数学必修2第二章知识点小结及典型习题

第二章 点线面位置关系总复习

1、（1

（2）点与平面的关系：点A 在平面内，记作；点不在平面α内，记作A α?

点与直线的关系：点A 的直线l 上，记作：A ∈l ；点A 在直线l 外，记作A ?l ；

直线与平面的关系：直线l 在平面α内，记作l ?α；直线l 不在平面α内，记作l ?α。 2、四个公理与等角定理：

（1

符号表示为

A ∈L

B ∈

L ? L α A ∈α B ∈α

公理1作用：判断直线是否在平面内.（只要找到直线的两点在平面内，则直线在平面内） （2

符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 =>

有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2的三个推论：（1）：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

（2）：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 （3）：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理3说明：两个不重合的平面只要有公共点，那么它们必定交于一条过该公共点的直线，公理（4a ∥b

c ∥b

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。（表明空间中平行于一条已知直线的所有直线都互相平行）

（53、（1）证明共面问题：

方法1是先证明由某些元素确定一个平面，在证明其余元素也在这个平面内。

方法2是先证明分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合。

（2）证明三点共线问题的方法：先确定其中两点在某两个平面的交线上，再证明第三点是这两个平面的公共点，则第三个点在必然在这两个平面的交线上。

（3）证明三线共点问题的方法：先证明其中两条直线交于一点，再证明第三条直线也经过这个点。

（既不平行也不相交的两条直线） ① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线 ② 异面直线性质：既不平行，又不相交。

L

A

· α C · B

·

A · α ?a ∥c

//a b

//a b

③ 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线 ④ 异面直线所成角：直线a 、b 是异面直线，经过空间任意一点O ，分别引直线a ’∥a ，b ’∥b ，则把直线a ’和b ’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角。

两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。（两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形） 说明：（1）判定空间直线是异面直线方法：①根据异面直线的定义；②异面直线的判定定理

（2）在异面直线所成角定义中，空间一点O 是任取的，而和点O 的位置无关。 （3）求异面直线所成角步骤：（一作、二证、三计算）

第一步作角：先固定其中一条直线，在这条直线取一点，过这个点作另一条直线的平行先；或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。第二步证明作出的角即为所求角。第三步利用三角形边长关系计算出角。（思路是把两条异面直线所成的角转化为两

5（1）空间两条直线的位置关系有且只有三种：

相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。 （2）直线与平面的位置关系有且只有三种： ①直线在平面内——有无数个公共点

②直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 ③直线在平面平行 —— 没有公共点

指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示 三种位置关系的符号表示：a ?α a ∩α＝A a ∥α 注意直线与平面的位置关系其他分类：（1）按直线与平面的公共点数分类： （自己补充） （2）按直线是否与平面平行分类：

（3）按直线是否在平面内分类：

（3）平面与平面之间的位置关系有且只有两种：（按有无公共点分类）

①两个平面平行——没有公共点；α∥β。

α∩β＝b 。 ②公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行

③线面平行的性质定理：//a a b

αβαβ??= ④线面垂直的性质定理： a b α

α

⊥⊥ ?

○

5面面平行的性质定理：//a b

αβ

γαγβ?=?=

? ,则该直线与此平面平行。证明线面平行，只要在平面内找一条直线b 与直线a 平行即可。一般情况下，我们会用

线面平行?线线平行 性质定理的作用：利用该定理可解决直线间的平行问题

共面直线

//a b

//a α

线面平行的判定方法： ①线面平行的定义：直线与平面无公共点 ②判定定理：

?

③面面平行的性质：//a αββ

? ? 那么这两个平面平行

（线面平行?面面平行）， 两个平面平行的性质定理与结论：

①如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行→线线平行） ②如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行→线面平行） 面面平行的判定方法：

①面面平行的定义：两个平面无公共点。 ②判定定理：////a b a b a b P

β

β

α

α???= ?

