高二数学(下)复习讲义(1)2003
高中数学复习讲义
高中数学复习讲义一、代数1.1 一元一次方程1.2 一元二次方程1.3 平面直角坐标系1.4 解析几何与向量1.5 指数与对数1.6 三角函数与三角恒等变换1.7 数列与数学归纳法二、几何2.1 平面与立体几何基本概念2.2 直线与角2.3 三角形与三角形的性质2.4 四边形与四边形的性质2.5 圆与圆的性质2.6 空间几何与立体几何三、概率与统计3.1 随机事件与概率的计算3.2 组合与排列3.3 抽样与统计四、数学思想方法4.1 推理与证明4.2 逻辑与谬误4.3 数学建模与解题策略五、应用题本讲义将针对高中数学涵盖的主要内容进行复习总结，旨在帮助大家全面复习数学知识，掌握解题方法和技巧，为高考做好充分准备。
一、代数1.1 一元一次方程一元一次方程是数学中最基础的方程形式之一，解一元一次方程需要掌握方程的基本性质和求解方法。
我们将重点讲解常见的一元一次方程类型，并提供解题思路和方法。
掌握一元一次方程的求解技巧对于解决实际问题具有重要意义。
1.2 一元二次方程一元二次方程在高中数学中起着重要的作用，解一元二次方程需要掌握配方法、因式分解法以及求根公式等知识点。
我们将介绍一元二次方程的基本概念和解法，并通过大量例题帮助大家提高解题能力。
1.3 平面直角坐标系平面直角坐标系是研究平面几何和解析几何的基础，了解坐标系的性质和坐标变换的规律对于解决几何问题至关重要。
我们将详细介绍直角坐标系的相关概念和性质，并结合实例进行讲解，帮助大家掌握平面直角坐标系的应用。
1.4 解析几何与向量解析几何是将代数与几何相结合的重要数学分支，研究空间中点、直线、平面等几何对象的解析表达和性质。
向量是解析几何中的重要工具，学习向量的表示方法和运算规律有助于解决几何问题。
我们将讲解解析几何基本概念和向量的数学性质，并通过练习题提高大家的解题能力。
1.5 指数与对数指数和对数是高中数学中重要的数学工具和运算方法，涉及到数学表达式的简化、方程的求解等。
高二数学下册知识点总结
高二数学下册知识点总结高二数学下册是一个重要的学习阶段，本文将对这一学期的数学知识进行全面总结。
主要内容包括函数与导数、三角函数与解三角形、数列与数学归纳法、概率与统计等。
一、函数与导数函数与导数作为高中数学中的重要内容之一，涉及到函数的性质和变化规律的研究。
具体而言，下册涵盖了以下几个知识点：1.1 函数的定义与性质函数是一种特殊的关系，将自变量和因变量联系起来。
函数的定义、定义域、值域、单调性、奇偶性以及函数图像的绘制等都是需要掌握的概念。
1.2 导数与函数的变化率导数的概念是数学中的重要基础，它描述了函数在某一点处的变化率。
在本学期中，我们学习了导数的定义、导数与函数的关系、导数的运算法则等内容。
1.3 函数的极值与最值极值与最值是函数变化过程中的重要特征，包括函数的最大值、最小值以及极大值、极小值的求解方法等。
1.4 函数与导数的应用函数与导数的应用十分广泛，例如切线与法线的问题、函数的凹凸性与拐点等，这些内容是数学在实际问题中的应用。
二、三角函数与解三角形三角函数是三角学中的重要概念，涵盖了正弦函数、余弦函数、正切函数等。
下册的内容主要包括：2.1 三角函数的定义与性质三角函数是以单位圆上的点表示的，正弦函数、余弦函数、正切函数的周期、奇偶性等都是需要掌握的概念。
2.2 三角函数的图像和性质通过对三角函数图像的分析，我们能够更好地理解函数的性质，并能够解决一些与三角函数相关的方程与不等式。
2.3 解三角形解三角形需要掌握三角函数的应用，如正弦定理、余弦定理、正切定理等。
同时，还需要能够灵活运用这些知识解决实际问题。
三、数列与数学归纳法数列与数学归纳法是一种重要的数学工具，用于研究数列的性质和数学命题的证明。
下册的内容包括：3.1 等差数列与等比数列等差数列和等比数列是两种常见的数列形式，需要掌握其通项公式、前n项和公式等相关知识。
3.2 数学归纳法与数列证明数学归纳法是一种常见的证明方法，在数列的证明中有着重要应用。
高二数学下第九章复习讲义
高二数学下第九章复习讲义第1讲平面的根本性质一、典型例题例1、用符号语言写出以下图形应满足的条件图〔1〕图〔2〕分析；根据图形,准确地想象点、线、面这些根本元素的关系,然后用集合的符号语言表示出来.书写的规律一般是：先平面再直线,最后为点.在〔1〕中：平面α∩平面β= ,a∩α=A,b∩α=B在〔2〕中：α∩β= ,a⊂α,b⊂β,a∩ =P, b∩ =P,c∥ .例2、作出满足以下条件的图形：图〔1〕图〔2〕（1）α∩β=AB,a⊂α,b⊂β,a∥AB,b∩AB=M；（2）正方体ABCD—A1B1C1D1中,O为正方形ABCD中央,A1C∩平面C1BD=M,求作点M.分析：〔1〕作图的顺序与读图的顺序相同,先平面再直线再到点.如图〔1〕〔2〕设法把点M放到某两个平面的交线上,∵M∈A1C,A1C⊂平面AA1C1C〔由AA1∥C1C,A1A,CC1是可以确定一个平面的〕,∴M ∈平面AA1C1C.又M∈平面C1BD,∴M为平面AA1C1C与平面C1BD的公共点.观察图象可知,C1、O也为上述两个平面的公共点,即平面AA1C1C∩平面C1BD=C1O.∵M∈C1O,又M∈A1C,∴C1O∩A1C=M,即平面AA1C1C1内,两直线C1O与A1C的公共点就是所求作的点M.评注：题〔2〕首先表达了转化的思想,将在空间难以把握的线面交点转化为同一平面内的线线交点,确定了交点的位置.其次,将直线A1C放在平面AA1C1C内思考,这是处理直线典型的一种思考方法.借助于平面AA1C1C,点M的位置就越来越具体了.这种类似于平面几何辅助直线的平面,称之为辅助平面.在研究空间图形时,经常要作这样的辅助平面.进一步研究M点性质,还可发现M为A1C的三等分点,M是△C1BD的重心〔中央〕.例3、求证：两两相交且不过同一点的四条直线共面.分析：以文字语言出现的几何证实题,首先要“译〞为符号语言写成、求证的形式,并辅之以正确的图形,然后再进行证实.：四条直线a,b,c,d两两相交,不过同一点.求证：a,b,c,d共面.在正确分析四条直线位置关系时,可利用逐步添加的方法.当在两条直线上添加第三条直线时,可以发现存在以下两种位置关系；三线共点和三线不共点.因此此题需分两种情况证实：（1）当存在三线共点时,如右图：设a,b,c共点于Q,d∩a=M,d∩b=N,d∩c=Q∵ a∩b=P∴ a,b可确定平面α∵ M∈a,N∈b∴ M∈α,N∈α∵ M∈d,N∈d∴ d ⊂α ∴ Q ∈α 又P ∈c,Q ∈c ∴ c ⊂α∴ a,b,c,d 共面于α. （2） 任何三条直线都不共点时 ∵ a,b,c,d 两两不相交且不过同一点∴ a,b,c,d 可确定平面α 设d ∩a=N,d ∩b=M 那么M ∈α,N ∈α 又N ∈d,M ∈d ∴ d ⊂α∴ a,b,c,d 共面于α.评注：在证实几何问题,一忌用直观代替严谨的逻辑证实,如直接看图得出结论.由于直观图仅仅是直观,是对空间真实位置关系的某种“歪曲〞反映,看到的不一定就是实际真实位置；二忌跳步,在结论之前缺乏有序有步骤有层次的推导.三忌程序混乱,不知道应该先说什么,再说什么.当然,还有符号、语言的准确性等等. 二、同步练习（一） 选择题1、 空间四点中“三点共线〞是“四点共面〞的 A 、充分不必要 B 、必要不充分 C 、充分且必要 D 、既不充分也不必要2、下面列举了四个关于空间中直线共面的条件：〔1〕三条直线两两相交；〔2〕三条直线两两平行；〔3〕三条直线共点；〔4〕三条直线有两条平行.其中不正确的个数是A 、 1个B 、2个C 、3个D 、4个 3、 直线a,b,c 交于一点,经过这三条直线的平面A 、1个B 、3个C 、无数个D 、可以为0个,可以为1个 4、 三个平面最多可以把空间分成A 、 4个局部B 、6个局部C 、7个局部D 、8个局部5、α∩β= ,M ∈α,N ∈α,P ∈β,P ∉ ,MN ∩ =R,记过M 、N 、P 三点的平面γ,那么β∩γ等于A 、直线MPB 、直线PRC 、直线NPD 、直线MR6、空间四点A 、B 、C 、D 共面但不共线,那么下面结论成立的是 A 、四点中必有三点共线 B 、四点中必有三点不共线C 、AB 、BC 、CD 、DA 四条直线中总有两条平行 D 、AB 与CD 必相交7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为4,过点A 、B 1、D 1三点的平面与平面A 1B 1C 1D 1相交于直线 ,那么点A 到直线 的距离为 A 、62 B 、33 C 、34 D 、64 〔二〕填空题8、不共面的四点可以确定________个平面.9、一条直线过平面内一点与平面外一点,它和这个平面有________个公共点. 10、如图,平面ABC 和平面DEF 的交点有________个.11、P 为正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱B 1C 1上的点〔异于B 1、C 1〕,那么直线A 1P 必与棱______所在直线相交. 