不等式的题型分类
不等式常见考试题型总结
《不等式》常见考试题型总结一、高考与不等式高考试题，有关不等式的试题约占总分的12% 左右，主要考查不等式的基本知识，基本技能，以及学生的运算能力，逻辑思维能力，分析问题和解决问题的能力．选择题和填空题主要考查不等式的性质、比较大小和解简单不等式，还可能与函数、方程等内容相结合的小综合．解答题主要是解不等式或证明不等式或以其他知识为载体的综合题。
不等式常与下列知识相结合考查：①不等式的性质的考查常与指数函数、对数函数、三角函数的性质的考查相结合，一般多以选择题的形式出现，有时也与充要条件、函数单调性等知识结合，且试题难度不大；②解不等式的试题主要在解答中出现，常常是解含参不等式较多，且多与二次函数、指数、对数、可能还会出现导数相结合命题；③证明不等式是理科考查的重点，经常同一次函数、二次函数、数列、解析几何，甚至还可能与平面向量等结合起来考查．二、常见考试题型（1）求解不等式解集的题型（分式不等式的解法，根式不等式的解法，绝对值不等式的解法，含参不等式的解法，简单的一元高次不等式的解法）（2）不等式的恒成立问题（不等式恒成立问题的常规处理方式常应用函数方程思想，分离变量法，数形结合法）（3）不等式大小比较常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化；6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。
（4）不等式求函数最值技巧一：凑项例：已知，求函数的最大值。
54x <14245y x x =-+-技巧二：凑系数例. 当时，求的最大值。
(82)y x x =-技巧三： 分离例. 求的值域。
2710(1)1x x y x x ++=>-+技巧四：换元例. 求的值域。
2710(1)1x x y x x ++=>-+技巧五：函数的单调性（注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。
高一基本不等式题型及解题方法
高一基本不等式题型及解题方法一、不等式的基本概念1.不等式的定义不等式是指两个数或者两个代数式之间的大小关系。
不等式中经常涉及到大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等符号。
2.不等式的解集不等式的解集是使得不等式成立的所有实数的集合。
解集可以是有限的实数集合，也可以是无限的实数集合。
3.不等式的图像表示不等式可以用数轴上标记不同的数和符号表示，从而方便我们对不等式的解集进行直观的了解。
二、不等式的基本性质1.不等式的加减性对于不等式，如果两边同时加上（或减去）同一个数，不等式的方向不变。
即若a > b，则a + c > b + c；若a < b，则a - c < b- c。
2.不等式的乘除性对于不等式，如果两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等式的方向不变；如果乘以（或除以）同一个负数，不等式的方向改变。
即若a > b且c > 0，则ac > bc；若a < b且c > 0，则ac < bc；若a > b且c < 0，则ac < bc；若a < b且c < 0，则ac > bc。
3.不等式的转换对于不等式，可以通过变形、合并和分解等方式，将不等式转化为更加简单的形式，从而便于我们求解和分析。
三、不等式的解题方法1.解不等式的基本步骤解不等式的基本步骤包括：（1）对不等式进行变形，使其化简为最简形式；（2）确定不等式的解集的范围；（3）利用不等式的性质，对不等式进行分析和求解。
2.不等式的分类不等式可以分为一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式等不同类型。
对于不同类型的不等式，我们需要采用不同的方法和技巧进行求解。
3.一元一次不等式的解法一元一次不等式表示形式为ax + b > 0或ax + b < 0（a≠0），求解一元一次不等式主要有以下几种方法：（1）利用不等式的性质进行分析和求解；（2）通过加减消去法进行变形和求解；（3）通过乘除消去法进行变形和求解。
基本不等式知识点和基本题型
基本不等式知识点和基本题型基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式若$a,b\in R$，则$a+b\geq 2ab$，其中$a^2+b^2$为定值。
2、基本不等式一般形式（均值不等式）若$a,b\in R$，则$\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$。
3、基本不等式的两个重要变形若$a,b\in R$，则$a+b\geq 2\sqrt{ab}$，其中$\frac{a+b}{2}\leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$。
总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值。
特别说明：以上不等式中，当且仅当$a=b$时取“=”。
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”。
5、常用结论若$x>1$，则$\frac{x+1}{2}>\sqrt{x}$（当且仅当$x=1$时取“=”）。
若$x<1$，则$\frac{x+1}{2}<-\frac{1}{x}$（当且仅当$x=-1$时取“=”）。
若$ab>0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当$a=b$时取“=”）。
若$a,b\in R$，则$a^2+b^2\geq 2ab$，$\frac{a+b}{2}\geq \frac{2ab}{a+b}$，$\frac{a+b}{2}\leq \sqrt{a^2+b^2}$。
