代数几何综合2-答案

O
C
DA
x
Leabharlann 解得： x 5 . 3
5 5 3 ∴Q 3, 9 . 1 5 3 （ⅱ） 当以 OA、AB 为边时，由对称性可知 Q 3, 9 .
（ⅲ） 当以 OB、AB 为边时，抛物线上不存在这样的点 Q 使 BOQA 为筝形.
5 5 3 1 5 3 ∴Q 3, 9 或 , . 3 9
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D
C
∴ 四边形 OABC 是平行四边形. ∵ ∠AOC=90， ∴ 四边形 OABC 是矩形.
【习题3】 在平面直角坐标系 xOy 中，O 是坐标原点，等边三角形 OAB 的一个顶点为 A
（2，0） ，另一个顶点 B 在第一象限内。 （1）求经过 O、A、B 三点的抛物线的解析式； （2）如果一个四边形是以它的一条对角线为对称轴的轴对称图形，那么我们称这样的四边 形为“筝形”。点 Q 在（1）的抛物线上，且以 O、A、B、Q 为顶点的四边形是“筝形，求点 Q 的坐标； （3）设 明理由。
1 5 3 当 Q 3, 9 时，由对称性可知点 Q 在 M 内.
综述，点 Q 在 M 内.
【习题4】 已知平面直角坐标系 xOy 中, 抛物线 y ax 2 (a 1) x 与直线 y kx 的一个公
共点为 A(4,8) . （1）求此抛物线和直线的解析式； （2）若点 P 在线段 OA 上，过点 P 作 y 轴的平行线交（1）中抛物线于点 Q，求线段 PQ 长 度的最大值； （3）记（1）中抛物线的顶点为 M，点 N 在此抛物线上，若四边形 AOMN 恰好是梯形，求 点 N 的坐标及梯形 AOMN 的面积.
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设经过 O、A、B 三点的抛物线的解析式为： y a( x 1)2 3 .将 A（2，0）代入得：
a(2 1)2 3 0 ，
解得 a 3 .
y
B
∴经过 O、A、B 三点的抛物线的解析式为 y 3( x 1)2 3 .
Q
即 y 3x 2 3x .
作 DF PE 于 F ,则 PF 7 在 RtDFP 中， tan DPE
DF DF 3 ，∴DF=3 PF 7 7
∵x=3, ∴y=3× 3-3=6, ∴点 E(3,6) ∴ S四边形BDEP
1 ( BD EP ) DF 24 2
【习题2】 已知抛物线 y x 2 bx c 的顶点为 P ，与 y 轴交于点 A ，与直线 OP 交于点
OAB 的外接圆 M ，试判断（2）中的点 Q 与 M 的位置关系，并通过计算说
【答案】解：过 B 作 BC⊥x 轴于 C. ∵ 等边三角形 OAB 的一个顶点为 A(2,0) ， . ∴ OB=OA=2，AC=OC=1，∠BOC=60° ∴ BC= OC tan 60 3 . ∴ B (1, 3) .
x
式 y x 2 bx c 得 6 32 2 3 c 。解得 c=3。 所以抛物线的解析式为 y x 2 2 x 3 .
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（2） ∵抛物线 y x 2 2 x 3 与 y 轴交于点 A， ∴ A(0, 3)，∵ B(3, 6), 可得直线 AB 的解析式为 y x 3 .
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3 ∴ M 1, 3 .
∴ MQ
2 5 3 5 3 = 4 3 . 1 9 9 3 3 2
又 BM
2 3 , 3
∵
4 3 2 3 < , 9 3
5 5 3 ∴Q , 在 M 内. 3 9
y x 2 bx c 平移，平移后的抛物线经过点 A 、 D ，该抛物线与 x 轴的另一个交点为 C ，
请探究四边形 OABC 的形状，并说明理由。
y
y
B A P O 图1
【解析】 ： （1）依题意,
A P x O 图2
b 1 , 解得 b=-2。 将 b=-2 及点 B(3, 6)的坐标代入抛物线解析 2 1
（3）点 Q 在 M 内.由等边三角形性质可知 △OAB 的外接圆圆心 M 是（2）中 BC 与 OQ 的 y 交点， B 5 5 3 当 Q 3, 9 时， Q ∵MC∥QD, ∴△OMC∽△OQD.
