最新高一数学必修4模块训练5答案

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高一数学必修4模块训练5答案

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高一数学必修4模块训练5一.选择题:1、已知sin()0,cos()0πθπθ+<-<,则角θ所在嘚象限是 ( )A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限2、cos ,[,]62y x x ππ=∈-嘚值域是 ( ) A 、[0,1] B 、[1,1]- C 、3[0,]2 D 、1[,0]2- 3、若角θ嘚终边过点P (4,3)(0)a a a -≠,则sin cos θθ+等于 ( )A 、15-B 、15C 、15±D 、不能确定,与a 嘚值有关4、函数()sin()6f x x π=+在(0,2)π上嘚图象与x 轴嘚交点嘚横坐标为 ( ) A 、1166ππ-或 B 、566ππ或 C 、51166ππ或 D 、766ππ或 5、下列判断正确嘚是 ( ) A 、若向量AB CD 与是共线向量,则A,B,C,D 四点共线B 、单位向量都相等C 、共线嘚向量,若起点不同,则终点一定不同D 、模为0是一个向量方向不确定嘚充要条件6、如图,在菱形ABCD 中,下列式子成立嘚是 ( )A 、AB CD = B 、AB BC = C 、AD CB = D 、AD BC = 7、设s ,t 是非零实数,,i j 是单位向量,当两向量,s i t j t i s j +-嘚模相等时,,i j 嘚夹角是( )A 、6πB 、4πC 、3πD 、2π 8、点P 在平面上作匀速直线运动,速度向量(4,3)v =- (即点P 嘚运动方向与v 相同,且每秒CD A B移动嘚距离为||v 各单位)。

设开始时点P 嘚坐标为(-10,10),求5秒后点P 嘚坐标为 ( )A 、(2,4)-B 、(30,25)-C 、(10,5)-D 、(5,10)- 二.填空题:13、函数sin 3cos y x x =+在区间[0,]2π上嘚最小值为_______________;14、设向量a b 与嘚夹角为θ,且(3,3),2(1,1)a b a =-=-,则10cos θ= ;三.解答题:11、已知函数()2sin()2sin ,3f x x x π=+- ,0.2x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦(Ⅰ)若3cos ,3x =求函数()f x 嘚值; (Ⅱ)求函数()f x 嘚值域。

高一数学训练习题参考答案

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数学必修(4)同步练习参考答案§1.1任意角和弧度制一、CDDCBA二、7.{x|x=k•3600+1800, k∈Z}, {x|x=k•1800+450,k∈Z} ; 8.-345°; 9. ;10.第二或第四象限, 第一或第二象限或终边在y轴的正半轴上三、11.{ α|α=k•3600+1200或α=k•3600+3000, k∈Z } -60° 120°12.由7θ=θ+k•360°,得θ=k•60°(k∈Z)∴θ=60°,120°,180°,240°,300°13.∵l=20-2r,∴S= lr= (20-2r)•r=-r2+10r=-(r-5)2+25∴当半径r=5 cm时,扇形的面积最大为25 cm2,此时,α= = =2(rad)14.A点2分钟转过2θ,且π<2θ<π,14分钟后回到原位,∴14θ=2kπ,θ= ,且 <θ< π,∴θ= π或π§1.2.1 任意角的三角函数一、CCDBCD二、7.一、三; 8. 0 ; 9. 或π; 10.二、四三、11.[2kπ, 2kπ,+ ( k∈Z)12.13.∵sinθ= - ,∴角θ终边与单位圆的交点(cosθ,sinθ)=( ,- )又∵P(-2, y)是角θ终边上一点, ∴cosθ<0,∴cosθ= - .14.略.§1.2.2同角三角函数的基本关系式一、BCDBBA二、7. ; 8.0; 9. ; 10.三、11.12.原式= - ==sinx+cosx13.左边=tan2θ-sin2θ= -sin2θ=sin2θ• =sin2θ• =sin2θ•tan2θ=右边14.(1)当m=0时, α=kπ, k∈Z ,cosα=±1, tanα=0(2)当|m|=1时, α=kπ+ , k∈Z ,cosα=0, tanα=0不存在(3)当0<|m|<1时,若α在第一或第四象限,则cosα= tanα= ;若α在第二或第三象限,则cosα=- tanα=- .§1.3 三角函数的诱导公式一、BBCCBC二、7. ; 8.1 ; 9.1 ; 10.三、11. 112. f(θ)= = =cosθ-1∴f( )=cos -1=-13.∵cos(α+β)=1, ∴α+β=2kπ, k∈Z. ∴cos(2α+β)= cos(α+α+β)= cos(π+α)=- cosα= - .14. 由已知条件得:sinα= sinβ①, cos α=- cosβ②,两式推出sinα= ,因为α∈(- , ),所以α= 或- ;回代②,注意到β∈(0,π),均解出β= ,于是存在α= ,β= 或α=- ,β= ,使两等式同时成立。

