柯西不等式(原始版)题型分类
柯西不等式各种形式的证明及其应用(一)
柯西不等式各种形式的证明及其应用(一)柯西不等式各种形式的证明及其应用1. 柯西不等式的原始形式证明•柯西不等式的原始形式为：对任意的实数序列a1,a2,...,a n和b1,b2,...,b n，有下列不等式成立：(a1b1+a2b2+...+a n b n)2≤(a12+a22+...+a n2)(b12+b22+...+b n2)•证明思路：1.定义辅助函数f(t)=(a1t+a2t+...+a n t)2−(a12t2+a22t2+...+a n2t2)。
2.利用二次函数的性质证明f(t)≥0，即可得到柯西不等式的原始形式。
2. 柯西不等式的向量形式证明•柯西不等式的向量形式为：对任意的n维向量a=[a1,a2,...,a n]和b=[b1,b2,...,b n]，有下列不等式成立：|a⋅b|2≤∥a∥2⋅∥b∥2•证明思路：1.将n维向量a和b表示为列向量形式。
2. 利用矩阵转置、乘法和内积的定义证明不等式成立。
3. 柯西不等式的积分形式证明• 柯西不等式的积分形式为：对任意的可积函数f (x )和g (x )，有下列不等式成立：|∫f b a (x )g (x )dx|2≤∫|f (x )|2b a dx ⋅∫|g (x )|2ba dx• 证明思路：1. 构造辅助函数ℎ(t )=∫(f (t )x +g (t ))2b a dt −∫|f (t )|2badt ⋅∫|g (t )|2b a dt 。
2. 利用积分和函数的性质证明ℎ(t )≥0，即可得到柯西不等式的积分形式。
应用一：线性代数中的向量内积• 柯西不等式可以用于证明向量内积的性质。
• 例如，在证明向量的模长定义中，可以利用柯西不等式证明模长的非负性。
• 另外，柯西不等式也广泛应用于线性代数中的向量正交、投影等问题。
应用二：凸函数的判定• 柯西不等式可以用于判定函数的凸性。
•若函数f(x)在区间[a,b]上满足柯西不等式中的积分形式，即″(x)dx≥0，则f(x)为该区间上的凸函数。
高中数学总复习 培优点1 柯西不等式与权方和不等式
3.二维形式的柯西不等式的向量形式 |α·β|≤|α||β|(当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立).
例1 已知x，y∈R,3x2＋2y2≤6，求2x＋y的最值.
0
方法一 由柯西不等式得
(2x＋y)2≤[(
3x)2＋(
2y)2]
232＋
1
2
2
＝(3x2＋2y2)43＋12≤11. 当且仅当 3x·12＝ 2y·23，
123456
跟踪训练2 (1)已知正数x，y满足x＋y＝1，则x12＋y82 的最小值为__2_7___. x12＋y82＝1x23＋2y23≥1x＋＋2y23＝27，当且仅当1x＝2y，即 x＝13，y＝23时取等号.
(2)已知a＋b＋c＝1，且a，b，c＞0，则a＋2 b＋b＋2 c＋a＋2 c 的最小值为
∴z＝2x＋ 3y 的最小值是－5.
123456
2.权方和不等式作为均值不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广 泛的应用，其表述如下：设 a，b，x，y>0，则ax2＋by2≥ax＋＋by2，当且仅当 ax＝by时，等号成立.根据权方和不等式，函数 f(x)＝2x＋1－92x0<x<12的最小 值为
0
即x＝4 1111，
y＝3
11 11
或x＝－4 1111，
y＝－3
11 11
时等号成立，
于是 2x＋y 的最大值为 11，最小值为－ 11.
