2017届福建省厦门双十中学高三上学期期末考试理科数学试卷 及答案
2017年高考真题——理科数学(福建卷)解析版
2017年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题（理工农医类）第Ⅰ卷(选择题 共50分)一．选择题1．已知复数z 的共轭复数12z i =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ． 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D【解析】z 的共轭复数12z i =+，则12z i =-，对应点的坐标为(1,2)-，故答案为D ． 2．已知集合{}1,A a =,{}1,2,3B =,则“3a =”是“A B ⊆”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】3,a A B =⇒⊆2A B a ⊆⇒=，或3．因此是充分不必要条件．3．双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A ．25 B ．45CD【答案】C【解析】 2214x y -=的顶点坐标为(2,0)±，渐近线为2204x y -=，即20x y ±=．带入点到直线距离公式d =． 4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ） A ．588 B ．480C ．450D ．120【答案】B【解析】由图知道60分以上人员的频率为后4项频率的和，由图知道(0.030.0250.0150.01)*100.8P =+++=故分数在60以上的人数为600*0．8=480人．5．满足{},1,0,1,2a b ∈-，且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．10 【答案】B【解析】方程220ax x b ++=有实数解，分析讨论①当0a =时，很显然为垂直于x 轴的直线方程，有解．此时b 可以取4个值．故有4种有序数对②当0a ≠时，需要440ab ∆=-≥，即1ab ≤．显然有3个实数对不满足题意，分别为（1,2），（2,1），（2,2）．(,)a b 共有4*4=16中实数对，故答案应为16-3=13．6．阅读如图所示的程序框图，若输入的10k =，则该算法的功能是（ ）A ．计算数列{}12n -的前10项和 B ．计算数列{}12n -的前9项和 C ．计算数列{}21n -的前10项和 D ．计算数列{}21n -的前9项和【答案】C【解析】第一循环：1,2S i ==，10i <第二条：3,3,10S i i ==<第三条：7,4,10S i i ==< …．．第九循环：921,10,10S i i =-==．第十循环：1021,11,10S i i =-=>，输出S ．根据选项，101(12)12S -=-，故为数列12n -的前10项和．故答案A ．7．在四边形ABCD 中，(1,2)AC =，(4,2)BD =-，则四边形的面积为（ ）A B ． C ．5 D ．10【答案】C【解析】由题意，容易得到AC BD ⊥．设对角线交于O 点，则四边形面积等于四个三角形面积之和 即S=11(****)(*)22AO DO AO BO CO DO CO BO AC BD +++=．容易算出，则算出S=5．故答案C8．设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤B ．0x -是()f x -的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点 【答案】D【解析】A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤，错误．00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，并不是最大值点． B ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于y 轴的对称图像，故0x -应是()f x -的极大值点C ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于x 轴的对称图像，故0x 应是()f x -的极小值点．跟0x -没有关系．D ．0x -是()f x --的极小值点．正确．()f x --相当于()f x 先关于y 轴的对象，再关于x 轴的对称图像．故D 正确9．已知等比数列{}n a 的公比为q ，记(1)1(1)2(1)...,n m n m n m n m b a a a -+-+-+=+++*(1)1(1)2(1)...(,),n m n m n m n m c a a a m n N -+-+-+=∙∙∙∈则以下结论一定正确的是（ ）A ．数列{}n b 为等差数列，公差为mq B ．数列{}n b 为等比数列，公比为2mq C ．数列{}n c 为等比数列，公比为2m q D ．数列{}n c 为等比数列，公比为mm q【答案】C【解析】等比数列{}n a 的公比为q,同理可得2222222,m m m mm m m a a a a a a ++++=∙=∙112...m c a a a =∙∙∙,212...,m m m m c a a a +++=∙∙∙321222...,m m m m c a a a +++=∙∙∙2213c c c ∴=∙∴数列{}n c 为等比数列，2221212211212............mm m m m m m m m ma a a a a a q c q q c a a a a a a +++∙∙∙∙∙∙∙====∙∙∙∙∙∙故选C 10．设S ，T ，是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：(){()|};()i T f x x S ii =∈对任意12,,x x S ∈当12x x <时，恒有12()()f x f x <，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是（ ）A ．*,A N B N == B ．{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C ．{|01},A x x B R =<<= D ．,A Z B Q == 【答案】D【解析】根据题意可知，令()1f x x =-，则A 选项正确；令55(13)()228(1)x x f x x ⎧+-<≤⎪=⎨⎪-=-⎩，则B 选项正确； 令1()tan ()2f x x π=-，则C 选项正确；故答案为D ．二．填空题11．利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a ，则时间“310a ->”发生的概率为________ 【答案】23【解析】13103a a ->∴>a 产生0~1之间的均匀随机数1(,1)3a ∴∈112313p -∴==12．已知某一多面体内接于一个简单组合体，如果该组合体的正视图．测试图．俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_______________【答案】12π【解析】由图可知，图形为一个球中间是内接一个棱长为2的正方体，2412R S R ππ∴====球表13．如图ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin 3BAC AB AD ∠===则BD 的长为_______________【解析】sin sin()cos 2BAC BAD BAD π∠=∠+=∠=∴根据余弦定理可得222cos 2AB AD BD BAD AB AD +-∠=∙BD ==14．椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左．右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于__________1【解析】由直线方程)y x c =+⇒直线与x 轴的夹角12233MF F ππ∠=或，且过点1-F （c,0）12212MF F MF F ∠=∠∴122123MF F MF F π∠=∠=即12F M F M ⊥12RT F MF ∴∆在中，12122,,F F c F M c F M ===∴由椭圆的第一定义可得21c a c a =∴==-15．当,1x R x ∈<时，有如下表达式:211.......1n x x x x+++++=- 两边同时积分得：1111122222200011.......1ndx xdx x dx x dx dx x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：23111111111()()...()...ln 2.2223212n n +⨯+⨯+⨯++⨯+=+ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：122311111111()()...()_____2223212nn n n n nn C C C C +⨯+⨯+⨯++⨯=+【答案】113[()1]12n n +-+ 【解析】由01221......(1)n nn n n n n C C x C x C x x +++++=+两边同时积分得：111112222220001......(1).nn n n n n C dx C xdx C x dx C x dx x dx +++++=+⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：122311*********()()...()[()1]222321212n n n n n n nn n C C C C ++⨯+⨯+⨯++⨯=-++ 三．解答题16．（本小题满分13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲．乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中将可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中将可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为,X Y ，求3X ≤的概率；（2）若小明．小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学期望较大？本小题主要考查古典概型．离散型随机变量的分布列．数学期望等基础知识，考查数据处理能力．运算求解能力．应用意识，考查必然和或然思想，满分13分． 解：（Ⅰ）由已知得：小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分3≤X ”的事件为A ，则A 事件的对立事件为“5=X ”，224(5)3515==⨯=P X ，11()1(5)15∴=-==P A P X ∴这两人的累计得分3≤X 的概率为1115． （Ⅱ）设小明．小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为1X ，都选择方案乙抽奖中奖的次数为2X ，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1(2)E X ，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2(3)E X由已知：12~(2,)3X B ，22~(2,)5X B124()233∴=⨯=E X ，224()255=⨯=E X 118(2)2()3∴==E X E X ，2212(3)3()5==E X E X12(2)(3)>E X E X∴他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大．17．（本小题满分13分）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈ （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的极值．本小题主要考查函数．函数的导数．不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．分类与整合思想，数形结合思想．化归与转化思想．满分13分． 解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()1'=-a f x x． （Ⅰ）当2=a 时，()2ln =-f x x x ，2()1(0)'=->f x x x， (1)1,(1)1'∴==-f f ，()∴=y f x 在点(1,(1))A f 处的切线方程为1(1)-=--y x ，即20+-=x y ．（Ⅱ）由()1,0-'=-=>a x a f x x x x可知： ①当0≤a 时，()0'>f x ，函数()f x 为(0,)+∞上的增函数，函数()f x 无极值； ②当0>a 时，由()0'=f x ，解得=x a ；(0,)∈x a 时，()0'<f x ，(,)∈+∞x a 时，()0'>f x()∴f x 在=x a 处取得极小值，且极小值为()ln =-f a a a a ，无极大值．综上：当0≤a 时，函数()f x 无极值当0>a 时，函数()f x 在=x a 处取得极小值ln -a a a ，无极大值．18．（本小题满分13分）如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C 的坐标为(0,10)．分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为129,,....A A A 和129,,....B B B ，连结i OB ，过i A 做x 轴的垂线与i OB 交于点*(,19)i P i N i ∈≤≤．（1）求证：点*(,19)i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程；（2）过点C 做直线l 与抛物线E 交于不同的两点,M N ，若OCM ∆与OCN ∆的面积比为4:1，求直线l 的方程．本小题主要考查抛物线的性质．直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．推理论证能力，考查化归与转化思想，数形结合思想．函数与方程思想．满分13分． 解：（Ⅰ）依题意，过*(,19)∈≤≤i A i N i 且与x 轴垂直的直线方程为=x i(10,)i B i ，∴直线i OB 的方程为10=iy x 设i P 坐标为(,)x y ，由10=⎧⎪⎨=⎪⎩x ii y x 得：2110=y x ，即210=x y ，∴*(,19)∈≤≤i P i N i 都在同一条抛物线上，且抛物线E 方程为210=x y（Ⅱ）依题意：直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为10=+y kx由21010=+⎧⎨=⎩y kx x y得2101000--=x kx 此时2100+4000∆=>k ，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点,M N设：1122(,)(,)M x y N x y ，则121210100+=⎧⎨⋅=-⎩x x kx x4∆∆=OCM OCN S S ∴124=x x又120⋅<x x ，∴124=-x x分别带入21010=+⎧⎨=⎩y kx x y，解得32=±k直线l 的方程为3+102=±y x ，即32200-+=x y 或3+2200-=x y19．（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ABCD ⊥底面，//AB DC ，11AA =，3AB k =，4AD k =，5BC k =，6DC k =(0)k >．（1）求证：11;CD ADD A ⊥平面（2）若直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值为67，求k 的值； （3）现将与四棱柱1111ABCD A B C D -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱，规定：若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为()f k ，写出()f k 的表达式（直接写出答案，不必要说明理由）本小题主要考查直线与直线．