高中数学人教A版选修4-5教学案第三讲 一 二维形式的柯西不等式
柯西不等式教学设计
3.1 二维形式的柯西不等式（一）教学设计一、设计思想：本节乃至本讲的编写意图不是仅仅介绍经典不等式及其证明方法，而是更希望能通过分析和解决问题，讨论经典不等式的简单应用，提高学生运用重要数学结论进行推理论证的能力，即在理解重要数学结论的基础上，能够发现面临的具体问题与重要数学结论之间的内在联系，并善于利用这样的联系，应用重要数学结论及其所反映的数学思想方法解决具体问题。
二、教材分析：二维形式的柯西不等式是人教A 版教材选修4-5第三讲第一节的内容，是学生继学习均值不等式之后学习的又一个经典不等式，它在教材中起着承前启后的作用，一方面巩固了前面证明不等式及求最值的基本方法，另一方面与后面学习的三维形式的柯西不等式及一般形式的柯西不等式有着相通的研究方法，是从特殊到一般的研究过程。
本节教学的核心是二维形式的柯西不等式、几何意义以及它的简单应用。
三、学情分析：学生不仅掌握了不等式的基本证明方法，还具备了一定的观察、分析、逻辑推理能力，学生对柯西不等式的向量形式也有了一定的认识，这是学生知识的“最近发展区”。
另外授课班级是高二年级（4）班，学生基础较好，学习积极性较高。
四、教学目标1、知识与技能目标（1）认识二维柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义。
（2）能用二维柯西不等式解决简单的证明问题及求最值问题。
2、过程与方法目标通过创设情境提出问题，然后探索解决问题的方法，培养学生独立思考能力和逻辑推理能力及数形结合能力。
3、情感态度与价值观简单介绍法国数学家柯西，渗透数学史和数学文化。
五、教学重难点（1）教学重点 二维形式的柯西不等式 ； 二维形式的柯西不等式的向量形式（2）教学难点 数形结合的认识两种形式的等价关系；应用柯西不等式求最值六、教学过程（一）定理探究设α，β为平面上以原点O 为起点的两个非零向量，它们的坐标α=（b a ,） β=（d c ,）那么它们的数量积为ac bd αβ→→•=+而2||a α→=，2||c β=+||||cos αβαβθ•=⋅•，cos 1θ≤||||||αβαβ∴•≤⋅，其中等号当且仅当两个向量共线时成立。
3.1《二维形式的柯西不等式》教案(新人教选修4-5)
结
本节课实际上是柯西不等式的一些简单应用，柯西不等式是一个经典不等式，是一个重要的数学结论，在以后的证明某些不等式时有重要作用。
目的是让学生知道柯西不等式是一个重要的数学结论
布
置
作
业
课本P37第8题
巩固提高
三、教学难点：
运用柯西不等式证明不等式
四、教学过程：
教学
环节
教学程序
设计意图
导
入
（复习
导入）
问题：上节课我们学习了二维形式的柯西不等式，你能简要的概括一下吗？
定理1（二维形式的柯西不等式）
若a,b,c,d都是实数,则
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
当且仅当ad=bc时,等号成立.
