辽宁高二数学定积分复习题
数学高二-选修2试题 第4章 1 定积分的概念
第四章 §1 定积分的概念一、选择题1．一辆汽车作变速直线运动，汽车的速度v (单位：m/s)与时间t (单位：s)之间具有如下函数关系：v (t )＝t 22＋6t .求汽车在0≤t ≤2这段时间内行驶的路程s 时，将行驶时间等分成n 段，下列关于n 的取值中，所得估计值最精确的是( )A ．5B ．10C ．20D ．50将行驶时间等分得越细，得到的估计值越精确，故选D.2．已知曲线y ＝f (x )在x 轴下方，则由y ＝f (x )，y ＝0，x ＝－1和x ＝3所围成的曲线梯形的面积S 可表示为( )A ．⎠⎛－13f (x )d x B ．⎠⎛－31f (x )d x C ．－⎠⎛－13f (x )d x D ．－⎠⎛－31f (x )d x 因为f (x )位于x 轴下方，故f (x )<0，∴⎠⎛－13f (x )d x <0，故上述曲边梯形的面积为－⎠⎛－13f (x )d x . 3．设f (x )＝x 2＋x 6，则与⎠⎛－aa f (x )d x 的值一定相等的是( ) A ．0B ．2⎠⎛－a a f (x )d xC ．⎠⎛－a 0 f (x )d xD ．⎠⎛0a f (x )d x f (x )为偶函数，故它在上的图像关于y 轴对称，由定积分的几何意义可知⎠⎛－aa f (x )d x ＝⎠⎛0a f (x )d x .4.⎠⎛14x d x 表示平面区域的面积，则该平面区域用阴影表示为( )由定积分的几何意义可得．5．如图所示，图中曲线方程为y ＝x 2－1，用定积分表达围成封闭图形(阴影部分)的面积是( )A ．|⎠⎛02(x 2－1)d x | B.⎠⎛02(x 2－1)d x C ．⎠⎛02|x 2－1|d x D.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x 面积S ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝⎠⎛02|x 2－1|d x ，故选C ． 二、填空题6．利用定积分的几何意义在⎠⎛039－x 2d x ＝________. 被积函数y ＝9－x 2表示的曲线是圆心在原点，半径为3的圆的上半圆周，积分区间由定积分的几何意义可知此积分计算的是14圆的面积． 所以有⎠⎛039－x 2d x ＝π×324＝94π. 7．根据定积分的几何意义写出下列定积分．(1) ⎠⎛－11x d x ＝________；(2)∫2π0cos x d x ＝________. (1)如答图①所示，⎠⎛－11x d x ＝－S ＋S ＝0. (2)如答图②所示，∫2π0cos x d x ＝S 1－S 2＋S 3＝0.8．若a＝⎠⎜⎛π4x d x，b＝⎠⎜⎛π4sin x d x，c＝⎠⎜⎛π4tan x d x，则三者之间的大小关系为________．x∈(0，π4)时，sin x<x<tan x，所以b<a<c.三、解答题9．用图像表示下列定积分：(1)⎠⎛12log2x d x；(2)⎠⎛26x d x.(1)⎠⎛12log2x d x表示曲线y＝log2x，直线x＝1，x＝2及x轴围成的曲边梯形的面积，如图中阴景部分所示．(2)⎠⎛26x d x表示直线y＝x，x＝2，x＝6及x轴围成的直角梯形的面积，如图中阴影部分所示.一、选择题1．已知⎠⎛4f(x)d x＝4，则()A．2⎠⎛1f(x)d x＝1 B．⎠⎛2f(x)d x＋⎠⎛24f(x)d x＝4C．⎠⎛2f(x)d x＝1 D．⎠⎛1f(x)d x＝1利用定积分的性质解决．⎠⎛4f(x)d x＝⎠⎛2f(x)d x＋⎠⎛24f(x)d x＝4.2．一物体沿直线运动，其速度v(t)＝2t，这个物体在t＝0到t＝1这段时间所走的路程为()A ．13B ．12C ．1D ．2所走的路程为⎠⎛012t d t ，由定积分的几何意义作图求得⎠⎛012t d t ＝1. 3．由曲线y ＝e x 和x ＝0，y ＝2围成图形的面积S 表示为( )A ．∫ln20e x d xB ．2ln2－∫ln20e x d xC ．∫ln20(2＋e x )d xD ．以上都不对如图所示，可先求得由x 轴，x ＝0，x ＝ln2和y ＝e x 围成的曲边梯形的面积Ⅰ即为∫ln20e x d x ，再由矩形面积2ln2减去该曲边梯形面积可得所求面积S .4．某汽车作变速直线运动，在时刻t (单位：h)时的速度为v (t )＝t 2＋2t (单位：km/h)，那么它在3≤t ≤4这段时间内行驶的路程s (单位：km)可表示为( )A ．⎠⎛34(t 2＋2t )dtB ．⎠⎛341dt C ．t 3＋2t 2D ．⎠⎛43(t 2＋2t )dt物体在某段时间内行驶的路程可以用积分表示，其中被积函数是速度关于时间的函数． 如图所示，阴影部分的面积表示汽车在3≤t ≤4这段时间内行驶的路程s ，则s ＝⎠⎛34v (t )dt ＝⎠⎛34(t 2＋2t )dt .故选A ． 实际生活中许多问题都可以用定积分来解决．若质点的速度为v (t )，则它在a ≤t ≤b 这段时间内行驶的路程s ＝⎠⎛ab v (t )dt . 二、填空题5．由定积分的几何意义，则⎠⎛a －a a 2－x 2d x 的值(a >0)为________． 利用定积分的几何意义：当曲边梯形在x 轴上方时，定积分的值取正，为曲边梯形面积． 此定积分的值可看成曲线y ＝a 2－x 2，x ＝a ，x ＝－a ，y ＝0围成的曲边梯形的面积． ∵y ＝a 2－x 2≥0，即x 2＋y 2＝a 2(y ≥0)表示圆心在原点，半径为a 的圆在x 轴上方的半圆．∴⎠⎛-a a a 2－x 2d x ＝π2a 2. 弄清定积分表示什么图形，并求相应图形的面积，即为所求定积分．6．利用求定积分定义求⎠⎛-1a x 2d x 的值为________． n 等分，得每个小区间的长度h ＝3n，取ξi ＝－1＋ih (i ＝0,1,2，…，n －1)，作和S n ＝∑i ＝0n －1 (－1＋ih )2h ＝nh －2h 2∑i ＝0n －1i ＋h 3∑i ＝0n －1i 2，于是lim n →＋∞S n＝3，即⎠⎛-12x 2d x ＝3.利用定义求定积分时要注意将n 等分，利用极限求定积分的值．三、解答题7．求定积分⎠⎛-222d x 的大小．由几何意义知，⎠⎛-222d x 表示由直线y ＝2，x ＝－2，x ＝2，y ＝0所围成的矩形ABCD 的面积．如图所示．则⎠⎛-222d x ＝4×2＝8.8．利用定积分的几何意义比较下列各对积分值的大小．(1)⎠⎛01x 2d x 与⎠⎛01x d x ；(2)⎠⎛0110x d x 与⎠⎛015x d x . (1)因为在(0,1)上x 2<x ，所以⎠⎛01x 2d x <⎠⎛01x d x .(2)因为在(0,1)上10x >5x ，所以⎠⎛0110x d x >⎠⎛015x d x .。
(北师大版)沈阳市高中数学选修2-2第四章《定积分》检测卷(有答案解析)
一、选择题1．给出下列函数：①()()2ln 1f x x x =+-；②()3cos f x x x =；③()xf x e x =+.0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰的函数是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③2．设若20lg ,0()3,0ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰，((1))1f f =，则a 的值是( ) A ．-1 B ．2 C ．1 D ．-23．3204x dx -=⎰（ ）A ．213 B ．223 C ．233 D ．2534．已知1(1)1x f x x e ++=-+，则函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为 A ．14 B ．12C ．1D ．2 5．若在R 上可导,,则( )A ．B ．C ．D ．6．121(1)x x dx --=⎰（ ）A ．1π+B ．1π-C ．πD ．2π7．定积分()1e2xx dx -⎰的值为（ ）A ．e 2-B ．e 1-C ．eD ．e 1+8．使函数()322912f x x x x a =-+-图象与x 轴恰有两个不同的交点，则实数a 可能的取值为（ ） A ．8B ．6C ．4D ．29．若向区域(){},|0101x y x y Ω=≤≤≤≤，内投点，则该点落在由直线y x =与曲线y x = ）A ．18B ．16C ．13D ．1210．