全国名校高中数学经典学案汇编(附详解)2.4 反函数(第三课时)
基本初等函数本章复习
指数函数 对数函数
a2<a5,a0.3>a0.4; loga2<loga5,loga0.3<loga0.4;
×
要分 类讨 论！
2.根式意义：当n是奇数，根式的值是唯一的； 当n是偶数且a>0，根式的值有两个，同时 互为相反数； 负数没有偶次方根； 0的任何次方根都是0.
3.实指数运算性质：
(1)a a a (a 0, r , s R)
r s
rs rs
(2)(a ) a (a 0, r , s R)
性 质
定 义 域 :( 0 , + ∞ ) 值 域: R 必过： ( 1, 0 ) x>1,y>0; x<1, y<0 x<1,y>0;
x>1, y<0
( 0 , + ∞ ) 上增函数 ( 0 , + ∞ ) 上减函数
2.3 幂函数
幂函数定义： 一般地，我们把形如 y x 叫做幂函数，其中x是自变量 ， 为常 数.(注：我们只研究 =1，2，3，1/2， -1时的情形)
对数与指数关系： ax=N x=㏒aN. （a>0,且a≠1）
对数运算性质：
log a (MN) log a M log a N (1) M log a log a M log a N (2) N log a M n nlog a M(n R) (3)
2.2.2 对数函数及其性质
r s r
(3)(ab) a b (a 0, b 0, r R)
r r
2.1.2 指数函数及其性质
指数函数定义：
形如y = ax ( a0，且a 1)的函数叫做 指数函数，其中x是自变量 .函数的定义 域是R .
高中数学反函数教案人教版
高中数学反函数教案人教版1. 知识与技能：理解反函数的概念，掌握求反函数的方法，并能够应用反函数解决问题。
2. 过程与方法：通过讲解、示范、练习等方式，引导学生建立正确的反函数概念及求解方法。
3. 情感态度：激发学生对数学的兴趣，培养学生的创新思维和解决问题的能力。
二、教学重、难点1. 教学重点：理解反函数的概念，掌握求反函数的方法。
2. 教学难点：理解反函数与原函数之间的关系，正确求解反函数。
三、教学准备1. 教学资源：教材、多媒体设备等。
2. 教学内容：反函数的概念、求反函数的方法、反函数与原函数的关系等。
3. 教学步骤：引入、概念讲解、示范演练、练习等。
四、教学过程1. 引入：通过实例引入反函数的概念，如f(x) = 2x + 3，问学生如何求出反函数。
2. 概念讲解：解释反函数的概念及原函数与反函数的关系，引导学生理解反函数的定义和特点。
3. 示范演练：通过几个具体的例题，向学生展示求反函数的方法，并让学生跟随演示过程，逐步掌握反函数的求解技巧。
4. 练习：让学生进行练习，巩固所学知识，检验理解程度。
可以设置不同难度的练习题，帮助学生提高解题能力。
5. 总结：总结本节课的重点内容，强调反函数的重要性和应用价值，鼓励学生多加练习，提高解题能力。
五、作业布置1. 完成课堂练习，并对错题进行复习和订正。
2. 自主练习，巩固所学知识，提高解题能力。
六、教学反思本节课主要围绕反函数的概念和求解方法展开，通过引入、讲解、演示和练习等环节，帮助学生建立正确的反函数概念，掌握反函数的求解方法。
在教学过程中，要注重引导学生灵活应用所学知识，提高解题能力，激发学生对数学的兴趣，达到提高学生学习能力和解决问题能力的目的。
平面向量的基本定理及坐标表示(一)
N
C
B
'
e2
A
a
e1
a
e1
O A'
e2
C B
M
M
A
e1
a
C'
O
e2 B
N
平面向量基本定理：
如 果 e1 , e2是 同 一 平 面 内 两 个 不
共 线 的 向 量 ， 那 么 对 这一 平 面 内 任 意 一 个 向 量a, 有 且 只 有 一 对 实 数
B
'
e2
A
a
C
e1
e1
O A'
e2
B
讨论：
⑶ 继 续 旋 转a的 位 置 ， 如 下 图 ，
又 该 如 何 构 成 平 行 四 边形？
N
B
'
e2
A
a
C
e1
e1
O A'
e2
B
M
讨论：
⑶ 继 续 旋 转a的 位 置 ， 如 下 图 ，
又 该 如 何 构 成 平 行 四 边形？
N
C
B
全国名校高中数学必修四优质专题学案汇编（附详解）
2.3平面向量的基本 定理及坐标表示
复习引入
如图，有非零向量a,
则
b与
a共
线的
条件是什么？
a b
复习引入
如图，有非零向量a,
则
b与
a共
线的
条件是什么？
a b
向
量b与
反证法
如果用直接证明的方法证明这个结论，则需要 将各种染色方法具体列出，在对各种染色法一一 经验证，然后归纳得出结论，这样比较麻烦。这 里我们采用反证法。 假设某种染法使红色球和白色球的个数都不超 过4，则球的总数应不超过4+4=8，这与球的总数 是9矛盾。因此，无论怎样染，至少有5个球是同 色的。
一般地，假设原命题不成立 （即在原命题的条件下，结论不 成立），经过正确的推理，最后 得出矛盾，因此说明假设错误， 从而证明了原命题成立，这样的 证明方法叫做反证法.