人教版高中数学必修4课后习题答案详解

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第二章 平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念 练习(P77)1、略.2、AB ,BA . 这两个向量的长度相等,但它们不等.3、2AB =, 2.5CD =,3EF =,22GH =4、(1)它们的终点相同; (2)它们的终点不同. 习题 A 组(P77) 1、(2). 3、与DE 相等的向量有:,AF FC ;与EF 相等的向量有:,BD DA ; 与FD 相等的向量有:,CE EB .4、与a 相等的向量有:,,CO QP SR ;与b 相等的向量有:,PM DO ; 与c 相等的向量有:,,DC RQ ST5、33AD =. 6、(1)×; (2)√; (3)√; (4)×. 习题 B 组(P78)1、海拔和高度都不是向量.2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与AM 同向的共有6对,与AM 反向的也有6对;与AD同向的共有3对,与AD 反向的也有6对;模的向量共有4对;模为2的向量有2对2.2平面向量的线性运算 练习(P84)1、图略.2、图略.3、(1)DA ; (2)CB .4、(1)c ; (2)f ; (3)f ; (4)g . 练习(P87)1、图略.2、DB ,CA ,AC ,AD ,BA .3、图略. 练习(P90) 1、图略.2、57AC AB =,27BC AB =-.说明:本题可先画一个示意图,根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是BC 与AB 反向.3、(1)2b a =; (2)74b a =-; (3)12b a =-; (4)89b a =.4、(1)共线; (2)共线.5、(1)32a b -; (2)111123a b -+; (3)2ya . 6、图略.习题 A 组(P91)1、(1)向东走20 km ; (2)向东走5 km; (3)向东北走km ;(4)向西南走;(5)向西北走;(6)向东南走 2、飞机飞行的路程为700 km ;两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500 km. 3、解:如右图所示:AB 表示船速,AD 表示河水的流速,以AB 、AD 为邻边作□ABCD ,则AC 表示船实际航行的速度.在Rt △ABC 中,8AB =,2AD =,所以228AC AB AD =+==因为tan4CAD ∠=,由计算器得76CAD ∠≈︒所以,实际航行的速度是km/h ,船航行的方向与河岸的夹角约为76°. 4、(1)0; (2)AB ; (3)BA ; (4)0; (5)0; (6)CB ; (7)0.5、略6、不一定构成三角形. 说明:结合向量加法的三角形法则,让学生理解,若三个非零向量的和为零向量,且这三个向量不共线时,则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形.7、略. 8、(1)略; (2)当a b ⊥时,a b a b +=-9、(1)22a b --; (2)102210a b c -+; (3)132a b +; (4)2()x y b -.10、14a b e +=,124a b e e -=-+,1232310a b e e -=-+. 11、如图所示,OC a =-,OD b =-,DC b a =-,BC a b =--.12、14AE b =,BC b a =-,1()4DE b a =-,34DB a =, 34EC b =,1()8DN b a =-,11()48AN AM a b ==+.13、证明:在ABC ∆中,,E F 分别是,AB BC 的中点,所以EF AC //且12EF AC =,即12EF AC =;同理,12HG AC =,所以EF HG =.习题 B 组(P92)1、丙地在甲地的北偏东45°方向,距甲地1400 km.2、不一定相等,可以验证在,a b 不共线时它们不相等.3、证明:因为MN AN AM =-,而13AN AC =,13AM AB =, 所以1111()3333MN AC AB AC AB BC =-=-=.4、(1)四边形ABCD 为平行四边形,证略 (2)四边形ABCD 为梯形.证明:∵13AD BC =,∴AD BC //且AD BC ≠ ∴四边形ABCD 为梯形. (3)四边形ABCD 为菱形.(第11题)(第12题)EHGFC AB丙乙(第1题)(第4题(2))BCD证明:∵AB DC =,∴AB DC //且AB DC =∴四边形ABCD 为平行四边形 又AB AD =∴四边形ABCD 为菱形.5、(1)通过作图可以发现四边形ABCD 为平行四边形. 证明:因为OA OB BA -=,OD OC CD -= 而OA OC OB OD +=+所以OA OB OD OC -=- 所以BA CD =,即∥.因此,四边形ABCD 为平行四边形. 2.3平面向量的基本定理及坐标表示 练习(P100)1、(1)(3,6)a b +=,(7,2)a b -=-; (2)(1,11)a b +=,(7,5)a b -=-; (3)(0,0)a b +=,(4,6)a b -=; (4)(3,4)a b +=,(3,4)a b -=-.2、24(6,8)a b -+=--,43(12,5)a b +=.3、(1)(3,4)AB =,(3,4)BA =--; (2)(9,1)AB =-,(9,1)BA =-; (3)(0,2)AB =,(0,2)BA =-; (4)(5,0)AB =,(5,0)BA =-4、AB ∥CD . 证明:(1,1)AB =-,(1,1)CD =-,所以AB CD =.所以AB ∥CD .5、(1)(3,2); (2)(1,4); (3)(4,5)-.6、10(,1)3或14(,1)3-7、解:设(,)P x y ,由点P 在线段AB 的延长线上,且32AP PB =,得32AP PB =-(,)(2,3)(2,3)AP x y x y =-=--,(4,3)(,)(4,3)PB x y x y =--=---∴3(2,3)(4,3)2x y x y --=---- ∴32(4)233(3)2x x y y ⎧-=--⎪⎪⎨⎪-=---⎪⎩(第4题(3))(第5题)∴815x y =⎧⎨=-⎩,所以点P 的坐标为(8,15)-.习题 A 组(P101)1、(1)(2,1)-; (2)(0,8); (3)(1,2).说明:解题时可设(,)B x y ,利用向量坐标的定义解题. 2、123(8,0)F F F ++=3、解法一:(1,2)OA =--,(53,6(1))(2,7)BC =---=而AD BC =,(1,5)OD OA AD OA BC =+=+=. 所以点D 的坐标为(1,5).解法二:设(,)D x y ,则((1),(2))(1,2)AD x y x y =----=++,(53,6(1))(2,7)BC =---=由AD BC =可得,1227x y +=⎧⎨+=⎩,解得点D 的坐标为(1,5).4、解:(1,1)OA =,(2,4)AB =-. 1(1,2)2AC AB ==-,2(4,8)AD AB ==-,1(1,2)2AE AB =-=-. (0,3)OC OA AC =+=,所以,点C 的坐标为(0,3); (3,9)OD OA AD =+=-,所以,点D 的坐标为(3,9)-; (2,1)OE OA AE =+=-,所以,点E 的坐标为(2,1)-. 5、由向量,a b 共线得(2,3)(,6)x λ=-,所以236x =-,解得4x =-. 6、(4,4)AB =,(8,8)CD =--,2CD AB =-,所以AB 与CD 共线. 7、2(2,4)OA OA '==,所以点A '的坐标为(2,4);3(3,9)OB OB '==-,所以点B '的坐标为(3,9)-; 故(3,9)(2,4)(5,5)A B ''=--=- 习题 B 组(P101)1、(1,2)OA =,(3,3)AB =.当1t =时,(4,5)OP OA AB OB =+==,所以(4,5)P ; 当12t =时,13357(1,2)(,)(,)22222OP OA AB =+=+=,所以57(,)22P ; 当2t =-时,2(1,2)(6,6)(5,4)OP OA AB =-=-=--,所以(5,4)P --; 当2t =时,2(1,2)(6,6)(7,8)OP OA AB =+=+=,所以(7,8)P .2、(1)因为(4,6)AB =--,(1,1.5)AC =,所以4AB AC =-,所以A 、B 、C 三点共线;(2)因为(1.5,2)PQ =-,(6,8)PR =-,所以4PR PQ =,所以P 、Q 、R 三点共线;(3)因为(8,4)EF =--,(1,0.5)EG =--,所以8EF EG =,所以E 、F 、G 三点共线.3、证明:假设10λ≠,则由11220e e λλ+=,得2121e e λλ=-. 所以12,e e 是共线向量,与已知12,e e 是平面内的一组基底矛盾, 因此假设错误,10λ=. 同理20λ=. 综上120λλ==.4、(1)19OP =(2)对于任意向量12OP xe ye =+,,x y 都是唯一确定的,所以向量的坐标表示的规定合理.2.4平面向量的数量积 练习(P106)1、1cos ,86242p q p q p q ⋅=⋅⋅<>=⨯⨯=. 2、当0a b ⋅<时,ABC ∆为钝角三角形;当0a b ⋅=时,ABC ∆为直角三角形.3、投影分别为0,-图略 练习(P107)1、2(3)5a =-=,252b =+=35427a b ⋅=-⨯+⨯=-.2、8a b ⋅=,()()7a b a b +-=-,()0a b c ⋅+=,2()49a b +=.3、1a b ⋅=,13a =,74b =,88θ≈︒. 习题 A 组(P108)1、63a b ⋅=-222()225a b a a b b +=+⋅+=-25a b +=- 2、BC 与CA 的夹角为120°,20BC CA ⋅=-.3、22223a b a a b b +=+⋅+=,22235a b a a b b -=-⋅+=. 4、证法一:设a 与b 的夹角为θ.(1)当0λ=时,等式显然成立;(2)当0λ>时,a λ与b ,a 与b λ的夹角都为θ,所以()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==()cos a b a b λλθ⋅=()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅== 所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅;(3)当0λ<时,a λ与b ,a 与b λ的夹角都为180θ︒-,则 ()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=-()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==-()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=- 所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅; 综上所述,等式成立.证法二:设11(,)a x y =,22(,)b x y =,那么 11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+112212121212()(,)(,)()a b x y x y x x y y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+=+11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅;5、(1)直角三角形,B ∠为直角.