定义{},,min ,,,a ab a b b a b ≤⎧=⎨>⎩设31()min ,f x x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则由函数()f x 的图象与x 轴、直线4x =所围成的封闭图形的面积（ ）A ．12ln 26+ B ．12ln 24+ C ．1ln 24+ D ．1ln 26+ 11．120(1(1))x x dx ⎰---=（ ） A ．22π+B ．12π+ C ．122π-D ．142π- 12．二维空间中圆的一维测度（周长）2l r π=，二维测度（面积）2S r π=，观察发现()S r l '=：三维空间中球的二维测度（表面积）24S r π=，三维测度（体积）343V r π=，观察发现()V r S '=.则由四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四维测度W =（ ）. A ．224r πB ．283r πC ．514r πD ．42r π二、填空题13．若2211S x dx =⎰，2211S dx x =⎰，231x S e dx =⎰，则1S ，2S ，3S 的大小关系为___．14．已知1211a x dx -=-⎰，则61[(2)]2a x xπ+--展开式中的常数项为______．15．定积分211(2)x dx x+⎰的值为_____ ．16．()1||214x ex dx -+-=⎰__________________17．已知等差数列{}n a 中， 225701a a x dx +=-⎰，则468a a a ++=__________．18．()12021x x dx +-=⎰________19．曲线2y x =与直线230x y --=所围成的平面图形的面积为________. 20．曲线2y x 和曲线y x =围成一个叶形图（如图所示阴影部分），其面积是________．三、解答题21．已知函数()221y f x x x ==-++和()1y g x x ==-，求：由()y f x =和()y g x =围成区域的面积.22．已知函数1()ln f x a x x=-，a R ∈。
大连市高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(答案解析)
一、选择题1．给出以下命题： （1）若()0haf x dx >⎰，则()0f x >；（2）20|sin |4x dx π=⎰；（3）()f x 的原函数为()F x ，且()F x 是以T 为周期的函数，则：()()aa TTf x dx f x dx +=⎰⎰其中正确命题的个数为（ ）． A ．1B ．2C ．3D ．42．在1100x y x y ==-=,,,围成的正方形中随机投掷10000个点，则落入曲线20x y -=,1y =和y 轴围成的区域的点的个数的估计值为（ ）A ．5000B ．6667C ．7500D ．78543．已知是i 虚数单位，复数()1a i z a R i -=∈-，若01||(sin )z x dx ππ=-⎰，则a =（ ）A ．±1B ．1C ．1-D ．12±4．设1130,,a b xdx c x dx ===⎰⎰，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．a b c >>5．若函数()32nxf x x x =++在点()1,6M 处切线的斜率为33ln3+，则n 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．36．等比数列{}n a 中,36a =,前三项和3304S xdx =⎰,则公比q 的值为（ ）A ．1-或12-B ．1或12-C ．12-D ．17．曲线22y x x =-与直线11x x =-=，以及x 轴所围图形的面积为（ ） A ．2 B ．83 C ．43 D ．238．已知10(31)()0ax x b dx ，,a b ∈R ，则⋅a b 的取值范围为（ ）A ．1,9B ．1,1,9C ．1,[1,)9D ．()1,+∞9．曲线22,y x y x ==所围成图形的面积是（ ） A ．1B ．13C ．12D ．2310．设曲线e xy x =-及直线0y =所围成的封闭图形为区域D ,不等式组1102x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所确定的区域为E ,在区域E 内随机取一点,则该点落在区域D 内的概率为A ．2e 2e 14e --B ．2e 2e 4e -C ．2e e 14e --D ．2e 14e-11．已知函数20()cos 0x f x x x ≥⎧=⎨<⎩,则12()f x dx π-⎰的值等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．已知函数()[](]2sin ,,01,0,1x x f x x x π⎧∈-⎪=⎨-∈⎪⎩，则()1f x dx π-=⎰（ ） A ．2π+B ．2πC ．22π-+D ．24π-二、填空题13．由函数()ln f x x x x =-的图像在点(,())P e f e 处的切线,l 直线1x e -=直线x e =（其中e 是自然对数的底数）及曲线ln y x =所围成的曲边四边形(如图中的阴影部分)的面积S =_________.14．由曲线2y x=与直线1y =x -及1x =所围成的封闭图形的面积为__________． 15．曲线2y x x 和2y x x 所围成的封闭图形的面积是_______.16．()12012x x dx -=⎰__________．17．由直线2y x =+与曲线2y x 围成的封闭图形的面积是__________．18．设函数2()f x ax b =+（0a ≠），若300()3()f x dx f x =⎰，00x >，则0x =__________．19．定积分2sin cos t tdt π=⎰________．20．如图，两曲线2y x =，2y x 围成图面积__________．三、解答题21．已知2()2ln ,(0,]f x ax x x e =-∈ 其中e 是自然对数的底 . (1)若()f x 在1x = 处取得极值,求a 的值； (2)求()f x 的单调区间；22．计算曲线223y x x =-+与直线3yx所围图形的面积．23．在曲线2(0)y x x =≥上某一点A 处作一切线与曲线及坐标轴所围成图形的面积为112， 试求：（1）点A 的坐标； （2）过切点A 的切线方程.24．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，E 为AB 的中点.求：（1）异面直线1BD 与CE 所成角的余弦值； （2）点A 到平面1A EC 的距离.25．有一动点P 沿x 轴运动,在时刻t 的速度为v (t )=8t-2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致). (1)P 从原点出发,当t=6时,求点P 运动的路程; (2)P 从原点出发,经过时间t 后又返回原点,求t 的值. 26．已知函数()ln mf x x x=+()m R ∈. （1）若函数()f x 的图象与直线240x y +-=相切，求m 的值； （2）求()f x 在区间[]1,2上的最小值；（3）若函数()f x 有两个不同的零点1x ， 2x ，试求实数m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】(1)根据微积分基本定理,得出()()()0haf x dx F h F a =->⎰,可以看到与()f x 正负无关.(2)注意到sin x 在[]0,2π的取值符号不同,根据微积分基本运算性质,化为220|sin ||sin ||sin |x dx x dx x dx ππππ=+⎰⎰⎰求解判断即可.(3)根据微积分基本定理,两边分别求解,再结合()()F a T F a +=,()()0F T F =判定. 【详解】 (1)由()()()0haf x dx F h F a =->⎰,得()()F h F a >,未必()0f x >.(1)错误.(2)()22200|sin ||sin ||sin |sin sin x dx x dx x dx xdx x dx πππππππ=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰()()20cos |cos |11114x x πππ=-+=--+--=,(2)正确.(3)()()0()0af x dx F a F =-⎰,()()()()()0a TTf x dx F a T F T F a F +=+-=-⎰；故()()aa T Tf x dx f x dx +=⎰⎰；(3)正确.所以正确命题的个数为2, 故选：B. 【点睛】本题主要考查了命题真假的判定与定积分的计算,属于中档题.2．B解析：B 【分析】应用微积分基本定理求出对应的原函数，再由定积分定义求出空白区域面积，由正方形面积减去空白区域面积即可求出阴影部分面积，结合几何概型可推导出对应区域内的点的个数 【详解】由微积分基本定理可求出2yx 的原函数为()313F x x =，空白区域面积为31101133S x ==，故阴影部分面积212133S =-=，由几何概型可知，落入阴影部分的点数估计值为21000066673⨯≈ 故选：B 【点睛】本题考查定积分与微积分的基本定理，几何概型，属于基础题3．A解析：A 【解析】 因为11122a i a a z i i -+-==+-，所以222111()()22222a a z a +-=+=+式0011(sin )[cos ]|1x dx x x ππππ-=--=⎰22122112a a +=⇒=，即1a =±，应选答案A 。
