一般形式的柯西不等式精品教案
人教版高中数学选修4-5第三讲第二节一般形式的柯西不等式教案1(2)
选修4-5学案 §3.1.3柯西不等式 姓名☆学习目标： 1. 熟悉一般形式的柯西不等式，理解柯西不等式的证明; 2. 会应用柯西不等式解决函数最值、方程、不等式，等一些问题☻知识情景：1. 柯西主要贡献简介：柯西（Cauchy ），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家. 他奠定 了数学分析的理论基础. 数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值 定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等.2.二维形式的柯西不等式： 若,,,a b c d R ∈，则 .当且仅当 时, 等号成立.变式10. 若,,,a b c d R ∈，则||2222bd ac d c b a ++⋅+或bd ac d c b a ++⋅+2222；变式20. 若,,,a b c d R ∈，则222222()()a b c d a c b d +++-+- ；变式30.（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：222212122323()()()()x x y y x x y y -+-+-+-≥3. 一般形式的柯西不等式：设n 为大于1的自然数，,i ia b R ∈(=i 1,2,…,n )，则： .当且仅当 时, 等号成立.(若0=i a 时，约定0=i b ，=i 1,2,…,n ).变式10. 设,0(1,2,,),i i a R b i n ∈>= 则：∑∑∑≥=i i ni iib a b a 212)( . 当且仅当 时, 等号成立.变式20. 设0(1,2,,),i i a b i n ⋅>= 则：∑∑∑≥=ii i ni i i b a a b a 21)(. 当且仅当n b b b === 21时,等号成立. 变式30. (积分形式)设)(x f 与)(x g 都在],[b a 可积，则dx x g dx x f dx x g x f ba b a b a )()()()(222⎰⎰⎰⋅≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡，当且仅当)()(x g t x f ⋅=时,等号成立.如果一个定理与很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系，那么这个定理肯定很重 要. 而柯西不等式与我们中学数学中的代数恒等式、复数、向量、几何、三角、函数等各方面 都有联系. 所以, 它的重要性是不容置疑的！☆ 柯西不等式的应用：例1. 已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=. 试求a 的最值例2 在实数集内 解方程22294862439x y z x y y ⎧++=⎪⎨⎪-+-=⎩例3 设P 是三角形ABC 内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC 外接圆的半径， 证明22212x y z a b c R ++≤++例4 (证明恒等式) 已知,11122=-+-a b b a 求证：122=+b a 。
高二数学人教A版选修4-5教案：3.2一般形式的柯西不等式 Word版含
高二数学人教A版选修4-5教案：3.2一般形式的柯西不等式Word版含3.2 一般形式的柯西不等式一、教学目标1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式． 2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．二、课时安排 1课时三、教学重点1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式． 2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．四、教学难点1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．[来源学科网]2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．五、教学过程（一）导入新课已知实数x，y，z满足x＋2y＋z＝1，求t＝x2＋4y2＋z2的最小值．【解】由柯西不等式得(x2＋4y2＋z2)(1＋1＋1)≥(x＋2y＋z)2. ∵x＋2y＋z＝1，1∴3(x2＋4y2＋z2)≥1，即x2＋4y2＋z2≥.311111当且仅当x＝2y＝z＝，即x＝，y＝，z＝时等号成立．故x2＋4y2＋z2的最小值为. 33633（二）讲授新课教材整理1 三维形式的柯西不等式2222设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a2(b21＋a2＋a3)・1＋b2＋b3)≥.当且仅当或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3)时，等号成立．我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式．教材整理2 一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则22222(a21＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥ .当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝ (i＝1,2，…，n)时，等号成立．（三）重难点精讲题型一、利用柯西不等式求最值123例1 已知a，b，c∈(0，＋∞)，＋＋＝2，求a＋2b＋3c的最小值及取得最小值时a， abcb，c的值．[来源学。
