一般形式的柯西不等式-高中数学知识点讲解
合集下载
人教A版数必修课件一般形式的柯西不等式
＝94(64＋36＋4×144)＝392，
又(－8x＋6y－24y)2＝392，
∴(x2＋y2＋z2)[(－8)2＋62＋(－24)2]
＝(－8x＋6y－24z)2，
即不等式①中只有等号成立时满足条件． 从而由柯西不等式中等号成立的条件，得 －x8＝6y＝－z24. 它与－8x＋6y－24z＝39 联立，可得 x＝－163，y＝296，z＝－1183.
探究三 柯西不等式其他形式的应用 [例 3] 已知实数 a，b，c，d 满足 a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求 a 的范围． [解析] 由柯西不等式得，有 (2b2＋3c2＋6d2)12＋13＋16≥(b＋c＋d)2， 即 2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2. 由条件可得，5－a2≥(3－a)2， 解得 1≤a≤2.
3．设 a、b、c 是正实数，且 a＋b＋c＝9，则2a＋2b＋2c的最小值是________． 解析：∵(a＋b＋c)2a＋2b＋2c
＝[( a)2＋( b)2＋( c)2]
2a2＋
2b2＋
22 c
≥ a· 2a＋ b· 2b＋ c· 2c2＝18.
∴2a＋2b＋2c≥2.
答案：2
4．边长为 a，b，c 的三角形，其面积为14，外接圆半径为 1，若 s＝ a＋ b＋ c， t＝1a＋1b＋1c，则 s 与 t 的大小关系是________． 解析：S△＝a4bRc＝a4bc＝14，即 abc＝1， ∴t＝ab＋bc＋ca， t2＝(ab＋bc＋ca)1a＋1b＋1c ≥( a＋ b＋ c)2＝s2， 又 a，b，c>0，∴s≤t. 答案：s≤t
二 一般形式的柯西不等式
考纲定位
重难突破
1.理解三维形式的柯西不等式，在此基础上， 重点：一般形式的柯西不等式的几何意
高中数学第二章几何重要的不等式212一般形式的柯西不等式课件北师大版选修4
取到．
第23页
题型三 柯西不等式的综合应用 例 4 (2015·福建)已知 a>0，b>0，c>0，函数 f(x)＝|x＋a|＋|x －b|＋c 的最小值为 4. (1)求 a＋b＋c 的值； (2)求14a2＋19b2＋c2 的最小值．
第24页
【解析】 (1)因为 f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)| ＋c＝|a＋b|＋c，
第11页
思考题 1 若 x，y，z∈R＋，且 x2＋y2＋z2＝1，求证：0<xy ＋yz＋zx≤1.
【证明】 (x2＋y2＋z2)(y2＋z2＋x2)≥(xy＋yz＋zx)2，即 1≥(xy ＋yz＋zx)2，又 x，y，z∈R＋，∴0<xy＋yz＋zx≤1.
第12页
题型二 利用柯西不等式求最值 例 2 设 2x＋3y＋5z＝29，求函数 u＝ 2x＋1＋ 3y＋4＋ 5z＋6的最大值． 【思路】 由题目可获取以下主要信息：①已知变量 x，y，z 之间的关系符合特定条件；②所求式子中含有根式．解答本题的关 键是去掉根号，并且利用好特定条件．
第6页
3．柯西不等式的两个变式 (1)当 ai∈R，bi>0(i＝1，2，…，n)，∑i＝n1 abi2i ≥（∑i∑i＝n＝n11abi）i 2，当且 仅当 bi＝λai 时等号成立． (2)设 ai，bi 同号且不为 0(i＝1，2，…，n)，则i∑＝n1 baii≥（∑i∑＝in＝n11aaibi）i 2， 当且仅当 bi＝λai 时，等号成立.
第9页
≥(
a· b
b＋
b· c
c＋
c· a
a)2
＝(a＋b＋c)2，
即(ab2＋bc2＋ca2)(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2.
