2020届广西南宁市高三一模摸底数学(理)试题解析
2020年高考模拟试卷广西南宁市高考(理科)数学一模测试试卷 含解析
2020年高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}2．若复数z满足（1+3i）z＝（1+i）2，则|z|＝（）A．B．C．D．3．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（）A．方差B．中位数C．众数D．平均数4．若（x2+）6的展开式中x6的系数为150，则a2＝（）A．20B．15C．10D．255．设递增的等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S4＝，3a4﹣10a3+3a2＝0，则a4＝（）A．9B．27C．81D．6．已知函数f（x）＝lnx+ax+b的图象在点（1，a+b）处的切线方程是y＝3x﹣2，则a﹣b ＝（）A．2B．3C．﹣2D．﹣37．函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．8．如图，PA⊥平面ABCD，ABCD为正方形，且PA＝AD，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．执行如图所示的程序框图，若输出的S＝，则①处应填写（）A．k＜3？B．k≤3？C．k≤5？D．k＜5？10．已知点F2为双曲线的右焦点，直线y＝kx与双曲线交于两点，若，则△AF2B的面积为（）A．B．C．D．411．已知函数，则不等式f（lgx）＞3的解集为（）A．（，10）B．（﹣∞，）∪（10，+∞）C．（1，10）D．（，1）∪（1，10）12．已知，函数f（x）＝sin（2ωx﹣）在区间（π，2π）内没有最值．给出下列四个结论：①f（x）在（π，2π）上单调递增；②ω∈[，]；③f（x）在[0，π]上没有零点；④f（x）在[0，π]上只有一个零点．其中所有正确结论的编号是（）A．②④B．①③C．②③D．①②④二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上.13．已知两个单位向量满足|+|＝||，则向量与的夹角．14．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且a7＝﹣2a1，则＝．15．已知F1，F2是椭圆C：的左、右焦点，过左焦点F1的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AF1|＝3|BF1|，|AB|＝|BF2|，则椭圆C的离心率为．16．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点．点P在平面ABCD内，若直线D1P∥平面EFG，则线段D1P长度的最小值是・三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图．若尺寸落在区间，（﹣2s，+2s）之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中，s分别为样本平均数和样本标准差，计算可得s≈15（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．（1）求样本平均数的大小；（2）若一个零件的尺寸是100cm，试判断该零件是否属于“不合格”的零件．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝1，，B1C＝1，B1C⊥平面ABC．（1）证明：平面A1ACC1⊥平面BCC1B1．（2）求二面角A﹣B1B﹣C的余弦值．19．a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知a（sin A+4sin B）＝8sin A．（1）若b＝1，A＝，求sin B；（2）已知C＝，当△ABC的面积取得最大值时，求△ABC的周长．20．已知函数f（x）＝2x3+mx2+m+1．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若函数f（x）在区间[0，+∞）上的最小值为﹣3，求m的值．21．如图，已知抛物线E：y2＝4x与圆M：（x﹣3）2+y2＝r2（r＞0）相交于A，B，C，D 四个点．（1）求r的取值范围；（2）设四边形ABCD的面积为S，当S最大时，求直线AD与直线BC的交点P的坐标．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，已知圆M：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝a2+1，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线平分圆M的周长．（1）求圆M的半径和圆M的极坐标方程；（2）过原点作两条互相垂直的直线l1，l2，其中l1与圆M交于O，A两点，l2与圆M交于O，B两点，求△OAB面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知正实数a，b满足a+b＝4．（1）求+的最小值．（2）证明：．参考答案一、选择题：共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}【分析】可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|﹣1＜x＜5}，∴A∩B＝{0，1，2}．故选：D．2．若复数z满足（1+3i）z＝（1+i）2，则|z|＝（）A．B．C．D．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解．解：由（1+3i）z＝（1+i）2＝2i，得z＝，∴|z|＝．故选：D．3．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（）A．方差B．中位数C．众数D．平均数【分析】利用平均数、中位数、众数、方差的性质直接求解．解：由题意知，本次和上次的月考成绩的平均数、中位数、众数都相差50，根据方差公式知方差不变．故选：A．4．若（x2+）6的展开式中x6的系数为150，则a2＝（）A．20B．15C．10D．25【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于6，求出r的值，即可求得展开式中x6的系数，再根据展开式中x6的系数为150，求得a2的值．解：（x2+）6的展开式的通项公式为T r+1＝a r•x12﹣3r，令12﹣3r＝6，求得r＝2，可得展开式中x6的系数为•a2＝150，则a2＝10，故选：C．5．设递增的等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S4＝，3a4﹣10a3+3a2＝0，则a4＝（）A．9B．27C．81D．【分析】根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若3a4﹣10a3+3a2＝0，则3a2q2﹣10a2q+3＝0，变形解可得q的值，由等比数列的前n项和公式可得S4＝＝40a1＝，解可得a1的值，由等比数列的通项公式计算可得答案．解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若3a4﹣10a3+3a2＝0，则3a2q2﹣10a2q+3a2＝0，即有3q2﹣10q+3＝0，解可得q＝3或，又由数列{a n}为递增的等比数列，则q＝3，若S4＝，则S4＝＝40a1＝，解可得a1＝，则a4＝a1q3＝9，故选：A．6．已知函数f（x）＝lnx+ax+b的图象在点（1，a+b）处的切线方程是y＝3x﹣2，则a﹣b ＝（）A．2B．3C．﹣2D．﹣3【分析】求出原函数的导函数，由f′（1）＝3与点（1，a+b）在切线y＝3x﹣2上，联立求得a，b的值，则答案可求．解：由f（x）＝lnx+ax+b，得f′（x）＝+a，∴，解得．则a﹣b＝3．故选：B．7．函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分析可得f（x）为奇函数且在（0，+∞）上，当x→0时，f（x）→﹣∞，利用排除法分析可得答案．解：根据题意，函数，其定义域为{x|x≠0}，又由f（﹣x）＝e﹣x﹣e x+＝﹣（e x﹣e﹣x﹣）＝﹣f（x），则f（x）为奇函数，排除C、D；在（0，+∞）上，当x→0时，f（x）→﹣∞，排除B，故选：A．8．如图，PA⊥平面ABCD，ABCD为正方形，且PA＝AD，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】取BC的中点G，连结FG，EG，则BD∥FG，∠EFG是异面直线EF与BD 所成的角，由此能求出异面直线EF与BD所成角的余弦值．解：如图，取BC的中点G，连结FG，EG，则BD∥FG，通过异面直线所成角的性质可知∠EFG是异面直线EF与BD所成的角，设AD＝2，则EF＝＝，同理可得EG＝，又FG＝＝，∴在△EFG中，cos∠EFG＝＝，∴异面直线EF与BD所成角的余弦值为．故选：C．9．执行如图所示的程序框图，若输出的S＝，则①处应填写（）A．k＜3？B．k≤3？C．k≤5？D．k＜5？【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得判断框内的条件．解：模拟程序的运行，可得k＝1，S＝0k＝2，S＝0+＝，满足判断框内的条件，执行循环体，k＝3，S＝+＝，满足判断框内的条件，执行循环体，k＝4，S＝+＝由题意，此时应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为．故则①处应填写k≤3？故选：B．10．已知点F2为双曲线的右焦点，直线y＝kx与双曲线交于两点，若，则△AF2B的面积为（）A．B．C．D．4【分析】由题意画出图形，可得四边形AF1BF2是平行四边形，利用双曲线定义及余弦定理求解△AF1F2的面积，再由对称性可得△AF2B的面积．解：设双曲线C的左焦点为F1，连接AF1，BF1，由对称性可知四边形AF1BF2是平行四边形，∴，，设|AF1|＝r1，|AF2|＝r2，则，又|r1﹣r2|＝2a，故．∴．则△AF2B的面积为．故选：D．11．已知函数，则不等式f（lgx）＞3的解集为（）A．（，10）B．（﹣∞，）∪（10，+∞）C．（1，10）D．（，1）∪（1，10）【分析】判断函数f（x）是定义域上的偶函数，且在（0，+∞）上是单调递减函数；再把不等式f（lgx）＞3化为0＜|lgx|＜1，求出解集即可．解：函数，是定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，且在（0，+∞）上是单调递减函数；又f（1）＝log22+＝3，所以不等式f（lgx）＞3可化为0＜|lgx|＜1，即﹣1＜lgx＜1，且lgx≠0，解得＜x＜10，且x≠1；所以所求不等式的解集为（，1）∪（1，10）．故选：D．12．已知，函数f（x）＝sin（2ωx﹣）在区间（π，2π）内没有最值．给出下列四个结论：①f（x）在（π，2π）上单调递增；②ω∈[，]；③f（x）在[0，π]上没有零点；④f（x）在[0，π]上只有一个零点．其中所有正确结论的编号是（）A．②④B．①③C．②③D．①②④【分析】由函数f（x）在区间（π，2π）内没有最值，列不等式求出ω的取值范围，再结合函数的单调性与ω的取值范围判断题目中的命题是否正确．解：由函数f（x）＝sin（2ωx﹣）在区间（π，2π）内没有最值，则2kπ﹣≤2ωπ﹣＜4ωπ﹣≤2kπ+，或2kπ+≤2ωπ﹣＜4ωπ﹣≤2kπ+，k∈Z；解得k﹣≤ω≤+，或k+≤ω≤+，k∈Z；又T＝≥2π，且ω＞，所以＜ω≤1；令k＝0，可得ω∈[，]，且f（x）在（π，2π）上单调递减；所以①错误，②正确；当x∈[0，π]时，2ωx﹣∈[﹣，2ωπ﹣]，且2ωπ﹣∈[，]，所以f（x）在[0，π]上只有一个零点，所以③错误，④正确；综上知，所有正确结论的编号是②④．故选：A．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上.13．已知两个单位向量满足|+|＝||，则向量与的夹角．【分析】推导出＝1，从而＝＝1，进而＝﹣，由此能求出向量与的夹角．解：∵两个单位向量满足|+|＝||，∴＝1，＝＝1，解得＝﹣1，∴＝﹣，∴cos＜＞＝﹣，∴向量与的夹角为．故答案为：．14．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且a7＝﹣2a1，则＝18．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式及其性质即可得出．解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a7＝﹣2a1，∴a1+6d＝﹣2a1，∴a1＝﹣2d．则＝＝＝＝18．故答案为：18．15．已知F1，F2是椭圆C：的左、右焦点，过左焦点F1的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AF1|＝3|BF1|，|AB|＝|BF2|，则椭圆C的离心率为．【分析】设|BF1|＝k，则|AF1|＝3k，|BF2|＝4k，利用椭圆的定义，在△ABF2中，，在△AF1F2中，利用余弦定理，转化求解椭圆的离心率即可．解：设|BF1|＝k，则|AF1|＝3k，|BF2|＝4k，由|BF1|+|BF2|＝|AF1|+|AF2|＝2a，得2a＝5k，|AF2|＝2k，如图：在△ABF2中，，又在△AF1F2中，，得，故离心率，故答案为：．16．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点．点P在平面ABCD内，若直线D1P∥平面EFG，则线段D1P长度的最小值是・【分析】连结D1A，AC，D1C，推导出EF∥平面ACD1，EG∥平面ACD1，从而平面EFG∥平面ACD1，推导出点P在直线AC上，在△ACD1中，AD1＝，AC＝2，CD1＝2，由此能求出当D1P⊥AC时，线段D1P的长度最小，并能求出最小值．解：如图，连结D1A，AC，D1C，∵E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点，∴AC∥EF，EF⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1，∴EF∥平面ACD1，∵EG∥AD1，EG⊄平面ACD1，AD1⊂平面ACD1，∴EG∥平面ACD1，∵EF∩EG＝E，∴平面EFG∥平面ACD1，∵D1P∥平面EFG，∴点P在直线AC上，在△ACD1中，AD1＝，AC＝2，CD1＝2，＝＝，∴当D1P⊥AC时，线段D1P的长度最小，最小值为＝．故答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图．若尺寸落在区间，（﹣2s，+2s）之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中，s分别为样本平均数和样本标准差，计算可得s≈15（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．（1）求样本平均数的大小；（2）若一个零件的尺寸是100cm，试判断该零件是否属于“不合格”的零件．【分析】（1）利用频率分布直方图能求出样本平均数的大小．（2）分别求出＝96.5，＝36.5，100＞96.5，从而该零件属于“不合格”的零件．解：（1）＝35×10×0.005+45×10×0.010+55×10×0.015+65×10×0.030+75×10×0.020+85×10×0.015+95×10×0.005＝66.5．