八年级数学下册16.3可化为一元一次方程的分式方程解分式方程“五注意”素材新版华东师大版
2021-2022华师大版八年级数学下册《16-3可化为一元一次方程的分式方程》同步练习题(附答案)
2021-2022学年华师大版八年级数学下册《16-3可化为一元一次方程的分式方程》同步练习题（附答案）1．下列关于x的方程，是分式方程的是（）A．﹣3＝B．x﹣y＝5C．＝+D．＝1﹣2．两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队共同工作了半个月，总工程全部完成．设乙队单独施工1个月完成总工程的，则可以表示“两队共同工作了半个月完成的工程量”的代数式是（）A．B．C．D．3．若关于x的分式方程无解，则m的值为．4．已知：商品利润率＝．某商人经营甲乙两种商品，每件甲种商品的利润率为40%，每件乙种商品的利润率为60%，当售出的乙种商品比售出的甲种商品的件数多50%时，这个商人得到的总利润率为50%，那么当售出的甲，乙两种商品的件数相等时，这个商人的总利润率是．5．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为．6．为深入践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，我国生态文明建设不断迈出坚实步伐，绿色发展成就举世瞩目．在今年的植树造林活动期间，某苗圃园第一天卖出一批雪松收款11000元；第二天又卖出一批雪松收款23000元，所卖数量是第一天的2倍，售价比第一天每棵多了5元．第二天每棵雪松售价元．7．解方程．8．解方程：1+＝．9．阅读下面材料，解答后面的问题解方程：．解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，解得：y＝±2，经检验：y＝±2都是方程的解，∴当y＝2时，，解得：x＝﹣1，当y＝﹣2时，，解得：x＝，经检验：x＝﹣1或x＝都是原分式方程的解，∴原分式方程的解为x＝﹣1或x＝．上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题：（1）若在方程中，设，则原方程可化为：；（2）若在方程中，设，则原方程可化为：；（3）模仿上述换元法解方程：．10．整体思想就是通过研究问题的整体形式从而对问题进行整体处理的解题方法．如此题设“＝a，＝b”得方程解得∴利用整体思想解决问题：采采家准备装修一厨房，若甲，乙两个装修公司，合做需6周完成，甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，求甲、乙公司单独完成装修任务各需多少周？11．已知方程有增根x＝1，求k的值．12．关于x的分式方程：．（1）当m＝3时，求此时方程的根；（2）若这个关于x的分式方程会产生增根，试求m的值．13．若关于x的分式方程＝5有增根，求m的值．14．自带保温杯已成为人们良好的健康生活习惯，某学校为教师员工购买甲、乙两种型号的保温杯，购买A型号保温杯共花费6000元，购买B型号保温杯共花费3200元，且购买A型号保温杯数量是购买B型号保温杯数量的3倍，已知购买一个B型号保温杯比购买一个A型号保温杯多花30元，求购买一个A型号保温杯，一个B型号保温杯各需多少钱？15．某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案：Ⅰ、甲队单独完成这项工程刚好如期完成；Ⅱ、乙队单独完成这项工程要比规定日期多6天；Ⅲ、若甲、乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．（1）设甲队单独完成这项工程需要x天．工程总量所用时间（天）工程效率甲队乙队（2）根据题意及表中所得到的信息列出方程．16．王涵想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：＝2﹣．（1）她把这个数“？”猜成﹣2，请你帮王涵解这个分式方程；（2）王涵的妈妈说：“我看到标准答案是：x＝3是方程的增根，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？17．（1）解下列方程：①根为；②根为；③根为；（2）根据这类方程特征，写出第n个方程为，其根为．（3）请利用（2）的结论，求关于x的方程（n为正整数）的根．18．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号M ax{a，b}表示a、b中的较大值，例如：M ax{2，4}＝4，按照这个规定，求方程M ax{x，﹣x}＝的解．19．已知关于x的分式方程﹣2＝的解是正数，求m的取值范围．20．某工厂采用A、B两种机器人来搬运化工原料，其中A型机器人每天搬运的重量是B型机器人的2倍，如果用两种机器人各搬运300t原料，A型机器人比B型机器人少用3天完成．（1）求A、B两种型号的机器人每天各搬运多少吨化工原料；（2）现有536t化工原料需要搬运，若A型机器入每天维护所需费用为150元，B型机器人每天维护所需费用为65元，那么在总费用不超过740元的情况下，至少安排B型机器人工作多少天？