//αβ

③线面垂直的性质定理：

a a αβ

⊥⊥ ?//αβ ④公理四的推广：

////a γ

βγ

?//αβ

7 ①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。 ②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。

③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组，就说这两个平面垂直。 （共面垂直、异面垂直） ②线面垂直的性质： αα?⊥b a , ?a b ⊥ ?a b ⊥ 判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。 判定线面垂直，只要在平面内找到 两条相交直线 与已知直线垂直即可（注意：两条直线必须相交）

经常用到的知识点有：

①等腰三角形三线合一（中线，角平分线，高），如果取等腰三角形底边的中点，连接顶点与中点的线既是中线也是高，所以，这条线垂直于底边；

②正方形的对角线是互相垂直的；③三角形勾股逆定理2

2

2

c b a =+,可以推出a 边与b 边垂直；

④如果是要证异面垂直的两条直线，一般采用线面垂直来证明一条线垂直于另一条线所在的平面，从而得到两条异面直线垂直；

○

5采用三垂线定理或者其逆定理得到两条直线垂直。 性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

//a b a b

αα??//a α

（时，∥或）θαα=??0b b 线面垂直的判定方法：

①线面垂直的定义 ②线面垂直的判定定理： a b a c

b c

A b c αα

⊥⊥?=?? ?a α⊥

③平行线垂直平面的传递性推论:

//a a b

α⊥ ?b α⊥

④面面平行的性质结论：αβα⊥a ,//?a β⊥

○

5面面垂直的性质定理： l a αβ

αβα

⊥?=? ?a β⊥ 性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。

面面垂直的判定方法

①面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角

②面面垂直的判定定理：

a a αβ

?⊥ αβ⊥

③面面平行的性质结论：γαβα⊥,//?βγ⊥

8（①两平行直线所成的角：规定为 0。

②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。

③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O ，分别作与两条异面直线a ，b 平行的直线b a '',，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角θ叫做两条异面直线所成的角，θ的范围为（0°，90°]。 注意：（1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°（锐角或者直角）

（2）计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 （3）角AOB 的度数并不等于直线AO 与直线BO 所成的角。 （2）直线和平面所成的角

①平面的平行线与平面所成的角：规定为

0。②平面的垂线与平面

所成的角：规定为

90。

③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，取值范围为（0°，90°）。

由①②③直线与平面所成的角θ的范围为[0°，90°]。 求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。关键的步骤是“作角”（斜线和射影所成的角）

A O

B

α上的射影，射

①定义：斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）

②方法：作直线上任意一点到面的垂线，与线面交点相连，利用直角三角形有关知识求得三角形其中一角就是该线与平面的夹角。

③在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：1、斜线上一点到面的垂线；2、过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。

（3）二面角和二面角的平面角

①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内

．．．棱的两条射

．．分别作垂直于

线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。

③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角

θ，0°≤θ≤180°

过这个点分别在两个半平面内作垂直于棱的射线得到平面角

②垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角为二面角的平面角

③垂线法：过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角。

线线垂直线面垂直面面垂直

线线平行线面平行面面平行

证明空间线面平行或垂直需要注意三点

（1）由已知想性质，由求证想判定。

（2）适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。

（3）使用定理时要明确已知条件是否满足定理条件，再由定理得出相应结论。

10、巩固专项练习

1．如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC 于D，交SC于E，又SA=AB，SB=BC，求二面角E- BD-C的度数。

1111ABCD A B C D -111//B AD BC D

平面

平面2、在棱长都为1的正三棱锥S －ABC 中，侧棱SA 与底面ABC 所成的角是________．

3、在正方体ABCD －1111D C B A 中，

①1BC 与平面1AB 所成的角的大小是___________； ②1BD 与平面1AB 所成的角的大小是___________； ③1CC 与平面D BC 1所成的角的大小是___________； ④1BC 与平面11BCD A 所成的角的大小是___________； ○

51BD 与平面D BC 1所成的角的大小是___________。 4、已知空间内一点O 出发的三条射线OA 、OB 、OC 两两夹角为60°，试求OA 与平面BOC 所成的角的大小．

5、已知点S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，且SC SB SA ==，SG 为SAB ?上的高，D 、E 、F 分别是AC 、BC 、SC 的中点，试判断SG 与平面DEF 内的位置关系，并给予证明

6、 已知正方体 ，求证

7、已知直线PA 垂直正方形ABCD 所在的平面，A 为垂足。求证：平面PAC ⊥平面PBD 。

8、已知直线PA 垂直于圆O 所在的平面，A 为垂足，AB 为圆O 的直径，C 是圆周上异于A 、B 的一点。求证：平面PAC ⊥平面PBC 。

9.若m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是( )

A.若m ?β，α⊥β，则m ⊥α

B.若α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，m ∥n ，则α∥β

C.若m ⊥β，m ∥α，则α⊥β

D.若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ

10、设P 是△ABC 所在平面外一点，P 到△ABC 各顶点的距离相等，而且P 到△ABC 各边的距离也相等，那么△ABC ( )

A.是非等腰的直角三角形

B.是等腰直角三角形

C.是等边三角形

D.不是A 、B 、C 所述的三角形

11、把等腰直角△ABC 沿斜边上的高AD 折成直二面角B —AD —C ，则BD 与平面ABC 所成

角的正切值为 ( ) )

A.2

B.

