一般形式的柯西不等式
一般形式的柯西不等式
一般形式的柯西不等式柯西不等式是数学分析中一个重要的不等式定理，用来描述两个函数之间的关系。
它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西于1821年提出的。
柯西不等式在解析函数论、泛函分析等领域有广泛的应用。
柯西不等式的一般形式可以表述如下：设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，且g(x)不等于0。
那么有以下不等式成立：∫[a,b] f(x)g(x)dx ≤ √( ∫[a,b] f^2(x)dx * ∫[a,b]g^2(x)dx )在这个不等式中，∫[a,b] f(x)g(x)dx 表示函数 f(x) 和 g(x) 的乘积函数在闭区间上的积分，∫[a,b] f^2(x)dx 和∫[a,b] g^2(x)dx分别表示函数 f(x) 和 g(x) 的平方函数在闭区间上的积分。
柯西不等式的证明可以通过引入一个辅助函数 h(x) 来完成。
辅助函数 h(x) 的定义为 h(x) = f(x) - (k*g(x))，其中 k 是一个常数，通过适当选择 k 的值，可以使得 h(x) 关于 x 的积分为0。
对于这个辅助函数 h(x)，通过平方的方式可以得到∫[a,b] h^2(x)dx = ∫[a,b] (f(x) - k*g(x))^2dx。
展开 h^2(x) 的平方并化简后可以得到∫[a,b] h^2(x)dx = ∫[a,b] (f^2(x) - 2kf(x)g(x) + k^2g^2(x))dx。
根据积分的性质，可以得到∫[a,b] h^2(x)dx = ∫[a,b] f^2(x)dx - 2k∫[a,b] f(x)g(x)dx +k^2∫[a,b] g^2(x)dx。
为了满足∫[a,b] h^2(x)dx = 0，必须要求∫[a,b] h^2(x)dx 的系数为0。
即：- 2k∫[a,b] f(x)g(x)dx = 0，即∫[a,b] f(x)g(x)dx= k∫[a,b] g^2(x)dx。
柯西不等式常用公式
柯西不等式常用公式1、二维形式：(a^2＋b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2等号成立条件：ad=bc2、三角形式：√(a^2＋b^2)＋√(c^2＋d^2)≥√[(a－c)^2＋(b－d)^2]等号成立条件：ad=bc3、向量形式：|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a2,…,an)，β=(b1,b2,…,bn)（n∈N，n≥2）等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。
4、一般形式：(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。
扩展资料：不等式的特殊性质有以下三种：①不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；②不等式性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
常用定理①不等式F（x）< G（x）与不等式G（x）>F（x）同解。
②如果不等式F（x）< G（x）的定义域被解析式H（x ）的定义域所包含，那么不等式F（x）<G（x）与不等式F（x）+H（x）<G（x）+H（x）同解。
③如果不等式F（x）<G（x）的定义域被解析式H（x）的定义域所包含，并且H（x）>0，那么不等式F(x)<G（x）与不等式H（x）F（x）<H（x ）G （x）同解。
④不等式F（x）G（x）>0与不等式同解；不等式F（x）G（x）<0与不等式同解。
排序不等式：对于两组有序的实数x1≤x2≤…≤xn，y1≤y2≤…≤yn，设yi1，yi2，…，yin是后一组的任意一个排列，记S=x1yn+x2yn-1+…+xny1，M=x1yi1+x2yi2+…+xnyin，L=x1y1+x2y2+…+xn yn，那么恒有S≤M≤L。
当且仅当x1=x2=……=xn且y1=y2=……yn时，等号成立。
一般形式的柯西不等式
f x a a a x 2a1b1 a2b2 anbn x
2 2 . b12 b2 bn 2 1 2 2 2 n 2
a a a 0, 考虑二次函数
2 2 b12 b22 bn2 0 . 4 a12 a2 an
2 2 2 b12 b22 bn2 于是得 a1 a2 an 2
a1b1 a2b2 anbn ,当且仅当 f x 有唯一 零点时 , 判别式 0, 以上不等式取等号 .
这里构造的函数考虑到 了配方,出现了后面的平 方和,由此再利用判式.
