山东省烟台市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题(含答案)

山东省烟台市2019-2020学年度第二学期期末学业水平诊断高一数学注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟。

2.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰。

超出 答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3.答卷前将密封线内的项目填写清楚。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数z 满足(1i)i z −=(i 为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第一枚硬币正面向上”，设事件B =“第二枚硬币正面向上”，则 A.事件A 与B 互为对立事件 B.事件A 与B 为互斥事件 C.事件A 与事件B 相等D.事件A 与B 相互独立3.为了解疫情防控延迟开学期间全区中小学线上教学的主要开展形式，某课题组面向各学校开展了一次随机调查，并绘制得到如下统计图，则采用“直播+录播”方式进行线上教学的学校占比约为A.22.5%B.27.5%C.32.5%D.37.5%4.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 222C =A.2π B.3π C.4π D.6π 5.在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A.3144AB AC −B.1344AB AC −C.3144AB AC +D.1344AB AC +A16.某市从2017年秋季入学的高一学生起实施新高考改革，学生需要从物理、化学、生物、政治、历史、地理六门课中任选3门作为等级考科目.已知该市高中2017级全体学生中，81%选考物理或历史，39%选考物理，51%选考历史，则该市既选考物理又选考历史的学生数占全市学生总数的比例为 A.9%B.19%C.59%D.69%7.已知三条不重合的直线,,m n l ，三个不重合的平面,,αβγ，则 A.若//m n ，n α⊂，则//m α B.若l α⊥，m β⊂，l m ⊥，则//αβ C.若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=，则l γ⊥ D.若m α⊂，n α⊂，//m β，//n β，则//αβ8.人的眼皮单双是由遗传自父母的基因决定的，其中显性基因记作B ，隐性基因记作b ；成对的基因中，只要出现了显性基因，就一定是双眼皮（也就是说，“双眼皮”的充要条件是“基因对是,BB bB 或Bb ”）.人的卷舌与平舌（指是否能左右卷起来）也是由一对基因对决定的，分别用,D d 表示显性基因、隐性基因，基因对中只要出现了显性基因D ，就一定是卷舌的.生物学上已经证明：控制不同性状的基因遗传时互不干扰.若有一对夫妻，两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是BbDd ，不考虑基因突变，他们的孩子是单眼皮且卷舌的概率为 A.116 B.316 C.716 D.916二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分。

9.下面关于复数的四个命题中，真命题是 A.若复数z ∈R ，则z ∈RB.若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈RC.若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R D.若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =10.给定一组数5,5,4,3,3,3,2,2,2,1，则A.平均数为3B.标准差为85C.众数为2和3D.第85百分位数为4.511.如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，点P 为线段1B C 上一动点，则 A.直线1BD ⊥平面11A C D B.异面直线1B C 与11A C 所成角为45 C.三棱锥11P A DC −的体积为定值D.平面11A C D 与底面ABCD 的交线平行于11A C12.已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1234,,,；乙罐中有五个相同的小球，标号为1235,6,,,.现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A =“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B =“抽取的两个小球标号之积大于8”，则 A.事件A 发生的概率为12B.事件AB 发生的概率为1120 C.事件A B 发生的概率为25D.从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为15三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若向量a (1,1)=，b (1,2)=，且()λ−⊥a b b ，则实数λ的值为14.某工厂有,,A B C 三个车间，A 车间有600人，B 车间有500人.若通过比例分配的分层随机抽样方法得到一个样本量为30的样本，其中B 车间10人，则样本中C 车间的人数为15.已知某运动员每次投篮命中的概率为0.6，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:在R 软件的控制平台，输入“sample(0:999,50,replace=F)”,按回车键，得到0999范围内的50个不重复的整数随机数,指定0,1,2,3,4,5表示命中，6,7,8,9表示未命中，再以每个随机整数（不足三位的整数，其百位或十位用0补齐）为一组，代表三次投篮的结果，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为16.已知三棱锥P ABC −内接于半径为5的球，90ACB ∠=,7AC =,15BC =,则三棱锥P ABC −体积的最大值为四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