与x1 x2矛盾 故假设不成立，结论成立。
注:结论中的有且只有(有且仅有)形式出现,
是唯一性问题,常用反证法
例8 已知直线a，b和平面α ，如 果， a 颂a , b a ,且a//b，求证： a//α.
a
β
α
b
小结作业
1.反证法是一种间接证明的方法，是 解决某些“疑难”问题的有力工具，其 基本思路是： 假设结论不成立→构设矛盾→否定假设 肯定结论.
2.反证法主要适用于以下两种情形： （1）所证的结论与条件之间的联系不 明显，直接有条件推出结论线索不清晰； （2）从正面入手需要分成多种情形进 行讨论，而从反面证明，只要研究一种 或很少的几种情形.
思考1：用反证法证题的核心问题是什么？ 在正确的推理下得出矛盾. 思考2：在反证法应用中，矛盾的构设有 哪几种情形？ （1）与已知条件矛盾； （2）与假设矛盾； （3）与定义、公理、定理、性质矛盾； （4）与客观事实矛盾. 思考3：反证法是否等同于证明原命题的 逆否命题？
例7 已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有 一个根。
2.综合法是从条件→结论的推理方 法，分析法是从结论→条件的推理方法， 二者都是直接证明的方法.当某些数学 命题难以直接证明时，我们可以采用一 种间接证明的方法 反证法.
全国名校高三数学优质学案汇编(附详解)专题函数的图象
答案 D 与曲线y=ex关于y轴对称的图象对应的解析式为y=e-x,将函数
y=e-x的图象向左平移1个单位长度即得y=f(x)的图象,∴f(x)=e-(x+1)=e-x-1,故
选D.
教材研读
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3.甲、乙二人同时从A地赶往B地,甲先骑自行车到两地的中点再改为跑 步,乙先跑步到中点再改为骑自行车,最后两人同时到达B地.已知甲骑 车比乙骑车的速度快,且两人骑车速度均大于跑步速度.现将两人离开A 地的距离S与所用时间t的函数关系用图象表示,则下列给出的四个函数 图象中,甲、乙的图象应该是 ( B )
考点突破
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Hale Waihona Puke 方法技巧 函数图象的常见画法: (1)直接法:当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时,就 可根据这些函数的特征描出图象的关键点,进而直接作出图象. (2)转化法:含有绝对值符号的函数,可脱掉绝对值符号,转化为分段函数 来画图象. (3)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸 缩、翻折、对称得到,则可利用图象变换作出.
x 2 2 x 1( x 0), (2)y= 2 的图象如图②. x 2 x 1( x 0) x2 3 3 (3)y= =1+ ,先作出y= 的图象, x 1 x 1 x
将其图象向右平移1个单位,
再向上平移1个单位,
x2 即得y= 的图象,如图③. x 1
教材研读
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与函数图象的对称变换相关的结论 (1)与y=f(x)的图象关于直线y=x对称的图象是函数y=f-1(x)的图象(y=f-1(x) 表示y=f(x)的反函数). (2)与y=f(x)的图象关于直线x=m对称的图象是函数y=f(2m-x)的图象. (3)与y=f(x)的图象关于直线y=n对称的图象是函数y=2n-f(x)的图象. (4)与y=f(x)的图象关于点(a,b)对称的图象是函数y=2b-f(2a-x)的图象.
