《二 一般形式的柯西不等式》教案
二维形式的柯西不等式-教案
【二维形式的柯西不等式】一、教材分析：柯西不等式是人教A 版选修 4-5不等式选讲中的内容，是学生继均值不等式后学习的又一个经典不等式，它在教材中起着承前启后的作用。
一方面可以巩固不等式的基本证明方法，和函数最值的求法，另一方面为后面学习三角不等式与排序不等式奠定基础，本节课的核心内容是柯西不等式二维形式的推导及其简单应用。
二、教学目标：1、知识与技能：通过对二维形式的柯西不等式的探究和证明过程的分析的学习，认识二维形式的柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；2、过程与方法：过对柯西不等式几种不同形式的探究过程的学习，会用语言叙述柯西不等式的几种形式，能总结本节课涉及到的数形结合思想，比较法，综合法，配方法，类比法，构造法等数学方法，总结应用柯西不等式解答问题的一般方法与步骤； 3、情感、态度与价值观：通过对二维形式柯西不等式的学习，学生会感受到柯西不等式的对称与和谐美，感受探究交流与合作的学习方式，同时提高学习数学的兴趣,提高数学素养. 三、教学重点：二维形式柯西不等式的证明思路，二维形式柯西不等式的应用. 四、教学难点：二维形式柯西不等式的应用. 五、教学准备1、课时安排：1课时2、学情分析： 学生不仅已经掌握了不等式证明的基本方法，还具备了一定的观察、分析、逻辑推理的能力。
通过对两种方法的证明，让学生体会对柯西不等式的向量形式和代数法证明的不同之处.3、教具选择：多媒体六、教学方法：启发引导、合作探究 七、教学过程一． 1、自主导学：引入：同学们，中学课本有很多定理定义都以科学家姓名命名，你知道有哪些？ 牛顿，高斯，安培，焦耳，裴波拉契，欧姆，伽利略，韦达定理，笛卡尔, 祖暅原理，秦九韶算法，海伦公式，引出课题： 1.复习： 二元基本不等式 ：(0,0)2a ba b +≥>>，当且仅当b a =时等号成立.变形：ab b a 222≥+，R b a ∈,,当且仅当b a =时等号成立.2. 尝试练习，引入新课：（1），122=+b a ，422=+d c 求bd ac +的最大值；学生独立思考，再小组讨论分析：由，122=+b a 422=+d c 得 ++22b a 2)2()2(22=+d c ,因为ac ca ≥+22)2(，bd db ≥+22)2(所以++22)2(c a bd ac db +≥+22)2(即2≤+bd ac ，当且仅当2c a =，2db =时等号成立.（2）222M b a =+,222N d c =+，N M ,为正常数，求2）（bd ac +的最大值并指出等号成立的条件.分析：由222M b a =+,222N d c =+得++22)()(M b M a 2)()(22=+NdN c 因为MN ac N c M a 2)()(22≥+，MNbd N d M b 2)()(22≥+++=22)()(2N c M a MNac N d M b 2)()(22≥++MN bd 2 故bd ac MN +≥，当且仅当N c M a =，Nd M b =时即bc ad =等号成立. bd ac d c b a +≥+⋅+2222从而22222)())((bd ac d c b a +≥++，当且仅当bc ad =等号成立. 2、合作探究（1）分组探究： 二．新课：1.定理1：（柯西不等式的代数形式）设d c b a ,,,均为实数，则 22222)())((bd ac d c b a +≥++，当且仅当bc ad =时等号成立. 证明：因为))((2222d c b a ++=22222222d a c b d b c a +++222222)(d b acbd c a bd ac ++=+所以22222)())((bd ac d c b a +-++ 0)222222≥-=+-=bc ad c b abcd d a （ 当且仅当bc ad =时等号成立.注意考虑等号成立的条件！ 探究：结合bd ac bd ac d c b a +≥+≥+⋅+||2222，能否利用所学知识从形的角度认识？小组讨论，学生展示结果：2. 几何意义：设βα→→，为平面上以原点O为起点的两个非零向量，它们的终点分别为）b a A ,(，),(d c B ），因为 |cos |||||||θβαβα→→→→=•又因为1|cos |≤θ所以||||||βαβα→→→→•≥⋅， 同时：根据坐标表示得22||b a +=→α，22||d c +=→β，它们的数量积为bd ac +=•→→βα， 所以||2222bd ac d c b a +≥+⋅+，即柯西不等式的代数形式是向量形式的坐标表示！所以柯西不等式的几何意义就是：||||||βαβα→→→→•≥⋅， 当且仅当β→是零向量，或存在实数k ,使βα→→=k 时等号成立.）b a ,3.定理2：（柯西不等式的向量形式）设βα→→，为平面上的两个向量，则||||||βαβα→→→→•≥⋅，当且仅当β→是零向量，或存在实数k ,使βα→→=k 时等号成立.（2）教师点拨：我们需要熟悉的是两个向量数量积与坐标间的联系，柯西不等式的代数形式是向量形式的坐标表示，所以柯西不等式的几何意义就是：||||||βαβα→→→→•≥⋅， 当且仅当β→是零向量，或存在实数k ,使βα→→=k 时等号成立.3、巩固训练：已知623=+y x ，求22y x +的最小值.