方法二 由柯西不等式得
|2x＋y|≤ 3x2＋ 2y2
232＋
1
2
2
0
＝ 3x2＋2y243＋12≤ 11， 当且仅当 3x·12＝ 2y·23，
n
m>0，则
(完整版)柯西不等式
柯西不等式1☆学习目标： 1. 认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义; 2. 会证明二维柯西不等式及向量形式 ☻知识情景：1. 定理1 如果,a b R ∈, 那么222a b ab +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立.当0,0a b >>时，由222a b ab +≥⇒基本不等式：2. 如果,,,a b c d R ∈, 那么222a b ab +≥，222c d cd +≥⇒2222()()a b c d ++≥ 另一方面，有22222()2ac bd a c b d abcd +=++≥问题：2222()()a b c d ++2()ac bd + ???☻新知建构：1. 柯西不等式：若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd +++.当且仅当 时, 等号成立.此即二维形式的柯西不等式.证法10.（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++ 222()()()ac bd =++当且仅当 时, 等号成立. 证法20.（构造法） 分析：22222()()()ac bd a b c d +++⇐22222[2()]4()()0ac bd a b c d +-++而22222[2()]4()()ac bd a b c d +-++的结构特征 那么， 证：设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，∵ 22()()()f x ax c bx d =-+- 0 恒成立.∴ . 得证.证法30.（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =， 则||m =，||n =.∵ m n ⋅=，且><⋅⋅=⋅n m n m n m ,cos ||||，有||||||n m n m ⋅⋅.∴ . 得证. 2. 二维柯西不等式的变式：变式10.若,,,a b c d R ∈，则||2222bd ac d c b a ++⋅+ 或bd ac d c b a ++⋅+2222；变式20. 若,,,a b c d R ∈，；变式30. 若1122,,,x y x y R ∈，几何意义:3. 二维柯西不等式的应用： 4422332 ,()()()1a b a b a b a b ++≥+已知为实数,证明例*11,,b 1,42a b R a a b∈+=+≥设求证例3y =求函数例例4 22231,49,x y x y +=+若求的最小值并求最小值点.{222222222:(49)(11)(23)1,149.22131,23.12341231611149,(,)246x y x y x y x y x y x x y x y y x y ++≥+=∴+≥⋅=⋅=⎧=⎪=⎨+==⎪⎩∴+解由柯西不等式当且仅当即时取等号由得的最小值为最小值点为选修4-5练习221.,,10,( )a b R a b a b ∈+=-若且则的取值范围是A.⎡⎣.B ⎡-⎣.C ⎡⎣.D ⎡⎣.222.1,23( )x y x y +=+已知那么的最小值是 562536A. . . .63625B C D3.______y =函数224,,326,2______x y x y P x y +≤=+设实数满足则的最大值是22115.1,()()______a b a b a b+=+++若则的最小值是1．A 2、B 3．3 4． 5．2526、 求函数y =7、已知321x y +=，求22x y +的最小值.8、若,x y R +∈，2x y +=，求证：112x y+≥. 9、已知,,,x y a b R +∈，且1a bx y+=，则x y +的最小值. 10、若>b >，求证：ca cb b a -≥-+-411.11、 已知点()000,x y P 及直线:l 0x y C A +B += ()220A +B ≠ 用柯西不等式推导点到直线的距离公式12、已知,11122=-+-a b b a 求证：122=+b a 。
重点高中数学柯西不等式
种类一：利用柯西不等式求最值例 1．求函数的最大值解：∵且，函数的定义域为，且，即时函数取最大值，最大值为法二：∵且，∴函数的定义域为由，得即，解得∴时函数取最大值，最大值为.当函数分析式中含有根号经常利用柯西不等式求解【变式 1】设且，求的最大值及最小值。
