2019_2020学年高中数学第1章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象课后课时精练新人教A版必修4

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2019_2020学年高中数学第1章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象教案(含解析)新人教A版必修4

1.4.3 正切函数的性质与图象正切函数的图象与性质思考：正切函数图象的对称中心都在正切函数图象上吗？ [提示] 不是，在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0中，当k 为偶数时，在函数图象上，当k 为奇数时，不在函数图象上．1．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调增区间为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈ZB ．()k π，k π＋π，k ∈ZC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈ZD ．⎝⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈ZC [令k π－π2＜x ＋π4＜k π＋π2(k ∈Z )得k π－3π4＜x ＜k π＋π4(k ∈Z )，故单调增区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4(k ∈Z )．] 2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的定义域为________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π3，k ∈Z [因为2x －π6≠k π＋π2，k ∈Z ，所以x ≠k π2＋π3，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π3，k ∈Z .]3．函数y ＝tan 3x 的最小正周期是________． π3 [函数y ＝tan 3x 的最小正周期是π3.] 4．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π5的对称中心是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π5，0(k ∈Z ) [令x －π5＝k π2(k ∈Z )得x ＝k π2＋π5(k ∈Z )，∴对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋π5，0(k ∈Z )．]【例1】 (1)函数y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＜x ＜4，且x ≠0的值域是( ) A ．(－1，1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－∞，1)D ．(－1，＋∞)(2)求下列函数的定义域： ①y ＝11＋tan x ；②y ＝lg(3－tan x )．思路点拨：(1)由x 范围求出tan x 的范围→求1tan x 的范围(2)①中注意分母不为零且y ＝tan x 本身的定义域；②中注意对数大于零⇒从而得到定义域．(1)B [当－π4＜x ＜0时，－1＜tan x ＜0，∴1tan x ＜－1；当0＜x ＜π4时，0＜tan x ＜1，∴1tan x＞1.即当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时，函数y ＝1tan x 的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．](2)[解] ①要使函数y ＝11＋tan x 有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧1＋tan x ≠0，x ≠k π＋π2（k ∈Z ），所以函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k ∈R 且x ≠k π－π4，x ≠k π＋π2，k ∈Z .②因为3－tan x ＞0，所以tan x ＜ 3. 又因为tan x ＝3时，x ＝π3＋k π(k ∈Z )，根据正切函数图象，得k π－π2＜x ＜k π＋π3(k ∈Z )，所以函数的定义域是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π－π2＜x ＜k π＋π3，k ∈Z .1．求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)求正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx ＋φ”视为一个“整体”．令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x .2．解形如tan x ＞a 的不等式的步骤提醒：求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件．1．求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域．[解] 要使函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x ＞0，即－1≤tan x＜1.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π4，π4.又因为y ＝tan x 的周期为π，所以所求x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－π4＋k π≤x ＜π4＋k π，k ∈Z .【例2】 (1)函数f (x )＝tan⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期为________．(2)已知函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，则该函数图象的对称中心坐标为________．(3)判断下列函数的奇偶性：①y ＝3x tan 2x －2x 4；②y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋tan x .思路点拨：(1)形如y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ω≠0)的周期T ＝π|ω|，也可以用定义法求周期．(2)形如y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ω≠0)的对称中心横坐标可由ωx ＋φ＝k π2，k ∈Z 求出．(3)先求定义域，看是否关于原点对称，若对称再判断f (－x )与f (x )的关系． (1)π2 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π3，0(k ∈Z ) [(1)法一：(定义法) ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，即tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期是π2.法二：(公式法)f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期T ＝π2.(2)由x －π3＝k π2(k ∈Z )得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )，所以图象的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π3，0，k ∈Z .](3)[解] ①定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，关于原点对称，又f (－x )＝3(－x )tan 2(－x )－2(－x )4＝3x tan 2x －2x 4＝f (x )，所以它是偶函数．②定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，关于原点对称， y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋tan x ＝sin x ＋tan x ，又f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )，所以它是奇函数．1．函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)周期的求解方法． (1)定义法．(2)公式法：对于函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|. (3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现． 2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法．先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系．提醒：y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z )的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z .2．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝tan 2x －tan xtan x －1；(2)f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π＋π2，k ∈Z ，tan x ≠1，得f (x )的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π4，k ∈Z ，不关于原点对称，所以函数f (x )既不是偶函数，也不是奇函数．(2)函数定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4且x ≠k π＋π4，k ∈Z ，关于原点对称，又f (－x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －π4＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝－f (x )，所以函数是奇函数.1．正切函数y ＝tan x 在其定义域内是否为增函数？提示：不是．正切函数的图象被直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )隔开，所以它的单调区间只在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内，而不能说它在定义域内是增函数．假设x 1＝π4，x 2＝54π，x 1<x 2，但tan x 1＝tan x 2.2．如果让你比较tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π5的大小，你应该怎样做？提示：先根据正切函数的周期性把两角化到同一单调区间内，再由正切函数的单调性进行比较．【例3】 (1)不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小： ①tan 13π4与tan 17π5；②tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4与tan ⎝⎛⎭⎪⎫－16π5.(2)求函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调区间．思路点拨：(1)把角化成同一单调区间上 →根据正切函数单调性比较出大小(2)化为y ＝－3tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4→解－π2＋k π＜2x －π4＜k π＋π2，k ∈Z →求出单调区间[解] (1)①因为tan 13π4＝tan π4，tan 17π5＝tan 2π5，又0＜π4＜2π5＜π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内单调递增，所以tan π4＜tan 2π5，即tan 13π4＜tan 17π5.②因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝－tan π4，tan ⎝⎛⎭⎪⎫－16π5＝－tan π5，又0＜π5＜π4＜π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内单调递增，所以tan π4＞tan π5，所以－tan π4＜－tan π5，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＜tan ⎝⎛⎭⎪⎫－16π5.(2)y ＝3tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝－3tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，由－π2＋k π＜2x －π4＜π2＋k π，k ∈Z 得，－π8＋k 2π＜x ＜3π8＋k2π，k ∈Z ，所以y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＋k2π，3π8＋k 2π，k ∈Z .1．将本例(2)中的函数改为“y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4”，结果又如何？[解] 由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π2<x <2k π＋32π(k ∈Z )，∴函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋32π(k ∈Z )．2．将本例(2)中函数改为“y ＝lg tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4”结果又如何？[解] 因为函数y ＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数，所以函数y ＝lg tan x 的单调递增区间就是函数y ＝tan x (tan x ＞0)的单调递增区间，令k π＜2x －π4＜k π＋π2(k ∈Z )，得k π2＋π8＜x ＜k π2＋3π8(k ∈Z )，故y ＝lg tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π8，k π2＋3π8，k ∈Z .1．求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ＞0，ω≠0，且A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法． (1)若ω＞0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2＜ωx ＋φ＜k π＋π2，k ∈Z ，解得x 的范围即可．(2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan[－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．2．运用正切函数单调性比较大小的步骤．(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系．提醒：y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)只有增区间；y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ＜0，ω＞0)只有减区间．1．正切函数在整个定义域上的图象叫正切曲线．正切曲线是由相互平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )所隔开的无穷多支曲线组成，每支曲线向上、向下无限接近相应的两条直线，且每支曲线都是单调递增的．2．正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域是R .(2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ω≠0)的周期为T ＝π|ω|. (3)正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上递增，不能写成闭区间．正切函数无单调减区间.1．下列说法正确的是( ) A ．正切函数的定义域和值域都是R B ．正切函数在其定义域内是单调增函数 C ．函数y ＝|tan x |与y ＝tan x 的周期都是π D ．函数y ＝tan|x |的最小正周期是π2C [y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2（k ∈Z ），所以A 错；由正切函数图象可知B错；画出y ＝tan x ，y ＝|tan x |和y ＝tan|x |的图象可知C 正确，D 错误，因为y ＝tan|x |不是周期函数．]2．在下列函数中同时满足：①在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( ) A ．y ＝tan x B ．y ＝cos x C ．y ＝tan x2D ．y ＝－tan xC [A ，D 的周期为π，B 中函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递减，故选C.]3．函数y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2上的单调减区间为________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0和⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π [如图，观察图象可知，y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2上的单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0和⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π. ]4．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的定义域、最小正周期、单调区间及其图象的对称中心．[解] ①由x 2－π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠2k π＋5π3，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠2k π＋53π，k ∈Z .②T ＝π12＝2π，∴函数的最小正周期为2π.③由k π－π2＜x 2－π3＜k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－π3＜x ＜2k π＋5π3，k ∈Z ，∴函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋5π3， k ∈Z .④由x 2－π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋2π3，k ∈Z ，∴函数图象的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋2π3，0，k ∈Z .。