高二数学积分试题答案及解析
高二数学积分试题答案及解析1.计算的结果为（）.A．1B．C．D．【答案】C【解析】先利用定积分的几何意义求：令，即表示单位圆的（如图），即是圆面积，即；所以=.【考点】定积分的几何意义.2.若,其中,则( ).A．B．C．D．【答案】B【解析】，，即，解得；又因为，所以，即.【考点】微积分基本定理、二倍角公式.3.等于（）A．πB．2C．π﹣2D．π+2【答案】D【解析】，故选Ｄ．【考点】定积分．4.由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（）A．1B．C．D．【答案】A【解析】由定积分的几何意义得面积为。
【考点】定积分的应用5.．【答案】【解析】【考点】微积分基本定理的应用.6.若在上可导，，则____________．【答案】【解析】因为，令可得所以所以．【考点】1．导数的计算；2．定积分．7.求曲线，所围成图形的面积.【答案】【解析】由解得:;画出图象可知所求面积应为:【考点】定积分求面积.8.等于（）A．B．2C．D．【答案】A【解析】【考点】定积分的基本概念及运算9.由曲线与直线所围成的平面图形(下图中的阴影部分)的面积是____________．【答案】【解析】显然，根据对称性，只需算左边阴影部分的面积即可，曲线y=sinx，y=cosx的交点坐标为(),∴左边阴影部分的面积=，∴阴影部分面积S=2()=．【考点】定积分求曲边图形的面积．10.曲线与坐标轴所围成图形面积是()A．4B．2C．D．3【答案】D【解析】===3【考点】定积分的计算.11.．【答案】【解析】。
【考点】微积分的计算。
12.函数与轴，直线围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，知该封闭图形的面积为，故选B．【考点】定积分的运算及应用．13.曲线，与坐标轴围成的面积（）A．４B．３C．２D．0【答案】A【解析】根据正弦函数的图像及定积分的几何意义，可知所求面积，故选A.【考点】定积分在几何中的应用.14.定积分等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，故选A.【考点】定积分的运算.15.定积分 .【答案】【解析】因为，其中，表示以原点为圆心，1为半径的圆的面积，所以，所以.【考点】1.定积分的运算；2.定积分的几何意义.16.下列值等于1的定积分是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】；；【考点】定积分的计算。
高二定积分计算练习题
高二定积分计算练习题在高二数学学习中，定积分是一个重要的概念和工具，它在许多领域发挥着重要作用。
为了更好地理解和掌握定积分的计算方法，我们需要通过练习来提高我们的技能。
本文将为大家提供一些高二定积分计算的练习题，并且通过详细的解答来帮助大家掌握解题方法。
练习题1：计算定积分$\int_0^1 (3x^2 - 2x + 1)dx$解答：首先我们可以将被积函数展开成多项式的形式，即$3x^2 - 2x + 1$。
然后，根据定积分的定义，我们可以分别计算每一项的积分。
$\int_0^1 (3x^2 - 2x + 1)dx = \int_0^1 3x^2 dx - \int_0^1 2x dx +\int_0^1 1 dx$接下来，我们按照幂函数的积分公式进行计算。
$\int_0^1 3x^2 dx = [x^3]_0^1 = 1 - 0 = 1$$\int_0^1 2x dx = [x^2]_0^1 = 1 - 0 = 1$$\int_0^1 1 dx = [x]_0^1 = 1 - 0 = 1$将上述结果代入原式中，得到$\int_0^1 (3x^2 - 2x + 1)dx = 1 - 1 + 1 = 1$练习题2：计算定积分$\int_1^2 (2x^3 - 3x^2 + 4x - 1)dx$解答：同样地，我们可以将被积函数展开成多项式的形式，即 $2x^3 -3x^2 + 4x - 1$。
然后，根据定积分的定义，我们可以分别计算每一项的积分。
$\int_1^2 (2x^3 - 3x^2 + 4x - 1)dx = \int_1^2 2x^3 dx - \int_1^2 3x^2 dx + \int_1^2 4x dx - \int_1^2 1 dx$接下来，我们按照幂函数的积分公式进行计算。
$\int_1^2 2x^3 dx = \left[\frac{2}{4}x^4\right]_1^2 = \frac{16}{4} -\frac{2}{4} = 4 - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$$\int_1^2 3x^2 dx = [x^3]_1^2 = 8 - 1 = 7$$\int_1^2 4x dx = [2x^2]_1^2 = 8 - 4 = 4$$\int_1^2 1 dx = [x]_1^2 = 2 - 1 = 1$将上述结果代入原式中，得到$\int_1^2 (2x^3 - 3x^2 + 4x - 1)dx = \frac{7}{2} - 7 + 4 - 1 =\frac{1}{2}$通过以上两个练习题的解答，我们可以看到定积分的计算过程其实就是将被积函数展开，并按照幂函数的积分公式进行计算。
高二数学-导数定积分
高二数学 导数、定积分测试题（考试时间：100分钟，满分120分）班级 姓名 学号 得分 一、选择题(共10小题，每小题4分,共40分)1. 已知函数f (x )=ax 2＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为 （ ） A.1B.2C.－1D. 02. 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为 （ ） A ．(x-1)3+3(x-1) B ．2(x-1)2 C ．2(x-1) D ．x-13. 已知函数()f x 在1x =处的导数为1，则(1)(1)3limx f x f x x→--+= ( )A ．3B ．23-C ． 13D ．32-4. 函数y =(2x ＋1)3在x =0处的导数是 （ ） A.0 B.1 C.3 D.65．函数)0,4(2cos π在点x y =处的切线方程是 （ ）A ．024=++πy xB ．024=+-πy xC ．024=--πy xD ．024=-+πy x6.曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴围成的面积是 （ ） A.4 B. 52C.3D.27．一质点做直线运动,由始点起经过ts 后的距离为s=41t 4-4t 3+16t 2,则速度为零的时刻是 （ ） A.4s 末 B.8s 末 C.0s 与8s 末 D.0s,4s,8s 末8．函数313y x x =+- 有 （ ） A.极小值-1，极大值1 B. 极小值-2，极大值3 C. 极小值-1，极大值3 D. 极小值-2，极大值2 9. 已知自由下落物体的速度为V=gt ，则物体从t=0到t 0所走过的路程（ ）A ． 2012gtB ．20gtC ． 2013gtD ．2014gt10．如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm ，则力所做的功为 （ ） A ．0.28J B ．0.12J C ．0.26J D ．0.18J二、填空题(共5小题，每小题5分,共25分)11．函数32y x x x =--的单调区间为_________________________________。
高二数学积分试题答案及解析
