福建省漳州市八校2017届高三上学期期末联考 文科数学

INPUT xIF 1x >= THEN 2y x =ELSE21y x =-+END IFPRINT y END漳州八校联考2017届高三年期末联考数学（文科）试卷考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1． 已知集合{}()(){}1,0,1,|110M N x x x =-=+-<，则M N ⋂= （ ） A.{}1,0,1- B.[]1,1- C.{}0 D.[]0,12．已知复数,z a i a R =+∈，若2z z +=，则复数z 的共轭复数z =（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i --3．已知命题“R ∈∃x ，使041)2(42≤+-+x a x ”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A.)0,(-∞ B.[]4,0 C.[)∞+，4 D.)40(，4.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3y x =上， 则sin(2)3πθ+=（ ）A ．34310--B ． 43310--C ．34310-D ．43310-5． 执行右图程序中，若输出y 的值为1，则输入x 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．01或 D ．101-、或6.《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布585尺，问每天增加的数量为多少尺?该问题的答案为（ ） A ．12尺 B ．23尺 C ．1尺 D ．32尺7.已知函数)6(log )(ax x f a -=在)2,3(-上是减函数，则a 的取值范围是 （ ） A ．(0,3) B ．(1,3] C ． (1,3) D ．[3,)+∞ 8.圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( ) （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）89. 设变量x ，y 满足约束条件，则z=﹣2x+y 的最小值为（ ）A ． ﹣7B ． ﹣6C ． ﹣1D ． 210.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB →＝2FA →，则此双曲线的离心率为( ) A. 2B. 3 C ．2 D. 511.已知三个互不重合的平面γβα、、，且c b a ===γβγαβα ,,，给出下列命题：①若c a b a ⊥⊥,，则c b ⊥；②若P b a = ，则P c a = ；③若c a b a ⊥⊥,，则γα⊥；④若b a //，则c a //．其中正确命题个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12. 已知函数2()3ln f x x ax bx =-++（0a >，b R ∈），若对任意0x >都有()(3)f x f ≥成立，则（ ）A ．ln 1a b >--B ．ln 1a b ≥--C ．ln 1a b ≤--D ．ln 1a b <--第Ⅱ卷二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）13.已知向量a 与b 的夹角是3π，且2,3a b == ，若(2+)a b b λ⊥ ，则实数λ=_______.14.已知()():44,:210p a x a q x x -<<+--<，若p ⌝是q ⌝的充分条件，则实数a 的取值范围是__________．15.在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，若1sin sin sin 2b B a A a C -=，且ABC ∆的面积为B a sin 2，则=B cos ______.16. 对于数列{}n a ，定义na a a Hn nn 12122-+++= 为{}n a 的“优值”，现在已知某数列{}n a 的“优值” 12+=n Hn ，记数列{}kn a n -的前n 项和为n S ，若6S S n ≤对任意的n 恒成立，则实数k 的取值范围是_________．三．解答题：（本大题共6小题，其中17~21小题为必考题，每小题12分；第22~23为选考题，考生根据要求做答，每题10分） 17．（本题满分为12分）如图，△ABC 是等边三角形，点D 在边BC 的延长线上，且BC=2CD ，AD=．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求CD 的长．18．（本题满分为12分）已知{a n }是等比数列，2a =2且公比q ＞0，﹣2，1a ，3a 成等差数列． （Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）已知11n n n n b a a na λ++=-（n=1，2，3，…），设n s 是数列{n b }的前n 项和．若12s s >，且1k k s s +<（k=2，3，4，…），求实数λ的取值范围．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠= ，2,6AB PD ==,O 为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点． （Ⅰ）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；(Ⅱ)若PD ∥平面EAC ,求三棱锥P EAD -的体积.20．如图，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，右顶点、上顶点分别为点A 、B ，且5||||2AB BF =． （1）求椭圆C 的离心率；（2）若斜率为2的直线l 过点(0,2)，且l 交椭圆C 于P 、Q 两点，OP OQ ⊥． 求椭圆C 的方程．y xBAOF21．（本小题满分12分）已知函数13()ln 144f x x x x=-+-． （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）设2()24g x x bx =-+-，若对任意1(0,2)x ∈，2[1,2]x ∈，不等式12()()f x g x ≥恒成立，求实数b 的取值范围．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，曲线C 的方程=4cos ρθ。

