柯西不等式教学设计
人教版高中选修4-5第三讲柯西不等式与排序不等式教学设计
人教版高中选修4-5第三讲柯西不等式与排序不等式教学设计一、教学目标1.理解柯西不等式和排序不等式的概念和基本性质。
2.能够应用柯西不等式和排序不等式解决实际问题。
3.培养学生的数学思维能力、解决问题的能力和团队协作精神。
二、教学内容1.柯西不等式的定义和证明。
2.柯西不等式及其应用。
3.排序不等式的定义和证明。
4.排序不等式及其应用。
三、教学重点和难点1.理解柯西不等式和排序不等式的定义和基本性质。
2.掌握柯西不等式的证明方法，理解其应用。
3.熟练掌握排序不等式的证明方法，能够应用排序不等式解决实际问题。
四、教学方法和手段1.教师引导学生自主发现和探究柯西不等式和排序不等式。
2.采用运用举例的方法，引导学生理解和记忆柯西不等式和排序不等式，提高学生举一反三的能力。
3.推崇探究式学习方法，鼓励学生主动探究，组织学生研究、合作探讨，提升学生的团队合作能力。
五、教学流程1.柯西不等式的引入通过真实生活中的例子，引出两个变量之间的关系，小组探究两正数之积的最大值、两负数之积的最大值、正数与负数之积的最小值。
教授柯西不等式的定义和证明。
2.柯西不等式的应用通过计算题目，引出使用柯西不等式求出积分值最大值的方法，题目的复杂程度逐渐加深，教授柯西不等式在解题中的应用。
3.排序不等式引入介绍排序不等式的定义和证明过程，并从生活中的例子引出排序不等式的应用场景。
4.排序不等式的应用通过计算题目，引导学生掌握人教版高中选修4-5第三讲柯西不等式与排序不等式的解题方法，解决实际问题。
六、教学评价1.通过出题考核，检测学生掌握柯西不等式和排序不等式的基础知识和应用能力。
2.通过实际应用问题，检验学生对柯西不等式和排序不等式的理解和应用能力。
七、小组探究设计在小组合作过程中，让学生组织实验、调查等自主探究柯西不等式和排序不等式。
小组探究产生的报告可作为课后作业，让学生进行总结和讨论。
最后，本课程旨在为学生提供基本数学知识和运用能力，建立实际生活场景与知识的联系。
二维形式的柯西不等式-教案
【二维形式的柯西不等式】一、教材分析：柯西不等式是人教A 版选修 4-5不等式选讲中的内容，是学生继均值不等式后学习的又一个经典不等式，它在教材中起着承前启后的作用。
一方面可以巩固不等式的基本证明方法，和函数最值的求法，另一方面为后面学习三角不等式与排序不等式奠定基础，本节课的核心内容是柯西不等式二维形式的推导及其简单应用。
二、教学目标：1、知识与技能：通过对二维形式的柯西不等式的探究和证明过程的分析的学习，认识二维形式的柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；2、过程与方法：过对柯西不等式几种不同形式的探究过程的学习，会用语言叙述柯西不等式的几种形式，能总结本节课涉及到的数形结合思想，比较法，综合法，配方法，类比法，构造法等数学方法，总结应用柯西不等式解答问题的一般方法与步骤； 3、情感、态度与价值观：通过对二维形式柯西不等式的学习，学生会感受到柯西不等式的对称与和谐美，感受探究交流与合作的学习方式，同时提高学习数学的兴趣,提高数学素养. 三、教学重点：二维形式柯西不等式的证明思路，二维形式柯西不等式的应用. 四、教学难点：二维形式柯西不等式的应用. 五、教学准备1、课时安排：1课时2、学情分析： 学生不仅已经掌握了不等式证明的基本方法，还具备了一定的观察、分析、逻辑推理的能力。
通过对两种方法的证明，让学生体会对柯西不等式的向量形式和代数法证明的不同之处.3、教具选择：多媒体六、教学方法：启发引导、合作探究 七、教学过程一． 1、自主导学：引入：同学们，中学课本有很多定理定义都以科学家姓名命名，你知道有哪些？ 牛顿，高斯，安培，焦耳，裴波拉契，欧姆，伽利略，韦达定理，笛卡尔, 祖暅原理，秦九韶算法，海伦公式，引出课题： 1.复习： 二元基本不等式 ：(0,0)2a ba b +≥>>，当且仅当b a =时等号成立.变形：ab b a 222≥+，R b a ∈,,当且仅当b a =时等号成立.2. 尝试练习，引入新课：（1），122=+b a ，422=+d c 求bd ac +的最大值；学生独立思考，再小组讨论分析：由，122=+b a 422=+d c 得 ++22b a 2)2()2(22=+d c ,因为ac ca ≥+22)2(，bd db ≥+22)2(所以++22)2(c a bd ac db +≥+22)2(即2≤+bd ac ，当且仅当2c a =，2db =时等号成立.