（注：天数为整数）21．骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场，顺风车行经营的A型车去年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份与去年6月份卖出的A型车数量相同，则今年6月份A型车销售总额将比去年6月份销售总额增加25%．A，B两种型号车的进货和销售价格表：A型车B型车进货价格（元/辆）11001400销售价格（元/辆）今年的销售价格2400（1）求今年6月份A型车每辆销售价多少元；（2）该车行计划7月份新进一批A型车和B型车共50辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？22．某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱．（加工时接缝材料不计）（1）该工厂原计划用若干天加工纸箱200个，后来由于对方急需要货，实际加工时每天加工速度是原计划的1.5倍，这样提前2天超额完成了任务，且总共比原计划多加工40个，问原计划每天加工纸箱多少个；（2）若该厂购进正方形纸板1000张，长方形纸板2000张．问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完；（3）该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板50张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且120＜a＜136，试求在这一天加工两种纸盒时，a 的所有可能值．23．某糕点加工点受资金和原料保质期等因素影响，在购买主要原料面包粉和蛋糕粉时需分次购买．下表是该店最近三次购进原料的数量与总金额，其中前两次是按原价购买，第三次享受了优惠．第一次第二次第三次面包粉（袋）235蛋糕粉（袋）458总金额（元）520700912（1）第三次购买的总金额比按原价购买节省了多少钱？（2）该店第四次购买原料时，按照第三次购买的经验，预算912元，仍需购买5袋面包粉和8袋蛋糕粉．在接洽的过程中，发现优惠方式又发生了变化，相较于原价，每袋蛋糕粉降低的价格是每袋面包粉降低的价格的两倍，这时用576元能够买到面包粉的袋数是蛋糕粉袋数的．预算够吗？24．生活垃圾处理是关系民生的基础性公益事业，加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任，某小区准备购进A型和B型两种垃圾桶，已知购买一个B型垃圾桶比购买一个A型垃圾桶多花20元，用250元购进A型垃圾桶的数量与用350元购进B型垃圾桶的数量相等．（1）求购买一个A型垃圾桶、一个B型垃圾桶各需多少元？（2）小区决定用不超过600元购进A、B两种型号的垃圾桶共10台，且A型垃圾桶的个数不多于B型垃圾桶的个数的2倍，问小区有几种购买方案？参考答案1．解：A．方程分母中不含未知数，故不是分式方程；B．方程分母中不含未知数，故不是分式方程；C．方程分母中不含表示未知数的字母，π是常数，故不是分式方程；D．方程分母中含未知数x，故是分式方程．故选：D．2．解：∵甲队单独施工1个月完成总工程的，乙队单独施工1个月完成总工程的，∴两队共同工作了半个月完成的工程量＝（+）＝+，故选：D．3．解：∵关于x的分式方程无解，∴x﹣1＝0，∴x＝1，∵，∴x+2（x﹣1）＝﹣m，把x＝1代入x+2（x﹣1）＝﹣m中可得：1＝﹣m，∴m＝﹣1，故答案为：﹣1．4．解：设甲进价为a元，则售出价为1.4a元；乙的进价为b元，则售出价为1.6b元；若售出甲x件，则售出乙1.5x件．＝0.5，解得a＝1.5b，∴售出的甲，乙两种商品的件数相等，均为y时，这个商人的总利润率为＝＝＝48%，故答案为48%．5．解：设这批椽的数量为x株，由题意可得：，故答案为：．6．解：设第一天每棵雪松售价x元，则第二天每棵雪松售价（x+5）元，由题意得：＝2×，解得：x＝110，经检验，x＝110是原方程的解，则x+5＝115，即第二天每棵雪松售价115元，故答案为：115．7．解：，两边都乘以3（3x﹣1）得：1﹣3x＝2（3x﹣1），解得：，检验：当时，3（3x﹣1）＝0，∴是原方程的增根∴原分式方程无解．8．解：1+＝，1﹣x2+1＝x（1﹣x），解得：x＝2，检验：当x＝2时，1﹣x2≠0，∴x＝2是原方程的根．9．解：（1）将代入原方程，则原方程化为；（2）将代入方程，则原方程可化为；（3）原方程化为：，设，则原方程化为：，方程两边同时乘y得：y2﹣1＝0解得：y＝±1，经检验：y＝±1都是方程的解．当y＝1时，，该方程无解；当y＝﹣1时，，解得：；经检验：是原分式方程的解，∴原分式方程的解为．10．解：设甲公司单独完成需x周，乙公司单独完成需y周，依题意得：设＝a，＝b，原方程化为：②×3﹣①×2得：27b﹣12b＝1∴b＝③将③代入②得：4a+9×＝1∴a＝∴经检验，x＝10，y＝15是原方程的解．