分析：因为 22222)23((23y x y x ⨯+⨯≥++））（ 即36(1322≥+）y x ，所以133622≥+y x ，所以22y x +的最小值为1336又如，求函数x x y -+-=6453的最大值.例题教学：设b a ,是正实数，1=+b a ，求证411≥+ba分析：法1：)11)((11ba b a b a ++=+展开，用均值不等式解：4222)11)((11=+≥++=++=+abb a b a b a b a (当且仅当b a a b =即21==b a 时，等号成立.)（学生一起快速齐答）法2：注意到)11)((11b a b a b a ++=+，有了)11)((ba b a ++就可以用柯西不等式了.解：411)11)((,0,02=⋅+⋅≥++∴>>）（bb a a b a b a b a , (当且仅当ab b a 11⋅=⋅即21==b a 时，等号成立.) 411≥+∴b a变式训练：已知369422=+y x ，求y x 3+最大值.分析：因为22222)13212(]1)21][()3()2[(⨯+⨯≥++y x y x即：22222)3(]1)21)[(94(y x y x +≥++2)3(454536y x +≥=⨯ 所以 53353≤+≤-y x当且仅当232yx =即554553==y x ，时y x 3+取最大值53.554-553-==y x ，时y x 3+取最小值53-.4、拓展延伸：不等式结构分析：左边是实数平方和的乘积，右边是实数积的和的平方（1）bd ac bd ac d c b a +≥+≥+⋅+||2222(当且仅当bc ad =时等号成立.)(2)),,,.()())((2+∈+≥++R d c b a bd ac d b c a (当且仅当bc ad =时等号成立.) (3)||||2222bd ac d c b a +≥+⋅+（当且仅当||||bc ad =时，等号成立）使用柯西不等式的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式．美题欣赏：22222)())(11(b a b a +≥++ 即2)(222b a b a +≥+22222)21((21y x y x ⨯+⨯≥++））（ 即222)2((5y x y x +≥+）22222)cos sin ()cos )(sin (θθθθb a b a +≥++ 即222)cos sin (θθb a b a +≥+|cos sin |cos sin 2222θθθθb a b a +≥+⨯+ 即|cos sin |22θθb a b a +≥+5、师生合作总结：学生总结本节课所学内容：定理1：（柯西不等式的代数形式）设d c b a ,,,均为实数，则22222)())((bd ac d c b a +≥++，当且仅当bc ad =时等号成立. 定理2：（柯西不等式的向量形式）设βα→→，为平面上的两个向量，则||||||βαβα→→→→•≥⋅，当且仅当β→是零向量，或存在实数k ,使βα→→=k 时等号成立.方法：作差，构造，数形结合 八、课外作业： P37页，4，5， 7，8，9思考题：根据二维形式的柯西不等式类比得到三维形式的柯西不等式十、教学反思：（注：教学实施后写） 过上完本节课我的体会和反思是：这是一节定理新授课，也是实践、总结和体验的研究课。
《二 一般形式的柯西不等式》教案
《二 一般形式的柯西不等式》教案教学目标1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；2.通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法 教学重、难点重点：一般形式柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式. 难点：应用一般形式柯西不等式证明不等式.教学过程一、复习引入：定理1：(柯西不等式的代数形式)设d c b a ,,,均为实数，则22222)())((bd ac d c b a +≥++，其中等号当且仅当bc ad =时成立.定理2：(柯西不等式的向量形式)设α，β为平面上的两个向量，则||||||βαβα⋅≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反(即两个向量共线)时成立. 定理3：(三角形不等式)设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+-二、讲授新课： 类似的，从空间向量的几何背景业能得到•αβαβ≤将空间向量的坐标代入，可得到2222222123123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++当且仅当,αβ共线时，即0,β=或存在一个数k ，使得(1,2,3)i i a kb i ==时，等号成立.这就是三维形式的柯西不等式.对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？ 