5.4一般形式的柯西不等式 课件(人教A版选修4-5)
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5.4.1 n维柯西不等式 课件(人教A版选修4-5)
2 1 2 2 2 n
2
n(a a a ) (a1 a2 an ) 1 2 2 2 2 (a1 a2 an ) a1 a2 an n
2
例2 已知x, y, z R , 且x y z 1, 求证 : 1 4 9 36 x y z
2 1 2 n 2
二次函数f ( x )的判别式 0, 即 4( a1b1 a2b2 anbn )
2 ( b1 2 b2 2 bn ) 2 2 4( a1
又f ( x) (a1 x b1 ) (a2 x b2 ) (an x bn ) 0
2 2 2 2
(a b c d )
2 2
2 2 2
即4(16 e ) (8 e ) , 即64 4e 64 16e e 16 2 5e 16e 0, 故0 e 5
1. 设x1 , x2 , xn R , 且x1 x2 xn 1,
例1 已知a1 , a2 , , an都是实数, 求证 1 2 2 2 2 (a1 a2 an ) a1 a2 an n
证 明: (1 1 1 )(a a a )
2 2 2 2 1 2 2 2 n
(1 a1 1 a2 1 an )
定理1（二维形式的柯西不等式）: 若a,b,c,d都是实数,则 (a2 +b2)(c2 +d2)≥(ac +bd)2 当且仅当ad =bc时,等号成立. 思考:能否把上述结论推广至一般形式?
猜想
2 1 2 1
(a a a )(b b b )
2
n(a a a ) (a1 a2 an ) 1 2 2 2 2 (a1 a2 an ) a1 a2 an n
2
例2 已知x, y, z R , 且x y z 1, 求证 : 1 4 9 36 x y z
2 1 2 n 2
二次函数f ( x )的判别式 0, 即 4( a1b1 a2b2 anbn )
2 ( b1 2 b2 2 bn ) 2 2 4( a1
又f ( x) (a1 x b1 ) (a2 x b2 ) (an x bn ) 0
2 2 2 2
(a b c d )
2 2
2 2 2
即4(16 e ) (8 e ) , 即64 4e 64 16e e 16 2 5e 16e 0, 故0 e 5
1. 设x1 , x2 , xn R , 且x1 x2 xn 1,
例1 已知a1 , a2 , , an都是实数, 求证 1 2 2 2 2 (a1 a2 an ) a1 a2 an n
证 明: (1 1 1 )(a a a )
2 2 2 2 1 2 2 2 n
(1 a1 1 a2 1 an )
定理1（二维形式的柯西不等式）: 若a,b,c,d都是实数,则 (a2 +b2)(c2 +d2)≥(ac +bd)2 当且仅当ad =bc时,等号成立. 思考:能否把上述结论推广至一般形式?
猜想
2 1 2 1
(a a a )(b b b )
5.4一般形式的柯西不等式 课件(人教A版选修4-5)(2)
9 z
( x y z)
14 (
) (
)
14 4 6 12 36 当且仅当 y 2 x , z 3 x , 即 x 1 6 ,y 1 3 ,z 1 2 时 , 等号成立 .
课外练习:
1 在 ABC 中 , 设其各边长为 求证 : ( a b c )(
2 2 2
a , b , c , 外接圆半径为 1
2
R,
2
1
2
B sin
1
2
) 36 R C
sin A sin 2 .设 a , b , c 为正数 , 且 a b c 1 ,
求证 : ( a
1 a
) (b
2
1 b
) (c
2
1 c
)
2
100 3
3 .若 n 是不小于 2的正整数 , 试证 : 4 7 1 1 2 1 3 1 4 1 2n 1 1 2n 2 2
根据上面结果，你能猜想出一般形式的柯西不 等式吗？
猜想并证明 结论
猜想柯西不等式的一般形式
2 2 2 2 2 2 2
(a1 a2 an )(b1 b2 bn ) ≥ (a1b1 a2 b2 anbb ) ②
2 2 分析： A a 12 a 2 a n ， B a b a b a b 设 1 1 2 2 n n 2 2 2 C b1 b 2 b n ， 不 等 式 ② 就 是 A C ≥ B 2
构造二次函数 f ( x ) ( a 1 a 2 a n ) x 2 ( a 1 b1 a 2 b 2 a n b n ) x
5.4二维形式的柯西不等式1 课件(人教A版选修4-5)
1 1 1 2 ≥ a b bc ca 1 1 1 9 ab bc ca 2 2 2 9 ≥ ab bc ca abc a,b,c 各不相等， 等号不可能成立，从而原不等式成立。
y
P ( x1 , y1 ) 1
y
P ( x1 , y1 ) 1
| y1 - y2 |
x
P2 ( x2 , y2 )
O
这个图中有什么 不等关系?
