ε
0 k -G1
− ε k -G
0
+ O(U 3 )
(7.13)
0 弱周期势对非简并自由电子能级 ε k -G1 的影响是 U 的二级小量。
(b)近简并情况
如 果 所 选 取 的 k 值 使 得 有 几 个 倒 易 点 阵 矢 量 G1 ， …… ， Gm 满 足
为对第一布里渊区内的 N 个 k 值独立求解方程(7.9)的问题。 对每一个 k 值， 解的 形式都是波矢和 k 只相差一个倒易点阵矢量的一组平面波的迭加，即
ψ k = ∑ Ck -G ei ( k -G ) i r
G
(7.10)
如果我们把上式写作
ψ k (r ) = eik i r (∑ Ck -G e− iG ir )
ψ (r + R) = e ik ⋅ Rψ (r )
此即布洛赫定理。布洛赫定理要求本征函数ψ h (r ) 具有如下的特殊形式
(7.1)
ψ k (r ) = e ik ⋅r uk (r )
(7.2)
这里，uk (r ) 是具有布喇菲点阵周期性的函数，对布喇菲点阵的所有点阵矢量 R 有
研究生课件-能带理论
这一能级分裂成由 N条能级组成的能带后， 能带最多能容纳 2N(2l +1)个电子。
6
2N(2l+1)
例如，1ｓ、2ｓ能带，最多容纳 2N个电子。 2ｐ、3ｐ能带，最多容纳 6N个电子。
电子排布时，应从最低的能级排起。
有关能带被占据情况的几个名词：
计算表明： U0b 的数值越大所得到的能带越窄。 由于原子的内层电子受到原子核的束缚较大， 与外层电子相比，它们的势垒强度较大。
所以，内层电子的能带较窄。 外层电子的能带较宽。
26
从 E ~ k 曲线还可以
E
看出： k 值越大，
相应的能带越宽。
E7
k n 2 n 2
Na L (n 0,1,2,)
maU 2
0b
sin
a
a
cos
(
a)
cos(ka)
(4)
式中
2mE
而 k 2 是电子波的角波数*。
（4）式就是电子的能量 E 应满足的方程,也是电子
能量 E与角波数 k 之间的关系式。
注*：有兴趣的读者可参阅〈固体物理基础〉
蔡伯熏编（1990）P 268。
21
maU 2
0b
s
in
a
由周期性边界条件可以推出:布洛赫波函数 的
波数 k 只能取一些特定的分立值。
13
证明如下:
由周期性边界条件 k ( x) k ( x Na)
(3)
按照布洛赫定理：
左边为 右边为
k ( x) ei k xuk ( x)
k
(
x
Na )
半导体物理知识点及重点习题总结
基本概念题：第一章半导体电子状态1.1 半导体通常是指导电能力介于导体和绝缘体之间的材料，其导带在绝对零度时全空，价带全满，禁带宽度较绝缘体的小许多。
1.2能带晶体中，电子的能量是不连续的，在某些能量区间能级分布是准连续的，在某些区间没有能及分布。
这些区间在能级图中表现为带状，称之为能带。
1.2能带论是半导体物理的理论基础，试简要说明能带论所采用的理论方法。
答：能带论在以下两个重要近似基础上，给出晶体的势场分布，进而给出电子的薛定鄂方程。
通过该方程和周期性边界条件最终给出E-k关系，从而系统地建立起该理论。
单电子近似：将晶体中其它电子对某一电子的库仑作用按几率分布平均地加以考虑，这样就可把求解晶体中电子波函数的复杂的多体问题简化为单体问题。
绝热近似：近似认为晶格系统与电子系统之间没有能量交换，而将实际存在的这种交换当作微扰来处理。
1.2克龙尼克—潘纳模型解释能带现象的理论方法答案：克龙尼克—潘纳模型是为分析晶体中电子运动状态和E-k关系而提出的一维晶体的势场分布模型，如下图所示利用该势场模型就可给出一维晶体中电子所遵守的薛定谔方程的具体表达式，进而确定波函数并给出E-k关系。