定理(一般形式的柯西不等式)：设n 为大于1的自然数，i i b a ,(=i 1，2，…，n )为任意实数，则：22222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++≥++ 即 211212)(∑∑∑===≥n i i i n i i n i i b a b a ，其中等号当且仅当1212n n b b b k a a a ==== 时成立(当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ).证明：构造二次函数：2222211)()()()(n n b x a b x a b x a x f -++-+-=即构造了一个二次函数：∑∑∑===+-=ni i n i i i n i i b x b a x a x f 121212)(2)()( 由于对任意实数x ，0)(≥x f 恒成立，则其0≤∆，即：0))((4)(4121221≤-=∆∑∑∑===n i i n i i n i i i b a b a ， 即：))(()(121221∑∑∑===≤n i i ni i n i i i b a b a ， 等号当且仅当02211=-==-=-n n b x a b x a b x a ， 即等号当且仅当nn a b a b a b === 2211时成立(当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ). 如果i a (n i ≤≤1)全为0，结论显然成立.三、应用举例：例1 已知a 1，a 2，…，a n 都是实数，求证22221221)(1n n a a a a a a n+++≤+++ 例2 已知a ，b ，c ，d 是不全相等的实数，证明a 2 +b 2+c 2+d 2>ab +bc +cd +da .例3 已知x +2y +3z =1，求222x y z ++ 的最小值.四、巩固练习：1．设x ，y ，z 为正实数，且x +y +z =1，求zy x 941++的最小值. 2．已知a +b +c +d =1，求a 2+b 2+c 2+d 2的最小值.3．已知a ，b ，c 为正实数，且a +2b +3c =9，求c b a ++23的最大值.五、课堂小结重点掌握三维柯西不等式的运用.。
一般形式的柯西不等式精品教案
一般形式的柯西不等式【教学目标】认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式。
【教学重点】会证明二维柯西不等式及三角不等式。
【教学难点】理解几何意义。
【教学过程】一、复习准备：1．提问： 二元均值不等式有哪几种形式？答案：及几种变式。
(0,0)2a b a b +≥>>2．练习：已知A ．B ．C ．d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 证法：（比较法）=…=22222()()()a b c d ac bd ++-+2()0ad bc -≥二、讲授新课：1． 柯西不等式：① 提出定理1：若A ．B ．C ．d 为实数，则。
22222()()()a b c d ac bd ++≥+ → 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++ 。
（要点：展开→配方）222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+证法三：（向量法）设向量，，则，(,)m a b =u r (,)n c d =r ||m =u r ||n =r ∵ ，且，则。
∴ …。
m n ac bd ∙=+u r r ||||cos ,m n m n m n ⋅=<>u r r u r r u r r ||||||m n m n ⋅≤u r r u r r 证法四：（函数法）设，则22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++≥0恒成立。
22()()()f x ax c bx d =-+-∴ ≤0，即…。
22222[2()]4()()ac bd a b c d ∆=-+-++③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？或||ac bd ≥+||||ac bd ≥+ 。
【K12学习】XX年选修4-5《一般形式的柯西不等式》参考教案2
XX年选修4-5《一般形式的柯西不等式》参考教案2一般形式的柯西不等式教学目的：使学生认识二维柯西不等式及其证明；培养学生用维柯西不等式的技能，从而发展学生的思维能力。
教学重点：维柯西不等式的应用。
教学过程：一、温故1、定理1：若a,b,c,dR,则a2b2c2d2acbd，当且仅当bcad时取等号22、变式：若a,b,c,dR,则a2b2c2d2acbda2b2c2d2acbd显然当a2b21,c2d21时，acbd13、定理2：设,是两个向量，则当且仅当,中有一个是零向量或存在实数k使得k时，等号成立。