直线与平面的位置关系．柱体的概念及表面积等基础知识，考查空间想象能力．推理论证能力．运算求解能力，考查数形结合思想．分类与整合思想．化归与转化思想，满分13分． 解：（Ⅰ）取CD 中点E ，连接BE//AB DE Q ，3AB DE k == ∴四边形ABED 为平行四边形 //BE AD ∴且4BE AD k ==在BCE V 中，4,3,5BE k CE k BC k ===Q222BE CE BC ∴+=90BEC ∴∠=︒,即BE CD ⊥，又//BE AD Q ，所以CD AD ⊥ 1AA ⊥Q 平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD 1AA CD ∴⊥，又1AA AD A =I ，CD ∴⊥平面11ADD A（Ⅱ）以D 为原点，1,,DA DC DD uu u r uuu r uuur的方向为,,x y z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系(4,0,0)A k ，(0,6,0)C k ，1(4,3,1)B k k ，1(4,0,1)A k所以(4,6,0)AC k k =-uuu r ，1(0,3,1)AB k =uuu r ，1(0,0,1)AA =uuu r设平面1AB C 的法向量(,,)n x y z =，则由100AC n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r uuu r得46030kx ky ky z -+=⎧⎨+=⎩取2y =，得(3,2,6)n k =-设1AA 与平面1AB C 所成角为θ，则111,sin |cos ,|||||AA nAA n AA n θ=〈〉=⋅uuu ruuu r uuu r67==，解得1k =．故所求k 的值为1 （Ⅲ）共有4种不同的方案2257226,018()53636,18k k k f k k k k ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩20．（本小题满分14分）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π，图像的一个对称中心为(,0)4π，将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），在将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像．（1）求函数()f x 与()g x 的解析式； （2）是否存在0(,)64x ππ∈，使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定0x 的个数； 若不存在，说明理由．（3）求实数a 与正整数n ，使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2017个零点． 本小题主要考查同角三角函数的基本关系．三角恒等变换．三角函数的图像与性质．函数．函数的导数．函数的零点．不等式等基础知识，考查运算求解能力．抽象概括能力，考查函数与方程思想，数形结合思想，分类与整合思想．化归与转化思想，满分14分． 解：（Ⅰ）由函数()sin()f x x ωϕ=+的周期为π，0ω>，得2ω= 又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4π，(0,)ϕπ∈故()sin(2)044f ππϕ=⨯+=，得2πϕ=，所以()cos 2f x x =将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得cos y x =的图象，再将cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()sin g x x =（Ⅱ）当(,)64x ππ∈时，1sin 2x <<10cos 22x << 所以sin cos 2sin cos 2x x x x >>问题转化为方程2cos 2sin sin cos 2x x x x =+在(,)64ππ内是否有解 设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-，(,)64x ππ∈ 则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++- 因为(,)64x ππ∈，所以()0G x '>，()G x 在(,)64ππ内单调递增又1()064G π=-<，()04G π=> 且函数()G x 的图象连续不断，故可知函数()G x 在(,)64ππ内存在唯一零点0x ， 即存在唯一的0(,)64x ππ∈满足题意 （Ⅲ）依题意，()sin cos 2F x a x x =+，令()sin cos 20F x a x x =+=当sin 0x =，即()x k k Z π=∈时，cos 21x =，从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解，所以方程()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin x a x =-，()x k k Z π≠∈ 现研究(0,)(,2)x πππ∈U 时方程解的情况 令cos 2()sin x h x x=-，(0,)(,2)x πππ∈U 则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈U 的交点情况22cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=，令()0h x '=，得2x π=或32x π= 当x 变化时，()h x 和()h x '变化情况如下表当0x >且x 趋近于0时，()h x 趋向于-∞当x π<且x 趋近于π时，()h x 趋向于-∞当x π>且x 趋近于π时，()h x 趋向于+∞当2x π<且x 趋近于2π时，()h x 趋向于+∞故当1a >时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点，在(,2)ππ内有2个交点； 当1a <-时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内无交点； 当11a -<<时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内有2个交点 由函数()h x 的周期性，可知当1a ≠±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点，从而不存在正整数n ，使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点；当1a =±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)πππU 内有3个交点，由周期性，20133671=⨯，所以67121342n =⨯=综上，当1a =±，1342n =时，函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点21．（本题满分14分）（1）（本小题满分7分）矩阵与变换已知直线:1l ax y +=在矩阵1201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为直线':1l x by +=． （1）求实数,a b 的值；（2）若点00(,)p x y 在直线l 上，且0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求点p 的坐标． 本小题主要考查矩阵．矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力．考查化归与转化思想．满分7分．解：解：（Ⅰ）设直线:1l ax y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 对应的变换作用下的像是(,)M x y '''由12201x x x y y y y '+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得2x x y y y '=+⎧⎨'=⎩又点(,)M x y '''在l '上，所以1x by ''+=，即(2)1x b y ++=依题意121a b =⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩ （Ⅱ）由0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得000002x x y y y =+⎧⎨=⎩解得00y = 又点00(,)P x y 在直线l 上，所以01x =故点P 的坐标为(1,0)（2）（本小题满分7分）坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A 的极坐标为)4π，直线l 的极坐标方程为cos()4a πρθ-=，且点A 在直线l 上． （1）求a 的值及直线l 的直角坐标方程； （2）圆c 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数），试判断直线l 与圆的位置关系． 本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化．圆的参数方程等基础知识．考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分．解：（Ⅰ）由点)4A π在直线cos()4a πρθ-=上，可得a = 所以直线l 的方程可化为cos sin 2ρθρθ+=从而直线l 的直角坐标方程为20x y +-=（Ⅱ）由已知得圆C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=所以圆心为(1,0)，半径1r =以为圆心到直线的距离1d =<，所以直线与圆相交 （3）（本小题满分7分）不等式选讲 设不等式*2()x a a N -<∈的解集为A ，且32A ∈，12A ∉． （1）求a 的值；（2）求函数()2f x x a x =++-的最小值．本小题主要考查绝对猪不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分．解：（Ⅰ）因为32A ∈，且12A ∉，所以322a -<，且122a -≥ 解得1322a <≤，又因为*a N ∈，所以1a = （Ⅱ）因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=当且仅当(1)(2)0x x +-≤，即12x -≤≤时取得等号，所以()f x 的最小值为3。
福建省厦门双十中学高三数学阶段测试卷理科 人教版
福建省厦门双十中学高三数学阶段测试卷理科 人教版1．复数ii -+331等于 （ ）A ．iB ．i -C iD i2．定义集合运算：A ⊙B =｛z | z = xy (x+y )，x ∈A ，y ∈B ｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A ⊙B 的所有元素之和为 （ ） A ．0 B ．6 C ．12 D ．18 3．函数y ＝ln x －1(x ＞0)的反函数为 （ ）A ．y ＝e x -1(x ∈R )B ．y ＝e x +1(x ∈R )C ．y ＝e x ＋1(x ＞1)D ．y ＝e x －1(x ＞1) 4．已知函数sin()cos()1212y x x ππ=--，则下列关于函数性质判断正确的是（ ）A ．最小正周期为π，一个对称中心是(,0)12πB ．最小正周期为π，一个对称中心是(,0)6πC ．最小正周期为2π，一个对称中心是(,0)12πD ．最小正周期为2π，一个对称中心是(,0)6π5．已知a ,b,c 为三条不同的直线，且a ⊂平面M ，b ⊂平面N ，M ∩N =c①若a 与b 是异面直线，则c 至少与a ，b 中的一条相交； ②若a 不垂直于c ，则a 与b 一定不垂直. ③若a //b ，则必有a //c ；④若a ⊥b ，a ⊥c 则必有M ⊥N以上的命题中正确的是 （ ） A ．②③④ B ．①③ C ．①④ D ．②③ 6．用1个1，2个2，3个3这6个数可以组成多少个不同的6位数 （ ） A ．20个 B ．60个 C ．120个 D ．90个7．已知双曲线12222=-b y a x 的两条渐近线的夹角为3π（双曲线在角内），则双曲线的离心率为 （ ）A ．2B ．33C ．362 D ．3328．已知实数y x y x u yx y x 24,034,22-++=≥+则满足的最小值是（ ）A ．1B ．4C ．－4D ．－19．满足函数)(||)(R x q px x x x f ∈++=是奇函数，且在R 上是增函数的条件是 （ ） A ．p >0 ,q=0 B ．p <0 ,q=0 C ．p ≤0，q ＝0 D ．p ≥0，q =0 10．已知函数sin3y x π=-在区间[]0,t 上至少取得2个最大值，则正整数t 的最小值是（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．1211．有一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为a ，现用一张正方形包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小边长应为 （ ） A ．a 262+ B ．a )62(+C ．a 231+ D ．a )31(+ 12．如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,3,3,4,6,5,10,…，记其前n为S n ，则S 19等于 （ ） A ．129B ．172C ．228D ．283二、填空题（每题4分，共16分）13．函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的部分数值如下:则函数y =lg f (x )的定义域为___________.14．设常数0a >，42ax ⎛ ⎝展开式中3x 的系数为32，则2lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=_____. 15．设函数⎩⎨⎧>≤==-=,)()(),(;)()(),()(,)(,2)(2时时定义x g x f x g x g x f x f x h x x g x x f 则函数)(x h 的最大值是 .16．如图，O 是半径为l 的球心，点A 、B 、C 在球面上， OA 、OB 、OC 两两垂直，E 、F 分别是大圆弧AB 与AC 的中点，则点E 、F 在该球面上的球面距离是三、解答题 17．（本题12分）1已知A 、B 、C 是ABC ∆三内角，向量)3,1(-=m ，)sin ,(cos A A n =且1=⋅n m （1）求角A ；（2）若C BBtan ,32cos 2sin 1求-=+.18．（本题12分）某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检). 若安检不合格，则必须整改.若整改后经复查仍不合格，则强制关闭. 设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算(结果精确到0.01)：（1）恰好有两家煤矿必须整改的概率；（2）某煤矿不被关闭的概率；（3）至少关闭一家煤矿的概率. 19．（本题12分）已知a 1=2，点(a n ,a n +1)在函数f (x )=x 2+2x 的图象上，其中=1，2，3，… （1）证明数列｛lg(1+a n )｝是等比数列；（2）设T n =(1+a 1) (1+a 2) …(1+a n )，求数列｛a n ｝的通项及T n ；20．（本题12分）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB =2，AF =1，M 是线段EF 的中点.（1）求证AM ∥平面BDE ；（2）求二面角A —DF —B 的大小；（3）试在线段AC 上确定一点P ，使得PF 与BC 所成角是600.21．（本题12分）已知双曲线C ：22221x y a b-=（a >0,b >0）3右焦点为F ,过点G （1,0）且斜率为1的直线与双曲线C 交于A 、B 两点，并且4=⋅FB FA 。
厦门市2017届高中毕业班第一次质量检查理科数学试题及参考答案
x 1 y 4. 若实数 x，y 满足条件 x 2 y 3 0 ，则 z 的最小值为 x 1 y x
A.