高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象课件新人教版必修4

2019/7/17
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－π7

＝－tan－π7 ＝tanπ7 ，
∵－π2
π <7
π <5
π <2
，y＝tan
x
在－π2
，π2
上单调递增，
∴tanπ7
π <tan 5
，即
tan65π
>tan－173π

.

[课堂小结] 1.利用正切函数的单调性比较函数值大小的三个步骤
(1)转化：利用诱导公式将角化到同一单调区间内. (2)比较：利用单调性比较函数值的大小. (3)结论：按一定顺序写出其大小关系.
周期奇偶性
最小正周期为_π__ _奇__函__数___
单调性在开区间__k_π__－__π2__，__k_π__＋__π2__(_k_∈__Z_)_内递增
即时自测
1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)类似于画正(余)弦函数简图“五点法”，画正切函数简图有 “三点两线法”.( √ ) (2)y＝tan x 在其定义域上是增函数.( × ) (3)y＝|tan x|的最小正周期是π2 .( × ) (4)y＝sin x 与 y＝tan x 的图象在－π2 ，π2 上有三个交点.( )
(2)∵tan 2＝tan(2－π )，tan 3＝tan(3－π )，
又∵π2 <2<π ，∴－π2 <2－π <0.
∵π2 <3<π ，∴－π2 <3－π <0，
显然－π2
<2－π
<3－π