∴甲公司单独完成需10周，乙公司单独完成需15周．11．解：方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得2（x﹣1）+k（x+1）＝6∵原方程有增根x＝1，∴当x＝1时，k＝3，故k的值是3．12．解：（1）把m＝3代入方程得：+＝，去分母得：3x+2x+4＝3x﹣6，解得：x＝﹣5，检验：当x＝﹣5时，（x+2）（x﹣2）≠0，∴分式方程的解为x＝﹣5；（2）去分母得：mx+2x+4＝3x﹣6，∵这个关于x的分式方程会产生增根，∴x＝2或x＝﹣2，把x＝2代入整式方程得：2m+4+4＝0，解得：m＝﹣4；把x＝﹣2代入整式方程得：﹣2m＝﹣12，解得：m＝6．13．解：去分母得：2m﹣1﹣7x＝5x﹣5，由分式方程有增根，得到x﹣1＝0，即x＝1，把x＝1代入整式方程得：m＝4．14．解：设购买一个A型号保温杯需要x元，则购买一个B型号保温杯需要（x+30）元，根据题意，得＝3×．解得x＝50．经检验x＝50是原方程的解，且符合题意．所以x+30＝80．答：购买一个A型号保温杯需要50元，则购买一个B型号保温杯需要80元．15．解：（1）由题意可得，把工作总量看作单位1，设甲队单独完成这项工程需要x天，则乙队单独完成这项工程需要（x+6）天，则甲的工作效率为，乙队的工作效率为，故答案为：1，x，；1，x+6，；（2）根据题意及表中所得到的信息列出方程是：（）×3+（x﹣3）×＝1，故答案为：（）×3+（x﹣3）×＝1．16．解：（1）由题意，得，去分母，得x＝2（x﹣3）+2，去括号，得x＝2x﹣6+2，移项、合并同类项，得x＝4，经检验，当x＝4时x﹣3≠0，∴x＝4是原分式方程的解；（2）设原分式方程中“？”代表的数为m，方程两边同时乘（x﹣3）得x＝2（x﹣3）﹣m，由于x＝3是原分式方程的增根，把x＝3代入上面的等式解得m＝﹣3，∴原分式程中“？”代表的数是﹣3．17．解：（1）①去分母，得：x2+2＝3x，即x2﹣3x+2＝0，（x﹣1）（x﹣2）＝0，则x﹣1＝0，x﹣2＝0，解得：x1＝1，x2＝2，经检验：x1＝1，x2＝2都是方程的解；②去分母，得：x2+6＝5x，即x2﹣5x+6＝0，（x﹣2）（x﹣3）＝0，则x﹣2＝0，x﹣3＝0，解得：x1＝2，x2＝3，经检验：x1＝2，x2＝3是方程的解；③去分母，得：x2+12＝7x，即x2﹣7x+12＝0，（x﹣3）（x﹣4）＝0，则x1＝3，x2＝4，经检验x1＝3，x2＝4是方程的解；（2）出第n个方程为x+＝2n+1，解是x1＝n，x2＝n+1；（3），即x﹣3+＝2n+1，则x﹣3＝n或x﹣3＝n+1，解得：x1＝n+3，x2＝n+4．18．解：当x＞﹣x，即x＞0时，所求方程变形得：x＝，即x2﹣2x﹣1＝0，解得：x1＝1+，x2＝1﹣（舍去）；当x＜﹣x，即x＜0时，所求方程变形得：﹣x＝，即x2+2x+1＝0，解得：x3＝x4＝﹣1，经检验：x1＝1+，x3＝x4＝﹣1都为分式方程的解．19．解：去分母可得：3x﹣2（x﹣6）＝m∴3x﹣2x+12＝m∴x＝m﹣12将x＝m﹣12代入最简公分母可知：m﹣12﹣6≠0，∴m≠18∵分式方程的解是正数，∴m﹣12＞0，∴m＞12∴m的取值范围为m＞12且m≠1820．解：（1）设B种型号的机器人每天搬运x吨化工原料，则A种型号的机器人每天搬运2x吨化工原料，根据题意得：，解得：x＝50，经检验x＝50是原方程的根，此时2x＝100，答：A种型号的机器人每天搬运100吨化工原料，B种型号的机器人每天搬运50吨化工原料；（2）设B型机器人工作b天，则A型机器人需要工作（）天，由题意得：150×+65b≤740，整理得：3（536﹣50b）+130b≤1480，解得：b≥6.4，∵b为整数，∴b最小为7，如果B机器人工作7天的，A机器人需工作（536﹣50×7）÷100约2天，总费用为65×7+150×2＝755＞740，B机器人工作8天的话，A机器人工作天数为整数，还是需要2天，B机器人工作9天的话，A机器人只需要工作1天，总费用为65×9+150＝735，符合要求答：至少安排B型机器人工作9天．21．解：（1）设去年6月份A型车每辆销售价x元，那么今年6月份A型车每辆销售（x+400）元，根据题意得＝，解得：x＝1600，经检验，x＝1600是方程的解．x＝1600时，x+400＝2000．答：今年6月份A型车每辆销售价2000元．（2）设今年7月份进A型车m辆，则B型车（50﹣m）辆，获得的总利润为y元，根据题意得50﹣m≤2m，解得：m≥16，∵y＝（2000﹣1100）m+（2400﹣1400）（50﹣m）＝﹣100m+50000，∴y随m的增大而减小，∴当m＝17时，可以获得最大利润．答：进货方案是A型车17辆，B型车33辆．22．解：（1）设原计划每天加工纸箱x个，则现在每天加工1.5x个，由题意得﹣2＝解得x＝20经检验x＝20是原分式方程的解，答：原计划每天加工纸箱20个．