（1）求曲线C 的直角坐标系方程；（2）若点()3,1P ，设圆C 与直线l 交于点,A B ，求||||PA PB +的最小值.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数R x x x x f ∈-+-=|,32||12|)(. （1）解不等式()6f x ≤；（2）若不等式264()m m f x -<对任意R x ∈都成立，求实数m 的取值范围.参考答案(1)选择题： 1.C 2. B 3.D 4. C 5.C 6. C7.A 8. B 9.D 10. C 11.C 12.D (2)填空题：13. 32-14. []2,5- 15. 34 16. 16773⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 三、解答题：17．解：（Ⅰ）∵△ABC 是等边三角形，∴AC=BC ，又∵BC=2CD ，∴AC=2CD ， ∴在△ACD 中，由正弦定理可得：，∴==．-------6分（Ⅱ）设CD=x ，则BC=2x ，∴BD=3x ，∵△ABD 中，AD=，AB=2x ，∠B=，∴由余弦定理可得：AD 2=AB 2+BD 2﹣2AB•BD•cos∠B ， 即：7=4x 2+9x 2﹣2x ×3x ，解得：x=1，∴CD=1．----------------------------------------------12分18．解：（Ⅰ）由﹣2，a 1，a 3成等差数列，∴2a 1=﹣2+a 3，∵{a n }是等比数列，a 2=2，q ＞0，∴a 3=2q ，a 1==，代入整理得：q 2﹣q ﹣2=0，解得：q=2，q=﹣1（舍去），∴q=2，---------------4分（Ⅱ）由（Ⅰ）a n =2n ﹣1，b n =a n a n+1﹣λna n+1=4n ﹣λn2n ，由S 1＞S 2，∴S 2﹣S 1＜0，即b 2＜0，∴23﹣2λ•22＜0，解得：λ＞1， S k ＜S k+1（k=2，3，4，…）恒成立，b n =a n a n+1﹣λna n+1，2(1)1112(1)20k k k b k λ+-++=-+> 即λ＜21kk +，-------------------------6分设c k =21kk +（k ≥2，k ∈N ），只需要λ＜（c k ）min （k ≥2，k ∈N ）即可，∵=1212112222k k k k k kk k k ++++∙==+>+++，∴数列{c n }在k ≥2且k ∈N 上单调递增，--------10分∴（c k ）min =c 2=22433=，∴λ＜43，∵λ＞1，∴λ∈（1，43）．----------12分19. 试题解析：(Ⅰ)PD ⊥ 平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,AC PD ∴⊥.四边形ABCD 是菱形,AC BD ∴⊥,又PD BD D = ,AC ⊥平面PBD .而AC ⊂平面EAC ,∴平面EAC ⊥平面PBD . --------------6分 （Ⅱ） PD ∥平面EAC ,平面EAC 平面PBD OE =,PD OE ∴∥, O 是BD 中点,E ∴是PB 中点.取AD 中点H ,连结BH , 四边形ABCD 是菱形,60BAD ∠= ,BH AD ∴⊥,又,BH PD AD PD D ⊥= ,BH ∴⊥平面PAD ,332BH AB ==. ----------------------------9分 12P EAD E PAD B PAD V V V ---==1123PAD S BH =⨯⨯⨯△112263622=⨯⨯⨯⨯=. --------------12分20解：（1）由已知5||||2AB BF =，即2252a b a +=，222445a b a +=， 222244()5a a c a +-=，∴ 32c e a ==． …………………………4分（2）由（1）知224a b =，∴ 椭圆C ：222214x y b b +=． 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为22(0)y x -=-，即220x y -+=．由22222222204(22)4014x y x x b x y b b -+=⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩，即2217321640x x b ++-=． 22217321617(4)017b b ∆=+⨯->⇔>．123217x x +=-，21216417b x x -=．∵ OP OQ ⊥，∴ 0OP OQ ⋅=，即12120x x y y +=，1212(22)(22)0x x x x +++=，121254()40x x x x +++=．从而25(164)128401717b --+=，解得1b =，∴ 椭圆C 的方程为2214x y +=． …………………………12分 21.试题解析：（1）13()ln 1(0)44f x x x x x=-+->， 22211343'()444x x f x x x x--=--=． 由0x >及'()0f x <得01x <<或3x >， 故函数()f x 的单调递减区间是(0,1)，(3,)+∞．（2）若对任意1(0,2)x ∈，2[1,2]x ∈，不等式12()()f x g x ≥恒成立等价于min max ()()f x g x ≥，由（1）可知，在(0,2)上，1x =是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，故也是最小值点，所以min 1()(1)2f x f ==-； 2()24g x x bx =-+-，[1,2]x ∈，当1b <时，max ()(1)25g x g b ==-； 当12b ≤≤时，2max ()()4g x g b b ==-； 当2b >时，max ()(2)48g x g b ==-；问题等价于11252b b <⎧⎪⎨-≥-⎪⎩或212142b b ≤≤⎧⎪⎨-≥-⎪⎩或21482b b >⎧⎪⎨-≥-⎪⎩， 解得1b <或1412b ≤≤或b ∈∅． 即142b ≤， 所以实数b 的取值范围是14(,]2-∞．22．选修4-4：坐标系与参数方程【答案】（1）()2224x y -+=（2）试题分析：（1）利用222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+将曲线C 的极方程化为直角坐标方程：22(4)16x y +-= （2）利用直线参数方程几何意义得212121212||||||||()4PA PB t t t t t t t t +=+=-=+-，因此将直线参数方程与圆直角坐标方程联立方程组，利用韦达定理代入化简得||||PA PB +12+4sin 222α≥23.试题解析： （1）原不等式等价于12446x x ⎧<⎪⎨⎪-≤⎩或132226x ⎧≤≤⎪⎨⎪≤⎩或32446x x ⎧>⎪⎨⎪-≤⎩， 得1122x -≤<或2321≤≤x 或3522x <≤，∴不等式5)(≤x f 的解集为15[]22-，．（2） ∵2|)32(12||32||12|)(=---≥-+-=x x x x x f ，∴22min 164[()]2321013m m f x m m m -<=⇒--<⇒-<<.。