本节课实际上是柯西不等式的一些简单应用，因此先让学生回顾柯西不等式以及变形后的两个等价形式:
《二维形式的柯西不等式
》教案
一、教Байду номын сангаас目标
①认识二维形式的柯西不等式的三角形式
②柯西不等式的一些简单应用
二、教学重点：
①认识二维形式的柯西不等式的几种形式
②运用柯西不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的联系，经过恰当变形，以经典不等式为依据得出具体问题中的不等关系
新
课
讲
授
过
程
引探
①观察：课本P34图3.1-4
在平面直角坐标系中，设点 的坐标分别为 ，根据△ 的边长关系，你能发现 这四个实数蕴涵着何种大小关系吗？
通过观察分析推理后得出定理3
②以上是从几何的角度得出的结论，你能否利用柯西不等式，从代数的角度证明这个不等式？
人教A版选修4-5 3.1 二维形式的柯西不等式 学案
一 二维形式的柯西不等式 第9课时 二维形式的柯西不等式1．二维形式的柯西不等式(1)定理1：若a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立．(2)二维形式的柯西不等式的推论：(a ＋b )(c ＋d )≥(ac ＋bd )2(a ，b ，c ，d 为非负实数)；a 2＋b 2·c 2＋d 2≥|ac ＋bd |(a ，b ，c ，d ∈R )； a 2＋b 2·c 2＋d 2≥|ac |＋|bd |(a ，b ，c ，d ∈R )． 2．柯西不等式的向量形式定理2：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立．3．二维形式的三角不等式(1)定理3：设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，那么x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥x 1－x 22＋y 1－y 22.(2)二维形式的三角不等式的推论用x 1－x 3代替x 1，用y 1－y 3代替y 1，用x 2－x 3代替x 2，用y 2－y 3代替y 2，代入定理3，得x 1－x 32＋y 1－y 32＋x 2－x 32＋y 2－y 32≥x 1－x 22＋y 1－y 22(x 1，x 2，x 3，y 1，y 2，y 3∈R )．知识点一 证明不等式1．已知a 1，a 2，b 1，b 2∈R ＋，求证： (a 1b 1＋a 2b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2≥(a 1＋a 2)2.证明：(a 1b 1＋a 2b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2＝[(a 1b 1)2＋(a 2b 2)2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a 1b 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ a 2b 22 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1·a 1b 1＋a 2b 2·a 2b 22＝(a 1＋a 2)2.2．(2019·福建泉州检测)设m 2x 2＋n 2y 2＝1，求证：x 2＋y 2≥(m ＋n )2.证明：因为m 2x 2＋n 2y 2＝1，所以x 2＋y 2＝(x 2＋y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2x 2＋n 2y 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·m x ＋y ·n y 2＝(m ＋n )2. 知识点二 求最值3．函数f (x )＝1－cos 2x ＋cos x ，则f (x )的最大值是( ) A. 3 B. 2 C ．1D ．2解析：∵f (x )＝2·sin 2x ＋cos x .又(2·sin 2x ＋cos x )2≤(2＋1)(sin 2x ＋cos 2x )＝3， ∴f (x )＝ 2 sin 2x ＋cos x ≤ 2＋1sin 2x ＋cos 2x＝3，当且仅当cos x ＝33时取等号，∴f (x )的最大值为 3. 答案：A4．(2019·河南师大附中月考)设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m 2＋n 2的最小值为________．解析：由柯西不等式得，(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)≥(ma ＋nb )2， 所以5(m 2＋n 2)≥52，得m 2＋n 2≥5，所以m 2＋n 2≥ 5.