4、定理3、设x1,x2,x3,y1,y2,y3R，那么22x12y12x2y222x1x2y1y2 22x1x3y1y35、配凑的思想x2x3y2y322x1x2y1y222二、新课：推广柯西不等式1、柯西不等式的向量形式：设,是两个向量，则这里,是平面向量，若,为空间向量呢。
构造向量a1,a2,a3,b1,b2,b3,设,间的夹角为。
则仍有cos即a1b1a2b2a3b3a21a32a32b12b22b32 2所以a12a32a32b12b22b32a1b1a2b2a3b31 / 5当且仅当aikbii1,2,3时取等号 2、归纳推理：n维上的柯西不等式：a12a32an2b12b22bn2a1b1a2b2anbn2证明：回顾前面的证法视Aa12a32an2,Cb12b22bn2,Ba1b1a2b2anbn 则不等式为B2AC构造二次函数yAx22BxC即fxa12a22an2x22a1b1a2b2anbnx+b12b22bn2 当a1a2an0或b1b2bn0时不等式显然成立当a1,a2,,an至少有一个不等于0时，a12a22an20 而fxa1xb1a2xb2anxbn0恒成立。
所以其4a1b1a2b2anbn-4a1a2anb1b2bn22222222220得：a1a2anb1b2bn222222abab1122 ab2nn当且仅当fx 有唯一零点时，0以上不等式取等号。
3.1《二维形式的柯西不等式》教案(新人教选修4-5)
结
本节课实际上是柯西不等式的一些简单应用，柯西不等式是一个经典不等式，是一个重要的数学结论，在以后的证明某些不等式时有重要作用。
目的是让学生知道柯西不等式是一个重要的数学结论
布
置
作
业
课本P37第8题
巩固提高
三、教学难点：
运用柯西不等式证明不等式
四、教学过程：
教学
环节
教学程序
设计意图
导
入
（复习
导入）
问题：上节课我们学习了二维形式的柯西不等式，你能简要的概括一下吗？
定理1（二维形式的柯西不等式）
若a,b,c,d都是实数,则
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
当且仅当ad=bc时,等号成立.
本节课实际上是柯西不等式的一些简单应用，因此先让学生回顾柯西不等式以及变形后的两个等价形式:
《二维形式的柯西不等式
》教案
一、教Байду номын сангаас目标
①认识二维形式的柯西不等式的三角形式
②柯西不等式的一些简单应用
二、教学重点：
①认识二维形式的柯西不等式的几种形式
②运用柯西不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的联系，经过恰当变形，以经典不等式为依据得出具体问题中的不等关系
新
课
讲
授
过
程
引探
①观察：课本P34图3.1-4
在平面直角坐标系中，设点 的坐标分别为 ，根据△ 的边长关系，你能发现 这四个实数蕴涵着何种大小关系吗？
通过观察分析推理后得出定理3
②以上是从几何的角度得出的结论，你能否利用柯西不等式，从代数的角度证明这个不等式？
柯西不等式教案
柯西不等式教案
一､教学目标:
1､学问目标:
(1)熟悉二维柯西不等式的两种形式: O 1 代数形式: O2向量形式;
(2)学会二维柯西不等式的两种证明方法: O 1 代数方法: O2向量方法:
(3)明白一般形式的柯西不等式, 并学会应用及探究其证明过程:
2､才能目标:
(1)学会运用柯西不等式解决一些简洁问题:
(2)学会运用柯西不等式证明不等式:
(3) 培育同学学问迁移､自主探究才能:
3､情感､态度､价值观目标:
通过对柯西不等式的学习,使同学感受数学的精妙,提高数学素养, 激发学习爱好;
二､教学重点与难点:
1､教学重点:
(1)二维柯西不等式的两种形式及其证明: 0 1 代数形式: O2向量形式:
(2)探究一般的柯西不等式形式:
2､教学难点:
(1)柯西不等式的证明思路:
(2)运用柯西不等式解决问题: 三､教学方法:探究法､叙述法: 四､教学过程及内容:
五､板书设计。
高二数学人教A版选修4-5教案：3.2一般形式的柯西不等式 Word版含解析
3.2 一般形式的柯西不等式一、教学目标1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式． 2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题． 二、课时安排 1课时 三、教学重点1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式． 2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题． 四、教学难点1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式． 2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题． 五、教学过程 （一）导入新课已知实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋z ＝1，求t ＝x 2＋4y 2＋z 2的最小值． 