【新】2019-2020学年度高中数学第一章三角函数1-4-3正切函数的性质和图象教案新人教A版必修4

当从大于，时，。
3. 周期:函数的周期．正切函数
是周期函数，周期是
4. 奇偶性：∵ ，∴正切函数是，正切曲线关于对称．
5. 单调性：在每一个开区间k∈z内均为增函数，但不能说函数在其定义域内是单调增函数；
6. 正切函数的图象：正切曲线是由被相互平行的直线：所隔开的无穷多支曲线组成的。即学即练：A. B. C. D.
2．函数的值域是____________________．
3. 求函数的定义域.
【小结与反馈】
正切函数的性质引导学生观察，共同获得：
1. 定义域：；
2. 值域：R 观察：当从小于，时，
当从大于，时， .
3. 周期性：；
4. 奇偶性：由知，正切函数是奇函数；
5. 单调性：在开区间内，函数单调递增.
[教学反思]
A．0 < ≤1 B．－1≤ <0 C． ≥1 D． ≤－1
4 已知 , 为三角形一个内角，则 _______
5．不等式的解集是
6．、、的大小顺序是__________________________(用“ ”连结)
7．求函数的定义域、周期和单调区间。
8. (选做)已知满足，求的值。
1．求函数的定义域.
2.求满足的，
满足的的范围是________
3．函数的值域是（）
A． B． C． D．
4．函数的周期是（）
A． B． C． D．
【课外拓展】
1.若则（）
A. B.
C. D.
2.函数的对称中心为（）
A． B．
C． D．
3．已知函数在内是减函数，则（）

高中数学第一章三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.3 正切函数的性质与图象目标导引素

1 1.4.3 正切函数的性质与图象
一览众山小
诱学导入
材料：通过前面的学习，我们知道可用与单位圆有关的有向线段来表示角α的正切值，只要过单位圆与x 轴的正半轴的交点A(1,0)作单位圆的切线，它与角α的终边(当角α为第
一、四象限角时)或其反向延长线(当角α为第二、三象限角时)相交于点T ，我们就把有向线段AT 叫做角α的正切线.
问题：利用正弦线可以作正弦函数的图象，那么利用正切线能否作正切函数的图象？导入：建立直角坐标系，画出单位圆，作出角的正切线，平移，仿照正弦函数图象的作法，即可获得正切函数的图象.
温故知新
1.什么是周期函数？你能证明π是正切函数y=tanx 的周期吗？
答：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期. 由诱导公式二可知，tan(x+π)=tanx，x∈R ，x≠
2
+kπ，k∈Z 对于定义域内任何一个x 的值都成立，所以π是正切函数的周期.。

2019_2020学年高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象学案(含解析)新人教A版必修4