P ( x2 , y2 ) 2
O
| x1 - x2 |
x
柯西不等式的应用举例: 思考 2.已知 4 x 2 9 y 2 36 ,求 x 2 y 的最大值.
二维形式的柯西不等式
有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值， 人们称它们为经典不等式. 如均值不等式: a1 a2 an ≥ n a1a2 an (ai R , i 1, 2, , n) . n 本节,我们来学习数学上两个有名的经典不等式:柯 西不等式与排序不等式,知道它的意义、背景、证明方法 及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养.
你能简明地写出这个定理的证明？
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题. 1 1 思考:设 a, b R , a b 1, 求证: ≥ 4 . a b
思考解答
变形
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题. 1 1 思考 1:设 a, b R , a b 1, 求证: ≥ 4 . a b 证明:由于 a , b R ,根据柯西不等式,得 1 1 1 1 2 (a b)( ) ≥ ( a b ) 4 a b a b 又 a b 1, 1 1 ∴ ≥4 a b
5.4二维形式的柯西不等式1 课件(人教A版选修4-5)
你能简明地写出这个定理的证明？
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题. 1 1 思考:设 a, b R , a b 1, 求证: ≥ 4 . a b
思考解答
变形
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题. 1 1 思考 1:设 a, b R , a b 1, 求证: ≥ 4 . a b 证明:由于 a , b R ,根据柯西不等式,得 1 1 1 1 2 (a b)( ) ≥ ( a b ) 4 a b a b 又 a b 1, 1 1 ∴ ≥4 a b
2 2 2 2 x x x1 x2 n 1 n x x x2 x3 n 1 x 2 x 2 x 2 x 2 2 3 n 1 x xn 1 xn x2 1 ≥ x2 x3 xn x1 x x3 xn x1 2
2
3.证明：在不等式的左端嵌乘以因式 x2 x3 xn x1 ， 也即嵌以因式 x1 x2 xn ，由柯西不等式，得
2 2 2 xn1 xn x1 x22 x2 x3 xn x1
( x2 x3 xn x1 )
ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ a
2
x1 x2 b x1 x2
2
= a b x1 x2 x1 x2 .得证 作业:课本 P 习题 3.1 第 1、3、7、8 题
37
课外思考: 1.已知 a 1 b b 1 a 1, 求证： a b 1 . 2.设 a,b,c 为正数且不相等，求证： 2 2 2 9 . ab bc ca abc 3. 设 x1 , x2 , , xn R , 求证：
5.4二维形式的柯西不等式1 课件(人教A版选修4-5)
思考:阅读课本第 31 页探究内容.
由 a 2 b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积 的大小关系,类比考虑与下面式子有关的有什 么不等关系:
设 a, b, c, d 为任意实数.
(a b )(c d )
2 2 2 2
联
想
发现定理: 定理 1(二维形式的柯西不等式) 2 2 2 2 2 若 a, b, c, d 都是 实数,则 (a b )(c d ) ≥ (ac bd ) . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
2
2 a b c a b b c c a 这 样就 给我 们利 用柯 西不等式提供了条件。证明： 1 1 1 1 1 1 2a b c a b b c c a a b b c c a ab bc ca 1 2 1 2 1 2 a b 2 b c 2 c a 2 a b b c c a
可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到 位，简洁明了！解答漂亮！
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a, b, c, d 都 是实数,则 (a2 b2 )(c2 d 2 ) ≥ (ac bd )2 . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
变变形……,可得下面两个不等式:
⑴ 若 a, b, c, d 都 是实数 ,则 (a 2 b 2 ) (c 2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立. 当且仅当 ad bc 时,等号成立. 这两个结论也是非常有用的.