科。
网Z。
X。
X。
K]123【精彩点拨】由于＋＋＝2，可考虑把已知条件与待求式子结合起来，利用柯西不abc等式求解．【自主解答】∵a，b，c∈(0，＋∞)，2123??＋＋・∴?(a＋2b＋3c)＝[?abc??≥?1・a＋a2・2b＋b1??＋a??222??＋b??23?][(a)2＋(2b)2＋(3c)2] c??3?・3c c?＝(1＋2＋3)2＝36. 123又＋＋＝2，abc∴a＋2b＋3c≥18，当且仅当a＝b＝c＝3时等号成立，综上，当a＝b＝c＝3时， a＋2b＋3c取得最小值18.规律总结：利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．[再练一题]1．已知x＋4y＋9z＝1，求x2＋y2＋z2的最小值．【解】由柯西不等式，知 (x＋4y＋9z)2≤(12＋42＋92)(x2＋y2＋z2) ＝98(x2＋y2＋z2)．又x＋4y＋9z＝1， 1∴x2＋y2＋z2≥，(*)98yz当且仅当x＝＝时，等号成立，49129∴x＝，y＝，z＝时，(*)取等号．9849981因此，x2＋y2＋z2的最小值为.98题型二、运用柯西不等式求参数的取值范围例2已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝xyz，且不等式111＋＋≤λ恒成立，求λx＋yy＋zz＋x的取值范围．111【精彩点拨】“恒成立”问题需求＋＋的最大值，设法应用柯西不等式求x＋yy＋zz＋x最值．【自主解答】∵x>0，y>0，z>0. 且x＋y＋z＝xyz. 111∴＋＋＝1. yzxzxy又111＋＋ x＋yy＋zz＋x11?11＋＋≤? 2?xyyzzx?11?1?11・＋1・＋1・＝2?xyyzzx?≤错误!错误!＝错误!，当且仅当x＝y＝z，即x＝y＝z＝3时等号成立．∴故1113＋＋的最大值为.2x＋yy＋zz＋x111＋＋≤λ恒成立时， x＋yy＋zz＋x3. 23?，＋∞. ?2?12应有λ≥因此λ的取值范围是?规律总结：应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件熟练掌握，然后根据题目的特点“创造性”应用定理．[再练一题]2．已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求a的取值范围.【解】由a＋b＋c＋d＝3，得b＋c＋d＝3－a，由a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，得2b2＋3c2＋6d2＝5－a2， 111?＋＋≥(b＋c＋d)2， (2b2＋3c2＋6d2)??236?即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2.由条件可得，5－a2≥(3－a)2，解得1≤a≤2，所以实数a的取值范围是[1,2]．题型三、利用柯西不等式证明不等式abc?bca例3 已知a，b，c∈R＋，求证：??b＋c＋a?a＋b＋c≥9. 【精彩点拨】对应三维形式的柯西不等式，a1＝b2＝c，b3＝ba，a＝b2b，a＝c3c，b＝a1b，aa，而a1b1＝a2b2＝a3b3＝1，因而得证． c【自主解答】∵a，b，c∈R＋，由柯西不等式，知22b??＋c??2≥?a? c?2c?]×[?a??2b?＋?a??2c??＋b??2a?] c??a＋b＋c??b＋c＋a?＝[??bca??abc??a×bb＋ab×cc＋ba??＋b??c×a?＝(1＋1＋1)2＝9，abc??bca?∴??b＋c＋a??a＋b＋c?≥9. 规律总结：1．当ai，bi是正数时，柯西不等式变形为(a1＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2.2．本题证明的关键在于构造两组数，创造使用柯西不等式的条件．在运用柯西不等式时，要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确配凑出公式两侧的数组．[再练一题]3．已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m的值；111＋(2)若a，b，c∈R，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.a2b3c【解】 (1)因为f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0等价于|x|≤m. 由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.111(2)证明：由(1)知＋＋＝1.又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2ba2b3c2111111??＋＋≥a・＋2b・＋3c・?＝9. ＋3c)??a2b3c??a2b3c?（四）归纳小结?一般形式的柯西不等式―?―一般形式?―一般形式的应用―三维形式（五）随堂检测1．设a＝(－2,1,2)，|b|＝6，则a・b的最小值为( ) A．18 B．6 C．