一般形式的柯西不等式全面版
一般形式的柯西不等式
柯西不等式的证明
数学归纳法证明
首先证明 n=2 的情况，然后假设 n=k 时成立，推导出 n=k+1 时也成 立。
二次型的方法证明
将柯西不等式转化为二次型的形式， 利用二次型的基本性质进行证明。
02
柯西不等式的应用
在数学中的应用
证明不等式
柯西不等式是证明各种数学不等式的重要工 具，如均值不等式、几何均值-算术均值不 等式等。
广义形式的柯西不等式
总结词
广义形式的柯西不等式是在更广泛的函数空间中推广的柯西不等式，它适用于连 续函数和可积函数。
详细描述
广义形式的柯西不等式表述为，对于任意的非负可积函数$f(x)$和$g(x)$，有$int f(x) g(x) dx leq left( int f(x)^2 dx right)^{1/2} left( int g(x)^2 dx right)^{1/2}$。
用范围。
柯西不等式与其他数学知识的结合
柯西不等式与线性代数
柯西不等式在向量内积和矩阵运算中有 重要应用，研究其与线性代数的结合有 助于更深入理解线性代数的基本概念。
VS
柯西不等式与微积分
柯西不等式在微积分中也有广泛应用，如 函数极值、积分等，研究其与微积分的结 合有助于更深入理解微积分的基本思想。
一般形式的柯西不等式
目录
• 柯西不等式的定义 • 柯西不等式的应用 • 柯西不等式的推广 • 柯西不等式的局限 • 柯西不等式的进一步研究
01
柯西不等式的定义任意 的正实数序列 a1, a2, ..., an 和 b1, b2, ..., bn，有 (∑(ai^2)) * (∑(bi^2)) ≥ (∑(ai * bi))^2。
04
一般形式的柯西不等式
即 2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2， 由条件可得，5－a2≥(3－a)2 2b 3c 6d 解得 1≤a≤2，当且仅当 ＝ ＝ 时等号成立，代入 b 1/2 1/3 1/6 1 1 2 1 ＝1，c＝3，d＝6时，amax＝2，b＝1，c＝3，d＝3时，amin＝1
名师大讲堂·2013 高考复习《数学》（理科）
( x1 x3 ) ( y1 y3 ) ( x2 x3 ) ( y 2 y3 )
2 2 2 2
( x1 x2 ) ( y1 y 2 )
2
2
名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》（理科）
三维三角不等式和一般形式的三角不等式：
x12 y12 z12
1.函数 y 2 1 x 2 x 1的最大值为 ______ 3 0 此时 x ________
2.设实数x, y满足3x 2 2 y 2 6, 则P 2 x y的最大
11 值是 ______
25 1 2 1 2 2 3.若a, b R , 且a b 1, 则(a ) (b ) 的最小值是 ______ a b
式，此题有多种解法，比如用三角代换法求解，但过程较繁．
名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》（理科）
3．函数 y＝3sinx＋4 1＋cos2x的最大值为____________．
名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》（理科）
答案： 41 解析：y＝3sinx＋4 1＋cos2x＝3sinx＋4 2cos2x ≤ sin2x＋cos2x[32＋4 22]＝ 41 sinx 3 3 2 当且仅当 ＝± 即 tanx＝± 时，函数有最大值 41 cosx 8 4 2
高中数学一般形式的柯西不等式
典例精讲 例3 已知x 2 y 3z 1 ， 求x 2 y 2 z 2的最小值.
2 2 2 2 2 2 2
证明 : ( x y z )(1 2 3 ) ( x 2 y 3 z ) 1， x2 y2 z2 1 . 14 y z x 3 1 1 当且仅当 ，即x ， y ， z 时， 1 2 3 14 7 14 2 2 2 1 x y z 取最小值 . 14
应用举例
例1 浙江(2010 卷03)
2 2 2 a b c (1)设正实数a，，， b c 满足abc 1， 求 a 2b b 2c c 2a 的最小值.
例2 若a ， b ，为正实数 c . 求证： a b c 3 . bc ca ab 2
a 1 b 1 c 1 bc ca ab a b c b c a c a b (a b c ) 1 1 1 bc ca ab bc ca ab 1 ( b c ) ( c a ) ( a b ) 1 1 1 2 bc ca ab 1 (1 1 1)2 9 . 2 2 a b c 3. bc ca ab 2 证明：
2 n
1 an ) 2 .
an ) ，
2
a ) (a1 a2
2 2 an )2 a1 a2
1 (a1 a2 n
2 an .