6、柯西不等式若$a,b\in R$，则$(a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2$。
题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设$a,b$均为正数，证明不等式：$ab\geq\frac{a^2+b^2}{2}$。
2、已知$a,b,c$为两两不相等的实数，求证：$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$。
3、已知$a+b+c=1$，求证：$a^2+b^2+c^2+\frac{9}{4}\geq 2(ab+bc+ca)$。
不等式题型
不等式题型不等式是数学中一个非常重要的概念，我们每天的生活中都会用到。
不等式中经常会涉及到大小比较，如大于号、小于号、大于等于号、小于等于号等符号。
本文将介绍不等式的基本概念及常见的不等式类型。
一、不等式的基本概念1.符号不等式中最基本的是符号，这些符号代表着大于、小于、大于等于和小于等于的关系。
其中大于用符号“>”表示，小于用符号“<”表示，大于等于用符号“≥”表示，小于等于用符号“≤”表示。
2.解不等式中有时会给出x的范围或满足条件，求解就是要找出符合条件的x的取值。
我们把符合不等式的x的取值称为“解”。
3.解集一个不等式所表示的所有解的集合叫做解集。
比如下面的不等式：x>2这个不等式的解集就是{x|x>2}。
二、不等式的类型1.一次不等式一次不等式就是只含有一次幂的不等式，如：2x+3<6这个不等式中x的系数为2，常数为3，可以移项得到：x<（6-3）/2=1.5所以这个不等式的解集为{x|x<1.5}。
2.绝对值不等式绝对值不等式的形式一般为：|ax+b|<c其中a、b、c为常数，解这种不等式的方法是先处理绝对值，再解决不等式。
如|2x-3|≤5，则可分为两个不等式：2x-3≤5（当2x-3>0时）2x-3≥-5（当2x-3<0时）解得：x≤4x≥-1所以解集为{-1≤x≤4}。
3.多项式不等式多项式不等式的一般形式为：P(x)>0其中P(x)是x的多项式函数，解这种不等式的方法是将其化为0的根，再使用区间判断法来确定解集。
如2x^3-3x^2+6x-4>0，将其化为0的根：2x^3-3x^2+6x-4=0x=1/2为根，代入得：2x^3-3x^2+6x-4>0满足将其绘制成函数图像，并使用区间判断法得到解集为{x|x<1/2}U{x|x>2}。
4.分式不等式分式不等式的一般形式为：f(x)>0其中f(x)为两个多项式函数的商，解这种不等式的方法一般是将其转化为多项式不等式或其他方法求解。
《基本不等式》17种题型高一
基本不等式是高中数学中非常重要且基础的一部分。
它在高一数学中占据着重要的地位，对于学生的数学基础和逻辑推理能力的培养起着至关重要的作用。
在高一数学教学中，基本不等式的学习也是一个重要的环节，不仅需要掌握它的概念和性质，还需要学会运用它解决实际问题。
本文将从基本不等式的概念入手，详细介绍其性质和运用方法，并列举17种题型，帮助学生全面理解和掌握基本不等式的相关知识。
一、基本不等式的概念基本不等式是指在任意三个实数a、b、c之间，必有以下基本不等式成立：1）正数的不等式：a >b ⟹ a +c > b + ca > 0,b > 0 ⟹ ac > bca > b, c > 0 ⟹ ac > bca > b, c < 0 ⟹ ac < bc2）负数的不等式：a <b ⟹ a +c < b + ca < 0,b < 0 ⟹ ac > bca < b, c > 0 ⟹ ac < bca < b, c < 0 ⟹ ac > bc以上基本不等式是学习基本不等式的基础，对于解决实际问题是非常重要的。
二、基本不等式的性质基本不等式还具有一些重要的性质，包括：1）传递性：若a > b，b > c，则a > c2）对称性：若a > b，则-b > -a3）倒置性：若a > b，则1/a < 1/b，且a/b > 0这些性质对于运用基本不等式解决实际问题时起着重要的作用，可以帮助学生更好地理解和运用基本不等式。
三、基本不等式的运用方法基本不等式在解决实际问题时有着广泛的应用，其运用方法主要包括：1）利用基本不等式的性质化简题目；2）利用基本不等式构造等式或方程组，进而求解问题；3）利用基本不等式证明不等式关系，讨论最值等问题。
学生在解决实际问题时，可以根据具体情况选择不同的运用方法，灵活运用基本不等式，解决各种复杂的问题。
基本不等式题型大全
基本不等式题型大全知识点：1.几个重要不等式①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22.2a b ab +≤ ②（基本不等式）2a b+≥()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： a b +≥ 2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）3a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>>（当且仅当a b c ==时取到等号）.⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号）0,2b aab a b<+≤-若则（当仅当a=b 时取等号）⑦ban b n a m a m b a b <++<<++<1，其中(000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或22.x a x a a x a <⇔<⇔-<<⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+2.