高考数学一轮复习 专题2.10 函数最值(讲)
高考理科数学第一轮复习第二章函数 2.10函数的最值
2.10函数的最值一．知识点(1)函数的最值的定义函数y=f(x)，假定定义域为A ，若存在R x ∈0，使得对任意的x R ∈，恒有)()(0x f x f ≥))()((0x f x f ≤成立，则称)(0x f 为函数的最小（大）值。
(2)求函数最值的方法1.二次函数法(配方法)：利用换元法将函数转化为二次函数的顶点式,根据自变量的范围求最值；2.判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y 的最值,但必须检验这个最值在定义域内有相应的x 的值；3.不等式法：利用平均不等式求最值,注意一正二定三能等；4.换元法:通过变量代换,化繁为简,化难为易,化未知为已知,其中三角代换是重要方法5.数形结合法(图象法)：当一个函数图象可作时，通过图象可求其最值；6.单调性法：利用函数的单调性求最值；7.求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值.(3)几个注意点：1.求函数的最值与求函数的值域很多情况下是同一事情，其方法也基本一样.2.数形结合是解题的一个非常重要的思想.3.二次函数在闭区间上求最值时往往需要考虑根据区间与对称轴的相对位置进行分类讨论4.恒成立问题往往可转化为最值(如0)(>x f 恒成立,即)(x f 的最小值大于0)二．应用举例例1．求下列函数的最值 ①x x y 212-+= ②432+=x x y ③21x x y -= 解：①换元法：45max =y ,无最大值 ②判别式法(不等式法): 43max =y 43,min -=y ③三角换元法(不等式法): 21max =y ,0,min =y 练习：1.设y x y xy x z y x y x 3634,62,0,22--++==+≥求的最值18max =z 227,min =z 2．已知实数x ，y 满足23x y -=，则31++x y 的最小值是（633-），最大值是（6213+） 例2:书例2(分段函数)．数形结合法练习:已知{}642,6)(2++-+-=x x x x f ,则=max f 6例3:书例3练习:已知)91(log 2)(3≤≤+=x x x f ,求函数[]()22)()(x f x f x g +=的最值22max =y 6,min =y 例4:书例1例5设xa x x x f ++=2)(2,[)+∞∈,1x (1) 当21=a 时，求)(x f 的最小值。
高中数学《函数的最值》基础知识与讲义专题
高中数学《函数的最值》基础知识与讲义专题一、基础知识：1、函数的最大值与最小值：（1）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≤，那么称0x x =为函数()f x 的一个最大值点，()0f x 称为函数()f x 的最大值（2）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≥，那么称0x x =为函数()f x 的一个最小值点，()0f x 称为函数()f x 的最小值 （3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点（4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值。
例如：()[)ln ,1,4f x x x =∈，由单调性可得()f x 有最小值()10f =，但由于x 取不到4，所以尽管函数值无限接近于ln 4,但就是达不到。
()f x 没有最大值。
（5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如()sin f x x =，其最大值点为()22x k k Z ππ=+∈，有无穷多个。
2．“最值”与“极值”的区别和联系右图为一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x（1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．3、结论：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点5、利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；（2）将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础7、在比较的过程中也可简化步骤：（1）利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点 （2）极小值点不会是最大值点，极大值点也不会是最小值点 8、最值点的作用 （1）关系到函数的值域（2）由最值可构造恒成立的不等式：例如：()ln 1f x x x =−+，可通过导数求出()()min 10f x f ==，由此可得到对于任意的0x >，均有()()min 0f x f x ≥=，即不等式ln 1x x ≤− 二、典型例题： 例1：求函数()xf x xe−=的最值思路：首先判定定义域为R ,对函数进行求导，根据单调区间求出函数的最值 解：()()'1x fx x e −=−，令()'0f x >,解得：1x <()f x ∴的单调区间为：()()max 1f x f e∴==，无最小值 小炼有话说：函数()xf x xe−=先增再减，其最大值即为它的极大值点，我们可以将这种先增再减，或者先减再增的函数成为“单峰函数”，在单峰函数中，极值点即为函数的某个最值点。