高二数学积分试题答案及解析1.直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）.A．2B．4C．2D．4【答案】D.【解析】作出直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形（如图）；则.【考点】定积分的几何意义.2.等于（）A．πB．2C．π﹣2D．π+2【答案】D【解析】，故选Ｄ．【考点】定积分．3.下列四个判断：①；②已知随机变量X服从正态分布N（3，），P（X≤6）=0．72，则P（X≤0）=0．28;③已知的展开式的各项系数和为32，则展开式中x项的系数为20；④其中正确的个数有：A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】对于①因为对一切实数x恒成立，所以不正确；对于②因为随机变量X服从正态分布N（3，），所以其正态曲线关于直线x=3对称，故由P（X≤6）=0．72知，所以，所以正确；对于③已知的展开式的各项系数和为32，令x=1，得，因此展开式的通项为，令10-3r=1得到r=3,所以展开式中x项的系数为，故不正确；对于④表示曲线即圆在x轴上方部分的半圆与x轴和轴y所围成的面积,所以=，而，由于，故知不正确，所以其中正确的只有1个，故选A．【考点】命题真假的判断与应用.4.若在R上可导,,则( )A．B．C．D．【答案】B【解析】欲求积分，则必须求出被积函数.由已知可知函数的解析式并不明确（未知，但为常数）.所以对原函数求导，可得,令,,所以,则.【考点】函数导数和函数积分.5.如图所示，抛物线与轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD作为工业用地，其中A、B在抛物线上，C、D在轴上.已知工业用地每单位面积价值为元，其它的三个边角地块每单位面积价值元.（1）求等待开垦土地的面积；（2）如何确定点C的位置，才能使得整块土地总价值最大.【答案】（1）;（2）点C的坐标为.【解析】（1）由于等待开垦土地是由曲线与x轴围成的，求出曲线与x轴的交点坐标，再用定积分就可求出此块土地的面积；（2）既然要确定点C的位置，使得整块土地总价值最大,那我们只需先设出点C的坐标为(x，0)，然后含x的代数式表示出矩形地块ABCD，进而结合（1）的结果就可表示出其它的三个边角地块的面积，从而就能将整块土地总价值表示成为x的函数，再利用导数求此函数的最大值即可．试题解析：（1）由于曲线与x轴的交点坐标为（－１，0）和(１,0),所以所求面积S=，故等待开垦土地的面积为 3分（2）设点C的坐标为，则点B其中，∴ 5分∴土地总价值 7分由得 9分并且当时，故当时，y取得最大值. 12分答：当点C的坐标为时，整个地块的总价值最大. 13分【考点】1.定积分;2.函数的最值.6.定积分等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】.【考点】定积分的运算.7.若的值等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据定积分的可加性，可得，故选C．【考点】定积分的计算．8.（）A．B．C．D．【答案】B【解析】．【考点】定积分的计算．9.由曲线与直线所围成的平面图形(下图中的阴影部分)的面积是____________．【答案】【解析】显然，根据对称性，只需算左边阴影部分的面积即可，曲线y=sinx，y=cosx的交点坐标为(),∴左边阴影部分的面积=，∴阴影部分面积S=2()=．【考点】定积分求曲边图形的面积．10.设则 ()A．B．C．D．不存在【答案】C【解析】，故选C.【考点】定积分的计算.11.设f(x) =且，则= .【解析】，，解得。
大连市高中数学选修2-2第四章《定积分》检测卷(有答案解析)
一、选择题1．若2(sin cos )2x a x dx π-=⎰，则实数a 等于（ ）A ．1-B ．1C ．3-D ．32．对于函数()sin x f x x =， 30,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，下列说法错误的是（ ） A ．函数()f x 在区间()0,π是单调函数 B ．函数()f x 只有1个极值点 C ．函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭有极大值 D ．函数()f x 有最小值，而无最大值 3．22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x ===⎰⎰⎰若 ，则s 1,s 2,s 3的大小关系为（ ）A ．s 1＜s 2＜s 3B ．s 2＜s 1＜s 3C ．s 2＜s 3＜s 1D ．s 3＜s 2＜s 14．设()2012a x dx =-⎰,则二项式6212a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的常数项是（ ）A ．240B ．240-C ．60-D ．605．由23y x =-和2y x =围成的封闭图形的面积是（ ） A ．23 B ．923- C ．323 D ．3536．曲线与两坐标轴所围成图形的面积为（ ） A ．B ．C ．D ．7．已知10(31)()0ax x b dx ，,a b ∈R ，则⋅a b 的取值范围为（ ）A ．1,9B ．1,1,9C ．1,[1,)9D ．()1,+∞8．设曲线e xy x =-及直线0y =所围成的封闭图形为区域D ,不等式组1102x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所确定的区域为E ,在区域E 内随机取一点,则该点落在区域D 内的概率为A ．2e 2e 14e--B ．2e 2e 4e -C ．2e e 14e --D ．2e 14e-9．定义{},,min ,,,a ab a b b a b ≤⎧=⎨>⎩设31()min ,f x x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则由函数()f x 的图象与x 轴、直线4x =所围成的封闭图形的面积（ ） A ．12ln 26+ B ．12ln 24+ C ．1ln 24+ D ．1ln 26+ 10．20sin xdx π=⎰（ ）A ．4B ．2C ．-2D ．011．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．4B ．2C ．43D ．2312．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′π()6，则f π()3-与f π()3的大小关系是( ) A ．f π()3-＝f π()3B ．f π()3-＞f π()3 C ．f π()3-＜f π()3D ．不确定二、填空题13．由曲线2y x=，直线y =2x ，x =2所围成的封闭的图形面积为______． 14．质点运动的速度()2183/v t t m s =-，则质点由开始运动到停止运动所走过的路程是______.15．计算()0cos 1x dx π⎰+=_________.16．已知函数()()()22ln 1,0ln 1,0x x x x f x x x x x ⎧++≥⎪=⎨--+<⎪⎩，若()()()21f a f a f -+≤，则实数a 的取值范围是___________． 17．定积分121(4sin )x x dx --+=⎰________.18．若()()4112ax x -+的展开式中2x 项的系数为4，则21ae dx x=⎰________________ 19．二项式33()6a x -的展开式的第二项的系数为,则的值为______．20．如图，两曲线2y x =，2y x 围成图面积__________．三、解答题21．设函数()32f x x ax bx =++在点1x =处有极值2-.(1)求常数,a b 的值;(2)求曲线()y f x =与x 轴所围成的图形的面积. 22．已知函数()ln 3mf x x x x=++. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意的[]0,2m ∈，不等式()()1f x k x ≤+，对[]1,x e ∈恒成立，求实数k 的取值范围.23．设函数()x x f x e e -=- （1）证明：'()2f x ≥；（2）若对任意[0,)x ∈+∞都有21(22)f x x e e ---<-，求x 的取值范围.24．