数学人教A选修45素材：目标导引 3二维形式的柯西不等式 一般形式的柯西不等式 含解析
数学·选修4-5(人教A版)课件：第三讲3.1-3.2一般形式的柯西不等式
4．一般形式的柯西不等式
定理 设 a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn 是实数， 则 (_a_21_＋__a_22＋__…__＋__a_2n_)_(b_21_＋__b_22＋__…__＋__b_2n_)_≥__(a_1_b_1_＋__a_2b_2_＋__…__＋__a_n_b_n)2 ，当且仅当 bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个实数 k，使 得 ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立．
左边＝ ab2＋ bc2＋ ac2·
ba2＋
bc2＋
ac2≥
ab·
ba＋
b c·
bc＋
c a·
ac2＝
(1＋1＋1)2＝9.
所以原不等式成立．
归纳升华 利用柯西不等式证明某些不等式时，有时需将表达式 适当地变形，因此必须善于分析题目的特征，根据题设条 件，利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结 合等方法，才能发现问题的突破口．
[(2－a)＋(2－b)]2－a2 a＋2－b2 b＝[( 2－a)2＋
a 2 b 2
(
2－b)2]
2－a
＋
2－b
≥
2－a· a ＋ 2－a
2－b·
b 2 2－b ＝(a＋b)2＝4.
所以 a2 ＋ b2 ≥
4
＝2，
2－a 2－b （2－a）＋（2－b）
所以原不等式成立．
(2)由柯西不等式知：
消化
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1：听懂看到≈认知获取； TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
TIP3：认知获取是学习的开始，而不是结束。
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式讲义含解析新人教A选修4_5_
一二维形式的柯西不等式1．二维形式的柯西不等式(1)定理1：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．(2)二维形式的柯西不等式的推论：(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d为非负实数)；a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R)；a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R)．2．柯西不等式的向量形式定理2：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α|·|β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．[注意] 柯西不等式的向量形式中α·β≤|α||β|，取等号“＝”的条件是β＝0或存在实数k，使α＝kβ.3．二维形式的三角不等式(1)定理3：x21＋y21＋x22＋y22≥(x1－x2)2＋(y1－y2)2(x1，y1，x2，y2∈R)．当且仅当三点P1，P2与O共线，并且P1，P2点在原点O异侧时，等号成立．(2)推论：对于任意的x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，有(x1－x3)2＋(y1－y3)2＋(x2－x3)2＋(y2－y3)2≥(x1－x2)2＋(y1－y2)2.事实上，在平面直角坐标系中，设点P1，P2，P3的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，根据△P1P2P3的边长关系有|P1P3|＋|P2P3|≥|P1P2|，当且仅当三点P1，P2，P3共线，并且点P1，P2在P3点的异侧时，等号成立．[例1] 已知θ为锐角，a ，b ∈R ＋，求证：a2cos2θ＋b2sin2θ≥(a ＋b )2.[思路点拨] 可结合柯西不等式，将左侧构造成乘积形式，利用“1＝sin 2θ＋cos 2θ”，然后用柯西不等式证明．[证明] ∵a2cos2θ＋b2sin2θ＝⎝⎛⎭⎪⎫a2cos2θ＋b2sin2θ(cos 2θ＋sin 2θ)≥⎝⎛⎭⎪⎫a cos θ·cos θ＋b sin θ·sin θ2＝(a ＋b )2，∴(a ＋b )2≤a2cos2θ＋b2sin2θ.