证明:∵(1,4)(5,2)(6,6)BA =---=--,(3,4)(5,2)(2,2)BC =-=-∴6(2)(6)20BA BC ⋅=-⨯-+-⨯=∴BA BC ⊥,B ∠为直角,ABC ∆为直角三角形(2)直角三角形,A ∠为直角证明:∵(19,4)(2,3)(21,7)AB =---=,(1,6)(2,3)(1,3)AC =-----=-∴2117(3)0AB AC ⋅=⨯+⨯-=∴AB AC ⊥,A ∠为直角,ABC ∆为直角三角形(3)直角三角形,B ∠为直角证明:∵(2,5)(5,2)(3,3)BA =-=-,(10,7)(5,2)(5,5)BC =-=∴35350BA BC ⋅=-⨯+⨯=∴BA BC ⊥,B ∠为直角,ABC ∆为直角三角形6、135θ=︒.7、120θ=︒.22(23)(2)44361a b a b a a b b -+=-⋅-=,于是可得6a b ⋅=-,1cos 2a ba bθ⋅==-,所以120θ=︒.8、23cos 40θ=,55θ=︒. 9、证明:∵(5,2)(1,0)(4,2)AB =--=-,(8,4)(5,2)(3,6)BC =--=,(8,4)(4,6)(4,2)DC =-=-∴AB DC =,43(2)60AB BC ⋅=⨯+-⨯= ∴,,,A B C D 为顶点的四边形是矩形.10、解:设(,)a x y =,则2292x y yx⎧+=⎪⎨=⎪⎩,解得5x y⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.于是35(,55a =或35(55a =--. 11、解:设与a 垂直的单位向量(,)e x y =,则221420x y xy ⎧+=⎨+=⎩,解得5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.于是5(,55e =-或5(,55e =-. 习题 B 组(P108)1、证法一:0()0()a b a c a b a c a b c a b c ⋅=⋅⇔⋅-⋅=⇔⋅-=⇔⊥- 证法二:设11(,)a x y =,22(,)b x y =,33(,)c x y =.先证()a b a c a b c ⋅=⋅⇒⊥-1212a b x x y y ⋅=+,1313a c x x y y ⋅=+由a b a c ⋅=⋅得12121313x x y y x x y y +=+,即123123()()0x x x y y y -+-=而2323(,)b c x x y y -=--,所以()0a b c ⋅-= 再证()a b c a b a c ⊥-⇒⋅=⋅由()0a b c ⋅-=得 123123()()0x x x y y y -+-=, 即12121313x x y y x x y y +=+,因此a b a c ⋅=⋅2、cos cos cos sin sin OA OB AOB OA OBαβαβ⋅∠==+.3、证明:构造向量(,)u a b =,(,)v c d =.cos ,u v u v u v ⋅=<>,所以,ac bd u v +=<>∴2222222222()()()cos ,()()ac bd a b c d u v a b c d +=++<>≤++4、AB AC ⋅的值只与弦AB 的长有关,与圆的半径无关.证明:取AB 的中点M ,连接CM ,则CM AB ⊥,12AM AB =又cos AB AC AB AC BAC ⋅=∠,而AM BAC AC∠=所以212AB AC AB AM AB ⋅==5、(1)勾股定理:Rt ABC ∆中,90C ∠=︒,则222CA CB AB +=证明:∵AB CB CA =-∴2222()2AB CB CA CB CA CB CA =-=-⋅+. 由90C ∠=︒,有CA CB ⊥,于是0CA CB ⋅= ∴222CA CB AB +=(2)菱形ABCD 中,求证:AC BD ⊥证明:∵AC AB AD =+,,DB AB AD =-∴22()()AC DB AB AD AB AD AB AD ⋅=+⋅-=-.∵四边形ABCD 为菱形,∴AB AD =,所以220AB AD -= ∴0AC DB ⋅=,所以AC BD ⊥(3)长方形ABCD 中,求证:AC BD =证明:∵ 四边形ABCD 为长方形,所以AB AD ⊥,所以0AB AD ⋅=∴222222AB AB AD AD AB AB AD AD +⋅+=-⋅+.∴22()()AB AD AB AD +=-,所以22AC BD =,所以AC BD =(4)正方形的对角线垂直平分. 综合以上(2)(3)的证明即可. 2.5平面向量应用举例 习题 A 组(P113)1、解:设(,)P x y ,11(,)R x y则1111(1,0)(,)(1,)RA x y x y =-=--,(,)(1,0)(1,0)AP x y x =-=-由2RA AP =得11(1,)2(1,)x y x y --=-,即11232x x y y=-+⎧⎨=-⎩代入直线l 的方程得2y x =. 所以,点P 的轨迹方程为2y x =. 2、解:(1)易知,OFD ∆∽OBC ∆,12DF BC =, 所以23BO BF =.2211()()3323AO BO BA BF a b a a a b =-=+=-+=+(2)因为1()2AE a b =+所以23AO AE =,因此,,A O E 三点共线,而且2AOOE =同理可知:2,2BO CO OF OD ==,所以2AO BO COOE OF OD===3、解:(1)(2,7)B A v v v =-=-; (2)v 在A v 方向上的投影为135A Av v v ⋅=. 4、解:设1F ,2F 的合力为F ,F 与1F 的夹角为θ,则31F =+,30θ=︒; 331F =+,3F 与1F 的夹角为150°.习题 B 组(P113)1、解:设0v 在水平方向的速度大小为x v ,竖直方向的速度的大小为y v ,则0cos x v v θ=,0sin y v v θ=.设在时刻t 时的上升高度为h ,抛掷距离为s ,则001sin ,()2cos h v t gt g s v t θθ⎧=-⎪⎨⎪=⎩为重力加速度 所以,最大高度为220sin 2v gθ,最大投掷距离为20sin 2v gθ.2、解:设1v 与2v 的夹角为θ,合速度为v ,2v 与v 的夹角为α,行驶距离为d .则1sin 10sin sin v vvθθα==,0.5sin 20sin v d αθ==. ∴120sin d v θ=. 所以当90θ=︒,即船垂直于对岸行驶时所用时间最短. 3、(1)(0,1)-ODFEABC(第2题)(第4题)解:设(,)P x y ,则(1,2)AP x y =--. (2,22)AB =-.将AB 绕点A 沿顺时针方向旋转4π到AP ,相当于沿逆时针方向旋转74π到AP ,于是7777(2cos 22sin ,2sin 22cos )(1,3)4444AP ππππ=+-=--所以1123x y -=-⎧⎨-=-⎩,解得0,1x y ==-(2)32y x=-解:设曲线C 上任一点P 的坐标为(,)x y ,OP 绕O 逆时针旋转4π后,点P 的坐标为(,)x y ''则cos sin 44sin cos44x x y y x y ππππ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩,即2()2()2x x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩又因为223x y ''-=,所以2211()()322x y x y --+=,化简得32y x=-第二章 复习参考题A 组(P118)1、(1)√; (2)√; (3)×; (4)×.2、(1)D ; (2)B ; (3)D ; (4)C ; (5)D ; (6)B .3、1()2AB a b =-,1()2AD a b =+4、略解:2133DE BA MA MB a b ==-=-+2233AD a b =+,1133BC a b =+1133EF a b =--,1233FA DC a b ==-1233CD a b =-+,2133AB a b =-CE a b =-+5、(1)(8,8)AB =-,82AB =;(2)(2,16)OC =-,(8,8)OD =-; (3)33OA OB ⋅=.(第4题)6、AB 与CD 共线.证明:因为(1,1)AB =-,(1,1)CD =-,所以AB CD =. 所以AB 与CD 共线. 7、(2,0)D -. 8、2n =. 9、1,0λμ=-=.10、34cos ,cos 0,cos 55A B C ===11、证明:2(2)22cos6010n m m n m m -⋅=⋅-=︒-=,所以(2)n m m -⊥.12、1λ=-. 13、13a b +=,1a b -=. 14、519cos ,cos 820θβ==第二章 复习参考题B 组(P119)1、(1)A ; (2)D ; (3)B ; (4)C ; (5)C ; (6)C ; (7)D .2、证明:先证a b a b a b ⊥⇒+=-.222()2a b a b a b a b+=+=++⋅,222()2a b a b a b a b -=-=+-⋅.因为a b ⊥,所以0a b ⋅=,于是22a b a b a b +=+=-. 再证a b a b a b +=-⇒⊥.由于222a b a a b b +=+⋅+,222a b a a b b -=-⋅+ 由a b a b +=-可得0a b ⋅=,于是a b ⊥所以a b a b a b +=-⇔⊥. 【几何意义是矩形的两条对角线相等】 3、证明:先证a b c d =⇒⊥22()()c d a b a b a b ⋅=+⋅-=- 又a b =,所以0c d ⋅=,所以c d ⊥ 再证c d a b ⊥⇒=.由c d ⊥得0c d ⋅=,即22()()0a b a b a b +⋅-=-=所以a b = 【几何意义为菱形的对角线互相垂直,如图所(第3题)(第6题)示】4、12AD AB BC CD a b =++=+,1142AE a b =+而34EF a =,14EM a =,所以1111(4242AM AE EM a b a =+=++=5、证明:如图所示,12OD OP OP =+,由于1230OP OP OP ++=,所以3OP OD =-,1OD = 所以11OD OP PD == 所以1230OPP ∠=︒,同理可得1330OPP ∠=︒所以31260P PP ∠=︒,同理可得12360PP P ∠=︒,23160P P P ∠=︒,所以123PP P ∆为正三角形.6、连接AB .由对称性可知,AB 是SMN ∆的中位线,222MN AB b a ==-. 7、(18=(千米/时), 沿与水流方向成60°的方向前进; (2)实际前进速度大小为 沿与水流方向成90︒+的方向前进. 8、解:因为OA OB OB OC ⋅=⋅,所以()0OB OA OC ⋅-=,所以0OB CA ⋅= 同理,0OA BC ⋅=,0OC AB ⋅=,所以点O 是ABC ∆的垂心. 9、(1)2110200a x a y a y a x -+-=; (2)垂直;(3)当12210A B A B -=时,1l ∥2l ;当12120A A B B +=时,12l l ⊥,夹角θ的余弦cos θ=;(4)d =P 2(第5题)第三章 三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 练习(P127)1、cos()cos cos sin sin 0cos 1sin sin 222πππαααααα-=+=⨯+⨯=.cos(2)cos2cos sin2sin 1cos 0sin cos παπαπαααα-=+=⨯+⨯=.2、解:由3cos ,(,)52πααπ=-∈,得4sin 5α==;所以34cos()cos cos sin sin ()44455πππααα-=+=-+=3、解:由15sin 17θ=,θ是第二象限角,得8cos 17θ===-;所以8115cos()cos cos sin sin 33317217πππθθθ-=+=-⨯+=. 