几个著名不等式①平均不等式：1122a b a b --+≤≤≤+()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取""=号）.（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）.变形公式：222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭222().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n+++≥+++1122(,,,).x y x y R ∈④二维形式的柯西不等式： 22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a a b b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式：2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++ ⑦向量形式的柯西不等式：设,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和），当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.板块一 基本不等式及其变换一、“配、凑、拆”的技巧 ①基本不等式及变形1.函数f (x )＝x ＋1x (x >0)值域为________；函数f (x )＝x ＋1x (x ∈R )值域为________；2.函数f (x )＝x 2＋1x 2＋1的值域为________．2.若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________． 解：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．答案：53.已知x ＜0，则f (x )＝2＋4x ＋x 的最大值为________． 解：∵x ＜0，∴－x ＞0，∴f (x )＝2＋4x ＋x ＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－x＋－x .∵－4x ＋(－x )≥24＝4，当且仅当－x ＝4－x ，即x ＝－2时等号成立．∴f (x )＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－x＋－x ≤2－4＝－2，∴f (x )的最大值为－2..54124,45.1的最大值求函数已知-+-=<x x y x 答案：1.,)0(312)(.2的值并求取最值时的最值求x x x xx f ≠+=答案：略223.,,()().a b y x a x b =-+-（三星）为实常数求的最小值解：（1）方法一：方法二：(1)函数f (x )＝x (1－x )(0<x <1)的值域为____________； (2)函数f (x )＝x (1－2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12的值域为____________．解：(1)∵0<x <1，∴1－x >0, x (1－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋1－x 22＝14， ∴f (x ) 值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.(2)∵0<x <12，∴1－2x >0.x (1－2x )＝12×2x (1－2x )≤12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋1－2x 22＝18，∴f (x ) 值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18.8.已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为________． 解：由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．9.函数y ＝x 1－x 2的最大值为________．解：x 1－x 2＝x 21－x 2≤x 2＋1－x 22＝12..)2)(12(,523.42222的最大值求已知++==+b a y b a答案：147162223.,1,1.2y x y R x x y +∈+=+（三星）设且求的最大值221y+≤2210.1,.x yx y xyx y+>=-（二星）若且求的最小值答案：23.设x，y∈R，且xy≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x2＋1y2·⎝⎛⎭⎪⎫1x2＋4y2的最小值为________．解：⎝⎛⎭⎪⎫x2＋1y2⎝⎛⎭⎪⎫1x2＋4y2＝5＋1x2y2＋4x2y2≥5＋21x2y2·4x2y2＝9，当且仅当x2y2＝12时“＝”成立．14．在各项都为正数的等比数列{}n a中，若2018a=，则2017201912a a+的最小值为________．4 14．已知正数x y，满足2230x xy＋－＝，则2x y＋的最小值是___________．3②二次分式有关12.已知t>0，则函数y＝t2－4t＋1t的最小值为________．答案－2解：∵t>0，∴y＝t2－4t＋1t＝t＋1t－4≥2－4＝－2，且在t＝1时取等号．13.当x>0时，则f(x)＝2xx2＋1的最大值为________．