1 3
B.
1 2
C.
3 4
D. 1
5.已知平面 平面 ， =l ，直线 m ，直线 n ，且 m n ，有以下四个结 论： ① 若 n //l ，则 m ③ m 和 n 同时成立 ② 若 m ，则 n //l ④ m 和 n 中至少有一个成立
15． 某三棱锥的三视图如图所示， 则其外接球的表面积为______ 16． 若实数 a， b， c 满足 ( a 2b 1) 2 ( a c ln c ) 2 0 ， 则 bc 的最小值是_________ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17． （本小题满分 12 分） 已知数列 an ，满足 a1 1 ， an 1
11.已知双曲线
x2 y2 1(a, b 0) ，过 x 轴上点 P 的直线 l 与双曲线的右支交于 M，N 两 a 2 b2
点（ M 在第一象限） ，直线 MO 交双曲线左支于点 Q （ O 为坐标原点） ，连接 QN . 若
MPO 60 ， MNQ 30 ，则该双曲线的离心率为
D. 14
7.抛物线 y 2 4 x 的焦点为 F ， 点 A(3, 2) ， 且 P 不在直线 AF 上， 则 PAF P 为抛物线上一点， 周长的最小值为 A. 4 B. 5 C. 4+2 2 D. 5+ 5
8.某校高三年级有男生 220 人， 学籍编号 1， 2， …， 220； 女生 380 人， 学籍编号 221， 222， …， 600.为了解学生学习的心理状态， 按学籍编号采用系统抽样的方法从这 600 名学生中抽取 10 人进行问卷调查（第一组采用简单随机抽样，抽到的号码为 10） ，然后再从这 10 位学生中 随机抽取 3 人座谈，则 3 人中既有男生又有女生的概率是2
2017 年秋高三(上)期末测试卷理科数学
1 2
（B）
3 5
（C）
2 3
（D）
3 4
x ≥ 0 0) ， B(0， 4) ，点 P( x，y ) 的坐标 x，y 满足 y ≥ 0 （11）已知点 A(4， ，则 AP BP 的最小值为 3 x 4 y 12 ≤ 0
（A） 8 （B）
（12）解析： x ln x a ( x 1) ，设 f ( x ) x ln x， g ( x ) a ( x 1) ，
d
| 3 2 4 2 12 |
2 ， 5
1 f ( x ) ln x 1 ，故 f ( x) 在 (0， ) 上单减， e 1 在( ， ) 上单增， f (1) 0 ，故 f ( x) 的图象大致如右， e
x2 y2 2 2 2 （16）已知 P 为双曲线 : 2 2 1( a 0 ，b 0) 与圆 x y c 的一个公共点， F1 ( c， 0)，F2 (c， 0) 分 a b 2] ，则双曲线 的离心率的取值范围是 别为双曲线 的左右焦点，设 | PF1 | k | PF2 | ，若 k (1， .
2017 年秋高三(上)期末测试卷 理科数学
理科数学测试卷共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项： 1. 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证 号填写在答题卡上。 2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦擦干净后，再选涂其它答案标号框。写在本试卷上无效。 3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
福建省福州市2017届高三上学期期末考试理数试题 含答案
理科数学试题第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知复数z 满足()23z i i i -=+,则z =（ ） A ．10B ．32C ．10D ．182.已知集合{}2230A x xx =--≤，{}2B y y x x R =∈，，则A B =( ）A ．∅B ．[]0 1，C ．[]0 3，D ．[1 )-+∞，3。
等差数列{}na 的前n 项和为nS ,若公差2d =-，321S=，则当nS 取得最大值时，n 的值为( ）A ．10B ．9C ．6D ．54。
已知1sin 33x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则cos cos 3x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．33-B ．33C.13- D ．135.在如图所示的程序框图中，若函数()122 0log 0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，，,则输出的结果是（ ）A ．2-B ．0.0625C 。
0.25D ．46.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ）A ．223π-B ．423π- C.53πD ．22π- 7。
已知抛物线()2:20C ypx p =>，过其焦点F 的直线l 交抛物线C 于点 A B ，，若:3:1AF BF =，则直线l 的斜率等于（ ）A ．3B ．1±C 。
2±D ．3±8.四位男生和两位女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是( ）A ．72B ．96C 。
144D ．2409。
已知函数()()sin 0 2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，且函数12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数，下列判断正确的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图象关于点7 012π⎛⎫⎪⎝⎭，对称 C.函数()f x 的图象关于直线712x π=-对称D.函数()f x 在3 4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增10。
2017-2018学年福建省厦门市高三(上)期末数学试卷(理科)
2017-2018学年福建省厦门市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5.00分）已知集合A={x|x（x+1）＞0}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．{x|x＞0}B．{x|x≥1}C．{x|0＜x≤1}D．R∈R，x3﹣x+1≤0”的否定是（）2．（5.00分）命题“∃x∈R，x3﹣x+1＜0 B．∃x0∈R，x3﹣x+1≥0A．∃xC．∀x∈R，x3﹣x2+1＞0 D．∀x∈R，x3﹣x2+10≤03．（5.00分）实数x，y满足x＞y＞0，则（）A．B．﹣＜C．（）x＞（）y D．x2＜xy4．（5.00分）若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若α⊥β，m⊥β，则m∥αB．若m∥α，n⊥m，则n⊥αC．若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，则α∥β D．若m∥β，m⊂α，α∩β=n，则m∥n5．（5.00分）已知实数x，y满足，则目标函数z=2x+y的最大值等于（）A．﹣7 B．﹣ C．2 D．36．（5.00分）如图所示，函数y=tan（2x+）的部分图象与坐标轴分别交于点D，E，F，则△DEF的面积等于（）A．B．C．πD．2π7．（5.00分）已知正方形ABCD的边长为2，对角线相交于点O，P是线段BC上一点，则的最小值为（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．28．（5.00分）函数f（x）=（x∈[﹣2，2]）的大致图象是（）A．B．C．D．9．（5.00分）△ABC中，，A，B是双曲线E的左、右焦点，点C在E 上，若（+）•=0，则E的离心率为（）A．﹣1 B．C．D．10．（5.00分）习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0，2，4，8，12…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．如图是求大衍数列前n项和的程序框图．执行该程序框图，输入m=10，则输出的S=（）A．100 B．140 C．190 D．25011．（5.00分）若锐角φ满足sinφ﹣cosφ=，则函数f（x）=sin2（x+φ）的单调增区间为（）A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）C．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）12．（5.00分）已知函数f（x）=若f（a）≥f（a+），则a的取值范围是（）A．（0，]∪[2，）B．（0，]∪[，）C．（0，]D．（0，）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5.00分）复数z满足（1﹣i）z=2i，则|z|=．14．（5.00分）设等比数列{a n}满足a1=1，a3+a5=6，则a5+a7+a9=．15．（5.00分）直线y=k（x﹣1）与抛物线y2=4x交于A，B两点，若|AB|=，则k=．16．（5.00分）某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12.00分）如图，单位圆O与x，y轴正半轴的交点分别为A，D，圆O上的点C在第一象限．（1）若点C的坐标为（，），延长CD至点B，使得DB=2，求OB的长；（2）圆O上的点E在第二象限，若∠EOC=，求四边形OCDE面积的最大值．18．（12.00分）如图，直角梯形BDFE中，EF∥BD，BE⊥BD，EF=2，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BD，AB=2CD=4，且平面BDFE⊥平面ABCD．（1）求证：AC⊥平面BDFE；（2）若BF与平面ABCD所成角为，求二面角B﹣DF﹣C的余弦值．19．（12.00分）数列{a n}满足++…+=．（1）若数列{a n}为公差大于0的等差数列，求{a n}的通项公式；（2）若b n=（﹣1）n a n a n+1，求数列{b n}的前2n项和S2n．20．（12.00分）已知点F1（﹣，0），圆F2：（x﹣）2+y2=16，点M是圆上一动点，MF1的垂直平分线与MF2交于点N．（1）求点N的轨迹方程；（2）设点N的轨迹为曲线E，过点P（0，1）且斜率不为0的直线l与E交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为B′，证明直线AB′过定点，并求△PAB′面积的最大值．21．（12.00分）已知函数f（x）=（ax2+x+a）e﹣x（a∈R）．（1）若a≥0，函数f（x）的极大值为，求实数a的值；（2）若对任意的a≤0，f（x）≤bln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B为C上两点，且OA⊥OB，设射线OA：θ=α，其中0＜α＜．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）求|OA|•|OB|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f（x）=|x﹣1|+|2x+a|．（1）当a=1时，求证：f（x）+|x﹣1|≥3；（2）若f（x）的最小值为2，求实数a的值．2017-2018学年福建省厦门市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5.00分）已知集合A={x|x（x+1）＞0}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．{x|x＞0}B．{x|x≥1}C．{x|0＜x≤1}D．R【分析】化简集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|x（x+1）＞0}={x|x＜﹣1或x＞0}，B={x|y=}={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，则A∩B={x|x≥1}．故选：B．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．∈R，x3﹣x+1≤0”的否定是（）2．（5.00分）命题“∃x∈R，x3﹣x+1＜0 B．∃x0∈R，x3﹣x+1≥0A．∃xC．∀x∈R，x3﹣x2+1＞0 D．∀x∈R，x3﹣x2+10≤0【分析】运用特称命题的否定为全称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定．