1 1 1 2 ≥ a b bc ca 1 1 1 9 ab bc ca 2 2 2 9 ≥ ab bc ca abc a,b,c 各不相等， 等号不可能成立，从而原不等式成立。
高中数学第三讲二一般形式的柯西不等式课件新人教A版选修4-5
3．已知：x，y，z∈R＋且 x＋y＋z＝2，则 x＋2 y＋ 3z的最大
值为
()
A．2 7
B．2 3
C．4
D．5
解析：∵( x＋2 y＋ 3z)2＝(1× x＋2 y＋ 3· z)2≤(12
＋ 22 ＋ ( 3 )2)[( x )2 ＋ ( y )2 ＋ ( z )2] ＝ 8(x ＋ y ＋ z) ＝
[例 2] (1)已知 x，y，z∈R＋，且 x＋y＋z＝1，求 1x＋ 4y＋ 9z的最小值．
(2)设 2x＋3y＋5z＝29，求函数 μ＝ 2x＋1＋ 3y＋4＋ 5z＋6的最大值．
[思路点拨] (1)巧妙利用“1”的代换，构造柯西不等式来 求最值．
(2)对原式变形、添项构造柯西不等式求最值．
利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配 凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．
二
一般形式的柯西不等式
1．三维形式的柯西不等式
设 a1，a2，a3，b1，b2，b3 是实数，则 (a21＋a22＋a23)(b21＋b22＋b23)≥ (a1b1＋a2b2＋a3b3)2，当且仅当 bi＝0(i＝1,2,3) 或存在一个数 k，使得 ai＝kbi(i＝1,2,3)时等号 成立．
利用柯西不等式证明不等式
1．已知 a，b，c，d∈R＋，且 a＋b＋c＝1. 求证： 3a＋1＋ 3b＋1＋ 3c＋1≤3 2.
证明：根据柯西不等式，有 ( 3a＋1＋ 3b＋1＋ 3c＋1)2 ≤(1＋1＋1)(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)＝18， ∴ 3a＋1＋ 3b＋1＋ 3c＋1≤3 2.
利用柯西不等式求最值
[例 1] 设 x1，x2，…，xn 都是正数，求证：x11＋x12＋… ＋x1n≥x1＋x2＋n2…＋xn.
人教A版选修4-5 第3讲 2 一般形式的柯西不等式 课件(19张)
1,2，…，n)时，等号成立．
题点知识巩固
知识点一 三维形式的柯西不等式的应用
1．设 a，b，c∈R＋，且 a＋b＋c＝1，则 a＋ b＋ c的最
大值是( )
A．1
B. 3
C．3
D．9
解 析 ： 由 柯 西 不 等 式 ， 得 (12 ＋ 12 ＋ 12)[( a )2 ＋ ( b )2 ＋ ( c)2]≥( a＋ b＋ c)2，∴( a＋ b＋ c)2≤3(a＋b＋c)
证法二：若 a≤－3 或 a≥－1 不成立，那么－3<a<－1 成立， 则(a＋2)2<1，而[(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2]·(12＋12＋12)＝(x－2 ＋y－1＋z－a)2 左面等号成立，当且仅当 x－2＝y－1＝z－a，又 因为 x＋y＋z＝1，所以 x－2＝y－1＝z－a＝－a＋3 2.故此时[(x－ 2)2＋(y－1)2＋(z－a)2](12＋12＋12)＝(x－2＋y－1＋z－a)2＝(a＋ 2)2<1，即(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2<13，与原命题矛盾．故假设 错误，即 a≤－3 或 a≥－1.
第三讲 柯西不等式与排序不等式
二 一般形式的柯西不等式 第10课时 一般形式的柯西不等式
基础知识梳理 题点知识巩固 提能达标过关
基础知识梳理
1．三维形式的柯西不等式
设 a1，a2，a3，b1，b2，b3 是实数，则(a21＋a22＋a23)(b21＋b22＋
b
2 3
)≥__(_a_1_b_1＋__a_2_b_2_＋__a_3b_3_)_2 ___
，
当
且
仅
当
___b_i_＝__0_(i_＝__1_,2_,_3_) ___
5.4柯西不等式与排序不等式 课件(人教A版选修4-5)
1 1 4 ∴ a b bc a c
例6：若 a, b, c R
a b c 3 求证： bc ca ab 2
分析：左端变形
a b c 1 1 1 bc ca ab
1 1 1 (a b c)( ) bc ca ab
9 ∴只需证此式 2
3 3 3 2 2 2
练习
3.设a1 , a2 ,..., an为正数，求证 a1a2 a2 a3 a3 a1 a1 a2 a3 . a3 a1 a2
练习
4.设a1 , a2 ,..., an为正数，试分别用柯西 不等式与排序不等式证明 a a a a ... a1 a2 ... an . a2 a3 an a1
( x1 y1 ) 2 ( x2 y2 ) 2 ... ( xn yn ) 2
( xi , yi R, i 1,2,..., n).