设函数()32,0{,0xx x x f x axe x ->=≤，其中0a >. （1）若直线y m =与函数()f x 的图象在(]0,2上只有一个交点，求m 的取值范围； （2）若()f x a ≥-对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 25．已知()y f x =是二次函数，方程0f x 有两相等实根，且()22f x x '=+（Ⅰ）求()f x 的解析式．（Ⅱ）求函数()y f x =与函数241y x x =--+所围成的图形的面积． 26．已知()xkx bf x e +=． （Ⅰ）若()f x 在0x =处的切线方程为1y x =+，求k 与b 的值； （Ⅱ）求1x xdx e ⎰．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A 解析：A 【解析】试题分析：解：因为()()()2200sin cos cos sin |cossincos0sin 022x a x dx x a x a a ππππ-=--=-----⎰＝()010a ----＝1a -，所以12a -=，所以， 1.a =-故选A. 考点：定积分.2．C解析：C【解析】函数()sin x f x x =，可得函数()2cos sin 'x x x f x x -= ，当02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，由三角函数线可知， tan x x <，即不等式cos sin 0x x x -<成立，可得02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()'0f x < ，函数是减函数．当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， cos sin 0x x x -<，函数是减函数．函数在2x π= 时连续，所以函数()()sin 0,xf x x xπ=∈，的单调区间为()0π，，又当3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， cos sin 0x x x ->，即()'0f x >，则函数在x π=时取得极小值，所以函数()f x 有最小值，而无最大值，据此可知选项C 错误，故选C. 点睛：对于①针对函数()sin x f x x =的性质，当02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，由三角函数线可知， tan x x <；利用商的导数运算法则及基本初等函数的导数公式，求出函数的导数()2cos sin 'x x xf x x -=，然后根据导函数的符号确定函数的单调性和函数的极值即可得到结论．3．B解析：B 【解析】3221321322217ln |ln 2||,.11133x S x S x S e e e S S S ==<==<==-∴<<选B.考点：此题主要考查定积分、比较大小，考查逻辑推理能力.4．D解析：D【解析】试题分析：242a =-=-，62122x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项为()()662112366112222rrrrr r rC x x C x----⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1230,4r r -==，系数为()244612602C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.考点：定积分、二项式定理．5．C解析：C 【解析】试题分析：画出函数图象如下图所示，所以围成的面积为()13122333232333x x x dx x x --⎛⎫--=--= ⎪⎝⎭⎰.考点：定积分.6．C解析：C 【解析】 试题分析：，当时，，当时，，所以确定备积区间，备积函数是所以，根据定积分的公式，故选．考点：1．定积分的定义；2．定积分的应用．7．C解析：C 【分析】本题可以先根据定积分的运算法则建立a 与b 的等量关系，然后设abt ，则312t a b，再然后根据构造法得出a 、b 为方程23102t xx t 的根，最后根据判别式即可得出结果． 【详解】112(31)()(33)ax x b dx ax abx x b dx 12230331()02222abx x ab ax bx a b =+++=+++=， 即3210ab a b ，设abt ，则312t a b，a 、b 为方程23102t xx t 的根，有231402t t ，解得19t 或1t ≥， 所以1,[1,)9a b ，故选C ．【点睛】本题考查定积分的运算法则以及构造法，能否根据被积函数的解析式得出原函数的解析式是解决本题的关键，考查韦达定理的使用，是中档题．8．D解析：D 【详解】曲线e x y x =-及直线0y =所围成封闭图形的面积()1211112xx S e x dx e x -⎛⎫=-=- ⎪-⎝⎭⎰阴影=1e e --;而不等式组1102x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所确定区域的面积22 4.S =⨯=所以该点落在区域D 内的概率1S 4S e e P --==阴影=2e 14e-.故选D. 【方法点睛】本题题主要考查定积分的几何意义及“面积型”的几何概型，属于中档题.解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与体积有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总面积以及事件的面积积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否等可能性导致错误.9．B解析：B 【解析】由31x x=，得1x =±，则图象的交点为(1,1)--，(1,1) ∵()31min ,f x x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭∴根据对称性可得函数()f x 的图象与x 轴、直线4x =所围成的封闭图形的面积为143401141111|ln |ln 42ln 201444x dx dx x x x +=+=+=+⎰⎰ 故选B10．D解析：D 【分析】根据积分公式直接计算即可. 【详解】2200sin cos |cos 2cos0110xdx x πππ=-=-+=-+=⎰.故选：D. 【点睛】本题主要考查积分的计算，要求熟练掌握常见函数的积分公式，属于基础题.11．D解析：D 【分析】根据三视图可得到该几何体的直观图，进而可求出该几何体的体积. 【详解】根据三视图可知该几何体为四棱锥E ABCD -，四边形ABCD 是边长为1的正方形，BE ⊥平面ABCD ，2BE =，则四棱锥E ABCD -的体积为1233ABCD V S BE =⋅=. 故选D.【点睛】本题考查了三视图，考查了四锥体的体积的计算，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.12．C解析：C 【解析】依题意得f′(x)＝－sin x ＋2f′π()6 ，所以f′π()6＝－sin π()6＋2f′π()6，f′π()6＝，f′(x)＝－sin x ＋1，因为当x ∈ππ(,)22-时，f′(x)＞0，所以f(x)＝cos x ＋x 在ππ(,)22-上是增函数，所以f π3⎛⎫-⎪⎝⎭＜f π3⎛⎫⎪⎝⎭,选C. 二、填空题13．3-2ln2【分析】求出曲线直线y=2x 的交点坐标根据定积分的几何意义列式即可求解【详解】依题意联立方程组解得所以封闭的图形面积为=（x2-2lnx ）=3-2ln2故答案为：3-2n2【点睛】本题考解析：3-2ln2 【分析】 求出曲线2y x=，直线y=2x 的交点坐标，根据定积分的几何意义列式，即可求解． 【详解】依题意，联立方程组22y x y x⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩， 所以封闭的图形面积为212(2)x dx x -⎰=（x 2-2lnx ）21=3-2ln2．故答案为：3-2n2．【点睛】本题考查了定积分的几何意义，定积分的求法，其中解答中确定定积分式，准确运算是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及计算能力，属于基础题．14．108m 【分析】令速度为0求出t 的值0和6求出速度函数在上的定积分即可【详解】由得或当时质点运动的路程为故答案为：108m 【点睛】本题主要考查了定积分定积分在物理中的应用属于中档题解析：108m. 