【解答】解：特称命题的否定为全称命题，可得∈R，x3﹣x+1≤0”的否定是命题“∃x“∀x∈R，x3﹣x2+1＞0”，故选：C．【点评】本题考查命题的否定，注意运用特称命题的否定为全称命题，以及量词和不等号的变化，属于基础题．3．（5.00分）实数x，y满足x＞y＞0，则（）A．B．﹣＜C．（）x＞（）y D．x2＜xy【分析】运用不等式的性质，以及指数函数的单调性，以及作差法，即可得到所求结论．【解答】解：实数x，y满足x＞y＞0，则＜，A错；﹣==＞0，由x+y﹣2﹣（x﹣y）=2y﹣2=2（﹣）＜0，则﹣＜，则B正确；y=（）x在R上递减，可得（）x＜（）y，C错；由x＞y＞0，可得x2＞xy，则D错．故选：B．【点评】本题考查不等式的性质和运用，考查作差法和函数的单调性的运用，属于基础题．4．（5.00分）若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若α⊥β，m⊥β，则m∥αB．若m∥α，n⊥m，则n⊥αC．若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，则α∥β D．若m∥β，m⊂α，α∩β=n，则m ∥n【分析】根据空间线面位置关系的判定或定义进行判断．【解答】解：若α⊥β，m⊥β，则m与α可能平行也可能相交，故A错误；若m∥α，n⊥m，则n⊂α或n∥α或n与α相交，故B错误；若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，则α∥β或α与β相交，故C错误；若m∥β，m⊂α，α∩β=n，则m∥n，故D正确．故选：D．【点评】本题考查了空间线面位置关系的判断与性质，属于中档题．5．（5.00分）已知实数x，y满足，则目标函数z=2x+y的最大值等于（）A．﹣7 B．﹣ C．2 D．3【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到z的最大值．【解答】解：作出实数x，y满足对应的平面区域，如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A（1，0）时，直线y=﹣2x+z的截距最大．此时z最大，此时z的最大值为z=2×1=2，故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．6．（5.00分）如图所示，函数y=tan（2x+）的部分图象与坐标轴分别交于点D，E，F，则△DEF的面积等于（）A．B．C．πD．2π【分析】根据正切函数y=tan（2x+）的图象，求出OD、EF的值，即可求出△DEF的面积．【解答】解：函数y=tan（2x+），令x=0，得y=tan=×=1，∴OD=1；EF=T==，∴△DEF的面积为S△DEF=××1=．故选：A．【点评】本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，是基础题．7．（5.00分）已知正方形ABCD的边长为2，对角线相交于点O，P是线段BC上一点，则的最小值为（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．2【分析】建立坐标系，设P点坐标，利用坐标表示出，从而得出结论．【解答】解：以A为原点建立坐标系，则O（1，1），B（2，0），C（2，2），设P（2，x），则=（1，x﹣1），=（0，x﹣2），且0≤x≤2．∴=（x﹣1）（x﹣2）=x2﹣3x+2=（x﹣）2﹣，∴当x=时，取得最小值为﹣．故选：C．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．8．（5.00分）函数f（x）=（x∈[﹣2，2]）的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】利用函数的奇偶性排除选项，通过函数图象经过的特殊点判断即可．【解答】解：函数f（x）=（x∈[﹣2，2]）满足f（﹣x）=﹣f（x）是奇函数，排除D，x=1时，f（1）=＞0，对应点在第一象限，x=2时，f（2）=＜0，对应点在第四象限；所以排除B，A故选：C．【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊值是判断函数的图象的常用方法．9．（5.00分）△ABC中，，A，B是双曲线E的左、右焦点，点C在E 上，若（+）•=0，则E的离心率为（）A．﹣1 B．C．D．【分析】由（+）﹣=0得出BA=BC，根据有一个角为的等腰三角形求出AC的长，再利用双曲线的定义建立a与c的关系式，继而解出离心率．【解答】解：∵（+）•=0，又=，∴===0，则，即BA=BC，则△ABC是一个角为的等腰三角形，由题意得：C点在双曲线的右支上，∴AB=BC=2c，AC=2c，又AC﹣BC=2a，即2c﹣2c=2a，解得离心率e==．故选：D．【点评】本题考查了平面向量的数量积的性质，考查了双曲线的定义和性质，考查运算能力，属于中档题．10．（5.00分）习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0，2，4，8，12…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．如图是求大衍数列前n项和的程序框图．执行该程序框图，输入m=10，则输出的S=（）A．100 B．140 C．190 D．250【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=1，S=0，m=10满足条件n是奇数，a=0，S=0不满足条件n≥m，n=2，不满足条件n是奇数，a=2，S=2不满足条件n≥m，n=3，满足条件n是奇数，a=4，S=6不满足条件n≥m，n=4，不满足条件n是奇数，a=8，S=14不满足条件n≥m，n=5，满足条件n是奇数，a=12，S=26不满足条件n≥m，n=6，满足条件n是奇数，a=18，S=44不满足条件n≥m，n=7，满足条件n是奇数，a=24，S=68不满足条件n≥m，n=8，不满足条件n是奇数，a=32，S=100不满足条件n≥m，n=9，满足条件n是奇数，a=40，S=140不满足条件n≥m，n=10，不满足条件n是奇数，a=50，S=190满足条件n≥m，退出循环，输出S的值为190．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．11．（5.00分）若锐角φ满足sinφ﹣cosφ=，则函数f（x）=sin2（x+φ）的单调增区间为（）A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）C．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）【分析】根据题意求出φ的值，利用降幂公式化简函数f（x），再求出它的单调增区间．【解答】解：锐角φ满足sinφ﹣cosφ=，∴1﹣2sinφcosφ=，∴sin2φ=；又sinφ＞，∴2φ=，解得φ=；∴函数f（x）=sin2（x+φ）==﹣cos（2x+），∴2kπ≤2x+≤2kπ+π，k∈Z；解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）．故选：B．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题．12．（5.00分）已知函数f（x）=若f（a）≥f（a+），则a的取值范围是（）A．（0，]∪[2，）B．（0，]∪[，）C．（0，]D．（0，）【分析】画出f（x）的图象，对a讨论：0＜a＜a+≤1，1＜a＜a+≤2，0＜a ＜1＜a+＜2，由分段函数求函数值，可得a的范围；1＜a＜a+≤2，1＜a＜2＜a+＜4，2＜a＜a+＜4，运用不等式的解法，即可得到所求范围．【解答】解：由于a＜a+，若0＜a＜a+≤1，可得﹣log2a≥﹣log2（a+），解得0＜a≤；当1＜a＜a+≤2时，f（x）递增，不成立；由0＜a＜1＜a+＜2，可得﹣log2a≥log2（a+），可得＜a＜，且≤a≤，可得0＜a≤；由1＜a＜a+≤2，可得f（a）＜f（a+），此时a无解；由1＜a＜2＜a+＜4，即有＜a＜，由题意可得log2a≥log2（4﹣a﹣），a≥﹣a．解得a≥，可得≤a＜；由2＜a＜a+＜4，可得2＜a＜．综上可得，a的范围是（0，]∪[，）．故选：D．【点评】本题考查分段函数的运用：求自变量的范围，注意运用分类讨论思想方法和函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5.00分）复数z满足（1﹣i）z=2i，则|z|=．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：由（1﹣i）z=2i，得z=，∴|z|=．故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．14．（5.00分）设等比数列{a n}满足a1=1，a3+a5=6，则a5+a7+a9=28．【分析】根据已知条件和等边数列的通项公式求得公比q2=2，然后代入求值即可．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，依题意得：q2+q4=6，解得q2=2或q2=﹣3（舍去），∴a5+a7+a9=a1（q4+q6+q8）=1×（22+23+24）=28．故答案是：28．【点评】本题考查等比数列的通项公式及应用，考查计算能力，属于基础题和易错题．15．（5.00分）直线y=k（x﹣1）与抛物线y2=4x交于A，B两点，若|AB|=，则k=．【分析】联立直线与抛物线方程，利用韦达定理以及弦长公式，求解即可．【解答】解：直线y=k（x﹣1）与抛物线y2=4x交于A，B两点，直线经过抛物线的焦点坐标，设A（x1，y1），B（x2，y2），由可得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，x1+x2=，直线y=k（x﹣1）与抛物线y2=4x交于A，B两点，若|AB|=，可得：|AB|=x1+x2+p=，即+2=，可得k2=3，解得k=．故答案为：．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．16．（5.00分）某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为．【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为三棱锥，底面三角形ABC为直角三角形，面PAC为等边三角形，且面PAC⊥底面ABC，取BC中点G，则G为三角形ABC的外心，过G作平面ABC的垂线，取等边三角形PAC的外心为H，过H作平面PAC的垂线，则两垂线交于点O，O为三棱锥P﹣ABC外接球的球心，求解三角形求得OC，即三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为三棱锥，底面三角形ABC为直角三角形，面PAC为等边三角形，且面PAC⊥底面ABC，取BC中点G，则G为三角形ABC的外心，过G作平面ABC的垂线，取等边三角形PAC的外心为H，过H作平面PAC的垂线，则两垂线交于点O，O为三棱锥P﹣ABC外接球的球心，OG==，GC==，∴OC=，∴三棱锥外接球表面积为4π×=．故答案为：．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12.00分）如图，单位圆O与x，y轴正半轴的交点分别为A，D，圆O上的点C在第一象限．（1）若点C的坐标为（，），延长CD至点B，使得DB=2，求OB的长；（2）圆O上的点E在第二象限，若∠EOC=，求四边形OCDE面积的最大值．【分析】（1）利用余弦定理计算OB；（2）设∠COD=θ，用θ表示出四边形的面积，利用三角变换和θ的范围得出面积的最大值．【解答】解：（1）由点C（，）可知∠AOC=30°，∠COD=60°．∴△OCD是等边三角形，∴CD=OC=1，∴BC=3，在△OBC中，由余弦定理可得OB2=1+9﹣2×1×3×cos60°=7，∴OB=．（2）设∠COD=θ，则∠DOE=﹣θ，∵C在第一象限，E在第二象限，故0＜﹣θ＜，∴＜θ＜．∴S=sinθ，S△DOE=（﹣θ，△COD∴四边形OCDE的面积为S=sinθ+sin（﹣θ）=sinθ+cosθ=sin（θ+）．∵，∴当θ=时，四边形OCDE的面积取得最大值为．【点评】本题考查了余弦定理，三角恒等变换，属于中档题．18．（12.00分）如图，直角梯形BDFE中，EF∥BD，BE⊥BD，EF=2，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BD，AB=2CD=4，且平面BDFE⊥平面ABCD．（1）求证：AC⊥平面BDFE；（2）若BF与平面ABCD所成角为，求二面角B﹣DF﹣C的余弦值．