由此得到的能量分布在k空间上是周期函数，而且某些能量区间能级是准连续的（被称为允带），另一些区间没有电子能级（被称为禁带）。
从而利用量子力学的方法解释了能带现象，因此该模型具有重要的物理意义。
1.2导带与价带1.3有效质量有效质量是在描述晶体中载流子运动时引进的物理量。
它概括了周期性势场对载流子运动的影响，从而使外场力与加速度的关系具有牛顿定律的形式。
其大小由晶体自身的E-k 关系决定。
1.4本征半导体既无杂质有无缺陷的理想半导体材料。
1.4空穴空穴是为处理价带电子导电问题而引进的概念。
设想价带中的每个空电子状态带有一个正的基本电荷，并赋予其与电子符号相反、大小相等的有效质量，这样就引进了一个假想的粒子，称其为空穴。
它引起的假想电流正好等于价带中的电子电流。
能带理论课程总结
能带理论课程总结能带理论是一种近似的理论，在固体中存在大量的电子，它们的运动是相互联系着的，每个电子的运动都要受到其它电子运动的牵连。
这种多电子系统严格的解显然是不可能的。
能带理论是单电子近似的理论，就是把每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动。
能带理论的出发点是固体中的电子不再束缚于个别的原子，而是在整个固体内运动，称为共有化电子。
在讨论共有化电子的运动状态时假定原子实处在平衡位置，而把原子实偏离平衡位置的影响看成微扰，对于理想晶体，原子规则排列成晶格，晶格具有周期性，因而等效势场也具有周期性，晶体中的的电子就是在一个具有晶格周期性的等效势场中运动，其波动方程为：也有：为任意晶格矢量。
在研究能带理论时，我们往往通过近似模型的转化，将相关问题简单化。
通过假定体积为V=，有N个带正电荷Ze的例子是，结合系统哈密顿量和体系中的薛定谔方程，首先应用绝热近似的观点将系统哈密顿量简化，实现多粒子问题到多电子问题的转化，再通过单电子近似即用分离变量法对单个电子独立求解得单电子所受势场为：从而实现了多电子问题到单电子问题的转化，最后假定电子所受到的势场具有平移对称性即存在周期场近似，则把能带理论顺利转化为周期性场中的单电子近似问题了。
1、布洛赫定理布洛赫定理指出，当势场具有晶格周期性时，波动方程的解具有以下性质：上式就是布洛赫定理。
根据该定理得到波函数：即布洛赫函数。
Bloch 发现，不管周期势场的具体函数形式如何，在周期势场中运动的单电子的波函数不再是平面波，而是调幅平面波，其振幅也不再是常数，而是按晶体的周期而周期变化。
具体波动图像如下所示：2、近自由电子模型在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电子的运动就几乎是自由的。
因此，我们可以把自由电子看成是它的零级近似，而将周期场的影响看成小的微扰来求解。
近自由电子（NFE）模型的定性描述：在NFE 模型中，是以势场严格为零的Schrödinger方程的解（即电子完全是自由的）为出发点的，但必须同时满足晶体平移对称性的要求，我们称之为空格子模型。
能带理论
第 四 章
绝热近似
固体的能带理论
价电子和内层电子的分离：内层电子与原子核一起运动构成离子实 绝热近似：由于电子的响应速度极快，可以将离子的运动与电子的运 动分离
离子实（原子）体系
决定材料中声波的传播，热膨胀，晶格比热，结构缺陷等性能 周期性排列的原子体系的行为可以通过晶格动力学理论处理（通过晶 格振动中能量量子-声子描述晶体的物理特性）
固体的能带
3p 3s 2p 2s
Mg
。 1s
Mg
3p 3s 2p 2s 1s
空带 价带
根据泡利不相容原理，原来的 能级已填满不能再填充电子— 分裂为两条
第 四 章
各原子间的相互作用
固体的能带