【解】 由柯西不等式得(x 2＋4y 2＋z 2)(1＋1＋1)≥(x ＋2y ＋z )2. ∵x ＋2y ＋z ＝1，∴3(x 2＋4y 2＋z 2)≥1，即x 2＋4y 2＋z 2≥13.当且仅当x ＝2y ＝z ＝13，即x ＝13，y ＝16，z ＝13时等号成立．故x 2＋4y 2＋z 2的最小值为13.（二）讲授新课教材整理1 三维形式的柯西不等式设a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R ，则(a 21＋a 2＋a 23)·(b 21＋b 2＋b 23)≥.当且仅当或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2,3)时，等号成立．我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式．教材整理2 一般形式的柯西不等式设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 2＋…＋a 2n )(b 21＋b 2＋…＋b 2n )≥.当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝(i ＝1,2，…，n )时，等号成立．（三）重难点精讲题型一、利用柯西不等式求最值例1 已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，1a ＋2b ＋3c＝2，求a ＋2b ＋3c 的最小值及取得最小值时a ，b ，c 的值．【精彩点拨】 由于1a ＋2b ＋3c ＝2，可考虑把已知条件与待求式子结合起来，利用柯西不等式求解．【自主解答】 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＋3c ·(a ＋2b ＋3c )＝[⎝⎛⎭⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎫2b 2＋⎝⎛⎭⎫3c 2][(a)2＋(2b)2＋(3c)2] ≥⎝⎛⎭⎫1a ·a ＋2b ·2b ＋3c ·3c 2＝(1＋2＋3)2＝36. 又1a ＋2b ＋3c ＝2， ∴a ＋2b ＋3c ≥18，当且仅当a ＝b ＝c ＝3时等号成立， 综上，当a ＝b ＝c ＝3时， a ＋2b ＋3c 取得最小值18.规律总结：利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．[再练一题]1．已知x ＋4y ＋9z ＝1，求x 2＋y 2＋z 2的最小值． 【解】 由柯西不等式，知 (x ＋4y ＋9z )2≤(12＋42＋92)(x 2＋y 2＋z 2) ＝98(x 2＋y 2＋z 2)． 又x ＋4y ＋9z ＝1， ∴x 2＋y 2＋z 2≥198，(*)当且仅当x ＝y 4＝z9时，等号成立，∴x ＝198，y ＝249，z ＝998时，(*)取等号．因此，x 2＋y 2＋z 2的最小值为198. 题型二、运用柯西不等式求参数的取值范围 例2已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝xyz ，且不等式1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x≤λ恒成立，求λ的取值范围． 【精彩点拨】 “恒成立”问题需求1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x 的最大值，设法应用柯西不等式求最值．【自主解答】 ∵x >0，y >0，z >0. 且x ＋y ＋z ＝xyz . ∴1yz ＋1xz ＋1xy＝1.又1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x≤12⎝⎛⎭⎫1xy ＋1yz ＋1zx ＝12⎝⎛⎭⎫1·1xy ＋1·1yz ＋1·1zx ≤12⎣⎡⎦⎤12＋12＋12⎝⎛⎭⎫1xy ＋1yz ＋1zx 12＝32， 当且仅当x ＝y ＝z ，即x ＝y ＝z ＝3时等号成立． ∴1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x的最大值为32.故1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x≤λ恒成立时， 应有λ≥32. 因此λ的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 规律总结：应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件熟练掌握，然后根据题目的特点“创造性”应用定理． [再练一题]2．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，试求a 的取值范围. 【解】 由a ＋b ＋c ＋d ＝3，得b ＋c ＋d ＝3－a ， 由a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，得2b 2＋3c 2＋6d 2＝5－a 2， (2b 2＋3c 2＋6d 2)⎝⎛⎭⎫12＋13＋16≥(b ＋c ＋d )2， 即2b 2＋3c 2＋6d 2≥(b ＋c ＋d )2.