大学生毕业论文：正项级数敛散性判别

分类号:单位代码:10452临沂大学院理学院毕业论文（设计）正项级数敛散性判别姓名学号 200706310609年级 2007专业数学与应用数学系（院）理学院指导教师2011年5月5日摘要关于正项级数1(0) n nn a a∞=≥∑的敛散性判别，有比较判别法法，积分判别法，拉阿比判别法和高斯判别法，柯西判别法，比式判别法，达朗贝尔判别判别法等。

本文就是在次基础上对比式判别法和积分判别法进行了进一步推广，并研究其应用。

关键词: 正项级数；收敛；发散；判别法ABSTRACTThere are many methods of series of positive terms convergence :comparison test,integral test,Guass test,Cauchy test,comparison test,Dalembert test and so on. The paper aims at extending further on the basis of the law on time and integral discriminant law and has studied the person applies.Key words:Rectify item progression; Converge; Unconverge; Differentiate between methords目录引言 (2)1比较判别法的推广 (2)2 比式判别法的推广 (3)3积分判别法的推广 (8)4 库默尔判别法 (11)5 阿贝尔—迪尼判别法 (13)6 结论 (14)参考文献 (14)致谢 (15)引言一般数项级数的各项可以是正负数或零．现在我们讨论各项都是正数或零的级数,这种级数我们通常叫做正项级数．通过学习我们知道正项级数有一些重要的性质,也是正项级数收敛性的一般判别原则,如收敛原理、比较判别法、柯西判别法(根值法)、达朗贝尔判别法(比值法)、柯西积分判别法、拉贝判别法等．这些判别法是我们通常使用的,也是应用比较广泛的．但是这些判别法是否有其不足和缺陷呢？除此之外,还有没有其它的判别法呢？我们带着这个问题进行下面的讨论．1比较判别法的推广比较判别法是正项级数判别法中较为重要也是应用比较广泛的方法之一,它是在已知某个级数的敛散性的基础上来判别另一个级数的敛散性的.比较判别法[]1设n u ∑和n v ∑是两个正项级数,如果存在某个正整数N ,对一切n N >,都有n n u v ≤ 则(i) 若级数n v ∑收敛,则级数n u ∑也收敛； (ii) 若级数n u ∑发散,则级数n v ∑也发散.比较原则是将级数的两个通项作比较的,那么我们能不能将这两个通项用某个式子替换下来呢？我们已经学过了比式判别法,它是将两个通项作比值而得来的,如果我们将这里的这两个通项替换为两个比值的相比较,就得到了下面的一个比较判别法的推广定理,也称为比值比较判别法.定理 6 设级数∑n u 和∑n v 都是正项级数,且存在自然数N ,使当n N ≥时 有11n n n nu v u v ++≤则有 （i ）若n v ∑收敛,则∑n u 也收敛. （ii ）若∑n u 发散,则n v ∑也发散. 证 由已知得,当0n n ≥时,我们有00011n n n n u v u v ++≤00002211n n n n u v u v ++++≤11n n n n u v u v --≤ 把上面各不等式相乘,马上得到00n n n n u v u v ≤ 即 00n n n n u u v v ≤由比较判别法知,若∑n v 收敛,则∑n u 也收敛； 若∑n u 发散,则∑n v 也发散.定理证毕.2 比式判别法的推广定理1 若对充分大n ，22110,,,n n n n n a a pa a qa ++>≤≤且1p q +<.则级数1n n a ∞=∑收敛. 证明 由于级数敛散性与前有限项无关，故不妨设对一切n Z +∈都有22110,,.n n n n n a a pa a qa ++>≤≤记1nn k k S a ==∑，则11222111111111()(1)n n n n n n k k k k n k k k k S S a a a p a q a a p q S q a --++====≤=++≤++=++-∑∑∑∑由此有1(1)1()n q a S p q -≤-+.又{}n S 递增，从而lim n x S S →∞=存在，即1nn a∞=∑收敛，且有1(1)1()n q a S p q -≤-+注 此证明中得到了1n n a ∞=∑的一个上界.