利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件和所证不等式，把已知条件利用添项、拆项、分解、组合、配方、变量代换等，将条件构造成柯西不等式的基本形式，从而利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件．1．已知a 1，a 2，b 1，b 2为正实数．求证：(a 1b 1＋a 2b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a1b1＋a2b2≥(a 1＋a 2)2.证明：∵(a 1b 1＋a 2b 2)⎝⎛⎭⎪⎫a1b1＋a2b2＝[(a1b1)2＋(a2b2)2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a1b12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a2b22 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a1b1·a1b1＋a2b2·a2b22＝(a 1＋a 2)2. ∴原不等式成立． 2．设a ，b ，c 为正数，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2≥ 2(a ＋b ＋c )． 证明：由柯西不等式，得 a2＋b2·12＋12≥a ＋b ， 即2·a2＋b2≥a ＋b . 同理：2·b2＋c2≥b ＋c ， 2·a2＋c2≥a ＋c ， 将上面三个同向不等式相加得：2()a2＋b2＋ b2＋c2＋ a2＋c2≥2(a ＋b ＋c ) ∴ a2＋b2＋ b2＋c2＋a2＋c2≥ 2(a ＋b ＋c )． 3．设a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝2.求证：a22－a ＋b22－b ≥2.证明：根据柯西不等式，有[(2－a )＋(2－b )]⎝ ⎛⎭⎪⎫a22－a ＋b22－b＝[(2－a)2＋(2－b)2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－b 2≥⎝⎛⎭⎪⎫2－a ·a2－a ＋2－b ·b 2－b 2＝(a ＋b )2＝4.∴a22－a ＋b22－b ≥4(2－a)＋(2－b)＝2. ∴原不等式成立.[例2] 求函数y ＝3sin α＋4cos α的最大值．[思路点拨] 函数的解析式是两部分的和，若能化为ac ＋bd 的形式就能用柯西不等式求其最大值．[解] 由柯西不等式得(3sin α＋4cos α)2≤(32＋42)(sin 2α＋cos 2α)＝25， ∴3sin α＋4cos α≤5.当且仅当sin α3＝cos α4>0即sin α＝35，cos α＝45时取等号，即函数的最大值为5.利用柯西不等式求最值的注意点(1)变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；(2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以利用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；(3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一．4．已知2x 2＋y 2＝1，求2x ＋y 的最大值．解：∵2x ＋y ＝2×2x ＋1×y ≤(2)2＋12×(2x)2＋y2＝3×2x2＋y2＝3，当且仅当x ＝y ＝33时取等号． ∴2x ＋y 的最大值为 3.5．求函数y ＝x2－2x ＋3＋x2－6x ＋14的最小值． 解：y ＝(x －1)2＋2＋(3－x)2＋5，y 2＝(x －1)2＋2＋(3－x )2＋5＋2×[(x －1)2＋2][(3－x)2＋5]≥(x －1)2＋2＋(3－x )2＋5＋2×[(x －1)(3－x )＋10]＝[(x －1)＋(3－x )]2＋(7＋210)＝11＋210.当且仅当x －13－x ＝25，即x ＝32＋52＋5时等号成立．此时y min ＝11＋210＝10＋1.1．已知a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝1，则P ＝(ax ＋by )2与Q ＝ax 2＋by 2的大小关系是( ) A ．P ≤Q B ．P ＜Q C ．P ≥QD ．P ＞Q解析：选A 设m ＝(a x ，b y )，n ＝(a ，b)， 则|ax ＋by |＝|m·n |≤|m ||n |＝(ax)2＋(by)2·(a)2＋(b)2＝ax2＋by2·a ＋b ＝ ax2＋by2， ∴(ax ＋by )2≤ax 2＋by 2，即P ≤Q .2．若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a －b 的取值范围是( ) A ．