22 C.1 D.3

3

12、如图，已知△ABC 为直角三角形，其中∠ACB ＝90°，M 为AB 的中点，PM 垂直于△ACB 所在平面，那么( )

A 、P A ＝P

B >P

C B 、P A ＝PB

D 、P A ≠PB ≠PC

13、正四棱锥S —ABCD 的底面边长为2，高为2，E 是边BC 的中点，动点P 在表面上运动，

并且总保持PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹的周长为 .

14、α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①

m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α。以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： .

15、如图(1)，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ，∠ABC ＝60°，E 是BC 的中点，如图(2)，将△ABE 沿AE 折起，使二面角B —AE —C 成直二面角，连接BC ，BD ，F 是CD 的中点，P 是棱BC 的中点.

(1)求证：AE ⊥BD ；

(2)求证：平面PEF ⊥平面AECD ；

(3)判断DE 能否垂直于平面ABC ？并说明理由.

,,12345,O PA ABCD M N AB PC MN PAD MN CD

PDA MN PCD ⊥⊥⊥∠=⊥如图，已知矩形所在平面。分别是的中点。（）求证：面（）求证：（）若求证：面16、

17、如图所示，已知△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB ＝60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且AE AC ＝AF

AD ＝λ(0<λ<1).

(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； (2)当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？

18、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2BC ，P 、Q 分别为线段AB 、CD 的中点，EP ⊥平面ABCD . (1)求证：DP ⊥平面EPC ；

(2)问在EP 上是否存在点F 使平面AFD ⊥平面BFC ？若存在，求出FP

AP

的值.

参考答案

1、解：

在RtΔSAC 中，SA=1，SC=2，∴∠ECA=30?， 在RtΔDEC 中，∠DEC=90?，

∴∠EDC=60? ∴ 所求的二面角为60?。

5、分析1：如图，观察图形，即可判定//SG 平面DEF ，要证明结论成立，只需证明SG 与平面DEF 内的一条直线平行．观察图形可以看出：连结CG 与DE 相交于H ，连结FH ，

FH 就是适合题意的直线．怎样证明FH SG //？只需证明H 是CG 的中点．

证法1：连结CG 交DE 于点H ， ∵DE 是ABC ?的中位线，∴AB DE //． 在ACG ?中，D 是AC 的中点，且AG DH //，

∴H 为CG 的中点．∵FH 是SCG ?的中位线，∴SG FH //． 又SG ?平面DEF ，FH ?平面DEF ，∴//SG 平面DEF ．

分析2：要证明//SG 平面DEF ，只需证明平面SAB //平面DEF ，要证明平面DEF //平面SAB ，只需证明DF SA //，EF SB //而DF SA //，EF SB //可由题设直接推出． 证法2：∵EF 为SBC ?的中位线，∴SB EF //．

∵?EF 平面SAB ，?SB 平面SAB ，∴//EF 平面SAB ． 同理：//DF 平面SAB ，F DF EF = ，

∴平面SAB //平面DEF ，又∵?SG 平面SAB ，∴//SG 平面DEF ．

6、证明：∵1111-D C B A ABCD 为正方体 ∴B C A D 11//， 又 ?B C 1平面BD C 1，故 //1A D 平面BD C 1． 同理 //11B D 平面BD C 1．

又 1111D B D A D = ，∴ 平面//11D AB 平面BD C 1． 7、证明：

8、证明：

9、 C 10、C 11、 B 12、C

13、解析：如图，取CD 的中点F 、SC 的中点G ，连接EF ，EG ，FG ，EF 交AC 于点H ，易知AC ⊥EF ，又GH ∥SO ，

∴GH ⊥平面ABCD ，

∴AC ⊥GH ，∴AC ⊥平面EFG ， 故点P 的轨迹是△EFG ， 其周长为2＋ 6. 答案：2＋ 6

14、①③④?②；②③④?①

AB 是圆O 的直径

C 是圆周上异于A 、B 的一点

?

?⊥??

BC AC ⊥PA 平面ABC ?BC 平面ABC ?

?⊥??

BC PA

??AC 平面PAC ，PA 平面PAC

= AC PA A

?

??

?????⊥BC 平面PAC ?BC 平面PBC ?

??

?⊥平面PAC 平面PBC 。