4、解:由23sin ,(,)32πααπ=-∈,得cos α==又由33cos ,(,2)42πββπ=∈,得sin β==所以32cos()cos cos sin sin ((()43βαβαβα-=+=⨯+⨯-=. 练习(P131)1、(1; (2) (3(4)2 2、解:由3cos ,(,)52πθθπ=-∈,得4sin 5θ==;所以413sin()sin cos cos sin ()333525πππθθθ+=+=⨯+-=. 3、解:由12sin 13θ=-,θ是第三象限角,得5cos 13θ===-; 所以5112cos()cos cos sin sin ()()66613213πππθθθ+=-=--⨯-=. 4、解:tan tan 314tan()241311tan tan 4παπαπα+++===--⨯-⋅.5、(1)1; (2)12; (3)1; (4);(5)原式=1(cos34cos26sin34sin 26)cos(3426)cos602-︒︒-︒︒=-︒+︒=-︒=-;(6)原式=sin 20cos70cos20sin70(sin 20cos70cos20sin70)sin901-︒︒-︒︒=-︒︒+︒︒=-︒=-.6、(1)原式=cos cos sin sin cos()333x x x πππ-=+;(2)原式=1cos )2(sin cos cos sin )2sin()2666x x x x x πππ+=+=+;(3)原式=)2(sin cos cos sin )2sin()444x x x x x πππ=-=-;(4)原式=12(cos )cos sin sin )cos()2333x x x x x πππ=-=+.7、解:由已知得3sin()cos cos()sin 5αβααβα---=,即3sin[()]5αβα--=,3sin()5β-=所以3sin 5β=-. 又β是第三象限角,于是4cos 5β===-.因此55534sin()sin cos cos sin ()(()(44455πππβββ+=+=-+-=. 练习(P135)1、解:因为812παπ<<,所以382αππ<<又由4cos 85α=-,得3sin 85α=-,3sin385tan 484cos 85ααα-===- 所以3424sinsin(2)2sin cos 2()()48885525αααα=⨯==⨯-⨯-=2222437cos cos(2)cos sin ()()48885525αααα=⨯=-=---=2232tan23162484tan tan(2)3482771tan 1()84αααα⨯=⨯===⨯=-- 2、解:由3sin()5απ-=,得3sin 5α=-,所以222316cos 1sin 1()525αα=-=--=所以2221637cos2cos sin ()25525ααα=-=--=3、解:由sin2sin αα=-且sin 0α≠可得1cos 2α=-,又由(,)2παπ∈,得sin α=,所以sintan (2)cos ααα==-= 4、解:由1tan 23α=,得22tan 11tan 3αα=-. 所以2tan 6tan 10αα+-=,所以tan 3α=-5、(1)11sin15cos15sin3024︒︒=︒=; (2)22cos sin cos 88πππ-==;(3)原式=212tan 22.511tan 4521tan 22.522︒⋅=︒=-︒; (4)原式=cos45︒=. 习题 A 组(P137)1、(1)333cos()cos cos sin sin 0cos (1)sin sin 222πππαααααα-=+=⨯+-⨯=-;(2)333sin()sin cos cos sin 1cos 0sin cos 222πππαααααα-=-=-⨯-⨯=-;(3)cos()cos cos sin sin 1cos 0sin cos παπαπαααα-=+=-⨯+⨯=-; (4)sin()sin cos cos sin 0cos (1)sin sin παπαπαααα-=-=⨯--⨯=.2、解:由3cos ,05ααπ=<<,得4sin 5α==,所以431cos()cos cos sin sin 666552πππααα-=+=⨯=.3、解:由2sin ,(,)32πααπ=∈,得cos α===又由33cos ,(,)42πββπ=-∈,得sin β===,所以32cos()cos cos sin sin ()(43αβαβαβ-=+=-+⨯=.4、解:由1cos 7α=,α是锐角,得sin α=== 因为,αβ是锐角,所以(0,)αβπ+∈,又因为11cos()14αβ+=-,所以sin()αβ+===所以cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++1111()1472=-⨯= 5、解:由60150α︒<<︒,得9030180α︒<︒+<︒又由3sin(30)5α︒+=,得4cos(30)5α︒+=-所以cos cos[(30)30]cos(30)cos30sin(30)sin30αααα=︒+-︒=︒+︒+︒+︒431552=-+⨯=6、(1); (2) (3)2-7、解:由2sin ,(,)32πααπ=∈,得cos α===又由3cos 4β=-,β是第三象限角,得sin β==.所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-32()(43=--⨯=sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-23()((34=⨯--⨯=8、解:∵53sin ,cos 135A B ==且,A B 为ABC ∆的内角∴0,02A B ππ<<<<,124cos ,sin 135A B =±=当12cos 13A =-时,sin()sin cos cos sin AB A B A B +=+5312433()013513565=⨯+-⨯=-< A B π+>,不合题意,舍去∴124cos ,sin 135A B ==∴cos cos()(cos cos sin sin )C A B A B A B =-+=--1235416()13513565-⨯-⨯=- 9、解:由3sin ,(,)52πθθπ=∈,得4cos 5θ==-.∴sin 353tan ()cos 544θθθ==⨯-=-. ∴31tan tan 242tan()311tan tan 111()42θϕθϕθϕ-+++===--⋅--⨯. 31tan tan 42tan()2311tan tan 1()42θϕθϕθϕ----===-+⋅+-⨯. 10、解:∵tan ,tan αβ是22370x x +-=的两个实数根.∴3tan tan 2αβ+=-,7tan tan 2αβ⋅=-.∴3tan tan 12tan()71tan tan 31()2αβαβαβ-++===--⋅--.11、解:∵tan()3,tan()5αβαβ+=-=∴tan()tan()tan 2tan[()()]1tan()tan()αβαβααβαβαβαβ++-=++-=-+⋅-3541357+==--⨯tan()tan()tan 2tan[()()]1tan()tan()αβαββαβαβαβαβ+--=+--=++⋅-3511358-==-+⨯12、解:∵::2:3:6BD DC AD =∴11tan ,tan 32BD DC AD AD αβ====∴tan tan tan tan()1tan tan BAC αβαβαβ+∠=+=-⋅1132111132+==-⨯ 又∵0180BAC ︒<∠<︒,∴45BAC ∠=︒(第12题)13、(1))6x π+; (23sin()3x π-; (3)2sin()26x π+;(47sin()12x π-; (5)2; (6)12; (7)sin()αγ+; (8)cos()αγ--; (9) (10)tan()βα-.14、解:由sin 0.8,(0,)2παα=∈,得cos 0.6α===∴sin22sin cos 20.80.60.96ααα==⨯⨯= 2222cos2cos sin 0.60.80.28ααα=-=-=- 15、解:由cos 270ϕϕ=︒<<︒,得sin ϕ===∴sin 22sin cos 2((ϕϕϕ==⨯⨯=22221cos2cossin ((3ϕϕϕ=-=-=- sin 2tan 2(3)cos 23ϕϕϕ==-=-16、解:设5sin sin 13B C ==,且090B ︒<<︒,所以12cos 13B =. ∴512120sin sin(1802)sin 22sin cos 21313169A B B B B =︒-===⨯⨯=2222125119cos cos(1802)cos2(cos sin )(()())1313169A B B B B =︒-=-=--=--=-sin 120169120tan ()cos 169119119A A A ==⨯-=-17、解:22122tan 33tan 211tan 41()3βββ⨯===--,13tan tan 274tan(2)1131tan tan 2174αβαβαβ+++===-⋅-⨯. 18、解:1cos()cos sin()sin 3αββαββ+++=⇒1cos[()]3αββ+-=,即1cos 3α= 又3(,2)2παπ∈,所以sinα== ∴1sin 22sin cos 2(ααα==⨯⨯=222217cos2cos sin ()(39ααα=-=-=-∴7cos(2)cos2cos sin 2sin (4449πππααα+=-=-=19、(1)1sin2α+; (2)cos2θ; (3)1sin 44x ; (4)tan2θ.习题 B 组(P138) 1、略. 2、解:∵tan ,tan A B 是x 的方程2(1)10x p x +++=,即210x px p +++=的两个实根∴tan tan A B p +=-,tan tan 1A B p ⋅=+ ∴tan tan[()]tan()C A B A B π=-+=-+tan tan 11tan tan 1(1)A B pA B p +-=-=-=--⋅-+由于0C π<<,所以34C π=. 3、反应一般的规律的等式是(表述形式不唯一)223sin cos (30)sin cos(30)4αααα++︒++︒=(证明略) 本题是开放型问题,反映一般规律的等式的表述形式还可以是:223sin (30)cos sin(30)cos 4αααα-︒++-︒=223sin (15)cos (15)sin(15)cos(15)4αααα-︒++︒+-︒+︒=223sin cos sin cos 4αβαβ++=,其中30βα-=︒,等等思考过程要求从角,三角函数种类,式子结构形式三个方面寻找共同特点,从而作出归纳. 对认识三角函数式特点有帮助,证明过程也会促进推理能力、运算能力的提高.4、因为12PA PP =,则2222(cos()1)sin ()(cos cos )(sin sin )αβαβαβαβ+-++=-++ 即22cos()22cos cos 2sin sin αβαβαβ-+=-+ 所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-3.2简单的三角恒等变换 练习(P142)1、略.2、略.3、略.4、(1)1sin 42y x =. 最小正周期为2π,递增区间为[,],8282k k k Z ππππ-++∈,最大值为12;(2)cos 2y x =+. 