【精准解析】2021届高考数学人教B版单元检测六 数 列(提升卷)

3
答案精析
1．B 2.C 3.C 4.C 5.B 6.D 7.D
8．C [设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，
由“快乐数”定义可知， n ＝ 1 ，即 Sn 3n＋1
Sn＝3n2＋n，
当 n＝1 时，a1＝S1＝4， 当 n≥2 且 n∈N＋时，an＝Sn－Sn－1＝6n－2， 经验证可知 a1＝4 满足 an＝6n－2， ∴an＝6n－2(n∈N＋)，
因为 b1＝23＝8，所以{bn}是首项为 8，公比 q＝4 的等比数列．
记{an＋bn}的前 n 项和为 Tn，则
Tn＝(a1＋b1)＋(a2＋b2)＋…＋(an＋bn)
＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)
＝na1＋an＋b11－qn
2
1－q
＝n2＋2n＋84n－1. 3
19．(1)解 由题意得 4Sn＝(an＋1)2.
，
k＝1 时，a1＋a2＋…＋a13＋a14＋…＋a20＝12＋11＋…＋1＋0＋1＋2＋…＋7＝1312＋0＋ 2
71＋7＝106，不合题意． 2
k＝2 时，a2＋a3＋…＋a13＋a14＋…＋a21＝11＋10＋…＋1＋0＋1＋2＋…＋7＋8＝1211＋0＋ 2
81＋8＝66＋36＝102，满足题意．经检验，k＝4 时，不满足题意， 2
A.n2＋5n B.n2＋5n C.n2＋3n D.n2＋3n
2
4
2
4
7．(2019·北京市朝阳区摸底)数列{an}满足a1n＋an1＋2＝an2＋1，a1＝1，a8＝115，bn＝anan＋1，数列{bn}
的前 n 项和为 Sn，则满足 Sn>2131的最小的 n 的值为(
)
A．9 B．10 C．11 D．12
一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的)
1．(2020·芜湖市第一中学模拟)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 a4＋a5＝24，S6＝48，则
{an}的公差为( )
A．1 B．4 C．2 D．8
2．已知正项等比数列{an}满足 log1(a1a2a3a4a5)＝0，且 a6＝1，则数列{an}的前 9 项和为( )
年增加 2 万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为________．
15．(2020·山东省淄博市实验中学月考)已知数列{an}的前 n 项和公式为 Sn＝n2，则 an＝
________；若 bn＝2an，数列{bn}的前 n 项和 Tn＝________.(本题第一空 2 分，第二空 3 分)
二、多项选择题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．全部选对的得 5 分，部分选对的得
3 分，有选错的得 0 分) 9．(2020·江苏省扬州市新华中学月考)已知数列{an}的通项公式为 an＝|n－13|，那么满足 ak
＋ak＋1＋…＋ak＋19＝102 的整数 k 等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设
bn＝ 1 ，设数列{bn}的前 anan＋1
n
项和为
Tn，求证：Tn<12.
2 20.(13 分)已知在数列{an}中，a1＝1，前 n 项和为 Sn，且满足数列 nan 是公差为 1 的等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
3 (2)若(n＋1)2Sn－λ 2 n－1≤0 恒成立，求λ的取值范围．
∴a3>0，a7>0，
由 2 ＋ 3 ≥2 2 · 3 ＝ 2 6 ＝2 6，
a3 a7
a3 a7 a3·a7 a5
4
即 a5≥2，符合题意的有 ABD.] 12．BC [由题意得 an＝2n－1，
1
A
项， 1 ＝ 1 ，an＋1＝2n－1＝1，
an 2n－1 1
2n 2
an
1
所以
an
是公比为1的等比数列，不是等差数列，故不正确； 2
单元检测六 数 列(提升卷)
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共 4 页．
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应 位置上．
3．本次考试时间 100 分钟，满分 130 分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
即 an＝2n－1(n∈N＋)．
(2)证明 bn＝ana1n＋1＝2n－112n＋1
＝1·
1－1 2n－1 2n＋1
，
2
所以
Tn＝1
1－1＋1－1＋1－1＋…＋ 33557
2
1－1 2n－1 2n＋1
＝1
1－2n1＋1
<1.