课件2：二 一般形式的柯西不等式
方法二：令 m＝( 4a＋1, 4b＋1, 4c＋1)．n＝(1,1,1)， 则|m|＝ 4a＋1＋4b＋1＋4c＋1＝ 4(a＋b＋c)＋3＝ 7， |n|＝ 12＋12＋12＝ 3. m·n＝ 4a＋1＋ 4b＋1＋ 4c＋1, 由|m·n|≤|m||n|,得 4a＋1＋ 4b＋1＋ 4c＋1≤ 21. 故 4a＋1＋ 4b＋1＋ 4c＋1的最大值为 21,当且仅当 a＝ b＝c＝13时,取等号.
证法二：(利用柯西不等式) (x＋y＋z)1x＋4y＋9z ≥ x· 1x＋ y· 4y＋ z· 9z2＝(1＋2＋3)2＝36， 当且仅当 x2＝14y2＝19z2， 即 x＝16，y＝13，z＝12时等号成立．
【例 2】设 a,b,c 为正实数,且 a＋b＋c＝3，求证： 2a＋1＋ 2b＋1＋ 2c＋1≤3 3.
典例剖析
【例 1】 已知 a，b，c∈R＋， 求证：ab＋bc＋acba＋bc＋ac≥9. 【分析】利用柯西不等式证明其他不等式时,关键是构造两
组数,向着柯西不等式的形式转化.本例中对应三维柯西不等式,
记 a1＝
ab,a2＝
bc,a3＝
ac,b1＝
b a,
b2＝ bc,b3＝ ac,而 a1b1＝a2b2＝a3b3＝1，因而得证．
思考探究
三维形式的柯西不等式中等号成立的条件写成
ab11＝ba22＝
a3 b3
可以吗？
提示 不可以．因为若出现 bi＝0(i＝1,2,3)的情况，则分式
不成立了，但是，可以利用分式的形式来形象地记忆.
名师点拨 1.三维形式的柯西不等式 三维形式的柯西不等式可以对比二维形式的柯西不等式来 理解和记忆，一般形式的柯西不等式又可以参照三维形式的柯 西不等式来理解和推广，这样易于记忆不等式的结构特征，对 不等式等号成立的条件加深理解．
数学课件：2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明
≥
(
������
∑
������������)2
������=1
������
∑ ������������
,
当且仅当ai=λbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.
变形(2)
������=1
设
������
ai,bi(i=1,2,…,n)同号且不为零,则 ∑
������=1
������������ ������������
名师点拨记忆柯西不等式的一般形式,一是抓住其结构特点:左
边是平方和再开方的积,右边是积的和的绝对值;二是与二维形式
的柯西不等式类比记忆.
知识拓展柯西不等式的变形和推广:
变形(1) 设 ai,bi∈R,bi>0(i=1,2,…,n),
������
则∑
������=1
���������2��� ������������
=
������2 ������2
=
⋯
=
������������ ������������
时等号成立.
∴(a1b1+a2b2+…+anbn)2≤4. ∴-2≤a1b1+…+anbn≤2. ∴所求的最大值为2.
答案:C
1.一般形式的柯西不等式如何应用? 剖析:我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等问题, 但往往不能直接应用,需要对数学式子的形式进行变形,拼凑出与 一般形式的柯西不等式相似的结构,才能应用,因而适当变形是我 们应用一般形式的柯西不等式的关键,也是难点.我们要注意在应 用柯西不等式时,对于数学式子中数或字母的顺序要对比柯西不等 式中的数或字母的顺序,以便能使其形式一致,然后应用解题. 2.如何利用“1”? 剖析:数字“1”的利用非常重要,为了利用柯西不等式,除了拼凑应 该有的结构形式外,对数字、系数的处理往往起到某些用字母所代 表的数或式子所不能起的作用.这要求在理论上认识柯西不等式与 实际应用时二者达到一种默契,即不因为“形式”与“面貌”的影响而 不会用柯西不等式.
