趣解“鸡兔同笼”
多种方法解决“鸡兔同笼”问题
教学资料:
多种方法解决“鸡兔同笼”问题
鸡兔同笼，头共有12个，脚共有30只,鸡、兔各有几只？
“鸡兔同笼”问题除了案例中讲到的图示法、列表法、假设法以外，还可以用以下方法解答。
方法一:安脚法
假设给每只鸡安装上2只假脚，结果每只鸡和兔就都有4只脚，一共安了4×12－30＝18(只）假脚，所以有鸡18÷2＝9(只），有兔12－9＝3（只).
方法二：砍脚法
假设砍掉每只鸡、每只兔的2只脚，结果剩下30－2×12＝6（只)脚，这时每只鸡已没有脚，每只兔剩下2只脚，所以兔有6÷2＝3(只），鸡有12－3＝9（只).
方法三：金鸡独立法
假设所有的鸡用一只脚站立，所有的兔用2只后脚站立，这时地上脚的总只数是原来的一半,即15只.这时鸡的脚数和头数相等,兔的脚数是头的2倍，兔有15－12＝3（只)，鸡有12－3＝9（只）。
图示法、列表法直观;安脚法、砍脚法、金鸡独立法(这三种方法也可以看成是假设法）有趣;而“全假设成鸡”或“全假设成兔”的假设法是解决“鸡兔同笼"问题常用的、也是最基本的方法，对于培养学生的思维能力有很好的促进作用.。
一元一次方程解鸡兔同笼问题
一元一次方程解鸡兔同笼问题
鸡兔同笼是中国古代的数学名题之一。
大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。
书中是这样叙述的，今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
这四句话的意思是，有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。
问笼中各有多少只鸡和兔？
解法如下：
解1：方程法，一元一次方程。
假设有鸡x头，则兔有（35−x）头，则，2x+4（35−x）=94，解得，x=23，即鸡23头，兔12头。
解2：方程法，二元一次方程组。
假设鸡x头，兔y头，则，x+y=35，2x+4y=94，联立，解得，x=23，y=12。
即鸡23头，兔12头。
鸡兔同笼的例题用方程解
鸡兔同笼的例题用方程解例题：鸡兔同笼是中国古代的数学名题之一。
大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。
书中是这样叙述的:今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何?这四句话的意思是:有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。
问笼中各有多少只鸡和兔?下面是较为简单的计算方式:(总脚数-总头数×鸡的脚数)÷(兔的脚数-鸡的脚数)=兔的只数(94-35×2)÷2=12(兔子数)总头数(35)-兔子数(12)=鸡数(23)解释:让兔子和鸡同时抬起两只脚，这样笼子里的脚就减少了总头数×2只，由于鸡只有2只脚，所以笼子里只剩下兔子的两只脚，再÷2就是兔子数。
方法/步骤1，折叠假设法：假设全是鸡:2×35=70(条)鸡脚比总脚数少:94-70=24(只)兔子比鸡多的脚数:4-2=2(只)兔子的只数:24÷2=12(只)鸡的只数:35-12=23(只)假设全是兔子:4×35=140(只)兔子脚比总数多:140-94=46(只)兔子比鸡多的脚数:4-2=2(只)鸡的只数:46÷2=23(只)兔子的只数:35-23=12(只)2，方程法1：一元一次方程(一)解:设兔有x只，则鸡有(35-x)只。
列方程：4X+2(35-x)=94解方程：4X+2*35-2X=942X+70=942X=94-702X=24解得：X=12则鸡有:35-12=23只(二)解:设鸡有x只，则兔有(35-x)只。
列方程：2X+4(35-x)=94解方程：2X+4*35-4X=94140-2X=942X=140-942X=46解得：X=23则兔有:35-23=12(只)答:兔子有12只，鸡有23只。
(注:在设方程的未知数时，通常选择腿多的动物，这将会使计算较简便)3，方程法2：二元一次方程组解:设鸡有x只，兔有y只。
算术法趣解鸡兔同笼
鸡兔同笼问题，是小学奥数的常见题型。 许多小学算术应用题和填空题都可以转化成这 类问题，或者用它的典型解法--“假设法”来求解。 因此很有必要学会它的解法和思路。 它有许多种解法 。今天，我们就来学习 几种有趣的算术解法，通过对比学习深入理解 鸡兔同笼问题。
假如让鸡抬起1只脚，兔子抬起2只脚， 站立的脚就还有： 94÷2=47（只） 这时，每只兔的站立的脚数比鸡多1只， 脚与头的总数之差就是兔子的只数。 兔的只数： 47-35=12 （只） 鸡的只数： 35-12=23 （只）