（2）＝66.5+30＝96.5，＝66.5﹣30＝36.5，100＞96.5，∴该零件属于“不合格”的零件．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝1，，B1C＝1，B1C⊥平面ABC．（1）证明：平面A1ACC1⊥平面BCC1B1．（2）求二面角A﹣B1B﹣C的余弦值．【分析】（1）根据题意，判断出AC⊥平面BCC1B1，再利用面面垂直的判定定理证明即可；（2）以CA，CB，B1C所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C ﹣xyz，求出平面ABB1与平面CBB1的法向量，利用夹角公式求出即可．【解答】（1）证明：因为B1C⊥平面ABC．所B1C⊥AC，因为AC＝BC＝1，，所以AC2+BC2＝AB2，即AC⊥BC，又BC∩B1C＝C，所以AC⊥平面BCC1B1，因为AC⊂平面A1ACC1．所以平面A1ACC1⊥平面BCC1B1；（2）解：由题可得B1C，CA，CB两两垂直，所以分别以CA，CB，B1C所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz，则A（1，0，0），C（0，0，0），B（0，1，0），B1（0，0，1），所以＝（0，﹣1，1），＝（﹣1，1，0）．设平面ABB1的一个法向量为＝（x，y，z），由，，得令x＝1，得．又CA⊥平面CBB1，所以平面CBB1的一个向量为，由，所以二面角A﹣B1B﹣C的余弦值为．19．a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知a（sin A+4sin B）＝8sin A．（1）若b＝1，A＝，求sin B；（2）已知C＝，当△ABC的面积取得最大值时，求△ABC的周长．【分析】（1）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出结果．（2）利用余弦定理和三角形的面积公式的应用和基本不等式的应用求出结果．解：（1）由于b＝1，A＝，所以a（sin A+4sin B）＝8sin A转换为a（sin A+4sin B）＝8b sin A，利用正弦定理sin2A+4sin A sin B＝8sin A sin B，整理得，解得．（2）由于c2＝a2+b2﹣2ab cos C≥ab，当a＝b时，最大值为，由于，所以△ABC为等边三角形．利用正弦定理a（sin A+4sin B）＝8sin A，转化为a2+4ab＝8a，所以a+4b＝8，利用基本不等式，解得ab≤4，即a＝4b时，，解得b＝1，a＝4，所以c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝1+16﹣4＝13，解得c＝所以．20．已知函数f（x）＝2x3+mx2+m+1．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若函数f（x）在区间[0，+∞）上的最小值为﹣3，求m的值．【分析】（1）利用函数导数，结合二次函数图象和性质，判断即可；（2）由（1）的单调性，对m进行分类讨论，判断函数f（x）的最小值，求出m．解：（1）f（x）＝2x3+mx2+m+1，f'（x）＝6x2+2mx＝6x[x﹣（﹣）]，当m＝0时，f'（x）≥0，f（x）在R上递增，当m＞0时，x∈（﹣∞，0），（m，+∞）递增，x∈（0，m）递减，当m＜0时，x∈（﹣∞，m），（0，+∞）递增，x∈（m，0）递减；（2）由（1）知，当m＝0时，f（x）在区间[0，+∞）递增，f（x）＝2x3+1，f（x）的最小值为f（0）＝1≠﹣3，故不成立；当m＞0时，f（x）在区间[0，m）递减，（m，+∞）递增，故f（m）为最小值，由f （m）＝3m3+m+1＝﹣3，即（m+1）（3m2﹣3m+4）＝0，即m＝﹣1＜0，不成立；当m＜0时，f（x）在区间[0，m）递增，故f（0）为最小值，由f（0）＝m+1＝﹣3，得m＝﹣4，成立；所以m＝﹣4．21．如图，已知抛物线E：y2＝4x与圆M：（x﹣3）2+y2＝r2（r＞0）相交于A，B，C，D 四个点．（1）求r的取值范围；（2）设四边形ABCD的面积为S，当S最大时，求直线AD与直线BC的交点P的坐标．【分析】（1）联立抛物线方程和圆方程，运用判别式为0和韦达定理，解不等式可得所求范围；（2）设x2﹣2x+9﹣r2＝0的两个根为x1，x2，且0＜x1＜x2，运用韦达定理，抛物线和圆都关于x轴对称，可设A（x1，2），B（x1，﹣2），C（x2，2），D（x2，﹣2），求得面积S的解析式，可令t＝∈（0，1），设f（t）＝﹣32（t3+t2﹣t﹣1），求得导数，以及最值时t的值，可设P（m，0），再由P，A，D三点共线的条件，解方程可得m的值，即可得到所求坐标．解：（1）联立抛物线y2＝4x与圆M：（x﹣3）2+y2＝r2（r＞0），可得x2﹣2x+9﹣r2＝0，由题意可得△＝4﹣4（9﹣r2）＞0，且9﹣r2＞0，r＞0，解得2＜r＜3；（2）设x2﹣2x+9﹣r2＝0的两个根为x1，x2，且0＜x1＜x2，可得x1+x2＝2，x1x2＝9﹣r2，由抛物线和圆都关于x轴对称，可设A（x1，2），B（x1，﹣2），C（x2，2），D（x2，﹣2），则S＝（|AB|+|CD|）•（x2﹣x1）＝（4+4）•（x2﹣x1）＝2•＝2•，可令t＝∈（0，1），设f（t）＝S2＝4（2+2t）（4﹣4t2）即f（t）＝﹣32（t3+t2﹣t﹣1），f′（t）＝﹣32（3t2+2t﹣1）＝﹣32（t+1）（3t﹣1），当0＜t＜时，f（t）递增，在（，1）递减，可得t＝时，四边形ABCD的面积取得最大值，由抛物线和圆都关于x轴对称，可设P（m，0），由P，A，D三点共线，可得＝，解得m＝﹣＝﹣＝﹣t＝﹣，所以P的坐标为（﹣，0）．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，已知圆M：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝a2+1，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线平分圆M的周长．（1）求圆M的半径和圆M的极坐标方程；（2）过原点作两条互相垂直的直线l1，l2，其中l1与圆M交于O，A两点，l2与圆M交于O，B两点，求△OAB面积的最大值．【分析】（1）直接利用直线和圆的位置关系式的应用及参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出a的值．（2）利用极径和三角函数关系式的恒等变换及三角函数的性质的应用求出结果．解：（1）已知直线转换为直角坐标方程为x+y﹣2＝0．由于直线平分圆M：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝a2+1，所以圆心坐标满足直线的方程，所以a+1﹣2＝0，解得：a＝1，所以圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，圆的半径为．圆M的极坐标方程为ρ＝2sinθ+2cosθ．（2）设直线l1为θ＝α，l2为，|OA|＝ρ1，|OB|＝ρ2，则ρ1＝2sinα+2cosα，用代替，可得ρ2＝2cosα﹣2sinα．由于l1⊥l2，所以＝2（cos2α﹣sin2α）＝2cos2α≤2，故三角形面积的最大值为2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知正实数a，b满足a+b＝4．（1）求+的最小值．（2）证明：．【分析】（1）由已知可得，+＝（+）（a+b），展开后利用基本不等式可求；（2）由，展开后结合基本不等式可求范围，然后由（）2+（）2即可证明．解：（1）∵正实数a，b满足a+b＝4，∴+＝（+）（a+b）＝＝，当且仅当且a+b＝4即a＝，b＝时取得最小值；（2）证明：∵a+b＝4，∴＝＝1，∴，∴（）2+（）2＝（当且仅当a＝b＝2时取等号）。
2020年广西南宁市高考数学一模试卷(理科)(有解析)
2020年广西南宁市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={−1,0，1，2}，B={x|x2+x−2<0}.则A∩B=()A. {−1,0}B. {0,1}C. {1,2}D. {−1,2}2.若复数z满足(1−i)z=−1+2i，则|z−|=()A. √22B. 32C. √102D. 123.在某次测量中得到A样本数据如下：43，50，45，55，60，若B样本数据恰好是A样本每个数都增加3得到，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是()A. 众数B. 中位数C. 方差D. 平均数4.(2x−y)(x+2y)5展开式中x3y3的系数为()A. −40B. 120C. 160D. 2005.设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2+a5=0，则S5S2=()A. −11B. −8C. 5D. 116.已知函数f(x)=a2x2+bln x图象在点(1,f(1))处的切线方程是2x−y−1=0，则ab等于()A. 2B. 1C. 0D. −27.函数f(x)=(e x−1)ln|x|e x+1的部分图像大致为()A. B.C. D.8.在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E,F分别是AB,CD的中点，若异面直线AD与BC所成角为90∘，则EF=()A. 1B. 2C. √2D. √39.如图所示的程序框图，输出的结果是S=2017，则输入A的值为()A. 2018B. 2016C. 1009D. 100810.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C，若△ABC的面积为2a2，则双曲线的渐近线方程为()A. y=±√22x B. y=±√2x C. y=±√33x D. y=±√3x11.已知函数f(x)=|x|−1x2，则不等式的解集为()A. (1,0)U(1,+∞)B. (−∞,−1)U(0,1)C. (−∞,1)U(1,+∞)D. (−1,0)U(0,1)12.已知函数f(x)=√3sin2x−cos2x，有下列四个结论：①f(x)的最小正周期为π；②f(x)在区间[−π3,π6]上是增函数；③f(x)的图象关于点(π12,0)对称；④x=π3是f(x)的一条对称轴．其中正确结论的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.向量a⃗=(3,1)与向量b⃗ =(−1,2)的夹角余弦值是______．14.等差数列{a n}的前n项和为S n，若a7−a2=a9−10，则S7=________．15.F1，F2为椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点M在椭圆Γ上．若△MF1F2为直角三角形，且|MF1|=2|MF2|，则椭圆Γ的离心率为______．16.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面四边形ABCD是矩形，BC=2，△PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，点E，F分别在线段PA，CD上，若EF//平面PBC，且DF=2FC，则点E 到平面ABCD的距离为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.从一种零件中抽取了80件，尺寸数据表示如下(单位：cm)：这里用x×n表示有n件尺寸为x的零件，如362.51×1表示有1件尺寸为362.51cm的零件．(1)作出样本的频率分布表和频率分布直方图；(2)在频率分布直方图中画出频率分布折线图．18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面ABB1A1是矩形，∠BAC=90°，AA1⊥BC，AA1=AC=2AB=4，且BC1⊥A1C.(1)求证：平面ABC1⊥平面A1ACC1；(2)设D是A1C1的中点，判断并证明在线段BB1上是否存在点E，使得DE//平面ABC1.若存在，求二面角E−AC1−B的余弦值．19.在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，且sinA=2sinB，(1)若C=3π4，△ABC的面积为9√24，求a的值；(2)求sin(C−A)sinB −8sin2C2的值．20.已知函数f(x)=lnx−ax+1−ax−1(a∈R)．(Ⅰ)当a≤12时，讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)设g(x)=x2−2bx+4.当a=14时，若对任意x1∈(0,2)，存在x2∈[1,2]，使f(x1)≥g(x2)，求实数b的取值范围．21.已知抛物线E：y=x2的焦点为F，过点F的直线l的斜率为k，与抛物线E交于A，B两点，抛物线在点A，B处的切线分别为l1，l2，两条切线的交点为D．(1)证明：∠ADB=90°；(2)若△ABD的外接圆Γ与抛物线E有四个不同的交点，求直线l的斜率的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，A(0,−1)，B(−√3,0)，以AB为直径的圆记为圆C，圆C过原点O的切线记为l，若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C的极坐标方程；(2)若过点P(0,1)，且与直线l垂直的直线l′与圆C交于M，N两点，求|MN|．23.设a，b为正实数，且1a +1b=4．(Ⅰ)求a3+b3的最小值；(Ⅱ)若(a−b)2≥16(ab)3，求ab的值．【答案与解析】1.答案：A解析：解：B={x|−2<x<1}；∴A∩B={−1,0}．故选：A．可解出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算．2.答案：C解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．解：由(1−i)z=−1+2i，得z=−1+2i1−i =(−1+2i)(1+i)(1−i)(1+i)=−32+12i，∴|z−|=|z|=√(−32)2+(12)2=√102．故选：C．3.答案：C解析：解：根据题意知，A样本数据一定时，B样本数据恰好是A样本每个数都增加3得到的，则A样本的众数比B样本的众数小3；A样本的中位数比B样本的中位数小3；A样本的方差等于B样本的方差；A样本的平均数比B样本的平均数小3．故选：C．根据众数、中位数、平均数和方差的定义知，A样本数据一定时，B样本数据是A样本每个数都增加3得到的，则两样本的方差不变．本题考查了众数、中位数、平均数和方差的定义与应用问题，是基础题．解析：解：(x+2y)5展开式的通项为T r+1=C5r(x)5−r(2y)r∴(x+2y)5=x5+10x4y+40x3y2+80x2y3+80xy4+32y5，∴(2x−y)(x+2y)5展开式中x3y3的系数为160−40=120，故选：B．把(x+2y)5按照二项式定理展开，可得(2x−y)(x+2y)5展开式中x3y3的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．5.答案：A解析：解：设公比为q，由8a2+a5=0，得8a2+a2q3=0，解得q=−2，所以S5S2=1−q51−q2=−11．故选：A．先由等比数列的通项公式求得公比q，再利用等比数列的前n项和公式求之即可．