例1 已知 a1 , a2 , a3 ,..., an 都是实数，求证：
1 2 2 2 2 (a1 a2 ... an ) a1 a2 ... an . n
1 1 4 a b
注意应用公式： 1 1 ( a b )( ) 4 a b
练习：
1.已知2x 3 y 6,
2 2
求证x 2 y 11 2.已知a b 1,
2 2
求证|a cos b sin | 1
作业
第37页,第1,5,6题
二 一般形式的 柯西不等式
二维形式的柯西不等式）: (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
三维形式的柯西不等式）:
(a a a ) (b b b )
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2 2 2
1 2 1 2 1 2 100 求 证 : (a ) (b ) (c ) a b c 3
3.若n是 不 小 于 的 正 整 数试 证: 2 , 4 1 1 1 1 1 2 1 7 2 3 4 2n 1 2n 2
作 业 : 课本 P 第 1、2、3 题
∴二次函数 f x 的判别式 △≤ 0 ,
2 2 2 即 4(a1b1 a2b2 anbn )2 4(a12 a2 an ) (b12 b22 bn ) ≤ 0
定 理(一 般 形 式 的 柯 西 不 等 ) 式 设a1 , a 2 , a 3 , , a n , b1 , b2 , b3 , , bn是 实 数 则 ,
一般形式的柯西不等式
复习练习
一般形式介 绍
举例分析
课堂练习
本课小结
作业:课本 P 第 1、2、3 题 41
一般形式的柯西不等式
上一节课，我们认识了二维形式的柯西不等式，运用该 不等式可以求一些最值及证明一些不等式. 下面我们来做几个巩固练习: 1.已知 a , b 为任意实数,求证: (a4 b4 )(a2 b2 ) ≥ (a3 b3 )2
5.求函数 y 2 1 x 2 x 1 的最大值. 3 ( x 0)
探究 :从平面向量的几何背景能得到 ≥ ,
将平面向量的坐标代入,化简后得二维形式的柯西不 2 2 2 等 式 : (a1 a2 ) (b12 b2 ) ≥ (a1b1 a2b2 )2 , 当 且 仅 当
2 2 2 xn x1 x2 1 求证: ≥ 1 x1 1 x2 1 xn n1
2 2 2 xn x1 x2 (n 证明： 1) ( 1 x 1 x 1 x ) 1 2 n 2 2 x1 x2 (1 x1 1 x2 1 xn ) ( 1 x1 1 x2 2 xn x1 x2 ) ≥ ( 1 x1 1 x2 1 xn 1 x1 1 x2
课堂练习: P 41 6. 设 x1 , x2 , xn R , 且x1 x2 xn 1,
2 2 2 xn x1 x2 1 求证: ≥ 1 x1 1 x2 1 xn n1
课堂练习: P 41 6. 设 x1 , x2 , xn R , 且x1 x2 xn 1,
2 2 2
例3 已知x 2 y 3z 1, 求x 2 y 2 z 2的最小值
证 明: ( x 2 y 2 z 2 )(12 2 2 3 2 ) ( x 2 y 3 z ) 2 1 1 2 2 2 x y z 14 x y z 1 1 3 当 且 仅 当 即x , y , z 时 1 2 3 14 7 14 1 2 2 2 x y z 取最小值 14
同样这个不等式也有着向量（n维向量）及几何背景， 其应用广泛。
例 1 已知 a1 , a2 ,, an 都是实数，求证： 1 2 2 2 (a1 a2 an )2 ≤ a1 a2 an n
例 1 已知 a1 , a2 ,, an 都是实数，求证： 1 2 2 2 (a1 a2 an )2 ≤ a1 a2 an n 证明： 2 2 2 (12 12 12 )( a1 a2 an )
a b c d e 16, 求 e 的取值范围. 1 4 9 2.已知 x, y, z R ,且x y z 1, 求证: ≥ 36 x y z 解 : 4(a 2 b 2 c 2 d 2 )
2 2 2 2 2
(1 1 1 1)( a b c d )
继续 2答案
例 2 已知 a , b, c, d 是不全相等的正数，证明： a 2 b2 c 2 d 2 ab bc cd da
证明： 2 2 2 2 2 2 2 2 (a c d )(b c d a )
≥ (ab bc cd da )2
a1b2 a2b1 时,等号成立 . 类似地,从空间向量的几何 背景也能得到 ≥ ,将空间向量的坐标代入,
化简后 得三维形式的柯西不等式: 2 2 2 2 (a12 a2 a3 )(b12 b2 b3 ) ≥ (a1b1 a2b2 a3b3 )2 , 当且仅当 , 共线时,等号成立. 即 0, 或存在一 个实数 k ,使得 ai kbi (i 1, 2, 3) 时,等号成立.