（2）222M b a =+,222N d c =+，N M ,为正常数，求2）（bd ac +的最大值并指出等号成立的条件.分析：由222M b a =+,222N d c =+得++22)()(M b M a 2)()(22=+NdN c 因为MN ac N c M a 2)()(22≥+，MNbd N d M b 2)()(22≥+++=22)()(2N c M a MNac N d M b 2)()(22≥++MN bd 2 故bd ac MN +≥，当且仅当N c M a =，Nd M b =时即bc ad =等号成立. bd ac d c b a +≥+⋅+2222从而22222)())((bd ac d c b a +≥++，当且仅当bc ad =等号成立. 2、合作探究（1）分组探究： 二．新课：1.定理1：（柯西不等式的代数形式）设d c b a ,,,均为实数，则 22222)())((bd ac d c b a +≥++，当且仅当bc ad =时等号成立. 证明：因为))((2222d c b a ++=22222222d a c b d b c a +++222222)(d b acbd c a bd ac ++=+所以22222)())((bd ac d c b a +-++ 0)222222≥-=+-=bc ad c b abcd d a （ 当且仅当bc ad =时等号成立.注意考虑等号成立的条件！ 探究：结合bd ac bd ac d c b a +≥+≥+⋅+||2222，能否利用所学知识从形的角度认识？小组讨论，学生展示结果：2. 几何意义：设βα→→，为平面上以原点O为起点的两个非零向量，它们的终点分别为）b a A ,(，),(d c B ），因为 |cos |||||||θβαβα→→→→=•又因为1|cos |≤θ所以||||||βαβα→→→→•≥⋅， 同时：根据坐标表示得22||b a +=→α，22||d c +=→β，它们的数量积为bd ac +=•→→βα， 所以||2222bd ac d c b a +≥+⋅+，即柯西不等式的代数形式是向量形式的坐标表示！所以柯西不等式的几何意义就是：||||||βαβα→→→→•≥⋅， 当且仅当β→是零向量，或存在实数k ,使βα→→=k 时等号成立.）b a ,3.定理2：（柯西不等式的向量形式）设βα→→，为平面上的两个向量，则||||||βαβα→→→→•≥⋅，当且仅当β→是零向量，或存在实数k ,使βα→→=k 时等号成立.（2）教师点拨：我们需要熟悉的是两个向量数量积与坐标间的联系，柯西不等式的代数形式是向量形式的坐标表示，所以柯西不等式的几何意义就是：||||||βαβα→→→→•≥⋅， 当且仅当β→是零向量，或存在实数k ,使βα→→=k 时等号成立.3、巩固训练：已知623=+y x ，求22y x +的最小值.分析：因为 22222)23((23y x y x ⨯+⨯≥++））（ 即36(1322≥+）y x ，所以133622≥+y x ，所以22y x +的最小值为1336又如，求函数x x y -+-=6453的最大值.例题教学：设b a ,是正实数，1=+b a ，求证411≥+ba分析：法1：)11)((11ba b a b a ++=+展开，用均值不等式解：4222)11)((11=+≥++=++=+abb a b a b a b a (当且仅当b a a b =即21==b a 时，等号成立.)（学生一起快速齐答）法2：注意到)11)((11b a b a b a ++=+，有了)11)((ba b a ++就可以用柯西不等式了.解：411)11)((,0,02=⋅+⋅≥++∴>>）（bb a a b a b a b a , (当且仅当ab b a 11⋅=⋅即21==b a 时，等号成立.) 411≥+∴b a变式训练：已知369422=+y x ，求y x 3+最大值.分析：因为22222)13212(]1)21][()3()2[(⨯+⨯≥++y x y x即：22222)3(]1)21)[(94(y x y x +≥++2)3(454536y x +≥=⨯ 所以 53353≤+≤-y x当且仅当232yx =即554553==y x ，时y x 3+取最大值53.554-553-==y x ，时y x 3+取最小值53-.4、拓展延伸：不等式结构分析：左边是实数平方和的乘积，右边是实数积的和的平方（1）bd ac bd ac d c b a +≥+≥+⋅+||2222(当且仅当bc ad =时等号成立.)(2)),,,.