最值问题中一个基本的模型——探讨线段和最小值问题

最值问题中一个基本的模型——探讨线段和最小值问题
在学习了作轴对称图形之后，人教版八年级上册P42，有这样一个问题：
这种模型就是著名的“将军饮马”问题：
解决方法如上面图（2），作点B（点A也行）关于直线l的对称点B′,连接A B′交直线l于点C，则点C就是要找的使输气管道最短的位置。

其原理就是“三角形任意两边之和大于第三边”(北师大版七下第五章1 23页第5题类似)。

求两线段之和最小是最值问题中很基本的一个模型，一般已知两定点一动点，动点在某条定线上，两定点在定线同侧。

求解步骤为：①利用轴对称作其中任一定点关于定线的对称点；②连接对称点和另外一个定点，交定直线于某点，此点即为所求；③利用勾股定理等知识求解算出答案。

这一类问题也是当今中考的热点题型之一，通常会以角、三角形、四边形、圆、坐标轴、抛物线为载体出题。

还有一种类型是固定长度线段MN在直线l上滑动，求AM+MN+BN 的最小值。

这时需平移BN（或AM），转化为求解决，如下图所示．
平移NB至MB＇转化为轴对称模型
本文讲练结合，对线段和最小值问题的原理、常见题型及解法思路层层剖析，后面附有练习题和配套答案，力求能使大家熟练掌握这种求最值的方法。

【典例】
1、如下图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为_______。

解析：如下图，过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于E，连接CE，此时DE+CE=DE+EC′=DC′的值最小．
连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45°，∴∠CBC′=90°，∴BC′⊥B C，∠BCC′=∠BC′C=45°，
∴BC=BC′=2，∵D是BC边的中点，∴BD=1，根据勾股定理可得DC′=√5，故答案为：√5.
2、如下图，在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.
解析：因为BQ是定值，所以求△PBQ周长的最小值就是在AC上求一点P，使PB+PQ的值最小即可，依然是标准的轴对称模型，如果你能这样考虑，恭喜你答对了，下面就按照此类模型的标准解法做就行了。

如下图，因为点B关于AC的对称点是D点，所以连接DQ，与AC的交点P就是满足条件的点DQ = PD+PQ = PB+PQ，故DQ的长就是PB+PQ的最小值，在直角△CDQ中，CQ = 1 ，CD = 2，根据勾股定理，得，DQ = √5
3、如下图，两条公路OA、OB相交，在两条公路的夹角中有一个油库，设为点P，如在两条公路上各设置一个加油站，，请你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短。

解析：这是一个实际问题，需要把它转化为数学问题，经过分析，知道此题是求运油车所走路程最短，OA与OB相交，点P在∠AOB内部，通常我们会用轴对称模型，分别做点P关于直线OA和OB的对称点P ₁、P₂，连结P₁P₂分别交OA、OB于C、D，C、D两点就是使运油车所走路程最短的地点.
4、如下图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？
（类似的问题在北师大版8下第三章90页第18题，课本上还多一问：桥建在何处才能使A、B到桥的距离相等？你怎么回答？）
作法：设a、b的距离为h。

①把点B竖直向上平移h个单位得到点B'；
②连接AB'交a于C；
③过C作CD⊥b垂足为D；
④连接BD。

证明：∵BB'∥CD且BB'＝CD，
∴四边形BB'CD是平行四边形，∴CB'＝BD
∴AC＋CD＋DB＝AC＋CB'＋B'B＝AB'＋B'B
在a上任取一点C'，作C'D'，连接AC'、D'B，C'B'
同理可得AC'＋C'D'＋D'B＝AC'＋C'B'＋B'B
而AC'＋C'B'>A B'
∴AC＋CD＋DB最短。

点评：本题是研究AC＋CD＋DB最短时的C、D的取法，而ＣＤ是定值，所以问题集中在研究AC＋DB最小上。

但AC、DB不能衔接，可将BD平移B＇C处，则AC＋DB可转化为AC＋CB'，要使AC＋CB'最短，显然，A、C、B'三点要在同一条直线上。

讲这么多了，该一试身手了
【强化练习】
1、如下图，在等边△ABC中，AB = 6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，且AE = 2，求ME+MC的最小值。

2、如下图，在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n =______时，AC + BC的值最小．
3、如下图，一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．
（1）求该函数的解析式；
（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．
4、如下图，A、B是直线a同侧的两定点，定长线段PQ在a上平行移动，问PQ移动到什么位置时，AP+PQ+QB的长最短？
【答案】
1、因为点C关于直线AD的对称点是点B，所以连接BE，交AD于点M，则ME+MD最小，如下图，过点B作BH⊥AC于点H，则EH = AH –AE = 3 –2 = 1，根据勾股定理可得BH = 3√3，在直角△B HE中，可求得BE = 2√7
2、点C（1，n），说明点C在直线x=1上，所以作点A关于直线x= 1的对称点A'，连接A'B，交直线x=1于点C，则AC+BC的值最小，设直线A'B的解析式为y=kx+b，则-2=-k+b，
2=4k+b，解：k = (4/5) b = - (6/5) 所以：y = (4/5)x-(6/5)
当x = 1时，y = -(2/5) 故当n = -(2/5)时，AC+BC的值最小
3、(1)由题意得：0 = 2x+b 4 = b 解得 k = -2，b= 4，所以y = -2x+4
(2)如下图，作点C关于y轴的对称点C'，连接C'D，交y轴于点P，则C'D = C'P+PD = PC+PD
C'D就是PC+PD的最小值，连接CD，则CD = 2，CC' = 2，在直角△C'CD中，根据勾股定理
C'D = 2√2 求直线C'D的解析式，由C'(-1，0)，D(1，2)
所以，有0 = -k+b 2 = k+b
解得 k = 1，b = 1，所以y = x+1 当x = 0时，y =1，则P(0，1)
4、作法：(假设P'Q'就是在直线L上移动的定长线段)
1)过点B作直线L的平行线,并在这条平行线上截取线段BB',使它等于定长P'Q'；
2)作出点A关于直线L的对称点A'，连接A'B'，交直线L于P；
3)在直线L上截取线段PQ=P'Q..
则此时AP+PQ+BQ最小.
略证：由作法可知PQ=P'Q'=BB'，四边形PQBB'与P'Q'BB'均为平行四边形.
下面只要说明AP+BQ
点A与A'关于直线L对称，则AP=A'P,AP'=A'P'.
故:AP+BQ=A'P+B'P=A'B'; AP'+BQ'=A'P'+B'P'.
显然,A'B'。