高考数学第一轮复习(共127课时) 第18课时：第二章 函数——函数的最值
一．课题：函数的最值二．教学目标：掌握函数最值的一般求法，并能利用函数的最值解决一些实际问题，提高分析和解决问题的能力．三．教学重点：函数最值的一般求法以及应用．四．教学过程：（一）主要知识：1．函数最值的意义；2．求函数最值的常用方法：（1）配方法：主要适用于可化为二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的范围；（2）判别式法：主要适用于可化为关于x 的二次方程2()()()0a y xb y xc y ++=的函数()y f x =．在由0∆≥且()0a y ≠，求出y 的值后，要检验这个最值在定义域内是否有相应的x 的值；（3）不等式法：利用基本不等式求最值时一定要注意应用的条件；（4）换元法：用换元法时一定要注意新变元的取值范围；（5）数形结合法：对于图形较容易画出的函数的最值问题可借助图象直观求出；（6）利用函数的单调性：要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上函数的最值．（二）主要方法：1．函数的最值问题实质上是函数的值域问题，因此求函数值域的方法，也是求函数的值域的方法，只是答题的方式有所差异；2．无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，不等式法及判别式法尤其如此．（三）例题分析：例1．求下列函数的最大值或最小值：（1） 4y =2）y x =3）222251x x y x x ++=++．解：（1）4y =4=-2320x x +-≥得13x -≤≤， ∴当1x =时，函数取最小值2，当 1 3x or x =-=时函数取最大值4．（21 (0,)2t t x =≥≤，则212t x -=，∴2211(1)122t y t t -=-=-++， 当0t =，即12x =时取等号，∴函数取最大值12，无最小值． （3）解法（一）用判别式法： 由222251x x y x x ++=++得2(2)(2)50,y x y x y x R -+-+-=∈，①若2y =，则25=矛盾， ∴2y ≠，②由2y ≠，这时，22(2)4(2)(5)0y y y y ≠∆=----≥⎧⎨⎩，解得：26y <≤，且当6y =时，12x =-， ∴函数的最大值是6，无最小值． 解法（二）分离常数法： 由222251x x y x x ++=++2321x x =+++23213()24x =+++ ∵2133()244x ++≥，∴26y <≤ ，∴函数的最大值是6，无最小值． 例2．（1）函数x y a =在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a = 2 ．（2）对于满足40≤≤p 的一切实数，不等式342-+>+p x px x 恒成立，则x 的取值范围为(,1)(3,)-∞-+∞．（3）已知函数()21x f x =-，2()1g x x =-，构造函数()F x ，定义如下：当|()|()f x g x ≥时，()|()|F x f x =，当|()|()f x g x <时，()()F x f x =-，那么()F x （ B ）()A 有最小值0，无最大值 ()B 有最小值1-，无最大值()C 有最大值1，无最小值 ()D 无最小值，也无最大值例3．（《高考A 计划》考点17“智能训练第14题”）已知113a ≤≤，若2()21f x ax x =-+在[1,3]上的最大值为()M a ，最小值为()N a ，令()()(g a M a N a =-，（1）求()g a 的函数表达式； （2）判断函数()g a 的单调性，并求出()g a 的最小值．答案参看教师用书93P ．（四）巩固练习：1．函数2(62) [0,3], y x x x =-∈的最大值为 16 ；2．若,,3212x y R x y +∈+=，则xy 的最大值是 6 ；3．若221,x y +=则34x y -的最小值是5-；4．3()3f x ax x a b =-+-，在[2,1]--和 [1,2]上是单调递减函数，则a 的最大值为16．五．课后作业：《高考A计划》考点17，智能训练1，3，4， 8， 10，12，13，15。
函数的最值 课件
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收 益＝总成本＋利润) 解 当 0≤x≤400 时，f(x)＝－12(x－300)2＋25 000； ∴当x＝300时，f(x)max＝25 000， 当x＞400时，f(x)＝60 000－100x是减函数， f(x)＜60 000－100×400＜25 000. ∴当x＝300时 ，f(x)max＝25 000. 即每月生产300台仪器时利润最大， 最大利润为25 000元.
题型三 闭区间上二次函数的最值问题 例3 已知函数f(x)＝x2＋ax＋3，x∈[－1,1].