解：∵x>0，∴f(x)＝2xx2＋1＝2x＋1x≤22＝1，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号．14.(1)求函数f(x)＝1x－3＋x(x＞3)的最小值；(2)求函数f(x)＝x2－3x＋1x－3(x＞3)的最小值；解：(1)∵x＞3，∴x－3＞0.∴f(x)＝1x－3＋(x－3)＋3≥21x－3·x－3＋3＝5.当且仅当1x－3＝x－3，即x＝4时取等号，∴f(x)的最小值是5.(2)令x－3＝t，则x＝t＋3，且t＞0.∴f(x)＝t＋32－3t＋3＋1t＝t＋1t＋3≥2t·1t＋3＝5.当且仅当t＝1t，即t＝1时取等号，此时x＝4，∴当x＝4时，f(x)有最小值为5.15.设x>－1，求函数y＝x＋4x＋1＋6的最小值；解：∵x>－1，∴x＋1>0.∴y＝x＋4x＋1＋6＝x＋1＋4x＋1＋5≥2x＋1·4x＋1＋5＝9，当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时，取等号．∴当x＝1时，函数y的最小值是9.4.当x＞0时，则f(x)＝2xx2＋1的最大值为________．解：(1)∵x ＞0，∴f(x)＝2xx2＋1＝2x＋1x≤22＝1，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号．5.函数y＝x2＋2x－1(x>1)的最小值是________．解：∵x>1，∴x－1>0.∴y＝x2＋2x－1＝x2－2x＋2x＋2x－1＝x2－2x＋1＋2x－1＋3x－1＝x－12＋2x－1＋3x－1＝x－1＋3x－1＋2≥2 x－13x－1＋2＝23＋2.当且仅当x－1＝3x－1，即x＝1＋3时，取等号．答案：23＋2③平方平均数的应用228.,1,.x y R x y x y +∈+=+（一星）已知且求的最大值解：使用不等式变形2a b +≤.11.()0,0,1,.a b a b >>+=二星设答案：7．（三星）设,0,5,a b a b >+= _________. 解：因为,0,5,a b a b >+=所以()()139a b +++=由不等式2x y+≤2≤=，13.（四星）已知实数a b c ，，满足22201a b c a b c ++=++=，，则a 的最大值是 ____________． 解：∵222b c bc +≥，即()()2222222b c b c bc b c +++=+≥，∴()2222b c b c++≥，由0a b c ++=，得b c a +=-，由2221a b c ++=，得()22222122b c a a b c +-=+=≥，∴223a ≤，∴a ，故a ．9.（三星）已知R k ∈，点(),P a b 是直线2x y k +=与圆22223x y k k +=-+的公共点，则ab 的最大值为（ ）BA ．15B ．9C ．1D ．53-1.（二星）若0,0x y >>的最小值为_________.2.)510)(51(.52的最值求函数≤≤-=x x x y答案：4675.cos sin ,.62的最大值求为锐角设θθθ=y答案：9二、附条件求最值：“1”的代换5：已知正数a ，b 满足a ＋2b ＝1，则1a ＋1b 的最小值是____． 解：1a ＋1b ＝a ＋2b a ＋a ＋2b b ＝3＋2b a ＋ab ≥3＋22b a ·ab ＝3＋2 2.36.已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋2y 的最小值是_________． 解 因为1x ＋2y ＝(2x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y＝4＋y x ＋4x y ≥4＋2y x ·4x y ＝8，等号当且仅当y ＝12，x ＝14时成立．37.已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________； 解 ∵x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y＝3＋y x ＋2xy ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2xy 时，取等号．38.已知x ＞0，y ＞0，且9x ＋1y ＝1，求x ＋y 的最小值． 解：∵9x ＋1y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫9x ＋1y ＝10＋9y x ＋x y ≥10＋29y x ·xy ＝16.当且仅当9y x ＝x y 且9x ＋1y ＝1，即x ＝12，y ＝4时取等号． ∴当x ＝12，y ＝4时，x ＋y 有最小值为16.39.已知x ，y 为正实数，且1x ＋16y ＝1，求x ＋y 的最小值． 解：∵1x ＋16y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋16y ＝17＋16x y ＋y x ≥17＋216x y ·yx ＝25.当且仅当16x y ＝y x 且1x ＋16y ＝1时，等号成立． ∴x ＝5，y ＝20时，x ＋y 有最小值25.1.已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是________． 解： ∵a ＋b ＝2，∴a ＋b2＝1.∴1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 ＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋b 2a≥52＋22a b ·b 2a＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a 时，等号成立. 