－18 D.12 【解析】 |a・b|≤|a||b|，∴|a・b|≤18.∴－18≤a・b≤18，当a，b反向时，a・b最小，最小值为－18. 【答案】 C222222．若a21＋a2＋…＋an＝1，b1＋b2＋…＋bn＝4，则a1b1＋a2b2＋…＋anbn的取值范围是( )A．(－∞，2) B．[－2,2] C．(－∞，2] D.[－1,1]222222【解析】∵(a21＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)，∴(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2≤4，∴|a1b1＋a2b2＋…＋anbn|≤2，即－2≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤2，1当且仅当ai＝bi(i＝1,2，…，n)时，右边等号成立；21当且仅当ai＝－bi(i＝1,2，…，n)时，左边等号成立，故选B.2【答案】 B3．设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则m2＋n2的最小值为________．【解析】根据柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，m2＋n2的最小值为5. 【答案】5[来源学+科+网][来源:]六、板书设计3.2 一般形式的柯西不等式教材整理1 三维形式的柯西不等式教材整理2 一般形式的柯西不等式例3：例1：例2： [来源:Z#xx#] 学生板演练习七、作业布置同步练习：3.2 一般形式的柯西不等式八、教学反思感谢您的阅读，祝您生活愉快。
2013届高二数学教案3.2《一般形式的柯西不等式》(人教A版选修4-5)
即： ，
等号当且仅当 ，
即等号当且仅当 时成立（当 时，约定 ， 1，2，…， ）。
如果 （ ）全为0，结论显然成立。
三、应用举例：
例3已知a1,a2,…,an都是实数，求证：
分析：用n乘要证的式子，c，d是不全相等的实数，证明：a2+ b2+ c2+ d2> ab + bc + cd + da
3．已知a，b，c为正实数，且a+2b+3c=9，求 的最大值。
选做：4．已知a，b，c为正实数，且a2+2b2+3c2=6，求a+b+c的最小值。（08广一模）
5．已知a，b，c为正实数，且a+2b+c=1，求 的最小值。（08东莞二模）
6．已知x+y+z= ，则m=x2+2y2+z2的最小值是____________.(08惠州调研)
，其中等号当且仅当 时成立。
定理2：（柯西不等式的向量形式）设 ， 为平面上的两个向量，则 ，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
定理3：（三角形不等式）设 为任意实数，则：
二、讲授新课：
类似的，从空间向量的几何背景业能得到|α.β|≤|α||β|.将空间向量的坐标代入，可得到 这就是三维形式的柯西不等式.
五、课堂小结：重点掌握三维柯西不等式的运用。
六、布置作业：P41习题3.2 2，3，4，5
七、教学后记：
教学札记
对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？
定理4：（一般形式的柯西不等式）：设 为大于1的自然数， （ 1，2，…， ）为任意实数，则：
一般形式的柯西不等式
3．2一般形式的柯西不等式（一）教学目标1．知识与技能: 认识二维形式的柯西不等式，柯西不等式的一些简单应用。
2.过程与方法:让学生通过练习的方式体会：如何经过恰当变形，以经典不等式为依据得出具体问题中的不等关系。
3．情态与价值：通过学生在学习过程中的感受、体验、解决问题，体会柯西不等式的作用，让学生体会到成功的乐趣。
（二）教学重、难点重点：认识一般形式的柯西不等式，运用柯西不等式分析解决一些简单问题。
难点：体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的联系，经过恰当变形，以经典不等式为依据得出具体问题中的不等关系。
（三）教学设想[创设问题情境]一、类比：1、2、3、猜想柯西不等式的一般形式证明略二、1、2、.,:1221等号成立时当且仅当的柯西不等式化简后得二维形式将平面向量的坐标代入从平面向量的几何背景b a b a ，=≥2221122212221)()()(b a b a b b a a +≥++化简后得将空间向量的坐标代入也能得到从空间向量的几何背景类似地，,≥2332211232221232221)()()(b a b a b a b b b a a a ++≥++++.)3,2,1(,,0,,等号成立时使得或存在一个数即共线时当且仅当，i kb a k i i ===ββα222112222122221)())((b n n n b a b a b a b b b a a a ++≥+++++。