1.4.3 正切函数的性质与图象考试标准知识导图学法指导1.学习本节内容时要重点关注正切函数的定义域，会用“三点两线法”画正切函数的图象．2．从正切函数的几何画法体验直线x ＝±π2为正切函数图象的两条“渐近线”，进一步体会正切函数的值域为(－∞，＋∞).函数y ＝tan x 的图象与性质状元随笔如何作正切函数的图象 (1)几何法就是利用单位圆中的正切线来做出正切函数的图象，该方法作图较为精确，但画图时较烦琐．(2)“三点两线”法“三点”是指⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1；“两线”是指x ＝－π2和x ＝π2. 在“三点”确定的情况下，类似于“五点法”作图，可大致画出正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的简图，然后向右、向左扩展即可得到正切曲线．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的周期公式为T ＝πω.( )(2)正切函数在R 上是单调递增函数．( )(3)正切函数是奇函数，原点是唯一的一个对称中心．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× 2．下列说法正确的是( ) A ．y ＝tan x 是增函数B ．y ＝tan x 在第一象限是增函数C ．y ＝tan x 在某一区间上是减函数D ．y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上是增函数解析：由正切函数的图象可知D 正确．答案：D3．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的定义域是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－π4 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π－π4，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z解析：由x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π＋π4，k ∈Z .答案：D4．已知函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，则函数f (x )的最小正周期为( ) A.π4 B.π2C ．πD ．2π解析：解法一函数y ＝tan(ωx ＋φ)的周期T ＝π|ω|，可得T ＝π|2|＝π2. 解法二由诱导公式可得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝f (x )，所以周期为T ＝π2.答案：B类型一求函数的定义域例1 求下列函数的定义域： (1)y ＝11＋tan x ；(2)y ＝lg(3－tan x )．【解析】 (1)要使函数y ＝11＋tan x有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧1＋tan x ≠0，x ≠k π＋π2k ∈Z ，所以函数的定义域为{x |x ∈R 且x ≠k π－π4，x ≠k π＋π2}，k ∈Z .(2)要使y ＝lg(3－tan x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧3－tan x >0x ≠k π＋π2k ∈Z ，所以函数的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪k π－π2<x <k π＋π3，k ∈Z.求函数的定义域注意函数中分母不等于0，真数大于0，正切函数中的x≠k π＋π2，k∈Z等问题．方法归纳求正切函数定义域的方法求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义即x ≠π2＋k π，k ∈Z .而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．跟踪训练1 (1)函数y ＝1tan x 的定义域为( )A.{x |x ≠0}B ．{x |x ≠k π，k ∈Z } C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π2，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2，k ∈Z (2)求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域．解析：(1)函数y ＝1tan x 有意义时，需使⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≠0x ≠k π＋π2k ∈Z ，所以函数的定义域为{x |x ≠k π＋π2，且x ≠k π，k ∈Z}＝{x |x ≠k π2，k ∈Z}.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x >0，即－1≤tan x <1.在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内，满足上述不等式的x 的取值范围是[－π4，π4).又y ＝tan x 的周期为π，所以所求函数的定义域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )． (1)分母不等于0(2)偶次根式被开方数大于等于0 (3)真数大于0(4)正切函数x≠k π＋π2，k∈Z类型二正切函数的单调性及其应用例2 求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x ＋π4的单调区间．【解析】 y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x ＋π4＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4. 由－π2＋k π<3x －π4<π2＋k π(k ∈Z )，得－π12＋k π3<x <π4＋k π3(k ∈Z )．所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x ＋π4的单调递减区间为(－π12＋k π3，π4＋k π3)(k ∈Z )．状元随笔先利用诱导公式将函数转化为y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4，再由－π2＋k π<3x －π4<π2＋k π(k∈Z)解出x 即可．方法归纳(1)运用正切函数单调性比较大小的方法①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． ②运用单调性比较大小关系．(2)求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法①若ω>0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2<ωx ＋φ<k π＋π2，k ∈Z ，解得x 的范围即可．②若ω<0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan[－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．跟踪训练2 本例(2)函数变为y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4，求该函数的单调区间．解析：y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，由k π－π2<12x －π4<k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－π2<x <2k π＋32π，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4的单调递减区间是(2k π－π2，2k π＋32π)，k ∈Z .类型三正切函数图象与性质的综合应用例3 设函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3. (1)求函数f (x )的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心； (2)求不等式－1≤f (x )≤3的解集．【解析】 (1)由x 2－π3≠π2＋k π(k ∈Z )．得x ≠5π3＋2k π(k ∈Z )．所以f (x )的定义域是 {x |x ≠5π3＋2k π}，k ∈Z .因为ω＝12，所以最小正周期T ＝πω＝π12＝2π.由－π2＋k π<x 2－π3<π2＋k π(k ∈Z )，得－π3＋2k π<x <5π3＋2k π(k ∈Z )．所以函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋2k π，5π3＋2k π(k ∈Z )．由x 2－π3＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π＋23π(k ∈Z )，故函数f (x )的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋23π，0，k ∈Z .(2)由－1≤tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3≤3，得－π4＋k π≤x 2－π3≤π3＋k π(k ∈Z )，解得π6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π(k ∈Z )．所以不等式－1≤f (x )≤3的解集是{x |π6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π}，k ∈Z .由此不等式确定函数的单调区间是关键一步，也是易误点．由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的范围确定x 2－π3的范围是本题的难点．方法归纳解答正切函数图象与性质问题应注意的两点(1)对称性：正切函数图象的对称中心是⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z )，不存在对称轴．(2)单调性：正切函数在每个⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的．跟踪训练3 已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且1＋tan α≥0，则角α的取值范围是________．解析：1＋tan α≥0，所以tan α≥－1，作出正切函数y ＝tan α，y ＝－1的图象，由图象可得，当α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，满足不等式的角α的范围是3π4≤α<π，即α的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 对于不等式tan α≥a，作出正切函数的图象，作出y ＝a 的图象，借助图象观察已知范围内，满足不等式的角α的范围.1.4.3[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋π6的最小正周期为( ) A.π4 B.π2C ．πD ．2π解析：方法一函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)的周期是T ＝π|ω|，直接利用公式，可得T ＝π|－4|＝π4. 