变式练习
变式1 ： 已知a 、 b、 c、 d 0， ， 且a b c d 1. 求证： a b c d 1. 4
2 2 2 2
(a b c d ) .
2
即4(16 e ) (8 e ) ， 即64 4e 64 16e e
6. 一般形式的柯西不等式
即：14(x2 y2 z2 ) 1
x2 y2 z2 1 14
∴
x2
y2
z2
的最小值是
1 14
例4：设a、b、c为正数且各不相等.
求证： 2 2 2 9 ab bc ca abc
证明： 2(a b c)( 1 1 1 ) ab bc ca
[(a b) (b c) (c a)]( 1 1 1 ) ab bc ca
当且仅当 ai 0 (i=1,2,…,n) 或 存在一个 数
t使得 bi tai (i=1,2,…,n) 时等号成立。
以上不等式称为一般形式的柯西不等式。
推论：（三维形式的柯西不等式）
设 a1, a2 , a3, b1, b2 , b3 是两组实数，则有：
(a12 a22 a32 ) (b12 b22 b32 ) (a1b1 a2b2 a3b3 )2
当向量（a1, a2 , a3）与向量（b1, b2 , b3）共线
时，“=” 号成立。
例1 已知 a1, a2 , a3 ,..., an 都是实数，
求证：1
n
(a1
a2
...
an )2
a12
a22Байду номын сангаас
...
an2 .
证明：由一般形式的柯西不等式，得：
n个 1
（a12 a22 an2 ) (12 12 12 ) （a1 a2 an )2
即：（a1 a2 an )2 n(a12 a22 an2 )
1 n
(a1
a2
an )2 (a12 a22
an2 )
例2 已知a,b,c,d是不全相等的正数，证明：
a2 b2 c2 d 2 ab bc cd da
第43讲 柯西不等式
，因为对于任意实数， ，所以二次函数的判别式，也即
，当且仅当 有唯一实数根时，判别式，以上不等式取等号。此时，有唯一实数，使，若，则，柯西不等 式成立；若，则有。总之，当且仅当或时等号成立。
习题三 A类
1. 求函数的最大值。
2. 设，，且，求证 3. 设，求证
4. 设是正实数，且满足，证明
5. 已知为任意实数，证明 6. 若和为任意实数，则 B类 7. 设，且，求证 8. 设，，求 的最小值。
情景再现 1. 解方程 2. 已知，求的最小值。 3. 设，且，求证
B 类例题
例 4 已知是实数，满足，，试确定的最大值。
（第七届
美国数学竞赛题）
分析：柯西不等式中有两组数，，因此可用柯西不等式的关键一定要构造出两组数，而
且一个或两个和式应该和柯西不等式的某一因式结构相同。为此，可以写成，这样就有了两
，对该式右端的后三个根式用柯西不等式。 证法一：，
据柯西不等式， ，于是有 ，又因为，所以，因此 ，只需证 ，因此原不等式成立。
证法二：据柯西不等式可得，据此
，由于，因此，又 三式不可能同时相等，故得。
说明：本题两种证法运用柯西不等式的方式稍有不同，但效果却是一样，不过也有区 别。证法一得到的不等式比原题要更强一点。
2）分析：必要性是显然的。我们来证充分性。即如为锐角，，则。为了能够使用柯西不 等式，我们可以配上一个因式
证明：据柯西不等式 ，也就是 ，即，又不可能大于 1，因此 ，为锐角，故。
说明：利用柯西不等式来证等式，主要是利用其取等号的充要条件来达到目的。从这两 题证明过程看，用柯西不等式要比别的方法简捷一些。
9. 为正数，证明 10. 设为实数，且，， ，求的值。 C类 11. 设正数满足，，求证：
一般形式的柯西不等式及排序不等式
巩固练习一、
[ 例 1] 1 1 设 x1，x2，„，xn 都是正数，求证： ＋ ＋„ x1 x2
1 n2 ＋x ≥ . n x1＋x2＋„＋xn
已知 a，b，c，d 为不全相等的正数，求证： 1 1 1 1 1 1 1 1 ＋ ＋ ＋ ＞ ＋ ＋ ＋ . a2 b2 c2 d2 ab bc cd da
[例 2]
π aA＋bB＋cC 在△ABC 中，试证： ≤ 3 a＋b＋c
[证明]
1 1 ∵a≥b>0，于是a≤b，
1 1 又 c>0，从而 ≥ ， bc ca 1 1 1 1 1 同理ca≥ab，从而bc≥ca≥ab. 又由于顺序和不小于乱序和，故可得 a5 b5 c5 b5 c5 a5 ＋ ＋ ≥ ＋ ＋ b3c3 c3a3 a3b3 b3c3 c3a3 a3b3 b2 c2 a2 1 1 1 ＝ 3＋ 3＋ 3(∵a2≥b2≥c2， 3≥ 3≥ 3) c a b c b a c2 a2 b2 1 1 1 ≥ 3＋ 3＋ 3＝ ＋ ＋ c a b c a b 1 1 1 ＝ ＋ ＋ . a b c 所以原不等式成立．
和 S4=a1b2+a2b3+a3b1=195
备注 乱序和
S5=a1b3+a2b1+a3b2=185 S6=a1b3+a2b2+a3b1=180 (最小值)
乱序和
反序和
答案:220 180
知识总结点拨
1.对排序不等式的证明的理解 对排序不等式的证明中,用到了“探究——猜想——检验—— 证明”的思维方法,这是探索新知识、新问题常用到的基本方 法,对于数组涉及的“排序”及“乘积”的问题,又使用了 “一一搭配”这样的描述,这实质上也是使用最接近生活常识
第3讲2一般形式的柯西不等式课件人教新课标
时等号成立.