原来孤立原子的能级发生分裂 若有N个原子组成一体，对于原来孤立原子的 一个能级，就分裂成N条靠得很近的能级，称 为能带（energy band）。
提供了分析半导体理论问题的基础，推动了半导体
技术的发展
随着计算机技术的发展，能带理论的研究从定性的
普遍性规律发展到对具体材料复杂能带结构的计算
第 四 章
固体的能带理论
能带理论是信息技术的物理基础
1928-29 建立能带理论并由实验证实
1947.12 发明晶体管
1962 制成集成电路 1971 Intel 4004微处理器芯片 2300晶体管
金刚石的能带
钠的能带
第 四 章
固体的能带
电子在周期性晶格中的运动，电子共有化，受到 周期性势场的作用。
孤立原子中电子的 势阱
势垒
电子能级
+
第 四 章
固体的能带
解定态薛定谔方程， 可以得出两点重要结论：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
——总结与习题指导
内容提要
1．布洛赫(Bloch)定理
周期势场中，单电子哈密顿量 H = − 2∇2 / 2m +U (r) (对布喇菲点阵的所有 R，有
U (r) = U (r + R) )的本征因数可以这样选取，使得和每个ψ 相联系的有一个波矢 k ，对
于布喇菲点阵的所有 R 有
ψ (r + R) = eik⋅Rψ (r)
2
)2 + |UG
|2 ]1/2
(7.17′)
3
用式(7.17′)可以求解一级近似下单个布喇格平面附近的电U 有线性关系，和非简并情况相比较，我们看
到，只有近简并能级才受到弱周期势最强烈的影响。也就是说，弱周期势的主要影响
只表现在对那些波矢靠近布喇格平面的自由电子能级上。
∑ ∑ ∑ ε ε ε (
- εk0-Gi
)Ck -Gi
=
U C G j -Gi k -G j
i =1
+
m
( U − U )C j=1 G≠G1 ...Gm
G -Gi G j -G 0 k -G
k -G j
+ O(U 3)
(7.14)
于是求解 U 的二级近似下 m 个简并能级的能量修正问题化为求解 m 个 Ck-Gi 的联立方
K
= UGCK -G
⎫⎪ ⎬
(ε
-
ε
0 K
-G
)CK
-G
= U -GCK
=
U
* G
CK
⎪⎭
(7.16) (7.17)
ε0 K -G
≈
ε
0 K
,
|
ε
0 K
− ε K -G′
|
U ，对 G′ ≠ G, 0 ，由式(1.17)可得能量的两个根为
ε
=
1 2
(ε
0 K
+
ε
0 k -G
)
±
[(
ε
0 K
−
ε
0 k -G
3．弱周期势场中的电子[1]
对弱周期势场中的电子(近自由电子)，我们可以从索末菲的自由电子论出发，加
上弱周期势的修正来处理。分以下两种情况来讨论。
(a)非简并情况
固定一个波矢 k，考虑一个特定的倒易点阵矢量 G1，使得相应的自由电子能量 满足
ε| 0 k -G1
−
ε
0 k -G
|
U ，对固定的 k 和所有 G ≠ G1
的影响是
U
的二级小量。
(b)近简并情况
如果所选取的 k 值使得有几个倒易点阵矢量 G1，……，Gm 满足
ε0 k -G1
，……
ε
0 k
-Gm
彼此都相差在
U
的数量级内，而和其它
ε
0 k -(G ≠G1
, ...... ,Gm
)
之差则远大于 U，即
|
ε
0 k -G
ε − 0 k -Gi
|
Ui = 1,..., m,G ≠ G1 , ...,Gm ，由式(7.9)可以得到
只相差一个倒易点阵矢量的一组平面波的迭加，即
如果我们把上式写作
∑ ψ k =
C ei(k -G)ir k -G
G
(7.10)
令周期函数 u(r)为
∑ ψ k (r) = eikir (