()())((2+∈+≥++R d c b a bd ac d b c a (当且仅当bc ad =时等号成立.) (3)||||2222bd ac d c b a +≥+⋅+（当且仅当||||bc ad =时，等号成立）使用柯西不等式的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式．美题欣赏：22222)())(11(b a b a +≥++ 即2)(222b a b a +≥+22222)21((21y x y x ⨯+⨯≥++））（ 即222)2((5y x y x +≥+）22222)cos sin ()cos )(sin (θθθθb a b a +≥++ 即222)cos sin (θθb a b a +≥+|cos sin |cos sin 2222θθθθb a b a +≥+⨯+ 即|cos sin |22θθb a b a +≥+5、师生合作总结：学生总结本节课所学内容：定理1：（柯西不等式的代数形式）设d c b a ,,,均为实数，则22222)())((bd ac d c b a +≥++，当且仅当bc ad =时等号成立. 定理2：（柯西不等式的向量形式）设βα→→，为平面上的两个向量，则||||||βαβα→→→→•≥⋅，当且仅当β→是零向量，或存在实数k ,使βα→→=k 时等号成立.方法：作差，构造，数形结合 八、课外作业： P37页，4，5， 7，8，9思考题：根据二维形式的柯西不等式类比得到三维形式的柯西不等式十、教学反思：（注：教学实施后写） 过上完本节课我的体会和反思是：这是一节定理新授课，也是实践、总结和体验的研究课。
柯西不等式教案
柯西不等式教案教案标题：柯西不等式教案教案目标：1. 理解柯西不等式的概念和原理。
2. 掌握柯西不等式的应用方法。
3. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
教学准备：1. 教材：包含柯西不等式相关知识点的数学教材。
2. 教具：黑板、白板、彩色笔、计算器等。
3. 学生资源：学生课本、笔记本、作业本等。
教学过程：步骤一：导入1. 利用黑板或白板，写下柯西不等式的定义和公式。
2. 向学生提问：“你们对柯西不等式有什么了解？它在数学中的应用是什么？”步骤二：概念讲解1. 通过讲解，向学生介绍柯西不等式的概念和原理。
2. 强调柯西不等式的重要性和应用领域，如线性代数、概率论等。
3. 通过示例，帮助学生理解柯西不等式的具体应用。
步骤三：应用演练1. 提供一些简单的柯西不等式应用题，让学生尝试解答。
2. 引导学生分析解题思路和方法，帮助他们逐步掌握解题技巧。
3. 鼓励学生在解题过程中提出问题、讨论和交流，促进他们的思维发展。
步骤四：拓展练习1. 提供一些较难的柯西不等式应用题，挑战学生的解题能力。
2. 引导学生运用柯西不等式解决实际问题，培养他们的问题解决能力。
3. 鼓励学生展示自己的解题思路和方法，促进合作学习和互相学习。
步骤五：总结和归纳1. 通过讨论和总结，概括柯西不等式的关键概念和应用方法。
2. 强调柯西不等式的重要性，鼓励学生在数学学习中灵活应用该不等式。
步骤六：作业布置1. 布置与柯西不等式相关的作业题目，巩固学生的学习成果。
2. 鼓励学生自主学习和探索，提高他们的问题解决能力。
教学反思：根据学生的实际情况和学习进度，教师可以适当调整教学步骤和难度。
在教学过程中，要注重启发学生的思维，激发他们的兴趣，培养他们的数学思维和解决问题的能力。
同时，教师还应根据学生的学习情况进行及时的巩固和复习，以确保他们对柯西不等式的理解和应用能力的提高。
一般形式的柯西不等式精品教案
一般形式的柯西不等式【教学目标】认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式。
【教学重点】会证明二维柯西不等式及三角不等式。
【教学难点】理解几何意义。
【教学过程】一、复习准备：1．提问： 二元均值不等式有哪几种形式？答案：及几种变式。
(0,0)2a b a b +≥>>2．练习：已知A ．B ．C ．d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 证法：（比较法）=…=22222()()()a b c d ac bd ++-+2()0ad bc -≥二、讲授新课：1． 柯西不等式：① 提出定理1：若A ．B ．C ．d 为实数，则。
22222()()()a b c d ac bd ++≥+ → 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++ 。