【分析】（1）推导出BE⊥平面ABCD，从而AC⊥BE，再由AC⊥BD，得AC⊥平面BDFE．（2）推导出FE OB，从而四边形BOFE为平行四边形，进而OF∥BE，OF⊥平面ABCD，∠FBO为BF与平面ABCD所成的角，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣DF﹣C的余弦值．（1）∵平面BDFE⊥平面ABCD，BE⊥BD，平面BDFE∩平面ABCD=BD，【解答】证明：∴BE⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BE，又∵AC⊥BD，且BE∩BD=B，∴AC⊥平面BDFE．解：（2）设AC∩BD=O，∵四边形ABCD为等腰梯形，，AB=2CD=4，∴OD=OC=，OB=OA=2，∵FE OB，∴四边形BOFE为平行四边形，∴OF∥BE，又∵BE⊥平面ABCD，∴OF⊥平面ABCD，∴∠FBO为BF与平面ABCD所成的角，∴，又∵，∴OF=OB=2，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，2，0），D（0，﹣，0），F（0，0，2），C（﹣，0，0），A （2，0，0），=（0，），=（，0），∵AC⊥平面BDFE，∴平面BDF的法向量为=（1，0，0），设平面DFC的一个法向量为=（x，y，z），由，令x=2，得=（2，2，﹣1），cos＜＞===．∴二面角B﹣DF﹣C的余弦值为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19．（12.00分）数列{a n}满足++…+=．（1）若数列{a n}为公差大于0的等差数列，求{a n}的通项公式；（2）若b n=（﹣1）n a n a n+1，求数列{b n}的前2n项和S2n．【分析】（1）由已知：++…+=．当n=1时，=，即a1a2=2．当n=2时，+=，设等差数列{a n}为d＞0，利用等差数列的通项公式解得a1，d，可得a n．（2）由已知：++…+=．当n≥2时，++…+=．相减可得：当n≥2时，a n a n+1=n（n+1），可得b n=（﹣1）n a n a n+1=（﹣1）n n（n+1）．计算b+b2n．2n﹣1【解答】解：（1）由已知：++…+=．当n=1时，=①，即a1a2=2．当n=2时，+=，②②﹣①，=；即a2a3=6，设等差数列{a n}为d，由a1a2=2，a2a3=6，有a1（a1+d）=2，（a1+d）（a1+2d）=6，∵d＞0，解得a1=1=d，则a n=1+n﹣1=n．（2）由已知：++…+=．③当n≥2时，++…+=．④③﹣④得：当n≥2时，=，即a n a n+1=n（n+1），结合a1a2=2，得：a n a n+1=n（n+1），b n=（﹣1）n a n a n+1=（﹣1）n n（n+1）．+b2n=﹣（2n﹣1）•2n+2n•（2n+1）=4n．∴b2n﹣1数列{b n}的前2n项和S2n=4×（1+2+…+n）==2n2+2n．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12.00分）已知点F1（﹣，0），圆F2：（x﹣）2+y2=16，点M是圆上一动点，MF1的垂直平分线与MF2交于点N．（1）求点N的轨迹方程；（2）设点N的轨迹为曲线E，过点P（0，1）且斜率不为0的直线l与E交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为B′，证明直线AB′过定点，并求△PAB′面积的最大值．【分析】（1）先根据椭圆的定义，确定点N的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长等于4的椭圆，再写出椭圆的方程；（2）设直线AB：y=kx+1，（k≠0），设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则B′（﹣x2，y2），代入椭圆方程，即根据韦达定理，直线方程，求出直线AB′过定点Q（0，2），继而求出△PAB′面积的最大值【解答】解：（1）由已知得：|NF1|=|NM|，∴|NF1|+|NF2|=|MN|+|NF2|=|4，又|F1F2|=2，∴点N的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长等于4的椭圆，∴2a=4，2c=2，即a=2，c=，∴b2=a2﹣c2=4﹣2=2，∴点N的轨迹方程是+=1．证明：（2）设直线AB：y=kx+1，（k≠0），设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则B′（﹣x2，y2），联立直线AB与椭圆得，得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，显然△=8（1+4k2）＞0，∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣∴k AB′=，∴直线AB′：y﹣y1=（x﹣x1），∴令x=0，得y===+1=2，∴直线AB′过定点Q（0，2），∴△PAB′的面积S=|x1+x2|==≤，当且仅当k=±时，等号成立．∴△PAB′的面积的最大值是．【点评】本题考查椭圆的定义，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于难题．21．（12.00分）已知函数f（x）=（ax2+x+a）e﹣x（a∈R）．（1）若a≥0，函数f（x）的极大值为，求实数a的值；（2）若对任意的a≤0，f（x）≤bln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．【分析】（1）求出导函数，对a分类讨论，根据到合适呢判断函数的极大值，确定a的值即可；（2）构造关于a的函数令g（a）=e﹣x（x2+x）a+xe﹣x，a∈（﹣∞，0），得出函数的最大值，把问题转化为最值问题，对b分类讨论得出b的范围即可．【解答】解：（1）由题意，f'（x）=（2ax+1）e﹣x﹣（ax2+x+a）e﹣x=﹣e﹣x[ax2+（1﹣2a）x+a﹣1]=﹣e﹣x（x﹣1）（ax+1﹣a）．．（ⅰ）当a=0时，f'（x）=﹣e﹣x（x﹣1），令f'（x）＞0，得x＜1；f'（x）＜，得x＞1，所以f（x）在（﹣∞，1）单调递增，（1，+∞）单调递减．所以f（x）的极大值为f（1）=，不合题意．（ⅱ）当a＞0时，1﹣＜1，令f'（x）＞0，得1﹣＜x＜1；f'（x）＜0，得x＜1﹣或x＞1，所以f（x）在（1﹣，1）单调递增，（﹣∞，1﹣），（1，+∞）单调递减．所以f（x）的极大值为f（1）==，得a=1．综上所述a=1．（2）令g（a）=e﹣x（x2+x）a+xe﹣x，a∈（﹣∞，0），当x∈[0，+∞）时，e﹣x（x2+x）≥0，则g（a）≤bln（x+1）对∀a∈（﹣∞，0]恒成立等价于g（a）≤g（0）≤bln（x+1），即xe﹣x≤bln（x+1），对x∈[0，+∞）恒成立．（ⅰ）当b≤0时，∀x∈（0，+∞），bln（x+1）＜0，xe﹣x＞0，此时xe﹣x＞bln（x+1），不合题意．（ⅱ）当b＞0时，令h（x）=bln（x+1）﹣xe﹣x，x∈[0，+∞），则h'（x）=﹣（e﹣x﹣xe﹣x）=，其中（x+1）e﹣x＞0，∀x∈（0，+∞），令p（x）=be x+x2﹣1，x∈[0，+∞，则h（x）在区间[0，+∞）上单调递增，①b≥1时，p（x）≥p（0）=b﹣1≥0，所以对，∀x∈[0，+∞），h'（x）≥0，从而h（x）在[0，+∞）上单调递增，所以对任意，∀x∈[0，+∞），h（x）≥h（0）=0，即不等式bln（x+1）≥xe﹣x在[0，+∞）上恒成立．②0＜b＜1时，由p（0）=b﹣1＜0，p（1）=be＞0及p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以存在唯一的x0∈（0，1）使得P（x0）=0，且x∈（0，x0）时，p（x0）＜0．从而x∈（0，x0）时，h'（x）＜0，所以h（x）在区间（0，x0）上单调递减，则x∈（0，x0）时，h（x）＜h（0）=0，即bln（x+1）＜xe﹣x，不符合题意．综上所述，b≥1．【点评】本题考查了导函数的综合应用和函数的构造，二次求导问题，综合性强，难度较大请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B为C上两点，且OA⊥OB，设射线OA：θ=α，其中0＜α＜．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）求|OA|•|OB|的最小值．【分析】（1）利用已知条件把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（2）利用三角函数关系式的恒等变换，基本不等式求出结果．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（φ为参数）化为直角坐标方程为：．再转化为极坐标方程为：．（2）根据题意：射线O的极坐标方程为或所以：|OA|=，=，所以：|OA||OB|=ρ1ρ2=，当且仅当sin2α=cos2α，即时，函数的最小值为．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，基本不等式的应用．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f（x）=|x﹣1|+|2x+a|．（1）当a=1时，求证：f（x）+|x﹣1|≥3；（2）若f（x）的最小值为2，求实数a的值．【分析】（1）根据绝对值不等式的性质证明即可；（2）通过讨论a的范围，求出f（x）的分段函数的形式，求出函数f（x）的最小值，得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：（1）依题意：f（x）+|x﹣1|=|x﹣1|+|2x+1|+|x﹣1|=|2x﹣2|+|2x+1|≥|2x﹣2﹣2x﹣1|=3，当且仅当2x﹣2=﹣（2x+1），即x=时，等号成立．（2）①当1＞﹣，即a＞﹣2时，f（x）=，则当x=﹣时，f（x）min=f（﹣）=|﹣﹣1|=+1=2，故a=2；②当1＜﹣，即a＜﹣2时，f（x）=，则当x=﹣时，f（x）min=f（﹣）=|﹣﹣1|=﹣﹣1=2，故a=﹣6；③当1=﹣时，即a=﹣2时，f（x）=3|x﹣1|有最小值0，不符合题意，舍去；故a=2或﹣6．【点评】本题考查了绝对值不等式问题，考查求函数的最值问题以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。
福建省厦门市高三上学期期末质检检测数学理试题 Word版含解析
福建省厦门市高三上学期质检检测数学理【试卷综述】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。
【题文】一、选择题【题文】1、{}=⋂⎭⎬⎫⎩⎨⎧==>+==B A B A ，则，设集合x -31y x 02x x （ ） .{}2.->x x A {}3.<x x B {}32.>-<x x x C 或 {}32.<<-x x D【知识点】集合运算. A1【答案】【解析】D 解析：∵A={x|x>-2},B={x|x<3},∴A ∩B={x|-2<x<3},故选D. 【思路点拨】化简两已知集合，再求它们的交集. 【题文】2、是，则，：已知命题p 21sinx x p 00⌝≥∈∃R （ ） . 21sin ,.00≤∈∃x R x A 21sin ,.00<∈∃x R x B21sin ,.≤∈∀x R x C 21sin ,.<∈∀x R x D【知识点】含量词的命题的否定. A3【答案】【解析】D 解析：根据特称命题的否定方法得选项D 正确，故选 D. 【思路点拨】根据特称命题的否定方法确定结论.【题文】3、()2a m 1b m ,2,a b 0m R λλ==∈+==已知向量（，），，若存在使得，则（ ） .A.0B.2C.0或2D.0或-2 【知识点】向量的坐标运算. F2【答案】【解析】C 解析：根据题意得：()()()()22,1,2,120,0m m m m l l l+=++=即20120m m l l ìï+=ïíï+=ïïî解得m=0或2，故选C. 【思路点拨】利用向量的坐标运算得，关于,m l 的方程组求解.【题文】4、面积等于轴所围成的封闭图形的及，与直线曲线x 2x 1x x 3y 2===（ ） .A.1B.3C.7D.8【知识点】定积分的应用. B13 【答案】【解析】C 解析：所求=2232113|7x dx x ==ò，故选C.【思路点拨】根据定积分的几何意义求解. 【题文】5、()过点的图像的一条对称轴经函数R ∈⎪⎭⎫⎝⎛+=x 1-32x cos 2y 2π（ ） . ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,6.πA ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,6.