[－25，2 5 ] B ．[－210，210 ]C ．[－10，10 ]D ．(－5，5)解析：选A (a 2＋b 2)[12＋(－1)2]≥(a －b )2， ∵a 2＋b 2＝10， ∴(a －b )2≤20. ∴－25≤a －b ≤2 5.3．已知x ＋y ＝1，那么2x 2＋3y 2的最小值是( ) A.56 B.65 C.2536D.3625解析：选B (2x 2＋3y 2)[(3)2＋(2)2]≥(6x ＋6y )2＝[6(x ＋y )]2＝6， 当且仅当x ＝35，y ＝25时取等号，即2x 2＋3y 2≥65.故2x 2＋3y 2的最小值为65.4．函数y ＝x －5＋26－x 的最大值是( ) A. 3 B. 5 C ．3D ．5解析：选B 根据柯西不等式，知y ＝1×x －5＋2×6－x ≤12＋22×(x －5)2＋(6－x)2＝5，当且仅当x ＝265时取等号．5．设xy >0，则⎝⎛⎭⎪⎫x2＋4y2⎝ ⎛⎭⎪⎫y2＋1x2的最小值为________．解析：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋y2≥x ·1x ＋2y ·y 2＝9，当且仅当xy ＝2时取等号． 答案：96．设a ＝(－2,1,2)，|b |＝6，则a ·b 的最小值为________，此时b ＝________. 解析：根据柯西不等式的向量形式，有|a ·b |≤|a |·|b |， ∴|a ·b |≤(－2)2＋12＋22×6＝18， 当且仅当存在实数k ， 使a ＝kb 时，等号成立． ∴－18≤a ·b ≤18， ∴a ·b 的最小值为－18， 此时b ＝－2a ＝(4，－2，－4)． 答案：－18 (4，－2，－4)7．设实数x ，y 满足3x 2＋2y 2≤6，则P ＝2x ＋y 的最大值为________． 解析：由柯西不等式得(2x ＋y )2≤[(3x )2＋(2y )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝(3x 2＋2y 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋12≤6×116＝11，当且仅当x ＝411，y ＝311时取等号，故P ＝2x ＋y 的最大值为11. 答案：118．已知x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝2.求证：1x ＋1y ≥2.证明：1x ＋1y ＝12(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝12[ (x)2＋(y)2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2 ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫x · 1x ＋y ·1y 2＝2，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧xy＝y x ，x ＋y ＝2时等号成立，此时x ＝1，y ＝1.所以1x ＋1y≥2.9．若x 2＋4y 2＝5，求x ＋y 的最大值及此时x ，y 的值． 解：由柯西不等式得[x 2＋(2y )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122≥(x ＋y )2，即(x ＋y )2≤5×54＝254，x ＋y ≤52.当且仅当x 1＝2y12，即x ＝4y 时取等号．由⎩⎪⎨⎪⎧x2＋4y2＝5，x ＝4y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－12(舍去)．∴x ＋y 的最大值为52，此时x ＝2，y ＝12.10．求函数f (x )＝3cos x ＋4 1＋sin2x 的最大值，并求出相应的x 的值． 解：设m ＝(3,4)，n ＝(cos x ，1＋sin2x)， 则f (x )＝3cos x ＋4 1＋sin2x ＝|m ·n |≤|m |·|n |＝cos2x ＋1＋sin2x ·32＋42 ＝52，当且仅当m ∥n 时，上式取“＝”．此时，3 1＋sin2x－4cos x＝0.解得sin x＝75，cos x＝325.故当sin x＝75，cos x＝325时．f(x)＝3cos x＋4 1＋sin2x取最大值5 2.。
人教A版高中数学选修4-5第3讲 2 一般形式的柯西不等式名师公开课市级获奖课件(38张)
3．已知 a，b，c 为正实数，且 a＋2b＋3c＝9，求 3a＋ 2b ＋ c的最大值________．
解析：
3a＋ 2b＋ c
1 ＝ 3 a＋ 2b＋ 3c 3 ≤
1 3 ＋ 1 ＋ a＋2b＋3c 3
＝ 39，故最大值为 39.