C b b b ，不等式②就是AC ≥ B2
2 1 2 2 2 n
构造二次函数
2 2 2 f ( x ) (a1 a2 an ) x 2 2(a1b1 a 2 b2 an bn ) x 2 2 (b12 b2 bn ) 又f ( x) (a1 x b1 )2 (a2 x b2 )2 (an x bn )2 0
14 4 6 12 36 当 且 仅 当 2 x , z 3 x , 即x y
课外练习: 1在ABC中, 设 其 各 边 长 为, b, c , 外 接 圆 半 径 为 , a R
1 1 1 求 证 : (a b c )( 2 ) 36R 2 si n A si n2 B si n2 C 2.设a , b, c为 正 数 且a b c 1, ,
2 2 2 2 2 (a1 a2 an )(b12 b2 bn ) ≥ (a1b1 a2b2 anbb )2
当 且 仅 当 i 0( i 1,2, , n)或 存 在 一 个 数 b k , 使 得a i kbi ( i 1,2, , n)时, 等 号 成 立 。
1 xn
xn 1 xn
)2 ( x1 x2 xn )2 1
2 2 2 xn x1 x2 1 ≥ 1 x1 1 x2 1 xn n 1
补充练习
补充练习: 1.已知实数 a , b, c, d , e 满足 a b c d e 8,
x2 y2 2. 设 x, y R ,求证: 2 2 ≥1 y yx x yx
1 1 2 3.已知 x 2 y 1 ,求 x 2 y 2 的最小值. (当 x , y ) 5 5 5
1 1 2 ( 4.设 x, y R ,且 x+2y=36,求 的最小值． x 12, y 12) 4 x y
≥ (1 a1 1 a2 1 an )2
n(a a a ) ≥ (a1 a2 an )
2 1 2 2 2 n
2
1 2 2 2 (a1 a2 an )2 ≤ a1 a2 an n
例 2 已知 a , b, c, d 是不全相等的正数，证明： a 2 b2 c 2 d 2 ab bc cd da
2 2 2 2
≥ (a b c d )2 即4(16 e ) ≥ (8 e ) , 即64 4e ≥ 64 16e e 16 2 5e 16e ≥ 0, 故 0 ≤ e ≤ 5
2 2 2 2
2答案
证法一:用柯西不等式 1 4 9 1 4 9 ( x y z )( ) x y z x y z
根据上面结果，你能猜想出一般形式的柯西不 等式吗？
猜想并证明 结论
猜想柯西不等式的一般形式 2 2 2 2 2 (a1 a2 an )(b12 b2 bn ) ≥ (a1b1 a2b2 anbb )2 ②
分析： A a 2 a 2 a 2， B a b a b a b 设 1 2 n 1 1 2 2 n n
1 4 9 2.已知 x, y, z R ,且x y z 1, 求证: y
2 y
z
3 z
)2 36
1 2 1 2 1 1 1 当且仅当 x y z , 即x , y , z 时,等号成立. 4 9 6 3 2
2 1 2 2 2 n
调和平均数≤算术平均数≤均方平均数
证 法 二: 代 入 法 1 4 9 1 4 9 ( x y z) ( x y z) ( x y z) x y z x y z 14 ( y 4x z 9x 4z 9 y )( )( ) x y x z y z 1 1 1 , y , z 时, 等 号 成 立 . 6 3 2
41
4.设a , b, c R , 且满足abc 1, 试证明 : 3 3 3 3 a (b c ) b (a c ) c (a b) 2 1 1 1
附：介绍平均数不等式
问题：已知a1 ,a 2 , a n ∈ R +，求证 a1 + a 2 + + a n a + a ++ a ≤ ≤ 1 1 1 n n + ++ a1 a 2 an 当且仅当a1 = a 2 = = a n时取等号。 n
a b c d ∵ a , b, c, d 是不全相等的正数， 不 b c d a 成立.∴ (a 2 b2 c 2 d 2 )2 (ab bc cd da )2 即 a 2 b2 c 2 d 2 ab bc cd da
例3 已知x 2 y 3z 1, 求x y z 的最小值.