最小正周期为2π,递增区间为[2,22],k k k Z ππππ++∈,最大值为3;(3)2sin(4)3y x π=+. 最小正周期为2π,递增区间为5[,],242242k k k Z ππππ-++∈,最大值为2.习题 A 组( P143) 1、(1)略; (2)提示:左式通分后分子分母同乘以2; (3)略; (4)提示:用22sin cos ϕϕ+代替1,用2sin cos ϕϕ代替sin 2ϕ;(5)略; (6)提示:用22cos θ代替1cos2θ+;(7)提示:用22sin θ代替1cos2θ-,用22cos θ代替1cos2θ+; (8)略.2、由已知可有1sin cos cos sin 2αβαβ+=……①,1sin cos cos sin 3αβαβ-=……②(1)②×3-①×2可得sin cos 5cos sin αβαβ=(2)把(1)所得的两边同除以cos cos αβ得tan 5tan αβ= 注意:这里cos cos 0αβ≠隐含与①、②之中3、由已知可解得1tan 2θ=-. 于是2212()2tan 42tan 211tan 31()2θθθ⨯-===---- 1tan tan1142tan()1431tan tan 1()142πθπθπθ+-++===-⋅--⨯ ∴tan 24tan()4πθθ=-+4、由已知可解得sin x θ=,cos y θ=,于是2222sin cos 1x y θθ+=+=.5、()2sin(4)3f x x π=+,最小正周期是2π,递减区间为7[,],242242k k k Z ππππ++∈.习题 B 组(P143) 1、略.2、由于762790+⨯=,所以sin76sin(9014)cos14m ︒=︒-︒=︒= 即22cos 71m ︒-=,得cos7︒=3、设存在锐角,αβ使223παβ+=,所以23απβ+=,tan()2αβ+又tantan 22αβ=,又因为tantan 2tan()21tantan 2αβαβαβ++=-,所以tantan tan()(1tan tan )3222αααβββ+=+-=由此可解得tan 1β=, 4πβ=,所以6πα=.经检验6πα=,4πβ=是符合题意的两锐角.4、线段AB 的中点M 的坐标为11((cos cos ),(sin sin ))22αβαβ++. 过M 作1MM 垂直于x 轴,交x 轴于1M ,111()()22MOM βαααβ∠=-+=+.在Rt OMA ∆中,cos cos 22OM OA βααβ--==. 在1Rt OM M ∆中,11cos cos cos22OM OM MOM αβαβ+-=∠=11sin sin cos22M M OM MOM αβαβ+-=∠=.于是有 1(cos cos )cos cos222αβαβαβ+-+=, 1(sin sin )sin cos222αβαβαβ+-+= 5、当2x =时,22()sin cos 1f ααα=+=;当4x =时,4422222()sin cos (sin cos )2sin cos f ααααααα=+=+-211sin 22α=-,此时有1()12f α≤≤;当6x =时,662232222()sin cos (sin cos )3sin cos (sin cos )f ααααααααα=+=+-+231sin 24α=-,此时有1()14f α≤≤;由此猜想,当2,x k k N +=∈时,11()12k f α-≤≤6、(1)345(sin cos )5sin()55y x x x ϕ=+=+,其中34cos ,sin 55ϕϕ==所以,y 的最大值为5,最小值为﹣5; (2))y x ϕ+,其中cos ϕϕ==所以,y ;第三章 复习参考题A 组(P146)(第4题)1、1665. 提示:()βαβα=+- 2、5665. 提示:5sin()sin[()]sin[()()]44ππαβπαββα+=-++=-+--3、1.4、(1)提示:把公式tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-变形;(2; (3)2; (4)提示:利用(1)的恒等式.5、(1)原式4sin(3010)4sin 20︒-︒==︒;(2)原式=sin10sin 40(sin 40cos10︒︒=︒ =2sin 40cos40sin801cos10cos10-︒︒-︒==-︒︒;(3)原式=tan 70cos101)tan 70cos10︒︒=︒ =sin702sin10sin 20cos101cos70cos20cos70︒-︒-︒⋅︒⋅==-︒︒︒;(4)原式=sin50(1sin50︒⋅= 2cos50sin100sin501cos10cos10︒︒=︒⋅==︒︒6、(1)95; (2)2425;(3). 提示:4422222sin cos (sin cos )2sin cos θθθθθθ+=+-; (4)1725.7、由已知可求得2cos cos 5αβ=,1sin sin 5αβ=,于是sin sin 1tan tan cos cos 2αβαβαβ==. 8、(1)左边=222cos 214cos232(cos 22cos21)αααα-++=++22242(cos21)2(2cos )8cos ααα=+===右边(2)左边=2222sin cos 2sin cos (sin cos )2cos 2sin cos 2cos (cos sin )αααααααααααα+++=++sin cos 11tan 2cos 22αααα+==+=右边(3)左边=sin(2)2cos()sin sin[()]2cos()sin sin 2cos (cos sin )αβαβααβααβααααα+-+++-+=+sin()cos cos()sin sin sin sin αβααβαβαα+-+===右边(第12(2)题)(4)左边=222234cos22cos 212(cos 22cos21)34cos22cos 212(cos 22cos21)A A A A A A A A -+--+=++-++ 2224222(1cos2)(2sin )tan (1cos2)(2cos )A A A A A -===+=右边 9、(1)1sin 21cos2sin 2cos222)24y x x x x x π=+++=++++递减区间为5[,],88k k k Z ππππ++∈(222,最小值为22.10、2222()(cos sin )(cos sin )2sin cos cos2sin 22)4f x x x x x x x x x x π=+--=-=+(1)最小正周期是π;(2)由[0,]2x π∈得52[,]444x πππ+∈,所以当24x ππ+=,即38x π=时,()f x 的最小值为2-()f x 取最小值时x 的集合为3{}8π.11、2()2sin 2sin cos 1cos2sin 22)14f x x x x x x x π=+=-+=-+(1)最小正周期是π21;(2)()f x 在[,]22ππ-上的图象如右图:12、()3sin cos 2sin()6f x x x a x a π=++=++.(1)由21a +=得1a =-;(2)2{22,}3x k x k k Z πππ+∈≤≤.13、如图,设ABD α∠=,则CAE α∠=,2sin h AB α=,1cos hAC α=所以1212sin 2ABC h h S AB AC α∆=⋅⋅=,(0)2πα<<当22πα=,即4πα=时,ABC S ∆的最小值为12h h .第三章 复习参考题B 组(P147)1、解法一:由221sin cos 5sin cos 1αααα⎧-=⎪⎨⎪+=⎩,及0απ≤≤,可解得4sin 5α=, αh 1h 2l 2l 1BDE AC(第13题)13cos sin 55αα=-=,所以24sin 225α=,7cos225α=-,sin(2)sin 2cos cos2sin 44450πππααα-=-=. 解法二:由1sin cos 5αα-= 得21(sin cos )25αα-=,24sin 225α=,所以249cos 2625α=. 又由1sin cos 5αα-=,得sin()4πα-=.因为[0,]απ∈,所以3[,]444πππα-∈-.而当[,0]44ππα-∈-时,sin()04πα-≤;当3[,]444πππα-∈时,sin()4πα->所以(0,)44ππα-∈,即(,)42ππα∈所以2(,)2παπ∈,7cos225α=-.sin(2)4πα-=2、把1cos cos 2αβ+=两边分别平方得221cos cos 2cos cos 4αβαβ++=把1sin sin 3αβ+=两边分别平方得221sin sin 2sin sin 9αβαβ++=把所得两式相加,得1322(cos cos sin sin )36αβαβ++=,即1322cos()36αβ+-=,所以59cos()72αβ-=-3、由sin()sin 3παα++= 可得3sin 2αα=4sin()65πα+=-. 又02πα-<<,所以366πππα-<+<,于是3cos()65πα+=.所以cos cos[()]66ππαα=+-4、22sin 22sin 2sin cos 2sin 2sin cos (cos sin )sin 1tan cos sin 1cos x x x x x x x x x x x x x x +++==---1tan sin 2sin 2tan()1tan 4x x x x x π+==+-由177124x ππ<<得5234x πππ<+<,又3cos()45x π+=,所以4sin()45x π+=-,4tan()43x π+=-所以cos cos[()]cos()cos sin()sin 444444x x x x ππππππ=+-=+++=,sin 10x =-,7sin 22sin cos 25x x x ==, 所以2sin 22sin 281tan 75x x x +=--, 5、把已知代入222sin cos (sin cos )2sin cos 1θθθθθθ+=+-=,得22(2sin )2sin 1αβ-=.变形得2(1cos2)(1cos2)1αβ---=,2cos2cos2αβ=,224cos 24cos 2αβ= 本题从对比已知条件和所证等式开始,可发现应消去已知条件中含θ的三角函数.考虑sin cos θθ+,sin cos θθ这两者又有什么关系及得上解法. 5、6两题上述解法称为消去法6、()21cos22sin(2)16f x x x m x m π=+++=+++.由 [0,]2x π∈ 得72[,]666x πππ+∈,于是有216m ++=. 解得3m =.()2sin(2)4()6f x x x R π=++∈的最小值为242-+=,此时x 的取值集合由322()62x k k Z πππ+=+∈,求得为2()3x k k Z ππ=+∈7、设AP x =,AQ y =,BCP α∠=,DCQ β∠=,则tan 1x α=-,tan 1y β=- 于是2()tan()()x y x y xyαβ-++=+-又APQ ∆的周长为2,即2x y +,变形可得2()2xy x y =+- 于是2()tan()1()[2()2]x y x y x y αβ-++==+-+-.又02παβ<+<,所以4παβ+=,()24PCQ ππαβ∠=-+=.8、(1)由221sin cos 5sin cos 1ββββ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,可得225sin 5sin 120ββ--=解得4sin 5β=或3sin 5β=-(由(0,)βπ∈,舍去)所以13cos sin 55ββ=-=-,于是4tan 3β=-(2)根据所给条件,可求得仅由sin ,cos ,tan βββ表示的三角函数式的值,例如,sin()3πβ+,cos22β+,sin cos 2tan βββ-,sin cos 3sin 2cos ββββ-+,等等.。