本题主要考查等比数列的通项公式与前n项和公式．6.答案：C解析：本题考查利用导数求曲线在某点处的切线方程的应用，属于基础题．对f(x)求导，由导数的几何意义即可求解．解：由题意可得f′(x)=ax+bx，所以f′(1)=a+b=2，且f(1)=a2=1，所以a=2，b=0，所以ab=0．7.答案：B解析：本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性，属基础题．利用函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊点的函数值，推出结果即可．解：因为f(−x)=(e −x−1)ln|−x|e−x+1=(1−e x)ln|x|e x+1=−f(x)是奇函数，所以排除A，C，当x→+∞时，f(x)>0，所以排除D．故选B ．8.答案：C解析：↵本题考查异面直线所成角，取BD中点G，连接EG，FG，EF，可得∠EGF=90°，进而得出答案．解：取BD中点G，连接EG，FG，EF，则EG//AD，EG=1，同理FG//BC，FG=1，所以∠EGF=90°，∴EF=√2．9.答案：D解析：解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=2A+1的值，由题意，可得：2017=2A+1，解得：A=1008．故选：D．根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正的确答案．本题主要考查了程序框图的应用，属于基础题．10.答案：B解析：本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查双曲线的方程和应用，考查运算能力，属于中档题．设双曲线的左焦点为F，连接AF，BF，可得四边形FACB为矩形，由三角形的面积公式，可得a，c的关系，进而得到a，b的关系，可得渐近线方程．解：设双曲线的左焦点为F，连接AF，BF，由题意可得AC⊥BC，可得四边形FACB为矩形，即有|AF|=|BC|，mn=2a2，设|AC|=m，|BC|=n，可得n−m=2a，n2+m2=4c2，12即有4c2−8a2=4a2，即有c=√3a，b=√c2−a2=√2a，可得双曲线的渐近线方程为y=±√2x.故选：B．11.答案：B解析：本题考查函数的奇偶性、单调性，以及不等式的解法，题目难度一般．首先判断出f(x)为偶函数，且在区间(0,+∞)内为增函数是解题的关键．解：显然f(x)为偶函数，且在区间(0,+∞)内为增函数，f(1)=f(−1)=0，故f(x)+f(−x)x <0等价于2f(x)x<0．当x>0时，2f(x)<0，解得0<x<1；当x<0时，2f(x)>0，解得x<−1．综上，所求不等式的解集为(−∞,−1)∪(0,1)．故选B．12.答案：C解析：本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了三角函数的图象和性质，难度中档．函数f(x)=√3sin2x−cos2x=2sin(2x−π6)，分析函数的周期性，单调性，对称性，可得答案．解：函数f(x)=√3sin2x−cos2x=2sin(2x−π6)，①f(x)的最小正周期为π，故①正确；②由2x−π6∈[−π2+2kπ,π2+2kπ](k∈Z)得：x∈[−π6+kπ,π3+kπ](k∈Z)，故f(x)在区间[−π3,π6]上不是单调函数，故②错误；③由2x−π6=2kπ得：x=π12+kπ，(k∈Z)，当k=0时，f(x)的图象关于点(π12,0)对称，故③正确；④由2x−π6=π2+2kπ得：x=π3+kπ，(k∈Z)，当k=0时，f(x)的图象关于x=π3对称，故④正确；故选C．13.答案：−√210解析：解：cos <a ⃗ ，b ⃗ >=√10√5=−√210． 故答案为：−√210．根据向量夹角公式计算可得．本题考查了数量积表示两个向量的夹角，属基础题．14.答案：70解析：本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列的性质及求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用等差数列的通项公式可求得a 4=10，进而利用等差数列的性质及求和公式即可求解． 解：设等差数列的公差为d ，首项为a 1， 由a 7−a 2=a 9−10，所以a 1+6d −a 1−d =a 1+8d −10， 即a 1+3d =10， 所以a 4=10， 所以S 7=7(a 1+a 7)2=7×2a 42=7a 4=70．故答案为70．15.答案：√33或√53解析：本题考查椭圆的定义，考查椭圆的几何性质，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于基础题．设|MF 2|=x ，则|MF 1|=2x ，由椭圆的定义可得3x =2a ，根据△MF 1F 2为直角三角形，分类讨论，即可求出椭圆Γ的离心率． 解：设|MF 2|=x ，则|MF 1|=2x ， ∴3x =2a ，∴a =3x 2，∵△MF 1F 2为直角三角形，若MF 2⊥F 1F 2，则x 2+4c 2=(2x)2， ∴c =√32x ，e =c a=√33； 若MF 1⊥MF 2，则x 2+(2x)2=4c 2， ∴c =√52x ，e =ca =√53． 故答案为：√33或√53．16.答案：2√33解析：本题考查点到平面的距离的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查等价转化思想、数形结合思想，是中档题．连接AF 并延长AF 交线段BC 的延长线于G ，连接PG ，因为EF//平面PBC ， 平面PAF ∩平面PBC =PG ，EF ⊂平面PAF ，所以EF//PG ， 又DF =2FC ，由平面几何知识可得GCBC =GFFA =PEEA =12，过E 作EH ⊥AD 于H ，由平面PAD ⊥平面ABCD 可得，EH ⊥平面ABCD ， 直角三角形AEH 中，，即点E 到平面ABCD 的距离为2√33． 故答案为：2√33． 17.答案：略.解析：(1)在样本数据中，最大值是364.41，最小值是362.51，所以极差为364.41−362.51=1.90． 若取组距为0.30，则由于1.900.3=613，要分7组，组数合适，于是决定取组距为0.3，分7组，把第一组起点稍微提前，得分组如下：[362.40,362.70),[362.70,363.00)…[364.20,364.50].列出频率分布表：由上表可以画出频率分布直方图：．18.答案：证明：(1)在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面ABB1A1是矩形，∴AA1⊥AB，又AA1⊥BC，AB∩BC=B，∴AA1⊥平面ABC，∴A1A⊥AC，又A1A=AC，∴A1C⊥AC1.又BC1⊥A1C，BC1∩AC1=C1，∴A1C⊥平面ABC1，又A1C⊂平面A1ACC1，∴平面ABC1⊥平面A1ACC1；解：(2)当E为B1B的中点时，连接AE、EC1、DE，如图，取A1A的中点F，连接EF、FD，∵EF//AB，DF//AC1，又EF∩DF=F，AB∩AC1=A，∴平面EFD//平面ABC 1，则有DE//平面ABC 1， 设点E 到平面ABC 1的距离为d ，∵AB ⊥AC ，且AA 1⊥AB ，∴AB ⊥平面A 1ACC 1，∴AB ⊥AC 1， ∴S △BAC 1=12×4√2×2=4√2，∵A 1A ⊥AC ，AB ⊥AC ，∴AC ⊥平面A 1ABB 1， ∵AC//A 1C 1，∴A 1C 1⊥平面 1ABB 1，∴V C 1−ABE =13×S △ABE ×A 1C 1=13×12×2×2×4=83，由V E−ABC 1 =V C 1−ABE =83，解得d =3×83S △ABC 1=3834√2=√2．以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系， A(0,0，0)，B(2,0，0)，C 1(0,4，4)，E(2,0，2)， AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4，4)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，2)， 设平面AC 1E 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4y +4z =0n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2z =0，取x =1，得n⃗ =(1,1，−1)， 设平面AC 1B 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4y +4z =0m ⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x =0，取y =1，得m ⃗⃗⃗ =(0,1，−1)， 设二面角的平面角为θ， 则cosθ=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3⋅√2=√63． ∴二面角E −AC 1−B 的余弦值为√63．解析：(1)推导出AA 1⊥AB ，A 1A ⊥AC ，从而A 1C ⊥平面ABC 1，由此能证明平面ABC 1⊥平面A 1ACC 1； (2)当E 为B 1B 的中点时，连接AE ，EC 1，DE ，取A 1A 的中点F ，连接EF ，FD ，设点E 到平面ABC 1的距离为d ，由V E−ABC 1 =V C 1−ABE ，求出d =√2.以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E −AC 1−B 的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19.答案：解：(1)△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，且sinA =2sinB ，则：利用正弦定理得：a=2b．∵s△=9√24,C=3π4，所以：12absinC=9√24，解得：a=3√2,b=3√22．(2)sin(C−A)sinB −8sin2C2，=(sinCcosA−cosCsinA)sinB−4(1−cosC)，=2sinBsinA−4=−3．解析：(1)直接利用正弦定理和三角形的面积公式求出结果．(2)利用三角函数关系式的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角形面积公式的应用，三角函数关系式的恒等变换．20.答案：解：(Ⅰ)f(x)=lnx−ax+1−ax−1(x>0)，f′(x)=1x −a+a−1x2=−ax2+x+a−1x2(x>0)，令ℎ(x)=ax2−x+1−a(x>0)，(1)当a=0时，ℎ(x)=−x+1(x>0)，当x∈(0,1)，ℎ(x)>0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(1,+∞)，ℎ(x)<0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．(2)当a≠0时，由f′(x)=0，即ax2−x+1−a=0，解得x1=1,x2=1a−1．当a=12时x1=x2，ℎ(x)≥0恒成立，此时f′(x)≤0，函数f(x)单调递减；当0<a<12时，1a−1>1>0，x∈(0,1)时ℎ(x)>0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；x∈(1,1a−1)时，ℎ(x)<0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；x∈(1a−1,+∞)时，ℎ(x)>0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．当a<0时1a−1<0，当x∈(0,1)，ℎ(x)>0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(1,+∞)，ℎ(x)<0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．综上所述：当a≤0时，函数f(x)在(0,1)单调递减，(1,+∞)单调递增；当a =12时x 1=x 2，ℎ(x)≥0恒成立，此时f′(x)≤0，函数f(x)在(0,+∞)单调递减； 当0<a <12时，函数f(x)在(0,1)单调递减，(1,1a −1)单调递增，(1a −1,+∞)单调递减．(Ⅱ)当a =14时，f(x)在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以对任意x 1∈(0,2)，有f(x 1)≥f(1)=−12，又已知存在x 2∈[1,2]，使f(x 1)≥g(x 2)，所以−12≥g(x 2)，x 2∈[1,2]，(※)， 又g(x)=(x −b)2+4−b 2，x ∈[1,2]，当b <1时，g(x)min =g(1)=5−2b >0与(※)矛盾； 当b ∈[1,2]时，g(x)min =g(b)=4−b 2≥0也与(※)矛盾； 当b >2时，g(x)min =g(2)=8−4b ≤−12,b ≥178．综上，实数b 的取值范围是[178,+∞)．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力．(Ⅰ)直接利用函数与导数的关系，求出函数的导数，再讨论函数的单调性；(Ⅱ)利用导数求出f(x)的最小值、利用二次函数知识求出g(x)在闭区间[1,2]上的最小值，然后解不等式求参数．21.答案：(1)证明：依题意有F (0, 14)，直线l ：y =kx +14，设A(x 1, y 1), B(x 2, y 2)，直线l 与抛物线E 相交， 联立方程{y =x 2, y =kx +14,消去y ，化简得x 2−kx −14=0，所以x 1+x 2=k, x 1x 2=−14，又因为y′=2x ，所以直线l 1的斜率k 1=2x 1， 同理，直线l 2的斜率k 2=2x 2， 所以，所以，直线l 1⊥l 2，即∠ADB =90∘．(2)解：由(1)可知，圆Γ是以AB 为直径的圆， 设P(x, y)是圆Γ上的一点，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以，圆Γ的方程为又因为x 1+x 2=k, x 1x 2=−14 ， y 1+y 2=kx 1+14+kx 2+14=k 2+12，y 1y 2=x 12x 22=116，所以，圆Γ的方程可化简为联立圆Γ与抛物线E 得{x 2+y 2−kx −(k 2+12)y −316=0, y =x 2,消去y 得x 4−(k 2−12)x 2−kx −316=0， 即(x 2+14)2−(kx +12)2=0，即若方程x 2−kx −14=0与方程x 2+kx +34=0有相同的实数根x 0，则矛盾，所以，方程x 2−kx −14=0与方程x 2+kx +34=0没有相同的实数根，所以，圆Γ与抛物线E 有四个不同的交点等价于{k 2+1>0k 2−3>0,解得k >√3或k <−√3． 综上所述，k >√3或k <−√3．解析：本题考查抛物线简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，导数的几何意义，定值问题，曲线的交点个数问题，参数的范围问题，考查计算能力，属于难题．(1)由直线l 与抛物线E 相交，联立方程消去y ，由导数的几何意义，结合韦达定理可得l 1⊥l 2，故可得答案(2)先求得圆Γ的方程联立圆Γ与抛物线E 消去y 得通过外接圆Γ与抛物线E 有四个不同的交点可得答案．22.答案：解：(1)由题意，知圆C 的直径|AB|=2，圆心C 的坐标为(−√32,−12)，∴圆C 的直角坐标为(x +√32)2+(y +12)2=1，即x 2+y 2+√3x +y =0， 将x =ρcosθ，y =ρsinθ代入上式，得到圆C 的极坐标方程为ρ+√3cosθ+sinθ=0． (2)因为直线l′与圆C 过原点O 的切线l 垂直， 所以直线l′的倾斜角为π6，斜率为√33，又直线l′过点P(0,1)，故直线l′的普通方程为y =√33x +1，即√3x −3y +3=0，圆心C(−√32,−12)到直线l′的距离d =2√3=√32， 所以|MN|=2√1−34=1．解析：(1)直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．(2)首先利用垂直关系确定直线的斜率，进一步确定直线的方程，再利用点到直线的距离公式求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，直线方程的求法及应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.答案：解：(Ⅰ)∵a 、b 为正实数，且1a +1b =4．∴a 、b 为正实数，且1a +1b =4≥2√1ab (a =b 时等号成立)．即ab ≥14(a =b =12时等号成立)∵a 3+b 3≥2√(ab)3≥14(a =b =12时等号成立)． ∴a 3+b 3的最小值为14，(Ⅱ)∵(a−b)2≥16(ab)3，∴(1a −1b)2≥16ab，则(1a +1b)2−4ab≥16ab⇒4ab+1ab≤4，又∵4ab+1ab ≥4，∴4ab+1ab=4∴当且仅当ab=12时“=”成立．∴ab=12．解析：本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．(Ⅰ)由条件利用基本不等式求得ab≥14，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．(Ⅱ)根据∵(a−b)2≥16(ab)3，∴(1a −1b)2≥16ab，化简得4ab+1ab=4从而可得ab=12．。