由条件可得，5－a 2≥(3－a )2，解得1≤a ≤2， 所以实数a 的取值范围是[1,2]． 题型三、利用柯西不等式证明不等式例3 已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：⎝⎛⎭⎫a b ＋b c ＋c a b a ＋c b ＋ac ≥9. 【精彩点拨】 对应三维形式的柯西不等式，a 1＝ab，a 2＝bc，a 3＝ca，b 1＝ba，b 2＝c b，b 3＝ac，而a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3＝1，因而得证． 【自主解答】 ∵a ，b ，c ∈R ＋， 由柯西不等式，知⎝⎛⎭⎫a b ＋b c ＋c a ⎝⎛⎭⎫b a ＋c b ＋a c ＝[⎝⎛⎭⎫a b 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＋⎝⎛⎭⎫c a 2]×[⎝⎛⎭⎫b a 2＋⎝⎛⎭⎫c b 2＋⎝⎛⎭⎫a c 2]≥⎝⎛⎭⎫a b ×b a ＋b c ×c b ＋c a ×a c 2＝(1＋1＋1)2＝9， ∴⎝⎛⎭⎫a b ＋b c ＋c a ⎝⎛⎭⎫b a ＋c b ＋a c ≥9. 规律总结：1．当a i ，b i 是正数时，柯西不等式变形为(a 1＋a 2＋…＋a n )(b 1＋b 2＋…＋b n )≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2.2．本题证明的关键在于构造两组数，创造使用柯西不等式的条件．在运用柯西不等式时，要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确配凑出公式两侧的数组．[再练一题]3．已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.【解】 (1)因为f (x ＋2)＝m －|x |，f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m . 由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }． 又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1.(2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c＝1.又a ，b ，c ∈R ＋，由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝⎛⎭⎫a·1a ＋2b·12b ＋3c·13c 2＝9.（四）归纳小结一般形式的柯西不等式—⎪⎪⎪—三维形式—一般形式—一般形式的应用（五）随堂检测 1．设a ＝(－2,1,2)，|b |＝6，则a·b 的最小值为()A ．18B ．6C ．－18D.12 【解析】 |a·b |≤|a ||b |， ∴|a·b |≤18.∴－18≤a·b ≤18，当a ，b 反向时，a·b 最小，最小值为－18. 【答案】 C2．若a 21＋a 2＋…＋a 2n ＝1，b 21＋b 2＋…＋b 2n ＝4，则a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的取值范围是() A ．(－∞，2) B ．[－2,2]C ．(－∞，2]D.[－1,1]【解析】 ∵(a 21＋a 2＋…＋a 2n )(b 21＋b 2＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2， ∴(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2≤4， ∴|a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n |≤2， 即－2≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤2，当且仅当a i ＝12b i (i ＝1,2，…，n )时，右边等号成立；当且仅当a i ＝－12b i (i ＝1,2，…，n )时，左边等号成立，故选B.【答案】 B3．设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m2＋n2的最小值为________．【解析】 根据柯西不等式(ma ＋nb )2≤(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)，得25≤5(m 2＋n 2)，m 2＋n 2≥5，m2＋n2的最小值为 5.【答案】5六、板书设计七、作业布置同步练习：3.2 一般形式的柯西不等式 八、教学反思。
二维形式的柯西不等式 说课稿 教案 教学设计
2.讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？
3.如何利用二维柯西不等式求函数 的最大值?