答案： 5知识点三 柯西不等式的向量形式的应用5．已知θ为锐角，a >0，b >0，用柯西不等式的向量形式证明：(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ. 证明：设m ＝⎝⎛⎭⎪⎫acos θ，b sin θ，n ＝(cos θ，sin θ)， 则m ·n ＝a cos θ·cos θ＋bsin θ·sin θ＝a ＋b .∴|a ＋b |＝|m ·n|≤|m|·|n| ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos θ2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b sin θ2· 1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos θ2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b sin θ2. ∴(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ.6．已知x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求函数f (x )＝3cos x ＋41＋sin 2x 的最大值． 解：设m ＝(3,4)，n ＝(cos x, 1＋sin 2x )， 则f (x )＝3cos x ＋4 1＋sin 2x ＝m ·n . 由柯西不等式，得|m ·n|≤|m||n|＝32＋42·cos 2x ＋1＋sin 2x ＝5 2. 当且仅当m 与n 共线时取等号． 此时3 1＋sin 2x ＝4cos x ， 解得sin x ＝75，cos x ＝325.∴f (x )的最大值为5 2.一、选择题1．若a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝2，则ax ＋by 的最大值为( ) A ．1B ．2C. 2 D．4解析：∵(ax＋bx)2≤(a2＋b2)(x2＋y2)＝2，∴ax＋by≤ 2.答案：C2．(2019·河北邢台训练)设a，b，c，d，n，m∈R＋，且P＝ab＋cd，Q＝ma＋nc·bm＋dn，则P，Q之间的大小关系是( )A．P≥Q B．P≤QC．P＝Q D．P，Q大小关系不确定解析：Q＝ma＋nc·bm＋dn≥ab＋cd2＝ab＋cd＝P，故选B.答案：B3．已知4x＋9y＝2，x>0，y>0，则x＋y的最小值为( )A．5 B.5 2C.252D.254解析：由4x＋9y＝2，得x＋y＝[x2＋y2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2x2＋⎝⎛⎭⎪⎫3y22≥12⎝⎛⎭⎪⎫x·2x＋y·3y2＝12(2＋3)2＝252，当且仅当x·3y＝y·2x，即x＝5，y＝152时，等号成立，∴x ＋y 的最小值为252. 答案：C4．(2019·南宁二中、柳州中学联考)若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a －b 的取值范围是( )A ．[－25，25]B ．[－210，210]C ．[－10，10]D ．(－5，5)解析：由柯西不等式，得(a 2＋b 2)[12＋(－1)2]≥(a －b )2，因为a 2＋b 2＝10，所以(a －b )2≤20，所以－25≤a －b ≤25，故选A.答案：A5．若直线x a ＋y b＝1，通过点M (cos α，sin α)，则( ) A ．a 2＋b 2≤1 B ．a 2＋b 2≥1 C.1a 2＋1b 2≤1D.1a 2＋1b2≥1解析：解法一：因为点M (cos α，sin α)在单位圆x 2＋y 2＝1上，依题意知，直线与单位圆相交，所以原点到直线的距离小于或等于1，即1⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2≤1，∴1a 2＋1b2≥1. 解法二：用柯西不等式的向量形式求解． 令m ＝(cos α，sin α)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1b .则m ·n ＝cos αa ＋sin αb＝1，|m |＝1，|n |＝1a2＋1b2.由m ·n ≤|m||n|，得1a 2＋1b 2≥1，∴1a 2＋1b2≥1.答案：D 二、填空题6．已知实数m ，n >0，则a 2m ＋b 2n ________(填“≥”“>”“≤”或“<”)a ＋b2m ＋n .解析：因为m ，n >0，利用柯西不等式， 得(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m ＋b 2n ≥(a ＋b )2，所以a 2m ＋b 2n ≥a ＋b 2m ＋n .