题型探究
类型一 利用柯西不等式证明不等式 命题角度1 三维情势的柯西不等式的应用 例1 设a，b，c为正数，且不全相等. 求证：a＋2 b＋b＋2 c＋c＋2 a＞a＋9b＋c.
证明
反思与感悟 有些问题一般不具备直接应用柯西不等式的条件，可以通过： (1)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以巧拆常数. (2)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以重新安排各项的次序. (3)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以改变式子的结构，从而到达使 用柯西不等式的目的. (4)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以添项.
∴a＋2b＋3c的最小值为9.
1234
解析 答案
3.设 a，b，c，d 均为正实数，则(a＋b＋c＋d)1a＋b1＋1c ＋1d的最小值为 __1_6_____.
解析 (a＋b＋c＋d)1a＋1b＋1c＋1d
＝[(
a)2＋(
b)2＋(
c)2＋(
d)2]·
1a2＋
1b2＋
1c2＋
1
2
d
≥
a·1a＋
a2b2＋a3b3)2 ，当且仅当 b1＝b2＝b3＝0或存在一个数 k，使得 ai＝kbi
(i＝1,2,3)时等号成立.
知识点二 一般情势的柯西不等式
1.一般形式的柯西不等式 设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn 是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21 ＋b22＋…＋b2n)≥ (a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2 . 2.柯西不等式等号成立的条件
b·1b＋
c·1c＋
d·1d2
3.2一般形式的柯西不等式(优秀经典公开课比赛课件)
解析 : a b c 1,
∴ 1 1 1 (a b c)( 1 1 1) ≥
abc
abc
( a 1 b 1 c 1 )2 9
b
c
即a b c 1 时, 1 1 1的最小值为9 3 abc
问题 7: 类比二维、三维空间的柯西不等式，
问题 2：你会用柯西不等式证明下面的两个不等式吗？
（１） a2 b2 ≥ 2ab （２） a2 b2 ≥ 1 (a b)2
2
(1)证明: ∵(a2 b2 )(b2 a2 ) ≥ (ab ba)2 (2ab)2, ∴(a2 b2 )2 ≥ (2ab)2
∴a2 b2 ≥ 2ab ≥2ab,
猜一猜 n 维空间的柯西不等式，即一般式．
定理 4：（一般形式的柯西不等式）：
设 n 为大于 1 的自然数， xi , yi R(i 1, 2,3, , n) ,则：
(x12 x22 xn2 )( y12 y22 yn2 ) (x1 y1 x2 y2 xn yn )2
是二次函数,因为对任意的实数 xi , yi (i 1, 2, 3, , n) ,
都有 f (x) ≥ 0 成立，∴△≤0
n
n
n
∴△ 4( xi yi )2 4( xi2 )( yi2 ) 0 ，
i 1
i 1
i 1
∴(x12 x22 xn2 )( y12 y22 yn2 ) (x1 y1 x2 y2 xn yn )2
(x12 x22 x32 )( y12 y22 y32 ) ≥ (x1 y1 x2 y2 x3 y3 )2
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课 题：§3.2一般形式的柯西不等式
教学目标：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并
应用其解决一些不等式的问题..