答案：
征，构造两组数的积的形式，然后以柯西不等式求解即可．
数学 选修4-5
第三讲 柯西不等式与排序不等式
预习学案 课堂学案 课后练习
[ 解题过程]
＝ ≥
a2 b2 c2 ＋ ＋ ∵ (a＋b＋c) b c a
a 2 b 2 c 2 2 2 2 ＋ ＋ · [( b ) ＋ ( c ) ＋ ( a ) ] c a b a b c 2 · b＋ · c＋ · a b c a
然后结合柯西不等式处理．
数学 选修4-5
第三讲 柯西不等式与排序不等式
预习学案 课堂学案 课后练习
[ 解题过程]
12x＋22x＋„＋n－12x＋a· n2x ∵f(2x)＝lg n
12x＋22x＋„＋n－12x＋a· n2x ∴要证 f(2x)≥2f(x)， 只要证 lg n 1x＋2x＋„＋n－1x＋a· nx ≥2lg ， n 12x＋22x＋„＋n－12x＋a· n2x 即证 n
解析： 根据已知条件和柯西不等式有 (x2＋y2＋z2)(12＋42＋32)≥(x＋4y＋3z)2＝4， 4 2 所以 x ＋y ＋z ≥ ＝ ， 26 13
2 2 2
x y z 1 4 3 当且仅当 ＝ ＝ ，即 x＝ ，y＝ ，z＝ 时， 1 4 3 13 13 13 2 x ＋y ＋z 的最小值是 . 13
人教版高中数学A版选修4-5 第三讲3.1二维形式的柯西不等式课程教学设计
二维形式的柯西不等式1．教学目标知识与技能（1）认识二维形式的柯西不等式，了解它的结构特征,并理解其几何意义.（2）会利用二维形式柯西不等式进行简单证明及会求简单最值.（3）知道一般形式的柯西不等式.过程与方法（1）理解通过讨论、探究推导二维形式柯西不等式的过程,体会从几何到代数的数学研究一般方法.（2）体验二维形式柯西不等式的几种重要证明方法。
如借助平面向量，从数量积角度推出二维形式的柯西不等式的向量形式，给出二维柯西不等式的几何意义等.（3）体会运用柯西不等式解决一些简单问题的一般方法——建立具体问题与柯西不等式之间的联系，经过恰当变形，以柯西不等式为依据证明具体问题中的不等关系. 逐步学会化归转化思想的运用技术。
情感、态度与价值观（1）培养学生自主学习与合作学习相结合的学习方式，通过研究二维形式的柯西不等式的向量形式和三角不等式的几何意义，体会数形结合的思想，逐步提高观察、归纳和主动获取知识的能力，培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神。
（2）通过柯西不等式的应用，使学生体会运用经典不等式的一般方法——发现并建立具体问题与经典不等式之间的联系，品尝成功的喜悦，激发学生学习数学的热情，提高学生的学习兴趣。
（3）通过对二维形式和向量形式的柯西不等式探究和分析,体会事物间的辩证统一，感受数学的形式美。
2 学情分析柯西不等式人教A版选修4－5不等式选讲中第三讲的内容，是学生学习平均值不等式后的又一个经典不等式，在教材中起着承前启后的广泛的作用：一方面可以巩固学生对不等式的基本证明方法的掌握，另一方面又为后面学习三角不等式、排序不等式打下了基础。
本节课主要研究二维形式的柯西不等式、柯西不等式的向量形式和二维形式的三角形不等式，以及它们的几何背景。
二维形式的柯西不等式的代数表示形式与向量表示形式，是从数与形两个角度加以认识的，通过互推可以体会两种表现形式的等价关系，也为后面引出三维和一般形式的柯西不等式埋下伏笔。
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式二一般形式的柯西不等式讲义含解析新人教A版选修4_5
二 一般形式的柯西不等式与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方．在使用时，关键是构造出符合柯西不等式的结构形式．[例1] 设x 1，x 2，…，x n 都是正数，求证：x 1＋x 2＋…＋x n ≥x 1＋x 2＋…＋x n.[思路点拨] 根据一般柯西不等式的特点，构造两组数的积的形式，利用柯西不等式证明．[证明] ∵(x 1＋x 2＋…＋x n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x n＝[(x 1)2＋(x 2)2＋…＋(x n )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1x 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 22＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x n 2≥ ⎝⎛⎭⎪⎫x 1·1x 1＋x 2·1x 2＋…＋x n ·1x n 2＝n 2，∴1x 1＋1x 2＋…＋1x n ≥n 2x 1＋x 2＋…＋x n.柯西不等式的结构特征可以记为：(a 1＋a 2＋…＋a n )·(b 1＋b 2＋…＋b n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2.其中a i ，b i ∈R ＋(i ＝1,2，…，n )，在使用柯西不等式时要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确地配凑出公式两侧的数是解决问题的关键．1．设a ，b ，c 为正数，且不全相等． 求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a >9a ＋b ＋c. 