πB ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,3.πC ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,3.πD【知识点】二倍角公式；函数()cos y A x w j =+的性质. C4 C6【答案】【解析】D 解析：已知函数为2cos 3y x p 骣÷ç÷=+ç÷÷ç桫，经检验在A 、B 、C 、D 四个选项中，只有选项D 中横坐标使已知函数取得最值，故选D. 【思路点拨】弦函数的对称轴是使函数取得最值的x 值. 【题文】6、确的是表示平面，下列说法正表示两条不同的直线，已知αm l ,（ ） ..,m ,A l l m a a ^^P 若则 .,,B l m m la a ^蘜若则ααl m m l C 则若,,.⊂ m l m l D 则若,,.αα【知识点】线面位置关系的判定与性质. G4 G5【答案】【解析】A 解析：对于选项A ：设过直线m 的平面交平面a 于n ，因为m a P , 所以m ∥n, 又l a ^，所以l n ^，所以l m ^，故选A. 【思路点拨】根据线面位置关系的判定与性质得选项A 正确.【题文】7、等差数列{}n a 中，3a 和9a 是关于方程()216064x x c c -+=<的两根，则该数列的前11项和11S （ ） .A.58B.88C.143D.176【知识点】等差数列及其前n 项和. D2【答案】【解析】B 解析：因为3a +9a =16，所以()39111116118822aa S +?´===， 故选B.【思路点拨】利用等差数列的性质求解.【题文】 8. 在直角坐标系中，函数xx x f 1sin )(-=的图像可能是（ ） .【知识点】函数的图像与性质. B8【答案】【解析】A 解析：因为f(x)是奇函数，所以排除选项C 、D.又21()cos f x x x ¢=+在x ∈0,2p 骣÷ç÷ç÷ç÷桫大于零恒成立，所以f(x)在 0,2p 骣÷ç÷ç÷ç÷桫上是增函数，故选A. 【思路点拨】利用函数的奇偶性、单调性确定结论.【题文】9.椭圆E ：13222=+y a x 的右焦点为F,直线m x y +=与椭圆E 交于A,B 两点。
福建省厦门市双十中学高三数学上学期期中试卷 理(含解析)
2015-2016学年福建省厦门市双十中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={y|y=x2+1，x∈R}，集合N={y|y=ln（x+1）+1，x∈R}，则M∩N等于（）A．{（0，1）} B．（0，1）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）2．命题“若¬p则q”是真命题，则p是¬q的（）条件．A．充分 B．充分非必要C．必要 D．必要非充分3．已知，的夹角是120°，且=（﹣2，﹣4），||=，则在上的投影等于（）A．﹣B．C．2 D．4．已知p：存在x∈R，mx2+1≤0，q：任意x∈R，x2+mx+1＞0，若p且q为真命题，则实数m的取值范围是（）A．m＜2 B．﹣2＜m＜2 C．0＜m＜2 D．﹣2＜m＜05．在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B 的值为（）A．B．或C．D．或6．已知点C在以O为圆心的圆弧AB上运动（含端点）.， =x+2y（x，y∈R），则的取值范围是（）A．B．C．D．7．若函数f（x）=sin（x+φ）﹣cos（x+φ）（0＜φ＜π）为奇函数，将函数f（x）图象上所有点横坐标变为原来的一半，纵坐标不变；再向右平移个单位得到函数g（x），则g（x）的解析式可以是（）A．B．C．D．8．已知如图（1）的图象对应的函数为y=f（x），给出①y=f（|x|）；②y=|f（x）|﹣a；③y=﹣f（|x|）；④y=f（﹣|x|）．⑤y=|f（|x|）|﹣a，则如图（2）的图象对应的函数可能是五个式子中的（）A．④B．②④ C．①② D．②③④⑤9．已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，，若a=f（），，c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b10．若函数f（x）（x∈R）关于对称，且则下列结论：（1）f（x）的最小正周期是3，（2）f（x）是偶函数，（3）f（x）关于对称，（4）f（x）关于对称，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上，半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f（t）的图象大致为（）A． B． C． D．12．设函数f（x）=，若f（x）恰有2个零点，则实数a 的取值范围是（）A．a≥2 B．≤a＜1 C．＜a＜1 D．a≥2或≤a＜1二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13．若tan（θ+）=，则sin2θ=．14．设等差数列{a n}前n项和S n，a3+a8+a13=C，a4+a14=2C，其中C＜0，则S n在n等于时取到最大值．15．已知f（x）=x2﹣4x+3在[0，a]的值域是[﹣1，3]．实数a的取值范围记为集合A，g （x）=cos2x+sinx．记g（x）的最大值为g（a）．若g（a）≥b，对任意实数a∈A恒成立，则实数b的取值范围是．16．若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣1对称，则f（x）的最大值为．三、解答题：（本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17.18题两题选出一题作答，两题都答只给一题的分数．17．已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）当a=0时，求直线l和圆C交点的极坐标（ρ，θ）（其中ρ＞0，0＜θ＜2π）；（2）若直线l与圆C交于P、Q两点，P、Q间的劣弧长是，求直线l的极坐标方程．18．（2015秋•厦门校级期中）（1）若不等式|2x﹣1|+|x+2|≥m2+m+2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围；（2）设a，b，c大于0，且1≤++≤（|2x﹣1|+|x+2|）对任意实数x恒成立，求证：a+2b+3c≥9．19．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象经过点（0，），且相邻两条对称轴间的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及其单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若f（）﹣cosA=，且bc=1，b+c=3，求a的值．20．设数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n=a n+1﹣2n+1+1，（n∈N*），且a1=1．（1）设c n=（n∈N+），求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=n（a n+2n），求数列{b n}的前n项和T n．21．已知⊥，|AB1|=3，|AB2|=4， =+．（1）若B1，P，B2三点共线，求||的最小值，并用，表示；（2）设Q是AB1B2的内心，若||≤2，求•的取值范围．22．某山体外围有两条相互垂直的直线型公路，为开发山体资源，修建一条连接两条公路沿山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为L．如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和80千米，点N到l1的距离为100千米，以l1，l2所在的直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=模型（其中a为常数）．（1）设公路L与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路L长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路L的长度最短？求出最短长度．（2）在公路长度最短的同时要求美观，需在公路L与山体之间修建绿化带（如图阴影部分），求绿化带的面积．23．设函数f（x）=e mx﹣mx2．（1）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线L1的方程；（2）当m＞0时，要使f（x）≥1对一切实数x≥0恒成立，求实数m的取值范围；（3）求证：．2015-2016学年福建省厦门市双十中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={y|y=x2+1，x∈R}，集合N={y|y=ln（x+1）+1，x∈R}，则M∩N等于（）A．{（0，1）} B．（0，1）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合．【分析】求出M中y的范围确定出M，求出N中y的范围确定出N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中y=x2+1≥1，即M=[1，+∞），由N中y=ln（x+1）+1，即N=（﹣∞，+∞），则M∩N=[1，+∞），故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．命题“若¬p则q”是真命题，则p是¬q的（）条件．A．充分 B．充分非必要C．必要 D．必要非充分【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】对应思想；综合法；简易逻辑．【分析】原命题和其逆否命题同真假，故只需找出命题“若¬p，则q”的逆否命题即可．【解答】解：四种命题中原命题和其逆否命题同真假，而“若￢p，则q”的逆否命题为“若￢q，则p”即￢q⇒p，p是￢q的必要条件，故选：C．【点评】本题考查四种命题的关系及复合命题真假判断，难度不大．3．已知，的夹角是120°，且=（﹣2，﹣4），||=，则在上的投影等于（）A．﹣B．C．2 D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】向量法；平面向量及应用．【分析】由向量模的公式可得||，再由向量投影的概念可得在上的投影等于||cos120°．【解答】解： =（﹣2，﹣4），可得||=2，由题意可得在上的投影为||cos120°=2×（﹣）=﹣．故选B．【点评】本题考查向量的数量积的模的公式，以及向量的投影的计算，考查运算能力，属于基础题．4．已知p：存在x∈R，mx2+1≤0，q：任意x∈R，x2+mx+1＞0，若p且q为真命题，则实数m的取值范围是（）A．m＜2 B．﹣2＜m＜2 C．0＜m＜2 D．﹣2＜m＜0【考点】复合命题的真假．【专题】函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】分别求出p，q成立的m的范围，取交集即可．【解答】解：关于p：存在x∈R，mx2+1≤0，∴m＜0，关于q：任意x∈R，x2+mx+1＞0，则△=m2﹣4＜0，解得：﹣2＜m＜2，若p且q为真命题，则p，q均为真命题，则实数m的取值范围是：﹣2＜m＜0，故选：D．【点评】本题考查了复合命题的判断，考查函数恒成立问题，是一道基础题．5．在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B 的值为（）A．B．或C．D．或【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】利用余弦定理表示出cosB，整理后代入已知等式，利用同角三角函数间基本关系化简，求出sinB的值，即可确定出B的度数．【解答】解：∵cosB=，∴a2+c2﹣b2=2accosB，代入已知等式得：2ac•cosBtanB=ac，即sinB=，则B=或．故选：B．【点评】此题考查了余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．6．已知点C在以O为圆心的圆弧AB上运动（含端点）.， =x+2y（x，y∈R），则的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】数形结合；换元法；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】以O为原点，OA方向为x轴正方向建立坐标系，分别求出A，B的坐标，进而根据则=（cosα，sinα），根据正弦函数的性质，即可得到的取值范围．