它可用于作误差估计.定理2 若对充分大的n ， 22110,,,n n n n n a a pa a qa ++>≥≥且1p q +≥.则级数1n n a ∞=∑发散.其中,0p q >证明 不妨设对一切n ，都有22110,,,n n n n n a a pa a qa ++>≥≥11222111111111()(1)nn nn n k k k k n k k k k S a a a p a q a a p q S q a --++=====++≥++=++-∑∑∑∑ （*）当1q ≥时，因为2111n n n a qa a +++≥≥，故对任何m Z +∈，有12122210m m a a a a -++≥≥≥≥>，故21lim 0m m a +→∞≠，故此时1n n a ∞=∑发散.当1q <时，若1nn a∞=∑收敛，l i mn n S S →∞=存在，于是对（*）式取极限，得到，1()(1)S p q S q a ≥++-.故10[1()](1)0p q S q a ≥-+≥->，这是不可能的，所以此时1n n a ∞=∑也发散.利用定理2，容易得到调和级数11n n∞=∑的发散性.事实上，由于21122n n a a n ==， 211111121212n n a a n n ++=>=++，而p q +=12+12=1,故由定理2即得.定理3（极限形式） 设0n a >，2limn n n a p a →∞=（可为+∞）211lim n n n aq a +→∞+=（可为+∞）（1） 若()1p q +<，则1n n a ∞=∑收敛；（2） 若()1p q +>，则1n n a ∞=∑发散；（3） 若()1p q +=，则1n n a ∞=∑可能收敛，也可能发散.证明（1）因()1p q +<，故存在0ε>，使1p q ε++<.由2lim nn na p a →∞=，存在1N ，当n>1N 时，有2n n a a <2p ε+，即2n a <（2p ε+）n a ，由211lim n n n aq a +→∞+=，存在2N ，当n>2N 时，有211limn x n a a +→∞+<2q ε+，即21n a +<（2q ε+）1n a +，令{}12max ,N N N =，则当n>N 时，有2()2n n a p a ε<+，211()2n n a q a ε++<+，由定理1，知1n n a ∞=∑收敛.（2）设1p q +>，若0,1p q <≤，则存在0ε>，使0,022p q εε->->，且p q +-ε>1.由2limn n na p a →∞=，存在1N ，当n>1N 时，有22n n a p a ε>-，即，2()2n n a p a ε>-，由211limn n n a q a +→∞+=，存在2N ，当n>2N 时，有2121()2n n a q a ε++>-，即2121()2n n a q a ε++>-，令{}12max ,N N N =，则n>N 时，有2()2n n a p a ε>-，211()2n n a q a ε++>-，由定理2知，此时1n n a ∞=∑发散.若,p q 中有一个大于1，则类似于定理2的证明，可知lim 0n n a →∞≠，故此时1nn a ∞=∑也发散.（4） 考察级数11(ln )nan n n =∑，有 2(ln )1lim lim (2)(ln 2)2a n a n n na n n p a n n →∞→∞===， 211(1)[ln(1)]1lim lim (21)[ln(21)]2a n a n n n a n n q a n n +→∞→∞+++===++， 于是1p q +=.但由积分判别法易知，1a >时，级数收敛；当01a <≤时，级数发散.以上结论可以进一步推广为更一般形式，定理4 若对充分大的11,0,,n kn n kn n n a a pa a qa ++>≤≤且1p q +<,则级数1n n a ∞=∑收敛证明 由于级数敛散性于前有限项无关，故不妨设对一切n Z +∈，都有0n a >，kn n a pa ≤，11kn n a qa ++≤，记1n k k S a ∞==∑，则n kn S S ≤=122221111112222111()knkn jj j j kn knj j j j a a a k a a a -+==-+==⎧⎪++⎪⎪⎨⎪⎪++⎪⎩∑∑∑∑为偶数（k 为奇数）11111n n k k k k p a q a a -+==≤++∑∑ =1()(1)n p q S q a ++-因此有1(1)1()n q a S p q -≤-+.