证明：构造两组数a ＋b ，b ＋c ，c ＋a ；1a ＋b，1b ＋c，1c ＋a，则由柯西不等式得(a ＋b ＋b ＋c ＋c ＋a )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥(1＋1＋1)2，①即2(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥9，于是2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ≥9a ＋b ＋c. 由柯西不等式知，①中有等号成立⇔a ＋b1a ＋b＝b ＋c1b ＋c＝c ＋a1c ＋a⇔a ＋b ＝b ＋c ＝c ＋a ⇔a ＝b ＝c .因为a ，b ，c 不全相等，故①中等号不成立， 于是2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a >9a ＋b ＋c.[例2] (1)＋求 1x ＋ 4y ＋ 9z的最小值；(2)设2x ＋3y ＋5z ＝29，求函数μ＝2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6的最大值． [思路点拨] (1)利用1x ＋4y ＋9z＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋98(x ＋y ＋z )． (2)利用(2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6)2＝ (1×2x ＋1＋1×3y ＋4＋1×5z ＋6)2. [解] (1)∵x ＋y ＋z ＝1， ∴1x ＋4y ＋9z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z (x ＋y ＋z )；≥⎝⎛⎭⎪⎫1x·x ＋2y·y ＋3z·z 2＝(1＋2＋3)2＝36. 当且仅当x ＝y 2＝z3，即x ＝16，y ＝13，z ＝12时取等号．所以1x ＋4y ＋9z的最小值为36.(2)根据柯西不等式，有(2x ＋1×1＋3y ＋4×1＋5z ＋6×1)2≤[(2x ＋1)＋(3y ＋4)＋(5z ＋6)]·(1＋1＋1) ＝3×(2x ＋3y ＋5z ＋11) ＝3×40＝120.故2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6≤230， 当且仅当2x ＋1＝3y ＋4＝5z ＋6， 即x ＝376，y ＝289，z ＝2215时等号成立．此时μmax＝230.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．2．已知x ，y ，z ∈R ，且x －2y ＋2z ＝5，则(x ＋5)2＋(y －1)2＋(z ＋3)2的最小值是( ) A ．20 B ．25 C ．36D ．47解析：选C ∵[(x ＋5)2＋(y －1)2＋(z ＋3)2][12＋(－2)2＋22]≥[(x ＋5)＋(－2)(y －1)＋2(z ＋3)]2＝324，当且仅当x ＋51＝y －1－2＝z ＋32，即x ＝－3，y ＝－3，z ＝1时取等号．故(x ＋5)2＋(y －1)2＋(z ＋3)2的最小值是36.3．若2x ＋3y ＋4z ＝11，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为________． 解析：∵2x ＋3y ＋4z ＝11，∴由柯西不等式，得 (x 2＋y 2＋z 2)(4＋9＋16)≥(2x ＋3y ＋4z )2， 故x 2＋y 2＋z 2≥12129，当且仅当x 2＝y 3＝z 4，即x ＝2229，y ＝3329，z ＝4429时取等号．答案：121294．把一根长为12 m 的细绳截成三段，各围成三个正方形．问：怎样截法，才能使围成的三个正方形面积之和S 最小，并求此最小值．解：设三段绳子的长分别为x ，y ，z ，则x ＋y ＋z ＝12，三个正方形的边长分别为x 4，y4，z4均为正数，三个正方形面积之和：S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z 42＝116(x 2＋y 2＋z 2)． ∵(12＋12＋12)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋y ＋z )2＝122， 即x 2＋y 2＋z 2≥48.从而S ≥116×48＝3. 当且仅当x 1＝y 1＝z1时取等号，又x ＋y ＋z ＝12， ∴x ＝y ＝z ＝4时，S min ＝3.故把绳子三等分时，围成的三个正方形面积之和最小，最小面积为3 m 2.1．已知a 2＋b 2＋c 2＋d 2＝5，则ab ＋bc ＋cd ＋ad 的最小值为( ) A ．5 B ．－5 C ．25D ．－25解析：选B (ab ＋bc ＋cd ＋ad )2≤(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)·(b 2＋c 2＋d 2＋a 2)＝25，当且仅当a ＝b ＝c ＝d ＝±52时，等号成立． ∴ab ＋bc ＋cd ＋bd 的最小值为－5.2．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A (a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 21＋a 22＋…＋a 2n )·(x 21＋x 22＋…＋x 2n )＝1×1＝1，当且仅当x 1a 1＝x 2a 2＝…＝x n a n＝1时取等号．∴a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是1.3．已知x ，y ，z ∈R ＋，且1x ＋2y ＋3z ＝1，则x ＋y 2＋z3的最小值是( )A ．5B ．6C ．8D ．