答案：≥7．设a ＝(－2,1)，|b |＝6，则a ·b 的最小值为________． 解析：根据柯西不等式的向量形式，有|a ·b|≤|a||b|＝65，当且仅当a ＝k b 时取等号， ∴－65≤a ·b ≤6 5. ∴a ·b 的最小值为－6 5. 答案：－6 58．(2019·广东揭阳一中期末)若直线x cos θ＋y sin θ＝2(0≤θ≤π)和椭圆x 2＋3y 2＝6有公共点，则θ的取值范围是________________．解析：由柯西不等式，得22＝(x cos θ＋y sin θ)2＝(x ·cos θ＋3y ·13sin θ)2≤(x 2＋3y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2θ＋13sin 2θ＝6cos 2θ＋2sin 2θ，解得cos 2θ≥12，∴cos θ≤－22或cos θ≥22，∵0≤θ≤π，∴0≤θ≤π4或34π≤θ≤π.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪0≤θ≤π4或3π4≤θ≤π三、解答题9．(2019·福建泉州质检)已知关于x 的不等式|x ＋a |<b 的解集为{x |2<x <4}． (1)求实数a ，b 的值．(2)求at ＋12＋bt 的最大值． 解：(1)由|x ＋a |<b ，得－b －a <x <b －a ， 则⎩⎨⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝1.(2)由(1)知a ＝－3，b ＝1.∴－3t ＋12＋t ＝3·4－t ＋t ≤32＋12·4－t2＋t2＝24－t ＋t ＝4.当且仅当3·t ＝4－t ，即t ＝1时，等号成立， ∴(－3t ＋12＋t )max ＝4.10．设a >0，b >0，且a ＋b ＝1，求证： 2a ＋1＋b ＋13≤222. 证明：令α＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋12， b ＋13，β＝(2，1)，则 |α·β|＝2a ＋1＋ b ＋13. 而|α|＝a ＋12＋b ＋13＝116， 又|β|＝3， ∴|α||β|＝222.由|α·β|≤|α||β|，得 2a ＋1＋b ＋13≤222.。
高二数学人教A版选修4-5教案：3.1二维形式的柯西不等式 Word版含解析
3.1二维形式的柯西不等式一、教学目标1．认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义． 2．通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题． 二、课时安排 1课时 三、教学重点认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义． 四、教学难点通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题． 五、教学过程 （一）导入新课 复习基本不等式。
（二）讲授新课教材整理 二维形式的柯西不等式（三）重难点精讲题型一、二维柯西不等式的向量形式及应例1已知p ，q 均为正数，且p 3＋q 3＝2.求证：p ＋q ≤2.【精彩点拨】 为了利用柯西不等式的向量形式，可分别构造两个向量． 【自主解答】 设m ＝p 32，q 32，n ＝(p 12，q 12)，则 p 2＋q 2＝p 32p 12＋q 32q 12＝|m ·n |≤|m ||n | ＝p3＋q3·p ＋q ＝2p ＋q.又∵(p ＋q )2≤2(p 2＋q 2)，∴2()2p q +≤p 2＋q 2≤2p ＋q ，∴2()2p q +≤2·p ＋q ，则(p ＋q )4≤8(p ＋q )．又p ＋q >0，∴(p ＋q )3≤8，故p ＋q ≤2. 规律总结：使用二维柯西不等式的向量形式证明不等式，关键是合理构造出两个向量．同时，要注意向量模的计算公式|a |＝x2＋y2对数学式子变形的影响．[再练一题]1．若本例的条件中，把“p 3＋q 3＝2”改为“p 2＋q 2＝2”，试判断结论是否仍然成立？ 【解】 设m ＝(p ，q )，n ＝(1,1)，则p ＋q ＝p ·1＋q ·1＝|m ·n |≤|m |·|n |＝p2＋q2·12＋12. 又p 2＋q 2＝2. ∴p ＋q ≤2·2＝2. 故仍有结论p ＋q ≤2成立. 题型二、运用柯西不等式求最值例2 若2x ＋3y ＝1，求4x 2＋9y 2的最小值．【精彩点拨】 由2x ＋3y ＝1以及4x 2＋9y 2的形式，联系柯西不等式，可以通过构造(12＋12)作为一个因式而解决问题．【自主解答】 由柯西不等式得(4x 2＋9y 2)(12＋12)≥(2x ＋3y )2＝1. ∴4x 2＋9y 2≥12，当且仅当2x ×1＝3y ×1， 即x ＝14，y ＝16时取等号．