12、如图为水平放置的△ABC 的直观图,由图判定原三角形中AB 、BO 、BD 、OD 由小到大的顺序__________. 13、空间三个平面的交线条数为k,那么k 的可能值是__________.14、α∩β=BC,A ∈α,D ∈β,E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、DB 上的点,假设EF ∩GH=P,那么点P 必在直线________上.15、空间三条直线a,b,c 互相平行,但不共面,它们能确定______个平面；这些平面把空间分成______个局部. 〔三〕解做题16、空间四边形ABCD 中,E 、F 分别是AB 和CB 的中点,G 、H 分别是CD 和AD 上的点,且31DA DH DC DG ==,求证：EF 、FG 、BD 三条直线交于一点.17、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a,M 、N 分别是AA 1、D 1C 1的中点,过D 、M 、N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线 .〔1〕画出直线 ；〔2〕设 ∩A 1B 1=P,求线段PB 1的长.18、画出满足条件的图形：α∩β= ,AB ⊂α,CD ⊂β,AB ∥ ,CD ∥ .19、如图,△ABC 在平面α外,AB ∩α=P,BC ∩α=Q,AC ∩α=R,求证：P 、Q 、R 三点共线.20、直线a ∥b ∥c, ∩a=A, ∩a=A, ∩b=B, ∩c=C,求证：a,b,c, 四线共面. 该命题可作怎样的推广？第2讲空间的平行直线和异面直线一、典型例题例1、如图,a,b,c 不共面,它们相交于点P,A ∈a,D ∈a,B ∈b,C ∈c,求证BD 和AC 是异面直线. 分析：法一：直接利用判定定理 ∵ AC ⊂平面PAC,D ∈平面PAC,D ∉AC,B ∉平面PAC∴ AC 与BD 是异面直线 法二：用反证法 假设AC 与BD 共面于β∵ A 、D 、C 三点不共线 ① ∴ β与平面ACD 重合 ∴ a ⊂β ∴ P ∈β∵ P 、B 、C 三点不共线∴ β与平面PBC 重合 ② 由①②知平面PAC 与平面PBC 重合 ∴ a,b,c 共面,与矛盾 ∴ AC 与BD 异面说明：在法一中,选平面PAC 为根本面,也可以选平面PBD 为根本面,总之,要习惯把直线放在平面内.例2、空间四边形PABC,连对角线AC 、PB,D 、E 分别是△PAB 和△PBC 的重心,求证：DE 31//==AC. 分析：养成用轨迹的思想看待图形的习惯,即把点放在线上,把线放在面内.如把点D 放在AB 边的中线AM 上,再把PM 、DE 放在平面PEM 内,延长PE 交BC 于N,连MN,那么N 为BC 中点,平面PEM 即为平面PMN.△ PMN 中 ∵32PN PE PM PD == ∴ DE 32//==MN △ ABC 中 ∵ MN 21//==AC ∴ DE 31//==AC 例3、空间四边形DABC 中,P 、Q 为边CD 上两个不同的点,M 、N 为AB 上两个不同的点,连PM 、QN,如图,问图中共有多少对异面直线？分析：为使计算异面直线条数的过程中不出现重、漏的现象,可采用逐步添加的方法.首先考虑空间四边形DABC 的四条边DA 、AB 、BC 、CD 连同对角线AC 、BD,这六条线段可形成三对异面直线DA 与BC,AB 与CD,AC 与BD.其次添加线段PM,那么除去与PM 相交的CD 、AB,又可新形成4对异面直线,即PM 与DA 、BC 、AC 、BD.因QN 与PM 位置等同,当添上QN 时,也同样新增4对异面直线. 最后注意到,PM 与QN 也是异面直线. ∴ 图中共有3+4+4+1=12〔对〕异面直线评注：对于复杂图形,通常用分解等手段转化为根本图形.同时学会从运动的角度观察图形,如此题的逐步添加法. 例4、长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AB=a,BC=b,AA 1=c,求异面直线BD 1和B 1C 所成角的余弦值.分析：显然,通过平移在长方体的外表及内部不可能构造出一个BD 1和B 1C 所成的角,但同时又为了使构造出的角便于计算,故可考虑补上一个与长方体相同的长方体DCEF —D 1C 1E 1F 1.具体作法是：延长A 1D 1,使A 1D 1=D 1F 1,延长B 1C 1至E 1,使B 1C 1=C 1E 1,连E 1F 1,分别过E 1、F 1,作E 1E //==C 1C,F 1F //==D 1D,连EF,那么长方体C 1D 1F 1E —CDFE 为所作长方体.∵ BC //==D 1F 1 ∴ BD 1//==CF 1∴ ∠B 1CF 1就是异面直线BD 1与B 1C 所成的角. ∵ BD 2=a 2+b 2∴ Rt △BDD 1中,BD 12=BD 2+DD 12=a 2+b 2+c 2∴ CF 12=BD 12=a 2+b 2+c 2 ∵ B 1C 2=b 2+c 2,B 1F 12=a 2+4b 2∴ △B 1CF 1中cos ∠B 1CF 1=2222222112112121cb c b a b c CB CF 2F BC B CF +⋅++-=⋅-+（1） 当c>b 时, cos ∠B 1CF 1>0∴ ∠B 1CF 1为锐角,∠B 1CF 1就是异面直线BD 1和B 1C 所成的角 （2） 当c<b 时,cos ∠B 1CF 1<0 ∴ ∠B 1CF 1是钝角∴ π-∠B 1CF 1就是异面直线BD 1和B 1C 所成的角 （3） 当c=b 时,∠B 1CF 1=900∴ BD 1⊥B 1C法二：作异面直线所成角的过程,其实就是平移异面直线的过程.借助于三角形中位线的平行性,也可以到达平移的目的. 如图,分别取BC 、BB 1、B 1D 1的中点P 、M 、Q,连PM 、MQ 、PQ 那么 MP ∥B 1C,MQ ∥BD 1∴ ∠PMQ 〔或其补角〕就是异面直线BD 1与B 1C 所成的角 △ PMQ 中,MP=21B 1C=22c b 21+ △ MQ 21=BD 1=222c b a 21++,PQ=4a c 22+利用余弦定理可以得到与解法一同样的结果注：此题解法一称为补形法,在此题上,还可以在原长方体的上方或下方补一个相同的长方体,同学们可以亲自试一试.解法二称为中位线法.在求异面直线所成角的四步骤中,第一步其实就是平移异面直线,使它们相交,第三步计算的过程主要是解三角形的问题.在写结论时应注意解法一的结论. 二、同步练习（一） 选择题1、异面直线a 与b 满足a ⊂α,b ⊂βα⊂β,α∩β= ,那么直线 与a 、b 的位置关系是 A 、 与a 、b 都相交 B 、 至少与a 、b 中的一条相交 C 、 至多与a 、b 中的一条相交 D 、 至少a 、b 中的一条平行2、平面α与β相交,a ⊂α,b ⊂β,那么在“①a 、b 必为异面直线,②a 、b 必互相平行,③a 、b 必为相交直线〞这三个命题中,不正确的个数是A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个 3、 异面直线指的是A 、 没有公共点的两条直线B 、 分别位于两个不同平面内的两条直线C 、 某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线D 、 不同在任何一个平面内的两条直线 4、分别和两条异面直线都相交的两直线一定是A 、不平行的直线B 、不相交的直线C 、相交直线或平行直线D 、既不相交也不平行 5、给出四个命题① 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ② 四边相等的四边形是菱形③ 四边相等且四个角也相等的四边形是正方形 ④ 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 其中正确命题的个数是A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 6、正方体ABCD —E ’F ’G ’H ’中,面对角线FG ’与EG 所成的角等于 A 、450B 、600C 、900D 、12007、OA ∥O ’A ’,OB ∥O ’B ’是∠AOB=∠A ’O ’B ’的A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分又不必要条件8、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的外表对角线中,与AD 1成600角的有 A 、4条 B 、6条 C 、8条 D 、10条9、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,设AB 中点为M,DD 1的中点为N,那么异面直线B 1M 与CN 所成角的 A 、300B 、450C 、600D 、90010、给出三个命题① 假设两条直线和第三条直线成等角,那么这两条直线互相平行 ② 假设两条直线都和第三条直线垂直,那么这两条直线互相平行 ③ 假设两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线互相平行 其中不正确的个数是A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个 〔二〕填空题11、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中〔1〕假设E 、F 分别是棱A 1B 1、BB 1的中点,那么AE 和CF 所成角的余弦值是________. 〔2〕假设G 为CD 中点,那么异面直线B 1C 与AG 所成的角的正弦值是________. 〔3〕假设F 、G 分别是棱BB 1、DC 的中点,那么AF 与D 1G 所成的角是________.12、长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,BB 1=BC=1,AB=3,那么 〔1〕AD 1与BC 所成角是__________. 〔2〕CD 1与AB 所成角是__________.（4） CD 1与A 1D 所成角的正弦值是__________.13、空间四边形ABCD 中,假设AB=CD=2,E 、F 分别是AC 、BD 的中点,EF=3,那么AB 与CD所成的角是________.14、空间四边形ABCD 中,E 、H 分别是AB 、AD 的中点,F 、G 分别是CB 、CD 上的点,且32CD CG CB CF ==,假设BD=6,梯形EFGH 的面积是28,那么平行线EH 、FG 间的距离是______. 15、a 、b 是异面直线,b 、c 是异面直线,那么直线a 、c 的位置关系是________. 〔三〕解做题16、设E 、F 、G 、H 依次是空间四边形ABCD 各边AB 、BC 、CD 、DA 的中点,设AC+BD=a,AC ·BD=b,求EG 2+FH 2的值.17、M 、N 分别是空间四边形ABCD 中AB 、CD 中点,求证：MN<21〔AD+BC 〕.18、S 是正三角形ABC 所在平面外一点,SA=SB=SC,且∠ASB=∠BSC=∠CSA=900,M 、N 分别是AB 和SC 中点,求异面直线SM 与BN 所成的角.19、长方体ABCD —A ’B ’C ’D ’中,AB=2,BC=BB ’=1,M 、N 分别是AD 和BC 中点,求异面直线MN 和BC ’所成角的大小.20、正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中,假设E 、M 、N 分别是棱AB 、BC 及B 1D 1的中点,求异面直线DN 与MC 1所成的角.第3讲直线和平面平行与平面和平面平行一、典型例题例1、 P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,Q 是PA 中点,求证：PC ∥平面BDQ.分析：为了在平面BDQ 内找到一条与PC 平行的直线,只要设法过PC 作一个与平面BDQ 相交的平面β,那么β与平面BDQ 的交线即为所求直线.∵ PA ∩PC=P∴ PA 、PC 可确定平面PAC 连AC,设AC ∩BD=O 那么 O ∈AC,O ∈BD∴ O ∈平面PAC,O ∈平面QBD 又 Q ∈PA∴ Q ∈平面PAC,Q ∈平面QBD ∴ 平面PAC ∩平面BQD=OQ这就找到了过PC 的辅助平面PAC 与平面BDQ 的交线OQ,下证OQ ∥PC 即可. ∵ O 为平行四边形ABCD 对角线的交点 ∴ O 为BD 中点 又Q 为PA 中点 ∴ OQ ∥PC 又OQ ⊂平面BQD ∴ PC ∥平面BQD注：1、此题通过两条相交直线PA 、PC 构造出了辅助平面PAC ； 1、 在证实PC ∥OQ 时,利用中位线定理；2、 此题还可以通过构造辅助平面,利用面面平行的性质证实. 延长AB 至E,使AB=BE,连PE 、CE ∵ B 为AE 中点 ∴ BQ ∥PE∵ BE //==CD∴ BD ∥EC 又BQ ∩BD=B∴ 平面BDQ ∥平面PCE ∴ PC ∥平面BDQ3、 在3中,假设再延长EC 与AD,设它们的交点为F,那么一定有平面BDQ ∥平面PEF.4、 由上面两种证法可知,构造辅助平面在立体几何证实中的重要性.例2、两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB,M ∈AC,N ∈FB,且AM=FM,求证：MN ∥平面BCE.分析：由例1的分析可知,解题的关键是如线在直线MN 的根底上构造辅助平面. 法一：利用线面平行的判断定理根据构造平面的位置差异,又有以下几种途径： 途径一：辅助平面由AC 与MN 确定延长AN 交BE 延长于G,连CG,CG 为辅助平面CAN 与平面BCE 的交线,下证CG ∥MN. ∵ AF ∥BE ∴NGANNB FN =∵ FN=AM,FB=AC ∴ NB=MC ∴MCAMNB FN =∴NGANMC AM =该等式中的线段均在同一平面内 ∴ MN ∥CG途径二：辅助平面与MN 由BF 确定,延长BM 交AD 于H,连FH,下证FH ∥MN.类似于途径一.略途径三：分别过M 、N 作MM 1⊥BC,NN 1⊥BE,M 1、N 1为垂足.辅助平面由MM 1与NN 1构造,M 1N 1为辅助平面MM 1N 1N 与平面BCE 的交线,下证MN ∥M 1N 1.∵ MM 1∥AB ∴AB MM CA CM 1=① ∵ NN 1∥EF ∴EFNN BF BN 1=② ∵ AC=BF,AM=FN ∴ CM=BN 又AB=EF∴ 由①②得MM 1=NN 1 ∴ MM 1N 1N 为平行四边形 ∴ MN ∥M 1N 1 ∴ MN ∥平面BCE法二；利用面面平行的性质此时,同样要在MN 根底上构造与平面BCE 平行的辅助平面 过M 、N 分别作AB 的垂线,设垂足分别为M 2、N 2 ∵ MM 2∥CB ∴AC AMAB AM 2=∵ NN 2∥AF ∴FBFNAB AN 2=∵ AM=FN,AC=FB ∴ AM 2=AN 2 ∴ M 2与N 2重合 ∴ 平面MM 2N ∥平面BCE ∴ MN ∥平面BCE注：平面几何知识是学好立体几何的根底之一,在运用平面几何知识时,应在相关元素在同一平面的前提下进行,否那么可能发生错误.如此题运用的平行线分线段成比例定理.例3、P 是△ABC 所在平面外一点,A ’,B ’,C ’分别是△PBC,△PCA,△PAB 的重心,（1） 求证：平面A ’B ’C ’∥平面ABC ； （2） 求S △A ’B ’C ’ ：S △ABC .分析：根据判定定理,欲证面面平行,应先证线面平行,而线线平行又是线面平行的根底,就此题而言,应沉着易把握的线线平行着手.连PC ’,PA ’,PB ’分别交AB,BC,CA 于D,E,F 那么D,E,F 分别为AB,BC,CA 中点,且A ’,B ’,C ’分别为PE,PF,PD 的三等分点. ∵32PE 'PA PD 'PC == ∴ A ’C ’∥DE∵32PF 'PB PE 'PA == ∴ A ’B ’∥EF∴ 平面A ’B ’C ’D ’∥平面ABC注：此题直接利用面面平行判定定理的推论,不必再将线线平面转化为线面平行. 