广西南宁市2018届高三综合能力测试数学(理)试题+扫描版含答案

2018年南宁市高三年级综合能力测试全套（三）理科数学答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）（1）【答案】C 【解析】因为{}0,1,2,3,...A =，[]=2,2B -，故{}0,1,2A B = （2）【答案】C 【解析】如图，2z i =-+，令1z a bi =+，则221()(2)z z a bi i ⋅=+-+()(34)a bi i =+-.又21z z ⋅为纯虚数，则21z z ⋅实部为0，即3+40a b =，故选C. （3）【答案】D 【解析】22cos 212sin 2cos 1ααα=-=-.则可以算出21sin 3α=，22cos 3α=.则2221sin 13tan 2cos 23ααα===，故选D. （4）【答案】B 【解析】A 选项为37，C 选项为污染，D 选项应为小于.（5）【答案】A 【解析】如图，ABC ∆为满足不等式组的区域，当直线2z x y =+经过点(21)C ，时值最小.此时224z =+=.故选A（6）【答案】B 【解析】()4211a x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭常数项为122441+1C a C a ⋅+⋅=.解得：203a =或-.故选B.（7）【答案】D 【解析】16在第三象限，则cos160<.进行一次循环得到8,2m n ==.8在第二象限，则cos80<.又进行一次循环得到4,3m n ==.4在第三象限，cos 40<. 又进行一次循环得到2,4m n ==.2在第二象限，cos 20<.又进行一次循环得到1,5m n ==，此时cos10>.故输出n 为5.故选D.（8）【答案】B 【解析】平移后的函数为()sin(+)3g x x ππϕ=+，由()g x 为偶函数可以推出=6πϕ.则()sin()6f x x ππ=+.所以()f x 的单调递增区间为2,2,622x k k k Z ππππππ⎛⎫+∈-+∈ ⎪⎝⎭即21(2,2),33x k k k Z ∈-+∈.故选B.（9）【答案】A 令2()ln f x x x =-，定义域为()()00-∞+∞ ,,且2()ln ()f x x x f x -=-=，故函数2ln y x x =-为偶函数，图象关于y 轴对称，排除B 、D ；考虑2()ln g x x x =-，1()2g x x x'=-，当)22,0(∈x 时1()20g x x x '=->，2()ln g x x x =-单调递增，排除C.选A.（10）【答案】A （11）【答案】B【解析】考虑到对称性，不妨设P 点在第一象限.令:1l x =-，过P 作PK l ⊥于K.根据抛物线的第一定义,PK PF =.则若要使PF PA最小，则直线PA 的斜率应最大.令:1PA x ky =-，代入抛物线方程得：2440y ky -+=，216160k ∆=-≥.则k 最小为1.此时P 点坐标为1,2（）.圆心O 到直线PF 的距离为1.故选B.（12）【答案】A 【解析】如图为函数图像，若函数()=-y f x k 有三个不同的零点，则(]0,1k ∈.又由于函数5log x 的性质5152log log 0x x +=.则121x x =.又311,62x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.所以12311,62x x x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选A.二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）（13）【答案】2-【解析】2(4,42)a b m -=-可得：24=442m-，解得2m =-. （14）sin 2sin B C =由正弦定理知2b c =. 2π3A =，由余弦定理知：222(2)14cos 322c c c cπ+-=⋅⋅.解得：c =故满足条件的c =（15）【答案】4【解析】126PF PF -=，则点P 应该在双曲线的右侧.依题意得P 满足22219x y b -=，得：225119b -=.解得：2169b =，得c =，c e a ==（16）【解析】显然该三棱锥的底面（面BDE ）与俯视图相同，有一个侧面（面ECD）E与正视图相同且垂直于底面。

首先确定外接球的半径.由A 为三角形BDE 的圆心知球心必定在直线AC 上.考虑截面ABC 设外界球半径为x.则222)5x x +=（.解得x =则外接球体积为3344=33V x ππ=⋅.三、解答题（共70分）（17）（Ⅰ）证明：因为11(1,2,3,)n n a S n n +=++=L ，所以 1 (2)n n a S n n -=+≥. ……………………1分 所以 11n n n a a a +-=+，即12+1n n a a +=. ……………………2分 所以()1121n n a a ++=+， ……………………3分 又212111,3,21a a a a +=∴==+，故{+1}n a 为等比数列. ……………4分 （Ⅱ）不存在，理由如下：由（Ⅰ）得11a =，则112(1)121n nn a a -=+-=-. ………………6分假设能得到一个等差数列，不妨设满足条件的3项为,,r s t a a a ，则2(21)2121s r t ⋅-=-+-，即1222s r t +=+. ……………………8分所以 11221r s t s ----+=. ……………………9分 因为，数列{}n a 是一个递增数列，所以 10,10r s t s --≥--≥中必有一个成立，……………………10分 则11221r s t s ----+>与11221r s t s ----+=矛盾. ……………………11分 数列{}n a 中不存在不同的三项，适当排列顺序后构成一个等差数列. ………12分（18）（Ⅰ）证明： 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，平面PAD I 平面ABCD AD =， 所以 AB ⊥平面PAD .所以 ,AB PA AB PD ⊥⊥.………2分 因为 PA PC =，AB BC =，PB PB =， 所以 PAB PCB ∆≅∆.所以 90PCB PAB ∠=∠=︒，即BC PC ⊥.………………4分同理可证：BC CD ⊥.所以 BC ⊥平面PCD .所以 BC PD ⊥. ………………5分 又因为BC AB B =I 所以 PD ⊥平面ABCD . …………6分（Ⅱ）分别以,AB AD 所在的直线为x 轴，y 轴，过A 垂直于平面ABCD 的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， …………………7分则(0,0,0),(0,2,0),(0,2,3)A B C D P .…………………8分设平面PAB 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,AB AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r uu u rn n即0,230.y z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 令3y =-，得平面PAB 的一个法向量为(0,3,2)=-n .……………10分设直线CD 与平面PAB 所成角为θ，则sin DCDCθ⋅=⋅uuu ruuu r n n ……………11分26==.所以 直线CD 与平面PAB………12分（19）（Ⅰ）错误！未找到引用源。