(1)若a＝1，求函数f(x)的最值； 解 当 a＝1 时，f(x)＝x2＋x＋3＝(x＋12)2＋141， 故函数在[－1，－12]上单调递减， 在[－12，1]上单调递增， 又 f(－1)＝3，f(－12)＝141，f(1)＝5， ∴函数 f(x)的最大值为 5，最小值为141.
(2)若a∈R，求函数f(x)的最小值. 解 ∵f(x)的对称轴为 x＝－a2. 当－2a<－1，即 a>2 时，函数 f(x)＝x2＋ax＋3
在[－1,1]上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝4－a. 当－1≤－a2≤1，即－2≤a≤2 时，f(x)min＝f(－a2)＝a42－a22＋3＝3－a42. 当－a2>1，即 a<－2 时，f(x)＝x2＋ax＋3 在[－1,1]上单调递减，f(x)min＝f(1)＝4＋a.
4－a，a>2， 综上可知，f(x)min＝3－a42，－2≤a≤2，
4＋a，a<－2.
题型四 函数最值的实际应用 例 4 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元，每生产一台仪器需 增加投入 100 元，已知总收益满足函数：R(x)＝400x－12x2，0≤x≤400，
高考数学一轮复习专题2.10函数的综合运用练习(含解析)
第十讲 函数的综合运用考向一新概念题【例1】对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b .设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－316，0【解析】 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－x ，x ≤0，－x 2＋x ，x >0的图象如图所示．设y ＝m 与y ＝f (x )图象交点的横坐标从小到大分别为x 1，x 2，x 3.由y ＝－x 2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，得顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.当y ＝14时，代入y ＝2x 2－x ，得14＝2x 2－x ，解得x ＝1－34(舍去正值)，∴x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34，0.又∵y ＝－x 2＋x 图象的对称轴为x ＝12，∴x 2＋x 3＝1，又x 2，x 3>0，∴0<x 2x 3<⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 322＝14.又∵0<－x 1<3－14，∴0<－x 1x 2x 3<3－116，∴1－316<x 1x 2x 3<0. 【举一反三】1.设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为( )A .]2,49(--B ．[－1,0]C ．(－∞，－2]D .),49(+∞-【答案】A【解析】令F (x )＝f (x )－g (x )＝x 2－3x ＋4－(2x ＋m )＝x 2－5x ＋4－m ，则由题意知F (x )＝0在[0,3]上有两个不同的实数根，因而2(0)0(3)054(4)0F F m ⎧≥⎪⎪≥⎨⎪∆=-->⎪⎩，即402049m m m -≥⎧⎪--≥⎨⎪>-⎩，解之得－94<m ≤－2，故选A考向二函数性质与零点定理综合运用【例2】已知偶函数 满足 ，当0 时， ，则函数 在区间 内的零点个数为。
(讲案、练案、考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)2.10
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1 |x| 解法二：①由 y＝( ) 可知函数是偶函数，其图象关于 y 轴 3 1x 对称，故先作出 y＝( ) 的图象保留 x≥0 的部分，当 x＜0 时， 3 1x 1 其图象是将 y＝( ) (x≥0)的图象关于 y 轴对折，从而得出 y＝( ) 3 3 |x| 的图象． 1 |x| 1 |x＋1| ②将 y＝( ) 向左平移 1 个单位，即可得 y＝( ) 的图象， 3 3 如图所示．
解析：画直线 x＝1 与各曲线相交，即可知，选 D. 答案：D
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4．若函数 y＝ax＋b－1(a＞0 且 a≠1)的图象经过第二、三、 四象限，则一定有( ) A．0＜a＜1 且 b＞0 B．a＞1 且 b＞0 C．0＜a＜1 且 b＜0 D．a＞1 且 b＜0
2
1 1)＝－ . 2 答案：C
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6．函数 f(x)＝a
a x＋1
的值域为__________．
解析：当 0＜a＜1 时，ax＋1＞1， ∴0＜f(x)＜a，即这时 f(x)的值域为(0，a) 当 a＞1 时，ax＋1＞1，∴f(x)＞a，这时的值域为(a，＋∞)． 答案：0＜a＜1 时，(0，a)；a＞1 时，(a，＋∞)
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3．底数与指数函数的图象相对位置关系
(1)由指数函数 y＝ax 与直线 x＝1 相交于点(1，a)可知：在 y 轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变到大． 1 x (2)由指数函数 y＝a 与直线 x＝－1 相交于点(－1， )可知， a 在 y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变到小． 如图所示的指数函数的底数的大小关系为 0＜a4＜a3＜1＜a2＜a1.