〔2〕∵32PD 'PC DE 'C 'A == ∴ A ’C ’=32DE 又DE=21AC ∴ A ’C ’=31AC,即31AC 'C 'A =同理：31AB 'B 'A =,31BC 'C 'B = ∴ △A ’B ’C ’∽△ABC∴ 91AC 'C 'A S S 2ABC 'C 'B 'A =⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆注：当两个三角形相似时,平移它们的位置到空间时,因三角形形状未变,仍然是相似的.此题在空间中运用了平面几何中的三角形相似定理,是正确的. 二、同步练习 〔一〕选择题1、 a ∥α,那么a 平行于α内的A 、一条确定的直线B 、任意一条直线C 、所有直线D 、无穷多条平行直线2、a,b 是异面直线,以下结论正确的选项是A 、过不在a,b 上的任一点,可作一个平面与a,b 平行B 、过不在a,b 上的任一点,可作一条直线与a,b 相交C 、过不在a,b 上的任一点,可作一条直线与a,b 都平行D 、过a 可以并且只可以作一平面与b 平行3、设α∩β= ,a ∥α,a ∥β,那么a 与 的位置关系是A 、异面B 、平行C 、相交D 、异面或相交 4、a 是平面α外一条直线,以下条件可得出a ∥α的是A 、a 与α内的一条直线不相交B 、a 与α内的两条直线不相交C 、a 与α内的无数条直线不相交D 、a 与α内的所有直线不相交 5、a 是平面α外的一条直线,过a 作平面β,使β∥α,以下结论正确的选项是 A 、这样的β只可以作一个 B 、这样的β至少可作一个 C 、这样的β不存在 D 、这样的β至多有一个 6、α∥β,a ⊂α,B ∈β,那么在β内过点B 的直线中A 、不存在与a 平行的直线B 、不一定存在与a 平行的直线C 、有且只有一条与a 平行的直线D 、有无穷多条与a 平行的直线 〔二〕填空题7、A ∉α,过点A 可作______条直线与α平行.8、ABCD 是梯形,AB ∥CD,AB=a,CD=b,AC 与BD 交于O,过O 作平面α与AB 平行,AD ∩α=M,BC ∩α=N,那么MN=__________.9、a ∥α,A 是α另一侧的点,B,C,D ∈a,线段AB,AC,AD 交α于E,F,G,假设BD=4,CF=4,AF=5,那么EG=__________.10、△ABC 中,AB=5,AC=7,A=600,G 是重心,过G 的平面α与BC 平行,AB ∩α=M,AC ∩α=N,那么MN=__________. 11、设α∥β,A 、C ∈α,B 、D ∈β,直线AC 与CD 交于点S,且AS=8,BS=9,CD=34. 〔1〕当S 在α,β之间时,CS=__________. 〔2〕当S 不在α,β之间时,CS=___________.12、α∥β,△ABC 在平面β内,P 是α,β间一点,线段PA,PB,PC 分别交α于A ’,B ’,C ’,假设BC=12,AC=5,AB=13,且PA ’∶PA=2∶3,那么△A ’B ’C ’的面积为________.13、假设a ∥b,a ∥α,那么b 与α的位置关系是________. 14、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中（1） BD 与平面AD 1C 的位置关系是__________； （2） BD 与平面CB 1D 1的位置关系是__________； （3） 平面CB 1D 1与平面A 1BD 的位置关系是__________. （三） 解做题15、 a ∥b,a ∥α,b ⊄α,求证b ∥α. 16、 α∩β= ,a ∥α,a ∥β,求证：a ∥ .17、 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 、F 、G 分别为B 1C 1,A 1D 1,A 1B 1的中点, 求证：平面EBD ∥平面FGA18、两条异面直线a,b 分别与三个平行平面α,β,γ相交于点A,B,C 和P,Q,R,又AR,CP 与平面β相交于点M,N,求证：MBNQ 为平行四边形.FDCFEB AE =,19、α∥β,C ∈α,B 、D ∈β,点E 、F 分别在线段AB 、CD 上,且求证：EF ∥β.第4讲直线和平面平行的判定和性质一、典型例题例1、MN⊥a,MN⊥b,a、b为异面直线,a∥α,b∥α,求证：MN⊥α.分析：只要将a、b平移到α内去即可.设MN∩α=0,设a与O确定的平面交α于a’,那么由线面平行的性质定理a∥a’设b与O确定的平面交α于b’,那么b∥b’∵ MN⊥a,a’∥a∴ MN⊥a’同理：MN⊥b’∵ a’∩b’=0,a’⊂α,b’⊂α∴ MN⊥α例2、〔1〕P是△ABC所在平面外一点,PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,H是△ABC的垂心,求证：PH⊥平面ABC.〔2〕P是△ABC所在平面外一点,PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,PH⊥平面ABC,H为垂足,求证：H为垂心.分析：从线线垂直与线面垂直的相互转化入手〔1〕∵ PA⊥PB,PA⊥PC∴ PA⊥平面PBC∴ PA⊥BC∵ H为△ABC垂心∴ BC⊥AH∵ PA∩AH=A∴ BC⊥平面PAH∴ BC⊥PH同理：AB⊥PH∵ AB∩BC=B∴ PH⊥平面ABC〔2〕由〔1〕得：PA⊥BC∵ PH⊥平面ABC∴ AH为PA在平面ABC上的射影∵ BC⊂平面ABC,BC⊥PA∴ BC⊥AH同理：AB⊥CH∴ H为△ABC垂心注：此题中的两个小问题可以看成是一对逆命题.在过同一顶点的三条棱PA、PB、PC两两都垂直的条件下,P在平面ABC 上的射影与△ABC的垂心为同一点.例3、a⊄α,a⊥b,b⊥α,求证：a∥α.分析：设法构造经过直线a的辅助平面β,使得β与α相交,那么只要证实a平行于交线即可.∵ b⊥α∴ b垂直于α内任一条直线又 a⊥b由此联想到平面几何中的定理“垂直于同一条直线的两条直线平行〞,从把a、b转移到同一平面内着手.任取点A∈a,过A作b’∥b,设b’∩α=B,那么b’⊥α〔请同学们思考如何证实〕设由a,b’确定的平面β交α于c,那么b’⊥c∵ a ⊥b,b ’∥b ∴ b ’⊥a∵ a,b ’,c 均在平面β内 ∴ a ∥c ∴ a ∥α例4、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中（1） 求证：A 1C ⊥BD,A 1C ⊥C 1D,A 1C ⊥B 1A ； （2） 求证：A 1C ⊥平面BDC 1；（3） 设O 是正方形BCC 1B 1的中央,求证：BC 1⊥DO.分析：〔1〕此题中的三组线线垂直都是异面垂直,假设用定义证实,那么繁顼.考虑用三垂线定理及逆定理.在正方体A 1B 1C 1D 1—ABCD 中,由每一个面都是正方形,利用线面垂直的判定定理,易证：AA 1、BB 1、CC 1、D 1D 都与平面ABCD 及平面A 1B 1C 1D 1垂直；AB 、DC 、A 1B 1、D 1C 1都与平面BB 1C 1C 、平面AA 1D 1D 垂直；A 1D 1、AD 、B 1C 1、BC 都与平面AA 1B 1B 、平面CC 1D 1D 垂直.这些垂直关系应熟记,可直接作为结论使用.∵ A 1A ⊥平面ABCD∴ AC 为A 1C 在平面ABCD 上的射影 ∵ BD ⊥AC,BD ⊂平面ABCD ∴ BD ⊥A 1C在这里选取根本平面为ABCD同理,选取平面CC 1D 1D 为根本平面,证A 1C ⊥C 1D 选取AA 1B 1B 为根本平面,证A 1C ⊥B 1A 〔2〕由〔1〕,A 1C ⊥BD,A 1C ⊥C 1D∵ BD ∩C 1D=D ∴ A 1C ⊥平面BDC 1 〔3〕∵ DC ⊥平面BB 1C 1C∴ OC 为DO 在平面BB 1C 1C 上的射影 ∵ BC 1⊂平面BB 1C 1C,BC 1⊥OC ∴ BC 1⊥DO注：在垂直关系的证实中,应有意识地培养线线垂直与线面垂直转化的思想.三垂线定理及逆定理是证实异面直线垂直的重要方法.例5、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 为AA 1中点,P 为正方形A 1B 1C 1D 1的中央 （1） 求证：MP ⊥B 1C ；（2） 线段A 1B 1上的点N 满足A 1N=31NB 1,求证：MN ⊥MC. 