又{}n S 递增，从而lim n x S S →∞=存在，即1nn a∞=∑收敛，且有1(1)1()q a S p q -≤-+定理5（极限形式） 设limkn n n a p a →∞=，（可为+∞），11l i m kn n n a q a +→∞+=（可为+∞）， （1）若()1p q +<，则1n n a ∞=∑收敛；（2）若()1p q +>，则1n n a ∞=∑发散；（3）若()1p q +=，则1n n a ∞=∑可能收敛，也可能发散.该证明类似于定理3的证明.下面应用定理3讨论两个级数的敛散性. （1）[]211()(0)!nn nx x n ∞=>∑的敛散性.利用斯特林公式[]3 12!()(01)n n n n e eθθ=<<2222()(2)!(2)lim lim lim2(2)!()()()nn nn n nn n n nn n a nx n nx e p pna n nx nx e→∞→∞→∞====)n n xe →∞=10,0121,x e x e x e ⎧<<⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+∞>⎪⎩，类似可得到21110,01lim 21,n x n x e a q x a e x e +→∞+⎧<<⎪⎪⎪===⎨⎪⎪+∞>⎪⎩由此可知①10x e <<时，01p q +=<，此时11()!n n nx n ∞=∑收敛;②1x e =时，1p q +=>，此时11()!n n nx n ∞=∑发散;③1x e >时，1p q +=+∞>，此时11()!n n nx n ∞=∑发散.（2）[]41ns n x n ∞=∑(0,0)x s >>的敛散性 p =2lim n n n a a →∞=lim n →∞2ns x =0,011,12,1s x x x ⎧<<⎪⎪=⎨⎪+∞>⎪⎩q =211lim n n n a a +→∞+=lim n →∞121sn n x n +⎛⎫ ⎪+⎝⎭=0,011,12,1s x x x ⎧<<⎪⎪=⎨⎪+∞>⎪⎩， 由此可知 （1）01x <<时，01p q +=<，此时1ns n x n∞=∑收敛（2）1x =时，则22s p q +=，若01s <≤，则1p q +≤，此时1ns n x n∞=∑发散;若1s >，则p q +1<，此时1ns n x n∞=∑收敛.（3） 1x >时，1p q +=∞>，此时1ns n x n∞=∑发散.最后，值得指出的是，拉阿比判别法[]5包含了达朗贝尔判别法[]6，而我们的定理3包含了拉阿比判别法.即1lim (1) 1nn n a n s s a →∞+-=>可以推出 p q +=2limn n n a a →∞+211lim n n n aa +→∞+1<事实上，选取12,,r r r 使之满足121r r s r <<<<，由1lim (1)nn n a n a →∞+-=s 可知存在N ，当n N >时，有21(1)nn a r n r a +>-> 即121111(1)r n n a r r n a n n++>>+>+ 由此得到11n n a r a n +<+ 和11()1r n n a n a n +<+.故n 充分大时，有2221121221n n n n n n n n n na a aa a a a a a a -----= 12122231()22122r n n n n n n n n ----<--(1)1rn +- =11(1)21r n r n n -⎛⎫+ ⎪-⎝⎭所以 p =2lim n n n a a →∞112r ≤ q =12111lim 2n r n n a a +→∞+≤从而 p q +1212r ≤< 3积分判别法的推广若级数21()n f n ∞=∑（()0f n >）收敛，则1()n f n n∞=∑收敛，该命题在应用时有一定的局限性，我们可以对其进行适当推广，得到更一般的结论.引理[]1 设f 为[1,)+∞上非负递减函数，1()n f n ∞=∑与非正常积分1()f x dx ∞⎰同时收敛或同时发散.定理1 若级数21()n f n ∞=∑（()0f n >），则1()n f n n ∞=∑收敛，则当12α>时，所以1()n f n nα∞=∑收敛.证 因为221()()2f n f n n n αα+≥.又当12α>时，211n n α∞=∑收敛，所以1()n f n nα∞=∑收敛，故当12α>时，1()n f n nα∞=∑收敛.定理2 若级数31()n f n ∞=∑(()0)f n >收敛，则当23α>时，1()n f n n α∞=∑收敛.