故y ＝1a ＋4b 的最小值为92.40.若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245B.285 C ．5 D ．6解 ∵x >0，y >0，由x ＋3y ＝5xy 得15⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝1.∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫3xy ＋4＋9＋12y x ＝135＋15⎝⎛⎭⎪⎫3x y ＋12y x ≥135＋15×23x y ·12yx ＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)，∴3x ＋4y 的最小值为5.41.正数x ，y 满足1x ＋9y ＝1. (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋2y 的最小值． 解：(1)由1＝1x ＋9y ≥2 1x ·9y 得xy ≥36，当且仅当1x ＝9y ，即y ＝9x ＝18时取等号，故xy 的最小值为36.(2)由题意可得x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝19＋2y x ＋9x y ≥19＋22y x ·9xy ＝19＋62，当且仅当2y x ＝9xy ，即9x 2＝2y 2时取等号，故x ＋2y 的最小值为19＋6 2.9.,,280,.x y R x y xy x y +∈+-=+（二星）已知且求的最小值答案：18227.()01,,,().1a b x a b f x x x<<=+-三星设为常数求的最小值答案：2()a b +2.（二星）若直线()10,0x ya b a b+=>>过点(1,1),则a b +的最小值等于( )A.2B.3C.4D.5解：因为直线过点(1,1),所以111=+b a ，所以ba ab b a a b b a b a b a ++=+++=++=+211)11)((,因为0,0>>b a ，所以4222=⨯+≥++baa b b a a b ,当且仅当“a=b=2”时等号成立.14.（二星）若()42log 34log a b +=则a b +的最小值是（ ）DA ．6+B ．7+C ．6+D ．7+112511.0,0,1,:.4a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫>>+=++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（三星）设求证1.（四星）已知20x y >>，且满足181022x y x y++=-，求实数x 的最大值. 答案：[]2,181.已知,x y 都是正数，且1x y +=，则4121x y +++的最小值为__________.941.（三星）设,x y 是正实数，且1x y +=，则2221x y x y +++的最小值是___________.141.（三星）已知1,,(0,1)4ab a b =∈，则1211a b+--的最小值是__________.20．（四星）函数()22log 1log 1x f x x -=+，若()()1221f x f x +=（其中1x 、2x 均大于2），则()12f x x 的最小值为_______。
完整版本的不等式基本原理和基本题型
完整版本的不等式基本原理和基本题型一、不等式基本原理1.比较法则：不等式的传递性：若a>b，b>c，则a>c。
不等式的反对称性：若a>b且b>a，则a=b。
不等式的加法和减法法则：若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。
2.乘法法则：不等式的乘法法则：若a>b且c>0，则ac>bc。
不等式的除法法则：若a>b且c>0，则a/c>b/c。
3.倒置法则：如果将不等式两侧的符号互相倒置，不等式的方向也将倒置，且不等式仍然成立。
例如若a>b，则-b>-a。
二、不等式基本题型1.一元一次不等式：基本形式：ax + b > 0 或 ax + b < 0。
解法：根据不等式的形式，将未知数x的系数a分类讨论解答。
2.一元二次不等式：常见形式：ax² + bx + c > 0 或 ax² + bx + c < 0。
解法：可以通过因式分解或配方法求关键点（二次方程的根），然后通过关键点的位置确定不等式的解集。
3.绝对值不等式：基本形式：|ax + b| > c 或 |ax + b| < c。
解法：根据不等式的形式，分四种情况讨论解答，并考虑绝对值的性质。
4.分式不等式：常见形式：f(x) > 0 或 f(x) < 0，其中f(x)是有理函数或无理函数。
解法：根据不等式的形式，可以通过求函数的零点，确定不等式的解集。
总结：不等式基本原理是解决不等式问题的基础，而不等式基本题型则是根据不同的不等式形式进行分类解答。
在解题过程中，需要注意使用不等式基本原理，并根据题目要求选择合适的方法进行求解。
(完整版)不等式常见题型分析