一般形式的柯西不等式
柯西不等式的证明
数学归纳法证明
首先证明 n=2 的情况，然后假设 n=k 时成立，推导出 n=k+1 时也成 立。
二次型的方法证明
将柯西不等式转化为二次型的形式， 利用二次型的基本性质进行证明。
02
柯西不等式的应用
在数学中的应用
证明不等式
柯西不等式是证明各种数学不等式的重要工 具，如均值不等式、几何均值-算术均值不 等式等。
广义形式的柯西不等式
总结词
广义形式的柯西不等式是在更广泛的函数空间中推广的柯西不等式，它适用于连 续函数和可积函数。
详细描述
广义形式的柯西不等式表述为，对于任意的非负可积函数$f(x)$和$g(x)$，有$int f(x) g(x) dx leq left( int f(x)^2 dx right)^{1/2} left( int g(x)^2 dx right)^{1/2}$。
用范围。
柯西不等式与其他数学知识的结合
柯西不等式与线性代数
柯西不等式在向量内积和矩阵运算中有 重要应用，研究其与线性代数的结合有 助于更深入理解线性代数的基本概念。
VS
柯西不等式与微积分
柯西不等式在微积分中也有广泛应用，如 函数极值、积分等，研究其与微积分的结 合有助于更深入理解微积分的基本思想。
一般形式的柯西不等式
目录
• 柯西不等式的定义 • 柯西不等式的应用 • 柯西不等式的推广 • 柯西不等式的局限 • 柯西不等式的进一步研究
01
柯西不等式的定义任意 的正实数序列 a1, a2, ..., an 和 b1, b2, ..., bn，有 (∑(ai^2)) * (∑(bi^2)) ≥ (∑(ai * bi))^2。
04
5.4一般形式的柯西不等式 课件(人教A版选修4-5)(2)
9 z
( x y z)
14 (
) (
)
14 4 6 12 36 当且仅当 y 2 x , z 3 x , 即 x 1 6 ,y 1 3 ,z 1 2 时 , 等号成立 .
课外练习:
1 在 ABC 中 , 设其各边长为 求证 : ( a b c )(
2 2 2
a , b , c , 外接圆半径为 1
2
R,
2
1
2
B sin
1
2
) 36 R C
sin A sin 2 .设 a , b , c 为正数 , 且 a b c 1 ,
求证 : ( a
1 a
) (b
2
1 b
) (c
2
1 c
)
2
100 3
3 .若 n 是不小于 2的正整数 , 试证 : 4 7 1 1 2 1 3 1 4 1 2n 1 1 2n 2 2
根据上面结果，你能猜想出一般形式的柯西不 等式吗？
猜想并证明 结论
猜想柯西不等式的一般形式
2 2 2 2 2 2 2
(a1 a2 an )(b1 b2 bn ) ≥ (a1b1 a2 b2 anbb ) ②
2 2 分析： A a 12 a 2 a n ， B a b a b a b 设 1 1 2 2 n n 2 2 2 C b1 b 2 b n ， 不 等 式 ② 就 是 A C ≥ B 2
构造二次函数 f ( x ) ( a 1 a 2 a n ) x 2 ( a 1 b1 a 2 b 2 a n b n ) x
一般形式的柯西不等式及排序不等式
巩固练习一、
[ 例 1] 1 1 设 x1，x2，„，xn 都是正数，求证： ＋ ＋„ x1 x2
1 n2 ＋x ≥ . n x1＋x2＋„＋xn
已知 a，b，c，d 为不全相等的正数，求证： 1 1 1 1 1 1 1 1 ＋ ＋ ＋ ＞ ＋ ＋ ＋ . a2 b2 c2 d2 ab bc cd da
[例 2]
π aA＋bB＋cC 在△ABC 中，试证： ≤ 3 a＋b＋c
[证明]
1 1 ∵a≥b>0，于是a≤b，
