课时跟踪训练15

课时跟踪训练(十五)一、选择题1．已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()[解析]由y＝f ′(x)的图象知，y＝f(x)的图象为增函数，且在区间(－1，0)上增长速率越来越快，而在区间(0，1)上增长速度越来越慢．[答案] B2.如图所示是函数f(x)的导函数f ′(x)的图象，则下列判断中正确的是()A．函数f(x)在区间(－3，0)上是减函数B．函数f(x)在区间(－3，2)上是减函数C．函数f(x)在区间(0，2)上是减函数D．函数f(x)在区间(－3，2)上是单调函数[解析]由图可知，当－3<x<0时，f ′(x)<0，所以f(x)在(－3，0)上是减函数．故选A.[答案] A3．(2016·湖北八校联考)函数f(x)＝2ln x－ax(a>0)的单调递增区间为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a D ．(－∞，a )[解析] 由f ′(x )＝2x －a >0，得0<x <2a .∴f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a .故选A. [答案] A4．(2016·江西临川一中期中)若函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)[解析] 由题意知x >0，f ′(x )＝1＋a x .要使函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则需方程1＋a x ＝0在x >0上有解，所以a <0.[答案] C5．已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，f (1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3的大小关系为( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5 B ．f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3 D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5>f (1) [解析] 由f (－x )＝(－x )sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，知f (x )是偶函数．f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，当0<x <π2时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，π2)上为增函数．又0<π5<1<π3<π2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3. 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5.故选A. [答案] A6．(2016·山东师大附中二模)设函数f (x )＝x 3－12x ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．函数f (x )在(－∞，－1)上单调递增B ．函数f (x )在(－∞，－1)上单调递减C ．若b ＝－6，则函数f (x )的图象在点(－2，f (－2))处的切线方程为y ＝10D ．若b ＝0，则函数f (x )的图象与直线y ＝10只有一个公共点[解析] ∵f (x )＝x 3－12x ＋b ，∴f ′(x )＝3x 2－12.令f ′(x )>0，即3x 2－12>0，解得0<－2或x >2，∴函数f (x )在 (－∞，－2)和(2，＋∞)上为增函数；令f ′(x )<0，即3x 2－12<0，解得－2<x <2，∴函数f (x )在(－2，2)上为减函数．排除A ，B.当b ＝－6时，f (x )＝x 3－12x －6，f (－2)＝－8＋24－6＝10，∴曲线的切点为(－2，10)．∴f ′(x )＝3x 2－12，∴k ＝f ′(－2)＝0，∴切线方程为y ＝10，故C 正确．当b ＝0时，f (x )＝x 3－12x ，f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0，得x ＝±2，∴函数f (x )在(－∞，－2)和(2，＋∞)上为增函数，在(－2，2)上为减函数，且f (－2)＝16，f (2)＝－16，∴函数f (x )的极大值为16，极小值为－16，∴函数f (x )的图象与直线y ＝10有三个公共点，故D 错．综上可得，选C.[答案] C7．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x ，若f (x )在[－1，1]上是单调减函数，则a 的取值范围是( )A ．0<a <34B.12<a <34 C ．a ≥34 D ．0<a <12[解析] f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x ＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x ，由题意当x ∈[－1，1]时，f ′(x )≤0恒成立，即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0恒成立．令g (x )＝x 2＋(2－2a )x －2a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ g －1 ≤0，g 1≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－1 2＋ 2－2a · －1 －2a ≤0，12＋2－2a －2a ≤0，解得a ≥34.选C. [答案] C8．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，x f ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1，0)D ．(0，1)∪(1，＋∞)[解析] 构造函数y ＝g (x )＝f （x ）x ，通过研究g (x )的图象的示意图与性质得出使f (x )>0成立的x的取值范围．设y ＝g (x )＝f （x ）x(x ≠0)，则g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2，当x >0时，x f ′(x )－f (x )<0，∴g ′(x )<0，∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数，且g (1)＝f (1)＝－f (－1)＝0.∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数，∴g (x )的图象的示意图如图所示．当x >0，g (x )>0时，f (x )>0，0<x <1，当x <0，g (x )<0时，f (x )>0，x <－1，∴使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)，故选A.[答案] A9．(2016·河北邯郸一模)若函数y ＝12sin2x ＋a cos x 在区间(0，π)上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．[－1，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)[解析] 因为函数y ＝12sin2x ＋a cos x 在区间(0，π)上是增函数，所以y ′＝cos2x －a sin x ≥0，∴1－2sin 2x －a sin x ≥0，令sin x ＝t ，则t ∈(0，1)，即－2t 2－at ＋1≥0，t ∈(0，1)，∴a ≤－2t ＋1t ，令g (t )＝－2t ＋1t ，则g ′(t )＝－2－1t 2<0，∴g (t )在(0，1)上单调递减，∴a ≤g (1)＝－1.