不等式的基本知识（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质：(1) 对称性： a b b a(2) 传达性： a b, b c a c(3) 加法法规： a ba cbc ； a b,c da c bd ( 同向可加 )(4) 乘法法规： ab, c 0 ac bc ；a b, c 0 ac bca b 0, c dacbd ( 同向同正可乘 )(5)倒 数 法 则 ：a b, ab1 1(6)乘 方 法 则 ：baa b 0a nb n (n N * 且 n 1)(7) 开方法规： abnanb (n N * 且 n 1)2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式 ax 2 bx c 0或 ax 2 bx c 0 a 0 的解集：设相应的一元二次方程ax 2 bx c0 a 0 的两根为 x 1、 x 2 且 x 1x 2 ，b 2 4ac ，则不等式的解的各种情况以下表：y ax 2bxcy ax 2bx cyax 2 bx c二次函数y ax 2bx c（ a 0 ）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根ax 2bx cx 1 x 2b a 0 的根 x 1 , x 2 ( x 1 x 2 )无实根2aax 2bx c 0x xb(a 0)的解集 x x x 1或x x 2R2aax 2 bx c 0x x 1 x x 2(a0)的解集2、分式不等式的解法 ：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0，再通分并将分子分母分解因式， 并使每一个因式中最高次项的系数为正 ，最后用标根法求解。
解分式不等式时， 一般不能够去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。
f (x)f ( x) f ( x) g(x) 0f ( x) g(x) 0;g(x)g ( x)g( x)3、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分别变量法”转变成最值问题若不等式 f x A 在区间 D 上恒成立 , 则等价于在区间 D 上 f x minA若不等式 fxB 在区间 D 上恒成立 , 则等价于在区间 D 上 fxmaxB（三）线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面地域二元一次不等式 Ax +By +C ＞ 0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax +By +C =0 某一侧所有点组成的平面地域 . （虚线表示地域不包括界线直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面地域的判断方法由于对在直线 Ax +By +C =0 同一侧的所有点 ( x, y ) ，把它的坐标（x, y ) 代入 Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同， 所以 只需在此直线的某一侧取一特别点 （ x 0, y 0) ，从 Ax 0+By 0+C 的正负即可判断 Ax +By +C ＞ 0 表示直线哪一侧的平面地域 . （特别地，当 C ≠ 0 时，常把 原点 作为此特别点） 3、线性规划的有关看法：①线性拘束条件 ：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的拘束条件，这组拘束条件都是关于 x 、 y 的一次不等式，故又称线性拘束条件．②线性目标函数 ：关于 x 、 y 的一次式 z=ax+by 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、 y 的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题 ：一般地，求线性目标函数在线性拘束条件下的最大值或最小值的问题， 统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解 ： 满足线性拘束条件的解（x,y ）叫可行解．由所有可行解组成的会集叫做可行域．使目标函数获取最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 4、求线性目标函数在线性拘束条件下的最优解的步骤：（ 1）搜寻线性拘束条件，列出线性目标函数； （ 2）由二元一次不等式表示的平面地域做出可行域；（ 3）依照线性目标函数作参照直线a x +b y ＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优 解（四）基本不等式ab ab21．若 a,b ∈ R ,则 a 2+b 2≥ 2ab,当且仅当 a=b 时取等号 .ab b 时取 " " 号).2．若是 a,b 是正数，那么ab(当且仅当 a2变形： 有 :a+b ≥ 2 ab ；ab ≤a b2,当且仅当 a=b 时取等号 .23．若是 a,b ∈ R+,a ·b=P (定值 ),当且仅当 a=b 时 ,a+b 有最小值 2 P ;若是 a,b ∈ R+,且 a+b=S (定值 ),当且仅当 a=b 时 ,ab 有最大值S 2.4注：（ 1）当两个正数的积为定值时，能够求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，能够求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（ 2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4. 常用不等式 有：（1） a 2 b 2a bab2( 依照目标不等式左右的运算结构2211a b采纳 ) ；（ 2） a 、b 、 c R ， a 2 b 2 c 2 ab bc ca （当且仅当 ab c 时，取等号）；（ 3）若 a b 0, m 0 ，则bb m（糖水的浓度问题）。