北师大版数学高一必修4课时作业:5正弦函数的图像_正弦函数的性质_Word版含解析

北师大版数学高一必修4课时作业:5正弦函数的图像_正弦函数的性质_Word版含解析
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5π π 3π 7π 1 π ∴函数 y=1+sin-2x+4的单调减区间为-4π,- 2 ,-2, 2 , 2 ,4π. 1 14.求函数 y=3-2sin2x 的最值及取到最值时的自变量 x 的集合. 1 1 1 π 解析:∵-1≤sin2x≤1,∴当 sin2x=-1,2x=2kπ-2,k∈Z, 即 x=4kπ-π,k∈Z,ymax=5, 此时自变量 x 的集合为{x|x=4kπ-π,k∈Z}; 1 1 π 当 sin2x=1,2x=2kπ+2,k∈Z, 即 x=4kπ+π,k∈Z 时,ymin=1, 此时自变量 x 的集合为{x|x=4kπ+π,k∈Z}.
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3 10.根据正弦曲线求满足 sinx≥- 2 在[0,2π]上的 x 的取值范围. 3 解析:在同一坐标系内作出函数 y=sinx 与 y=- 2 的图象,如图所示.
4 5 3 观察在一个闭区间[0,2π]内的情形,满足 sinx≥- 2 的 x∈0,3π∪3π,2π,所以满足 3 sinx≥- 2 在[0,2π]上的 x 的范围是 4 5π 4 5 x0≤x≤ π或 ≤x≤2π .或0, π∪ π,2π 3 3 3 3 |能力提升|(20 分钟,40 分) π 11.已知函数 y= 2sinx+4+φ是奇函数,则 φ 的值可以是( π A.0 B.-4 π C.2 D.π π π 解析:y= 2sinx+4+φ为奇函数,则只需4+φ=kπ,k∈Z, π π 从而 φ=kπ-4,k∈Z.显然当 k=0 时,φ=-4满足题意. 答案:B
北师大版数学高一必修 4 课时作业:5 正弦函数的图像_正 弦函数的性质_Word 版含解析