广西南宁市、玉林市、贵港市等2020届高三毕业班摸底考试数学(理)试卷Word版含解析
广西南宁市、玉林市、贵港市等2020届毕业班摸底考试高三数学（理）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．【详解】∵集合A={x|x2≤4x}={x|0≤x≤4}，B={x|3x﹣4＞0}={x|x}，∴A∩B={x|＜x≤4}=（]．故选：C．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据虚数单位i的性质以及复数的基本运算法则，直接计算化简．【详解】===﹣3﹣i．故选：B．【点睛】本题考查复数代数形式的混合运算．除法中关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，实现分母实数化．3.已知角A满足，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将已知等式两边平方，判断出cosA小于0，sinA大于0，且sinA的绝对值大于cosA的绝对值，利用完全平方公式求出sinA﹣cosA的值，与已知等式联立求出sinA与cosA的值，即可确定出的值.【详解】∵A为三角形内角，且sinA+cosA=，∴将sinA+cosA=两边平方得：2sinAcosA=﹣，∴A为钝角，即sinA＞0，cosA＜0，且|sinA|＞|cosA|，∴1﹣2sinAcosA=，即（sinA﹣cosA）2=，∵sinA﹣cosA＞0，∴sinA﹣cosA=，联立得：，解得：sinA=，cosA=﹣，则sin2A=故选：D【点睛】应用公式时注意方程思想的应用：对于sin＋cos，sin cos，sin－cos这三个式子，利用(sin±cos)2＝1±2sin cos，可以知一求二．4.执行如图所示的程序框图，那么输出的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先根据循环语句得S变化规律（周期），再根据规律确定输出值.详解：因为所以,所以当时选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.5.已知随机变量服从正态分布，若，则（）A. 0.6827B. 0.8522C. 0.9544D. 0.9772【答案】C【解析】【分析】利用正态分布的对称性结合已知求得，然后求解即可。
广西2020年高考摸底考试理科数学试题及答案
广西2020年高考摸底考试理科数学试题及答案（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1. 如果复数12aii-+（a R ∈，i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则a 的值为 A. 1B. -1C. 3D. -32. 若{0,1,2}A =，{|2,}aB x x a A ==∈，则A B =A. {0,1,2}B. {0,1,2,3}C. {0,1,2,4}D. {1,2,4}3. 在等比数列{}n a 中，若()57134a a a a +=+，则62a a =( ) A.14B.12C. 2D. 44. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（ ）（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）A. 12B. 24C. 48D. 965. 若直线1y mx =+与圆22:220C x y x y +++=相交于A ，B 两点，且AC BC ⊥，则m =A.34B. 1-C. 12-D.326. 若x 、y 满足约束条件，则z=3x-2y 的最小值为A.B.C.D. 57. 已知(1)nx λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，且01(1)n x a a x λ+=++22n n a x a x +⋯+,若12242n a a a ++⋯+=,则4()x xλ+展开式中常数项A. 32B. 24C. 4D. 88. 如图所示的网格是由边长为1的小正方形构成，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A. 40B.103C.163D.8039. 若:,sin 2p x R x a ∃∈=-，:q 函数321()3f x x x ax =-+在R 上是增函数，则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件10. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点为12,F F ，P 为椭圆上一点，1290F PF ∠=︒。
2020年广西高考数学一诊试卷(理科)(有解析)
2020年广西高考数学一诊试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|1−2x x+3<0}，则∁R A = ( ) A. (−∞,−3]⋃[12,+∞)B. (−∞,−3)⋃(12,+∞) C. [−3,12]D. (−3,12) 2. 在复平面内，复数z =2+4ii (i 为虚数单位)对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 设x ，y ∈R ，则“x 2+y 2≤2“是“|x|≤1且|y|≤1“的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 4. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线均与圆x 2+y 2−6x +5=0相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则C 的离心率为( )A. √63 B. √62 C. 3√55 D. √525. 在区间[−1,3]上随机取一个实数x ，则x 使不等式|x|≤2成立的概率为( )A. 14B. 13C. 12D. 34 6. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，己知S 2=3，S 4=15，则S 3=( )A. 7B. −9C. 7或−9D.7. 执行如图所示的程序框图，运行相应程序，则输出的s 的值为( )A. 20192020B. 20202021C. 20212022D. 202220238.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 1283B. 1294C. 42D. 369.函数y=1−|x−x2|的图象大致是()A. B.C. D.10.函数y=Asin(wx+φ)的部分图象如图所示，则()A. y =2sin (x +π6)B. y =2sin (2x −π6)C. y =2sin (x +π3)D. y =2sin (2x −π3)11. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，|PF 1|=|F 1F 2|且cos∠PF 2F 1=23，则椭圆离心率为( ) A. 12 B. 37 C. 23 D. 34 12. 定义：如果函数f(x)的导函数为f′(x)，在区间[a,b]上存在x 1，x 2(a <x 1<x 2<b)使得f′(x 1)=f′(x 2)=f(b)−f(a)b−a ，则称f(x)为区间[a,b]上的“双中值函数”.已知函数g(x)=13x 3−m 2x 2是[0,2]上的“双中值函数”，则实数m 的取值范围是( )A. [43,83]B. (43,83)C. (43,+∞)D. (−∞,83) 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(−1,k)，若a ⃗ //b ⃗ ，则k 等于______ ．14. 二项式(2x x )6的展开式的常数项为______．15. 实数x ，y 满足{x +2y −4≤0x ≥1y ≥1，则z =x −2y 的最小值为______．16. 高为4，底面边长为2的正四棱锥的内切球的体积为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，已知cosC +cosAcosB −√3sinAcosB =0(Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)若a +c =1，求b 的取值范围．18.如图，四棱锥S−ABCD的底面是正方形，SA⊥平面ABCD，SA=√2AB，点E在棱SC上．(Ⅰ)若E为SC的中点，求证：SA//平面BDE；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，求CE与平面BDE所成的角．19.已知过点M(p2,0)的直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于A、B两点，且OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3，其中O为坐标原点．(1)求p的值；(2)若圆x2+y2−2x=0与直线l相交于C，D(A,C两点均在第一象限)，且线段AC，CD，BD 的长构成等差数列，求直线l的方程．20.高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：[80,90) ,[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150].其中a，b，c成等差数列且c=2a.物理成绩统计如表.(说明：数学满分150分，物理满分100分)分组[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数6920105(1)根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分；(2)根据物理成绩统计表，请估计物理成绩的中位数；(3)若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”同学总数为6人，从此6人中随机抽取3人，记X为抽到两个“优”的学生人数，求X的分布列和期望值．21.已知函数f(x)=e x−ax(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若m ∈(0,+∞)时，f (x )+ax −ln (x +m )−1>0恒成立，求实数m 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+cosαy =sinα (α为参数).以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=1，直线l 的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R)．(1)求：①曲线C 1的普通方程；②曲线C 2与直线l 交点的直角坐标；(2)设点M 的极坐标为(6,π3)，点N 是曲线C 1上的点，求△MON 面积的最大值．23. 已知函数f(x)=|x +1|+|ax −1|．(Ⅰ)当a =1时，求不等式f(x)⩽4的解集；(Ⅱ)当x ≥1时，不等式f(x)⩽3x +b 成立，证明：a +b ≥0．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查了补集的定义与运算，不等式求解，是基础题．根据补集的定义写出运算结果即可．解：因为1−2xx+3<0⇔(2x−1)(x+3)>0，所以A={x|x>12或x<−3}，所以∁R A={x|−3⩽x⩽12}．故选C．2.答案：D解析：解：z=2+4ii =2i+4=4−2i，对应的点的坐标为(4,−2)，位于第四象限，故选：D．将复数进行化简，结合复数的几何意义即可得到结论．本题主要考查复数的几何意义，利用复数的四则运算进行化简是解决本题的关键．3.答案：B解析：解：由|x|≤1且|y|≤1⇒x2+y2≤2，反之不成立，例如x=0，y=√2．∴x2+y2≤2“是“|x|≤1且|y|≤1“的必要不充分条件．故选：B．由|x|≤1且|y|≤1⇒x2+y2≤2，反之不成立，即可判断出结论．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：C解析：此题重点考查了直线与圆相切的等价条件，还考查了双曲线及圆的标准方程及利用方程的思想进行解题．由题意圆C：x2+y2−6x+5=0把它变成圆的标准方程知其圆心为(3,0)，利用双曲线的右焦点为圆C的圆心及双曲线的标准方程建立a，b的方程．再利用双曲线C：x2a −y2b=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C：x2+y2−6x+5=0相切，建立另一个a，b的方程．求出a，b，然后求解离心率．解：因为圆C：x2+y2−6x+5=0⇔(x−3)2+y2=4，由此知道圆心C(3,0)，圆的半径为2，又因为双曲线的右焦点为圆C的圆心而双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，∴a2+b2=9①又双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C：x2+y2−6x+5=0相切，而双曲线的渐近线方程为：y=±bax⇔bx±ay=0，∴√a2+b2=2②连接①②得{b=2a2=5，可得c=3，所以双曲线的离心率为：ca =3√55．