方法二由诱导公式可得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋π6＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋π6－π＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝f (x )，所以周期T ＝π4.答案：A 2．函数y ＝1tan x (－π4<x <π4)的值域是( ) A ．(－1,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－1，＋∞)解析：∵－π4<x <π4，∴－1<tan x <1，∴1tan x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故选B.答案：B3．已知a ＝tan 2，b ＝tan 3，c ＝tan 5，不通过求值，判断下列大小关系正确的是( ) A ．a >b >c B ．a <b <c C ．b >a >c D ．b <a <c解析：tan 5＝tan[π＋(5－π)]＝tan(5－π)，由正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上为增函数且π>3>2>5－π>π2可得tan 3>tan 2>tan(5－π)．答案：C4．函数y ＝3tan 2x 的对称中心为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π4，0(k ∈Z )C.⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋π4，0(k ∈Z ) D.()k π，0(k ∈Z )解析：令2x ＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π4(k ∈Z )，则函数y ＝3tan 2x 的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π4，0(k ∈Z )，故选B.答案：B5．下列关于函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的说法正确的是( )A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6上单调递增B ．最小正周期是πC ．图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0成中心对称 D ．图象关于直线x ＝π6成轴对称解析：令k π－π2<x ＋π3<k π＋π2，解得k π－5π6<x <k π＋π6，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6不满足上述关系式，故A 错误；易知该函数的最小正周期为π，故B 正确；令x ＋π3＝k π2，解得x ＝k π2－π3，k ∈Z ，任取k 值不能得到x ＝π4，故C 错误；正切函数曲线没有对称轴，因此函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象也没有对称轴，故D 错误．故选B.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋6x 的定义域为________．解析：由π4＋6x ≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π6＋π24(k ∈Z )．答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π6＋π24，k ∈Z7．函数y ＝3tan(π＋x )，－π4<x ≤π6的值域为________．解析：函数y ＝3tan(π＋x )＝3tan x ，因为正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数，所以－3<y ≤3，所以值域为(－3，3]．答案：(－3，3]8．比较大小：tan 135°________tan 138°.(填“>”或“<”)解析：因为90°<135°<138°<270°，又函数y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2上是增函数，所以tan 135°<tan 138°.答案：<三、解答题(每小题10分，共20分)9．画出函数y ＝|tan x |的图象，并根据图象判断其单调区间和奇偶性．解析：由函数y ＝|tan x |得 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，k π≤x <k π＋π2k ∈Z－tan x ，k π－π2<x <k πk ∈Z ，根据正切函数图象的特点作出函数的图象，图象如图．由图象可知，函数y ＝|tan x |是偶函数．函数y ＝|tan x |的单调增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2＋k π，k π，k ∈Z .10．不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小： (1)tan 13π4与tan 17π5；(2)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4与tan ⎝⎛⎭⎪⎫－16π5.解析：(1)因为tan 13π4＝tan π4，tan 17π5＝tan 2π5，又0<π4<2π5<π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内单调递增，所以tan π4<tan 2π5，即tan 13π4<tan 17π5.(2)因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝－tan π4，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5＝－tan π5，又0<π5<π4<π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内单调递增，所以tan π4>tan π5，所以－tan π4<－tan π5，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4<tan ⎝⎛⎭⎪⎫－16π5. [能力提升](20分钟，40分)11．如果函数y ＝tan(x ＋φ)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，那么φ可能是( ) A ．－π3 B ．－π6C.π6D.π3解析：∵y ＝tan(x ＋φ)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝0，即π3＋φ＝k π，k ∈Z ，则φ＝k π－π3，k ∈Z ，当k ＝0时，φ＝－π3，故选A. 答案：A12．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是单调减函数，则ω的取值范围是________．解析：函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是单调减函数，则有ω<0，且周期T ≥π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝π，即π|ω|≥π，故|ω|≤1， ∴－1≤ω<0.答案：[－1,0)13．(1)求y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的单调区间； (2)比较tan 65π与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－137π的大小．解析：(1)由题意，k π－π2<12x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z ，即k π－3π4<12x <k π＋π4，k ∈Z .所以2k π－3π2<x <2k π＋π2，k ∈Z ，故单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－3π2，2k π＋π2(k ∈Z )．(2)tan 65π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π5＝tan π5，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－137π＝－tan 137π＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π7＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π7＝tan π7，因为－π2<π7<π5<π2，y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，所以tan π7<tan π5，即tan 65π>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－137π.14．已知函数f (x )＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4.(1)求f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)试比较f (π)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2的大小．解析：(1)因为f (x )＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6，所以T ＝πω＝π14＝4π.由k π－π2<x 4－π6<k π＋π2(k ∈Z )，得4k π－4π3<x <4k π＋8π3(k ∈Z )．因为y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6在⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z )内单调递增，所以f (x )＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6，在⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z )内单调递减．故原函数的最小正周期为4π，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z )． (2)f (π)＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－π4＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－3tan π12， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－3π8＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π24＝－3tan 5π24，因为0<π12<5π24<π2，且y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，所以tan π12<tan 5π24，所以f (π)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2.。