等号成立时使得或存在一个数当且仅当则是实数设一般形式的柯西不等式定理,),,2,1(,),,2,1(0,,,,,,,,,,)(321321n i kb a k n i b b b b b a a a a i i i n n ====222112222122221)())((b n n n b a b a b a b b b a a a ++≥+++++2222122121)(1,,,, 1nn n a a a a a a n a a a +++≤+++ 求证都是实数已知例3、4、5、三、补充例题四、小结练习da cd bc ab d c b a d c b a +++>+++2222,,,, 2证明是不全相等的正数已知例的最小值求已知例222,132 3z y x z y x ++=++1111x 1x :1,x x ,R x ,x , 6. 412222121n 21n 21+≥++++++=+++∈+n x x x x x x P n n 求证且设.,16a ,8,,,, 122222的取值范围求满足已知实数例e e d c b e d c b a e d c b a =++++=++++36941,1,,, 2≥++=++∈+z y x z y x R z y x 求证且已知例222222236)sin 1sin 1sin 1)((:,,,,,1R C B A c b a R c b a ABC ≥++++∆求证外接圆半径为设其各边长为中在3100)1()1()1(:,1,,,.2222≥+++++=++c c b b a a c b a c b a 求证且为正数设2221121413121174:,2.3<--++-+-<n n n 试证的正整数是不小于若23)(1)(1)(1:,1,,,.4333≥+++++=∈+b a c c a b c b a abc R c b a 试证明且满足设。
【K12学习】XX年选修4-5《一般形式的柯西不等式》参考教案2
XX年选修4-5《一般形式的柯西不等式》参考教案2一般形式的柯西不等式教学目的：使学生认识二维柯西不等式及其证明；培养学生用维柯西不等式的技能，从而发展学生的思维能力。
教学重点：维柯西不等式的应用。
教学过程：一、温故1、定理1：若a,b,c,dR,则a2b2c2d2acbd，当且仅当bcad时取等号22、变式：若a,b,c,dR,则a2b2c2d2acbda2b2c2d2acbd显然当a2b21,c2d21时，acbd13、定理2：设,是两个向量，则当且仅当,中有一个是零向量或存在实数k使得k时，等号成立。
4、定理3、设x1,x2,x3,y1,y2,y3R，那么22x12y12x2y222x1x2y1y2 22x1x3y1y35、配凑的思想x2x3y2y322x1x2y1y222二、新课：推广柯西不等式1、柯西不等式的向量形式：设,是两个向量，则这里,是平面向量，若,为空间向量呢。
构造向量a1,a2,a3,b1,b2,b3,设,间的夹角为。
则仍有cos即a1b1a2b2a3b3a21a32a32b12b22b32 2所以a12a32a32b12b22b32a1b1a2b2a3b31 / 5当且仅当aikbii1,2,3时取等号 2、归纳推理：n维上的柯西不等式：a12a32an2b12b22bn2a1b1a2b2anbn2证明：回顾前面的证法视Aa12a32an2,Cb12b22bn2,Ba1b1a2b2anbn 则不等式为B2AC构造二次函数yAx22BxC即fxa12a22an2x22a1b1a2b2anbnx+b12b22bn2 当a1a2an0或b1b2bn0时不等式显然成立当a1,a2,,an至少有一个不等于0时，a12a22an20 而fxa1xb1a2xb2anxbn0恒成立。
所以其4a1b1a2b2anbn-4a1a2anb1b2bn22222222220得：a1a2anb1b2bn222222abab1122 ab2nn当且仅当fx 有唯一零点时，0以上不等式取等号。
柯西不等式教案
柯西不等式教案
一､教学目标:
1､学问目标:
(1)熟悉二维柯西不等式的两种形式: O 1 代数形式: O2向量形式;
(2)学会二维柯西不等式的两种证明方法: O 1 代数方法: O2向量方法:
(3)明白一般形式的柯西不等式, 并学会应用及探究其证明过程:
2､才能目标:
(1)学会运用柯西不等式解决一些简洁问题:
(2)学会运用柯西不等式证明不等式:
(3) 培育同学学问迁移､自主探究才能:
3､情感､态度､价值观目标:
通过对柯西不等式的学习,使同学感受数学的精妙,提高数学素养, 激发学习爱好;
二､教学重点与难点:
1､教学重点:
(1)二维柯西不等式的两种形式及其证明: 0 1 代数形式: O2向量形式:
(2)探究一般的柯西不等式形式:
2､教学难点:
(1)柯西不等式的证明思路:
(2)运用柯西不等式解决问题: 三､教学方法:探究法､叙述法: 四､教学过程及内容:
五､板书设计。
一般形式的柯西不等式
∴( a b ) ≥ (2ab)
2 2
2
2
2
2
∴ a b ≥ 2ab ≥ 2ab,
∴ a b ≥ 2ab
等号成立时当且仅当a b
2
2
( 2 )证 明 : ∵ ( a b )( 1 1 ) ≥ ( a b ) ,
2 2 2 2 2
∴ 2(a b ) (a b)
2 2
∴a b c d
ab bc cd da
例 2：已知 a , b , c , d 是不全相等的实数， 2 2 2 2 证明： a b c d ≥ a b b c c d d a .
证明 ( a b c d )( b c d (ab bc cd da )
2 2 2 2 2 2 2
解疑：
令 ( x1 , x 2 , x 3 ), ( y 1 , y 2 , y 3 ) ,
由于空间向量中 ≥ 也成立 .所以
( x1 x 2 x 3 )
2 2 2
2
2
2
( y 1 y 2 y 3 ) ≥ x1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 ,
定理 4： （一般形式的柯西不等式） ： 设 n 为大于 1 的自然数， x i , y i R ( i 1, 2 , 3,
( x1 x 2
2 2
, n ) ,则：
xn yn )
2
x n )( y 1 y 2
2
2
2
y n ) ( x1 y 1 x 2 y 2
2 2 2
2
2
2
2
第3讲2一般形式的柯西不等式课件人教新课标
时等号成立.