【分析】令速度为0求出t 的值 0和6，求出速度函数在[0,6]上的定积分即可. 【详解】由21830t t -=，得0t =或6t =， 当[0,6]t ∈时，质点运动的路程为()()662233201839696108S t t dt tt=-=-=-+⨯=⎰，故答案为：108m 【点睛】本题主要考查了定积分，定积分在物理中的应用，属于中档题.15．【解析】【分析】利用微积分基本定理直接计算即可【详解】即答案为【点睛】本题考查了定积分的运算属于基础题 解析：π【解析】 【分析】利用微积分基本定理直接计算即可. 【详解】()()()()0cos 1sin sin sin 00.0x dx x x πππππ⎰+=+=+-+=即答案为π. 【点睛】本题考查了定积分的运算，属于基础题．16．【解析】分析：判断为偶函数运用导数判断在的单调性则转化为解不等式即可得到的范围详解：∵函数∴当时则；当时则∴即函数为偶函数当时则故函数在上为单调增函数∵∴即∴∴故答案为点睛：本题考查函数的奇偶性和单 解析：[]1,1-【解析】分析：判断()f x 为偶函数，运用导数判断()f x 在[0,)+∞的单调性，则()()()21f a f a f -+≤转化为1a ≤，解不等式即可得到a 的范围．详解：∵函数()()()221,01,0xln x x x f x xln x x x ⎧++≥⎪=⎨--+<⎪⎩∴当0x >时，则0x -<，2()ln(1)()f x x x x f x -=++=； 当0x <时，则0x ->，2()ln(1)()f x x x x f x -=--+=.∴()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数.当0x ≥时，2()ln(1)f x x x x =++，则()ln(1)201xf x x x x=+++≥+'，故函数()f x 在[0,)+∞上为单调增函数. ∵()()()21f a f a f -+≤ ∴2()2(1)f a f ≤，即()(1)f a f ≤. ∴1a ≤ ∴11a -≤≤ 故答案为[]1,1-.点睛：本题考查函数的奇偶性和单调性的应用.在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去f “”，即将函数值的大小转化自变量大小关系17．【解析】分析：由定积分的几何意义画出图形由面积可得定积分由奇函数在对称区间的积分知为0可得解详解：∵表示圆与x 轴围成的图形CDAB ∴又为奇函数所以∴故答案为：点睛：定积分的计算一般有三个方法：（1）解析：233π+. 【解析】分析：由定积分的几何意义画出图形由面积可得定积分，由奇函数在对称区间的积分知为0，可得解.详解：11122111(4sin )4sin x x dx x dx xdx ----+=-+=⎰⎰⎰，∵214x dx --表示圆224x y +=与x 轴围成的图形CDAB ，OAB 1214233632OCB ODAS SSππ=⨯⨯=+=⨯扇形，.∴1212433x dx π--=+⎰， 又sin x 为奇函数，所以11sin 0xdx -=⎰，∴1212(4sin )33x x dx π--+=+⎰， 故答案为：233π+. 点睛：定积分的计算一般有三个方法：（1）利用微积分基本定理求原函数；（2）利用定积分的几何意义，利用面积求定积分；（3）利用奇偶性对称求定积分，奇函数在对称区间的定积分值为0.18．【解析】由题意得项的系数为所以点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项可依据条件写出第项再由特定项的特点求出值即可(2)已知展开式的某项求特定项的系数可由某项得出参数项解析：ln51-【解析】由题意得2x项的系数为221445224,2C aC a ⋅-⨯==，所以5225152ln |ln ln ln5 1.222ee dx x e x ==-=-⎰ 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.19．或【解析】试题分析：展开后第二项系数为时时考点：1定积分；2二项式定理解析：3或73 【解析】试题分析：展开后第二项系数为233122a a -=-∴=±，1a =时3121|33x -==，1a =-时 31217|33x --== 考点：1．定积分；2．二项式定理20．【解析】试题分析：作出如图的图象联立解得或即点所求面积为：考点：定积分 解析：13 【解析】 试题分析：作出如图的图象，联立，解得或，即点，所求面积为： .考点：定积分.三、解答题21．(1)0,3a b ==-;(2)92. 【分析】（1）求出导函数，利用函数()32f x x ax bx =++在1x =处有极值2-，由()12f =-且()'10f =,解方程组，即可求得,a b 的值；（2）利用定积分的几何意义，先确定确定函数的积分区间，被积函数，再求出原函数，利用微积分基本定理，结合函数的对称性即可得结论.【详解】(1)由题意知()2'32f x x ax b =++, ()12f =-且()'10f =,即12,320,a b a b ++=-⎧⎨++=⎩,解得0,3a b ==-. (2)如图,由1问知()33f x x x =-.作出曲线33y x x =-的草图,所求面积为阴影部分的面积.由330x x -=得曲线33y x x =-与x 轴的交点坐标是()3,0,()0,0和)3,0, 而33y x x =-是R 上的奇函数,函数图象关于原点中心对称.所以y 轴右侧阴影面积与y 轴左侧阴影面积相等. 所以所求图形的面积为()33013S x x dx ⎤=-⎣⎦ 4213932|4220x x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值、定积分的几何意义以及微积分基本定理的应用，属于中档题. 已知函数的极值()f m n =求参数的一般步骤是：（1）列方程求参数()()'0f m n f m ⎧=⎪⎨=⎪⎩；（2）检验方程的解的两边导函数符号是否相反. 22．（1）见解析；（2）[)4,k ∈+∞.【解析】 试题分析：（1）求导得()223'x x m f x x+-=，讨论0m ≤和0m >即可； （2）对[]()()0,2,1m f x k x ∀∈≤+，即()2213ln m k x x x x ≤+--恒成立，有()2222ln 13ln 2,2x k x x x x k x x +--≥∴≥++，令()2ln 22x g x x x=++求最值即可. 试题 (1)()22213'3,0m x x m f x x x x x+-=-+=>,所以①当0m -≥，即0m ≤时，()'0f x >在()0,+∞上恒成立，()f x ∴在()0,+∞上单调递增.②当0m >时，由()'0f x =，得111120m x --+=<（不符合题意，舍），211120m x -++=>，所以由()'0f x >得1112m x -++>，由()'0f x <得11120m x -++<<，()f x ∴在1112m ⎛-++ ⎝⎭上单调递减，在1112m ⎫-+++∞⎪⎪⎝⎭上单调递增.综上所述，当0m ≤时，()f x 的递增区间为()0,+∞，无递减区间；当0m >时，()f x 的递增区间为 1112m ⎫-+++∞⎪⎪⎝⎭，递减区间为1112m ⎛-++ ⎝⎭.(2) 对[]()()0,2,1m f x k x ∀∈≤+，即()ln 31m x x k x x ++≤+， 又()220,13ln x m k x x x x >∴≤+--恒成立，()2222ln 13ln 2,2x k x x x x k x x ∴+--≥∴≥++. 令()2ln 22x g x x x =++，则()2231ln 4ln 4'x x x g x x x x ---=-=， 又[]1,x e ∈时，ln 0,4,ln 40x x x x x x ≥<∴--<，()()'0,g x g x ∴<∴在[]1,e 上是减函数，()14k g ∴≥=，即[)4,k ∈+∞.点睛：利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min≥a 即可；f(x)≤a 恒成立，只需f(x)max≤a 即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.23．(1)见解析;(2) x 的范围是[0,3).【解析】试题分析：（1）根据均值不等式，()'x x f x e e -=+乘积是定值，可以证得问题. (2)首先要根据根据函数特殊值()11f e e -=-，再由函数的单调性直接比较函数自变量的大小关系即可.