高一数学上 第二章 函数：2.4.1反函数优秀教案
反函数教学目标1.使学生了解反函数的概念；2.使学生会求一些简单函数的反函数；3.培养学生用辩证的观点观察、分析解决问题的能力。
教学重点1.反函数的概念；2.反函数的求法。
教学难点反函数的概念。
教学方法师生共同讨论教学过程：一、复习旧知映射：设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应叫做集合A到集合B的映射。
函数：建立在两个非空数集上的映射。
二、引入新课考察确定下列函数的映射, 记函数的定义域为A, 值域为C, 哪些映射的逆对应能构成从C到A的映射?①f(x)=2x;②f(x)=x^2③f(x)=x^2(x≤0)若确定一个函数的从定义域到值域的映射，它的逆对应也是一个映射（称这个映射为原映射的逆映射），则由逆映射所确定的函数称为原来函数的反函数。
三、新授课通过对几个具体函数的研究，了解了什么是反函数，把前面对函数y=2x+1的反函数的研究过程一般化，概括起来就可以得到反函数的定义．由于这个定义比较长，所以我们一起阅读书上相关内容．（板书：（1）反函数的定义）反函数定义：函数y=f(x)(x∈A)中，设它的值域为C，根据这个函数中x、y的关系，用y 把x表示出来，得到x=g(y)，如果对于y在C中的任何一个值，通过x=g(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么x=g(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=g(y)（y∈C）叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数。
记作：x= f -1(y)（y∈C）对调其中的字母x, y, 把它改写成：y=f-1（x）（x∈C）四、剖析定义:从定义中得到求反函数的步骤1．反解：既把解析式看作x的方程，求出反函数的解析式；2．互换：将函数写成y=f-1（x）的形式．3．改写：既求出所给函数的值域并把它改换为反函数的定义域；（板书：1．反解2．互换3．改写．）师：反函数的定义着重强调两点：思考:1、哪些函数有反函数？2、单调函数一定有反函数吗？有反函数的函数一定为单调吗?3、函数y= f(x)与y=f-1（x）互为反函数吗？4、x= f -1(y)（y∈C）与y=f-1（x）(x∈C)是同一个函数吗？5、函数y= f(x)与y=f-1（x）的定义域与值域的关系：函数的定义域，值域分别是它的反函数的值域、定义域。
高一数学教案上学期 2.4 反函数_0861文档
2020高一数学教案上学期 2.4 反函数_0861文档EDUCATION WORD高一数学教案上学期 2.4 反函数_0861文档前言语料：温馨提醒，教育，就是实现上述社会功能的最重要的一个独立出来的过程。
其目的，就是把之前无数个人有价值的观察、体验、思考中的精华，以浓缩、系统化、易于理解记忆掌握的方式，传递给当下的无数个人，让个人从中获益，丰富自己的人生体验，也支撑整个社会的运作和发展。
本文内容如下：【下载该文档后使用Word打开】教学目标1.使学生了解反函数的概念,初步掌握求反函数的方法.2.通过反函数概念的学习,培养学生分析问题,解决问题的能力及抽象概括的能力.3.通过反函数的学习,帮助学生树立辨证唯物主义的世界观.教学重点,难点重点是反函数概念的形成与认识.难点是掌握求反函数的方法.教学用具投影仪教学方法自主学习与启发结合法教学过程一.揭示课题今天我们将学习函数中一个重要的概念----反函数.1.4.反函数(板书)(一)反函数的概念(板书)二.讲解新课教师首先提出这样一个问题:在函数中,如果把当作因变量,把当作自变量,能否构成一个函数呢?(让学生思考后回答,要讲明理由)可以根据函数的定义在的允许取值范围内的任一值,按照法则都有唯一的与之相对应.(还可以让学生画出函数的图象,从形的角度解释“任一对唯一”)学生解释后教师指出不管从哪个角度,它都是一个函数,即有反函数,而且把这个函数称为的反函数.那么这个反函数的解析式是什么呢?由学生回答出应为.教师再提出它作为函数是没有问题的,但不太符合我们的表示习惯,按习惯用表示自变量,用表示因变量,故它又可以改写成,改动之后带来一个新问题:和是同一函数吗?由学生讨论,并说明理由,要求学生能从函数三要素的角度去认识,并给出解释,让学生真正承认它们是同一函数.并把叫做的反函数.继而再提出:有反函数吗？是哪个函数?学生很快会意识到是的反函数,教师可再引申为与是互为反函数的.然后利用问题再引申:是不是所有的函数都有反函数呢?如果有,请举出例子.在教师启发下学生可以举出象这样的函数,若将当自变量,当作因变量,在允许取值范围内一个可能对两个(可画图辅助说明,当时,对应),不能构成函数,说明此函数没有反函数.