9解析：选 D x ＋y 2＋z 3＝1x ＋2y ＋3z ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2＋z 3≥1x·x ＋2y·y2＋3z·z 32＝9，当且仅当1x ＝2y ＝3z ＝13时等号成立．4．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝( )A.14B.13C.12D.34解析：选C 由柯西不等式得，(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝400，当且仅当a x ＝b y ＝c z ＝12时取等号，因此有a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12.5．已知2x ＋3y ＋z ＝8，则x 2＋y 2＋z 2取得最小值时，x ，y ，z 形成的点(x ，y ，z )＝________. 解析：由柯西不等式(22＋32＋12)(x 2＋y 2＋z 2)≥(2x ＋3y ＋z )2，即x 2＋y 2＋z 2≥327. 当且仅当x 2＝y3＝z 时等号成立．又2x ＋3y ＋z ＝8， 解得x ＝87，y ＝127，z ＝47，故所求点为⎝ ⎛⎭⎪⎫87，127，47. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫87，127，47 6．设a ，b ，c 为正数，则(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b＋36c 的最小值是________．解析：(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b＋36c＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6c 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·2a ＋b ·3b ＋c ·6c 2＝(2＋3＋6)2＝121.当且仅当a 2＝b 3＝c6＝k (k 为正实数)时，等号成立．答案：1217．已知实数x ，y ，z 满足3x ＋2y ＋z ＝1，则x 2＋2y 2＋3z 2的最小值为________． 解析：由柯西不等式，得[x 2＋(2y )2＋(3z )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋(2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥(3x ＋2y ＋z )2＝1，所以x 2＋2y 2＋3z 2≥334，当且仅当x 3＝2y 2＝3z 13，即x ＝934，y ＝334，z ＝134时，等号成立，所以x 2＋2y 2＋3z 2的最小值为334.答案：3348．在△ABC 中，设其各边长为a ，b ，c ，外接圆半径为R ，求证：(a 2＋b 2＋c 2)⎝⎛⎭⎪⎫1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C ≥36R 2.证明：∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，∴(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C≥⎝⎛⎭⎪⎫a sin A ＋b sin B ＋c sin C 2＝36R 2.9．在直线5x ＋3y ＝2上求一点，使(x ＋2y －1)2＋(3x －y ＋3)2取得最小值． 解：由柯西不等式得(22＋12)[(x ＋2y －1)2＋(3x －y ＋3)2]≥[2(x ＋2y －1)＋(3x －y ＋3)]2＝(5x ＋3y ＋1)2＝9.∴(x ＋2y －1)2＋(3x －y ＋3)2≥95.当且仅当x ＋2y －1＝2(3x －y ＋3) 即5x －4y ＋7＝0时取等号．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋3y ＝2，5x －4y ＝－7，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1335，y ＝97.故所求点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1335，97.10．已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c 为正实数，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.解：(1)因为f (x ＋2)＝m －|x |， 所以f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m .由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }， 又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1. (2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c＝1，所以a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9.。
高二数学,人教A版,选修4-5第3讲, 二维形式的柯西不等式,课件
【答案】 B
[小组合作型]
二维柯西不等式的向量形式及应用
已知 p，q 均为正数，且 p3＋q3＝2.求证：p＋q≤2.