DCEF BAP17.（10分）已知点(,2)A m ，(1,1)B ，(2,4)C . （1）若CA CB +最小，求实数m 的值；（2）若CA 与CB夹角的余弦值为5，求实数m 的值.18.（12分）已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos 3c A a C a +=. （1）求ab的值； （2）若1a =，c =，求ABC ∆外接圆的面积.19.（12分）某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为33,54；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为22,35；甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. （1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ （2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.20．（12分）在三棱锥P ABC −中，,,D E F 分别为棱,,AB CP AC 的中点. （1）求证：//PA 平面DEF ；（2）若面PAC ⊥底面ABC ，BC AC ⊥，ACP ∆为等边三角形，求二面角E FD B −−的大小.21．（12分）为了解某市家庭用电量的情况，该市统计部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：kW •h ），并将得到的数据按如下方式分为9组：[0,40),[40,80),,[320,360]，绘制得到如下的频率分布直方图：0.00050.0010.0015x（1）试估计抽查样本中用电量在[160,200)的用户数量；（2）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使75%的居民缴费在第一档，20%的居民缴费在第二档，其余5%的居民缴费在第三档，试基于统计数据确定第二档月均用电量的范围（计算百分位数时，结果四舍五入取整数；范围用左开右闭区间表示）；（3）为了解用户的具体用电需求，统计部门决定在样本中月均用电量为[0,40)和[320,360]的两组居民用户中随机抽取两户进行走访，求走访对象来自不同分组的概率.22.（12分）如图，四边形ABCD 是圆柱1OO 的轴截面，点P 为底面圆周上异于,A B 的点. （1）求证：PB ⊥平面PAD ；（2）若圆柱的侧面积为2π，体积为π，点Q 为线段DP上靠近点D 的三等分点，是否存在一点P 使得直线AQ 与平面BDP 所成角的正弦值最大？若存在，求出相应的 正弦值，并指出点P 的位置；若不存在，说明理由.山东省烟台市2019-2020学年度第二学期期末学业水平诊断高一数学参考答案一、单项选择题1.B2.D3.B4.D5.A6. A7.C8.B 二、多项选择题9.AC 10.AC 11.ACD 12.BC 三、填空题13.35 14. 815. 0.46 16. 3 四、解答题17.解：（1）由题意，()2,2CA m =−−，()1,3CB =−−，于是()3,5CA CB m +=−−， ……………………………………………2分 所以(CA CB m +=……………………………………………3分所以CA CB +的最小值为5，此时3m =； …………………………………………………………5分（2）由cos ,(CA CB CA CB CA CBm <>==⋅， ……………………8分得5=， 化简得28480m m +−=，解得4m =或12m =−. ………………………10分 18.解：（1）因为cos cos 3c A a C a +=，由余弦定理得222222322b c a a b c ca a bc ab+−+−+=， ………………………2分 即3b a =，所以13a b =； ……………………………………4分（2）因为1a =，c =3b =，所以2221962cos 22133a b c C ab +−+−===⨯⨯， ……………………………………6分所以sin C =…………………………………………………8分DCEFBA P由正弦定理得2sin 5cR C===， …………………………10分所以222710S R πππ===. ………………………………………12分 19.解：（1）设1A =“甲在第一轮比赛中胜出”，2A =“甲在第二轮比赛中胜出”，1B =“乙在第一轮比赛中胜出”，2B =“乙在第二轮比赛中胜出”，则12A A =“甲赢得比赛”，1212322()()()535P A A P A P A ==⨯=. ………………2分12B B =“乙赢得比赛”，1212323()()()4510P B B P B P B ==⨯=. ………………4分因为23510>，所以派甲参赛获胜的概率更大. ……………………………6分（2）由（1）知，设C =“甲赢得比赛”， D =“乙赢得比赛”，则1223()1()155P C P A A =−=−=； …………………………………………8分1237()1()11010P D P B B =−=−=. ………………………………………10分于是C D =“两人中至少有一人赢得比赛”3729()1()1()()151050P C D P CD P C P D =−=−=−⨯=. ………………12分 20.