分析：〔1〕法一：直接利用三垂线定理,选平面BB 1C 1C 为根本面.找MP 在平面BB 1C 1C 上的射影. 作MM 1∥A 1B 1交BB 1于点M 1 作PP 1∥A 1B 1交B 1C 1于点P 1那么MM 1⊥平面BB 1C 1C,PP 1⊥平面BB 1C 1C ∴ M 1P 1为MP 在平面BB 1C 1C 上的射影 ∵ M 为AA 1中点,P 为A 1C 1中点 ∴ M 1、P 1分别为BB 1、B 1C 1的中点 ∴ M 1P 1∥BC 1 又 BC 1⊥B 1C ∴ M 1P 1⊥B 1C由三垂线定理：MP ⊥B 1C法二：把MP 平移,转化利用三垂线定理矩形AA 1C 1C 中,M 、P 分别为AA 1、A 1C 1的中点 ∴ MP ∥AC 1 由上题知AC 1⊥B 1C ∴ MP ⊥B 1C〔2〕选平面AA 1B 1B 为根本面∵ CB ⊥平面AA 1B 1B∴ BM 为CM 在平面AA 1B 1B 上的射影 下面只要证实BM ⊥MN 即可 ∵ BM 与MN 在同一平面内 ∴ 利用勾股定理设正方体棱长为a,那么BM 2=AB 2+AM 2=a 2+22a 452a =⎪⎭⎫⎝⎛MN 2=MA 12+A 1N 2=222a 1654a 2a =⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛ BN 2=BB 12+B 1N 2=222a 16254a 3a =⎪⎭⎫⎝⎛+ ∵ BM 2+MN 2=BN 2∴ BM ⊥MN ∴ MC ⊥MN注：利用勾股定理证实线线垂直,表达了数量关系与位置关系的联系. 二、同步练习 （一） 选择题1、 空间四边形ABCFD 的四边相等,那么它的对角线AC 与BD 的关系是 A 、 垂直相交 B 、相交但不一定垂直 C 、垂直但不相交 D 、不垂直不相交2、 矩形ABCD 中,AB=3,BC=4,PA ⊥平面ABCD,PA=1,那么P 到对角线BD 的距离为 A 、229 B 、513 C 、517 D 、119513、 △ABC 中,AB=AC=5,BC=6,PA ⊥平面ABC,PA=8,那么P 到BC 的距离是 A 、5 B 、52 C 、53 D 、544、P 是△ABC 所在平面α外一点,P 到△ABC 三边的距离相等,PO ⊥α,O 为垂足,O 在△ABC 内部,那么O 是△ABC 的A 、 外心B 、内心C 、垂心D 、重心5、P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,假设P 到ABCD 四边距离相等,那么ABCD 一定是A 、菱形B 、矩形C 、正方形D 、以上都不是 6、异面直线在同一平面上的射影不可能是A 、两平行直线B 、同一直线C 、两相交直线D 、一点与一直线7从平面外一点P 引与α相交的直线,使点P 与交点的距离等于1,那么满足条件 直线条数一定不可能是 A 、0条 B 、1条 C 、2条 D 、无数条8、PH ⊥α,H 为垂足,HE ⊂α,EF ⊂α,HE ⊥EF,连PE 、PF 、HF,那么图中直角三角形的个数是 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个9、PE 垂直于⊙O 所在平面,EF 是⊙O 的直径,点G 为圆周上异于E 、F 的任一点,那么以下结论不正确的选项是 A 、FG ⊥平面PEG B 、PG ⊥FG C 、EG ⊥PF D 、PE ⊥GF10、如果∠APB=∠BPC=∠CPA=600,PA=a,PA 在平面∠BPC 上的射影为PO,那么cos ∠APO 等于A 、21B 、2626C 、36D 、33〔二〕填空题11、PO ⊥平面AOB,∠AOB=900,AB=a,∠PAO=∠PBO=α, C 是AB 中点,那么PC=__________.12、假设a ∥b,a ⊥α,那么b______α；假设a ⊥b,a ⊥α,那么b______α.13、空间四边形ABCD 中,AB=AD,BC=CD,假设BD=5,AC=4,M 、N 、P 、Q 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点,那么MNPQ 的面积是__________.14、△ABC 中,∠ACB=900,P 是平面ABC 外一点,PA=PB=PC,假设AC=12,P 到平面ABC 的距离为8,那么P 到BC 的距离等于__________.15、正三角形ABC 的边长为a,AD ⊥BC,D 为垂足,沿AD 将△ABC 折起,使∠BDC=900,那么B 到AB 的距离为__________. 〔三〕解做题16、四面体ABCD 中,AB ⊥CD,AC ⊥BD,求证：AD ⊥BC.17、Rt △ABC 中,∠ACB=900,AC=3,BC=4,PC ⊥平面ABC,PC=59,求点P 到直线AB 的距离.18、假设直角ABC 的一边BC 平行于平面α,另一边AB 与平面α斜交,求证：∠ABC 在平面α上的射影仍是直角.19、空间四边形PABC 中,PA ⊥平面ABC,假设∠BAC ≠900,求证：A 在平面PBC 上的射影A ’不可能是△PBC 的垂心.20、A 是△ABC 所在平面外一点,∠ABD=∠ACD=900,AB=AC,E 是BC 中点,求证：〔1〕AD ⊥BC ；〔2〕△AED 是钝角三角形.第5讲空间向量及其运算一、典型例题例1、 空间四边形ABCD 中,E 为AD 中点,F 为B 台点,求证：21EF =→--〔→--AB +→--DC 〕. 解题思路分析：法一：利用多边形法那么,找出→--EF 与有关向量的等量关系,再对相关向量进行变换,到达题目要求. 例如：→--EF =→--ED +→--DC +→--CF ,→--EF =→--EA +→--AB +→--BF ∴ 2→--EF =→--ED +→--EA +→--CF +→--BF +→--DC +→--AB ∵ E,F 分别为AD,BC 中点∴→--ED 与→--EA 为相反向量,→--ED +→--EA =→-0同理,→--CF +→--BF =→-0 ∴ 2→--EF =→--DC +→--AB ,21EF =→--〔→--AB +→--DC 〕 法二：构造根本三角形,利用加法定理例如：取AC 中点G,那么EG //==21DC,21EG =→--→--DC ,FG //==AB,21EG =→--→--AB∴→--EF =→--EG +→--GF =21→--DC +21→--AB =21〔→--AB +→--DC 〕 法三：选择适当基底,把问题中的向量转化为基底之间的关系或运算 例如：选基底{→--AB ,→--AC ,→--AD }那么21AE =→--→--AD ,→--AF =21〔→--AB +→--AC 〕∴ →--EF =→--AF -→--AE =21〔→--AB +→--AC -→--AD 〕 =21〔→--AB +→--DC 〕 说明：基底的选法是不唯一的.此题选从同一顶点出发的三条有向线段作为基底是选基底的最常用方法.还有一种常用选法是在空 间任取一点O,以从点O 出发的三条不共面的向量为基底.例2、向量{→-a ,→-b ,→-c }中选哪一个向量,一定可以与向量→-p =→-a +→-b ,→-q =→-a -→-b ,构成空间的另一个基底？ 解题思路分析：由空间向量根本定理可知,空间任意不共面的三个向量都可以构成空间的一个基底 ∵ →-a +→-b , →-a -→-b 与→-a ,→-b 构成平行四边形 ∴ →-a +→-b , →-a -→-b , →-a ,→-b 一定共面 ∴ →-a 与→-b 不能与→-a +→-b ,→-a -→-b 构成基底 ∴ →-c 与→-a +→-b ,→-a -→-b 可以构成空间的一个基底例3、平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,→--1AA =→-a ,→--AB =→-b ,→--AD =→-c ,M,N,P,Q 分别是A 1D 1,CC 1,BC,A 1D 的中点,用基底{→-a ,→-b ,→-c }表示以下向量： 〔1〕→--AN 〔2〕→--PQ 〔3〕→--MN解题思路分析：利用多边形法那么,或构造假设干个相关的三角形 〔1〕→--AN =→--AB +→--BC +→--CN =→--AB +→--AD +21→--1CC =+→--AB 21AD +→--21AA 1=→--→-a +→-b +→-c或者：→--AN =→--AC +→--CN =+→--AB →--AD +21CC 211=→--→-a +→-b +→-c 〔2〕→--PQ =-→--AQ 21AP =→--〔→--+1AA →--AD 〕-+→--AB (21→--AC 〕=→--+1AA (21→--AD --→--AB +→--AB →--AD 〕 =2AA (211-→--→--AB 〕=21→-a -→-b 〔3〕=→--MN -→--AN =→--AM -→--AN 〔+→--1AA →--M A 1〕 =-→--AN -→--1AA →--11D A 21 =21→-a +→-b +→-c -→-a -21→-c =21→-a +→-b +21→-c说明：用基向量的线性组合去表示相关向量,是用向量知识研究几何问题的根底.