2019_2020学年高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象课件新人教A版

1.4.3正切函数的性质与图象重点难点重点：能画出y=tanx 的图象难点：正切函数在一号，号上的性质的应目标定位1・能画出y=tnnx 的图象 2.理解正切函数在区间 ( \7T jr[―歩刖上的性质曲纳新知解析式j = tanx图象3TTy=tanx解析式y = tanx定义域f、兀ix 兀工+比兀，解析式^ = tanx 值域R奇偶性奇函数周期兀单调性/ 、7T 7T在区间［一㊁+炕㊁+hrj伙WZ）上都是增函尝试解答1 木目一木目丄• 丿111、丿111、正切函数在定义域内是增函数吗？7C 兀）【解析】不是，在每个单独区间［加一㊁，hr+j伙WZ）内都是增函数，但在整个定义域内不是增函数，如180°>30°,但tan180°=0<tan 30。

= %.、fl Tt\2. （2019年辽宁大连模拟）函数y == tan^+3J 的最小正周期为（）D ・2兀A.B. 712 C ・7C3. 函数y=tan^x—的定义域为（）A.3K」寸，kWZB.3兀」xH2foi+亍，kWZ >C. \x兀工加+才kWZ >D.rr兀工2£兀+才k^7j【答案】A4・（2017年广东广州月考）函数y=tan[兀+彳的单调递增区间为（）/ 、A.比兀一申,炽+号（PWZ）B.血r, kit+Tt[k丘Z）C.br—竽，br+》（PWZ）D.阮+竽（圧刃【答案】C養师讲堂11题型❶正切函数的性质【例1】求函数y=tan歩+扌的定义域、周期和单调区间.【解题探究】利用正切函数的定义域，求出函数的定义域, 通过正切函数的周期公式求出周期，结合正切函数的单调增区间求出函数的单调增区间.TT TT TT |【解析】由尸+呂工㊁kwZ,解得兀工亍+2匕kwjj.・••定义域为”兀工*+2匕kEZ7T 周期T=z=2.兀27C . 7C . 7C 7U .t由—㊁+航＜己+3＜㊁+'兀，kEZ, 解得—3+2RV JV V亍+2k, k^Zt.・••函数的单调递增区间为［—1+2^, *+2彳，胆Z.【方法规律】可采用整体化思想，即把or+卩作为一个整］体,再结合正切函数的性质求解. I求函数y=tan — 的单调区间. 【解析】y=tan / kE 乙 I 兀I 7 1 兀兀I 7 BB r\ I kit 攵 c I kjt 9 2 2 o 2 2兀 4TI 得一了+2£兀VxV 丁+2£兀，k^Tj. 2TI4兀即该函数的递减区间是一了+2加，了+2刼伙UZ).|]题型0比较正切值的大小（17兀）（22兀）【例2] 比较tan —宁与tan 一#的大小.\ T丿\ D丿【解题探究】利用诱导公式化简函数的表达式，自变量在正切函数的同一个单调区间内，即可判断大小.17兀）【解析】tanl — 4 =—tan 4, （22兀） tan _ 2兀 2兀 T >tan / （17^ / 22r 4丿 >tan 一 5j /. tan 即tan 7T 7C 2兀 71 —〒了 £【方法规律】运用正切函数单调性比较大小的方法I(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间i 内.⑵运用单调性比较大小关系. 1比较sin 42° , cos 47° , tan 43°三者的大小.变式训练2【解析1 Vcos 47° = cos(90° - 43°) = sin 43° > sin 42° , tan 43° > sin 43° , sin 42° < cos 47° < tan 43°.Il题型®正切函数的图象及应用【例3】画岀函数歹=Itan xl+tan x的图象，并根据图象求出函数的定义域，周期和单调区间.【解题探究】根据函数的解析式,画出函数的图象,结合图形求出它的定义域、值域和单调性、周期性即可•【解析】•••y=ltanjd+tanx=kit , kWZ,•••画出函数y=ltanxl + tanx 的图象，如图所示. ./I I /, >5 2 2' 兀 ] hi,㊁+A TI , kWTn 2tan x,0,则该函数的定义域是加弓+航，gz，值域是［0,+oo),单调递增区间是航，bl + t，炸乙最小正周期是7Li 【特别提醒】本题考查了正切函数的图象与性质的应用问i i ! I题，也考查了数形结合思想的应用问题，是基础题目.I I成立的x 的集合.故使不等式成立的%的集合为71 71x — +Z ：7i<x<2+kn, kWZ \变式训练3 利用正切函数的图象，求使不等式tan %>-1 【解析】作出函数y=tanx 的图象如图所示.虢堂感悟易错警示将正切曲线的对称中心误认为是(hr, 0)(TT【示例】y=tan(2x+6))图象的一个对称中心为片，号<0<£,贝g 0= ____________ .【错解】f【错因】误认为y=tan %的对称中心是伙兀，0),令2兀+0=kjt,炸乙当时，解得0=bi—丁，kWZ,由一㊁V0Vy7T而误得0=y【正解】函数y=tanx的对称中心是=，其中kEZ, 故令2兀+0=( 其中兀=号口rt 八kit 2兀即0= 2 — 3， kEZ._ 7t 7T又—产Xy7T 所以当P=1时，0=—石; 当k=2 时，&=£•所以0=_£或彳.【答案】一?或扌【警示】1 •对正切函数图象的对称中心要把握准确，是 2.要特别注意所求参数的范围，注意分情况讨论.kitOj 而非伙兀，0)伙WZ).反思总结1.正切函数的周期性、(兀、由诱导公式tan(x4-71)=tan x 且兀工㊁+比兀，丿可知，兀是正切函数的一个周期且是最小正周期.2.正切函数的奇偶性与对称性由诱导公式tan(—x)=—tan x可知，正切函数y=tan兀为奇函数.而由y=tanx的周期性可知，正切函数的图象为中心(kn )对称图形，其对称中心为㊁，O(gz)・43・正切函数的单调性与值域( \ 7T TT由正切线可知正切函数y=tanx在一刁㊁上是增函数，而由正切函数的周期性可知，它的单调递增区间是\7t 7T一㊁+炕㊁+阿伙WZ).由正切线可知，正切函数y=tanx的值域为R・課堂演练jr1.（2019年吉林月考）函数y=tanx+^的图象的一个对称\ D丿中心为（）( 、A・(0,0) B.s，、C・(71, 0) D.【答案】D【解析】令兀+申=号,kEZ,解得兀=号-专,kEZ,当k 3兀( 兀、=1时，得x=^故函数y=tan[x+^j的图象的一个对称中心为[15，°J•故选D.7T 712.函数y=tan彳一&£兀£才且xHoJ的值域是(A. [-1,1]B. [-l,0)U(0,l] C・(一°°，1] D・[一1， +°°) 【答案】B【解析］根据函数的单调性可得•【答案】D7C【解析】—x} — ltan( — 2x)1 — Itan 2%l=f{x)为偶函数，T —3. 函数y = ltan 2兀1是(A.周期为兀的奇函数C.周期为£的奇函数 )B.周期为兀的偶函数 D.周期为£的偶函数4・（2017年四川广安期末）函数y=tan 2%-T 的单调递增区间为【解析】由hr —号＜2兀一扌＜比兀+号，解得号一令＜兀ez.【答案】7t kit . 5兀)12，2 112；V 竽+誇，故函数沧）的单调递增区间为kit兀 ■ ■"12J加 5兀、会员升级服务第一拨•清北季□扫 cj£J-iW方法论课； & 衡水名校卞旨為华学羯向所有射2◎矛述自己方学之跆: 営俏悄釣上线了；窿^鉉很乡人邂制他M 会司字谆/等你洱矽……/。