[答案] A10．(2017·福建质检)已知f (x )是定义在R 上的减函数，其导函数f ′(x )满足f （x ）f′(x )＋x <1，则下列结论正确的是( )A ．对于任意x ∈R ，f (x )<0B ．对于任意x ∈R ，f (x )>0C ．当且仅当x ∈(－∞，1)时，f (x )<0D ．当且仅当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0[解析] 因为函数f (x )是定义在R 上的减函数，所以f ′(x )<0.因为f （x ）f′(x )＋x <1，所以f (x )＋x f ′(x )>f ′(x )，所以f (x )＋(x －1)f ′(x )>0，构造函数g (x )＝(x －1)f (x )，则g ′(x )＝f (x )＋(x －1)f ′(x )>0，所以函数g (x )在R 上单调递增，又g (1)＝(1－1)f (1)＝0，所以当x <1时，g (x )<0，所以f (x )>0；当x >1时，g (x )>0，所以f (x )>0.因为f (x )是定义在R 上的减函数，所以f (1)>0.综上，对于任意x ∈R ，f (x )>0，故选B.[答案] B二、填空题11．若函数f (x )的导函数f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则函数f (x ＋1)的单调递减区间是 ．[解析] 由f ′(x )＝x 2－4x ＋3＝(x －1)(x －3)知，当x ∈(1，3)时， f ′(x )<0，函数f (x )在(1，3)上为减函数，函数y ＝f (x ＋1)的图象是由函数y ＝f (x )的图象向左平移1个单位长度得到的，所以(0，2)为函数y ＝f (x ＋1)的单调递减区间．[答案] (0，2)12．已知函数f (x )＝ax －x 3，若对区间(0，1)上的任意x 1，x 2，且x 1<x 2，都有f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1成立，则实数a 的取值范围是 ．[解析] 问题等价于函数g (x )＝f (x )－x 在区间(0，1)上为增函数，即g ′(x )＝a －1－3x 2≥0，即a ≥1＋3x 2在(0，1)上恒成立，即a ≥4，所以实数a 的取值范围是[4，＋∞)．[答案] [4，＋∞)13．已知函数f (x )＝3x a －2x 2＋ln x (a >0)．若函数f (x )在[1，2]上为单调函数，则a 的取值范围是 ．[解析] f ′(x )＝3a －4x ＋1x ，若函数f (x )在[1，2]上为单调函数，即f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≤0在[1，2]上恒成立即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x 在[1，2]上恒成立．令h (x )＝4x －1x ，则h (x )在[1，2]上单调递增，所以3a ≥h (2)或3a ≤h (1)，即3a ≥152或3a ≤3，又a >0，所以0<a ≤25或a ≥1.[答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，25∪[1，＋∞) 三、解答题14．(1)求函数f (x )＝3x －2x 2＋ln x 的单调区间；(2)求函数f (x )＝12e x －e －x －32x 的单调区间．[解] (1)f (x )＝3x －2x 2＋ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －4x ＋3＝－4x 2＋3x ＋1x ＝－（4x ＋1）（x －1）x(x >0)． 当x ∈(0，1)，f ′(x )>0时，函数f (x )＝3x －2x 2＋ln x 单调递增． 当x ∈(1，＋∞)，f ′(x )<0时，函数f (x )＝3x －2x 2＋ln x 单调递减．故函数f (x )的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(2)f ′(x )＝12e x [(e x )2－3e x ＋2]＝12e x (e x －1)(e x －2)，令f ′(x )＝0，得e x ＝1或e x ＝2，即x ＝0或x ＝ln2.令f ′(x )>0，则x <0或x >ln2；令f ′(x )<0，则0<x <ln2.∴f (x )的递增区间是(－∞，0)，(ln2，＋∞)；递减区间是(0，ln2)．15．(2016·福建四校联考)已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋ax 2(a ∈R )．(1)求f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12时，求函数f (x )的单调区间． [解] 由已知得f ′(x )＝1x ＋1－1＋2ax ＝2ax 2－（1－2a ）x x ＋1，x >－1.(1)∵f (0)＝0，f ′(0)＝0，∴f (x )在(0，f (0))处的切线方程为y ＝0.(2)当a ＝0时，f ′(x )＝－x x ＋1， 当x ∈(－1，0)时，f ′(x )>0，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )<0.∴函数f (x )在(－1，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．当a ≠0时，令f ′(x )＝0得x 1＝0，x 2＝12a －1.①当0<a <12时，x ∈(－1，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －1，＋∞时，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12a －1时，f ′(x )<0. 此时，f (x )在(－1，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －1，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a －1上单调递减．②当a <0时，x ∈(－1，0)时，f ′(x )>0；x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )<0.此时，f (x )在(－1，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减． 综上，当a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间是(－1，0)，单调递减区间是(0，＋∞)，当0<a <12时，函数f (x )的单调递增区间是(－1，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －1，＋∞，单调递减区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，12a －1. 16．(2015·新课标全国卷Ⅱ改编)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )在(2，＋∞)上为单调函数，求实数a 的取值范围．[解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；若a >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，合要求；当a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减，则2≥1a ，即a ≥12.∴实数a 的取值范围是(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.。