在寻找线性组合的过程中,主要是以向量为边构造三角形或多边形〔包括平行四边形〕.假设M 为→--AB 中点,那么21OM =→--〔+→--OA →--OB 〕是经常用到的重要公式. 例4、四面体ABCD 中,AB ⊥CD,AC ⊥BD,求证：AD ⊥BC. 解题思路分析：首先将几何语言“译〞为向量语言,即→--AB ·→--CD =0,→--AC ·→--BD =0,求证：→--AD ·→--BC =0 其次,选择适当的基底,沟通向量与未知向量之间的关系例如：途径一：选基底{→--AB ,→--AC ,→--AD },设→--AB =→-a ,=→--AC →-b ,=→--AD →-c ,那么：=→--CD -→--AD →--AC =→-c -→-b ,=→--BC →-b -→-a ,=→--BD →-c -→-a∵ →--AB ·0CD =→-- ∴ →-a ·〔→-c -→-b 〕=0∴ →-a ·→-c -→-b ·→-a =0 ① ∵ →--AC ·0BD =→-- ∴ →-b ·〔→-c -→-a 〕=0∴→-b ·→-c -→-b ·→-a =0 ② ①-②得：→-a ·→-c -→-b ·→-c =0 ∴ →-c ·〔→-a -→-b 〕=0 ∴ →--AD ·0CB =→-- ∴ AD ⊥BC途径二：任取空间一点O,其基底{→--OA ,→--OB ,→--OC } 设=→--OA →-a ,=→--BC →-b ,=→--OC →-c 那么→--AB =→-b -→-a ,=→--BC →-c -→-b→--AC =→-c -→-a再设=→--OD →-d那么=→--AD →-d -→-a ,=→--BD →-d -→-b ,=→--CD →-d -→-c ∵ →--AB ·0CD =→--∴〔→-b -→-a 〕·〔→-d -→-c 〕=0∴ →-b ·→-d -→-b ·→-c -→-a ·→-d +→-a ·→-c =0 ① ∵ →--AC ·0BD =→--∴ →-c ·→-d -→-b ·→-c -→-a ·→-d +→-a ·→-b =0 ② ①-②得：→-b ·→-d -→-c ·→-d +→-a ·→-c -→-a ·→-b =0 ∴ →-d ·(→-b -→-c 〕-→-a ·(→-b -→-c 〕=0 ∴〔→-b -→-c 〕·〔→-d -→-a 〕=0 ∴ →--CB ·→--AD =0 ∴ CB ⊥AD说明：由上述两种选基底的方法可知,由于基底的选择不同,向量运算的简繁程度也有所差异,因此,应学会选择适当的基底.例5、P 是正方形ABCD 所在平面外一点,PA=PB=PC=PD=AB=m,假设M,N 分别在PA 、BD 上,且31BD BN PA PM == （1） 求证：MN ∥平面PBC （2） 求证：MN ⊥AD（3） 求MN 与PC 所成角的大小 解题思路分析：〔1〕根据共面向量定理,只需证实→--MN 可以表示为→--PB 、→--PC 、→--BC 中任两个向量的线性组合,为此,必须选基底,再利用三角形法那么,利用基底找到上述向量之间的线性关系.取基底{→--PA ,→--PB ,→--PC },设=→--PA →-a ,→--PB =→-b ,=→--PC →-c ,那么31PM =→--→-a ,=→--BA →-a -→-b ,=→--BC →-c -→-b ∴ =→--BD +→--BA =→--BC →-a +→-c -2→-b∴ =→--PN →--PB +=→--BN →--PB +31BD 31=→--(→-a +→-b +→-c ) 31PM =→--→-a ∴ =→--MN -→--PN 31PM =→--〔→-b +→-c 〕=→--PB 31+→--PC 31∴ →--MN 与→--PB ,→--PC 共面 ∴ →--PB ⊄平面PBC ∴ MN ∥平面PBC〔2〕只需证→--MN ·0AD =→--,=→--AD =→--BC →-c -→-b∵ →--MN ·31AD =→--〔→-b +→-c 〕·〔→-c -→-b 〕=31〔2c →--2b →-〕=31〔|2|c →--2|b |→-〕=0∴ →--MN ⊥→--AD ,MN ⊥AD （4） 利用数量积公式的变形∵ →--MN ·→--PC =|→--MN |·|→--PC | cos<→--MN ,→--PC >∴ cos<→--MN ,→--PC >=〔→--MN ·→--PC 〕/〔|MN |·|→--PC |〕 ∵ 91|MN |2=→--(→-b +→-c )2=91(2b →-+2c →-+2→-b ·→-c ) →-b ·→-c =|→-b ||→-c |cos<→-b ,→-c >=m 2cos 2m 32=π∴ 91|MN |2=→--(m 2+m 2+m 2)=3m 2∴ |→--MN |=m 33又∵ →--MN ·31PC =→--〔→-b +→-c 〕·→-c =31〔→-b ·→-c +2c →-〕 =222m 21)m 2m (31=+∴ cos<→--MN ,→--PC >=〔→--MN ·→--PC 〕/〔|MN |·|→--PC |〕=23m m 33m 212=⋅∵ <→--MN ,→--PC >∈[0,π] ∴ <→--MN ,→--PC >=300∴ MN 与PC 成300角说明：由本例可以看出,用向量解决几何问题,重在问题运算,降低了对空间图形抽象思维的要求,显得简单,易于上手. 例6、PA ⊥平面ABCD,ABCD 为矩形,PA=AD,M 、N 分别是PC 、AB 中点,求证：MN ⊥平面PCD. 解题思路分析：只需证→--MN 与→--PC 、→--PD 、→--CD 中任意两个向量的数量积等于0 选基底{→--AP ,→--AB ,→--AD },设=→--AP →-a ,=→--AB →-b ,=→--AD →-c那么=→--AC +→--AB →--AD =→-b +→-c ,21AM =→--〔→--AP +→--AC 〕=21〔→-a +→-b +→-c 〕∴ =→--MN -→--AN 21AM =→--→-b -21〔→-a +→-b +→-c 〕=-21→-a -21→-c ∵ PA ⊥平面ABCD ∴ PA ⊥AB,PA ⊥AD ∴→-a ·→-b =0,→-a ·→-c =0又AB ⊥AD。
高二数学下学期知识点复习整理
高二数学下学期知识点复习整理高二数学下学期知识点复习1总体和样本①在统计学中,把研究对象的全体叫做总体。
②把每个研究对象叫做个体。
③把总体中个体的总数叫做总体容量。
④为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：x1，x2，....，研究，我们称它为样本.其中个体的个数称为样本容量。
简单随机抽样也叫纯随机抽样。
就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随。
机地抽取调查单位。
特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同(概率相等)，样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。
简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础,高三。
通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。