（2）设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，依题意，得解得：答：加工竖式纸盒200个，加工横式纸盒400个；（3）设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，依题意得：∴y＝40﹣，∵y、a为正整数，∴a为5的倍数，∵120＜a＜136∴满足条件的a为：125，130，135．当a＝125时，x＝20，y＝15；当a＝130时，x＝22，y＝14；当a＝135时，x＝24，y＝13据符合题意，∴a所有可能的值是125，130，13523．解：（1）设每袋面包粉x元，每袋蛋糕粉y元．依题意得：，解得．100×5+80×8﹣912＝500+640﹣912＝228（元）．答：第三次购买时，该店比按原价购买节省的总金额为228元；（2）设每袋面包粉降价m元，则每袋蛋糕粉降价2m元，依题意，得．解得m＝4．经检验，m＝4符合题意．故第四次购买时，面包粉每袋96元，蛋糕粉每袋72元．∵96×5+72×8＝1056＞912，∴预算不足．24．解：（1）设购买一个A型垃圾桶需要x元，则购买一个B型垃圾桶需要（x+20）元，根据题意得：，解得：x＝50，经检验，x＝50是原方程的根，且符合题意，∴x+20＝70．答：购买一个A型垃圾桶需要50元，购买一个B型垃圾桶需要70元．（2）设B型垃圾桶购进y个，则A型垃圾桶（10﹣y）个．由题意得，解得：，∵y是正整数，∴y可取4，5，即小区共有两种购买方案．。
八年级数学可化为一元一次方程的分式方程及其应用人教版知识精讲
初二数学可化为一元一次方程的分式方程及其应用人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：代数：a=bc型数量关系、可化为一元一次方程的分式方程及其应用；几何：等腰三角形的性质学习目标：代数：掌握a bc=型数量关系的规律，会解可化为一元一次方程的分式方程及其应用几何：掌握等腰三角形的性质以及性质的应用二. 重点、难点重点：代数：可化为一元一次方程的分式方程的解法、步骤几何：等腰三角形的性质以及应用难点：代数：增根问题、应用题几何：等腰三角形性质的应用三. 知识要点代数：1. a bc=型数量关系（1）b是定值，c与a成正比例关系（2）c是定值，b与a成正比例关系（3）a是定值，b与c成反比例关系2. 可化为一元一次方程的分式方程分式方程：分母含有字母的方程增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根步骤：（1）化成整式方程；（2）解整式方程；（3）验根3. 应用题关键：抓住等量关系步骤：（1）审题；（2）设未知量；（3）列方程；（4）解方程；（5）答几何：1. 等腰三角形的性质内角和＝底角相等三线合一180 ⎧⎨⎪⎩⎪2. 等腰三角形性质的应用证明两角相等（底角相等）证明角相等，线段相等，垂直（三线合一）文字命题的证明：难点【典型例题】例1. 解方程5424253212x x x x --=+--()解：方程两边同乘以62()x -，约去分母，得 ()()()54322532x x x -⨯=+-- 整理，得151241036x x x -=+-+ 解这个整式方程，得x =2 检验：x =2时，620()x -= ∴2是增根，原方程无解小结：分式方程⇒整式方程，最后验根。
例2. 农机厂职工到距工厂15千米的生产队检修农机，一部分人骑自行车先走，40分钟后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度。
分析：未知量：自行车、汽车的速度已知关系：自行车走过的路程＝汽车走过的路程汽车的速度＝自行车速度的3倍等量关系：已知路程，要求速度，找时间关系作为等量关系 汽车所用时间＝自行车所用时间－23小时解法一：设自行车的速度为x 千米/小时，那么汽车的速度为3x 千米/小时 由题意，得1531523xx =-解之得x =15检验得x =15是这个方程的根 当x =15时，345x =答：自行车的速度是15千米/时，汽车的速度为45千米/时解法二：设自行车的速度为x 千米/时，汽车的速度为y 千米/时 y x y x ==-⎧⎨⎪⎩⎪3151523解之得x y ==⎧⎨⎩1545检验：x y ==⎧⎨⎩1545是这一方程组的解答：自行车的速度是15千米/时，汽车的速度为45千米/时 小结：（1）五步；（2）关键；（3）多个思路例3. （1）等腰三角形的一个角为50，求其他两角（2）等腰三角形的一个角为100 ，求其他两角 解：（1）若底角为50等腰三角形的两底角相等（等边对等角） ∴另一底角为50顶角为180505080 --= 若顶角为50则底角为18050265-=∴其他两角为50 ，80 或65 ，65 （2）若底角为100 等边对等角 ∴另一底角为100这两个底角之和200180 > ∴100 不可能为底角 若顶角为100则底角为180100240-=∴其他两角为40 ，40小结：已知等腰三角形中的一角，若该角为锐角，那么该角可能是顶角，也可能是底角；若该角为直角或钝角，则该角必为顶角。
华师大版数学八下16.分时方程的应用课件
依题意得:
解得:x =120 . 经检验:x =120是原方程的解.