高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象(5)教学教案新人教A版必修

1.4.3《正切函数的性质与图象》一、三维目标知识目标：1.能用单位圆中的正切线画出正切函数的图象；2.熟练根据正切函数的图象推导出正切函数的性质；3.掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。

能力目标：1.通过类比，联系正弦函数图象的作法作出正切函数的图象；2.能学以致用，结合图象分析得到正切函数的性质。

德育目标：会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学生的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力。

二、重点难点重点：正切函数的图象及其主要性质。

难点：熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题。

三、教学方法启发、探究式发现教学四、教学过程（一）复习引入：问题：正切函数的定义、诱导公式、三角函数线（二）讲授新课：探究1：如何利用前面学过的知识来研究正切函数tan y x =的性质？（定义域、周期、奇偶性、值域、单调性）探究2：利用正切线画出正切函数x y tan =在一个周期⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ内的图象：π-O 0 π23-π2π-2ππ23yx x正切曲线是由被相互平行的直线()2x k k Z ππ=+∈所隔开的无穷多支曲线组成的。

正切函数的性质：（引导学生观察，共同获得）（1）定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ （2）值域：R（3）周期性：π=T（4）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数（5）单调性：在每个开区间z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++-ππππ2,2内单调递增思考：正切函数是整个定义域上的增函数吗？（三）例题讲解：例1 求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32tan ππx y 的定义域、周期性和单调区间。

例2 比较大小：（1）tan1670与tan1730 （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-413tan π与⎪⎭⎫ ⎝⎛-517tan π例3 解不等式：tan x ≥（四）课堂小结：正切函数tan y x =的图象及其性质。

（五）课后作业：见课本。

版高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象

思考1
正切函数的定义域是什么？
答案
{x|x∈R且x≠
π 2
＋kπ，k∈Z}.
思考2
诱导公式tan(π＋x)＝tan
x，x∈R且x≠
π 2
＋kπ，k∈Z说明了正切
函数的什么性质？
答案周期性.
答案
思考3
诱导公式tan(－x)＝－tan
x，x∈R且x≠
π 2
＋kπ，k∈Z说明了正
切函数的什么性质？
答案奇偶性.
跟踪训练 2 求函数 y＝tan2x－π3的单调区间. 解 ∵y＝tan x 在 x∈－π2＋kπ，π2＋kπ (k∈Z)上是增函数， ∴－π2＋kπ<2x－π3<π2＋kπ，k∈Z，
即－1π2＋k2π<x<152π＋k2π，k∈Z.
∴函数 y＝tan2x－π3的单调递增区间是
解答
反思与感悟
求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线.
跟踪训练 1 求函数 y＝ tan x＋1＋lg(1－tan x)的定义域. 解由题意得1ta－n xta＋n 1x>≥00，，即－1≤tan x<1. 在－π2，π2内，满足上述不等式的 x 的取值范围是－π4，π4，又 y＝tan x 的周期为 π，所以函数的定义域是kπ－π4，kπ＋π4(k∈Z).
解析答案
反思与感悟
运用正切函数的单调性比较大小的步骤： (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内； (2)运用单调性比较大小关系.
跟踪训练 3 比较大小：tan－74π___>__tan－95π.
解析 ∵tan－74π＝－tan2π－π4＝tan π4，