简单随机抽样常用的方法①抽签法②随机数表法③计算机模拟法④使用统计软件直接抽取。
在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：①总体变异情况;②允许误差范围;③概率保证程度。
抽签法①给调查对象群体中的每一个对象编号;②准备抽签的工具，实施抽签;③对样本中的每一个个体进行测量或调查。
高二数学下学期知识点复习21、圆的定义平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。
2、圆的方程(1)标准方程,圆心,半径为r;(2)一般方程当时,方程表示圆,此时圆心为,半径为当时,表示一个点;当时,方程不表示任何图形。
(3)求圆方程的方法:一般都采用待定系数法:先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况:(1)设直线,圆,圆心到l的距离为,则有(2)过圆外一点的切线:①k不存在,验证是否成立②k存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,求解k,得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r24、圆与圆的位置关系通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。
高二数学下册课本知识点
高二数学下册课本知识点高二数学下册课本知识点1数列定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。
等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d(1)前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2)以上n均属于正整数。
解释说明：从(1)式可以看出，an是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由(2)式知，Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。
在等差数列中，等差中项：一般设为Ar，Am+An=2Ar,所以Ar 为Am，An的等差中项，且为数列的平均数。
且任意两项am，an的关系为：an=am+(n-m)d它可以看作等差数列广义的通项公式。
推论公式：从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n}若m，n，p，q∈N_，且m+n=p+q，则有am+an=ap+aq，Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差数列，等等。
基本公式：和=(首项+末项)×项数÷2项数=(末项-首项)÷公差+1首项=2和÷项数-末项末项=2和÷项数-首项末项=首项+(项数-1)×公差高二数学下册课本知识点21.不等式的定义：a-b>;0a>;b， a-b=0a=b， a-b<;0a① 其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。
它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。
②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。
作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。
高二数学教案：第十章复习讲义(1)
高二数学（下）第十章复习讲义（1）排列与组合一、复习目标1．复习分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决简单的应用问题；2．理解排列与组合的意义，掌握排列数和组合数的计算公式，掌握组合数的两个性质， 并能应用它们解决一些简单的问题。
二、基础训练1．5人分4张同样的足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同的分法的种数（D ） ()A 45 ()B 54 ()C 5432⨯⨯⨯ ()D 54324!⨯⨯⨯ 2．5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不 同选法的种数是 （B ） ()A 45 ()B 54 ()C 5432⨯⨯⨯ ()D 54324!⨯⨯⨯ 3．正十二边形的对角线的条数是（B ） ()A 12112⨯ ()B 1292⨯ ()C 1211⨯()D 129⨯ 4．以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是 （D ） ()A 1387C C ()B 48C ()C 486C - ()D 4812C -5．若1121n n C -+=，那么n = 6 ．6．学生可从本年级开设的7门任意选修课中选择3门，从6种课外活动小组中选择2种，不同选法种数是3276525C C =．7．安排6名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，也不是最后出场，不同的演出顺序有1545480C A =种．三．例题分析例1． 4个男同学，3个女同学站成一排，⑴3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？⑵任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？⑶其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？⑷甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？⑸女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？（3个女生身高互不相等）答案：⑴3535720A A =； ⑵43451440A A =； ⑶233253720A A A =；⑷251254960A A A =； ⑸7714840A A =。
高二数学下册知识点
高二数学下册知识点高二数学下册包含了许多重要的知识点，涵盖了代数、几何、概率与统计等方面。
下面将会逐个介绍这些知识点，帮助大家更好地理解和掌握高二数学下册的内容。
一、代数1. 函数与方程(1) 二次函数：二次函数的标准方程为 y=ax²+bx+c，其中 a、b、c 为常数，a≠0。
二次函数的图像为开口朝上或开口朝下的抛物线。
(2) 一次函数：一次函数用 y=ax+b 表示，其中 a、b 为常数，且a≠0。
一次函数的图像为直线。
(3) 高次函数：高于二次的函数称为高次函数，如三次函数、四次函数等。
(4) 方程：方程是含有未知数的等式，可以通过解方程来求得未知数的值。
2. 数列与数学归纳法(1) 等差数列：数列中每一项与前一项的差值相等。
(2) 等比数列：数列中每一项与前一项的比值相等。
(3) 数学归纳法：数学归纳法是用来证明一般命题的方法，包括基础步骤和归纳步骤。
3. 逻辑与命题(1) 命题：陈述句，可以判断真假的陈述。
(2) 逻辑联结词：包括与、或、非等，用来连接命题构成复合命题。
(3) 命题符号化：将自然语言中的命题用符号表示。
(4) 命题的合取与析取：合取是指将多个命题以“与”连接，构成一个新的命题；析取是指将多个命题以“或”连接，构成一个新的命题。
二、几何1. 平面几何(1) 三角形：三角形的分类、性质与定理。
(2) 相似三角形：相似三角形的性质与判定。
(3) 合同三角形：合同三角形的性质与判定。
(4) 圆：圆的性质、定理与相关的计算。
2. 空间几何(1) 空间中的直线和平面：直线与平面的定义、性质与关系。
(2) 空间中的角：角的性质、类型与相关定理。
(3) 空间直角坐标系：空间直角坐标系的引入与应用。
(4) 空间图形的计算：如长方体、正方体、棱柱、棱锥等图形的体积与表面积计算。
三、概率与统计1. 概率(1) 随机事件与样本空间：事件的定义、种类与概率计算。
(2) 概率的计算规则：包括加法法则、乘法法则、全概率公式和贝叶斯定理。
2003年秋季高二数学期末考试复习提纲.