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·不等式题型1：解不等式（组）1．不等式组⎩⎨⎧->+<-213532x x 的解集是 （ ）(A)-1<x<4 (B)x>4或x<-1 (C)x>4 x<-1(D)2、若不等式组⎩⎨⎧>>a x x 3的解集是x>a,则a 的取值范围是 （ ）(A)a<3 (B)a=3 (C)a>3 (D)a≥33.如果不等式(a-1)x>a-1的解集是x<1,那么a 的取值范围是 （ ）(A)a≤1 (B)a>1 (C)a<1 (D)a<04.当a_____时，不等式(a-3)x>1的解集是x<1/（a-3）.5.当x 时，代数式52+x 的值不大于零．6.若a >b >c ，则不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<>>cx b x ax 的解集是 ．7.已知，x 满足⎪⎩⎪⎨⎧->+->+1411533x x x ，化简52++-x x8.若x =23+a ，y =32+a ，且x ＞2＞y ，则a 的取值范围是________9.若a<b ，则关于x 的不等式（2009a-2009b ）x>2009b-2009a 的解集为（ ）A.x>-1B.x>1C.x<-1D.x<110.若a<0，则关于x 的不等式|a|x<a 的解集是（ ）A.x<1B.x>1C.x<-1D.x>-111.已知a <b ，则下列不等式中不正确的是（ ）．Ａ、4a <4b Ｂ、a +4<b +4 Ｃ、－4a <－4b Ｄ、a －4<b －412、不等式()123x m m ->-的解集为2x >，则m 的值为（ ）A 、4B 、2C 、32D 、1213.若由x ＜y 可得到ax ＞ay ，应满足的条件是( )．A 、a ≥0B 、a ≤0C 、a ＞0D 、a ＜014、如果a 2x ＞a 2y (a ≠0)．那么x ____ __y ．15、若m ＞5，试用m 表示出不等式(5－m )x ＞1－m 的解集____ __16.若m 、n 为有理数，解关于x 的不等式(－m 2－1)x ＞n ．17.当310)3(2k k -<-时，求关于x 的不等式k x x k ->-4)5(的解集题型2：不等式组的特殊解（正整数解……）1.不等式组⎩⎨⎧<>+5213xx的整数解的个数是（）(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个2.使不等式x-5>4x-1成立的值中最大的整数是（）(A)2 (B)－1 (C)－2 (D)03.不等式组⎩⎨⎧-≤-+>-xxxx3142)1(325的非负整数解是＿＿＿＿＿.4.如图，数轴上表示的是一个不等式的解集，这个不等式的整数解是＿＿＿＿＿.5.不等式2（x－2）≤x—2的非负整数解的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≤-->xxx28432的最小整数解为（）A．－1 B．0 C．1 D．47.如果x≥－5的最小值是小是a，x≤5的最大值是b，则a+b＝________8．不等式x27->１，的正整数解是．9．不等式03+-x的最大整数解是．10.已知关于x的不等式组321x ax-≥⎧⎨-≥-⎩的整数解共有5个，则a的取值范围是．11.x为何值时，代数式5123--+xx的值是非负数？12.不等式1/4（2x+m）>1=m(3-x)-5x的解是负数，则m得取值范围是（）A.-2B.-1/2C.2D.1/213.不等式3x-2≥4（x-1）的所有非负整数解得和等于14.不等式4（x-2）＞2（3x -6）的非负整数解的个数为( )A、0个B、1个C、2个D、3个15、不等式3x-5＜3+x的正整数解有A、1个B、2个C、3个D、4个16.关于x的不等式组⎩⎨⎧->-≥-123,0xax的整数解共有5个，求a的取值范围。
17.若关于x 的不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+->+a x x x x 322,3215只有4个整数解，求a 的取值范围题型3：与方程（组）结合1.方程组⎩⎨⎧=+=+205273y x k y x 的解x,y 都是正数，则整数k 等于 （ ）(A)27 (B)28 (C)29 (D)302.已知x=3是方程(x-a)/2-2=x-1的解，那么不等式(2-a/5)x<1/3的解集是＿＿＿＿.3.已知关于x 的方程 3x －（2a －3）=5x +（3a+6）的解是负数，则a 的取值范围是________4.在方程组2122x y m x y +=-⎧⎨+=⎩中，若未知数x 、y 满足 x ＋y ＞0，求m 的取值范围 5.方程组⎩⎨⎧-=+=-323a y x y x 的解为负数，求a 的范围.6.若方程3m （x +1）+1=m （3－x ）－5x 的解是负数，则m 的取值范围是（ ）．Ａ．m >－1.25Ｂ．m <－1.25 Ｃ．m >1.25 Ｄ．m <1.25 7.已知：关于x 的方程m x m x =--+2123的解的非正数，求m 的取值范围． 8.关于y x ,的方程组⎩⎨⎧-=-+=+131m y x m y x 的解满足x >y ，求m 的最小整数值．9.关于x 的方程5x-2m=-4-x 的解在2与10之间，则m 得取值范围是（ ）A.m>8B.m<32C.8<m<32D.m<8或 m>3210.已知|2x-24|+(3x-y-m)²=0中，0<y<1,则m 的取值范围是11.已知方程组⎩⎨⎧-=++=+②①m y x m y x 12,312的解满足x ＋y ＜0，求m 的取值范围． 12.若x =23+a ，y =32+a ，且x ＞2＞y ，则a 的取值范围是________. 13.若方程组313x y x y a+=⎧⎨-=⎩的解,x y 的值都不大于1，求a 的取值范围。