∴4x 2＋9y 2的最小值为12.规律总结：1．利用柯西不等式求最值，不但要注意等号成立的条件，而且要善于配凑，保证出现常数结果． 2．常用的配凑的技巧有：①巧拆常数；②重新安排某些项的次序；③适当添项；④适当改变结构，从而达到运用柯西不等式求最值的目的．[再练一题]2．若3x ＋4y ＝2，试求x 2＋y 2的最小值及最小值点.【解】 由柯西不等式(x 2＋y 2)(32＋42)≥(3x ＋4y )2，得25(x 2＋y 2)≥4.所以x 2＋y 2≥425，当且仅当x 3＝y4时，“＝”成立．为求最小值点，需解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝2，x 3＝y4，∴⎩⎨⎧x ＝625，y ＝825.因此，当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2取得最小值，最小值为425，最小值点为⎝⎛⎭⎫625，825. 题型三、二维柯西不等式代数形式的应用 例3已知|3x ＋4y |＝5，求证：x 2＋y 2≥1.【精彩点拨】 探求已知条件与待证不等式之间的关系，设法构造柯西不等式进行证明． 【自主解答】 由柯西不等式可知(x 2＋y 2)(32＋42)≥(3x ＋4y )2，所以(x 2＋y 2)≥(3x ＋4y )232＋42.又因为|3x ＋4y |＝5， 所以(3x ＋4y )232＋42＝1，即x 2＋y 2≥1. 规律总结：1．利用二维形式的柯西不等式证明时，要抓住柯西不等式的结构特征，必要时，需要将数学表达式适当变形．2．变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．[再练一题]3．设a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝2.求证：a22－a ＋b22－b ≥2.【证明】 根据柯西不等式，有[(2－a )＋(2－b )]⎝⎛⎭⎫a22－a ＋b22－b ＝[(2－a)2＋(2－b)2]⎝⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－b 2≥⎝⎛⎭⎪⎫2－a·a 2－a ＋2－b·b 2－b 2＝(a ＋b )2＝4. ∴a22－a ＋b22－b ≥4(2－a )＋(2－b )＝2， 当且仅当2－a·b 2－b ＝2－b·a2－a， 即a ＝b ＝1时等号成立． ∴a22－a ＋b22－b≥2. （四）归纳小结二维柯西不等式—⎪⎪⎪⎪—代数形式—向量形式—三角形式—柯西不等式求最值（五）随堂检测 1．设x ，y ∈R ，且2x ＋3y ＝13，则x 2＋y 2的最小值为()A.13B ．169C ．13D.0【解析】 (2x ＋3y )2≤(22＋32)(x 2＋y 2)， ∴x 2＋y 2≥13. 【答案】 C2．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则(4a ＋1＋4b ＋1)2的最大值是() A ．26B.6C ．6D.12 【解析】 (4a ＋1＋4b ＋1)2 ＝(1×4a ＋1＋1×4b ＋1)2≤(12＋12)(4a ＋1＋4b ＋1)＝2[4(a ＋b )＋2] ＝2×(4×1＋2)＝12， 当且仅当4b ＋1＝4a ＋1， 即a ＝b ＝12时等号成立．故选D.【答案】 D3．平面向量a ，b 中，若a ＝(4，－3)，|b |＝1，且a ·b ＝5，则向量b ＝________.【解析】 |a |5，且 |b |＝1， ∴a ·b ＝|a |·|b |，因此，b 与a 共线，且方向相同， ∴b ＝⎝⎛⎭⎫45，－35. 【答案】 ⎝⎛⎭⎫45，－35 六、板书设计七、作业布置同步练习：3.1二维形式的柯西不等式八、教学反思。
数学人教A版选修4-5学案：课堂导学 3.1二维形式的柯西
课堂导学三点剖析一,利用二维形式的柯西不等式证明不等式【例1】(1)如果a,b>0,且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2.(2)如果a,b>0且a≠b,求证:a5+b5>a3b2+a2b3.证明：(1)(a3+b3)(a2b+ab2)=［(3a)2+(3b)2］［(a b)2+(b a)2］≥(3a·a·b+3b·b·a)2=(a2b+ab2)2,“=”成立的条件是3a·b·a=3b·a·b,即a=b时成立,但a≠b,故“＝”不成立.∴(a3+b3)(a2b+ab2)>(a2b+ab2)2.∴a3+b3>a2b+ab2.(2)(a5+b5)(a+b)=［(5a)2+(5b)2］［(a)2+(b)2］>(5a·a+5b·b)2=(a3+b3)2.由(1)知a3+b3>a2b+ab2,∴(a5+b5)(a+b)>(a2b+ab2)2=a2b2(a+b)2.