2003年秋季高二数学期末考试复习提纲⑸直线和平面垂直（中）一、基本知识⒈斜线在平面内的射影如图1，过一点向直线引垂线，垂足叫做这点在这条直线上的射影。
同样，过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面内的射影。
一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直时，这条直线就叫做这个平面的，斜线和平面的交点叫做。
（如图2中直线l）从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过和的直线叫做斜线在这个平面内的射影。
（如图2中直线m）从平面外同一点．．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中：⑴垂线段比任何一条斜线段都短；⑵射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；⑶相等的两条斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长。
例：点P是ABC∆所在平面外一点，若PCPBPA==，则点P在平面ABC 的射影恰为ABC∆的【A】A、外心B、内心C、重心D、垂心⒉直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在这个平面内的射影．．所成的，叫做这条直线和这个平面所成的角。
说明：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是的角；一条直线和平面或，我们说它们所成的角是的角。
因此直线和平面所成的角∈θ。
l αlαlα例：点P 是ABC ∆所在平面外一点，若PA 、PB 、PC 与平面ABC 所成的角相等，则点P 在平面ABC 的射影恰为ABC ∆的【A 】A 、外心B 、内心C 、重心D 、垂心 ⒊三垂线定理及其逆定理在的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的 垂直，那么它也和这条斜线垂直。
即：PQ a QR a PR ⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥α。
在 的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的 垂直。
即：QR a PQ a PR ⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥α。
平面ABC 的射影恰为ABC ∆的【C 】⑵点P 是ABC ∆所在平面外一点，若BC PA ⊥、AC PB ⊥，则点P 在平面ABC 的射影恰为ABC ∆的【C 】⑶点P 是ABC ∆所在平面外一点，若点P 到ABC ∆三边的距离相等，则点P 在平面ABC 的射影恰为ABC ∆的【B 】A 、外心B 、内心C 、垂心D 、重心二、经典例题例1：如图，在ABC Rt ∆中，已知︒=∠90C ，1==BC AC ，PA ⊥平面ABC 且2=PA ，求PB 与平面PAC 所成的角。
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高二数学（下）复习讲义（1）
线面角与面面角
一．知识与方法要点：
1．斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角。
求斜线与平面所成的角关键是找
到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足，这时经常要用面面垂直来确定垂足的位置。
若垂足的位置难以确定，可考虑用其它方法求出斜线上一点到平面的距离。
2．二面角的大小用它的平面角来度量，求二面角大小的关键是找到或作出它的平面角(要证明)。
作二面角的平面角经常要用三垂线定理，关键是过二面角的一个面内的一点向另一个面作垂线，并确定垂足的位置。
若二面角的平面角难以作出，可考虑用射影面积公式求二面角的大小。
3．判定两个平面垂直，关键是在一个平面内找到一条垂直于另一个平面的直线。
两个平面垂直的性质定理是：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
二．例题
例1．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为C 1D 1中点．
(1)求证：AC 1⊥平面A 1BD ．
(2)求BM 与平面A 1BD 成的角的正切值．
解： (1)连AC ，
∵C 1C ⊥平面ABCD ， ∴C 1C ⊥BD ．
又AC ⊥BD ， ∴AC 1⊥BD ．
同理AC 1⊥A 1B
∵A 1B∩BD=B．∴AC 1⊥平面A 1BD ．
(2)设正方体的棱长为a ，连AD 1，AD 1交A 1D 于E ，连结ME ，在△D 1AC 1中，ME ∥AC 1，
∵AC 1⊥平面A 1BD ．∴ME ⊥平面A 1BD ．
连结BE ，则∠MBE 为BM 与平面A 1BD 成的角．在Rt MEB ∆中，122
AC ME a ==，
BE ==，∴tan 2ME MBE BE ∠==。
例2．如图，把等腰直角三角形ABC 以斜边AB 为轴旋转，使C
点移动的距离等于AC 时停止，并记为点P ．
（1）求证：面ABP ⊥面ABC ；
（2）求二面角C-BP-A 的余弦值．
证明（1） 由题设知AP ＝CP ＝BP ．
∴点P 在面ABC 的射影D 应是△ABC 的外心，
即D ∈AB ．∵PD ⊥AB ，PD ⊂面ABP ，
由面面垂直的判定定理知，面ABP ⊥面ABC ．
（2）解法1 取PB 中点E ，连结CE 、DE 、CD ．
∵△BCP 为正三角形，∴CE ⊥BD ．
△BOD 为等腰直角三角形，∴DE ⊥PB ．∴∠CED 为二面角C-BP-A 的平面角．
又由（1）知，面ABP ⊥面ABC ，DC ⊥AB ，AB ＝面ABP ∩面ABC ，
由面面垂直性质定理，得DC ⊥面ABP ．∴DC ⊥DE ．因此△CDE 为直角三角形．
设1BC =
，则CE =，12DE =
，1
cos DE CED CE ∠===。
例3．如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，1E BB ∈，截面1A EC ⊥侧面1AC ．
(1)求证：1BE EB =；
(2)若111AA A B =，求平面1A EC 与平面111A B C
所成二面角(锐角)的度数．
证明：在截面A1EC 内，过E 作EG ⊥A 1C ，G 是垂足，如图，
∵面A 1EC ⊥面AC 1，∴EG ⊥侧面AC 1．
取AC 的中点F ，分别连结BF 和FC ，由AB ＝BC 得BF ⊥AC ．
∵面ABC ⊥侧面AC 1，∴BF ⊥侧面AC 1，
得BF ∥EG ．BF 和EG 确定一个平面，交侧面AC 1于FG ．
∵BE ∥侧面AC 1，∴BE ∥FG ，四边形BEGF 是
，BE ＝FG ．
∴BE ∥AA 1，∴FG ∥AA 1，△AA 1C ∽△FGC ．
解：(2)分别延长CE 和C1B1交于点D ，连结A 1D ．
∵∠B 1A 1C 1＝∠B 1C 1A 1＝60°
∴∠DA 1C 1＝∠DA 1B 1＋∠B 1A 1C 1＝90°，即 DA 1⊥A 1C 1．
∵CC 1⊥面A 1C 1B 1，
由三垂线定理得DA 1⊥A 1C ，所以∠CA 1C 1是所求二面角的平面角．且∠A 1C 1C ＝90°． ∵CC 1＝AA 1＝A 1B 1＝A 1C 1，
∴∠CA 1C 1＝45°，即所求二面角为45°．
说明：如果改用面积射影定理，则还有另外的解法．
三、作业： 班级 姓名
1．已知平面α的一条斜线a 与平面α成θ角，直线b ⊂α，且a,b 异面，则a 与b 所成的角为
（ A ）
A 、有最小值θ，有最大值2
π。
B 、无最小值，有最大值2π。
C 、有最小值θ，无最大值。
D 、有最小值θ，有最大值π-θ。
2．下列命题中正确的是 （ D ）
A ．过平面外一点作该平面的垂面有且只有一个
B ．过直线外一点作该直线的平行平面有且只有一个
C ．过直线外一点作该直线的垂线有且只有一条
D ．过平面外的一条斜线作该平面的垂面有且只有一个
3．一条长为60的线段夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别为 45°和30°，这条线段的两个端点向平面的交线引垂线，则垂足间的距离是（ A ）
A ．30
B ．20
C ．15
D ．12
4．设正四棱锥S —ABCD 的侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成的角是
（ C ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°
5．正三棱锥的侧面与底面所成的二面角为arctan 6．A 是△BCD 所在平面外的点，∠BAC=∠CAB=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2. （Ⅰ）求证：AB ⊥CD ； （Ⅱ）求AB 与平面BCD 所成角的余弦值.
7．正四面体ABCD 中，E 是AD 边的中点，求：CE 与底面BCD 所成角的正弦值．
解 过A ，E 分别作AH ⊥面BCD ，EO ⊥面BCD ，H ，O 为垂足，
∴AH 2OE ，AH ，OE 确定平面AHD ，连结OC ，
∠ECO 即为所求．∵AB=AC=AD ，∴HB=HC=HD
∵△BCD 是正三角形，∴H 是△BCD 的中心，
连结DH 并延长交BC 于F ，F 为BC 的中点，
2233D H D F a ==，在Rt △ADH 中，
8．在四面体ABCD 中，DA ⊥面ABC ，∠ABC ＝90°，AE ⊥CD ，AF ⊥DB ．
求证：（1）EF⊥DC；（2）平面DBC⊥平面AEF．
证明如图1-83．（1）∵AD⊥面ABC．∴AD⊥BC．又∵∠ABC＝90°．∴BC⊥AB．∴BC⊥面DAB．∴DB是DC在面ABD内的射影．∵AF⊥DB．∴AF⊥CD（三垂线定理）．∵AE⊥CD．∴CD⊥平面AEF．∴CD⊥EF．
（2）∵CD⊥AE，CD⊥EF．∴CD⊥面AEF．∵CD面BCD．∴面AEF⊥面BCD．
（3）由EF⊥CD，AE⊥CD ∴ AEF为二面角B-DC-A的平面
又∵AF⊥DB，AF⊥CD，BD∩CD＝D ∴AF⊥平面DBC，。