故选：C．5.答案：D解析：本题考查了几何概型的概率求法，求出满足不等式的x范围，利用区间长度比求概率是关键．首先求出满足不等式的x范围，利用区间长度求概率．解：在区间[−1,3]上随机取一个实数x，则x使不等式|x|≤2成立的x范围为[−1,2]，所以由几何概型的公式得到概率为2+13+1=34；故选D．6.答案：C解析：本题考查等比数列的前n项和公式，根据条件联立方程组求出首项和公比即可求出答案．解：己知S 2=3，S 4=15，则{a 1(1−q 2)1−q =3a 1(1−q 4)1−q =15，解答{a 1=−3q =−2或{a 1=1q =2， 故S 3=a 1(1−q 3)1−q =−3×(1+8)3=−9，或S 3=a 1(1−q 3)1−q =1×(1−8)−2=7．故选C ．7.答案：C解析：解析：解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s 的值，可得s =11×2+12×3+⋯+12021×2022=1−12022=20212022．故选：C ．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s 的值，利用裂项法即可求解．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 8.答案：A解析：本题考查了空间几何体的三视图，几何体的性质，体积运算公式，属于计算题，属于中档题． 解：由三视图可知，几何体为一个侧面垂直于底面的三棱锥，底面为等腰直角三角形，顶点在底面的投影为斜边的中点，所以V =13×12×(4+4)×4×8=1283， 故选A ．9.答案：C解析：[分析]本题考查函数的性质与图象．根据函数的解析式并结合选项，列举出几组点的坐标，应用排除法找出正确的选项．[解答]解：当时，，说明函数图象上应该有点(−1,−1)，所以舍去A，D；当x=2时，，说明函数图象上应该有点(2,−1)，所以舍去B；故选C．10.答案：B解析：本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，由题意求出A，T，代入点，得φ，即可得出结果．解：由图像得A=2，，即T=π，则，，代入点，得，即，，则，取k=0，得，，选项B符合题意，故选B．11.答案：B解析：本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．通过|PF1|=|F1F2|可得△PF1F2是以PF2为底的等腰三角形，且底边长为2a−2c、腰长为2c，过三角形的顶点作底边上的高，利用锐角三角函数的定义计算即得结论．解：∵|PF1|=|F1F2|=2c，∴△PF 1F 2是以PF 2为底的等腰三角形，|PF 2|=2a −2c ， 过F 1作F 1A ⊥PF 2交PF 2于A ， 则有cos∠PF 2F 1=|AF 2||F 1F 2|=12|PF 2||F 1F 2|=a−c 2c=23， ∴3a =7c ，即离心率e =ca =37， 故选B ．12.答案：B解析：本题考查实数的取值范围的求法，考查导数的性质及应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 根据题目给出的定义得到g′(x 1)=g′(x 2)=g(2)−g(0)2−0=43−m ，即方程x 2−mx +m −43=0在区间(0,2)上有两个不相等的解，利用二次函数的性质能求出m 的取值范围． 解：∵g(x)=13x 3−m 2x 2，∴g′(x)=x 2−mx ，由题意可知g′(x)=x 2−mx 在区间[0,2]上存在x 1，x 2(0<x 1<x 2<2)， 满足g′(x 1)=g′(x 2)=g(2)−g(0)2−0=43−m ，∴方程x 2−mx +m −43=0在区间(0,2)上有两个不相等的解． 令ℎ(x)=x 2−mx +m −43，则{Δ=m 2−4(m −43)>0ℎ(0)=m −43>0ℎ(2)=83−m >00<m 2<2，解得43<m <83．故选B ．13.答案：−12解析：解：∵向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(−1,k)，a ⃗ //b ⃗ ， ∴2k +1=0，解得k =−12． 故答案为：−12根据向量平行列方程解出k ．本题考查了向量平行与坐标的关系，属于基础题．14.答案：60解析：解：设二项式(2x +1√x )6的展开式的通项为T r+1，则T r+1=C 6r ⋅(2x)6−r ⋅x −12r =C 6r ⋅26−r ⋅x 6−32r ，令6−32r =0得：r =4，∴二项式(2x +√x )6的展开式的常数项为T 5=C 64⋅22=15×4=60．故答案为：60．利用二项展开式的通项T r+1=C 6r ⋅26−r ⋅x 6−32r 中x 的幂指数为0求得r ，从而可求二项式(2x +√x )6的展开式的常数项．本题考查二项式定理的应用，突出考查二项展开式的通项公式，属于中档题．15.答案：−2解析：解：由z =x −2y 得y =12x −z2，作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分ABC)： 平移直线y =12x −z2，由图象可知当直线y =12x −z2，过点A 时，直线y =12x −z2的截距最大，此时z 最小，由{x =1x +2y −4=0，解得{x =1y =32，即A(1,32). 代入目标函数z =x −2y ， 得z =1−2×32=1−3=−2 ∴目标函数z =x −2y 的最小值是−2． 故答案为：−2作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．16.答案：(√17−1)348π解析：解：正四棱锥的斜高为√17，正四棱锥内切球的半径为r 由等体积可得13×22×4=13(4+4×12×2×√17)r ， ∴r =√17−14， ∴高为4，底面边长为2的正四棱锥的内切球的体积为43⋅π⋅(√17−14)3=(√17−1)348π． 故答案为：(√17−1)348π．由等体积可得内切球半径r ，即可求出高为4，底面边长为2的正四棱锥的内切球的体积． 本题主要考查内切球半径r ，考查计算能力和空间想象能力，等体积方法求出球的半径是解决本题的关键．17.答案：解：(Ⅰ)由已知得cosAcosB +cosC =√3sinAcosB ，即cosAcosB +cos[π−(A +B)]=√3sinAcosB ． cosAcosB −cos(A +B)=√3sinAcosB ．所以sinAsinB =√3sinAcosB ，两边除以sin A cos B ，得，tanB =√3， ∴B =π3，(Ⅱ)由余弦定理可得b 2=a 2+c 2−2ac ⋅cosB =a 2+c 2−ac =(a +c)2−3ac =1−3ac ． ∵a +c =1≥2√ac ， ∴ac ≤14．∴b 2=1−3ac ≥14，即b ≥12．再由b <a +c =1，可得 12≤b <1，故边b 的取值范围是[12,1)．解析：(Ⅰ)利用两角和的余弦公式，将cosAcosB +cosC =√3sinAcosB ，变形为sinAsinB =√3sinAcosB ，即可求B ．(Ⅱ)由余弦定理可得b2=1−3ac，利用基本不等式求出b≥12，再由b<a+c=1，求出边b的取值范围．本题考查三角函数公式，余弦定理、基本不等式的综合灵活应用，考查转化变形、计算能力，属于中档题．18.答案：(Ⅰ)证明：设AC与BD的交点为O，连接OE，因为四边形ABCD是正方形，所以O为AC的中点，又E为SC的中点，所以OE为三角形SAC的中位线，所以SA//OE，又OE⊂面BDE，SA⊄面BDE，所以，SA//平面BDE；(Ⅱ)解：因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥OC，因为SA//EO，所以EO⊥OC，因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥OC，所以OC⊥平面BDE，所以∠CEO为CE与平面BDE所成的角．设正方形的边长为a，则EO=12SA=√22a，Rt△COE中，tan∠CEO=OCEO=1，所以∠CEO=45°，所以CE与平面BDE所成的角为45°．解析：(Ⅰ)要证明SA//平面BDE，只需证明SA平行于平面BDE内的一条直线即可，而E为中点，所以连接AC、BD交于点O.由条件知道O为AC中点，从而EO为三角形SAC的中位线，从而得到SA//OE，得证；(Ⅱ)证明∠CEO为CE与平面BDE所成的角，即可得出结论．本题考查线面平行的判定，直线与平面所成的觉，线面平行转化为线线平行是解题的关键．19.答案：解：(1)设A(x1,y1)，Bx2，y2)，直线l：x=my+p2，代入抛物线方程，消去x，得，y2−2pmy−p2=0，y1+y2=2pm，y1y2=−p2，由于OA→⋅OB→=−3，即x1x2+y1y2=−3，x1x2=y122p ⋅y222p=p24，即有p24−p2=−3，解得，p=2；(2)由(1)得，y1+y2=4m，y1y2=−4，则(y1−y2)2=(y1+y2)2−4y1y2=16(1+m2)，|AB|2=(y1−y2)2+(x1−x2)2=(y1−y2)2+(y12−y224)2=(y1−y2)2[1+(y1+y24)2]=16(1+m2)2，即有|AB|=4(1+m2)，由于线段AC，CD，DB长构成等差数列，则2|CD|=|AC|+|DB|=|AC|+|BC|−|CD|=|AB|−|CD|，又CD为圆x2+y2−2x=0的直径，即有|CD|=2，则4(1+m2)=6，解得，m=±√22，则直线l的方程是√2x+y−√2=0或√2x−y−√2=0．解析：本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题．(1)设A(x1,y1)，Bx2，y2)，直线l：x=my+p2，代入抛物线方程，运用韦达定理，及平面向量的数量积的坐标表示，即可得到p=2；(2)求出AB的长，用m表示，再由等差数列的性质，以及CD为圆的直径，即可得到m的方程，解出m，即可得到直线l的方程．20.答案：解：(1)由于a+b+2c=0.052，a+c=2b，c=2a，解得a=0.008，b=0.012，c=0.016，故数学成绩的平均分：x−=85×0.04+95×0.12+105×0.16+115×0.2+125×0.24+135×0.16+145×0.08= 117.8分，(2)由物理成绩统计表知，中位数在成绩区间[70,80)，所以物理成绩的中位数为75分．(3)数学成绩为“优”的同学有4人，物理成绩为“优”有5人，因为至少有一个“优”的同学总数为6名同学，故两科均为“优”的人数为3人，故X的取值为0、1、2、3．P(X=0)=C33C63=120，P(x=1)=C31C32C63=920，P(X=2)=C32C31C63=920，P(X=3)=C33C63=120．E(X)=0×120+1×920+2×920+3×120=32．解析：(1)根据题意，列方程，即可求得a，b和c值，根据频率分布值直方图，即可求得平均值；(2)根据频率分布直方图即可求得中位数；(3)由题意，求得X的取值，分别求得其分布列，求得其数学期望．本题考查频率分布直方图的应用，考查分布列及数学期望的方法，考查转化思想，属于中档题．21.答案：解：(1)f(x)=e x−a⋅x，∴f′(x)=e x−a，①当a≤0时，f′(x)>0恒成立，故函数f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，②当a>0时，令f′(x)=0，解得x=lna，当x<lna时，f′(x)<0，当x>lna时，f′(x)>0，∴函数f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增，综上所述：当a≤0时，函数f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，当a>0时，f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增；(2)∵m∈(0,+∞)时，f(x)+ax−ln(x+m)−1>0恒成立，∴m∈(0,+∞)时，e x−ln(x+m)−1>0恒成立，令g(x)=e x−ln(x+m)−1，x>−m，∴g′(x)=e x−1x+m，令ℎ(x)=g′(x)=e x−1x+m，∴ℎ′(x)=e x+1(x+m)2>0，∴g′(x)在(−m,+∞)上为增函数，∵g′(1)=e−11+m >0，g′(0)=1−1m，当x→−m时，g′(x)→+∞，∴g′(x)=0有且只有一个根， 设为x 0，则e x 0−1x0+m=0，∴g(x)在(−m,x 0)上单调递减，在(x 0,1)上单调递增，∴g(x)min =g(x 0)=e x 0−ln(x 0+m)−1=e x 0+x 0−1>0， 设φ(x)=e x +x −1，x ∈(−m,1)， 易知，φ(x)在(−m,1)在(−m,1)上单调递增， 又φ(0)=0， ∴x 0>0，∴g′(0)=1−1m <0， 解得0<m <1， ∴m 的取值范围为(0,1)．解析：(1)对函数f(x)的求导数f′(x)，然后分类讨论，当a ≤0或a >0时的情况，即可求出结果； (2)构造函数g(x)=e x −ln(x +m)−1，求导后，再构造函数ℎ(x)=g′(x)=e x −1x+m ，再求导，利用导数研究函数g′(x)的零点，根据函数的最值，即可求出．本题考查了利用导数研究函数的单调性和根据不等式恒成立求参数，考查了转化与化归的能力，对于恒成立的问题，通常构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22.答案：解：(1)①因为{x =1+cosαy =sinα，又sin 2α+cos 2α=1，所以(x −1)2+y 2=1，即曲线C 1的的普通方程为(x −1)2+y 2=1；②由ρ2=x 2+y 2得曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2=1，又直线l 的直角坐标方程为x −y =0， 所以{x 2+y 2=1x −y =0⇒{x 1=√22y 1=√22或{x 2=−√22y 2=−√22，所以曲线C 2与直线l 的交点的直角坐标为(√22,√22)和(−√22,−√22)．(2)设N(ρ,θ)，又由曲线C 1的普通方程为(x −1)2+y 2=1得其极坐标方程ρ=2cosθ． ∴△MON 的面积S =12|OM|⋅|ON|⋅sin∠MON =12|6ρsin(π3−θ)|=|6cosθsin(π3−θ)|=|3sin(π3−2θ)+3√32|=|3cos(2θ+π6)+3√32|．所以当θ=23π12或θ=11π12时，(S △MON )max =3+3√32．解析：(1)①直接利用转换关系把参数方程转换为直角坐标方程． ②利用直线和圆的关系求出点的坐标．(2)利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23.答案：(Ⅰ)解：当a =1时，f(x)=|x +1|+|x −1|={2x,x >12,−1≤x ≤1−2x,x <−1．∵f(x)≤4，∴{2x ≤4x >1或−1≤x ≤1或{−2x ≤4x <−1, ∴1<x ≤2或−1≤x ≤1或−2≤x <−1，∴−2≤x ≤2， ∴不等式的解集为{x|−2≤x ≤2}．(Ⅱ)证明：当x ≥1时，不等式f(x)≤3x +b 成立， 则x +1+|ax −1|≤3x +b ， ∴|ax −1|≤2x +b −1，∴−2x −b +1≤ax −1≤2x +b −1，∴{(a +2)x ≥2−b(a −2)x ≤b, ∵x ≥1，∴{a +2≥0a +2≥2−ba −2≤0a −2−b ≤0,∴{−2≤a ≤2a +b ≥0a −2≤b,∴a +b ≥0．解析：【试题解析】本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．(Ⅰ)将a =1代入f(x)中，然后将f(x)写出分段函数的形式，再根据f(x)≤4分别解不等式即可；(Ⅱ)根据当x≥1时，不等式f(x)≤3x+b成立，可得|ax−1|≤2x+b−1，然后解不等式，进一步得到a+b≥0．。