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1.4.3 正切函数的性质与图象
A 级：基础巩固练
一、选择题
1．下列关于函数y ＝tan ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3的说法正确的是( ) A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6
，5π6上单调递增 B ．最小正周期是π
C ．图象关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，0成中心对称 D ．图象关于直线x ＝π6
成轴对称答案 B
解析对于A ，由k π－π2＜x ＋π3＜k π＋π2
，k ∈Z ，得 k π－5π6＜x ＜k π＋π6，k ∈Z .当k ＝0时，函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6
，π6. 当k ＝1时，函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6
，7π6，故错误；对于B ，函数的最小正周期为T ＝π，B 正确；对于C ，由x ＋π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝－π3＋k π2
，k ∈Z ，即函数f (x )的对称中心为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π3＋k π2，0，k ∈Z ，C 错误；对于D ，正切函数没有对称轴，D 错误．故选B ． 2．函数f (x )＝tan x 1＋cos x
的奇偶性是( ) A ．奇函数
B ．偶函数
C ．既是奇函数，又是偶函数
D ．既不是奇函数，也不是偶函数
答案 A
解析要使函数f (x )有意义，必须满足
⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠k π＋π2(k ∈Z )，1＋cos x ≠0，即x ≠k π＋π2
，且x ≠(2k ＋1)π(k ∈Z )，∴函数f (x )的定义域关于原点对称．又f (－x )＝tan (－x )1＋cos (－x )＝－tan x 1＋cos x ＝－f (x )，∴f (x )＝tan x 1＋cos x
是奇函数．
3．下列各式中正确的是( )
A ．tan 4π7>tan 3π7
B ．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4<tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－17π5 C ．tan4>tan3
D ．tan281°>tan665°
答案 C
解析对于A ，tan 4π7<0，tan 3π7
>0. 对于B ，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π4＝－1， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π5＝tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2π5＝－tan 2π5<－tan π4. ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4>tan ⎝
⎛⎭⎪⎫－17π5. 对于C ，tan4>0，tan3<0，故tan4>tan3.
对于D ，tan281°＝tan101°<tan665°＝tan125°.
4．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得的线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4的值是( )
A ．0
B ．1
C ．－1
D ．π4
答案 A
解析由题意，可知T ＝π4，所以ω＝ππ4
＝4，即f (x )＝tan4x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan ⎝
⎛⎭⎪⎫4×π4＝tan π＝0，故选A ．
5．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2
，3π2内的图象是( )
答案 D
解析当π2＜x ＜π时，tan x ＜sin x ，y ＝2tan x ＜0，排除A ，B ．当π＜x ＜3π2
时，tan x ＞sin x ，y ＝2sin x ，排除C ．故选D ．
二、填空题
6．已知f (x )＝a sin x ＋b tan x ＋1满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5＝7，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫99π5＝________. 答案－5
解析 ∵f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π5＝a sin π5＋b tan π5＋1＝7， ∴a sin π5＋b tan π5
＝6. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫99π5＝f ⎝
⎛⎭⎪⎫20π－π5＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5 ＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5＋b tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π5＋1 ＝－a sin π5－b tan π5
＋1 ＝－⎝
⎛⎭⎪⎫a sin π5＋b tan π5＋1＝－5.
7．设点P (x 0，y 0)是函数y ＝tan x 与y ＝－x ，x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π图象的交点，则(x 20＋1)cos 2x 0的值是________．
答案 1
解析 ∵点P (x 0，y 0)是函数y ＝tan x 与y ＝－x ，x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫π2，π图象的一个交点，∴x 20＝tan 2x 0.
∴(x 20＋1)cos 2x 0＝(tan 2x 0＋1)cos 2x 0＝1cos 2x 0
cos 2x 0＝1. 8．若tan ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，则x 的取值范围是__________．答案 k π2－π6<x ≤k π2＋5π24
，k ∈Z 解析 ∵tan ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1， ∴k π－π2<2x －π6≤π4
＋k π，k ∈Z . ∴k π2－π6<x ≤k π2＋5π24
，k ∈Z . 三、解答题
9．已知－π4≤x ≤π4
，f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋5，求f (x )的最大值和最小值，并求出相应的x 值．
解 ∵f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋5＝(tan x ＋1)2
＋4，又x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π4，π4，∴tan x ∈[－1,1]． ∴f (x )min ＝4，此时tan x ＝－1，x ＝－π4
. f (x )max ＝8，此时tan x ＝1，x ＝π4
.
B 级：能力提升练已知函数f (x )＝x 2＋2x tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2. (1)当θ＝－π6
时，求函数的最大值和最小值； (2)若y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数，求θ的取值范围．
解 (1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1＝⎝
⎛⎭⎪⎫x －332－43.
∵x ∈[－1，3]，
∴当x ＝33时，f (x )取得最小值－43
，当x ＝－1时，f (x )取得最大值233
. (2)f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2
θ是关于x 的二次函数，它的图象的对称轴为直线x ＝－tan θ.
∵y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数，
∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3，
即tan θ≥1或tan θ≤－ 3. 又θ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2， ∴θ的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2
，－π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2.。