要点：利用变式 .
二、讲授新课：
1.最大（小）值：
①出示例1：求函数 的最大值？
分析：如何变形？
→构造柯西不等式的形式
→板演
→ห้องสมุดไป่ตู้式：
→推广：
②练习：已知 ，求 的最小值.
解答要点：（凑配法） .
讨论：其它方法（数形结合法）
2.不等式的证明：
①出示例2：若 ， ，求证： .
分析：如何变形后利用柯西不等式？（注意对比→构造）
要点： …
讨论：其它证法（利用基本不等式）
②练习：已知 、 ，求证： .
三、应用举例：
例1已知a1,a2,…,an都是实数，求证：
分析：用n乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。
二维形式的柯西不等式（二）
教学目标：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系.
教学重点：利用二维柯西不等式解决问题.
教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式.
教学过程：
一、复习引入：
1.提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？几何意义？
例2已知a，b，c，d是不全相等的实数，证明：a2+ b2+ c2+ d2> ab + bc + cd + da
分析：上式两边都是由a,b,c,d这四个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序启发我们，可以用柯西不等式进行证明。
分析：由 形式，联系柯西不等式，可以通过构造（12+22+32）作为一个因式而解决问题。
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《二 一般形式的柯西不等式》教案
教学目标
1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；
2.通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法 教学重、难点
重点：一般形式柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式. 难点：应用一般形式柯西不等式证明不等式.
教学过程
一、复习引入：
定理1：(柯西不等式的代数形式)设d c b a ,,,均为实数，则
22222)())((bd ac d c b a +≥++，其中等号当且仅当bc ad =时成立.
定理2：(柯西不等式的向量形式)设α，β为平面上的两个向量，则||||||βαβα⋅≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反(即两个向量共线)时成立. 定理3：(三角形不等式)设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：
231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+-
二、讲授新课： 类似的，从空间向量的几何背景业能得到•αβαβ≤将空间向量的坐标代入，可得到
2222222123123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++
当且仅当,αβ共线时，即0,β=或存在一个数k ，使得(1,2,3)i i a kb i ==时，等号成立.
这就是三维形式的柯西不等式.
对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？ 定理(一般形式的柯西不等式)：设n 为大于1的自然数，i i b a ,(=i 1，2，…，n )为任
意实数，则：22222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++≥++L L L
即
2
11212)(∑∑∑===≥n i i i n i i n i i b a b a ，其中等号当且仅当1212n n b b b k a a a ====L 时成立(当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ).
证明：构造二次函数：2222211)()()()(n n b x a b x a b x a x f -++-+-=Λ
即构造了一个二次函数：∑∑∑===+-=n
i i n i i i n i i b x b a x a x f 1212
12)(2)()( 由于对任意实数x ，0)(≥x f 恒成立，则其0≤∆， 即：0))((4)(41
2
1221
≤-=∆∑∑∑===n i i n i i n i i i b a b a ， 即：))(()(12
1221∑∑∑===≤n i i n
i i n i i i b a b a ， 等号当且仅当02211=-==-=-n n b x a b x a b x a Λ， 即等号当且仅当n
n a b a b a b ===Λ2211时成立(当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ). 如果i a (n i ≤≤1)全为0，结论显然成立.
三、应用举例：
例1 已知a 1，a 2，…，a n 都是实数，求证
22221221)(1n n a a a a a a n
+++≤+++ΛΛ 例2 已知a ，b ，c ，d 是不全相等的实数，证明
a 2 +
b 2+
c 2+
d 2>ab +bc +cd +da .
例3 已知x +2y +3z =1，求222x y z ++ 的最小值.
四、巩固练习：
1．设x ，y ，z 为正实数，且x +y +z =1，求z
y x 941++的最小值. 2．已知a +b +c +d =1，求a 2+b 2+c 2+d 2的最小值.
3．已知a ，b ，c 为正实数，且a +2b +3c =9，求c b a ++
23的最大值. 五、课堂小结
重点掌握三维柯西不等式的运用.。