答:从A市开往甲地列车的速度是120千米/时, 从A市开往乙地列车的速度是105千米/时.
5.商场用50 000元从外地采购回一批T恤 衫，由于销路好，商场又紧急调拨18.6万元采 购回比上一次多两倍的T恤衫，但第二次比第 一次进价每件贵12元．求第一次购进多少件T
探究问题
问题：某校招生录取时，为了防止数据 输入出错，2640名学生的成绩数据分别由 两位程序操作员各向计算机输入一遍，然 后让计算机比较两人的输入是否一致.已知 甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用 2小时输完.问这两个操作员每分钟各能输 入多少名学生的成绩？
列方程解应用题的 步骤是怎样的呢？
练习：求解本章导图中的 问题.
例1 王军同学准备在课外活动时间组织部分同 学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需 费用300元.后因人数增加到原定人数的2倍， 费用享受了优惠，一共只需要480元，参加活 动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元 ，原定的人数是多少？
解：设原定是x人，由题意可知：
列分式方程解应用题的一般步骤： 审清题意；
设未知数(要有单位)； 找出等量关系，列出分式方程；
解这个分式方程；
验根,先检验是否有增根,再检查是否合符题意； 作答.（要有单位） 列分式方程解应用题主要涉及的类型有： 行程问题：路程=速度×时间; 工程问题：工作量=工作时间×工作效率.
随堂练习
1.甲、乙两人同时从A地出发，骑自行车行30 km到B地，甲比乙每小时少骑3 km，结果乙早 到40分钟，若设乙每小时走 x km，则可列方程 （D ）
解：设大车的速度为2x千米/时，小车的速度为5x 千米/时，根据题意得
华师大版八下数学16.3.1可化为一元一次方程的分式方程教学设计
华师大版八下数学16.3.1可化为一元一次方程的分式方程教学设计一. 教材分析华东师范大学版八年级下册数学第16.3.1节“可化为一元一次方程的分式方程”是分式方程这部分内容的一个重要组成部分。
这部分内容是在学生已经掌握了分式的概念、分式的运算、分式方程的解法等知识的基础上进行讲解的。
本节课的主要内容是让学生了解分式方程的定义，学会将分式方程转化为整式方程，并掌握一元一次方程的解法。
教材通过具体的例题和练习题，使学生能够熟练地运用所学知识解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了分式的基本知识，对分式的概念、运算等有一定的了解。
但是，对于分式方程的转化和解法，学生可能还不够熟练。
因此，在教学过程中，教师需要通过具体的例题和练习题，引导学生掌握分式方程的转化方法，并运用一元一次方程的解法求解。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生了解分式方程的定义，学会将分式方程转化为整式方程，并掌握一元一次方程的解法。
2.过程与方法目标：通过具体的例题和练习题，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和积极向上的学习态度。
四. 教学重难点1.重点：分式方程的定义，将分式方程转化为整式方程的方法，一元一次方程的解法。
2.难点：分式方程的转化和解法。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过设置问题，引导学生思考和探索；通过具体的例题和练习题，让学生理解和掌握知识；通过小组合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
六. 教学准备1.教材和教辅资料。
2.课件和教学幻灯片。
3.练习题和答案。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题，引入分式方程的概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT或黑板，呈现教材中的例题和练习题，让学生观察和思考。
3.操练（10分钟）教师引导学生通过小组合作学习，共同解决问题。
校本教研成果8
《分式方程》课堂教学纪实(二)讷河市老莱中心学校闫忠连本节课是人教版《义务教育课程标准实验教科书数学》八年级下册16.3节《分式方程》第一课时内容。
本节教材是在学生学习了分式的基本性质和分式约分、通分，以及分式的乘除运算基础上进行的。
本节课的教学，要引导学生对分式方程和整式方程进行类比、对照，给学生渗透数学中的转化思想。
教学重点是会解可化为一元一次方程的分式方程，教学难点是理解分式方程无解的原因，教学方法：情境——探究教学法。
教学模式：以“创设问题——自主探究——合作交流——建构体系”的教学模式。