【精彩点拨】 为了利用柯西不等式的向量形式，可分别构造两个向量．
【自主解答】 p ＋q
2 2
设
1 1 3 3 m＝p2，q2，n＝(p2，q2)，则
3 1 3 1 ＝p2p2＋q2q2＝|m· n|≤|m||n|
＝ p3＋q3· p＋q＝ 2 p＋q. 又∵(p＋q)2≤2(p2＋q2)， p＋q2 ∴ 2 ≤p2＋q2≤ 2 p＋q， p＋q2 ∴ 2 ≤ 2· p＋q，则(p＋q)4≤8(p＋q)． 又 p＋q>0， ∴(p＋q)3≤8，故 p＋q≤2.
使用二维柯西不等式的向量形式证明不等式，关键是合理构造出两个向 量．同时，要注意向量模的计算公式|a|＝ x2＋y2对数学式子变形的影响．
[再练一题] 1．若本例的条件中，把“p3＋q3＝2”改为“p2＋q2＝2”，试判断结论是否 仍然成立？
【解】 设 m＝(p，q)，n＝(1,1)， 则 p＋q＝p· 1＋q· 1＝|m· n|≤|m|· |n|＝ p2＋q2· 12＋12. 又 p2＋q2＝2. ∴p＋q≤ 2· 2＝2. 故仍有结论 p＋q≤2 成立.
一
二维形式的柯西不等式
1．认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义．(难点) 2．通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题．(重点)
[基础· 初探] 教材整理 二维形式的柯西不等式
阅读教材 P31～P36，完成下列问题． 内容 代数形式 等号成立的条件 若 a，b，c，d 都是实数，则(a2 ＋b2)· (c2＋d2)≥ (ac＋bd)2 当且仅当 ad＝bc 时，等号成立
5.4.1 二维柯西不等式 课件(人教A版选修4-5)
定理2: （柯西不等式的向量形式） 设 , 为平面上的两个向量, 则 | || || |
其中等号当且仅当两个向量共线时成立.
例1 (1) 已知a2 +b2 =1, x2 +y2 =1,求证:|ax+by|≤1
(2) 已知a,b为实数,求证： (a4 +b4) (a2 +b2)≥ (a3 +b3)2
定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2 +b2)(c2 +d2)≥(ac +bd)2 当且仅当ad =bc时,等号成立. 二维形式的柯西不等式的变式: 你能证 明吗？
(1) a b c d ac bd
2 2 2 2
( 2) a b c d ac bd
2 2 2 2 2
2
思考:一般地, 如图所示,结论是什么?
定理3(二维形式的三角形不等式) ( x1 x3 ) ( y1 y3 ) ( x2 x3 ) ( y2 y3 )
2 2 2 2
( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 例4 设 , , 为平面上的向量, 则
(3) a b c d ac bd (4)柯西不等式的向量形式 . (5)二维形式的三角形不等式
2 2 2 2
( x1 x3 ) ( y1 y3 ) ( x2 x3 ) ( y2 y3 )
2 2 2
2
例3 设a , b, c , d R, 证明 : a b c d (a c ) (b d )
2 2 2 2 2 2
人教A版选修4-5 第三章 一 二维形式的柯西不等式 课件(29张)
【解】 (1)设 m＝coas θ，sinb θ，n＝(cos θ，sin θ)，
则|a＋b|＝coas
θ·cos
θ＋sinb
θ·sin
θ
＝|m·n|≤|m||n|
＝
a cos
θ2＋sinb
θ2·
1
＝ coas22θ＋sibn22θ，
所以(a＋b)2≤coas22θ＋sibn22θ.
