【新】2019届高考数学一轮复习第九章平面解析几何课时跟踪训练45直线方程文

课时跟踪训练(四十五) 直线方程[基础巩固]一、选择题1．(2017·山东烟台一模)已知p ：“直线l 的倾斜角α>π4”；q ：“直线l 的斜率k >1”，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 直线l 的倾斜角α>π4，则直线l 的斜率k ＝tan α>1或k <0；又直线l 的斜率k >1，则tan α>1，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴p 是q 的必要不充分条件．[答案] B 2．给出下列说法：①经过点(1,0)的直线都可以表示为y ＝k (x －1)；②经过两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的直线的方程都可以表示为y －y 2y 1－y 2＝x －x 2x 1－x 2；③在坐标轴上截距相等的直线的斜率一定是－1；④直线方程的一般式可以表示平面上的任意直线．其中错误说法的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[解析] 直线x ＝1经过点(1,0)，但不可以表示为y ＝k (x －1)，①错误；若过A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点的直线垂直于坐标轴，则直线方程不可以表示为y －y 2y 1－y 2＝x －x 2x 1－x 2，②错误；经过原点的所有直线在坐标轴上的截距都相等，但这样的直线的斜率不一定是－1，③错误；直线方程的一般式可以表示平面上的任意直线，④正确．所以错误的结论有3个．[答案] C3．过点A (0,2)且倾斜角的正弦值是35的直线方程为( )A ．3x －5y ＋10＝0B ．3x －4y ＋8＝0C ．3x ＋4y ＋10＝0D ．3x －4y ＋8＝0或3x ＋4y －8＝0[解析] 设所求直线的倾斜角为α，则sin α＝35，∴tan α＝±34，∴所求直线方程为y＝±34x ＋2，即为3x －4y ＋8＝0或3x ＋4y －8＝0.[答案] D4．(2017·佛山质检)已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1[解析] 由题意得a ＋2＝a ＋2a，解得a ＝－2或a ＝1. [答案] D5．已知直线l 1的方程是y ＝ax ＋b ，l 2的方程是y ＝bx －a (ab ≠0，a ≠b )，则下列各示意图中，正确的是( )[解析] 对于A ，由直线l 1可得到a >0，b >0，由直线l 2可得到a <0，b <0，矛盾，排除A ；对于B ，由直线l 1可得到a >0，b <0，由直线l 2可得到a <0，b >0，矛盾，排除B ；对于C ，由直线l 1可得到a <0，b >0，由直线l 2可得到a <0，b <0，矛盾，排除C ，故选D.[答案] D6．一次函数y ＝－m nx ＋1n的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( )A ．m >1，且n <1B ．mn <0C ．m >0，且n <0D ．m <0，且n <0[解析] 因为y ＝－m nx ＋1n经过第一、三、四象限，故－m n>0，1n<0，即m >0，n <0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn <0.[答案] B 二、填空题7．经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距与在y 轴上的截距互为相反数的直线方程是________．[解析] 设直线在x 轴上的截距为a ， 当a ＝0时，直线的斜率k ＝－25，此时，直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.当a ≠0时，则直线的斜率为1，此时，直线方程为y －2＝x ＋5即x －y ＋7＝0.综上所述，所求直线的方程为x －y ＋7＝0或2x ＋5y ＝0. [答案] x －y ＋7＝0或2x ＋5y ＝08．过点(3,0)且倾斜角是直线x －2y －1＝0的倾斜角的两倍的直线方程为________． [解析] 设直线x －2y －1＝0的倾斜角为α，则tan α＝12.∴所求直线的斜率k ＝tan2α＝2tan α1－tan 2α＝43.故直线方程为y －0＝43(x －3)，即4x －3y －12＝0.[答案] 4x －3y －12＝09．(2017·岳阳二模)若点A (a ，b )(a >0，b >0)在直线2x ＋y －1＝0上，则1a ＋2b的最小值为________．[解析] 由已知得2a ＋b －1＝0，即2a ＋b ＝1，∴1a ＋2b＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝2＋2＋b a ＋4a b≥4＋2b a ·4a b ＝8，故1a ＋2b 的最小值为8，当且仅当b a ＝4a b ，即b ＝2a ＝12时取等号． [答案] 8 三、解答题10．已知△ABC 中，A (1，－4)，B (6,6)，C (－2,0)．求： (1)△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的方程； (2)BC 边的中线所在直线的方程．[解] (1)平行于BC 边的中位线就是AB 、AC 中点的连线． 因为线段AB 、AC 中点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，所以这条直线的方程为 y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，即6x －8y －13＝0.(2)因为BC 边上的中点为(2,3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即7x －y －11＝0.[能力提升]11．(2018·广东揭阳期中)已知点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段AB 有交点，设直线l 的斜率为k ，则k 的取值范围是( )A ．k ≥34或k ≤－4B ．－4≤k ≤34C ．k ≥34或k ≤－14D ．－34≤k ≤4[解析] 如图所示，过点B (－3，－2)，P (1,1)的直线斜率为k 1＝1－－1－－＝34.过点A (2，－3)，P (1,1)的直线斜率为k 2＝1－－1－2＝－4.从图中可以看出，过点P (1,1)的直线与线段AB 有公共点可看作直线绕点P (1,1)从PB 旋转至PA 的过程，∴k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞∪(－∞，－4]． [答案] A12．点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，那么2x ＋4y的最小值是( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．16 D ．不存在[解析] 由点A (3,0)，B (1,1)可得直线方程为x ＋2y －3＝0，∴x ＝3－2y . ∵2x＋4y＝23－2y＋22y ≥2 23－2y·22y＝28＝42，当且仅当23－2y＝22y，即y ＝34时，取“＝”号．∴2x＋4y的最小值为4 2. [答案] B13．若关于x 的方程|x －1|－kx ＝0有且只有一个正实数根，则实数k 的取值范围是________．[解析] 数形结合．在同一坐标系内画出函数y ＝kx ，y ＝|x －1|的图象如图所示，显然k ≥1或k ＝0时满足题意．[答案] k ≥1或k ＝014．若直线l ：(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0不经过第二象限，则实数a 的取值范围是__________． [解析] 将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋＝0，a －2≤0，∴a ≤－1.综上可知a 的取值范围是a ≤－1. [答案] (－∞，－1]15．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．[解] (1)证明：直线l的方程是：k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)． (2)由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为 －1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解之得k >0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k ≥0.(3)由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0，解得k >0.∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·＋2k2k＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4，“＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时l ：x －2y ＋4＝0.。