【解答】解：建立如图所示的坐标系，可设A（1，0），B（0，1），设∠AOC=α（0≤α≤），则=（cosα，sinα）．由=（x，2y）=（cosα，sinα），则=（cosα+sinα）=sin（α+）（0≤α≤），由≤α+≤，可得sin（α+）∈[，1]，即有∈[，]．故选：B．【点评】本题考查的知识点是平面向量的综合应用，三角函数的性质，其中建立坐标系，分别求出A，B，C点的坐标，将一个几何问题代数化，是解答本题的关键．7．若函数f（x）=sin（x+φ）﹣cos（x+φ）（0＜φ＜π）为奇函数，将函数f（x）图象上所有点横坐标变为原来的一半，纵坐标不变；再向右平移个单位得到函数g（x），则g（x）的解析式可以是（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，利用函数是奇函数，求出φ．根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可得解．【解答】解：∵f（x）=sin（x+φ）﹣cos（x+φ）=2sin（x+φ﹣），（0＜φ＜π）为奇函数，∴φ=，f（x）=2sinx，将函数f（x）图象上所有点横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，可得函数的解析式为：y=2sin2x；再向右平移个单位得到函数g（x），则g（x）的解析式：g（x）=2sin2（x﹣）=2sin （2x﹣）．故选：A．【点评】本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查三角函数的化简，三角函数的奇偶性，考查基本知识的应用能力，计算能力，属于中档题．8．已知如图（1）的图象对应的函数为y=f（x），给出①y=f（|x|）；②y=|f（x）|﹣a；③y=﹣f（|x|）；④y=f（﹣|x|）．⑤y=|f（|x|）|﹣a，则如图（2）的图象对应的函数可能是五个式子中的（）A．④B．②④ C．①② D．②③④⑤【考点】函数的图象．【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】由图（2）知，图象对应的函数是偶函数，对选项一一利用排除法分析可得答案．【解答】解：由图（2）知，图象对应的函数是偶函数，对于①，当x＞0时，y=f（|x|）=y=f（x），其图象在y轴右侧与图一的相同，不合题意，故排除①．对于②，当x＞0时，对应的函数是y=f（x）﹣a，是把（1）中图象位于y轴右侧的部分向下平移a个单位得到的，显然不正确，故排除②．对于③，当x＞0时，对应的函数是y=﹣f（x），是把（1）中图象位于y轴右侧的部分关于x轴对称得到的，显然不正确，故排除③．对于④，当x＞0时，对应的函数是y=f（﹣x），是把（1）中图象位于y轴左侧的部分关于y轴对称得到的，满足条件．对于⑤，当x＞0时，对应的函数是y=|f（x）|﹣a，是把（1）中图象位于y轴右侧的部分向下平移a个单位得到的，显然不正确，故排除⑤，故选：A．【点评】本题考查函数的图象、函数的图象与图象变化，考查学生读图能力，分析问题解决问题的能力，属于中档题．9．已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，，若a=f（），，c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b【考点】函数的单调性与导数的关系．【专题】函数思想；构造法；导数的概念及应用．【分析】构造函数g（x）=xf（x），判断g（x）的单调性与奇偶性即可得出结论．【解答】解：令g（x）=xf（x），则g（﹣x）=﹣xf（﹣x）=xf（x）∴g（x）是偶函数．g′（x）=f（x）+xf′（x）∵∴当x＞0时，xf′（x）+f（x）＜0，当x＜0时，xf′（x）+f（x）＞0．∴g（x）在（0，+∞）上是减函数．∵＜ln2＜1＜∴g（）＜g（ln2）＜g（）∵g（x）是偶函数．∴g（﹣）=g（），g（ln）=g（ln2）∴g（﹣）＜g（ln）＜g（）故选：B．【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数单调性的应用，属于中档题．10．若函数f（x）（x∈R）关于对称，且则下列结论：（1）f（x）的最小正周期是3，（2）f（x）是偶函数，（3）f（x）关于对称，（4）f（x）关于对称，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题的真假判断与应用．【专题】转化思想；函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】根据已知中函数f（x）（x∈R）关于对称，且，分析出函数的周期性，对称性和奇偶性，可得答案．【解答】解：∵，∴f（x+3）===f（x），故f（x）的最小正周期是3，故（1）正确；又∵函数f（x）（x∈R）关于对称，∴f（x）=﹣==f（﹣x），即f（x）是偶函数，故（2）正确；又∵f（3﹣x）=f（﹣x）=f（x），故f（x）关于对称，故（3）正确；又∵函数f（x）（x∈R）关于对称，f（x）的最小正周期是3，故f（x）关于对称，故（4）正确；故正确的命题有4个，故选：D【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的对称性和函数的周期性，其中熟练掌握函数对称性的法则“对称变换二倍减”，是解答的关键．11．如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上，半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f（t）的图象大致为（）A． B． C． D．【考点】函数的图象．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】通过t=0时y=0，排除选项C、D，利用x的增加的变化率，说明y=sin2x的变化率，得到选项即可．【解答】解：因为当t=0时，x=0，对应y=0，所以选项C，D不合题意，当t由0增加时，x的变化率先快后慢，又y=sin2x在[0，1]上是增函数，所以函数y=f（t）的图象变化先快后慢，所以选项B满足题意，C正好相反，故选：B．【点评】本题考查函数图象的变换快慢，考查学生理解题意以及视图能力，属于中档题．12．设函数f（x）=，若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是（）A．a≥2 B．≤a＜1 C．＜a＜1 D．a≥2或≤a＜1【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】分别设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出a 的范围．【解答】解：设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）若在x＜1时，h（x）=2x﹣a与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2﹣a≤时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．故选：D．【点评】本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13．若tan（θ+）=，则sin2θ=．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】计算题；函数思想；三角函数的求值．【分析】利用两角和的正切函数，求出正切函数值，然后求解即可．【解答】解：tan（θ+）=，=，可得tanθ=﹣．sin2θ===．故答案为：；【点评】本题考查两角和的正切函数以及三角函数的化简求值，考查计算能力．14．设等差数列{a n}前n项和S n，a3+a8+a13=C，a4+a14=2C，其中C＜0，则S n在n等于7 时取到最大值．【考点】等差数列的前n项和．【专题】函数思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的性质和题意可得通项公式，可得前7项为正数，从第8项开始为负数，可得结论．【解答】解：由题意和等差数列的性质可得a3+a8+a13=3a8=C，a4+a14=2a9=2C，∴a8=，a9=C，∴公差d=，∴a1=﹣7×=﹣，∴a n=﹣+（n﹣1）=C（2n﹣15），令a n=C（2n﹣15）≤0可得2n﹣15≥0，解得n≥∴递减的等差数列{a n}前7项为正数，从第8项开始为负数，∴当n=7时，S n取最大值．故答案为：7【点评】本题考查等差数列的前n项和，从数列项的正负入手是解决问题的关键，属基础题．15．已知f（x）=x2﹣4x+3在[0，a]的值域是[﹣1，3]．实数a的取值范围记为集合A，g （x）=cos2x+sinx．记g（x）的最大值为g（a）．若g（a）≥b，对任意实数a∈A恒成立，则实数b的取值范围是b≤．【考点】函数恒成立问题．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质；集合．【分析】作函数f（x）=x2﹣4x+3的图象，从而可得A=[2，4]；再化简g（x）=﹣（sinx﹣）2+1+，从而可得g（a）=1+，再求g（a）的最小值即可．【解答】解：作函数f（x）=x2﹣4x+3的图象如下，，∵f（x）=x2﹣4x+3在[0，a]的值域是[﹣1，3]，∴2≤a≤4，故A=[2，4]；g（x）=cos2x+sinx=1﹣sin2x+sinx=﹣（sinx﹣）2+1+，∵≤≤1，∴g（a）=1+，∵A=[2，4]，∴g min（a）=1+=，∵g（a）≥b对任意实数a∈A恒成立，∴b≤，故答案为：b≤．【点评】本题考查了二次函数的性质与应用，三角函数的最值的求法，同时考查了恒成立问题．16．若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣1对称，则f（x）的最大值为 6 ．【考点】函数的最值及其几何意义；函数的图象．【专题】综合题；转化思想；分类法；函数的性质及应用．【分析】由题意得f（0）=f（﹣2）=0且f（﹣4）=f（2）=0，由此求出a=4且b=0，可得f（x）=﹣x4﹣x3+x2+4x．利用导数研究f（x）的单调性，可得到f（x）的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣1对称，∴f（0）=f（﹣2）=0且f（﹣4）=f（2）=0，即b=0且（1﹣4）[（﹣4）2+a•（﹣4）+b]=0，解之得a=4，b=0，因此，f（x）=（1﹣x2）（x2+4x）=﹣x4﹣x3+x2+4x，求导数，得f′（x）=﹣x3﹣3x2+2x+4=﹣（x+1）（x+1+）（x+1﹣）当x∈（﹣∞，﹣1﹣）∪（﹣1，﹣1+）时，f'（x）＞0，当x∈（﹣1﹣，﹣1）∪（﹣1+，+∞）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣1﹣）单调递增，在（﹣1﹣，﹣1）单调递减，在（﹣1，﹣1+）单调递增，在（﹣1+，+∞）单调递减，故当x=﹣1﹣和x=﹣1+时取极大值，f（﹣1﹣）=f（﹣1+）=6．故答案为：6．【点评】本题给出多项式函数的图象关于x=﹣1对称，求函数的最大值．着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，属于中档题．三、解答题：（本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17.18题两题选出一题作答，两题都答只给一题的分数．17．已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）当a=0时，求直线l和圆C交点的极坐标（ρ，θ）（其中ρ＞0，0＜θ＜2π）；（2）若直线l与圆C交于P、Q两点，P、Q间的劣弧长是，求直线l的极坐标方程．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】计算题；函数思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】（1）先求出圆的直角坐标方程和直线l：，由此能求出直线l和圆C交点的极坐标．（2）圆心C到直线的距离d是2，直线的直角坐标方程是：，先求出直线直角坐标方程，由此能求出直线l的极坐标方程．【解答】解：（1）∵圆C的参数方程为（θ为参数），∴圆的直角坐标方程是x2+y2=16，…．（1分），∵直线l的参数方程为（t为参数），∴当a=0时，直线l：，…（2分）代入x2+y2=16得x=±2，P，Q…．（3分）则直线l和圆C交点的极坐标分别是，…．（5分）（2）由于P、Q间的劣弧长是，则圆心角，…．（6分）圆心C到直线的距离d是2，直线的直角坐标方程是：，…．（7分），，直线直角坐标方程是：或，…．（8分）直线l的极坐标方程：或…．