通过以上证明 , 得知猜想成立 ,于是有
定理 设a1 , a2 , a3 , , an , b1 , b2 , b3 , , bn是实数, 则 a a a
2 1 2 2
a1b1 a2b2 anbn ,当且仅当bi 0(i 1,
2 1 2 2 2 n
因为对于任意实数 x , f x a1 x b1 a2 x b1 an x bn 0,
2 2 2
所以二次函数 f x 的判别式 0, 即 2 4 a1b1 a2b2 an bn
2
1 1
2
2
a
2 1
a a
2 2 2
2 n
2
1 a1 1 a2 1 an ,
n个
所以 n a a a a1 a2 an , 1 2 2 2 2 即 a1 a2 an a1 a2 an . n
第三讲一般形式的柯西不等式
第三讲一般形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式，是基于柯西不等式推广出来的不等式形式。
柯西不等式是数学分析中一条常用的不等式，它描述了两个向量之间的内积与它们的范数之间的关系。
柯西不等式的一般形式则扩展了这个概念，可以应用到更多的情况中。
假设有两个实数向量X=[x1, x2, ..., xn]和Y=[y1，y2，...，yn]，那么它们的内积可以定义为：X·Y = x1*y1 + x2*y2 + ... + xn*yn而柯西不等式表示为：X·Y，≤，X，，Y其中，X，表示向量X的范数，定义为：X， = sqrt(x1^2 + x2^2 + ... + xn^2)柯西不等式右边的，X，和，Y，即为两个向量的范数，因此它可以对任意实数向量成立。
然而，柯西不等式的应用范围不仅仅局限于实数向量，我们可以将其推广到更一般的形式。
将柯西不等式中两个实数向量推广到复数空间，就可以得到一般形式的柯西不等式。
在复数空间中，两个复数向量X=[x1, x2, ..., xn]和Y=[y1，y2，...，yn]的内积可以定义为：X·Y* = x1*y1* + x2*y2* + ... + xn*yn*其中，*表示复数的共轭。
同样可以定义复数向量的范数，即：X， = sqrt(，x1，^2 + ，x2，^2 + ... + ，xn，^2)在复数空间中，一般形式的柯西不等式就可以表示为：X·Y*，≤，X，，Y一般形式的柯西不等式的推广，使得我们可以将柯西不等式应用到更加广泛的场景中，包括复数空间以及其他更复杂的向量空间。
这种推广形式的柯西不等式在数学分析、函数论、概率论等多个数学领域中都具有重要的应用价值。
总结起来，一般形式的柯西不等式是柯西不等式在复数空间和更一般的向量空间中的推广形式。
通过它，我们可以描述两个向量之间的内积与它们的范数之间的关系。
这个不等式在数学分析和其他数学领域中都具有重要的应用意义。
数学课件：2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明
≥
(
������
∑
������������)2
������=1
������
∑ ������������
,
当且仅当ai=λbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.
变形(2)
������=1
设
������
ai,bi(i=1,2,…,n)同号且不为零,则 ∑
������=1
������������ ������������
名师点拨记忆柯西不等式的一般形式,一是抓住其结构特点:左
边是平方和再开方的积,右边是积的和的绝对值;二是与二维形式
的柯西不等式类比记忆.
知识拓展柯西不等式的变形和推广:
变形(1) 设 ai,bi∈R,bi>0(i=1,2,…,n),
������
则∑
������=1
���������2��� ������������
=
������2 ������2
=
⋯
=
������������ ������������
时等号成立.
∴(a1b1+a2b2+…+anbn)2≤4. ∴-2≤a1b1+…+anbn≤2. ∴所求的最大值为2.
答案:C
1.一般形式的柯西不等式如何应用? 剖析:我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等问题, 但往往不能直接应用,需要对数学式子的形式进行变形,拼凑出与 一般形式的柯西不等式相似的结构,才能应用,因而适当变形是我 们应用一般形式的柯西不等式的关键,也是难点.我们要注意在应 用柯西不等式时,对于数学式子中数或字母的顺序要对比柯西不等 式中的数或字母的顺序,以便能使其形式一致,然后应用解题. 2.如何利用“1”? 剖析:数字“1”的利用非常重要,为了利用柯西不等式,除了拼凑应 该有的结构形式外,对数字、系数的处理往往起到某些用字母所代 表的数或式子所不能起的作用.这要求在理论上认识柯西不等式与 实际应用时二者达到一种默契,即不因为“形式”与“面貌”的影响而 不会用柯西不等式.