教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用. 教学难点：理解证明中的函数思想. 教学过程：
一、复习引入：
1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？ 几何意义？
答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+2. 思考：如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？四维呢？
答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+；2222222()()()a b c d e f ad be cf ++++≥++。
二、讲授新课：
1. 一般形式的柯西不等式： ① 提问：由平面向量的柯西不等式||||||αβαβ⋅≤，如何得到空间向量的三维形式的柯西不等式及代数形式？
② 猜想：n 维向量的坐标？n 维向量的柯西不等式及代数形式？ 结论：设1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈，则
222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++
讨论：什么时候取等号？
联想：设1122n n B a b a b a b =+++，22212n A a a a =++，22212n C b b b =+++，则有
20B AC -≥，可联想到一些什么？
③ 讨论：如何构造二次函数证明n 维形式的柯西不等式？（注意分类）
要点：令2222121122)2()n n n f x a a a x a b a b a b x =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+（）（222
12()n b b b +++⋅⋅⋅+ ，则2221122()()())0n n f x a x b a x b a x b =++++⋅⋅⋅+≥+（.
又222120n a a a ++⋅⋅⋅+>，从而结合二次函数的图像可知，
[]2
2221122122()4()n n n a b a b a b a a a ∆=+++-++
⋅22212()n b b b +++≤0
即有要证明的结论成立.
④分析什么时候等号成立？ 二次函数f x （）
有唯一零点时，判别式0∆=，这时不等式取等号； 00i i a x b ∆=⇔+=0i b ⇔=或i i a kb =（1,2,
,i n =）
定理4：（一般形式的柯西不等式）：设n 为大于1的自然数，i i b a ,（=i 1，2，…，n ）为任意实数，则：
21
1
2
1
2)(∑∑∑===≥n
i i i n
i i
n i i b a b
a ，当且仅当0=i
b （=i 1，2，…，n ）或存在
一个数k ，使得i i a kb =（1,2,
,i n =）时等号成立。
⑤探究：一般形式的三角不等式是怎样的？（可以让学生课后去探究） 利用一般形式的柯西不等式，容易推导出一般形式的三角不等式：
2222222121122()()()≥n n n n x y y y x y x y x y ++++++-+-+++-
(,,1,2,
,)i i x y R i n ∈=
具体证法为：展开2222212)n n x y y y +
+++++，然后由柯西不等式推出展开式
中的，进而完成全部证明。
教学中可由学生探究具体证明过程，以加强其对一般形式柯西不等式与一般形式三角不等式之间联系的认识。
⑤ 变式：222212121
()n n a a a a a a n
++
≥++⋅⋅⋅+. （讨论如何证明）
2. 柯西不等式的应用：
①例1、已知1a ，2a ，…，n a 为实数，求证：2
11
2
)(1∑∑==≥n i i n
i i a n a 。
分析：不等式的形式与一般的柯西不等式很接近，但必须经过适当变形才能看出两者是
完全一致的。
因此，如何适当变形是解决本题的关键。
推论：在n 个实数1a ，2a ，…，n a 的和为定值为S 时，它们的平方和不小于2
1S n
，当且仅当n a a a === 21时，平方和取最小值
2
1S n。
②例2、已知,,,a b c d 是不全相等的正数，证明：2
2
2
2
a b c d ab bc cd da +++>+++ 方法一：轮换对称式，可以利用柯西不等式进行证明，注意为什么等号不能成立？ 方法二：利用基本不等式
③例3、已知321x y z ++=，求222x y z ++的最小值.
分析：如何变形后构造柯西不等式？ → 板演 → 变式：
④练习：若,,x y z R +∈，且1111x y z ++=，求23
y z
x ++的最小值.
⑤例4、若a >b >c ，求证：c
a c
b b a -≥
-+-4
11. 思路：21111()()[()()]()(11)4a c a b b c a b b c a b b c
-+=-+-+≥+=---- 三、课堂练习：
1、设x 1，x 2，…，x n >0, 则
1
11
1
-≥
-∑
∑
==n x x x n
i i
n
i i
i
2、设x ，y ，z 为正实数，且x+y+z=10，求z
9
y 1x 4++的最小值。
3、设x ，y ，z ∈R ，求
2
22z
y 2x z
y x 2++-+的最大值。
4、求证)3(≥n n 个正实数a 1，a 2，…，a n 满足
))(1()(4
424122
2221n n a a a n a a a +++->+++
5、设+
∈R z y x ,,,求证: 12
22
222222≥++++++++xy
y x z zx x z y yz z y x 。
四、课堂小结：
柯西不等式的一般形式及应用；等号成立的条件；根据结构特点构造证明. 五、课后作业：课本P41 1—6。