高一数学必修4:高一数学必修4模块训练12答案

高一数学必修4:高一数学必修4模块训练12答案

高一数学必修4模块训练12一.选择题:1.下列各角中与角3π终边相同的是 ( ) A.-3π B.-3000 C. 23π D.24002.角α的始边在x 轴正半轴、终边过点P (3,4),则sin α的值为 ( ) A.34 B. 43 C. 35 D. 453. 角α的始边在x 轴正半轴、终边过点P y ),且cos α=12,则y 的值为( ) A.3 B. 1 C.±3 D.±14. 式子sin3000的值等于 ( )A.12B. 2C.- 12D.- 2 5.设角α是第二象限角,且2cos 2cos αα-=,则2α角的终边在( ) A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限6.若α是第四象限角,则πα-是 ( ) A 第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角7. 式子sin2cos3tan4的值 ( ) A 小于0 B 大于0 C 等于0 D 不存在8. 若角α的终边落在直线x +y =0上,则ααααcos cos 1sin 1sin 22-+-的值等于( ) A 2 B 2- C 2-或2 D 0二.填空题:9.设θ分别是第二象限角,则点)cos ,(sin θθP 落在第_________象限10.若角α与角β的终边关于y 轴对称,则α与β的关系是___________三.解答题:11、已知1tan tan αα,是关于x 的方程2230x kx k -+-=的两个实根,且παπ273<<,求ααsin cos +的值12. 一个扇形OAB 的周长为20,试问:当扇形的半径和圆心角各取何值时,此扇形的面积最大?参考答案一、选择题:BDCDCCAD二、填空题:9.(四),10.(2k αβππ+=+,k ∈Z ),三、解答题: 11、解:21tan 31,2tan k k αα⋅=-=∴=±Q ,而παπ273<<,则1tan 2,tan k αα+==得tan 1α=,则sin cos 2αα==-,cos sin αα∴+=12、解:设扇形的半径为r ,则21(202)102S r r r r =-=-+ 当5r =时,S 取最大值,此时10,2l l rα===。

高一数学上:必修4答案

高一数学上:必修4答案

高一数学上:必修4答案高中数学新课程讲学练参考答案高一(上):必修4一、数学④§1.1.1 任意角1.D;2.A;3.C;4.A;5.B;6.二;7.1110;8.-π7.π;44 = 56.176.296。

k|kγ360+135≤α≤kγ360+180 orkγ360+315≤α≤kγ360+360.k∈Z}k|kγ360+150≤α≤kγ360+210.k∈Z}α]9.(1) 一或三;(2) 一或二或三;10.β11.(1) α ∈ [β。

β+π);(2) α ∈ (-π。

π],α ≠ β12.(1) {β|β=k·360°。

k∈Z};(2) {β|β=k·360°+180°。

k∈Z};3) {β|β=k·180°。

k∈Z};(4) {β|β=k·90°。

k∈Z}13.(1) -50,(2) 310,(3) 670二、数学④§1.1.2 弧度制1.C;2.C;3.B;4.B;5.C;6.三;7.(2)、(3);8.-π8;9.2kπ-π6.k∈Z;10.{β|β=π+2kπ。

k∈Z};11.(1) β ∈ [0.π) or β ∈ [2kπ-π。

2kπ)。

k∈Z;2) (β+π) ∈ [0.π) or (β+π) ∈ [2kπ-π。

2kπ)。

k∈Z;12.(1) l = 8α/10π/3.when α=2.S_max=1π。

S=50(-);2) S = 4+4α+α2/33π(dm);the total area of the sector is π(dm2)13.XXX XXX:三、数学④§1.2.1 任意角的三角函数1.A;2.C;3.B;4.D;6.7.±π/133.±。

8.-4322;9.{3.-1};10.2kπ+π/3 or 2kπ+2π/15.k∈Z;11.(1) β ∈ (2kπ-π/3.2kπ+π/3);(2) β ∈ (-π/2+2kπ。

高一数学必修4全册习题(答案详解)

高一数学必修4全册习题(答案详解)

高一三角同步练习1(角的概念的推广)一.选择题1、下列角中终边与330°相同的角是( )A .30°B .-30°C .630°D .-630°2、-1120°角所在象限是 ( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限3、把-1485°转化为α+k ·360°(0°≤α<360°, k ∈Z )的形式是 ( ) A .45°-4×360°B .-45°-4×360°C .-45°-5×360°D .315°-5×360°4、终边在第二象限的角的集合可以表示为: ( ) A .{α∣90°<α<180°}B .{α∣90°+k ·180°<α<180°+k ·180°,k ∈Z }C .{α∣-270°+k ·180°<α<-180°+k ·180°,k ∈Z }D .{α∣-270°+k ·360°<α<-180°+k ·360°,k ∈Z } 5、下列命题是真命题的是( )Α.三角形的内角必是一、二象限内的角 B .第一象限的角必是锐角C .不相等的角终边一定不同D .{}Z k k ∈±⋅=,90360|αα={}Z k k ∈+⋅=,90180|αα 6、已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},那么A 、B 、C 关系是( )A .B=A ∩CB .B ∪C=C C .A ⊂CD .A=B=C7、已知角2α的终边在x 轴的上方,那么α是 ( )A .第一象限角B .第一、二象限角C .第一、三象限角D .第一、四象限角 8、若α是第四象限的角,则α- 180是 .(89上海)A .第一象限的角B .第二象限的角C .第三象限的角D .第四象限的角二.填空题1、写出-720°到720°之间与-1068°终边相同的角的集合___________________.2、与1991°终边相同的最小正角是_________,绝对值最小的角是_______________.3、若角α的终边为第二象限的角平分线,则α的集合为______________________.4、在0°到360°范围内,与角-60°的终边在同一条直线上的角为 .三.解答题1、求所有与所给角终边相同的角的集合,并求出其中的最小正角,最大负角: (1)210-; (2)731484'-.2、求θ,使θ与900-角的终边相同,且[]1260180,-∈θ.3、设集合{}Z k k x k x A ∈+⋅<<+⋅=,30036060360|, {}Z k k x k x B ∈⋅<<-⋅=,360210360|,求B A ,B A .4、已知角α是第二象限角,求:(1)角2α是第几象限的角;(2)角α2终边的位置。