利用柯西不等式得, 故最大值为 10，最小值为 -10 【变式 2】已知，，求的最值.法一：由柯西不等式于是的最大值为，最小值为.法二：由柯西不等式于是的最大值为，最小值为.【变式 3】设 2x+3y+5z=29，求函数的最大值．依据柯西不等式，故。
当且仅当 2x+1=3y+4=5z+6，即时等号建立，此时，变式 4：设 a ， ， 22 2 的最大值为(1 0 2) ， b (x ，y ，z) ，若 x y z 16，则 a b。
【解】∵ a (1 ，0， 2) ， b (x ，y ，z) ∴ a ． b x 2z由柯西不等式 [1 2 0 ( 2) 2](x 2 y 2 z 2 ) (x 0 2z) 25 16 (x2z) 24 5 x454 5 a ． b 4 5 ，故 a ． b 的最大值为 4 5 :变式 5：设 x ， y ， z R ，若 x 2 y 2 z 2 4，则 x 2y 2z 之最小值为时， (x ，y ，z)解(x 2y 2z)222 22224．9 36(x y z )[1 ( 2) 2 ]∴ x 2y 2z 最小值为 6，公式法求 (x ， y ， z) 此时xy z6 222∴ x 2 ，12222( 2)233y4， z433变式 6：设 x,y,z，若 2x 3y z 3，则 x 2( y 1)2 z 2 之最小值为 ________，又此时Ry ________。
分析： [ x 2 ( y 1) 2 z 2 ][ 22 ( 3) 2 12 ] ( 2x 3y 3 z) 2 [ x2( y 1) 2 z 2 ] 36 ∴最小值1832 147∴t∴y77变式 7：设 a ， b ， c 均为正数且 a b c 9，则4916之最小值为ab c解：(2a3 b4c )2(49 16)(a b c)abca bc( 4 9 16 )．9 (2 3 4) 2 814 916 81 9ab ca bc 9变式 8：设 a,b,c 均为正数，且 a2b 3c 2，则123之最小值为 ________a b c解：: [( a ) 2(2b) 2( 3c ) 2 ][( 1 )2 ( 2)2( 3)2](1 2 3) 2ab c∴(12 3) 18 ，最小值为 18 ab c精心整理变式 9：设 x ， y ， z R 且( x1) 2 ( y 2)2( z 3) 21，求 x y z 之最大、小值 :16 5 4【解】∵( x 1) 2 ( y 2)2( z 3) 216541由柯西不等式知[4 （5)22] ( x 1) 2 ( y 2) 2 ( z 3) 222452． x 1．y 2) 2． z 3225 1 (x y z 2)2∴4 ()5 (5()5 |x y z 2|5 x y z 2 5423 x y z 7故 x y z 之最大值为 7，最小值为 3种类二：利用柯西不等式证明不等式基本方法：（ 1）巧拆常数（例 1）（2）从头安排某些项的序次（例 2）（ 3）改变构造（例 3）（4）添项（例 4）例 1．设 、 、 为正数且各不相等，求证：又 、 、 各不相等，故等号不可以建立∴。
柯西不等式、反柯西不等式与权方和不等式(解析版)
2.2.1柯西不等式、反柯西不等式与权方和不等式知识点一：柯西不等式、反柯西不等式1．柯西不等式的二维形式：()()22222()a b cd ac bd ++≥+，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立．2．柯西不等式的一般情形：222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++++++ ，当且仅当a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．3．柯西不等式的向量形式：αβαβ→→→→≥⋅，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝kβ时，等号成立．4．柯西不等式的三角形式：()()222222a b c d a c b d +++≥-+-5.反柯西不等式()()()22222a b c d ac bd --≤-考点1：利用柯西不等式求函数最值及变量范围求整式【例1.1.】已知,,R x y z ∈，且225x y z -+=，则222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值是（）A ．20B ．25C ．36D ．47【答案】C【分析】结合已知条件，利用柯西不等式即可求得答案.【详解】由于225x y z -+=，故()()()()()222222513122x y z ⎡⎤⎡⎤++-+++-+⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()()225212(22133324)x y z x y z ⎡⎤≥++--++-⎣+=⎦=+，【例1.2.】