栏目 导引
第三讲 柯西不等式与排序不等式
利用柯西不等式求最值 (1)先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解 的先决条件； (2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当 添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解， 这也是运用柯西不等式解题的技巧； (3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目 的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一 致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不 等式的方法也是常用技巧之一．
栏目 导引
第三讲 柯西不等式与排序不等式
已知 a，b∈R＋，且 a＋b＝1，求证：(ax＋by)2 ≤ax2＋by2. 证明：设 m＝( ax， by)，n＝( a， b)， 则|ax＋by|＝|m·n|≤|m||n| ＝ （ ax）2＋（ by）2· （ a）2＋（ b）2 ＝ ax2＋by2· a＋b ＝ ax2＋by2， 所以(ax＋by)2≤ax2＋by2.
栏目 导引
第三讲 柯西不等式与排序不等式
已知 a，b 都是正实数，且 ab＝2， 求证：(1＋2a)(1＋b)≥9. 证明：因为 a，b 都是正实数， 所以由柯西不等式可知(1＋2a)(1＋b) ＝[12＋( 2a)2][12＋( b)2]≥(1＋ 2ab)2， 当且仅当 a＝1，b＝2 时取等号． 因为 ab＝2， 所以(1＋ 2ab)2＝9， 所以(1＋2a)(1＋b)≥9.
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一 二维形式的柯西不等式 二 一般形式的柯西不等式
一览众山小
诱学·导入
材料：柯西不等式
∑∑==n
i i
n
i i b
a 1
2
1
2≥(
∑=n
i i i b a 1
)
2
是柯西在1931年研究数学分析中的“留数”
问题时得到的.表面上看，这一不等式并不难理解，也很容易验证它的正确性，特别是它的二阶形式(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac+bd)2，几乎是不证自明的.但是，我们能看出这一平凡无奇的不等式成立，是因为事先已经知道两边是什么式子，而最先发现这样的不等关系，则是一个创造的过程，并不是那么容易的.
问题：为何要将柯西不等式列为“不等式选讲”的重要内容？
导入：柯西不等式的几种形式都有较为深刻的背景和广泛的应用.向量形式|α||β|≥|α·β|不仅直观地反映了这一不等式的本质，而且和物理学中的矢量、高等数学中的内积空间、赋范空间内在地联系在一起；一般形式
∑∑==n
i i
n i i b
a 1
2
1
2≥(
∑=n
i i
i b
a 1
)2有一个推广形式:(a 1p +a 2p +…
+a np )p
1(b 1q +b 2q +…+b n q )
q
1≥a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n (
q
p 1
1+=1)（该不等式称为赫尔德（Holder ）不等式，当p=q=2时，即为柯西不等式），是数学分析中最有用的不等式之一.此外，平面三角不等式是柯西不等式的等价形式，它的推广形式
∑∑∑===+≥
+
n
i i i
n
i i
n
i i
y x
y
x
1
21
21
2)(（闵
可夫斯基不等式）也是数学分析中的经典不等式.所以将柯西不等式列为“不等式选讲”的重要内容，正是看中它的这一数学背景. 温故·知新
1.我们知道绝对值|a|有着很明确的几何意义，即数轴上坐标为a 的点到原点的距离.那么不等式|x-c|+|x-b|≥a 的几何意义是什么呢？ 答：不等式|x-c|+|x-b|≥a 的解可以直接理解为数轴上满足到坐标为c 的点的距离与到坐标为b 的点的距离之和大于等于a 的点的坐标，而上述距离之和的最小值显然为|b-c|（在c ，b 之间的点取到），因此，不等式的解取决于|b-c|与a 的大小关系.用类似的方法也不难证明|a-b|≤|a -c|+|c-b|，实际上只需要注意到a ，b ，c 在数轴上的位置关系即可.利用绝对值的几何意义，可以很好地证明和求解一些基本的含绝对值的不等式.
2.任意两个向量α,β的夹角<α,β>的余弦值是什么？ 答：任意两个向量α，β的夹角<α,β>的余弦cos<α,β>=|
|||βαβ
α••.。