2020年10月广西南宁市普通高中2021届高三毕业班摸底考试数学(理)试题及答案
绝密★启用前广西南宁市普通高中2021届高三毕业班上学期摸底考试(一模)数学(理)试题2020年10月(考试时间：120分钟满分：150分)注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第II卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{x|－1<x<3},B＝{t∈Z|t＝2x＋1,x∈A},则A∩B的元素个数为A.4个B.3个C.2个D.1个2.复数22ii+-的虚部是A.12B.12i C.32i D.323.已知a,b均为单位向量,它们的夹角为120°,c＝λa－μb,若a⊥c,则下列结论正确的是A.2λ＋μ＝0B.2λ－μ＝0C.λ－μ＝0D.λ＋μ＝04.设直线x＝4与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE(O为坐标原点)。
则C的焦点坐标为A.(14,0) B.(12,0) C.(1,0) D.(2,0)5.一组数据的平均数为m,方差为n,将这组数据的每个数都乘以a(a>0)得到一组新数据,则下列说法正确的是A.这组新数据的平均数为mB.这组新数据的平均数为a ＋mC.这组新数据的方差为anD.这组新数据的标准格为a n 6.在△ABC 中,角A,B,C 的对边为a,b,c 着a ＝4,b ＝5,c ＝6,则sin 2sin A C= A.12 B.23 C.34 D.1 7.如图,网格纸上小正方形边长为1,粗线是一个棱锥的三视图,则此棱锥的表面积为A.4＋2B.2＋2C.3＋2D.88.已知a ∈(0,π),cos(α＋6π)＝35,则sin α的值为 433±433-433+433- 9.射线测厚技术原理公式为I ＝I 0e －ρµt ,其中I 0,I 分别为射线穿过被测物前后的强度,e 是自然对数的底数,t 为被测物厚度,ρ为被测物的密度,µ是被测物对射线的吸收系数。
2020届广西南宁市、玉林市高考理科数学一模试题
2020届广西南宁市、玉林市高考理科数学一模试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x﹣1＞0}，B＝{x|﹣1≤x≤2}，则A∪B＝（）A．（1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．[﹣1，1]D．[﹣1，2]2．（5分）设（1﹣i）x＝1+yi，其中x，y是实数，则x+yi在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）若实数x，y满足，则z＝2x+y的最小值为（）A．1B．2C．4D．104．（5分）已知α∈（0，π），，则sinα的值为（）A．B．C．D．5．（5分）PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35μg/m3以下空气质量为一级，在35μg/m3～75μg/m3之间空气质量为二级，在75μg/m3以上空气质量为超标．如图是某市2019年12月1日到10日PM2.5日均值（单位：μg/m3）的统计数据．若从这10天中随机抽取3天进行进一步的空气质量数据分析，则空气质量为一级的恰好抽取了2天的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）设a为正实数，函数f（x）＝x3﹣3ax2+2a2，若∀x∈（a，2a），f（x）＜0，则a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（0，+∞）C．（0，1）D．7．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F2且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A．线段F1A的中点为D，若，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8．（5分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，SD＝CD，AB＝AD，CD＝2AD，M是BC中点，N是线段SA上的点，设MN与平面SAD所成角为α，则sinα的最大值为（）A．B．C．D．9．（5分）过曲线y＝e x﹣x外一点（e，﹣e）作该曲线的切线l，则l在y轴上的截距为（）A．﹣e e B．﹣e e+2C．﹣e e+1D．e e+210．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，l与x轴的焦点为P，点A在抛物线C 上，过点A作AA'⊥l，垂足为A'，若cos∠F AA'＝，则四边形AA'PF的面积为（）A．8B．10C．14D．2811．（5分）已知定义域为R的奇函数f（x）的导函数为f'（x），当x＞0时，xf'（x）＞f（x）．若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a12．（5分）已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）﹣1（ω＞0，|φ|＜π）的一个零点是，当时函数f（x）取最大值，则当ω取最小值时，函数f（x）在上的最大值为（）A．﹣2B．C．D．0本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在平面上，、是方向相反的单位向量，若向量满足（﹣）⊥（﹣），则||的值．14．（5分）设a，b，c分别为三角形ABC的内角A，B，C的对边，已知三角形ABC的面积等于，则内角A的大小为．15．（5分）已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为．16．（5分）关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请240名同学，每人随机写下两个都小于1的正实数x，y组成的实数对（x，y），再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m；最后再根据计数m来估计π的值．假设统计结果是m ＝68，那么可以估计π的近似值为．（用分数表示）三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）水稻是人类重要的粮食作物之一，耕种与食用的历史都相当悠久，日前我国南方农户在播种水稻时一般有直播、撒酒两种方式．为比较在两种不同的播种方式下水稻产量的区别，某市红旗农场于2019年选取了200块农田，分成两组，每组100块，进行试验．其中第一组采用直播的方式进行播种，第二组采用撒播的方式进行播种．得到数据如表：产量（单位：斤）播种方式[840，860）[860，880）[880，900）[900，920）[920，940）直播48183931散播919223218约定亩产超过900斤（含900斤）为“产量高”，否则为“产量低”（1）请根据以上统计数据估计100块直播农田的平均产量（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）请根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“产量高”与“播种方式”有关？产量高产量低合计直播散播合计附：P（K2≥k0）0.100.0100.001k0 2.706 6.63510.82818．（12分）已知数列{a n}满足a1＝4，a n+1＝2a n+3×2n+1．（1）证明：数列为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）如图所示，在四棱柱ABCD＝A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD⊥AB，AB∥CD，AB＝2AD＝2AA1＝4．（1）证明：A1D⊥平面ABC1D1；（2）若DC＝1，求二面角B1﹣BC1﹣A的正弦值．20．（12分）已知椭圆的离心率为，F为椭圆的右焦点，PQ为过椭圆中心O的弦．（1）求△PQF面积的最大值；（2）动直线与椭圆交于A、B两点，证明：在第一象限内存在定点M，使得当直线AM与直线BM的斜率均存在时，其斜率之和是与t无关的常数，并求出所有满足条件的定点M的坐标．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣8x+alnx（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）已知函数f（x）的两个极值点x1，x2（x1＜x2，x≠1），若m≤1，①证明：0＜x1＜2；②证明：﹣x12）．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1的倾斜角为30°，且经过点A（2，1）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l2：ρcosθ＝3，从原点O作射线交l2于点M，点N为射线OM上的点，满足|OM|•|ON|＝12，记点N的轨迹为曲线C．（1）①设动点P∈l1，记是直线l1的向上方向的单位方向向量，且，以t为参数求直线l1的参数方程；②求曲线C的极坐标方程并化为直角坐标方程；（2）设直线l1与曲线C交于P，Q两点，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+2|+|x﹣1|．（1）求不等式f（x）≥x+8的解集；（2）记函数y＝f（x）的最小值为k，若a，b，c是正实数，且，求证a+2b+3c ≥9．。
2020年高考模拟试卷广西高考数学一诊测试试卷(理科) 含解析
2020年高考模拟试卷高考数学一诊试卷（理科）一、选择题1．已知集合A＝{x|3x2﹣5x﹣2≥0}，则∁R A＝（）A．B．C．D．2．已知复数z满足z•|3﹣4i|＝2+5i（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点的坐标为（）A．B．C．D．3．设x∈R，则“x3＞8”是“x＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知双曲线C：x2﹣4y2＝k的焦距等于圆M：x2+y2+4x＝12的直径，则实数k＝（）A．B．C．或D．5．在区间[4，12]上随机地取一个实数a，则方程2x2﹣ax+8＝0有实数根的概率为（）A．B．C．D．6．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝a3﹣8，且S3＝13，则a2＝（）A．﹣3 B．3 C．D．3或7．某程序框图如图所示，则该程序的功能是（）A．输出3（1+2+3+4+…+2018）的值B．输出3（1+2+3+4+…+2017）的值C．输出3（1+2+3+4+…+2019）的值D．输出1+2+3+4+…+2018的值8．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是一圆心角为45°的扇形，则该几何体的表面积为（）A．5π+24 B．C．3π+12 D．9．近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了﹣﹣系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q．已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是（）A．B．C．D．10．函数f（x）＝A sin（wx+φ）（A＞0，w＞0）的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是（）A．f（x）的最小正周期是2πB．f（x）在上单调递增C．f（x）在上单调递增D．直线是曲线y＝f（x）的一条对称轴11．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且PF2⊥x轴，直线PF1与C的另一个交点为Q，若|PF1|＝4|F1Q|，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．已知二次函数f（x）＝ax2﹣ax﹣1没有零点，g（x）＝f（x）+ax3﹣（a+3）x2+ax+2，若方程g（x）＝0只有唯一的正实数根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣4，0）B．（﹣∞，﹣4）C．（﹣2，0）D．（﹣4，﹣2）二、填空题13．已知向量，若，则实数k＝．14．二项式的展开式中的常数项是．15．已知实数x，y满足不等式组则的最小值为．16．已知正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为2，则该正三棱锥内切球的表面积为．三、解答题17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2﹣3c2＝ac，sin A cos C＝sin C （2﹣cos A）．（1）求角B的大小；（2）若△ABC的外接圆半径是，求△ABC的周长．18．如图，在四棱锥A﹣DBCE中，AD＝BD＝AE＝CE＝，BC＝4，DE＝2，DE∥BC，O，H分别为DE，AB的中点，AO⊥CE．（1）求证：DH∥平面ACE；（2）求直线DH与底面DBCE所成角的大小19．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线交抛物线C于A（x1，y1）和B（x2，y2）两点．（1）当x1+x2＝4时，求直线AB的方程；（2）若过点P且垂直于直线AB的直线l与抛物线C交于C，D两点，记△ABF与△CDF 的面积分别为S1，S2，求S1S2的最小值．20．在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，大于等于90分的选手将直接参加竞赛选拔赛．已知成绩合格的100名参赛选手成绩的频率分布直方图如图所示，其中[60，70），[80，90），[90，100]的频率构成等比数列．（1）求a，b的值；（2）估计这100名参赛选手的平均成绩；（3）根据已有的经验，参加竞赛选拔赛的选手能够进入正式竞赛比赛的概率为，假设每名选手能否通过竞赛选拔赛相互独立，现有4名选手进入竞赛选拔赛，记这4名选手在竞赛选拔赛中通过的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．21．已知函数f（x）＝e x+aln（x+1）（a∈R）的图象在点（0，f（0））处的切线与直线x+2y+1＝0垂直．（1）求f（x）的单调区间；（2）若当x∈[0，+∞）时，f（x）﹣mx﹣1≥0恒成立，求实数m的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+35＝0．