一般形式的柯西不等式
柯西不等式的证明
数学归纳法证明
首先证明 n=2 的情况，然后假设 n=k 时成立，推导出 n=k+1 时也成 立。
二次型的方法证明
将柯西不等式转化为二次型的形式， 利用二次型的基本性质进行证明。
02
柯西不等式的应用
在数学中的应用
证明不等式
柯西不等式是证明各种数学不等式的重要工 具，如均值不等式、几何均值-算术均值不 等式等。
广义形式的柯西不等式
总结词
广义形式的柯西不等式是在更广泛的函数空间中推广的柯西不等式，它适用于连 续函数和可积函数。
详细描述
广义形式的柯西不等式表述为，对于任意的非负可积函数$f(x)$和$g(x)$，有$int f(x) g(x) dx leq left( int f(x)^2 dx right)^{1/2} left( int g(x)^2 dx right)^{1/2}$。
用范围。
柯西不等式与其他数学知识的结合
柯西不等式与线性代数
柯西不等式在向量内积和矩阵运算中有 重要应用，研究其与线性代数的结合有 助于更深入理解线性代数的基本概念。
VS
柯西不等式与微积分
柯西不等式在微积分中也有广泛应用，如 函数极值、积分等，研究其与微积分的结 合有助于更深入理解微积分的基本思想。
一般形式的柯西不等式
目录
• 柯西不等式的定义 • 柯西不等式的应用 • 柯西不等式的推广 • 柯西不等式的局限 • 柯西不等式的进一步研究
01
柯西不等式的定义任意 的正实数序列 a1, a2, ..., an 和 b1, b2, ..., bn，有 (∑(ai^2)) * (∑(bi^2)) ≥ (∑(ai * bi))^2。
04
5.4一般形式的柯西不等式 课件(人教A版选修4-5)(2)
9 z
( x y z)
14 (
) (
)
14 4 6 12 36 当且仅当 y 2 x , z 3 x , 即 x 1 6 ,y 1 3 ,z 1 2 时 , 等号成立 .
课外练习:
1 在 ABC 中 , 设其各边长为 求证 : ( a b c )(
2 2 2
a , b , c , 外接圆半径为 1
2
R,
2
1
2
B sin
1
2
) 36 R C
sin A sin 2 .设 a , b , c 为正数 , 且 a b c 1 ,
求证 : ( a
1 a
) (b
2
1 b
) (c
2
1 c
)
2
100 3
3 .若 n 是不小于 2的正整数 , 试证 : 4 7 1 1 2 1 3 1 4 1 2n 1 1 2n 2 2
根据上面结果，你能猜想出一般形式的柯西不 等式吗？
猜想并证明 结论
猜想柯西不等式的一般形式
2 2 2 2 2 2 2
(a1 a2 an )(b1 b2 bn ) ≥ (a1b1 a2 b2 anbb ) ②
2 2 分析： A a 12 a 2 a n ， B a b a b a b 设 1 1 2 2 n n 2 2 2 C b1 b 2 b n ， 不 等 式 ② 就 是 A C ≥ B 2
构造二次函数 f ( x ) ( a 1 a 2 a n ) x 2 ( a 1 b1 a 2 b 2 a n b n ) x
高中数学一般形式的柯西不等式
典例精讲 例3 已知x 2 y 3z 1 ， 求x 2 y 2 z 2的最小值.
2 2 2 2 2 2 2
证明 : ( x y z )(1 2 3 ) ( x 2 y 3 z ) 1， x2 y2 z2 1 . 14 y z x 3 1 1 当且仅当 ，即x ， y ， z 时， 1 2 3 14 7 14 2 2 2 1 x y z 取最小值 . 14
应用举例
例1 浙江(2010 卷03)
2 2 2 a b c (1)设正实数a，，， b c 满足abc 1， 求 a 2b b 2c c 2a 的最小值.
例2 若a ， b ，为正实数 c . 求证： a b c 3 . bc ca ab 2
a 1 b 1 c 1 bc ca ab a b c b c a c a b (a b c ) 1 1 1 bc ca ab bc ca ab 1 ( b c ) ( c a ) ( a b ) 1 1 1 2 bc ca ab 1 (1 1 1)2 9 . 2 2 a b c 3. bc ca ab 2 证明：
2 n
1 an ) 2 .
an ) ，
2
a ) (a1 a2
2 2 an )2 a1 a2
1 (a1 a2 n
2 an .
变式练习
变式1 ： 已知a 、 b、 c、 d 0， ， 且a b c d 1. 求证： a b c d 1. 4
2 2 2 2
(a b c d ) .
2
即4(16 e ) (8 e ) ， 即64 4e 64 16e e
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1．2 一般形式的柯西不等式
1．已知a ，b ，c 大于0，且a ＋b ＋c ＝1，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为( )
A ．1
B ．4
C.13
D.12
解析：选C.根据柯西不等式，有(a 2＋b 2＋c 2)(12＋12＋12)≥(a ＋b ＋c )2＝1，
∴a 2＋b 2＋c 2≥13
. 2．设a 、b 、c 为正数，且a ＋2b ＋3c ＝13，则3a ＋2b ＋c 的最大值为( )
A ．13 B.13 C.1333 D.33
解析：选C.(a ＋2b ＋3c )[(3)2＋12＋(13)2] ≥(a ·3＋2b ·1＋3c ·13
)2 ＝(3a ＋2b ＋c )2.