已知,,R x y z ∈，且22x y +=，则222x y z ++的最小值是.【例1.3.】已知22232424x y z ++=，则75W x y z =++的最大值为．【例1.4.】已知实数,x y 满足方程()2221x y ++=，则2x y -的最大值为.求分式【例1.5.】已知a ，b ，c 均为正数，若1a b c ++=，则111a b c++的最小值为（）A ．9B ．8C ．3D ．13【例1.6.】已知x ,y ,z ∈(0,+∞),且1,x y z ++=则23x ++的最小值为（）A．5B．6C．8D．9【答案】C【解析】因为23a b +=，所以()()41211a b -+-=由柯西不等式()()()211114121219121121a b a b a b ⎛⎫+=+-+-≥+=⎡⎤ ⎪⎣⎦----⎝⎭当且仅当112221a b =--，即72,63a b ==时，等号成立，故选C.【例1.8.】已知,,x y z R +∈且1x y z ++=则2222y+32323x y z z z x x y++++的最小值是（）A ．1B ．15C ．25D ．35【例1.9.】为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式（二维）；当向量()()1122,,,a x y b x y ==时，有222a b a b ⋅≤ ，即()()()2222212121122x x y y x y xy +≤++，当且仅当1221x y x y =时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数变换，得到了一个新不等式：()()()2222212121122x x y y x y x y -≥--，当且仅当1221x y x y =时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当x ∈R 时，2212211x x -的最小值是．求根式【例1.10.】函数y =的最大值是()A B C ．3D ．5【例1.11.】已知,x y 10,=2x y -的最大值为．【答案】200【解析】()()222222121x y x y ⎡⎤⎡⎤-=--=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦222200≤==≥==当且仅当1=，即400,100x y ==时取等号，故2x y -的最大值为200．【例1.12.】已知1()2f x =的最大值为m ，则m =．【例1.13.】已知M =M 的最大值为．【例1.14.】已知0x >，R y ∈，且2530x xy x y +-+=，的最大值为（）AB C ．D ．【答案】C，进而由柯西不等式 求三角函数式【例1.16.】设x R ∈，则3sin 2cos xx-的最大值为．【答案】【例1.17.】若()sin cos sin 2y x y x +++=，则sin x 的最小值是（）A ．0B ．2C ．3D ．12求变量范围（值）【例1.19.】已知实数a b c d ,,,满足222232445a b c d a b c d +++=+++=，，则a 的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4知识点二：权方和不等式1.二维形式的权方和不等式：若0,,,>y x b a ，则y x b a y b x a ++≥+222)(，当且仅当ybx a =时，等号成立.推广1：,)(2222zy x c b a z c y b x a ++++≥++当z c y b x a ==时，等号成立．推广2：若0,0>>i i b a ，则nn n n b b b a a a b a b a b a ++++++≥+++ 212212222121)(，当i i b a λ=时，等号成立.2.一般形式的权方和不等式：若0,0,0>>>m b a i i ，则()mn m n m m n m m m m b b b b a b a b a n +++≥+++++++ 2112111211)(21i i b a λ=时，等号成立.考点2：利用权方和不等式求最值【例2.1.】已知,,a b c R +∈，则a b c b c c a a b++的最小值为．【详解】()2222()()()2()a b c a b c a b c b c c a a b a b c b c a c a b ab bc ca ++++=++≥++++++++3()32()2ab bc ca ab bc ca ++≥=++当且仅当a b c ==时，等号成立所以答案为：3 2【例2.2.】