（1）()'2x x f x e e -=+≥=（当且仅当x x e e -=即0x =时取“=”）∴ ()'2f x ≥（2）由（1）可知，对任意x R ∈，均有()'20f x ≥>，所以 函数()y f x =在(),-∞+∞上单调递增从而()()()21222221f x x e e f x x f ---<-⇔--< 2221x x ⇔--< 13x ⇔-<< ，故当对任意[)0,x ∈+∞都有()2122f x x e e ---<-时，x 的取值范围是[)0,3. 点睛：这道题目是考查不等式与函数最值集合的问题，第一问因为x x e e -和乘积是定值，故就想到了均值不等式求最值.第二问，解不等式，根据抽象函数的单调性，直接去掉f ，直接比较括号内的大小关系即可.24．（1）04m ≤≤或427m =-.（2）4,27a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：（1）根据函数的单调性，由数形结合可得；（2）研究0x >和0x ≤时函数的最值，并比较大小求a 即可.试题解：(1)当0x >时，()2'32f x x x =-，令()'0f x =时得23x =；令()'0f x >得()2,3x f x >递增； 令()'0f x <得()20,3x f x <<递减，()f x ∴在23x =处取得极小值，且极小值为()()24,00,24327f f f ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，所以由数形结合可得04m ≤≤或427m =-. (2) 当0x ≤时，()()1,0x f x a x e a '=+>，令()'0f x =得1x =-；令()'0f x >得()10,x f x -<<递增；令()'0f x <得()1,x f x <-递减.()f x ∴在1x =-处取得极小值，且极小值为()1a f e-=-. 0,0a a e >∴-<,因为当427a e -≥-即4027a e <≤时，()min 24444,,327272727f x f a a e ⎛⎫==-∴-≤-∴≤≤ ⎪⎝⎭.当427a e -<-即427a e >时，()()min 1,a a f x f a e e =-=-∴-≤-，即40,27a a e ≥∴>.综上，4,27a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭. 点睛：利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min≥a 即可；f(x)≤a 恒成立，只需f(x)max≤a 即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.25．（Ⅰ）()221x x x f =++（Ⅱ）9 【分析】试题分析：（1）用待定系数法设出解析式，据判别式为零，和f′（x ）=2x+2确定结果；（2）利用定积分求曲边图形面积，找准积分区间和被积函数试题（1）设()()20f x ax bx c a =++≠． 240{222b ac ax b x -=+=+ 得：1,2,1a b c === ()221f x x x ∴=++（Ⅱ）由题2221{341y x x x y x x =++⇒=-=--+或 0x =. ()()02232033241213|93S x x x x dx x x --⎛⎫⎡⎤=--+-++=--= ⎪⎣⎦⎝⎭⎰. 考点：函数与方程的综合运用；定积分26．（Ⅰ）1b =，2k =；（Ⅱ）21e-. 【解析】试题分析： （Ⅰ）求出函数的的导函数；根据题意知()()011{{011f k b f b =-=⇒=='，可解得1b =，2k =；（Ⅱ）根据微积分的基本定理设()x x kx k b x f x e e--'+==，解得1k =-，1b =-，得()1x x f x e --=，从而求得10112|10x x x x dx e e e --==-⎰． 试题解：()()()2x x x x x k e kx b e kx b kx k b f x e e e '⋅-++-+-⎛⎫== ⎪⎝⎭'=． （Ⅰ）依题意：()()011{{011f k b f b =-=⇒=='，解得1b =，2k =； （Ⅱ）设()x x kx k b x f x e e--'+==，则1{0k k b -=-=，解得1k =-，1b =-，即()1xx f x e --=， ∴10112|10x x x x dx e e e --==-⎰． 考点：导数的几何意义；微积分的基本定理.。
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定积分复习题 1、求下列定积分（1）dx x x )cos sin 2(20+⎰π2、dx b ax x M 2311)(+-⎰=-，b a ,为何值时，M 最小。
3、 已知0))(13(10=++⎰dx b x ax ，R b a ∈,，试求b a ⋅的取值范围。
4、求抛物线x y =2与直线032=--y x 所围成的图形的面积。
5、求由抛物线52xy =，12-=x y 所围成图形的面积。
6、由抛物线342-+-=x x y 及其在点A （0，－3），B （3，0）处两切线所围成图形的面积。
7、曲线C ：123223+--=x x x y ，点)0,21(P ，求过P 的切线l 与C 围成的图形的面积。
8、抛物线bx ax y +=2在第一象限内与直线4=+y x 相切。
此抛物线与x 轴所围成的图形的面积记为S 。
求使S 达到最大值的a ，b 值，并求max S 。
课外练习：1. 将和式的极限)0(321lim 1>+++++∞→p n n p p p p p n 表示成定积分（ ）A. dx x 110⎰B. dx x p 10⎰C. dx x p )1(10⎰D. dx n x p )(10⎰2. 下列等于1的积分是（ ）A. xdx 10⎰ B. dx x )1(10+⎰ C. dx 110⎰ D. dx 2110⎰3.=-⎰dx x 4210（ ）A. 321B. 322C. 323D. 3254. 已知自由落体运动的速率gt v =，则落体运动从0=t 到0t t =所走的路程为（ ）A. 320gtB. 20gtC. 220gtD. 620gt5. 曲线]23,0[,cos π∈=x x y 与坐标所围成的面积（ ） A. 4 B. 2 C. 25D. 36. =+⎰-dx e e xx )(10（ ）A.e e 1+B. e 2C. e 2D. e e 1- 7. 求由1,2,===y x e y x围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为（ ）A. ],0[2e B. [0，2] C. [1，2] D. [0，1]8. 由直线1,+-==x y x y ，及x 轴围成平面图形的面积为（ ） A. dy y y ])1[(10--⎰ B. dx x x ])1[(210-+-⎰ C. dy y y ])1[(210--⎰D. dx x x )]1([10+--⎰9. 如果1N 力能拉长弹簧cm 1，为将弹簧拉长6cm ，所耗费的功是（ ）A. 0.18B. 0.26C. 0.12D. 0.2810. 将边长为1米的正方形薄片垂直放于比彼一时为ρ的液体中，使其上距液面距离为2米，则该正方形薄片所受液压力为（ ）A. dx x ρ32⎰B. dx x ρ)2(21+⎰C. dx x ρ10⎰D. dx x ρ)1(32+⎰11. 将和式)212111(lim n n n n +++++∞→ 表示为定积分 。
12. 曲线1,0,2===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为 。
13. 由x y cos =及x 轴围成的介于0与π2之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为。
14. 计算下列定积分的值。
（1）dx x x )4(231-⎰-（2）dx x 521)1(-⎰ （3）dx x x )sin (20+⎰π（4）xdx222cos ππ-⎰15. 求曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积。
16. 设)(x f y =是二次函数，方程0)(=x f 有两个相等的实根，且22)(+='x x f 。
（1）求)(x f y =的表达式；（2）求)(x f y =的图象与两坐标轴所围成图形的面积；（3）若直线t x -=（10<<t 把)(x f y =）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值。