∴(3a ＋2b ＋c )2≤1323
. ∴3a ＋2b ＋c ≤1333
. 当且仅当a 3＝2b 1＝3c 13时取等号． 又a ＋2b ＋3c ＝13，
∴此时a ＝9，b ＝32，c ＝13
. ∴3a ＋2b ＋c 有最大值1333
. 3．设x 1，x 2，x 3∈R ＋，且x 1＋x 2＋x 3＝1，则x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋x 231＋x 3
的最小值为( ) A ．1 B.13
C.12
D.14
解析：选 D.(1＋x 1＋1＋x 2＋1＋x 3)(x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋x 231＋x 3)＝[(1＋x 1)2＋(1＋x 2)2＋(1＋x 3)2]·[(x 11＋x 1)2＋(x 21＋x 2)2＋(x 31＋x 3
)2] ≥(1＋x 1·x 11＋x 1＋1＋x 2·x 21＋x 2
＋1＋x 3 ·x 31＋x 3
)2 ＝(x 1＋x 2＋x 3)2＝1，
∴x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋x 231＋x 3≥14
.
4．已知a 、b 、c 均大于0，A ＝a 2＋b 2＋c 23，B ＝a ＋b ＋c 3
，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A >B B ．A ≥B
C ．A <B
D ．A ≤B
解析：选B.∵(12＋12＋12)·(a 2＋b 2＋c 2)
≥(a ＋b ＋c )2，∴a 2＋b 2＋c 23≥(a ＋b ＋c )2
9
， 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．
又a 、b 、c 均大于0，∴a ＋b ＋c >0，
∴ a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c 3
，故选B. 5．(2013·南通调研)若正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，则13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2
的最小值是( ) A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
解析：选A.因为正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，
所以(13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2)[(3a ＋2)＋(3b ＋2)＋(3c ＋2)]≥(1＋1＋1)2，即13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2
≥1， 当且仅当3a ＋2＝3b ＋2＝3c ＋2，即a ＝b ＝c ＝13
时，原式取最小值1. 6．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值为( )
A ．1
B ．－1
C ．0
D ．不确定
解析：选A.∵(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(x 21＋x 22＋…＋x 2n )≥(a 1x 1＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n )2，
∴(a 1x 1＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n )2≤1.
即a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n ≤1.
7.（2013湖南卷）
8．已知a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，则4a ＋1＋4b ＋1＋4c ＋1的最大值是________． 解析：由柯西不等式得： (4a ＋1＋4b ＋1＋4c ＋1)2
＝(1×4a ＋1＋1×
4b ＋1＋1×4c ＋1)2 ≤(12＋12＋12)(4a ＋1＋4b ＋1＋4c ＋1)＝21，
当且仅当a ＝b ＝c ＝13
时，取等号． 答案：21
9．设a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝25，x 2＋y 2＋z 2＝36，ax ＋by ＋cz ＝30，则a ＋b ＋c x ＋y ＋z
＝________. 解析：由柯西不等式知：25×36＝(a 2＋b 2＋c 2)·(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝302＝25×36，
当且仅当a x ＝b y ＝c z
＝k 时取“＝”． 由k 2(x 2＋y 2＋z 2)2＝25×36，解得k ＝56
. 所以a ＋b ＋c x ＋y ＋z
＝k ＝56. 答案：56
10．已知a ，b ，c ，d ，e 满足a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝8，a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋e 2＝16，求e 的范围． 解：∵4(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)＝(1＋1＋1＋1)(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)≥(a ＋b ＋c ＋d )2，
∴4(16－e 2)≥(8－e )2，
∴5e 2－16e ≤0.
解得0≤e ≤165
. 11．(2013·淮南质检)已知x 2＋3y 2＋4z 2＝2，求证：|x ＋3y ＋4z |≤4.
证明：由柯西不等式知
(x 2＋3y 2＋4z 2)(1＋3＋4)≥(x ＋3y ＋4z )2.
又∵x 2＋3y 2＋4z 2＝2，
∴2×8≥(x ＋3y ＋4z )2，
∴|x ＋3y ＋4z |≤4.
12．设x ，y ，z ∈R ＋，且2x ＋3y ＋5z ＝29，求2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6的最大值． 解：∵2x ＋3y ＋5z ＝29，
∴()2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋62
≤()1·2x ＋1＋1·3y ＋4＋1·5z ＋62
≤()12＋12＋12[()2x ＋12＋()3y ＋42＋()
5z ＋62] ＝3(2x ＋3y ＋5z ＋11)＝120， ∴2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6≤230.
当且仅当2x ＋1＝3y ＋4＝5z ＋6，
即x ＝376，y ＝289，z ＝2215
时，等号成立． ∴
2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6的最大值为230.。