∴a5+b5>a2b2(a+b)=a3b2+a2b3.∴原不等式成立.温馨提示要利用二维形式的柯西不等式,就需要想法把要证的不等式写成两数平方和与另两数平方和的乘积的形式或者出现“乘积和的形式”(即两个数的乘积与另两个数的乘积之和的形式).各个击破类题演练1设a,b,c均为正实数,且acos2θ+bsin2θ<c.求证:a cos2θ+b sin2θ<c.证明:∵acos2θ+bsin2θ<c(a,b,c>0),∴(a cos2θ+b sin2θ)2=［(a cosθ)·cosθ+(b sinθ)·sinθ］2≤［(a cosθ)2+(b sinθ)2］·(cos2θ+sin2θ)=acos2θ+bsin2θ<c.故a cos2θ+b sin2θ<c.变式提升1证明下列不等式:(1)a,b,c ∈R +,(a+b+c)(cb a 11++)≥4. (2)α为锐角,(1+αsin 1)(1+αcos 1)≥3+22. 证明:(1)(a+b+c)(c b a 11++)=［(a+b)+c ］(cb a 11++)≥(1+1)2=4. 等号当且仅当b a +1=k(a+b)且c 1=k·c 时取得, 即(a+b)2=c 2时取等号. (2)(1+αsin 1)(1+αcos 1)≥(1+ααcos sin 1∙)2 =(α2sin 21+)2≥(1+2)2 =3+22,等号当且仅当α=4π时取得,此时ααcos 1sin 1=且sin2α=1. 二、利用二维形式的柯西不等式求最值【例2】 直线l 经过第一象限内的点M(a,b),与x,y 轴的正半轴相交于点P,Q,求线段PQ 的最小值,及取得最小值时直线的方程.解析:设l 的方程为n y m x +=1(m,n>0), 则nb m a +=1, 引进待定常数(a 2α+b 2α)(α∈R ).由柯西不等式得(m 2+n 2)(a 2α+b 2α)≥(ma α+nb α)2=(ma α+nb α)2·12=(ma α+nb α)2(nb m a +)2 =［(ma α+nb a )(n b m a +)］2 ≥［(nb nb m a ma ∙+∙αα)2］2 =(11+++ααb a )4. 当且仅当ααb n a m =时,第一个不等式取等号;当且仅当n b nb m ama αα=即2121αα--=b n a m 时,第二个不等式取等号.因此当且仅当两个等号同时成立时,即α=21α-,亦即α=31时,(22n m +)(3232b a +)≥(3232b a +)4取等号. 所以|PQ|=22n m +≥(3232b a +)23,|PQ|min =(3232b a +)23.此时k=3ab m n -=-, ∴l:y-b=3a b -(x-a). 类题演练2设x>0,y>0,x+y≤4,求yx 11+的最小值. 解析：4(y x 11+)≥(x+y)(yx 11+) ≥(1+1)2=4, ∴yx 11+的最小值为1. 等号当且仅当x=y=2时取得.变式提升2 求椭圆2222by a x +=1的切线夹在两条坐标轴之间的线段的最小值. 解析:设M(x 0,y 0)是椭圆上任一点, 则220220by a x +=1. 经过M 点的切线为l:2020by y a x x +=1, l 与x,y 轴分别相交于点P(02x a ,0),Q(0,02y b ).|PQ|2=(02x a )2+(02y b )2 =［(02x a )2+(02y b )2］(220220b y a x +) ≥(02x a ·a x 0+02y b by 0·)2 =(a+b)2. 当且仅当b a by a x +==1320320即|x 0|=b a a a +,|y 0|=ba b b +时等号成立. 于是|PQ|min =a+b.三、利用二维柯西不等式解决其他问题【例3】 求经过点P(5,1)与椭圆4)3(9)2(22++-y x =1相切的切线方程. 解析：设直线方程为Ax+By+C=0,由经过点P(5,1)得C=-(5A+B).于是直线方程可表示为A(x-2)+B(y+3)=3A+4B.由柯西不等式得(3A+4B)2=［A(x-2)+B(y+3)］2=［3A·3)2(-x +2B·2)3(+y ］2 ≤(9A 2+4B 2)［4)3(9)2(22++-y x ］ =9A 2+4B 2.直线与椭圆相切时不等式取等号,即(3A+4B)2=9A 2+4B 2,解得B=0或B=-2A.所以要求的切线方程为x-5=0和x-2y-3=0.温馨提示研究直线与圆锥曲线的常规方法是采用代入消元,化为一元二次方程,然后利用根的判别式求解,因这类问题常含有待定字母,导致解题过程冗长,计算烦琐.本例引用柯西不等式解决直线与圆锥曲线的位置关系问题,可以减少计算,增强直观.一些题目通过观察,简单拼凑,即可达到目的,并且解题后易于复查.因此,适当引用柯西不等式解决几何中的含参数问题,确实是一个十分有效的好方法.