证 311()f n n n ββ++ 23()3f n n β≥，又当1β>时，11n n β∞=∑收敛，所以213()n f n n β∞=∑收敛，令23αβ=，故当23α>时，1()n f n nα∞=∑收敛.定理3 若级数1()(()0,2,nk f k f k n n ∞=>≥∑为正整数)收敛，则当1n n α->时，1()n f n n α∞=∑收敛.证明方法类似于定理1和定理2的证明方法,实质上定理1和定理2是定理3的两种特殊形式,如果我们对定理3的条件再适当加强，则我们可以将范围适当扩大.定理4 若级数1()n k f k ∞=∑（2,n n ≥为正整数）收敛，函数f 为[1,)+∞上正值递减函数，并且inf ()0f x >，则当21n n α->-时，级数1()n f n nα∞=∑收敛.证1()n k f k ∞=∑ 收敛，且f 为[1,)+∞上正值递减函数，故由引理可知1()n f x dx +∞⎰收敛，对0,1G ε∀>∃>，当12,u u G >，有21()u n u f x dx ε<⎰，又1()n f x -在[1,)+∞上不变号，由积分第一中值定理的推论可知1,2()u u ξ∃∈，使得211()()u n u f f x dx εε-<⎰，又inf ()0f x >0M ∃>，使得()f x M >，∴ 211()u n u Mf x dx -⎰211()()u n u f f x dx εε-≤<⎰∴11()n fx dx +∞-⎰收敛，故由引理知11()n k f k ∞-=∑收敛.由引理3 可知21n n α->-时，1()n f n nα∞=∑收敛.我们容易看到，定理4较定理3，α范围更广.定理 5 若级数1()n k f k ∞=∑（2,n n ≥为正整数）收敛，f 为[1,)∞上正值递减函数且inf ()0f x >，则当0α≥时，级数1()n f n nα∞=∑收敛. 证 由定理4的证明过程可知，由1()n f x dx +∞⎰，且()f x 在(1,)+∞上不变号可得出结论11()n f x dx +∞-⎰收敛，再由阿贝尔判别法知， 当0α>时， 1()f x dx xα+∞⎰dx 收敛， 所以当0α≥时1()f x dx x α+∞⎰收敛，于是由引理可知，当0α≥时，级数1()n f n n α∞=∑收敛 适当加强条件，可将α范围扩大，减弱条件，则α范围减弱.下面我们在定理3的基础上，给出一个判别其收敛条件.定理6 设()f x 在[1,)+∞上为正值递减函数，且limx →∞ln ()ln f x x =nλ-，若1λ>，则级数1()n f n n α∞=∑1()n n α->收敛.证 由于lim x →∞ln ()ln f x x =n λ-,所以0,1A ε∀>∃>，当x A >时，有ln[()]ln n f x xλε<-+，即ln[()]nf x ()ln ln x x λελε-+<-+=则10[()]n f x x λε-<<，又因1λ>，可取01ελ<<-，于是1λε->，依比较判别法可知1[()]nf x dx +∞⎰，进而级数1[()]nk f x ∞=∑收敛，再由定理3，当1n n α->时，级数1()n f n nα∞=∑收敛.4 库默尔判别法定理[]8 设{}n a 和{}n c 是两个正数列,（1） 若存在0α>和号码0n ，使得对一切0n n >有11n n n na c c a α++-≥ 则级数n a ∑收敛.（2） 若存在0n ，使得对一切0n n >成立不等式有110n n n n a c c a ++-≤,而且级数1nc ∑发散，那么级数n a ∑也发散.在证明此定理之前，我们先注意次定理的显著特点：关于收敛性的结论是对一个级数na∑作出的，而同时第二个数列{}n c 是不固定的，这就使我们能再应用库默尔判别法来研究具体的数值级数的收敛性来根据各种情况作出不同的选择.不失一般性，可认为01n =因为号码为0n n <的项显然可以删除.我们有 11n n n n n c a c a a α++-≥把此式对于 1,2,n =……，m,加起来得1111(),m m a c a a α++-≥1m c ++a 因此11111m m m a c a a a a αα++-=++≤<11m c c s这表明级数n a ∑的一切部分和的集合是有界的,此级数收敛. 不等式可改写成1111n n nna c a c ++≥ 但因按条件级数1nc ∑发散， 故n a ∑发散 推论1 对于一切皆令，则级数收敛的条件成为11n n a a α+-≥或者11n naa α+≤- 在这种情况下，对于发散性的条件是110n n a a +-≥或者11n naa +≥ 推论2 令1n c n =-。