高一数学必修4 模块测试卷

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高一数学必修4 模块测试卷试卷满分:100分 考试时间:60分钟一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.1. 在0到2π范围内,与角3π-终边相同的角是( )A. 3πB. 23πC. 43πD. 53π2.α是一个任意角,则α的终边与3α+π的终边( )A. 关于坐标原点对称B. 关于x 轴对称C. 关于y 轴对称D. 关于直线y x =对称3. 已知向量(1,2)=-a ,(1,0)=b ,那么向量3-b a 的坐标是( ) A. (4,2)- B. (4,2)-- C. (4,2) D. (4,2)-4. 若向量(13)=,a 与向量(1,)λ=-b 共线,则λ的值为( ) A. 3- B. 3 C. 13-D. 135. 函数()f x 的图象是中心对称图形,如果它的一个对称中心是)0,2(π,那么()f x 的解析式可以是( )A. sin xB. cos xC. sin 1x +D. cos 1x +6. 已知向量(1,=a ,(2,=-b ,则a 与b 的夹角是( )A.6π B. 4π C. 3π D. 2π7. 为了得到函数cos(2)3y x π=-的图象,只需将函数cos 2y x =的图象( )A. 向左平移π6个单位长度 B. 向右平移π6个单位长度 C. 向左平移π3个单位长度 D. 向右平移π3个单位长度8. 函数212cos y x =- 的最小正周期是( ) A. 4π B. 2πC. πD. 2π9. 设角θ的终边经过点(3,4)-,则)4cos(πθ+的值等于( )A.B.C.D. 10. 在矩形ABCD中,AB =1BC =,E 是CD 上一点,且1AE AB ⋅=,则AE AC ⋅ 的值为( )A .3B .2 C.2 D.3二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.11. sin34π=______. 12. 若1cos , (0,)2αα=-∈π,则α=______.13. 已知向量(1,3)=-a ,(3,)x =-b ,且⊥a b ,则x =_____. 14.已知sin cos αα-=,则sin 2α=______.15. 函数2cos y x =在区间[,]33π2π-上的最大值为______,最小值为______. 16. 已知函数()sin f x x x =,对于ππ[]22-,上的任意12x x ,,有如下条件:①2212x x >;②12x x >;③12x x >,且1202x x +>.其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是_______.(写出所有满足条件的序号) 三、解答题:本大题共3小题,共36分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分)已知2απ<<π,4cos 5α=-. (Ⅰ)求tan α的值; (Ⅱ)求sin 2cos2αα+的值.18.(本小题满分12分)已知函数2()sin 12xf x x =+. (Ⅰ)求()3f π的值;(Ⅱ)求()f x 的单调递增区间;(Ⅲ)作出()f x 在一个周期内的图象.19.(本小题满分12分)如图,点P 是以AB 为直径的圆O 上动点,P '是点P 关于AB 的对称点,2(0)AB a a =>.(Ⅰ)当点P 是弧 上靠近B 的三等分点时,求AP AB ⋅的值;(Ⅱ)求AP OP '⋅的最大值和最小值.参考答案及评分标准一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.1.D;2.A;3.D;4.A;5.B;6.C;7.B;8.C;9.C; 10.B.二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.11. 2-; 12.32π; 13. 1-; 14. 1-; 15. 2,1-; 16. ①③. 注:一题两空的试题每空2分;16题,选出一个正确的序号得2分,错选得0分. 三、解答题:本大题共3小题,共36分.17.解:(Ⅰ)因为4cos 5α=-,2απ<<π,所以3sin 5α=, …………………3分 所以sin 3tan cos 4ααα==-. …………………5分(Ⅱ)24sin 22sin cos 25ααα==-, …………………8分27cos 22cos 125αα=-=, …………………11分 所以24717sin 2cos 2252525αα+=-+=-. …………………12分18.解:(Ⅰ)由已知2()sin 1363f πππ=+ …………………2分1122=+=. …………………4分(Ⅱ)()cos )sin 1f x x x =-+ …………………6分sin 1x x =-+2sin()13x π=-+. …………………7分函数sin y x =的单调递增区间为[2,2]()22k k k πππ-π+∈Z , …………………8分 由 22232k x k ππππ-≤-≤π+,得2266k x k π5ππ-≤≤π+.所以()f x 的单调递增区间为[2,2]()66k k k π5ππ-π+∈Z . …………………9分(Ⅲ)()f x 在[,]33π7π上的图象如图所示. …………………12分19.解:(Ⅰ)以直径AB 所在直线为x 轴,以O 为坐标原点建立平面直角坐标系.因为P 是弧AB 靠近点B 的三等分点, 连接OP ,则3BOP π∠=, …………………1分 点P 坐标为1(,)22a a . …………………2分又点A 坐标是(,0)a -,点B 坐标是(,0)a ,所以3()2AP a = ,(2,0)AB a =, …………………3分 所以23AP AB a ⋅=. …………………4分 (Ⅱ)设POB θ∠=,[0,2)θπ∈,则(cos ,sin )P a a θθ,(cos ,sin )P a a θθ'-所以(cos ,sin )AP a a a θθ=+,(cos ,sin )OP a a θθ'=-. …………所以22222cos cos sin AP OP a a a θθθ'⋅=+- 22(2cos cos 1)a θθ=+- (222119)2(cos cos )2168a a θθ=++- 222192(cos )48a a θ=+-. …………当1cos 4θ=-时,AP OP '⋅ 有最小值298a -当cos 1θ=时,AP OP '⋅ 有最大值22a . …………………12分。

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高一数学必修4模块训练5
一.选择题:
1、已知sin()0,cos()0πθπθ+<-<,则角θ所在嘚象限是 ( )
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限 2、cos ,[,]62
y x x ππ
=∈-嘚值域是 ( )
A 、[0,1]
B 、[1,1]-
C 、3[0,
]2
D 、1[,0]2
-
3、若角θ嘚终边过点P (4,3)(0)a a a -≠,则sin cos θθ+等于 ( ) A 、15- B 、15 C 、1
5
± D 、不能确定,与a 嘚值有关 4、函数()sin()6
f x x π
=+在(0,2)π上嘚图象与x 轴嘚交点嘚横坐标为 ( )
A 、1166
π
π
-

B 、566ππ或
C 、51166ππ或
D 、766ππ或 5、下列判断正确嘚是 ( )
A 、若向量A
B CD 与是共线向量,则A,B,C,D 四点共线
B 、单位向量都相等
C 、共线嘚向量,若起点不同,则终点一定不同
D 、模为0是一个向量方向不确定嘚充要条件
6、如图,在菱形ABCD 中,下列式子成立嘚是 ( ) A 、AB CD = B 、AB BC = C 、AD CB = D 、AD BC =
7、设s ,t 是非零实数,,i j 是单位向量,当两向量,s i t j t i s j +-嘚模相等时,,i j 嘚夹角是( ) A 、
6
π B 、
4π C 、3π D 、2
π 8、点P 在平面上作匀速直线运动,速度向量(4,3)v =- (即点P 嘚运动方向与v 相同,且每秒移动嘚距离为||v 各单位)。

设开始时点P 嘚坐标为(-10,10),求5秒后点P 嘚坐标为 ( ) A 、(2,4)- B 、(30,25)- C 、(10,5)-
D 、(5,10)-
二.填空题:
13、函数sin 3cos y x x =+在区间[0,
]2
π
上嘚最小值为_______________;
C
D A
B
14、设向量a b 与嘚夹角为θ,且(3,3),2(1,1)a b a =-=-,则10cos θ= ; 三.解答题:
11、已知函数()2sin()2sin ,3f x x x π=+
- ,0.2x π⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
(Ⅰ)若3
cos ,3
x =
求函数()f x 嘚值; (Ⅱ)求函数()f x 嘚值域。

12、如图,已知OPQ 是半径为1,园心角为3
π
嘚扇形,C 是扇形弧上嘚动点,ABCD 是扇形嘚内结矩形,记COP α∠=,求当角α取何值时, 矩形ABCD 嘚面积最大?并求出这个最大值.
参考答案
一、选择题
1、A sin()0,cos()0sin 0,cos 0πθπθθθ+<-<⇒>>,则角θ所在嘚象限是第一象限.
2、A cos ,[,]62
y x x ππ
=∈-
嘚值域是[0,1]. αA
B C
O
P
Q
D
3、C 若角θ嘚终边过点P (4,3)(0)a a a -≠,则341
sin cos 5||5||5||5
a a a a a a θθ--+=+==±. 4、C ()sin()06
f x x π
=+
=⇒在(0,2)π上51166
x ππ=

. 5、D 回顾向量嘚基本知识点.
6、D 在菱形ABCD 中//,AD BC AD BC AD BC =⇒=.
7、D ||||,||||10s i t j t i s j i j i j +=-==⇒=,,i j 嘚夹角是2
π
. 8、C 5秒后点P 坐标为(-10,10)+5(4,3)-=(10,5)-. 二.填空题:
9、1 sin 3cos 2sin()3
y x x x π
=+=+
在区间[0,]2π
上嘚最小值为1.
10、3 (3,3),2(1,1)cos a b a θ=-=-⇒=31010
, 10cos θ=3.
三.解答题: 11、解:(Ⅰ)
36cos ,[,0],sin 323x x x π=
∈-∴=- …………2分 136()2(sin cos )2sin 3cos sin 12
23
f x x x x x x =+
-=-=+ ……5分 (Ⅱ) ()2cos()6
f x x π
=+
……………7分
0,2
3
6
6
1cos()126
x x x π
π
π
π
π
-
≤≤∴-
≤+

∴≤+≤
∴函数()f x 嘚值域为[ 1 , 2 ] …………………10分
12..
解:由题意可得
在三角形OCB 中,OC=1,COP a ∠=, 所以 BC=sin α OB=cos α
在三角形OAD 中,3
AOD π
∠=
,AD=BC= sin α
所以 3 OA=
sin 3α 所以AB=OB-OA= cos α - 3sin 3
α 则,矩形ABCD 嘚面积为
3
sin cos -sin 3ααα⎛⎫• ⎪ ⎪⎝⎭
= 3sin cos -sin sin 3αααα•• =
133sin2+cos2-266αα=33
sin(2+)-366
πα 所以矩形ABCD 面积嘚最大值为3
6。

此时2+6πα=
2
π
∴α=
6
π。

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