类题演练3已知直线y=(1-x)tanθ与双曲线-x 2+y 2cos 2θ=1相切(-2π<θ<2π).求切线方程和切点坐标. 解析:由柯西不等式,y 2=(1-x)2tan 2θ=［1·1+(-1)·x ］2tan 2θ ≤2(1+x 2)tan 2θ=2y 2cos 2θtan 2θ=2y 2sin 2θ⇒sin 2θ≥21. 当且仅当111-=x ,即x=-1时,sin 2θ=21, 此时,由-2π<θ<2π得θ=±4π. 所以切线方程为y=x-1和y=1-x, 切点为(-1,±2).变式提升3已知2x+y=1,求3x 2+4y 2的最小值. 解析:∵(3x 2+4y 2)·1219 =［(3x)2+(2y)2］·［(32)2+(21)2］ ≥(2x+y)2=1,∴3x 2+4y 2≥1912. 当且仅当21×3x=32×2y 时, 即y=193,x=198时,“＝”成立. 故3x 2+4y 2的最小值为1912.。
人教A版高中数学选修4-5课件第三讲一二维形式的柯西不等式
2．柯西不等式的代数形式：设a1、a2、b1、b2均
(a1b1＋a2b2)2，当且仅 为实数，则(a＋a)(b＋b)≥___________ a1b2＝a2b1 等号成立． 当___________
|α·β| 数k，使α＝kβ
β是零向量或存在实
x1y2＝x2y1
提示：不可以．当b· d＝0时上述式子不成立．
行探索．法一用重要不等式求解．
用柯西不等式证明不等式
例3
【名师点评】 利用柯西不等式时关键问题是找 出相应的两组数，当这两组数不太容易找时，需 分析、增补(特别对数字1的增补：a＝1· a)变形等 ．
误区警示
例 3x＋2y＝1，求x2＋y2的最小值． 已知
【错因】 理形式．
柯西不等式的构造形式出错不符合定
课堂互动讲练
考点突破 利用柯西不等式求函数最值 已知 3x2＋2y2≤6，求w＝2x＋y的最大值． 例1
【名师点评】
要证的不等式是利用了
(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)的形式．
利用柯西不等式求代数式的最值
例2
【名师点评】
运用柯西不等式证明不等式的关
键在于构造两组数，并依照柯西不等式的形式进
方法感悟
柯西不等式的两个主要应用是证明不等式和求最值,
利用柯西不等式证明不等式，先使用拆，利用柯西不等式求最值一定要注意检验等号
成立的条件．
第三讲
柯西不等式与排序不等式
一
二维形式的柯西不等式
一 二 维 形 式 的 柯 西 不 等 式
学习目标
课前自主学案
课堂互动讲练
知能优化训练
学习目标 1.认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几 何意义； 2．会证明二维柯西不等式及向量形式．
人教版高中数学A版选修4-5 第三讲3.1二维形式的柯西不等式课程教学设计
二维形式的柯西不等式1．教学目标知识与技能（1）认识二维形式的柯西不等式，了解它的结构特征,并理解其几何意义.（2）会利用二维形式柯西不等式进行简单证明及会求简单最值.（3）知道一般形式的柯西不等式.过程与方法（1）理解通过讨论、探究推导二维形式柯西不等式的过程,体会从几何到代数的数学研究一般方法.（2）体验二维形式柯西不等式的几种重要证明方法。
如借助平面向量，从数量积角度推出二维形式的柯西不等式的向量形式，给出二维柯西不等式的几何意义等.（3）体会运用柯西不等式解决一些简单问题的一般方法——建立具体问题与柯西不等式之间的联系，经过恰当变形，以柯西不等式为依据证明具体问题中的不等关系. 逐步学会化归转化思想的运用技术。
情感、态度与价值观（1）培养学生自主学习与合作学习相结合的学习方式，通过研究二维形式的柯西不等式的向量形式和三角不等式的几何意义，体会数形结合的思想，逐步提高观察、归纳和主动获取知识的能力，培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神。
（2）通过柯西不等式的应用，使学生体会运用经典不等式的一般方法——发现并建立具体问题与经典不等式之间的联系，品尝成功的喜悦，激发学生学习数学的热情，提高学生的学习兴趣。
（3）通过对二维形式和向量形式的柯西不等式探究和分析,体会事物间的辩证统一，感受数学的形式美。
2 学情分析柯西不等式人教A版选修4－5不等式选讲中第三讲的内容，是学生学习平均值不等式后的又一个经典不等式，在教材中起着承前启后的广泛的作用：一方面可以巩固学生对不等式的基本证明方法的掌握，另一方面又为后面学习三角不等式、排序不等式打下了基础。
本节课主要研究二维形式的柯西不等式、柯西不等式的向量形式和二维形式的三角形不等式，以及它们的几何背景。
二维形式的柯西不等式的代数表示形式与向量表示形式，是从数与形两个角度加以认识的，通过互推可以体会两种表现形式的等价关系，也为后面引出三维和一般形式的柯西不等式埋下伏笔。
高中数学人教A版选修4-5 3-1 二维形式的柯西不等式 教
∴ ≤0，即…..
③讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？
变式： 或
或 .
④提出定理2：设 是两个向量，则 .
即柯西不等式的向量形式（由向量法提出）
→讨论：上面时候等号成立？（ 是零向量，或者 共线）
⑤练习：已知a、b、c、d为实数，求证 .
证法：（分析法）平方→应用柯西不等式→讨论：其几何意义？（构造三角形）
六、布置作业：P37页，4，5，7，8，9
2.教学三角不等式：
1出示定理3：设 ，则 .
分析其几何意义→如何利用柯西不等式证明
→变式：若 ，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？
三、应用举例：
例1：已知a,b为实数，求证
说明：在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算。所以，经典不等式是数学研究的有力工具。
例题2：求函数 的最大值。
3.1二维形式的柯西不等式
教学目标：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义，并会证明二维柯西不等式及向量形式.
教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式.
教学难点：理解几何意义.
教学过程：
一、复习准备：
1.提问：二元均值不等式有哪几种形式？
答案： 及几种变式.
2.练习：已知a、b、c、d为实数，求证
2.求函数 的最大值.
例3.设a,b是正实数，a+b=1，求证
分析：注意到 ，有了 就可以用柯西不等式了。
四、巩固练习：
1.练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式
2.已知x+2y=1,求x2+y2的最小值.
3、若 ， ，求证： .
五、课堂小结：
二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）
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一二维形式的柯西不等式
对应学生用书
．二维形式的柯西不等式()定理：若，，，都是实数，则(＋)(＋)
≥
(＋)
，当且仅当＝时，等号成立．
()二维形式的柯西不等式的推论：
(＋)(＋)≥(＋)(，，，为非负实数)；
≥
＋
·
(，，，
)；
∈
≥
·
＋
∈
)．
(，，，
．柯西不等式的向量形式
α·β
≤
α
β·
是两个向量，则
α
，
β
定理：设
零向量
，当且仅当
β
时
α
＝
β
是
，或存在实数，使
，等号成立．[注意]柯西不等式的向量形式中α·β≤αβ，取等号“＝”的条件是β＝或存在实数，使α＝β.
．二维形式的三角不等式
()定理：＋≥(，，，∈)．
当且仅当三点，与共线，并且，点在原点异侧时，等号成立．
()推论：对于任意的，，，，，∈，有
＋
≥.
事实上，在平面直角坐标系中，设点，，的坐标分别为(，)，(，)，(，)，根据△的边长关系有＋≥，当且仅当三点，，共线，并且点，在点的异侧时，等号成立．
对应学生用书
[例]已知θ为锐角，，∈
，求证：＋≥(＋).
＋
[思路点拨]可结合柯西不等式，将左侧构造成乘积形式，利用“＝θ＋θ.”然后用柯西不等式证明．
[证明]∵＋
＝(θ＋θ)
≥θ)· θ＋( θ)· θ))
＝(＋)，
∴(＋)≤＋.
利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件和所证不等式，把已知条件利用
添项、拆项、分解、组合、配方、变量代换等，将条件构造柯西不等式的基本形式，从而
利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件．
．已知＋＝，＋＝，求证：＋≤.
证明：由柯西不等式得
(＋)≤(＋)(＋)＝，
∴＋≤.
．已知，，，为正实数．
求证：(＋)≥(＋).
证明：(＋)＝[()＋()]≥
＝(＋).
．设，，为正数，
求证：＋＋≥(＋＋)．
证明：由柯西不等式：
·≥＋，
即·≥＋.
同理：·≥＋，
·≥＋，
将上面三个同向不等式相加得：
(＋)＋(＋)))≥(＋＋)
∴＋＋≥·(＋＋).。