函数最值知识点总结
函数最值知识点总结函数最值是指在一个定义域内，函数取得的最大值和最小值。
在数学中，函数最值是一个重要的概念，它可以帮助我们找到函数的极值点和函数的最大值和最小值。
本文将对函数最值的相关知识点进行总结，包括定义、性质、求解方法等内容。
一、函数最值的定义函数最值是指在一个定义域内，函数取得的最大值和最小值。
例如，对于函数f(x)，如果存在一个实数x1，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤f(x1)，那么f(x1)就是函数f(x)在定义域D上的最大值。
类似地，如果存在一个实数x2，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥f(x2)，那么f(x2)就是函数f(x)在定义域D上的最小值。
二、函数最值的性质1. 如果函数f(x)在定义域D上有最大值或最小值，那么它一定是在D的边界上取得的。
2. 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且在内部有一点c使得f(c)是最值，那么f(c)一定是函数f(x)在区间[a,b]内的最大值或最小值。
3. 如果函数f(x)在定义域D上存在最值，那么必须是一个有界函数。
4. 如果函数f(x)在定义域D上存在最值，那么它必定有一个最大值和一个最小值。
三、求解函数最值的方法1. 利用导数对于一元函数f(x)，我们可以通过求解导数f'(x)来找到函数的最值点。
具体步骤如下：（1）求出函数f(x)的导函数f'(x)；（2）解出导函数f'(x)=0的解，即导数为0的点；（3）将解代入原函数f(x)中，求出相应的函数值；（4）比较函数值，得出最大值和最小值。
2. 利用二次函数的性质对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c，我们可以通过二次函数的性质来找到函数的最值点。
具体步骤如下：（1）求出二次函数的顶点坐标（-b/2a,f(-b/2a)）；（2）根据a的正负来判断最值点的情况：a）若a>0，函数有最小值，最小值为f(-b/2a)；b）若a<0，函数有最大值，最大值为f(-b/2a)。
最新高考第一轮复习数学：2.10函数的最值教案(含习题及答案)
2.10 函数的最值●知识梳理求函数最值的常用方法有：（1）配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值；（2）判别式法：若函数y =f （x ）可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程a （y ）x 2+ b （y ）x +c （y ）=0，则在a （y ）≠0时，由于x 、y 为实数，故必须有Δ=b 2（y ）－4a （y ）· c （y ）≥0，从而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的x 值.（3）不等式法：利用平均值不等式取等号的条件确定函数的最值.（4）换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.（5）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出函数的最值. （6）函数的单调性法. ●点击双基1.（2003年春季北京）函数f （x ）=)1(11x x --的最大值是A.54B.45C.43D.34 解析：∵1－x （1－x ）=1－x +x 2=（x －21）2+43≥43，∴f （x ）=)1(11x x --≤34，f （x ）max =34.答案：D2.若x 2+y 2=1，则3x －4y 的最大值为 A.3 B.4 C.5 D.6解析：∵x 2+y 2=1，∴可设x =cos α，y =sin α.∴3x －4y =3cos α－4sin α=5sin （α+ϕ）≤5. 答案：C3.（2004年春季安徽）函数y =x －x （x ≥0）的最大值为___________________.答案：41 4.设x ＞0，y ＞0且3x +2y =12，则xy 的最大值是___________. 解析：∵x ＞0，y ＞0，∴3x ·2y ≤（223y x +）2＝62⇒xy ≤6（当且仅当3x ＝2y 时等号成立）.答案：65.函数y =|x －1|+|x －3|的最小值是______________.解析：在数轴上，设1、3、x 对应的点分别是A 、B 、P ，∴y =|x －1|+|x －3|=|P A |+|PB |≥|AB |=2.