MC OC . ∴ QD OD
M
O C
D A
x
∴ MC
OC QD 3 . OD 3
PQ 2t (t 2 2t ) 4t t 2 (t 2)2 4
所以，当 t 2 时， PQ 的长度取得最大值为 4. （3）易知点 M 的坐标为（1，-1）.过点 M 作直线 OA 的平 行线交抛物线于点 N， 如图所示， 四边形 AOMN 为梯形.直线 MN 可看成是由直线 OA 向下平移 b 个单位得到，所以直线 MN 的方程为 y 2 x b .因为点 M 在直线 y 2 x b 上，解得 b =3,即直线 MN 的方程为 y 2 x 3 ，将其代入 y x2 2 x ， 可得 2 x 3 x 2 x
2
∴对称轴为直线 x 1 ，顶点坐标为 1,4 （2）由题意得： AB // CD ，设直线 CD 的解析式为 y 3x b ） ∵ C 2,3 ， ∴ 6 b 3 ， ∴ b3
∴直线 CD 的解析式为 y 3x 3 ， ∴ D0,3
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S△OMG S△ ANH 1 1 3 (1 0) MG [2 (1)] 2 2 2 1 1 3 (4 3) NH (6 3) 2 2 2
S△MNHG (3 1) NH 2 3 6
所以，梯形 AOMN 的面积 S梯形AOMN S△OMG S△MNHG S△ANH 9 .
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2013 中考冲刺——代数几何综合 2
【习题1】 已知直线 y 3x 3 分别与 x 轴、y 轴交于点 A 、B ， 抛物线 y ax 2 2 x c
经过点 A 、 B 。 （1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）记该抛物线的对称轴为直线 l ，点 B 关于直线 l 的对称点为 C ，若点 D 在 y 轴的正半 轴上，且四边形 ABCD 为梯形。 ①求点 D 的坐标； ②将此抛物线向右平移， 平移后抛物线的顶点为 P ， 其对称轴与直线 y 3x 3 交于点 E ， 若 tan DPE
B。
（3， 6） （1）如图 1，若点 P 的横坐标为 1，点 B 的坐标为 ，试确定抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，若点 M 是直线 AB 下方抛物线上的一点，且 SABM 3 , 求点 M 的 坐标； （3）如图 2，若点 P 在第一象限，且 PA PO ，过点 P 作 PD x 轴于点 D 。 将抛物线
B y
x 2x 3 ） 设直线 AB 下方抛物线上的点 M 坐标为 （x， ，
过 M 点作 y 轴的平行线交直线 AB 于点 N, 则 N(x, x+3). (如图 1)
A
2
N
P O
M x
S ABM S AMN S BMN
1 MN xB x A 3 2
1 ∴ x 3 x 2 2 x 3 3 3 . 解得 x1 1, x2 2 . 2
1 可得点 B 的坐标为（-b， b 2 ）. 由平移后的抛物线经过点 A, 2 1 可设平移后的抛物线解析式为 y x 2 mx b2 . 2 1 1 3 将点 D( b ，0)的坐标代入 y x 2 mx b2 ，得 m b . 2 2 2 3 1 ∴ 平移后的抛物线解析式为 y x 2 bx b2 . 2 2 3 1 令 y=0, 即 x 2 bx b2 0 . 2 2 1 解得 x1 b, x2 b . 依题意, 点 C 的坐标为（-b，0）. 2 1 ∴ BC= b 2 。 ∴ BC= OA，又 BC∥OA， 2
y y
O
1
x
O
1
x
（备图 1）
（备图 2）
【答案】解： （1）由题意，可得 8 16a 4(a 1) 及 8 4k ，解得 a 1, k 2 ， 所以，抛物线的解析式为 y x2 2 x ，直线的解析式为 y 2 x .
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（2）设点 P 的坐标为 (t , 2t ) (0 ≤ t ≤ 4) ，可得点 Q 的坐标为 (t , t 2 2t ) ，则


∴点 M 的坐标为(1, 2) 或 (2, 3). ……………………4 分
（3）如图 2，由 PA=PO, OA=c, 可得 PD
c . 2
4c b 2 ), 4
b 2 ∵抛物线 y x bx c 的顶点坐标为 P( , 2
图1
4c b 2 c 。∴ b2 2c . 4 2 1 1 1 1 1 ∴ 抛物线 y x 2 bx b 2 , A（0， b 2 ） ，P（ b ， b 2 ）, D（ b ，0）. 2 2 2 4 2 y
∴
1 1 可得直线 OP 的解析式为 y bx 。∵ 点 B 是抛物线 y x 2 bx b2 2 2 1 1 1 与直线 y bx 的图象的交点， 令 bx x 2 bx b2 . 2 2 2
解得 x1 b,
A B
x2
b . 2
图2
O
P x
3 ，求四边形 BDEP 的面积。 7
y
1 O 1 x
3 【解析】 ： （1）由题意得 A1,0 ， B0， 3 ∵抛物线 y ax 2 x c 过点 A1,0 ， B0，
2
∴