（1）证明：因为,E F 分别为,CP CA 的中点，所以EF 为CAP ∆的中位线，所以//EF PA ， ……………………3分 而EF ⊂平面DEF ，PA ⊄平面DEF ，所以//PA 平面DEF ； ……………………………5分 （2）因为面PAC ⊥面ABC ，面PAC面ABC AC =，BC ⊂面ABC ，BC AC ⊥，所以BC ⊥平面PAC ， …………………………………………………………7分 而//DF BC ，所以DF ⊥平面PAC ， …………………………………………8分 所以FE FD ⊥，FC FD ⊥，所以CFE ∠是二面角E FD B −−的平面角， …………………………………10分 又ACP ∆为等边三角形，所以60PAC ∠=，又//EF PA ，所以60EFC PAC ∠=∠=. …………………………………12分 21.解：（1）由直方图可得，样本落在[0,40),[40,80),[80,120),[120,160)的频率分别为0.02,0.15,0.27,0.23，落在[200,240),[240,280),[280,320),[320,360]的频率分别为0.09,0.06,0.04,0.01.因此，样本落在[160,200)的频率为1(0.020.150.270.230.090.060.040.01)0.13−+++++++= ……………2分 样本中用电量在[160,200)的用户数为2000.1326⨯=. …………………3分（2）为了使75%的居民缴费在第一档，需要确定月均用电量的75%分位数，因为0.020.150.270.230.67+++=，0.020.150.270.230.130.8++++=， 所以75%分位数必位于[160,200)内， …………………………………4分于是0.750.67160401850.80.67−+⨯≈−， …………………………………………6分又0.020.150.270.230.130.090.060.95++++++=， 所以95%分位数为280.所以第二档的范围可确定为(185,280]. ………………………………………8分 （3）由题可知，样本中用电量在[0,40)的用户有4户，设编号分别为1,2,3,4；在[320,360] 的用户有2户，设编号分别为,a b ，则从6户中任取2户的样本空间为：{(1,2),(1,3),(1,4),(1,),(1,),(2,3),(2,4),(2,),(2,),(3,4),(3,),a b a b a Ω=(3,),(4,),(4,),(,)}b a b a b ，共有15个样本点. ………………………………9分 设事件A =“走访对象来自不同分组”，则{(1,),(1,),(2,),(2,),(3,),(3,),(4,),(4,)}A a b a b a b a b =， ……………10分所以()8n A =，从而()8()()15n A P A n ==Ω. ………………………………………12分 22.解：（1）证明：因为AB 是圆O 的直径，点P 是圆周上一点，所以90APB ∠=，即PB PA ⊥, ……………………………1分又在圆柱1OO 中，母线AD ⊥底面O ，PB ⊂底面O ,所以AD PB ⊥, ……………………………………………………2分又PA AD A =,所以PB ⊥平面PAD ， ………………………………………………………4分（2）设圆柱底面半径为r ，母线为l ，则222rl r l ππππ=⎧⎨=⎩，解得11r l =⎧⎨=⎩， ……………6分在PAD ∆中，过A 作AM DP ⊥交DP 于点M .由（1）知 PB ⊥平面PAD ， 因为AM ⊂平面PAD ，所以PB AM ⊥， 又DP PB P =，所以AM ⊥平面BDP .若M 与Q 不重合，AQM ∠即为直线AQ 与平面BDP 所成的角. …………8分 若M 与Q 重合，直线AQ 与平面BDP 所成的角为90.（法一）设AOP θ∠=，由对称性，不妨设(0,)θπ∈， 则在AOP ∆中，2sin2AP θ=,在Rt ADP ∆中，2sinAM θ=2221)33AQ AD AP =+=.…………………………………………………………10分于是sin AMAQM AQ∠==3sinθ1=≤=………………………………………………………11分当且仅当2214sin 2sin 2θθ=，即sin 22θ=，2πθ=时，等号成立. 此时，AM AQ =，直线AQ 与平面BDP 所成的角为90，正弦值为1，点P 为两个半圆弧AB 的中点. …………………………………………………12分 （法二）若直线AQ 与平面BDP 所成角为90，则AQ DP ⊥， 在Rt ADP ∆中，由2213ADDQ DP DP =⋅=，可得DP =因此AP ==…………………………………………………10分此时AOP ∆为直角三角形，所以点P 为两个半圆弧AB 中点.因此，当点P 为两个半圆弧AB 中点.时，直线AQ 与平面BDP 所成角为最大值90，正弦值为1. …………………………………………………………12分。