答案：2 ●典例剖析【例1】 （2004年上海，18）某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x 、y （单位：m ）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m 2，问x 、y 分别为多少时用料最省？（精确到0.001 m ）xy解：由题意得x ·y +21·x ·2x=8， ∴y =xx 482-=x 8－4x （0＜x ＜42）. 于是，框架用料长度为L =2x +2y +2（22x ）=（23+2）x +x16≥2)223(16+=4246+.当且仅当（23+2）x =x16，即x =2234+=8－42时，等号成立.此时，x ≈2.343，y =22≈2.828.故当x 为2.343 m ，y 为2.828 m 时，用料最省.【例2】 设f （t ）=⎪⎩⎪⎨⎧∈≤≤+-∈<≤+),,4020(41),,200(1121N N t t t t t tg （t ）=－31t +343（0≤t ≤40，t ∈N *）. 求S =f （t ）g （t ）的最大值.解：当0≤t ＜20时，S =（21t +11）·（－31t +343）=－61（t +22）（t －43）.∵22243-=10.5，又t ∈N ，∴t =10或11时，S max =176.当20≤t ≤40时，S =（－t +41）（－31t +343）=31（t －41）（t －43）.∴t =20时，S max =161.综上所述，S 的最大值是176.【例3】 设0＜a ＜1，x 和y 满足log a x ＋3log x a －log x y ＝3，如果y 有最大值42，求这时a 和x 的值.解：原式可化为log a x ＋x a log 3－x y a a log log ＝3，即log a y ＝log a 2x －3log a x ＋3＝（log a x －23）2＋43，知当log a x ＝23时，log a y 有最小值43. ∵0＜a ＜1，∴此时y 有最大值a 43.根据题意有a 43＝42⇒a ＝41.这时x ＝a 23＝（41）23＝81. 评述：本题是已知函数的最值，求函数式中的字母参数的值.这类问题，也是常见题型之一.深化拓展已知f （x ）=2+log 3x （1≤x ≤9），求函数g （x ）=［f （x ）］2+f （x 2）的最大值与最小值. 解：由f （x ）的定义域为［1，9］可得g （x ）的定义域为［1，3］. 又g （x ）=（2+log 3x ）2+（2+log 3x 2）=（log 3x +3）2－3， ∵1≤x ≤3，∴0≤log 3x ≤1.∴当x =1时，g （x ）有最小值6； 当x =3时，g （x ）有最大值13.答案：当x =1时，g （x ）有最小值6； 当x =3时，g （x ）有最大值13.●闯关训练 夯实基础1.若奇函数f （x ）在［a ，b ］上是增函数，且最小值是1，则f （x ）在［－b ，－a ］上是A.增函数且最小值是－1B.增函数且最大值是－1C.减函数且最小值是－1D.减函数且最大值是－1 解析：f （a ）=1，∴f （－a ）=－1. 答案：B2.（2003年北京）将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形.要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为______________.解析：设正方形周长为x ，则圆的周长为1－x ，半径r =π21x-. ∴S 正=（4x ）2=162x ，S 圆=π·22π4)1(x -.∴S 正+S 圆=π16484)(π2+-+x x （0＜x ＜1）.∴当x =4π4+时有最小值.答案：4π4+3.（2005年北京海淀模拟题）设函数f （x ）的定义域为R ，若存在常数M ＞0，使|f （x ）|≤M |x |对一切实数x 均成立，则称f （x ）为F 函数.给出下列函数：①f （x ）=0；②f （x ）=x 2；③f （x ）=2（sin x +cos x ）；④f （x ）=12++x x x；⑤f （x ）是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数x 1、x 2，均有|f （x 1）－f （x 2）|≤2|x 1－x 2|.其中是F 函数的序号为___________________. 答案：①④⑤4.函数y =xx213+-（x ≥0）的值域是______________.解析：由y =xx213+-（x ≥0），得x =123+-y y ≥0.∴－21＜y ≤3. 答案：（－21，3］5.求函数y =|x |21x -的最值. 解：三角代换.设x =cos θ，θ∈［0，2π］， （f （x ）是偶函数，不必取θ∈［0，π］）则y =21sin2θ.∴y max =21，y min =0. 