14.已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧-=++=+134,123p y x p y x 的解满足x ＞y ，求p 的取值范围． 15.已知方程组⎩⎨⎧-=++=+②①my x m y x 12,312的解满足x ＋y ＜0，求m 的取值范围．16.k取哪些整数时，关于x的方程5x＋4＝16k－x的根大于2且小于10?题型4：应用1.足球比赛的计分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一个队共进行14场比赛，得分不少于20分，那么该队至少胜了（）(A)3场(B)4场(C)5场(D)6场2.某次“迎奥运”知识竞赛中共20道题，对于每一道题，答对了得10分，答错了或不答扣5分，选手至少要答对（）道题，其得分才会不少于95分？A．14 B．13 C．12 D．113.小明用100元钱购得笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每只钢笔5元.那么小明最多能买只钢笔．4.某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打．某种出租车的收费标准：起5.步价7元（即行驶距离不超过3千米都需付7元车费），超过3千米后，每增加1千米，加收2.4元（不足1千米按1千米计）．某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费19元，那么甲地到乙地路程的最大值是（）．Ａ．5千米Ｂ．7千米Ｃ．8千米Ｄ．15千米5.小明准备用21元钱买笔和买笔记本，已知每支笔3元，每个笔记本2.2元，他买了两个笔记本，请你帮他算一算，他最多还可以买笔（）A.4支B.5支C.6支D.7支6.班委会决定元旦晚会上给每一位同学赠送礼品：音乐贺卡或鲜花，已知音乐贺卡每张5元，鲜花每束2元，全班共40人，班长用150元钱最多只能买音乐贺卡（）A.23张B.30张C.14张D.40张7.某种出租车的收费标准为起步价7元（即行驶距离不超过3千米都需付7元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2.4元（不足1千米按1千米计）。
某人乘坐这种出租车从甲地到乙地共付车费19元，那么甲地到乙地距离最大值是（）A.5千米B.7千米C.8千米D.15千米8.小红家离学校1600米，一天早晨由于有事耽误，结果吃完饭时只差15分钟就上课了，忙中出错，出门时又忘了带书包，结果回到家又取书包共用了3分钟，只好坐小汽车去上学，小汽车的速度是36千米/时，小汽车行驶了1分3秒时又发生堵车，她等了半分钟后，路还没有畅通，于是下车又开始步行，问：小红步行速度至少是多少时，才不至于迟到（）A．60米/分 B.70米/分 C.80米/分 D.90米/分9.小红家每月水费都不少于15元，自来水公司的收费标准如下：若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费3元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费5元，设小红家每月的用水量是x吨，则可列出不等式10.一次普法知识竞赛共有30道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题-1分，在这次竞赛中，小明获得优秀奖（90或90分以上），则小明至少答对道题。
11.某汽车厂改进生产工艺后，每天生产的汽车比原来每天的产量多6辆，那么15天的生产就超过原来20天的产量，则原来每天最多能生产辆汽车。
12.一位老师说，他班学生的一半在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在学外语，还生不足6名学生在操场上踢足球，则这个班的学生共有多少人8、某种出租车的收费标准:起步价7元(即行使距离不超过3千米都须付7元车费),超过3千米以后,每增加1千米,加收2.4元(不足1千米按1千米计).某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费19元,那么甲地到乙地路程的最大值是( )A 、5千米B、7千米C、8千米D、15千米9.把价格为每千克20元的甲种糖果8千克和价格为每千克18元的乙种糖果若干千克混合，要使总价不超过400元，且糖果不少于15千克，所混合的乙种糖果最多是多少？最少是多少？（8分）10.某中学为八年级寄宿学生安排宿舍，如果每间4人，那么有20人无法安排，如果每间8人，那么有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数。
（8分）11、某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞．现有甲、•乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量（1）按该公司要求可以有几种购买方案？（4分）（2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种方案？（4分）12..某种商品的价格第一年上升了10%，第二年下降了(m－5)%(m＞5)后，仍不低于原价，则m的值应为________.题型5：文字描述1.若代数式7/3+2x的值不小于代数式8-x/4的值，那么x的取值范围是＿＿.2．“x 的一半与2的差不大于1-”所对应的不等式是 ．3.某种品牌的八宝粥，外包装标明：净含量为330g ±10g ，表明了这罐八宝粥的净含量x 的范围是 ．4．一罐饮料净重约为300g ，罐上注有“蛋白质含量6.0>”其中蛋白质的含量为 ____ g5.代数式2131--x 的值不大于321x -的值，求x 的范围 6.当a 时，4a+2010/6表示正数。