（要点：展开→配方）222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+证法三：（向量法）设向量，，则，(,)m a b =u r (,)n c d =r ||m =u r ||n =r ∵ ，且，则。
∴ …。
m n ac bd ∙=+u r r ||||cos ,m n m n m n ⋅=<>u r r u r r u r r ||||||m n m n ⋅≤u r r u r r 证法四：（函数法）设，则22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++≥0恒成立。
22()()()f x ax c bx d =-+-∴ ≤0，即…。
22222[2()]4()()ac bd a b c d ∆=-+-++③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？或||ac bd ≥+||||ac bd ≥+ 。
人教版高中选修4-5第三讲柯西不等式与排序不等式课程设计
人教版高中选修4-5第三讲柯西不等式与排序不等式课程设计
一、课程目标
1.1 掌握柯西不等式的概念及其意义；
1.2 学会在实际问题中应用柯西不等式；
1.3 掌握排序不等式的概念及应用；
1.4 学会在实际问题中应用排序不等式。
二、教学内容
2.1 柯西不等式的概念与应用；
2.2 排序不等式的概念与应用；
2.3 利用柯西不等式、排序不等式解决实际问题。
三、教学重点与难点
3.1 教学重点：柯西不等式、排序不等式的概念及应用。
3.2 教学难点：如何在实际问题中应用柯西不等式、排序不等式。
四、教学过程设计
教学环节教学内容教学目标与要
求
教师活动与学生活动
1。
高中数学柯西不等式教学
高中数学柯西不等式教学一、教学任务及对象1、教学任务本教学设计的核心任务是使学生深入理解和掌握高中数学中的重要不等式——柯西不等式。
通过该不等式的学习，学生将掌握其数学表达形式、证明过程、应用场景，并培养他们的逻辑思维能力、问题解决能力和数学素养。
此外，通过柯西不等式的学习，学生将认识到数学知识的内在联系，激发他们对数学美的追求。
2、教学对象本教学设计的对象为高中二年级的学生。
他们已经具备了一定的数学基础，掌握了基本的代数、几何知识，具备了一定的逻辑推理能力和解题技巧。
在此基础上，学生对柯西不等式的学习将更具挑战性和深度，有助于他们在数学领域取得更好的成绩。
同时，考虑到学生个体差异，教学过程中将注重因材施教，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解柯西不等式的概念，掌握其数学表达形式和证明方法；（2）掌握柯西不等式在不同数学问题中的应用，如求解最值问题、不等式证明等；（3）能够运用柯西不等式解决实际问题，提高数学建模和问题解决能力；（4）通过柯西不等式的学习，提高代数运算能力和逻辑思维能力。
2、过程与方法（1）采用探究式教学，引导学生通过自主探究、合作学习等方式发现柯西不等式的证明过程；（2）通过典型案例分析，培养学生运用柯西不等式解决问题的方法；（3）设计多样化的练习题，帮助学生巩固柯西不等式的知识，提高解题技巧；（4）组织课堂讨论，让学生在交流中碰撞思维火花，互相启发，共同提高。
3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学知识的兴趣，培养他们勇于探索、追求真理的精神；（2）通过柯西不等式的学习，让学生体会到数学美的内涵，提高他们的审美素养；（3）培养学生严谨、务实的学术态度，使他们认识到数学知识的重要性；（4）引导学生树立正确的价值观，认识到学习数学不仅是为了应付考试，更是为了提高自己的综合素质，为未来的发展奠定基础。
在教学过程中，注重知识与技能、过程与方法、情感，态度与价值观的有机统一，使学生在掌握柯西不等式知识的同时，提升自身的综合素质，为未来的学习和发展奠定坚实基础。
高中数学 第12课时 几个闻名的不等式 柯西不等式教案
第12课时 几个闻名的不等式之一：柯西不等式目的要求： 重点难点： 教学进程： 一、引入：除前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等闻名不等式。
这些不等式不仅形式优美、应用普遍，而且也是进一步学习数学的重要工具。
一、什么是柯西不等式：定理1：（柯西不等式的代数形式）设d c b a ,,,均为实数，那么22222)())((bd ac d c b a +≥++，其中等号当且仅当bc ad =时成立。