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设A是曲线C上任意一点，直线l与两坐标轴的交点分别为M，N，求|AM|2+|AN|2最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）求不等式|x﹣4|﹣x＜0的解集；（2）设a，b∈（2，+∞），证明：（a2+4）（b2+4）＞8a2+8b2．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|3x2﹣5x﹣2≥0}，则∁R A＝（）A．B．C．D．【分析】先求出集合A，再利用补集的定义即可求出∁R A．解：易知，所以，故选：A．2．已知复数z满足z•|3﹣4i|＝2+5i（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点的坐标为（）A．B．C．D．【分析】利用复数模的计算公式求|3﹣4i|，即可求得z，则答案可求．解：由题意，得z•5＝2+5i．则，其在复数平面内对应的点的坐标为．故选：B．3．设x∈R，则“x3＞8”是“x＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】“x3＞8”⇔“x＞2”，即可判断出结论．解：“x3＞8”⇔“x＞2”，∴“x3＞8”是“x＞2”的充要条件．故选：C．4．已知双曲线C：x2﹣4y2＝k的焦距等于圆M：x2+y2+4x＝12的直径，则实数k＝（）A．B．C．或D．【分析】C圆M：x2+y2+4x＝12化为标准方程是（x+2）2+y2＝16，其半径为4．直径为8．对k分类讨论，可得双曲线的焦距，即可得出k．解：C圆M：x2+y2+4x＝12化为标准方程是（x+2）2+y2＝16，其半径为4．直径为8．当k＞0时，双曲线C：x2﹣4y2＝k化为标准方程，其焦距为，解得；当k＜0时，双曲线C：x2﹣4y2＝k化为标准方程是，其焦距为，解得．综上，或．故选：C．5．在区间[4，12]上随机地取一个实数a，则方程2x2﹣ax+8＝0有实数根的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据一元二次方程有实数根△≥0，求出a的取值范围，再求对应的概率值．解：因为方程2x2﹣ax+8＝0有实数根，所以△＝（﹣a）2﹣4×2×8≥0，解得a≥8或a≤﹣8，所以方程2x2﹣ax+8＝0有实数根的概率为P＝＝．故选：D．6．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝a3﹣8，且S3＝13，则a2＝（）A．﹣3 B．3 C．D．3或【分析】由已知结合等比数列的通项公式及求和公式可求首项及公比，然后再结合等比数列的通项公式即可求解．解：设公比为q，易知q≠1．由得，解得或，当时，a2＝a1q＝3；当时，，所以a2＝3或，故选：D．7．某程序框图如图所示，则该程序的功能是（）A．输出3（1+2+3+4+…+2018）的值B．输出3（1+2+3+4+…+2017）的值C．输出3（1+2+3+4+…+2019）的值D．输出1+2+3+4+…+2018的值【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得第一次运行时，k＝2，S＝3+3×2；第二次运行时，k＝3，S＝3+3×2+3×3；第三次运行时，k＝4，S＝3+3×2+3×3+3…，以此类推，第2017次运行时，k＝2018，S＝3+3×2+3×3+3×4+…+3×2018，此时刚好不满足k＜2018，则输出S＝3（1+2+3+4+…+2018），所以该程序的功能是“输出3（1+2+3+4+…+2018）的值．故选：A．8．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是一圆心角为45°的扇形，则该几何体的表面积为（）A．5π+24 B．C．3π+12 D．【分析】直接把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的表面积．解：由三视图可知，该几何体是个圆柱，其上下底面均为圆面，侧面由2个矩形和1个圆弧面构成，所以其表面积．故选：B．9．近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了﹣﹣系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q．已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是（）A．B．C．D．【分析】分析可知，图象应上升的，且越来越陡，由此即可得出选项．解：单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，所以函数的图象应一直下凹的．故选：B．10．函数f（x）＝A sin（wx+φ）（A＞0，w＞0）的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是（）A．f（x）的最小正周期是2πB．f（x）在上单调递增C．f（x）在上单调递增D．直线是曲线y＝f（x）的一条对称轴【分析】由图象求出函数f（x）的解析式，然后逐个分析所给命题的真假．解：由图可知，A＝2，该三角函数的最小正周期，故A项正确；由，则f（x）＝2sin（x+φ）中，因为，所以该三角函数的一条对称轴为，将代入y＝2sin（x+φ），得，解得，所以，令，得，所以函数f（x）在上单调递增．故B项正确；令，得，所以函数f（x）在上单调递减．故C项错误；令，得，则直线是f（x）的一条对称轴．故D项正确．故选：C．11．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且PF2⊥x轴，直线PF1与C的另一个交点为Q，若|PF1|＝4|F1Q|，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】本题根据题意可得|PF2|＝，然后过Q点作QE⊥x轴，垂足为点E，设Q（x0，y0），根据两个直角三角形相似可计算出点Q坐标，再将点Q坐标代入椭圆方程，结合b2＝a2﹣c2，可解出e的值．解：由题意，可将点P坐标代入椭圆C方程得+＝1，解得|PF2|＝．如图所示，过Q点作QE⊥x轴，垂足为点E，设Q（x0，y0），根据题意及图可知，Rt△PF2F1∽Rt△QEF1，∵＝4，∴＝＝4，∴|EF1|＝＝＝，∴x0＝﹣c﹣＝﹣．又∵y0＝﹣|QE|＝﹣＝﹣．∴点Q坐标为（﹣，﹣）．将点Q坐标代入椭圆方程，得．结合b2＝a2﹣c2，解得，故选：D．12．已知二次函数f（x）＝ax2﹣ax﹣1没有零点，g（x）＝f（x）+ax3﹣（a+3）x2+ax+2，若方程g（x）＝0只有唯一的正实数根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣4，0）B．（﹣∞，﹣4）C．（﹣2，0）D．（﹣4，﹣2）【分析】根据已知二次函数f（x）＝ax2﹣ax﹣1没有零点，则a≠0且△＝a2+4a＜0；解得﹣4＜a＜0．再根据方程g（x）＝0只有唯一的正实数根，求导，分析函数y＝g（x）根的分布，列出不等式得出a的取值范围即可．解：因为二次函数f（x）＝ax2﹣ax﹣1没有零点，则a≠0且△＝a2+4a＜0，解得﹣4＜a ＜0．由g（x）＝f（x）+ax3﹣（a+3）x2+ax+2＝ax2﹣ax﹣1+ax3﹣（a+3）x2+ax+2＝a3x﹣3x2+1．则g'（x）＝3ax2﹣6x＝3x（ax﹣2），令g'（x）＝0，故x＝0或x＝；由于a＜0，所以x＜时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；当＜x＜0时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；当x＞0时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；所以x＝有极小值，x＝0时，有极大值；因为g（0）＝1．当a＜0时，g（x）＝0只有唯一的正实数根，所以g（x）＝0在（﹣∞，0）上没有实数根．而当时，g（x）＝ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值，所以，解得a＞2（舍去）或a＜﹣2．综上所述，实数a 的取值范围是（﹣4，﹣2）．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量，若，则实数k＝ 2 ．【分析】根据两向量平行的坐标表示，列出方程求出k的值解：由题意，得，因为．所以1×（﹣3k﹣4）﹣5（﹣k）＝0，解得k＝2．故答案为2．14．二项式的展开式中的常数项是．【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得结论．解：二项式的展开式的通项是，令，解得r＝6．故二项式的展开式中的常数项是．故答案为：15．已知实数x，y满足不等式组则的最小值为．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，转化为斜率问题即可求解．【解答】解作出不等式组表示的平面区域如图所示：由几何意义可知，目标函数表示可行域内的点（x，y）与点（﹣1，﹣1）组成的直线的斜率，目标函数在点C（4，0）处取得最小值，故答案为：．16．已知正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为2，则该正三棱锥内切球的表面积为（4﹣）π．【分析】设底面正三角形BCD的中心为O，由三角形的知识可得棱锥的高和底面积，代入体积公式可得；设内切球的半径为R，则由等体积的方法可求半径，由球的表面积公式可得．解：正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为2，由正弦定理可知，△BDC外接圆半径2r＝＝4及r＝2，所以三棱锥的高h＝＝4，又底面积S△BCD＝＝3，根据题意可知△ABC底BC边上的高h1＝＝，侧面积S＝3S△ABC＝3×＝3，设三棱锥的体积V＝＝4，设内切球的半径为R，则由等体积可得，（S△ABC+S△ACD+S△ABD+S△BCD）R＝4，所以R＝，故内切球的表面积S′＝4πR2＝（4﹣）π．故答案为：（4﹣）π．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2﹣3c2＝ac，sin A cos C＝sin C （2﹣cos A）．（1）求角B的大小；（2）若△ABC的外接圆半径是，求△ABC的周长．【分析】（1）由sin A cos C＝sin C（2﹣cos A），可得sin A cos C＝2sin C﹣sin C cos A，利用和差公式可得：sin（A+C）＝2sin C，利用诱导公式、三角形内角和定理及其正弦定理可得b＝2c．根据已知a2﹣3c2＝ac，利用余弦定理即可得出B．（2）因为△ABC的外接圆半径是，由正弦定理，得．解得b．c．代入a2﹣3c2＝ac 中，得a，j即可得出△ABC的周长．解：（1）因为sin A cos C＝sin C（2﹣cos A），所以sin A cos C＝2sin C﹣sin C cos A，所以sin A cos C+sin C cos A＝2sin C，所以sin（A+C）＝2sin C，所以sin B＝2sin C．由正弦定理，得b＝2c．因为a2﹣3c2＝ac，由余弦定理，得，又因为B∈（0，π），所以（2）因为△ABC的外接圆半径是，则由正弦定理，得．解得b＝4．所以c＝2．将c＝2代入a2﹣3c2＝ac中，得a2﹣12＝2a，解得（舍去）或．所以△ABC的周长是．18．如图，在四棱锥A﹣DBCE中，AD＝BD＝AE＝CE＝，BC＝4，DE＝2，DE∥BC，O，H分别为DE，AB的中点，AO⊥CE．（1）求证：DH∥平面ACE；（2）求直线DH与底面DBCE所成角的大小【分析】（1）利用中位线的性质及平行线的传递性，可证四边形DEFH为平行四边形，由此即可得证；（2）关键是找出∠HDG是DH与底面DBCE所成的角，进而转化到三角形中解三角形即可．【解答】（1）证明：取线段AC的中点F，连接EF，HF．因为HF是△ABC的中位线，所以．又因为DE＝2，DE∥BC，所以HF＝DE，HF∥DE．所以四边形DEFH为平行四边形，所以EF∥HD．因为EF⊂平面ACE，DH⊄平面ACE．所以DH∥平面ACE．（2）解：连接OB，取OB的中点G，连接HG，DG．易知，易知HG是△AOB的中位线，所以HG∥AO且．因为AD＝AE，O为DE中点，AO⊥DE，又HG∥AO，所以HG⊥DE．因为AO⊥CE，HG∥AO，所以HG⊥CE．又DE∩CE＝E，DE，CE⊂平面DBCE，所以HG⊥底面DBCE．所以∠HDG是DH与底面DBCE所成的角．易求等腰梯形DBCE的高为所以DG＝1．在Rt△HDG中，由．得∠HDG＝45°．故直线DH与底面DBCE所成角的大小为45°．19．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线交抛物线C于A（x1，y1）和B（x2，y2）两点．（1）当x1+x2＝4时，求直线AB的方程；（2）若过点P且垂直于直线AB的直线l与抛物线C交于C，D两点，记△ABF与△CDF 的面积分别为S1，S2，求S1S2的最小值．【分析】（1）由直线AB过定点P（2，0），可设直线方程为x＝my+2．与抛物线方程联立消去x，得y2﹣4my﹣8＝0，利用根与系数的关系即可得出．（2）由（1），知△ABF的面积为＝，利用根与系数的关系代入可得．因为直线CD与直线AB垂直，对m分类讨论，m≠0时，推理可得：△CDF的面积．进而得出结论．解：（1）由直线AB过定点P（2，0），可设直线方程为x＝my+2．联立消去x，得y2﹣4my﹣8＝0，由韦达定理得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣8，所以．因为x1+x2＝4．所以4m2+4＝4，解得m＝0．所以直线AB的方程为x＝2．（2）由（1），知△ABF的面积为＝．因为直线CD与直线AB垂直，且当m＝0时，直线AB的方程为x＝2，则此时直线l的方程为y＝0，但此时直线l与抛物线C没有两个交点，所以不符合题意，所以m≠0．因此，直线CD的方程为．同理，△CDF的面积．所以，当且仅当，即m2＝1，亦即m＝±1时等号成立．20．在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，大于等于90分的选手将直接参加竞赛选拔赛．已知成绩合格的100名参赛选手成绩的频率分布直方图如图所示，其中[60，70），[80，90），[90，100]的频率构成等比数列．（1）求a，b的值；（2）估计这100名参赛选手的平均成绩；（3）根据已有的经验，参加竞赛选拔赛的选手能够进入正式竞赛比赛的概率为，假设每名选手能否通过竞赛选拔赛相互独立，现有4名选手进入竞赛选拔赛，记这4名选手在竞赛选拔赛中通过的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．【分析】（1）由频率分布直方图的性质能求出a，b．（2）由频率分布直方图的性质能估计这100名选手的平均成绩．（3）由题意知X～B（4，），由此能求出X的分布列和数学期望．解：（1）由题意，得，解得a＝0.04，b＝0.02．（2）估计这100名选手的平均成绩为：＝65×0.1+75×0.3+85×0.2+95×0.4＝84．（3）由题意知X～B（4，），则P（X＝i）＝，（i＝0，1，2，3，4），∴X的分布列为：X 0 1 2 3 4PE（X）＝4×＝1．21．已知函数f（x）＝e x+aln（x+1）（a∈R）的图象在点（0，f（0））处的切线与直线x+2y+1＝0垂直．（1）求f（x）的单调区间；（2）若当x∈[0，+∞）时，f（x）﹣mx﹣1≥0恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解；（2）构造函数g（x）＝f（x）﹣mx﹣1，对其求导，然后结合导数，对a进行分类讨论，结合函数的性质分析求解．