通过刚才的例子,了解了什么是反函数,把对的反函数的研究过程一般化,概括起来就可以得到反函数的定义,但这个数学的抽象概括,要求比较高,因此我们一起阅读书上相关的内容.1.反函数的定义:(板书)(用投影仪打出反函数的定义)为了帮助学生理解,还可以把定义中的换成某个具体简单的函数如解释每一步骤,如得,再判断它是个函数,最后改写为.给出定义后,再对概念作点深入研究.2.对概念得理解(板书)教师先提出问题:反函数的“反”字应当是相对原来给出的函数而言,指的是两者的关系你能否从函数三要素的角度解释“反”的含义呢?(仍可以与为例来说)学生很容易先想到对应法则是“反”过来的,把与的位置换位了,教师再追问它们的互换还会带来什么变化?启发学生找出另两个要素之间的关系.最后得出结论:的定义域和值域分别由的值域和定义域决定的.再把结论从特殊发展到一般,概括为:反函数的三要素是由原来函数的三要素决定的.给出的函数确定了,反函数的三要素就已经确定了.简记为“三定”.(1)“三定”(板书)然后要求学生把刚才的三定具体化,也就是“反”字的具体体现.由学生一一说出反函数的定义域是原来函数的值域,反函数的值域是原来函数的定义域,反函数的对应法则就是把原来函数对应法则中与的位置互换.(用投影仪打出互换过程)如图最后教师进一步明确“反”实际体现为“三反”,“三反”中起决定作用的是与的位置的反置,正是由于它的反置,才把它的范围也带走了,引起了另外两“反”.(2)“三反”(板书)此时教师可把问题再次引向深入,提出:如果一个函数存在反函数,应怎样求这个反函数呢?下面我给出两个函数,请同学们根据自己对概念的理解来求一下它们的反函数.例1.求的反函数.(板书)(由学生说求解过程,有错或不规范之处,暂时不追究,待例2解完之后再一起讲评)解:由得,所求反函数为.(板书)例2.求,的反函数.(板书)解:由得,又得,故所求反函数为.(板书)求完后教师请同学们作评价,学生之间可以讨论,充分暴露表述中得问题,让学生自行发现,自行解决.最后找代表发表意见,指出例2中问题,结果应为,.教师可先明知故问,与,有什么不同?让学生明确指出两个函数定义域分别是和,所以它们是不同的函数.再追问从何而来呢?让学生能从三定和三反中找出理由,是从原来函数的值域而来.在此基础上,教师最后明确要求,由于反函数的定义域必是原来函数的值域,而不是从自身解析式出发寻求满足的条件,所以求反函数,就必须先求出原来函数的值域.之后由学生调整刚才的求解过程.解:由得,又得,又的值域是,故所求反函数为,.(可能有的学生会提出例1中为什么不求原来函数的值域的问题,此时不妨让学生去具体算一算,会发现原来函数的值域域求出的函数解析式中所求定义域时一致的,所以使得最后结果没有出错.但教师必须指出结论得一致性只是偶然,而不是必然,因此为规范求解过程要求大家一定先求原来函数的值域,并且在最后所求结果上注明反函数的定义域,同时让学生调整例的表述,将过程补充完整)最后让学生一起概括求反函数的步骤.3.求反函数的步骤(板书)(1)反解:(2)互换(3)改写:对以上环节教师可稍作解释,然后提出再通过下面的练习来检验是否真正理解了.三.巩固练习练习:求下列函数的反函数.(1)(2).(由两名学生上黑板写)解答过程略.教师可针对学生解答中出现的问题,进行讲评.(如正负的选取,值域的计算,符号的使用)四.小结1.对反函数概念的认识:2.求反函数的基本步骤:五.作业课本第68页习题2.4第1题中4,6,8,第2题.六.板书设计。
高三数学高考考前复习：反函数教案
第五节 反函数一、复习目标：理解反函数的意义，会求一些函数的反函数；掌握互为反函数的函数图象间的关系，会利用)(x f y =与)(1x fy -=的性质解决一些问题。
二、重难点：反函数的求法，反函数与原函数的关系。
三、教学方法：讲练结合，探析归纳。
四、教学过程 （一）、谈新课标要求及考纲要求和高考命题考查情况，促使学生积极参与。
新课标要求及考纲要求：1、了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数掌握互为反函数的函数图象间的关系，会利用)(x f y =与)(1x fy -=的性质解决一些问题。
2、不仅从认识上，而且从处理函数问题的指导上达到从三要素总体上把握函数概念的要求，对确定函数三要素的常用方法有个系统的认识，对于给出解析式的函数，会求其反函数。
3、其次在于确定函数三要素、求反函数等内容的综合性，不仅要用到解方程，解不等式等知识，还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合。