通过经历实际→实际列分式方式——探究解分式方程的过程，体会分式方程是一种有效描述现实世界的模型，发展学生分析问题，解决问题的能力，培养应用意识。
教学过程（一）、创设情境，激趣引新师：下面同学们先看一道生活中的问题，自己独立思考根据题意把方程列出来（大屏幕投影）1．一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，求江水的流速是多少？学生自主探究与同伴互助列出方程。
师：哪位同学回答这个问题？生：设江水的流速为x千米/时，则顺流速度为（20+x）千米/时，逆流速度为(20-x)千米/时。
根据题意“顺流航行100千米与逆流航行60千米所用时间相等”，所以方程应为。
师：思路很明确。
江水中的轮船是顺流而下走得快，逆流而上航行的慢，那同学们看我们的学习是应该逆流而上呢还是应该顺流而下？学生（众）：逆流而上！师：这种类型的方程，我们以前接触过吗？那我们以前曾学过哪几类方程？你能举出几个例子吗？生1：我们学过一元一次方程；如：3x-1=0 等。
生2：还有二元一次方程；如：2x+3y=6 等。
师：仔细观察，这些方程的两边都是怎样的式子？生齐答：是整式。
师：我们把这些方程都叫做整式方程。
那么，我们刚才所列的方程与这些整式方程有什么区别？生1：这个方程的未知数在分母里。
华师大版数学八年级下册16.3《可化为一元一次方程的分式方程》(第3课时)教学设计
华师大版数学八年级下册16.3《可化为一元一次方程的分式方程》（第3课时）教学设计一. 教材分析《可化为一元一次方程的分式方程》是华师大版数学八年级下册第16.3节的内容。
本节课的主要内容是让学生掌握分式方程的解法，通过将分式方程转化为整式方程，让学生理解分式方程的解法实质，提高学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在八年级上册已经学习了分式的概念、性质和运算，对分式有了一定的认识。
但是，对于分式方程的解法，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将分式方程转化为整式方程，让学生通过已有的知识解决新的问题。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握分式方程的解法，并能运用到实际问题中。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，提高学生学习数学的积极性。
四. 教学重难点1.重点：分式方程的解法。
2.难点：如何将分式方程转化为整式方程，以及如何运用分式方程解决实际问题。
五. 教学方法1.自主学习：让学生在课堂上自主探究分式方程的解法。
2.合作交流：引导学生分组讨论，分享解题心得。
3.实例讲解：通过具体例子，让学生理解分式方程的解法在实际问题中的应用。
六. 教学准备1.课件：制作课件，展示分式方程的解法。
2.练习题：准备一些分式方程的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例引入分式方程的概念，让学生回顾分式的性质和运算。
2.呈现（10分钟）展示分式方程的解法，引导学生将分式方程转化为整式方程。
3.操练（10分钟）让学生独立解决一些简单的分式方程，巩固所学知识。
4.巩固（10分钟）讲解一些典型的分式方程案例，让学生进一步理解分式方程的解法。
5.拓展（10分钟）引导学生运用分式方程解决实际问题，提高学生的应用能力。
6.小结（5分钟）总结本节课所学内容，让学生明确分式方程的解法及其在实际问题中的应用。
16.3 可化为一元一次方程的分式方程(第1课时)(课件)八年级数学下册(华东师大版)
能装配机器多少台？
想一想，该怎么计算？
导入新课
设原来每天能装配机器x台，可列出方程：
6 30 6
3
x
2x
观察这个方程与我们学过的
一元一次方程有什么不同？
讲授新课
知识点一 分式方程的概念
问题1 一艘轮船在顺水时航行80千米和在逆水时航行60千米用的时
间相同，已知水流的速度是3千米/时，问轮船在静水中的速度x千米/
解：方程两边同时乘(30+x)(30-x)，得
90(30-x) =60(30-x)
解这个方程,得 x=6
经检验，x=6是原方程的解
当堂检测
6. 解方程：
x
x 1
2.
x 1
x
2
x
( x 1)( x 1) 2 x( x 1).
解：去分母，得
解得
1
x
2.
1
1
x x 1) 0.
1
3
=
x-2 x
（2）怎样去分母？
（3）在方程两边乘什么样的式
子才能把每一个分母都约去？
（4）这样做的依据是什么？
解分式方程最关键的问题是什么？
“去分母”
讲授新课
归纳总结
解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法
是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般
方法.