更适合于模型 ……………………3分 （Ⅱ）根据最小二乘法公式错误！未找到引用源。

……………………5分1.3668y x αβ=-=- ……………………6分0.0857 1.3668y x =- ……………………8分（Ⅲ）要求不发生车祸，需要满足错误！未找到引用源。

……………………10分 故错误！未找到引用源。

即错误！未找到引用源。

……………………12分（20）解：（Ⅰ）因为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 经过点)0,2(A ，所以2=a .………1分又因为222,1c b a c =-=所以32=b . ……………3分所以椭圆的方程为13422=+y x . ……………………4分（Ⅱ）由题意可知直线l 不与x 轴垂直，可设直线l 方程为m kx y +=，…………5分代入椭圆的方程13422=+y x ，得()0124843222=-+++m kmx x k ， 且0>∆ 设),(),,(2211y x N y x M ，则221438k kmx x +-=+，()22214334km x x +-=.…………………6分 直线AB 的方程为)2(211---=x x y y ，令4-=x ，得P 点的纵坐标2611-=x y y P同理可得Q 点的纵坐标2622--=x y y Q………………7分所以()()2236262621212211---=--⋅-==x x y y x y x y y y TQ TP Q P ()()4)(236212121++-++-=x x x x m kx m kx ① ……………………8分因为TFP TQF ∠=∠，所以TFP TQF ∠=∠tan tan ，因为TF TP ⊥，所以TFTP TQTF =， ……………………9分所以92==TFTQ TP 所以9=Q P y y ② ……………………10分由①②可得()044)(24)14(221212=+++-++m x x km x x k ，代入221438k km x x +-=+，()22214334km x x +-=可整理得则0222=-+k km m ， 则k m =，k m 2-=. ……………………11分 可得直线l 方程为k kx y 2-=（舍），k kx y +=，则l 经过定点)0,1(-F .……12分（21）解:（Ⅰ）2e()ln 2e x f x a x =-，则22'()xe af x e x e=-⋅.…………………1分由条件可知，2e x =时'()0f x =. 即220a e e e-⋅=.解得e a =. ……………………2分 代入函数得：()2ln 2xef x e x e =⋅-. 22'()xe ef x e x e=-⋅2224''()0x e e f x e x e =--⋅<.则'()f x 在,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上递增，在,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递减. ……3分故函数()f x 满足在2ex =取最大值. 综上所述，e a =. ……………………4分 （Ⅱ）令，，显然，与的零点个数相等. ……………………5分（1）当时，即，所以 函数的零点的个数为0； ……………………6分 （2）当时，所以函数在内是减函数.所以函数至多有一个零点，即函数至多有一个零点. ……………………7分令所以当时，. 又所以函数有且只有一个零点，即函数有且只有一个零点.………………8分（3）当时令，即，令，易知为增函数，且故存在，使得………………9分由以上可知：时，，为增函数；时，为减函数.所以令，则，所以为增函数.则，即，当且仅当时等号成立. ……………10分 由以上可知：时，有且只有一个零点，即有且只有一个零点；当时无零点. ………………11分 综上所述：当时，函数无零点；当时，函数只有一个零点.……………………12分（22）解：（Ⅰ）在l 上任取一点(,)Q ρθ，由题意可知点A 的极坐标为(2,)6π，…2分||cos ||OQ AOQ OA ∠= ∴直线l 的极坐标方程为cos()26πρθ-=.………………4分（Ⅱ）设点M 的极坐标为(,)M ρθ，点P 的极坐标00(,)P ρθ………………5分依题意可得00,28πθθρρ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即00,28πθθρρ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，………………7分又因为00cos()26πρθ-=，则82cos()2,3πθρ-=化简得 动点M 的轨迹C 的极坐标方程.24cos()(0)3πρθρ=->，………………8分 所以M 的轨迹C 直角坐标方程:2220(0,0)x y x x y ++-=≠≠ ………………10分 （23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 解：（Ⅰ）依题意可得|21||2|1x x k +--≤+ 当12x <-时解得4x k ≥--；当122x -≤<时解得23k x +≤；当2x ≥时解得2x k ≤- ………………3分依题意可设45,213k k --=-⎧⎪+⎨=⎪⎩解得1k = ………………4分经检验， 1k =时满足题意，故1k = ………………6分1=即2ab =则24a b +≥8==， ………………8分 当且仅当24a b =即2,1a b ==时，等号成立………………9分 故24a b +的最小值为1. ………………10分。