高考命题考查情况简析：确定函数三要素、求反函数等内容的综合性，不仅要用到解方程，解不等式等知识，还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合。
因此求一些简单函数的反函数掌握互为反函数的函数图象间的关系，会利用)(x f y =与)(1x fy -=的性质解决一些问题，是高考命题的重点。
预测2010年高考，会以选择题或填空题的形式考查，难度不会大，以求一些简单函数的反函数掌握互为反函数的函数图象间的关系，会利用)(x f y =与)(1x fy -=的性质解决一些问题仍为命题重点来考查。
（二）、知识梳理整合，方法定位。
（学生完成复资P20填空题，教师准对问题讲评） 1、反函数的概念：设函数y=f(x)的定义域为A ，值域为C ，由y=f(x)求出()y x ϕ=，若对于C 中的每一个值y ，在A 中都有唯一的一个值和它对应，那么()y x ϕ=叫以y 为自变量的函数，这个函数()y x ϕ=叫函数y=f(x)的反函数，记作()y f x 1-=，通常情况下，一般用x 表示自变量，所以记作()x fy 1-=。
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全国名校高中数学经典学案汇编（附详解）
2.4 反函数（第三课时）
教学目的：
1．求分段函数的反函数及较复杂函数的反函数；
2. 利用反函数解决相关综合问题。
教学重点：较复杂的函数的反函数的求法及其应用
教学难点：较复杂的函数的反函数的求法及其应用.。
教学过程：
一、复习引入：
1．反函数的定义；求反函数的一般步骤分：一解、二换、三注明
互为反函数的两个函数间的关系：
定义域，值域互换；x,y 互换；
函数)(x f y =与)(1x f y -=的图象关于直线x y =对称.
在对应区间同增 同减.
注意：反函数的定义域由原函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到
2．函数)(x f y =、)(1x f y -=、)(y f x =、)(1y f x -=间的关系：
)(x f y =与)(1x f y -=、)(y f x =与)(1y f x -=互为反函数；
)(x f y =与)(1y f x -=、)(y f x =与)(1x f y -=为同一函数。
二、讲解例题：
例1. 设函数y=)(x f =⎩
⎨⎧≥<)0()0(2x x x x ，求它的反函数. 分析：这里给出了分段函数，即在不同的x 范围内有不同的表达式，因此，也应在不同的x 范围内求其反函数.
（答案)(1x f -=⎩
⎨⎧≥<)0()0(x x x x .） 例2. 若点A(1,2)既在函数)(x f =b ax +的图象上，又在)(x f 的反函数的图象上，求a,b 的值.
分析：求a,b ，就要有两个关于a,b 的方程，注意到原来函数与其反函数x,y 互换，
则 A(1,2)和A ’（2，1）都在)(x f 图象上.
解：由A(1,2)在)(x f =b ax +上，则有2=+b a --①；
由A(1,2)在其反函数图象上，可知'A (2,1)也在函数)(x f =b ax +图象上，∴又有12=+b a --②，
解联立①②的方程组得a=-3,b=7.
例3．若)0(2)1(≥+=+x x x x f ，试求反函数)(1x f y -=．
分析：当已知函数是一个复合函数时，要求它的反函数，首先要求原来函数解析表达式． 解：令t x =+1，则1-=t x ，2)1(-=t x ，
代入所给表达式，得=)(t f 2)1(-t +22)1(-t =12-t ，
0≥x ，∴t x =+11≥，即原来函数是)1(1)(2≥-=x x x f ．
易求函数)1(1)(2≥-=x x x f 的反函数是
1)(1+==-x x f y )0(≥x ．
注：在利用换元解题时，一定要注意新元（中间变量）的取值范围．
例4.若函数ax 1y x 2+=
+有反函数，求a 的取值范围. 略解：ax 112y 1y x 2a .x 2y a 2
+-=⇒=≠-⇒≠+-
例5.若函数y a 的范围.
略解：问题等价于关于x x =有实数解，求a 的范围.
2x 3x a 0x x 0
⎧-+==⇔⎨≥⎩，注意到设一元二次方程的两根为x 1,x 2， ∵x 1+x 2=3,
∴方程x 2-3x+a=0有正根的条件是994a 0,a 4
=-≥∴≤ 例6.已知函数2f (x)x ax(x 1),=+≤-且函数f(x)具有反函数，求常数a 的取值范围.设a 0
是满足上述条件的a 的最大值，当a= a 0时，求f(x)的反函数.
略解：由题意知，f(x)在(-∞,-1]必为单调函数，故0a 1,a 2,a 2,2-≥-∴≤=。