培养能力6.设函数f （x ）=x 2+x +21的定义域是［n ，n +1］（n ∈N ），问f （x ）的值域中有多少个整数？解：∵f （x ）=（x +21）2+41的图象是以（－21，41）为顶点，开口向上的抛物线，而自然数n ＞－21，∴f （x ）的值域是［f （n ），f （n +1）］，即［n 2+n +21，n 2+3n +25］.其中最小的整数是n 2+n +1，最大的整数是n 2+3n +2，共有（n 2+3n +2）－（n 2+n +1）+1=2n +2个整数.7.已知函数g （x ）=lg ［a （a +1）x 2－（3a +1）x +3］的值域是R ，求实数a 的取值范围. 解：由题意知，应使h （x ）=a （a +1）x 2－（3a +1）x +3能取到一切正实数. ①a =0时，h （x ）=－x +3，显然能取到一切正实数； ②a =－1时，h （x ）=2x +3，也能取到一切正实数；③a ≠0且a ≠－1时，∵h （x ）=a （a +1）x 2－（3a +1）x +3是二次函数，∴必须有⎩⎨⎧≥+-+=>+.0)1(12)13(,0)1(2a a a Δa a解得3323--≤a ＜－1或0＜a ≤3323+-. 综上所述，a 的取值范围是［3323--，－1］∪［0，3323+-］.探究创新8.已知函数f （x ）=x （1－x 2），x ∈R . （1）当x ＞0时，求f （x ）的最大值；（2）当x ＞0时，指出f （x ）的单调性，并用定义证明； （3）试作出函数f （x ）（x ∈R ）的简图.解：（1）∵x ＞0，欲求f （x ）的最大值，必有1－x 2＞0，y 2=x 2（1－x 2）2=21·2x 2（1－x 2）（1－x 2）≤21·［3)1()1(2222x x x -+-+］3=274，∴y ≤332=932. 当且仅当2x 2=1－x 2，即x =33时，取“=”，即f （x ）max =f （33）=932. （2）由（1）知，当x ∈（0，33］时，f （x ）单调递增，x ∈［33，+∞）时，f （x ）单调递减.设x 2＞x 1＞0，则f （x 2）－f （x 1）=－x 23+x 2－（－x 13+x 1） =（x 2－x 1）－（x 2－x 1）（x 22+x 1x 2+x 12） =（x 2－x 1）［1－（x 22+x 1x 2+x 12）］.当0＜x 1＜x 2≤33时，x 2－x 1＞0，1－（x 22+x 1x 2+x 12）＞0.∴f （x 2）＞f （x 1）.∴f （x ）在（0，33］上递增. 当33≤x 1＜x 2时，x 2－x 1＞0，1－（x 22+x 1x 2+x 12）＜0，∴f （x 2）＜f （x 1）.∴f （x ）在［33，+∞）上递减.（3）注：图象过点（－1，0）、（0，0）、（1，0），关于原点对称.评述：第（1）题也可用导数解决. ∵f '（x ）=1－3x 2， 令f '（x ）=0，∴x =±33.又x ＞0，∴x =33. 通过检验单调性知，当x =33时，f （x ）取得最大值，其最大值为932，以下解法同上.●思悟小结1.求函数的最值与求函数的值域是同一类问题，都必须熟练掌握本文开头列出的六种方法.2.利用判别式法及不等式法求最值时，都需检验等号能否取到.另外，利用判别式法解决问题时，一定要考虑二次项系数可否为零.当二次项系数为零时，不能用判别式法解决问题.●教师下载中心 教学点睛利用导数先求极大值和极小值，然后确定最值，也是求函数最值的常用方法.复习本节时应适当渗透导数的有关知识.拓展题例【例1】 已知二次函数y =f （x ）的最大值等于13，且f （3）=f （－1）=5，求f （x ）的解析式.解：∵f （3）=f （－1），∴抛物线y =f （x ）有对称轴x =1.故可设f （x ）=a （x －1）2+13，将点（3，5）代入，求得a =－2.∴f （x ）=－2（x －1）2+13=－2x 2+4x +11.【例2】 已知函数f （x ）的定义域为R ，且对一切x ∈R ，都有f （x +2）=f （2－x ），f （x +7）=f （7－x ）.（1）若f （5）=9，求f （－5）的值；（2）已知x ∈［2，7］时，f （x ）=（x －2）2，求当x ∈［16，20］时，函数g （x ）=2x －f （x ）的表达式，并求出g （x ）的最大值和最小值.解：（1）由f （x +2）=f （2－x ），f （x +7）=f （7－x ）可以发现函数f （x ）的图象关于直线x =2，x =7对称，且f （x ）=f ［（x －2）+2］=f ［2－（x －2）］=f （4－x ）=f ［7－（3+x ）］= f ［7+（3+x ）］=f （10+x ）.∴f （x ）是以10为周期的周期函数. ∴f （－5）=f （－5+10）=f （5）=9.