讲授新课
2x
x x
; (4) 1
2 3
（是）
（否）
讲授新课
2．下面说法中，正确的是( C )
A.分母中含有未知数的式子就是分式方程
B.含有字母的方程叫做分式方程
2023学年华东师大版八年级数学下册《16-3可化为一元一次方程的分式方程》同步练习题(附答案)
2022-2023学年华东师大版八年级数学下册《16.3可化为一元一次方程的分式方程》同步练习题（附答案）一．填空题1．下列方程：①＝2；②；③；④．其中分式方程是（填序号）．2．有下列方程：①x2＝1；②﹣x2＝1；③＝x；④；⑤＝2；⑥2x ﹣3y＝0；⑦﹣3＝；⑧+3；⑨＝，其中是分式方程的是．（填序号）3．当a＝时，方程无解．4．已知分式方程的解为负数，则k的取值范围是．5．分式方程的根为．6．分式方程的解为．7．若关于x的方程有增根，实数m的值为．8．如果分式的值为0，那么x的值为；若关于x的分式方程有增根，则m的值为．二．解答题9．若关于x的不等式组有解，且使得关于y的分式方程有非负整数解，求所有的整数m的和．10．若关于x的方程无解，求m的值．11．解分式方程：．12．解方程：；．13．解方程：．14．已知关于x的方程有增根，则k为多少？15．若关于方程有增根，求m的值．16．2010年五月，某厂职工到距15千米的世博园参观，一部分人骑自行车先走40分钟后，其余人乘汽车出发，结果他们同刚到达，已知汽车速度为自行车速度的3倍，若设自行车的速度为x千米/时，则所列方程为．17．一船在河流上游A港顺流而下直达B港，用一个小时将货物装船后返航，已知船在静水中的速度是50千米/时，A、B两地距离为150千米，则该船从A港出发到返回A港共用了7.25小时，如果设水流速度是x千米/时，那么x应满足怎样的方程？18．一项工作由甲单独做需a天完成；如果甲、乙合做，则可提前b天完成．问乙每天可完成这项工作的几分之几？19．周末，两骑行爱好者甲和乙刚相约从A地沿着相同路线骑行到距离A地20千米的B地，已知甲的速度是乙的速度的1.5倍．（1）若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发24分钟后追上乙，求甲每小时骑行多少千米？（2）若乙先骑行50分钟，甲才开始从A地出发，则甲乙同时到达B地，求甲每小时骑行多少千米？20．为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产480万剂疫苗所用的时间比原来生产440万剂疫苗所用的时间少1天．问原来每天生产多少万剂疫苗？参考答案一．填空题1．解：下列方程：①＝2；②；③；④．其中分式方程是①④，整式方程为②③．故答案为：①④．2．解：①x2＝1不是分式方程；②﹣x2＝1不是分式方程；③＝x是分式方程；④是分式方程；⑤＝2是分式方程；⑥2x﹣3y＝0不是分式方程；⑦﹣3＝不是分式方程；⑧+3不是方程；⑨＝是分式方程．故答案为：③④⑤⑨．3．解：方程两边同时乘以（x﹣2）（x﹣3），得：ax+（a﹣1）（x﹣3）＝（x﹣2）（x﹣3）﹣x（x﹣2），ax+ax﹣3a﹣x+3＝x2﹣5x+6﹣x2+2x，（2a+2）x＝3+3a，即，当a＝﹣1时，原方程无解，当a≠﹣1时，解得，故答案为：﹣1．4．解：解分式方程得x＝k﹣1，由分式方程的解是负数，得k﹣1＜0，且k﹣1≠﹣1，解得k＜1且k≠0．故答案为：k＜1且k≠0．5．解：去分母，得3＝x+1﹣3，解得x＝5，经检验，x＝5是原方程的根，故答案为：x＝5．6．解：去分母得：3x﹣（x+2）＝4，去括号得：3x﹣x﹣2＝4，移项，合并同类项得：2x＝6，∴x＝3．经检验：x＝3是原方程的根，故答案为：x＝3．7．解：去分母，得2mx﹣（m+1）＝x+1，∵关于x的方程有增根，将增根为x＝﹣1代入2mx﹣（m+1）＝x+1，得﹣2m﹣（m+1）＝0，解得m＝﹣，将增根为x＝0代入2mx﹣（m+1）＝x+1，得﹣（m+1）＝1，解得m＝﹣2，∴m的值为﹣或﹣2，故答案为：﹣或﹣2．8．解：∵分式的值为0，∴，解得：x＝1；去分母，可得：2x﹣（x﹣3）＝﹣m，由分式方程有增根，得到x﹣3＝0，即x＝3，把x＝3代入整式方程得：2×3﹣（3﹣3）＝﹣m，解得：m＝﹣6．故答案为：1；﹣6．二．解答题9．解：整理不等式组，得，∵不等式组有解，∴不等式组的解集为m﹣2≤x≤﹣2m+1，即m﹣2≤﹣2m+1，解得m≤1．化简分式方程，得1+m﹣y＝2（y﹣2），解得y＝，∵由题意知，分式方程有意义，∴m≠1，∴m＜1，即5+m＜6，∵分式方程有非负整数解，∴5+m是3的非负整数倍，∴5+m＝0或3∴m＝﹣5或﹣2，∴所有的整数m的和为（﹣5）+（﹣2）＝﹣7．10．解：方程两边都乘以（x﹣2）得：4x﹣5（（x﹣2）＝﹣mx，整理得：（1﹣m）x＝10，∴当x＝2时，分母为0，方程无解，即2（1﹣m）＝10，∴m＝﹣4时方程无解；当1﹣m＝0时，方程无解，此时m＝1．综上所述，当m＝﹣4或1时方程无解．11．