Ck
e−iG
-G
ir
)
G
(7.11)
∑ u(r) =
C e−iGir k -G
G
(7.12)
则式(7.10)就具有布洛赫形式(7.2)。
(7.1)
此即布洛赫定理。布洛赫定理要求本征函数ψ h (r) 具有如下的特殊形式
ψ k (r) = eik⋅r uk (r)
(7.2)
这里， uk (r) 是具有布喇菲点阵周期性的函数，对布喇菲点阵的所有点阵矢量 R 有
uk (r) = uk (r + R)
(7.3)
ψ k (r) 称为布洛赫函数，它具有调幅波的特性。
4．能隙
在某些能量范围内，波动方程不存在布洛赫解，这些能量值构成所谓能量禁区，
即能隙。在此区内，波函数在空间被阻尼，波矢 k 为复值。绝缘体的出现正是由于能
K
(7.5)
∑ K
=
3 i =1
mi Ni
bi
(7.6)
其中 mi 为整数，Ni 是数量级为 N1/3 的整数，N=N1N2N3 是晶体中初基晶胞的数目。将
1
周期势 U(r)用倒易点阵矢量 G 展开，
∑ U (r) = UGeiGir
G
(7.7)
适当选择势的零点，使 U0=0，对中心反演对称的晶体，由于 U(r)是实函数，应有
对于近简并的二能级体系，式(7.15)简化为
(ε (ε
ε- )C 0 k -G1
k -G1
ε- )C 0 k -G2
k -G2
=
U C G2 -G1 k -G2
⎫⎪ ⎬
= UG1 -G2 Ck -G1 ⎪⎭
引用符号 K=k-G1，G=G2-G1，式(7.16)又可写为
这里有
(ε
-
ε
0 k -G1
)C
布洛赫定理是由晶体的平移对称性导出的，凡属周期结构中的波都应具有布洛赫
函数的形式。
2．周期场中电子的波动方程 周期场中单电子薛定谔方程为
2
Hψ = [− ∇2 +U (r)]ψ = εψ
(7.4)
2m
在周期性边界条件下，将波函数ψ 展成平面波的线性组合
K 取周期性边界条件所容许的值
∑ ψ (r) = CK eiK ir
UG = U−G = UG* 。将上式代入式(7.4)得到单电子薛定谔方程在动量空间的形式：
2
∑ (
2m
K2
− ε )CK
+
G′
UG′CK -G′
=0
用第一布里渊区内的波矢 k = K + G ，式(7.8)又可写为
(7.8)
∑ h2
[ (k 2m
-G
)2
- ε]Ck-G
+
G′
U C G′-G k -G′
2
2
这里
ε
0 K
=
2m
K 2 ，表示波矢为
K
的自由电子能量。U
表示势的典型傅里叶分量。由此
(7.9)可以得到修正到 U2 的电子能量为
∑ ε
ε = 0 k -G2
+
-G
| UG -G1 |2
ε ε − 0
0
k -G1
k -G
+ O(U 3 )
(7.13)
弱周期势对非简并自由电子能级
ε0 k -G1
程(7.14)的问题。如果仅仅修正到 U 的首项，则方程(7.14)简化为
m
∑ (ε
ε- )C 0 k -Gi
k -G i
=
UGj-Gi Ck-Gj (i = 1,..., m)
j =1
(7.15)
这正是 m 个量子能级体系的一般方程式。
用式(7.14 )、(7.15)可以求解几个布喇格平面(G 的中垂面)交点附近的电子能级。
=
0
(7.9)
对于第一布里渊区内指定的波矢 k，式(7.9)对所有倒易点阵矢量 G 代表一组方程
式，这组方程式把那些波矢和 k 相差一个倒易点阵矢量的系数 Ck ， Ck-G′ ， Ck-G′′ ， Ck-G′′′ …联系起来，于是求解周期势场中单电子薛定谔方程(7.4)的问题化为对第一布里 渊区内的 N 个 k 值独立求解方程(7.9)的问题。对每一个 k 值，解的形式都是波矢和 k