（10分）即或（写成或给满分）【点评】本题考查直线和圆交点的极坐标及直线的极坐标方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标和直角坐标的互化公式的合理运用．18．（2015秋•厦门校级期中）（1）若不等式|2x﹣1|+|x+2|≥m2+m+2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围；（2）设a，b，c大于0，且1≤++≤（|2x﹣1|+|x+2|）对任意实数x恒成立，求证：a+2b+3c≥9．【考点】不等式的证明；函数恒成立问题．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；推理和证明．【分析】（1）由绝对值的含义，将|2x﹣1|+|x+2|写成分段函数式，分别求出各段的范围，可得最小值，进而得到m2+m+2≤，解不等式可得m的范围；（2）运用两边夹法则，可得++=1，且a，b，c大于0，即有a+2b+3c=（a+2b+3c）（++），展开后运用基本不等式，即可得证．【解答】解：（1）|2x﹣1|+|x+2|=，当x≤﹣2时，﹣1﹣3x递减，取值范围是[5，+∞）；当﹣2＜x≤时，3﹣x的范围是[，5）；当x＞时，3x+1的范围是（，+∞）．从而|2x﹣1|+|x+2|≥，解不等式m2+m+2≤，得m∈[﹣1，]．（2）证明：由（1）知（|2x﹣1|+|x+2|）≥1，则++≤1，又1≤++，则++=1，且a，b，c大于0，即有a+2b+3c=（a+2b+3c）（++）=3+（+）+（+）+（+）≥3+2+2+2=9．当且仅当a=2b=3c=时，等号成立．因此a+2b+3c≥9．【点评】本题考查绝对值函数的最值的求法，不等式恒成立问题的解法和不等式的证明，注意运用函数的单调性求最值，以及基本不等式的运用，属于中档题．19．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象经过点（0，），且相邻两条对称轴间的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及其单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若f（）﹣cosA=，且bc=1，b+c=3，求a的值．【考点】余弦定理；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）把已知点坐标代入求出φ的值，根据题意确定出周期，利用周期公式求出ω的值，即可确定出函数f（x）的解析式，利用正弦函数的单调性确定出单调递增区间即可；（Ⅱ）由第一问确定出的解析式，表示出f（），代入已知等式求出A的度数，利用余弦定理列出关系式，把cosA的值代入，变形后将bc与b+c的值代入即可求出a的值．【解答】解：（Ⅰ）把（0，）代入解析式得：sinφ=，∵0＜φ＜，∴φ=，∵相邻两条对称轴间的距离为，∴函数的周期为π，即ω=2，∴函数f（x）的解析式为f（x）=sin（2x+），令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，则f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；（Ⅱ）由第一问得：f（）=sin（A+），代入得：sin（A+）﹣cosA=sinA+cosA﹣cosA=sinA﹣cosA=sin（A﹣）=，∴A﹣=或，即A=或A=π（舍去），∵bc=1，b+c=3，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=9﹣3=6，则a=．【点评】此题考查了余弦定理，正弦函数的单调性，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．20．设数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n=a n+1﹣2n+1+1，（n∈N*），且a1=1．（1）设c n=（n∈N+），求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=n（a n+2n），求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）2S n=a n+1﹣2n+1+1，（n∈N*），当n≥2时，2S n﹣1=a n﹣2n+1，相减可得：，c n=（n∈N+），利用等比数列的通项公式即可得出．（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）∵2S n=a n+1﹣2n+1+1，（n∈N*），∴当n≥2时，2S n﹣1=a n﹣2n+1，相减可得：2a n=a n+1﹣a n﹣2n，化为：，∵c n=（n∈N+），∴，∴{c n}是等比数列，公比为，首项为．∴c n+1=，∴c n=﹣1，∴=﹣1，可得a n=3n﹣2n．（2）b n=n（a n+2n）=n•3n，∴数列{b n}的前n项和T n=3+2×32+3×23+…+n•3n，∴3T n=32+2×33+…+（n﹣1）•3n+n•3n+1，∴﹣2T n=3+32+…+3n﹣n•3n+1=﹣n•3n+1=，∴T n=．【点评】本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．已知⊥，|AB1|=3，|AB2|=4， =+．（1）若B1，P，B2三点共线，求||的最小值，并用，表示；（2）设Q是AB1B2的内心，若||≤2，求•的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】综合题；转化思想；配方法；换元法；平面向量及应用．【分析】（1）利用B1，P，B2三点共线， =+，可求得+=1；再结合⊥，|AB1|=3，|AB2|=4，可得||2=λ2+μ2=μ2﹣μ+9，于是可求得||的最小值及取得最小值时λ、μ的值，从而可用，表示；（2）以A为原点，AB1、AB2所在的直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则B1（3，0），B2（0，4），Q（1，1），P（λ，μ），于是利用||2=（λ﹣1）2+（μ﹣1）2≤4，再令λ﹣1=rcosθ，μ﹣1=sinθ（0＜r≤2）可得•=λ2+μ2﹣3λ﹣4μ=r2﹣rcosθ﹣2rsinθ﹣5，利用辅助角公式及配方法即可求得•∈[﹣，2﹣1]．【解答】解：（1）∵B1，P，B2三点共线， =+，∴+=1．又⊥，|AB1|=3，|AB2|=4，∴||2=||2+||2=λ2+μ2=μ2﹣μ+9，当时，||min=，此时， =+；（2）以A为原点，AB1、AB2所在的直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则B1（3，0），B2（0，4），Q（1，1），P（λ，μ），||2=（λ﹣1）2+（μ﹣1）2≤4，令λ﹣1=rcosθ，μ﹣1=sinθ，0＜r≤2．=（λ﹣3，μ），=（λ，μ﹣4），•=λ2+μ2﹣3λ﹣4μ=r2﹣rcosθ﹣2rsinθ﹣5=r2﹣rsin（θ+φ）﹣5，其中tanφ=．又r2﹣rsin（θ+φ）﹣5≤r2+r﹣5≤2﹣1，r2﹣rsin（θ+φ）﹣5≥r2﹣r﹣5=（r﹣）2﹣≥﹣，∴•∈[﹣，2﹣1]．【点评】本题考查平面向量数量积的运算，突出考查共线向量基本定理、向量垂直性质的应用，也考查了三角换元思想及辅助角公式的综合应用，考查运算能力，属于难题．22．某山体外围有两条相互垂直的直线型公路，为开发山体资源，修建一条连接两条公路沿山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为L．如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和80千米，点N到l1的距离为100千米，以l1，l2所在的直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=模型（其中a为常数）．（1）设公路L与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路L长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路L的长度最短？求出最短长度．（2）在公路长度最短的同时要求美观，需在公路L与山体之间修建绿化带（如图阴影部分），求绿化带的面积．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数模型的选择与应用．【专题】转化法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（1）①由题知M（5，80）代入y=，则a=400，进而求出y=，得出坐标N（100，4），利用导数求出斜率，得出直线的方程，进而求出与坐标轴的交点A（0，），B（2t，0），利用勾股定理可得（t∈[5，100]）；②运用基本不等式可得最小值，注意求出等号成立的条件；（2）山体与x=5，x=100之间的面积为，得出山体与L1、L2围成的面积是400+400ln20，进而得出绿化带的面积是400+400ln20﹣800=400ln20﹣400．【解答】解：（1）①由题意M（5，80）代入y=，则a=400，∴y=，N（100，4），∴定义域为[5，100]．∴P（t，），∵，则公路l的方程：，令x=0，可得y=；令y=0，可得x=2t．∴（t∈[5，100]）；②A（0，），B（2t，0），=，当且仅当t=20∈[5，100]时等号成立，所以当t为20时，公路l的长度最短长度是3200千米；（2）山体与x=5，x=100之间的面积为dx=400lnx|=400（ln100﹣ln5）=400ln20，山体与L1、L2围成的面积是400+400ln20，L与y，x轴交点分别是A（0，40），B（40，0），公路与L1、L2围成的面积是800，所以绿化带的面积是400+400ln20﹣800=400ln20﹣400（平方公里）．答：当t为20时，公路L的长度最短，最短长度是3200千米；在公路长度最短时，需在公路L与山体之间修建绿化带的面积是400ln20﹣400平方公里．【点评】本题考查了利用导数求直线方程和积分的应用，考查运算求解能力，难点是对题意的理解．23．设函数f（x）=e mx﹣mx2．（1）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线L1的方程；（2）当m＞0时，要使f（x）≥1对一切实数x≥0恒成立，求实数m的取值范围；（3）求证：．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】方程思想；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，即可得到所求切线的方程；（2）求出f（x）的导数，设g（x）=f′（x），求出g（x）的导数，讨论m的范围，结合单调性，即可得到m的范围；（3）令m=1，由（2）得e x＞x2+1，则，令x=i（i+1）（i=2，3，…n），由裂项相消求和和不等式的性质，即可得证．【解答】解：（1）m=2时，f（x）=e2x﹣2x2，f′（x）=2e2x﹣4x；∴f′（0）=2，又f（0）=1；则切线L1方程为：y=2x+1；（2）f′（x）=me mx﹣2mx，设g（x）=f′（x），g′（x）=m2e mx﹣2m=m（me mx﹣2），令g′（x）=0，由m＞0，；①当m≥2时，因为x≥0，则e mx≥1，所以me mx﹣2≥m﹣2≥0，g'（x）≥0，∴f′（x）在[0，+∞）单调递增；∴f′（x）≥f′（0）=m＞0；∴f（x）在[0，+∞）单调递增，f（x）≥f（0）=1；所以当m≥2时满足条件；②当时，1≥，x0∈（0，+∞）；∴f′（x）在（0，x0）单调递减，在（x0，+∞）单调递增，所以=；∴f（x）在[0，+∞）单调递增，f（x）≥f（0）=1；∴当时满足条件；③当时，，x0∈（0，+∞）；∴f′（x）在（0，x0）单调递增，f′（x）=0在（0，x0）至多只有一个零点x1；又因为=，f′（0）=1＞0，所以f′（x）=0在（0，x0）有且只有一个零点x1；则当x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，x1）单调递增，在（x1，x0）单调递减，所以存在x使得f（x）＜f（0）=1，不满足条件．终上所述：当时，f（x）≥1对一切x≥0的实数恒成立．（3）令m=1，由（2）得e x＞x2+1，则，令x=i（i+1）（i=2，3，…n），则，当i=1时，，当i=2时，，当i=3时，，…，当i=n时，，所以．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性，考查不等式恒成立问题和不等式的证明，注意运用分类讨论的思想方法和裂项相消求和及不等式的性质，考查运算能力，属于中档题．。