解：，﹣＝﹣，方程两边都乘x（x+1）（x﹣1），得7（x﹣1）﹣6x＝﹣3（x+1），解得：x＝1，检验：当x＝1时，x（x+1）（x﹣1）＝0，所以x＝1是增根，即分式方程无解．12．解：（1）﹣8＝，方程两边都乘x﹣7，得x﹣8﹣8（x﹣7）＝﹣1，解得：x＝7，检验：当x＝7时，x﹣7＝0，所以x＝7是增根，即分式方程无解；（2）＝，＝，方程两边都乘x（x+1），得5x+2＝3x，解得：x＝﹣1，检验：当x＝﹣1时，x（x+1）＝0，所以x＝﹣1是增根，即分式方程无解．13．解：设3x﹣1＝y则原方程可化为：3y﹣2＝5，解得y＝，∴有3x﹣1＝，解得x＝，将x＝代入最简公分母进行检验，6x﹣2≠0，∴x＝是原分式的解．14．解：∵关于x的方程有增根，∴x﹣3＝0，则x＝3，∵原方程可化为4x＝13﹣k，将增根x＝3代入得k＝1．15．解：去分母得：3（x+3）+m＝2（x﹣3），∵分式方程有增根，∴（x+3）（x﹣3）＝0，即x＝3或x＝﹣3，把x＝3代入整式方程得：18+m＝0，即m＝﹣18；把x＝﹣3代入整式方程得：m＝﹣12．16．解：若设自行车的速度为x千米/时，那么骑自行车用的时间为：，而坐汽车用的时间为：；根据骑自行车多用了40分钟即小时，那么方程可表示为：．故答案为：．17．解：设水流速度是x千米/时，由题意，得+1+＝7.25．18．解：根据分析可以得到：﹣＝．故答案为．19．解：（1）设乙每小时骑行x千米，则甲每小时骑行1.5x千米，依题意得：×1.5x＝2+x，解得：x＝10，∴1.5x＝1.5×10＝15，答：甲每小时骑行15千米；（2）设乙每小时骑行y千米，则甲每小时骑行1.5y千米，依题意得：﹣＝，解得：y＝8，经检验，y＝8是原方程的解，且符合题意，∴1.5y＝1.5×8＝12，答：甲每小时骑行12千米．20．解：设原来每天生产x万剂疫苗，则实际每天生产（1+20%）x＝1.2x万剂疫苗，由题意得：，解得x＝40，经检验，x＝40是原方程的解，∴原来每天生产45万剂疫苗，答：原来每天生产45万剂疫苗．。
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解分式方程 “五注意”
大家都知道在解可化为 一元一次方程的分式方程时，当遇到分式方程的结构较为“复杂”，解题步骤较为“繁多”时，在求解的过程中，要注意以下几个方面，供同学们学习时参考．
一、要注意检验
例1．解方程：2236111
x x x +=+-- 分析：解分式方程是通过转化为整式方程来解的，其中有可能产生增根，因此必须检验． 解：方程两边同乘以(x+1)(x-1) 得2x-1+3(x+1)=6，整理得：5x=5，x=1
检验：当x=1时，(x+1)(x-1)=0，所以x=1是增根，所以原方程无解．
二、要注意失根
例2．解方程：1310414351
x x x x -=----- 分析：去分母时，方程两边同除以(3x+1)容易造成失误，注意解方程不能同除以含未知数的整式． 解：方程两边分别通分得：3131(4)(3)(5)(1)
x x x x x x ++=---- (1)若3x+1=0，即13
x =，原方程显然成立． (2)若3x+1≠0，即13x ≠
时，两边同除以(3x+1)得11(4)(3)(5)(1)x x x x =----， 所以(x-4)(x-3)=(x-5)(x-1),即x=7，经检验13x =
或x=7都是原方程的根． 三、注意易漏乘
例3．解方程：11455x x x
+-=-- 分析：去分母时，右边的整式项“4”容易漏乘公分母(x-5)，因此导致错误． 解：去分母，得(x+1)+1=4(x-5)，整理得：3x=22，所以223x =
， 经检验223
x =是原方程的根． 四、注意易错符号
例4．解方程：2116122312
x x x x -=---- 分析：本题去分母时易有两处错误：方程左边一项
12x -乘以3(x+2)(x-2)应等于-3(x+2)；方程右边第二项26312
x x ---乘以公分母后应等于-(6-x)=-6+x ． 解：去分母，得-3(x+2)=3(x+2)-6+x ，整理得：7x+6=0，解之得：67x =-
经检验67
x =-是原方程的根． 五、情绪焦虑思维受阻而失误 例5．解方程：
485761079x x x x x x x x ----+=+---- 分析：有的学生见到分式方程时往往急于去分母，从而使计算繁杂，此时，会产生焦虑情绪，无法继续完成．学生只要冷静观察、分析分母特点，消除焦虑心理，可以得到4282521,1,166101077x x x x x x x x x ---=+=+=+------，72199
x x x -=+--，所以原方程可变为111167910
x x x x -=-----，这时再通分，去分母就简单多了． 解：由111167910x x x x -=-----，得11(6)(7)(9)(10)
x x x x --=----，所以 (x-6)(x-7)=(x-9)(x-10)，2213421990x x x x -+=-+，所以6x=48，x=8
经检验x=8是原方程的根．。