1 1 又 c>0，从而 ≥ ， bc ca 1 1 1 1 1 同理ca≥ab，从而bc≥ca≥ab. 又由于顺序和不小于乱序和，故可得 a5 b5 c5 b5 c5 a5 ＋ ＋ ≥ ＋ ＋ b3c3 c3a3 a3b3 b3c3 c3a3 a3b3 b2 c2 a2 1 1 1 ＝ 3＋ 3＋ 3(∵a2≥b2≥c2， 3≥ 3≥ 3) c a b c b a c2 a2 b2 1 1 1 ≥ 3＋ 3＋ 3＝ ＋ ＋ c a b c a b 1 1 1 ＝ ＋ ＋ . a b c 所以原不等式成立．
和 S4=a1b2+a2b3+a3b1=195
备注 乱序和
S5=a1b3+a2b1+a3b2=185 S6=a1b3+a2b2+a3b1=180 (最小值)
乱序和
反序和
答案:220 180
知识总结点拨
1.对排序不等式的证明的理解 对排序不等式的证明中,用到了“探究——猜想——检验—— 证明”的思维方法,这是探索新知识、新问题常用到的基本方 法,对于数组涉及的“排序”及“乘积”的问题,又使用了 “一一搭配”这样的描述,这实质上也是使用最接近生活常识
一般形式的柯西不等式
2 2 2 2 2 2
∴( a b ) ≥ (2ab)
2 2
2
2
2
2
∴ a b ≥ 2ab ≥ 2ab,
∴ a b ≥ 2ab
等号成立时当且仅当a b
2
2
( 2 )证 明 : ∵ ( a b )( 1 1 ) ≥ ( a b ) ,
2 2 2 2 2
∴ 2(a b ) (a b)
2 2
∴a b c d
ab bc cd da
例 2：已知 a , b , c , d 是不全相等的实数， 2 2 2 2 证明： a b c d ≥ a b b c c d d a .
证明 ( a b c d )( b c d (ab bc cd da )
2 2 2 2 2 2 2
解疑：
令 ( x1 , x 2 , x 3 ), ( y 1 , y 2 , y 3 ) ,
由于空间向量中 ≥ 也成立 .所以
( x1 x 2 x 3 )
2 2 2
2
2
2
( y 1 y 2 y 3 ) ≥ x1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 ,
定理 4： （一般形式的柯西不等式） ： 设 n 为大于 1 的自然数， x i , y i R ( i 1, 2 , 3,
( x1 x 2
2 2
, n ) ,则：
xn yn )
2
x n )( y 1 y 2
2
2
2
y n ) ( x1 y 1 x 2 y 2
2 2 2
2
2
2
2
∴( a b ) ≥ (2ab)
2 2
2
2
2
2
∴ a b ≥ 2ab ≥ 2ab,
∴ a b ≥ 2ab
等号成立时当且仅当a b
2
2
( 2 )证 明 : ∵ ( a b )( 1 1 ) ≥ ( a b ) ,
2 2 2 2 2
∴ 2(a b ) (a b)
2 2
∴a b c d
ab bc cd da
例 2：已知 a , b , c , d 是不全相等的实数， 2 2 2 2 证明： a b c d ≥ a b b c c d d a .
证明 ( a b c d )( b c d (ab bc cd da )
2 2 2 2 2 2 2
解疑：
令 ( x1 , x 2 , x 3 ), ( y 1 , y 2 , y 3 ) ,
由于空间向量中 ≥ 也成立 .所以
( x1 x 2 x 3 )
2 2 2
2
2
2
( y 1 y 2 y 3 ) ≥ x1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 ,
定理 4： （一般形式的柯西不等式） ： 设 n 为大于 1 的自然数， x i , y i R ( i 1, 2 , 3,
( x1 x 2
2 2
, n ) ,则：
xn yn )
2
x n )( y 1 y 2
2
2
2
y n ) ( x1 y 1 x 2 y 2
2 2 2
2
2
2
2