已知正数,x y满足434xy+=，则11321yxy xy⎛⎫+⎪++⎝⎭的最小值为．【例2.3.】对任意11,2x y>>，()22224121(1)x ya y a x+≥--恒成立，则实数a的最大值为．【答案】8【详解】因为()22224121(1)x y a y a x +≥--恒成立，所以2224211x y a y x ≤+--，对任意11,2x y >>恒成立，所以222min4()211x y a y x ≤+--()()()22224211211x y x y y x y x ++≥---+-设22,(0)x y t t +-=>，则()()()()2222224448211211x y t x y t y x y x t t +++≥==++≥---+-当且仅当2222211x y x y y x +-=⎧⎪⎨=⎪--⎩，即21x y =⎧⎨=⎩时，两个等号同时成立故答案为8【例2.4.】若正数,,m n p 满足4m n p ++=，且()()()222222mn mn p n pn m p mp mnp λ+++++≥，则实数λ的取值范围为（）A ．(],6-∞B ．(],4-∞C ．(],12-∞D ．(],8-∞。
柯西不等式常见题型解法例说
上海中学数学2014年第3期柯西不等式常见题型解法例说315500浙江省奉化中学陈晴应向明柯西不等式≥：d；≥：研≥f≥]ni．6。
1‘是基本百鬲、百7而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，不仅形式优美，而且还具有非常重要的应用价值．它原先只在数学竞赛中出现，但在2003年颁布的高中数学课程标准选修系列(4—5)《不等式选讲》里，已经加进了柯西不等式，也就是说它将成为选修学生的日常教学要求．用柯西不等式解决某些不等关系问题时往往比较简捷明了，但求解时灵活性较大，技巧性较强．其中一些常见的问题，其解决策略往往与其呈现方式直接相关．笔者就以其在近几年高考中的常见三维类型进行分类，例析对应的解决策略．三维的柯西不等式(盘；+丑；+口；)(躇+6；+鹾)≥(n。
6，+口：6：+a。
63)2揭示了任意两组数组即(n。
，n。
，n。
)、(6，，6。
，63)的平方和之积与实数积之和的平方的大小关系．应用时要解决的核心问题就是如何通过变换不等式，向柯西不等式“逼近”，构造出不等式所需要的两组数组(乜，，乜。
，以。
)、(6。
，6：，6。
)，这也是运用柯西不等式解题的基本策略．1一次与二次例1(2013湖南高考)已知口、6、c∈R，盘+26 +3c一6，则n2+462+9c2的最小值为——．解：n+26+3c一6，由柯西不等式得(n2+462 +9c2)(12+12+12)≥(n+26+3c)2，可知n。
+462+9c。
≥婺一12，即最小值为12．例2设．r，y，z∈R，且满足T2+y2+z2—5，则Lr+2y+3z之最大值为——．解：(．f r+2y+32)2≤(L z’2+y2+z2)(12+22+ 32)一70，．‘．Ir+2y+3z最大值为√而．例3如啪2∈R且与≯+≮型+竖j翌一1，求T+y+z的最大值、最小值．解：与竽+≮型+半一，，由柯西不等式得[4z+渺+22]『c孚)2+c警)2+c字，2]≥…孚)惭(害)+z．(字)]2号25×1≥b+y+z一2)2≥5≥l L r+y+z一2≥一5≤z+y+z一2≤5．．‘．一3≤T+y+z≤7．故T+y+z之最大值为7，最小值为一3．评注：这类题型的最大特征就是条件与结论中分别出现了一次式与两次式，而要实现一次与两次不等关系的关键就是根据柯西不等式的形态进行构造，让其中一个数组为常数组，这样问题往往可以奏效．2整式与分式2．1两组数组对应的数分别为倒数型例4(2012福建高考)已知函数厂(T)一m—z一2I，m∈R且，(z+2)≥o的解集为[一1，1]．(1)求m的值；(2)若口，6，c∈R，且丢+去+去一m，求证：n+26+3c≥9．解：(1)厂(．r+2)一m—f．r}，／(T+2)≥o等价于I T l≤m，由I T l≤m有解，得m≥O，且其解集为{丁l —m≤z≤m1)，又，(z+2)≥o的解集为[一1，1]，故m一1．(2)由(1)知丢+去+去一1，又＆，6，c∈R，由柯西不等式得Ⅱ+26+3c一(n+26+3c)f丢+去+去)≥F‘去+何‘去+厄’去)2姐评注：这类题型从结构来讲，两组数组分别是整式类型(口，，n z，n。
柯西不等式
柯西不等式【摘要】本文将给出柯西不等式及其应用时需注意的几点说明、柯西不等式的几种形式和证明以及关于柯西不等式的几种题型。
我们知道，柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程组等问题上得到应用。