1 2 1 2 1 2 100 求 证 : (a ) (b ) (c ) a b c 3
3.若n是 不 小 于 的 正 整 数试 证: 2 , 4 1 1 1 1 1 2 1 7 2 3 4 2n 1 2n 2
作 业 : 课本 P 第 1、2、3 题
∴二次函数 f x 的判别式 △≤ 0 ,
2 2 2 即 4(a1b1 a2b2 anbn )2 4(a12 a2 an ) (b12 b22 bn ) ≤ 0
定 理(一 般 形 式 的 柯 西 不 等 ) 式 设a1 , a 2 , a 3 , , a n , b1 , b2 , b3 , , bn是 实 数 则 ,
一般形式的柯西不等式
复习练习
一般形式介 绍
举例分析
课堂练习
本课小结
作业:课本 P 第 1、2、3 题 41
一般形式的柯西不等式
上一节课，我们认识了二维形式的柯西不等式，运用该 不等式可以求一些最值及证明一些不等式. 下面我们来做几个巩固练习: 1.已知 a , b 为任意实数,求证: (a4 b4 )(a2 b2 ) ≥ (a3 b3 )2
5.求函数 y 2 1 x 2 x 1 的最大值. 3 ( x 0)
探究 :从平面向量的几何背景能得到 ≥ ,
将平面向量的坐标代入,化简后得二维形式的柯西不 2 2 2 等 式 : (a1 a2 ) (b12 b2 ) ≥ (a1b1 a2b2 )2 , 当 且 仅 当
2 2 2 xn x1 x2 1 求证: ≥ 1 x1 1 x2 1 xn n1
2 2 2 xn x1 x2 (n 证明： 1) ( 1 x 1 x 1 x ) 1 2 n 2 2 x1 x2 (1 x1 1 x2 1 xn ) ( 1 x1 1 x2 2 xn x1 x2 ) ≥ ( 1 x1 1 x2 1 xn 1 x1 1 x2
课堂练习: P 41 6. 设 x1 , x2 , xn R , 且x1 x2 xn 1,
2 2 2 xn x1 x2 1 求证: ≥ 1 x1 1 x2 1 xn n1
课堂练习: P 41 6. 设 x1 , x2 , xn R , 且x1 x2 xn 1,
2 2 2
例3 已知x 2 y 3z 1, 求x 2 y 2 z 2的最小值
证 明: ( x 2 y 2 z 2 )(12 2 2 3 2 ) ( x 2 y 3 z ) 2 1 1 2 2 2 x y z 14 x y z 1 1 3 当 且 仅 当 即x , y , z 时 1 2 3 14 7 14 1 2 2 2 x y z 取最小值 14
同样这个不等式也有着向量（n维向量）及几何背景， 其应用广泛。
例 1 已知 a1 , a2 ,, an 都是实数，求证： 1 2 2 2 (a1 a2 an )2 ≤ a1 a2 an n
例 1 已知 a1 , a2 ,, an 都是实数，求证： 1 2 2 2 (a1 a2 an )2 ≤ a1 a2 an n 证明： 2 2 2 (12 12 12 )( a1 a2 an )
a b c d e 16, 求 e 的取值范围. 1 4 9 2.已知 x, y, z R ,且x y z 1, 求证: ≥ 36 x y z 解 : 4(a 2 b 2 c 2 d 2 )
2 2 2 2 2
(1 1 1 1)( a b c d )
继续 2答案
例 2 已知 a , b, c, d 是不全相等的正数，证明： a 2 b2 c 2 d 2 ab bc cd da
证明： 2 2 2 2 2 2 2 2 (a c d )(b c d a )
≥ (ab bc cd da )2
a1b2 a2b1 时,等号成立 . 类似地,从空间向量的几何 背景也能得到 ≥ ,将空间向量的坐标代入,
化简后 得三维形式的柯西不等式: 2 2 2 2 (a12 a2 a3 )(b12 b2 b3 ) ≥ (a1b1 a2b2 a3b3 )2 , 当且仅当 , 共线时,等号成立. 即 0, 或存在一 个实数 k ,使得 ai kbi (i 1, 2, 3) 时,等号成立.