（2）根据周期性、图象的对称性，结合图象可得到f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧--22)22()12(x x ].20,17(],17,16[∈∈x x∴g （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧----22)22(2)12(2x x x x ].20,17(],17,16[∈∈x x∵x ∈［16，17］时，g （x ）的最大值为16，最小值为9；x ∈（17，20］时，g （x ）＞g （17）=9，g （x ）的最大值为g （20）=36，∴［g （x ）］max =36，［g （x ）］min =9.。
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专题2.10 函数最值
【考纲解读】
【知识清单】
1 函数最值的求法:
(1)利用函数的单调性:若y=f(x)是[a,b]上的单调增
(减)函数,则f(a),f(b)分别是f(x)在区间[a,b]上取得最小(大)值,最大(小)值.
(2)利用配方法:形如2
(0)y ax bx c a =++≠型,用此种方法,注意自变量x 的范围. (3)利用三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-.
(4)利用“分离常数”法:形如y=ax b
cx d
++ 或2ax bx e y cx d ++=+ (a,c 至少有一个不为零)
的函数,求其最值可用此法.
(5)利用换元法:形如y ax b =+,可用此法求其最值. (6)利用基本不等式:
(7)导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值
【考点深度剖析】
函数的最值是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，求函数最值的方法较多，需结合函数解析式进行选用．
【重点难点突破】
考点1 函数的最值
【2-1】求函数y ＝x ＋4
x
(x <0)的最大值．
【答案】－4
【解析】∵x <0，∴x ＋4x
＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－x －4x ≤－4，
当且仅当x ＝－2时等号成立． ∴y ∈(－∞，－4]． ∴函数的值域为(－∞，－4]．
【2-2】 求函数y ＝x 2
＋2x (x ∈[0,3])的最值． 【答案】最大值为15，最小值为0.
【2-3】 求函数y ＝1－x
2
1＋x 2的最大值．
【答案】1
【解析】y ＝1－x 2
1＋x 2＝2
1＋x
2－1，
∵1＋x 2
≥1， ∴0<21＋x 2≤2.
∴－1<
2
1＋x
2－1≤1.即y ∈(－1,1]． ∴ 函数的值域为(－1,1]．
【2-4】 求函数f (x )＝x －1－2x .的最大值． 【答案】
12
. 【解析】法一：(换元法)令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t
2
2
，
于是y ＝1－t 2
2－t ＝－12
(t ＋1)2
＋1，
由于t ≥0，所以y ≤12，故函数的值域是1
(,]2
-∞.
法二：(单调性法)容易判断f (x )为增函数，而其定义域应满足1－2x ≥0，即x ≤1
2
，所以
11()22
y f ≤=
即函数的值域是1
(,]2
-∞.
【2-5】 求函数y ＝x 2－x
x 2－x ＋1
的最小值．
【答案】最小值为1
3
-.
【思想方法】
求函数最值的五个常用方法
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值．
(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． (4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．
(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． 【温馨提醒】求函数最值的方法多样化，需结合函数解析式的特点选用恰当的方法；在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域．
【易错试题常警惕】
求函数的值域或最值时，忽视函数的定义域导致错误．
设()()()log 1log 3a a f x x x =++-（0a >且1a ≠），且()12f =，则()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
上的最大值是 ． 【答案】。