2
2
20．解 (1)因为 a1＝1，所以a21＝2，
2 又因为数列 nan 是公差为 1 的等差数列，
三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上)
13．若数列{an}的前 n 项和为 Sn＝2n－2n＋3，则 a3＋a4＝________.
14．某企业投入 100 万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是 0.5 万元，此外每年都要
花费一定的维护费，第一年的维护费为 2 万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一
2
16．已知数列{an}满足 a1＝13,3an＋1＋an－4＝0，Sn 为数列{an}的前 n 项和，则满足不等式
|Sn－n－9|> 1 的 n 的最大值为________． 1 000
四、解答题(本题共 4 小题，共 50 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12 分)(2018·全国Ⅱ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，已知 a1＝－7，S3＝－15.
n－1，故
an＝12×
－1 3
n－1＋1，
－1
12 1－ 3 n
－1
所以 Sn＝
－1 ＋n＝9－9× 3 n＋n，

1－ 3
| | －1
|Sn－n－9|＝ －9× 3 n >
1
，
1 000
解得最大正整数 n＝8.
17．解 (1)设等差数列{an}的公差为 d， 由题意得 3a1＋3d＝－15.由 a1＝－7 得 d＝2. 所以数列{an}的通项公式为 an＝a1＋(n－1)d＝2n－9(n∈N＋)． (2)由(1)得 Sn＝a1＋an·n＝n2－8n＝(n－4)2－16.
A．14 B．15 C．16 D．121
5．设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1＝1,2Sn＝an＋1－1，则数列{an}的通项公式为( )
A．an＝3n(n∈N＋)
B．an＝3n－1(n∈N＋)
C．an＝2n(n∈N＋)
D．an＝2n－1(n∈N＋)
an 6．已知在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n＋1，则数列 n 的前 n 项和为( )
1
B
项，由
A
可知，数列
an
是首项为
1，公比为1的等比数列， 2
所以是递减数列，故正确；
C 项，log2an＝n－1，log2an＋1－log2an＝n－(n－1)＝1， 所以{log2an}是等差数列，故正确； D 项，由 C 可知{log2an}是公差为 1 的等差数列， 所以是递增数列，故 D 不正确．]
2 整理可得λ≥2n(n＋1) 3 n－1.
2 设 bn＝2n(n＋1) 3 n－1，
2
则bbn＋n 1＝22nn＋n1＋n1＋ 232n－31
n
＝2n＋2. 3n
令bn＋1＝2n＋2≥1，解得 1≤n≤4，n∈N＋，
bn
3n
所以 b1<b2<b3<b4＝b5，b5>b6>b7>……，
2 故数列{bn}的最大项的值为 b4＝b5＝2×4×5× 3 3＝320，
k＝5 时，满足题意．
所以 k＝2 或 5 均满足题意．]
10．AB [因为{an}是等差数列，设公差为 d，由 a1＋5a3＝S8， 可得 a1＋9d＝0，即 a10＝0，即选项 A 正确； 又 S12－S7＝a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝5a10＝0，即选项 B 正确； 当 d>0 时，则 S9 或 S10 最小，当 d<0 时，则 S9 或 S10 最大，即选项 C 错误； 又 S19＝19a10＝0，a20≠0，所以 S20≠0，即选项 D 错误．] 11．ABD [∵数列是正项等比数列，
∴
36
＝ 36 ＝ 1 ＝1－ 1 ，
an＋2an＋1＋2 6n·6n＋6 nn＋1 n n＋1
36
∴数列 an＋2an＋1＋2 的前 2 020 项和为 1－1＋1－1＋…＋ 1 － 1 ＝2 020.]
223
2 020 2 021 2 021
9．AD
[因为
an＝
13－nn≤13， n－13n>13，
当 n＝1 时，4a1＝(a1＋1)2，所以 a1＝1；
当 n≥2 时，4Sn＝(an＋1)2，①
4Sn－1＝(an－1＋1)2，②
①－②得 4an＝a2n＋2an－a2n－1－2an－1，
即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.
又 an>0，所以 an－an－1＝2，
所以数列{an}是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求 Sn，并求 Sn 的最小值．
18.(12 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a2＝5，S3＝a7.