证明：几何意义：设α，β为平面上以原点O 为起点的两个非零向量，它们的终点别离为A （b a ,），B （d c ,），那么它们的数量积为bd ac +=•βα， 而22||b a +=α，22||d c +=β，因此柯西不等式的几何意义确实是：||||||βαβα•≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
二、定理2：（柯西不等式的向量形式）设α，β为平面上的两个向量，那么||||||βαβα•≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
3、定理3：（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，那么： 分析：试探：三角形不等式中等号成立的条件是什么？4、定理4：（柯西不等式的推行形式）：设n 为大于1的自然数，i i b a ,（=i 1，2，…，n ）为任意实数，那么：211212)(∑∑∑===≥ni i i n i i ni ib a b a ，其中等号当且仅当nn a b a b a b === 2211时成立（当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ）。
证明：构造二次函数：2222211)()()()(n n b x a b x a b x a x f -++-+-=即构造了一个二次函数：∑∑∑===+-=ni i n i i i ni ib x b a x ax f 121212)(2)()(由于对任意实数x ，0)(≥x f 恒成立，那么其0≤∆，即：0))((4)(4121221≤-=∆∑∑∑===ni i ni i ni i i b a b a ，即：))(()(121221∑∑∑===≤ni i n i i ni i i b a b a ，等号当且仅当02211=-==-=-n n b x a b x a b x a ，即等号当且仅当nn a b a b a b === 2211时成立（当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ）。
教案：二维形式的柯西不等式
教案：二维形式的柯西不等式一．教学目标：1.探究二维形式的柯西不等式，能利用二维形式的柯西不等式解决求一类最值问题。
二． 教学重点：二维形式柯西不等式的推倒及应用。
难点：灵活应用二维形式的柯西不等式求最值。
三．教学过程 （一）引入世界著名数学家简介（幻灯片播放）师：好，同学们，刚刚我们从幻灯片上看到的是部份著名的数学家，他们为人类社会的发展作出了巨大的贡献。
今天让我们走进其中的一位，他的名字叫柯西。
（切换下一张幻灯片，并介绍幻灯片内容）他给后代留下了很多宝贵的财富，今天我们来学习其中非常重要的一个——柯西不等式。
（切换下一张幻灯片，并板书二维形式的柯西不等式，并同时解释二维的含义）（二）.新课1．初识柯西不等式（柯西不等式的推倒）：为αβ与αβ（其中α，β非零向量）的大小≥则标122若α=（a ,b）,β=(a ,b ),不等式αβαβ如何用坐表示？师：那么柯西不等式到底是怎样的一个不等式，它是如何被发现的，它的重要价值又体现在哪里呢？我们先来看一个简单的向量问题。
（切换到问题一，问题二幻灯片）。
问1：这两者的大小关系是怎样的？（学生回答，并板书两者大小关系）问2：为什么？（叫学生回答）问3：当什么时候两者相等呢？（学生回答）。
我们把向量坐标化看呢？（打出问题2）问4：这个向量不等式用坐标如何表示呢？（学生口答，老师板书）问5：当什么时候等号成立呢？（学生回答，并板书等号成立条件）。
我们看，当给这个普通的向量关系坐标化后，我们得到了一个非常漂亮的不等式。
我们把这个不等式叫做柯西不等式，这个向量关系就叫做柯西不等式的向量形式。
（板书）同学们，柯西的伟大，就在于他善于观察与发现，能从普通中发现隐藏的美丽。
我们学习数学，要向柯西学习，也要善于去观察和发现，说不定你也能发现一个以你的名字命名的不等式。
2．再识柯西不等式（填空）：≥≥≥2222222221.(x +y )(___+___)(2x +y)2.(___+___)(4a +b )(2a +b)3.(a +b )(2+1)(____+____)，师：通过刚刚的填空，同学们再观察哪些数之间有关系，有没有记忆的规律呢？（归纳记忆规律：前两个数相乘后开根号就是第三个数）。
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3.1 二维形式的柯西不等式（一）教学设计
一、设计思想：
本节乃至本讲的编写意图不是仅仅介绍经典不等式及其证明方法，而是更希