【关键词】柯西（Cauchy ）不等式；函数最值；解三角形问题；不等式的证明；不等式的应用。
【正文】一、柯西不等式及其证明。
定理： 设i a ，i b ∈R （i=1，2，3........,n ）,则2112n 1i 2⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑===ni i i n i i i b a b a ，当且仅当i a =λi b ，即11a b =22a b =nn b a =λ等号成立。
此不等式称为柯西不等式。
说明1：由于“∑==ni i a 120，∑==ni i b 120，∑==ni i i b a 10”情况之一出现时，不等式显然成立，因此，在下面的讨论中不妨设∑=≠ni i a 120，∑=≠ni i b 120，∑=≠ni i i b a 10都成立。
说明2：柯西不等式取等号的条件常常写成比例形式11a b =22a b =nn b a ,并约定：分母为0时，相应的分子也为0。
“等号成立”是柯西不等式应用的一个重要组成部分。
说明3：使用柯西不等式的方便之处在于，对任意的两组实数都成立，这个不等式告诉我们，任意两组数 1a ，2a ， n a ， 1b ，2b ， n b ，其对应项“相乘”之后、“求和”、再“平方”这三种运算不满足交换律，先各自平方，然后求和，最后相乘，运算的结果不会变小。
现将它的证明介绍如下：证明1：构造二次函数()()()2222211)(nn b x a b x a b x a x f ++++++= =222221......x a a a n ）（+++x b a b a b a n n ）（++++......22211）（22221......n b b b ++++0 (2)2221>++n a a a ，0)(≥x f 恒成立，∴)......()......(4 (42)22212222122211n n n n b b b a a a b a b a b a +++∙+++-+++=∆）（0≤即22211......）（n n b a b a b a +++≤)......( (2)222122221n n b b b a a a ++++++）（ 当且仅当 0=+i i b x a ),....,2,1(n i =即1212n na a ab b b ===时等号成立证明2 数学归纳法（1）当1n =时 ，右式=()211a b ，左式=2121b a ，显然 ，左式=右式。
柯西不等式6个基本题型高中
柯西不等式6个基本题型高中
柯西不等式是一种重要的数学定理，常用于证明平方和、积和、平方和积、平方和差、积和差以及积和积之间的不等式关系。
它在高中数学中常被用来解决以下6种基本题型：
平方和不等式：当$a,b>0$时，$(a+b)^2>a^2+b^2$。
积和不等式：当$a,b>0$时，$\sqrt{ab}<\frac{a+b}{2}$。
平方和积不等式：当$a,b>0$时，$(a+b)(a+b)>a^2+b^2$。
平方和差不等式：当$a,b>0$时，$(a-b)^2<a^2-b^2$。
积和差不等式：当$a,b>0$时，
$\sqrt{a}-\sqrt{b}<\sqrt{a-b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}$。
积和积不等式：当$a,b>0$时，$\sqrt{ab}>\frac{a-b}{2}$。
注意：以上不等式的符号均为“大于”或“小于”，不包含“大于等于”或“小于等于”的情况。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
柯西不等式（原始版）的习题分类
柯西不等式已经成为高考当中的新贵，去年全国卷II 的选修4-5不等式选讲，已经出现了柯西不等式命题，因此对柯西不等式几种典型习题加以分类，有助于知识的掌握。
一、柯西不等式（原始版）
1、()()()2
22112
22
12
22
1b a b a b b a a +≥++，当且仅当向量()21,a a a = ，()21,b b b = 同向时候成立，如果0,21≠b b 时，那么当且仅当2
211b a b a =时成立。
2、()()
()2332211232221232221b a b a b a b b b a a a ++≥++++，当且仅当321321::::b b b a a a =时等号成立。
3、211212⎪⎭
⎫ ⎝⎛≥⋅∑∑∑===n k k k n k k n k k b a b a ，当且仅当n n b b b b a a a a :...::::...:::321321=时等号成立。
由以上柯西不等式（原始版）来看，柯西不等式是齐次，不等式左右两边的式子的次数相等，因此做题的时候可以抓住这个关键进行应用。
二、常见题型