【试题答案】1. B2. C3. C4. C5. D6. D7. B8. C9. A 10. A 11.dx x 1110+⎰ 12. dx x )1(210-⎰ 13. dx x cos 20π⎰14.（1）3132231|)32()4(---=-⎰x x dx x x 320]3)1()1(2[)3332(3232=-----⋅= （2）432324343|)12273()127()4)(3(x x x dx x x dx x x +-=+-⎰=--⎰=61-（3）20220|)cos 2()sin (ππx x dx x x -=+⎰18)10(]2cos 2)2([22+=---=πππ（4）dx x xdx 22cos 1cos 22222+⎰=⎰--ππππ22sin 4122222πππππ=+=--x x15. 解：首先求出函数x x x y 223++-=的零点：2,0,1321==-=x x x ，又易判断出在（－1，0）内，图形在x 轴下方，在（0，2）内，图形在x 轴上方，所以所求面积为1237)2()2(23202301=++-⎰+++-⎰-=-dx x x x dx x x x A16. 解：（1）设c bx ax x f ++=2)(，则b ax x f +='2)(又已知22)(+='x x f ∴ 2,1==b a ∴ c x x x f ++=2)(2又方程0)(=x f 有两个相等实根 ∴ 判别式044=-=∆c ，即1=c故12)(2++=x x x f （2）依题意，有所求面积31|)31()12(0123201=++=++⎰=--x x x dx x x （3）依题意，有dx x x dx x x t t )12()12(2021++⎰=++⎰--- ∴ 023123|)31(|)31(tt x x x x x x ---++=++t t t t t t +-=+-+-2323313131，0166223=-+-t t t∴ 1)1(23-=-t ，于是3211-=t定积分复习题（教师版）1、求下列定积分（1）dx x x )cos sin 2(20+⎰πxdx xdx cos sin 22020ππ⎰+⎰=3)01()10(2|sin |cos 22020=-+--=+-=ππx（2）dxx 1220-⎰∵⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-=-=1012111222x x x x x y ∴dxx dx x dx x )1()1(1221210220-⎰+-⎰=-⎰2)131()238()311(|)3(|)3(213103=---+-=-+-=x x x x2、dx b ax x M 2311)(+-⎰=-，b a ,为何值时，M 最小。
解：dx b ax x b ax x M ])(2)[(232311+-+-⎰=- 17582)53(32)315271(2|)315271(2)2(2222210232572224610=+-=++-=++-=++-⎰=b a b a a x b x a ax x dxb x a ax x∴ 0,53==b a 时，1758min =M 3、 已知0))(13(10=++⎰dx b x ax ，R b a ∈,，试求b a ⋅的取值范围。
解：dx b x ax ))(13(10++⎰dx b x ab ax ])13(3[210+++⎰=0)13(21=+++=b ab a即01)(23=+++b a ab设t b a =⋅ ∴213+-=+t b a b a ,为方程02132=+++t x t x 两根44)13(2≥-+=∆t t ∴91≤t 或1≥t ∴ ),1[]91,(+∞⋃-∞∈⋅b a4、求抛物线x y =2与直线032=--y x 所围成的图形的面积。
解：由⎩⎨⎧=--=0322y x xy ∴ A （1，－1）B （9，3）dx x x dx x x S )]3(21[)]([9110--⎰+--⎰=332=5、求由抛物线52xy =，12-=x y 所围成图形的面积。
解：)0,1(),21,45(),21,45(1522P B A x y xy -⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==32]15[245145=--⎰=⎰dx x dx x S6、由抛物线342-+-=x x y 及其在点A （0，－3），B （3，0）处两切线所围成图形的面积。
解：34:-=x y l A 切，62:+-=x y l B切 ∴ P （3,23）dxx x x dx x x x S )]34()62[()]34()34[(23232230-+--+-⎰+-+---⎰=49=7、曲线C ：123223+--=x x x y ，点)0,21(P ，求过P 的切线l 与C 围成的图形的面积。
解：设切点),(000y x P ，则266020--='x x y 切线l ：))(266(]1232[00200203x x x x x x x y ---=+---过P （0,21）∴ ]21[]266[]1232[002002030x x x x x x -⋅--=+---0)364(0200=+-x x x∴ 1,000==y x A （0，1）∵ )0(21:--=-x y l 切 ∴ 012=-+y x∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-=+--=22321123223y x x y x x x y B （2,23-）∴3227)23(3223=-⎰=dx x x S8、抛物线bx ax y +=2在第一象限内与直线4=+y x 相切。
此抛物线与x 轴所围成的图形的面积记为S 。
求使S 达到最大值的a ，b 值，并求max S 。
解：依题设可知抛物线为凸形，它与x 轴的交点的横坐标分别为a b x x /,021-==，所以322061)(b a dx bx ax S ab =+⎰=-（1）又直线4=+y x 与抛物线bx ax y +=2相切，即它们有唯一的公共点由方程组⎩⎨⎧+==+bx ax y y x 24 得04)1(2=-++x b ax ，其判别式必须为0，即016)1(2=++a b于是2)1(161+-=b a ，代入（1）式得：5243)1(3)3(128)(),0()1(6128)(+-='>+=b b b b S b b b b S 令0)(='b S ；在0>b 时得唯一驻点3=b ，且当30<<b 时，0)(>'b S ；当3>b 时，0)(<'b S 。
故在3=b 时，)(b S 取得极大值，也是最大值，即3,1=-=b a 时，S 取得最大值，且29max =S【模拟试题】1. 将和式的极限)0(321lim 1>+++++∞→p n n p p p p p n 表示成定积分（ ）A. dx x 110⎰B. dx x p 10⎰C. dx x p )1(10⎰D. dx n x p )(10⎰2. 下列等于1的积分是（ ）A. xdx 10⎰ B. dx x )1(10+⎰ C. dx 110⎰ D. dx 2110⎰3.=-⎰dx x 4210（ ）A. 321B. 322C. 323D. 3254. 已知自由落体运动的速率gt v =，则落体运动从0=t 到0t t =所走的路程为（ ）A. 320gtB. 20gtC. 220gtD. 620gt5. 曲线]23,0[,cos π∈=x x y 与坐标所围成的面积（ ） A. 4 B. 2 C. 25D. 36. =+⎰-dx e e xx )(10（ ）A.e e 1+B. e 2C. e 2D. e e 1- 7. 求由1,2,===y x e y x围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为（ ）A. ],0[2e B. [0，2] C. [1，2] D. [0，1]8. 由直线1,+-==x y x y ，及x 轴围成平面图形的面积为（ ） A. dy y y ])1[(10--⎰ B. dx x x ])1[(210-+-⎰ C. dy y y ])1[(210--⎰D. dx x x )]1([10+--⎰9. 如果1N 力能拉长弹簧cm 1，为将弹簧拉长6cm ，所耗费的功是（ ）A. 0.18B. 0.26C. 0.12D. 0.2810. 将边长为1米的正方形薄片垂直放于比彼一时为ρ的液体中，使其上距液面距离为2米，则该正方形薄片所受液压力为（ ）A. dx x ρ32⎰B. dx x ρ)2(21+⎰C. dx x ρ10⎰D. dx x ρ)1(32+⎰11. 将和式)212111(lim n n n n +++++∞→ 表示为定积分 。