C b b b ，不等式②就是AC ≥ B2
2 1 2 2 2 n
构造二次函数
2 2 2 f ( x ) (a1 a2 an ) x 2 2(a1b1 a 2 b2 an bn ) x 2 2 (b12 b2 bn ) 又f ( x) (a1 x b1 )2 (a2 x b2 )2 (an x bn )2 0
14 4 6 12 36 当 且 仅 当 2 x , z 3 x , 即x y
课外练习: 1在ABC中, 设 其 各 边 长 为, b, c , 外 接 圆 半 径 为 , a R
1 1 1 求 证 : (a b c )( 2 ) 36R 2 si n A si n2 B si n2 C 2.设a , b, c为 正 数 且a b c 1, ,
2 2 2 2 2 (a1 a2 an )(b12 b2 bn ) ≥ (a1b1 a2b2 anbb )2
当 且 仅 当 i 0( i 1,2, , n)或 存 在 一 个 数 b k , 使 得a i kbi ( i 1,2, , n)时, 等 号 成 立 。
1 xn
xn 1 xn
)2 ( x1 x2 xn )2 1
2 2 2 xn x1 x2 1 ≥ 1 x1 1 x2 1 xn n 1
补充练习
补充练习: 1.已知实数 a , b, c, d , e 满足 a b c d e 8,
x2 y2 2. 设 x, y R ,求证: 2 2 ≥1 y yx x yx
1 1 2 3.已知 x 2 y 1 ,求 x 2 y 2 的最小值. (当 x , y ) 5 5 5
1 1 2 ( 4.设 x, y R ,且 x+2y=36,求 的最小值． x 12, y 12) 4 x y
≥ (1 a1 1 a2 1 an )2
n(a a a ) ≥ (a1 a2 an )
2 1 2 2 2 n
2
1 2 2 2 (a1 a2 an )2 ≤ a1 a2 an n
例 2 已知 a , b, c, d 是不全相等的正数，证明： a 2 b2 c 2 d 2 ab bc cd da
2 2 2 2
≥ (a b c d )2 即4(16 e ) ≥ (8 e ) , 即64 4e ≥ 64 16e e 16 2 5e 16e ≥ 0, 故 0 ≤ e ≤ 5
2 2 2 2
2答案
证法一:用柯西不等式 1 4 9 1 4 9 ( x y z )( ) x y z x y z
根据上面结果，你能猜想出一般形式的柯西不 等式吗？
猜想并证明 结论
猜想柯西不等式的一般形式 2 2 2 2 2 (a1 a2 an )(b12 b2 bn ) ≥ (a1b1 a2b2 anbb )2 ②
分析： A a 2 a 2 a 2， B a b a b a b 设 1 2 n 1 1 2 2 n n
1 4 9 2.已知 x, y, z R ,且x y z 1, 求证: y
2 y
z
3 z
)2 36
1 2 1 2 1 1 1 当且仅当 x y z , 即x , y , z 时,等号成立. 4 9 6 3 2
2 1 2 2 2 n
调和平均数≤算术平均数≤均方平均数
证 法 二: 代 入 法 1 4 9 1 4 9 ( x y z) ( x y z) ( x y z) x y z x y z 14 ( y 4x z 9x 4z 9 y )( )( ) x y x z y z 1 1 1 , y , z 时, 等 号 成 立 . 6 3 2
41
4.设a , b, c R , 且满足abc 1, 试证明 : 3 3 3 3 a (b c ) b (a c ) c (a b) 2 1 1 1
附：介绍平均数不等式
问题：已知a1 ,a 2 , a n ∈ R +，求证 a1 + a 2 + + a n a + a ++ a ≤ ≤ 1 1 1 n n + ++ a1 a 2 an 当且仅当a1 = a 2 = = a n时取等号。 n
a b c d ∵ a , b, c, d 是不全相等的正数， 不 b c d a 成立.∴ (a 2 b2 c 2 d 2 )2 (ab bc cd da )2 即 a 2 b2 c 2 d 2 ab bc cd da
例3 已知x 2 y 3z 1, 求x y z 的最小值.