望能通过分析和解决问题，讨论经典不等式的简单应用，提高学生运用重要数学
结论进行推理论证的能力，即在理解重要数学结论的基础上，能够发现面临的具
体问题与重要数学结论之间的内在联系，并善于利用这样的联系，应用重要数学
结论及其所反映的数学思想方法解决具体问题。
二、教材分析：
二维形式的柯西不等式是人教A 版教材选修4-5第三讲第一节的内容，是学生
继学习均值不等式之后学习的又一个经典不等式，它在教材中起着承前启后的作
用，一方面巩固了前面证明不等式及求最值的基本方法，另一方面与后面学习的
三维形式的柯西不等式及一般形式的柯西不等式有着相通的研究方法，是从特殊
到一般的研究过程。
本节教学的核心是二维形式的柯西不等式、几何意义以及它
的简单应用。
三、学情分析：
学生不仅掌握了不等式的基本证明方法，还具备了一定的观察、分析、逻辑推
理能力，学生对柯西不等式的向量形式也有了一定的认识，这是学生知识的“最
近发展区”。
另外授课班级是高二年级（4）班，学生基础较好，学习积极性较高。
四、教学目标
1、知识与技能目标
（1）认识二维柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义。
（2）能用二维柯西不等式解决简单的证明问题及求最值问题。
2、过程与方法目标
通过创设情境提出问题，然后探索解决问题的方法，培养学生
独立思考能力和逻辑推理能力及数形结合能力。
3、情感态度与价值观
简单介绍法国数学家柯西，渗透数学史和数学文化。
五、教学重难点
（1）教学重点 二维形式的柯西不等式 ； 二维形式的柯西不等式的向量形式
（2）教学难点 数形结合的认识两种形式的等价关系；应用柯西不等式求最值
六、教学过程
（一）定理探究
设α，β为平面上以原点O 为起点的两个非零向量，它们的坐标α=（b a ,） β=（d c ,）那么它们的数量积为ac bd αβ→→•=+而2||a α→=，
2||c β=+||||cos αβαβθ•=⋅•，
cos 1θ≤||||||αβαβ∴•≤⋅，其中等号当
且仅当两个向量共线时成立。
定理：（二维柯西不等式的向量形式）设α，β为平面上的两个向量，则
||||||αβαβ•≤⋅，当且仅当β是零向量或存在实数k ，使k αβ=时等号成立。
用向量坐标表示不等式||||||αβαβ•≤⋅，得2222||d c b a bd ac +⋅+≤+
两边平方，得到二维柯西不等式的代数形式 22222)())((bd ac d c b a +≥++，等
号成立的条件为ad=bc
定理：（二维柯西不等式的代数形式）设d c b a ,,,均为实数，则
22222()()()a b c d ac bd ++≥+, 其中等号当且仅当bc ad =时成立。
代数证明过程如下:
222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+
当且仅当bc ad =时等号成立.（也可以用比较法证明）
【设计意图】不等式部分的课题引入很难，本节课利用学生的“最近发展区” 学生熟悉向量引入巧妙地化解了困难，同时有效地整合了教材，
使两个定理的讲解浑然一体。
突破了教学难点，突出了重点。
（二）定理应用
1.不等式的证明：
例1：已知a,b 为实数，求证4422332()()()a b a b a b ++≥+
2. 求最大（小）值：
例2：求函数y =
分析：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式的一边得到一个常数，并寻
找不等式取等号的条件。
这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd 的形
式就能用柯西不等式求其最大值。
（||ac bd +
解：函数的定义域为【1，5】且y>0
5y =≤==例3: 设a,b 是正实数，a+b=1，求证
411≥+b a 分析：注意到)11)((11b a b a b a ++=+，有了)11)((b
a b a ++就可以用柯西不等式了。
讨论：其它证法（利用基本不等式）
5=时，等号成立，即12727
x =时，函数取最大值36。
例4：已知321x y +=，求22x y +的最小值.
分析：（凑配法）2222222111()(32)(32)131313
x y x y x y +=++≥+= 讨论：其它方法 （数形结合法）
【设计意图】1.培养学生用适当的变形手段解决问题的能力。
2.比较一个问题的多种解法，便于学生灵活应用。
（二）随堂练习
【设计意图】理解反思、巩固提高
（三）小结与作业
【设计意图】突出重点、夯实基础。