1、()常数次次≥-⨯11。
例1、已知1=+b a ，且0,>b a ，求b
a 11+的最小值。
解析：这道题的方法非常多，利用二元的均值定理可以求解，但是应用柯西不等式更加方便。
考虑最后求解的形式一定是k b
a ≥+11，k 为某个常数，那么不等式左边1-次，右边为0次，并不相等，所以左边要乘以
b a +，这样左边变成了()⎪⎭⎫ ⎝
⎛++b a b a 11，次数就成为了0，就可以应用柯西不等式。
()41111112=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅+⋅≥+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+b b a a b a b a b a ，当且仅当21==b a 时等号成立，所以b a 11+的最小值为4。
显然以上对例1的求解，柯西不等式比均值定理更为简单，有些优势，而且柯西不等式的应用范围更加广泛。
例2、若0,,>c b a ，求证()9111≥++⎪⎭⎫ ⎝
⎛++c b a c b a 。
解析：可以直接应用柯西不等式 ()91111112=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅+⋅+⋅≥++⎪⎭⎫ ⎝⎛++c c b b a a c b a c b a ，当且仅当1===c b a 时等号成立。
练习：
1、已知0,,>c b a ，证明：
c b a c b a ++≥++9111。
2、已知0,,>c b a ，证明：()
c b a a c c b b a ++≥+++++29111。
提示：()()()()a c c b b a c b a +++++=++2。
3、已知0,,>c b a ，并且1=++c b a ，求
a
c b c b a b a c +++++的最小值。
提示：b a b a c +=++11；c b c b a +=++11；a
c a c b +=++11。
4：已知c b a >>，证明c a c b b a -≥-+-411。
提示：设b a x -=，c b y -=，则y x c a +=-，且0,>y x 。
2、次常数次12≥⨯
例3、已知14
22
=+y x ，求y x +的取值范围。
解析：这道题可以用椭圆求切线的方法，也可以利用参数方程，但是利用柯西不等式会更简单。
这类问题是转化形如()()221224y x k k y x +≥+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+（21,k k 为某两个常数）的柯西不等式进行求解，关键是常数21,k k 的确定。
观察柯西不等式()()()22211222
1222
1b a b a b b a a +≥++，有()222i i i i b a b a =，2,1=i ，相应的2124
x k x =⋅，222y k y =⋅，易得1,421==k k 。
所以()()222144y x y x +≥+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+，即()251y x +≥⨯，所以55≤+≤-y x 。
例4、已知1222=++z y x ，求z y x 32++的取值范围。
分析：需要转化为形如()()()2
32122232z y x k k k z y x ++≥++++的柯西不等式， 有212x k x =⋅，2224y k y =⋅，2329z k z =⋅，解得9,4,1321===k k k 。
解：()
()()222232941z y x z y x ++≥++++，即()13322≤++z y x ，所以133213≤++≤-z y x 。
例5、已知1=++z y x ，求2222z y x ++的最小值。
解析：()()222221211z y x z y x ++⎪⎭⎫ ⎝⎛
++≤++，即()
2222251z y x ++≤，所以522222≥++z y x ， 当且仅当1
2
121z y x ==，即51,52===y z x ，或时等号成立，所以2222z y x ++的最小值为52。
例6、求函数x x y 241-++=
的最大值。
解析：设x b x a -=+=2,1，则322=+b a （一定要是其平方和为常数），则b a y 2+=，由柯西不等式，()()()222221b a b a +≥++，即233y ≥⨯，所以3≤y ，当且仅当2
1b a =，即0=x 时等号成立。
练习：
1、已知22=++z y x ，求22223z y x ++的最小值。
2、如果1=++z y x ，则3
1222≥++z y x 。
3、求函数34212++-=x x y 的最大值。