题型探究
类型一 利用柯西不等式证明不等式 命题角度1 三维情势的柯西不等式的应用 例1 设a，b，c为正数，且不全相等. 求证：a＋2 b＋b＋2 c＋c＋2 a＞a＋9b＋c.
证明
反思与感悟 有些问题一般不具备直接应用柯西不等式的条件，可以通过： (1)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以巧拆常数. (2)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以重新安排各项的次序. (3)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以改变式子的结构，从而到达使 用柯西不等式的目的. (4)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以添项.
∴a＋2b＋3c的最小值为9.
1234
解析 答案
3.设 a，b，c，d 均为正实数，则(a＋b＋c＋d)1a＋b1＋1c ＋1d的最小值为 __1_6_____.
解析 (a＋b＋c＋d)1a＋1b＋1c＋1d
＝[(
a)2＋(
b)2＋(
c)2＋(
d)2]·
1a2＋
1b2＋
1c2＋
1
2
d
≥
a·1a＋
a2b2＋a3b3)2 ，当且仅当 b1＝b2＝b3＝0或存在一个数 k，使得 ai＝kbi
(i＝1,2,3)时等号成立.
知识点二 一般情势的柯西不等式
1.一般形式的柯西不等式 设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn 是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21 ＋b22＋…＋b2n)≥ (a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2 . 2.柯西不等式等号成立的条件
b·1b＋
c·1c＋
d·1d2
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一般形式的柯西不等式
【教学目标】
认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式。
【教学重点】
会证明二维柯西不等式及三角不等式。
【教学难点】
理解几何意义。
【教学过程】
一、复习准备：
1．提问： 二元均值不等式有哪几种形式？
答案：及几种变式。
(0,0)2a b a b +≥>>2．练习：已知A ．B ．C ．d 为实数，求证
22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 证法：（比较法）=…=
22222()()()a b c d ac bd ++-+2()0ad bc -≥二、讲授新课：
1． 柯西不等式：
① 提出定理1：若A ．B ．C ．d 为实数，则。
22222()()()a b c d ac bd ++≥+ → 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？
② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？
证法二：（综合法）
222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++ 。
（要点：展开→配方）
222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+
证法三：（向量法）设向量，，则，(,)m a b =u r (,)n c d =r ||m =u r ||n =r ∵ ，且，则。
∴ …。
m n ac bd ∙=+u r r ||||cos ,m n m n m n ⋅=<>u r r u r r u r r ||||||m n m n ⋅≤u r r u r r 证法四：（函数法）设，则
22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++≥0恒成立。
22()()()f x ax c bx d =-+-
∴ ≤0，即…。
22222[2()]4()()ac bd a b c d ∆=-+-++③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？
或
||ac bd ≥+
||||
ac bd ≥+ 。
ac bd ≥+④ 提出定理2：设是两个向量，则。
,αβu r u r
||||||αβαβ⋅≤u r u r u r u r 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ）
讨论：上面时候等号成立？（是零向量，或者共线）βu r
,
αβu r
u r
⑤ 练习：已知
A ．
B ．
C ．d 。
≥ 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形）
2
．教学三角不等式：出示定理3：设
1122,,,x y x y R ∈≥分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明 → 变式：若，则结合以上几112233,,,,,x y x y x y R ∈何意义，可得到怎样的三角不等式？
三、应用举例：
例1：已知a ，b 为实数，求证
2332244)())((b a b a b a +≥++说明：在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算。
所以，经典不等式是数学研究的有力工具。
例题2：求函数的最大值。
x x y 21015-+-=分析：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式的一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件。
这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd 的形式就能用柯西不等
式求其最大值。
（）
2222||d c b a bd ac +⋅+≤+解：函数的定义域为(1，5)，且y>0 3
6427)5()1()2(552152
222=⨯=-+-⨯+≤-⨯+-⨯=x x x x y 当且仅当时，等号成立，即时，函数取最大值x x -⨯=-⨯551227127
=x 36课堂练习：1．证明： (x 2+y 4)(a 4+b 2)≥(a 2x+by 2)2
2．求函数的最大值。
x x y -+-=6453
例3．设a ，b 是正实数，a+b=1，求证
411≥+b a 分析：注意到，有了就可以用柯西不等式了。
)11)((11b a b a b
a ++=+)11)((
b a b a ++四、巩固练习：
1． 练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式
2． 已知x+2y=1， 求x 2+y 2的最小值。
五、课堂小结：
二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）。