解：（1）由已知得，则f'（0）＝e0+a＝a+1．又因为直线x+2y+1＝0的斜率为所以，解得a＝1．所以f（x）＝e x+ln（x+1），定义域为（﹣1，+∞），所以．所以函数f（x）的单调递增区间为（﹣1，+∞），无单调减区间．（2）令g（x）＝f（x）﹣mx﹣1．则令，则当x≥0时，，所以h'（x）≥0．所以函数y＝h（x）（x≥0）为增函数．所以h（x）≥h（0）＝2，所以g'（x）≥2﹣m．①当m≤2时，2﹣m≥0，所以当m≤2时，g'（x）≥0，所以函数y＝g（x）（x≥0）为增函数，所以g（x）≥g（0）＝0，故对∀x≥0，f（x）﹣mx﹣1≥0成立；②当m＞2时，m﹣1＞1，由x≥0时，，，当x∈（0，ln（m﹣1）），知e x+1﹣m＜0，即g'（x）＜0．所以函数y＝g（x），x∈（0，ln（m﹣1））为减函数．所以当0＜x＜ln（m﹣1）时，g（x）＜g（0）＝0．从而f（x）﹣mx﹣1＜0，这与题意不符．综上，实数m的取值范围为（﹣∞，2]．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+35＝0．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设A是曲线C上任意一点，直线l与两坐标轴的交点分别为M，N，求|AM|2+|AN|2最大值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用两点间的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）由直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：3x﹣y+9＝0．所以：直线l的普通方程为3x﹣y+9＝0．曲线C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+35＝0．转换为直角坐标方程为：x2+y2+12x+35＝0．故曲线C的直角坐标方程为x2+y2+12x+35＝0．（2）直线l3x﹣y+9＝0与坐标轴的交点依次为（﹣3，0），（0，9），不妨设M（﹣3，0），N（0，9），曲线C的直角坐标方程x2+y2+12x+35＝0化为标准方程是（x+6）2+y2＝1，由圆的参数方程，可设点A（﹣6+cosα，sinα），所以|AM|2+|AN|2最＝（﹣3+cosα）2+sin2α+（﹣6+cosα）2+（sinα﹣9）2＝﹣18（sin α+cosα）2+128＝﹣18，当，即时，最大值为18．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）求不等式|x﹣4|﹣x＜0的解集；（2）设a，b∈（2，+∞），证明：（a2+4）（b2+4）＞8a2+8b2．【分析】（1）解绝对值不等式即可；（2）利用作差法比较大小．解：（1）由不等式|x﹣4|﹣x＜0，得|x﹣4|＜x，则，解得x＞2．故所求不等式的解集为（2，+∞）．证明：（2）（a2+4）（b2+4）﹣（8a2+8b2）＝（ab）2﹣4a2﹣4b2+16＝（ab）2﹣4a2﹣4b2+16＝（a2﹣4）（b2﹣4），因为a＞2，b＞2，所以a2＞4，b2＞4，所以（a2﹣4）（b2﹣4）＞0．所以原不等式（a2+4）（b2+4）＞8a2+8b2成立．。
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绝密★启用前2020届广西南宁市高三一模摸底数学（理）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{x |x 2﹣4x ﹣5＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1，0} B ．{﹣1，0，1，2} C ．{﹣1，0，1}D ．{0，1，2}答案：D解一元二次不等式化简集合B ,再由集合的交集运算可得选项. 解析：因为集合{2,1,0,1,2},{|(5)(1)0}{|15}A B x x x x x =--=-+<=-<<{}{}{}2,1,0,1,2|150,1,2A B x x ∴⋂=--⋂-<<=，故选：D. 点评：本题考查集合的交集运算，属于基础题.2．若复数z 满足2(13)(1)i z i +=+，则||z =（ ）A B C ．2D ．5答案：D 先化简得31i,55z =+再求||z 得解. 解析：2i 2i(13i)31i,13i 1055z -===++所以||5z =. 故选：D 点评：本题主要考查复数的运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 3．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（ ） A ．方差 B ．中位数C ．众数D ．平均数答案：A通过方差公式分析可知方差没有改变，中位数、众数和平均数都发生了改变. 解析：由题可知，中位数和众数、平均数都有变化.本次和上次的月考成绩相比，成绩和平均数都增加了50，所以2)n x x -（没有改变， 根据方差公式222181[()()]8S x x x x =-++-L 可知方差不变. 故选：A 点评：本题主要考查样本的数字特征，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．若62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中6x 的系数为150，则2a =（ ） A ．20 B ．15 C ．10 D ．25答案：C通过二项式展开式的通项分析得到22666150C a x x =，即得解.解析：由已知得()62123166()rrrr r rr a T C xC a xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故当2r =时，1236r -=，于是有226663150T C a x x ==，则210a =. 故选：C 点评：本题主要考查二项式展开式的通项和系数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5．设递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知4403S =，43231030a a a -+=，则4a =（ ） A ．9 B ．27C ．81D ．83答案：A根据两个已知条件求出数列的公比和首项，即得4a 的值. 解析：设等比数列{}n a 的公比为q .由43231030a a a -+=，得231030q q -+=，解得3q =或13q =. 因为40S >.且数列{}n a 递增，所以3q =. 又()4141340133a S -==-，解得113a =，故341393a =⨯=. 故选：A 点评：本题主要考查等比数列的通项和求和公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6．已知函数()ln f x x ax b =++的图象在点(1,)a b +处的切线方程是32y x =-，则a b -=（ ）A ．2B ．3C ．-2D ．-3答案：B根据(1)3f '=求出2,a =再根据(1,)a b +也在直线32y x =-上，求出b 的值，即得解. 解析： 因为1()f x a x'=+，所以(1)3f '= 所以13,2a a +==，又(1,)a b +也在直线32y x =-上， 所以1a b +=， 解得2,1,a b ==- 所以3a b -=. 故选：B 点评：本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7．函数()1xxe ef x x-=--的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：A先由函数解析式可得函数()f x 为奇函数，再结合奇函数图像的性质逐一检验即可得解. 解析：解：由已知可得函数()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()()1x x e e f x xf x --=-+=-，则函数()f x 为奇函数，则函数()f x 的图象应该关于原点对称，排除C 和D ，当1x =时，()1110f e e =-->，排除B ，故A 正确.故选：A. 点评：本题考查了函数的奇偶性，重点考查了奇函数的性质，属基础题.8．如图，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，且PA AD =，E ，F 分别是线段PA ，CD 的中点，则异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为（ ）A ．26B 3C 3D ．23答案：C分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -,再利用向量法求异面直线EF 与BD 所成角的余弦值. 解析：由题可知，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz-.设2AD =.则3(2,2,0),(1,2,1),cos ,86BD EF BD EF =-=-〈〉==⨯u u u r u u u r u u u r u u u r . 故异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为3. 故选：C 点评：本题主要考查空间向量和异面直线所成的角的向量求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．执行如图所示的程序框图，若输出的310S =，则①处应填写（ ）A ．3?k <B ．3?k „C ．5?k „D ．5?k <答案：B模拟程序框图运行分析即得解. 解析：2111,0;2,0226k S k S ====+=+；21113,6334k S ==+=+；21134,44410k S ==+=+. 所以①处应填写“3?k …” 故选：B 点评：本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．已知点2F 为双曲线222:1(0)4x y C a a -=>的右焦点，直线y kx =与双曲线交于A ，B 两点，若223AF B π∠=，则2AF B V 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：D设双曲线C 的左焦点为1F ，连接11,AF BF ，由对称性可知四边形12AF BF 是平行四边形，设1122,AF r AF r ==，得222121242cos3c r r r r π=+-，求出12r r 的值，即得解.解析：设双曲线C 的左焦点为1F ，连接11,AF BF ， 由对称性可知四边形12AF BF 是平行四边形， 所以122AF F AF B S S =V V ，123F AF π∠=.设1122,AF r AF r ==，则222221212121242cos 3c r r r r r r r r π=+-=+-，又122r r a -=.故212416rr b ==，所以12121sin 23AF F S r r π==V 故选：D 点评：本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．已知函数21()log 1||f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭则不等式(lg )3f x >的解集为（ ） A ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,(10,)10⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．(1,10)D ．1,1(1,10)10⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭答案：D先判断函数的奇偶性和单调性，得到1lg 1x -<<，且lg 0x ≠，解不等式得解. 解析：由题得函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U . 因为()()f x f x -=，所以()f x 为(,0)(0,)-∞+∞U 上的偶函数，因为函数11||y y x =+=，都是在(0,)+∞上单调递减. 所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递减. 因为(1)3,(lg )3(1)f f x f =>=， 所以1lg 1x -<<，且lg 0x ≠， 解得1,1(1,10)10x ⎛⎫∈⋃ ⎪⎝⎭. 故选：D 点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 12．已知13ω>，函数()sin 23f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间(,2)ππ内没有最值，给出下列四个结论：①()f x 在(,2)ππ上单调递增； ②511,1224ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦③()f x 在[0,]π上没有零点； ④()f x 在[0,]π上只有一个零点. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．②④B ．①③C ．②③D ．①②④答案：A先根据函数()sin 23f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间(,2)ππ内没有最值求出1512224k k ω-+剟或51112224k k ω++剟.再根据已知求出1132ω<„，判断函数的单调性和零点情况得解. 解析：因为函数()sin 23f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间(,2)ππ内没有最值. 所以22422332k k πππππωπωππ--<-+剟，或32242,2332k k k πππππωπωππ+-<-+∈Z 剟解得1512224k k ω-+剟或51112224k k ω++剟. 又212,23T ππωω=>…，所以1132ω<„. 令0k =.可得511,1224ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.且()f x 在(,2)ππ上单调递减. 当[0,]x π∈时，2,2333x πππωπω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，且72,3212ππππω⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦， 所以()f x 在[0,]π上只有一个零点. 所以正确结论的编号②④ 故选：A. 点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题13．已知两个单位向量,a b v v 满足a b a +=v v v，则向量a v 与b v 的夹角为_____________.答案：23π 由||||a b a +=r r r 得1cos ,2a b 〈〉=-r r ，即得解.解析：由题意可知||||1a b ==r r ，则2||221+=+⋅=r r r ra b a b .。