假如鸡与兔子都抬起两只脚，这时站立的脚 有：94－35×2=24（只） 这时鸡是屁股坐在地上，地上只有兔子的脚， 而且每只兔子有两只脚在地上，所以兔的只 数：24÷2=12（只） 鸡的只数：35－12=23（只）
试一试： 假如只让兔子抬起两只脚，鸡不抬，该怎样解题呢？
假设这 35 个头都是兔子的，那么脚数就应该是： 35×4=140 （只） 比94 还多，这是因为我们把每只鸡的脚多算了两 只。那么每多两只脚就有 1 只鸡。 多的脚数当中 有多少个 2 就有多少只鸡。 所以我们可以这样列式： 鸡的只数 ： （ 35 × 4－ 94）÷（ 4－ 2）=23（只） 兔的只数：35 － 23 = 12（只）
试一试： 假设94只脚都是鸡的，你 能解出这道题吗？
砍去每只鸡、 每只兔的两条腿， 剩下腿的总 数也就变成了 94－35×2=24 （条） 全是兔子的腿，这时兔子只有2只腿了，所以 兔的只数： 24÷2=12 （只） 鸡的 35 个头都看成是鸡的，那么脚数应该是 35 ×2=70（只） 比 94 还少，因为我们把 每只兔子的脚少算了两只， 那么每少两只脚就有 1 只兔子。少的脚数当中有多 少个 2 就有多少只兔子。所以 兔的只数 ： （ 94 － 35 × 2）÷（ 4－ 2）=12（只） 鸡的只数 ：35 － 12 = 23（只）
鸡兔同笼
总述鸡兔同笼是我国古代著名趣题之一。
大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。
书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。
问笼中各有几只鸡和兔？算这个有个最简单的算法。
（总脚数-总头数*2）/2=兔子数解释：让兔子和鸡都抬起两只脚，这样笼子里的脚就减少了头数*2只，由于鸡只有2只脚，所以笼子里只剩下兔子的，再除以2就是兔子数。
别说兔子和鸡不听话，现实中也没人鸡兔同笼。
假设法：假设全是鸡：2×35=70(只)比总脚数少的：94－70=24 (只)兔：24÷（4-2）=12 (只)鸡：35－12=23(只)假设法（通俗）假设鸡和兔子都听指挥那么，让所有动物抬起一只脚，笼中站立的脚：94-35=59（只）然后再抬起一只脚，这时候鸡两只脚都抬起来就摔倒了，只剩下用两只脚站立的兔子，站立脚：59-35=24（只）兔：24÷2=12（只）鸡：35-12=23（只）一元一次方程法解：设兔有x只，则鸡有(35-x)只。
4x+2(35-x)=944x+70-2x=942x=24x=24÷2x=1235-12=23答：兔子有12只，小鸡有23只。
二元一次方程法解：设鸡有x只，兔有y只。
x+y=352x+4y=94（x+y=35）×2=2x+2y=70(2x+2y=70)-(2x+4y=94)=（2y=24）y=12把y=12代入(x+y=35）x+12=35x=35-12x=23。
答：兔子有12只，小鸡有23只。
我国古代《孙子算经》共三卷，成书大约在公元5世纪。
这本书浅显易懂，有许多有趣的算术题，比如“鸡兔同笼”问题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？题目中给出了鸡兔共有35只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，看作是一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，看作是一只脚，那么，兔子就成了2只脚，即把兔子都先当作两只脚的鸡。
鸡兔同笼例题讲解
鸡兔同笼例题讲解
“鸡兔同笼”是中国古代的数学名题之一。
大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。
书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”
一、讲解过程
这道题的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。
求笼中各有几只鸡和兔？
通常情况下我们可以用假设法或者抬腿法来解决鸡兔同笼问题。
假设笼子里全部都是兔子，那么一共有脚：
35×4=140（只）
这样比实际的脚多：140-94=46（只）
因为我们把鸡当成了兔子，每只鸡多算了2只脚，所以共有鸡：46÷2=23（只），所以共有兔子：35-23=12（只）因此，共有23只鸡和12只兔子。
抬腿法：让每只鸡和兔子都抬起2只脚，这样笼子里的脚就减少了70只，但是每只兔子还有2只脚，所以笼子里的兔子数就是94-70=24只，那么鸡的数量就是35-24=11只。
因此，共有11只鸡和24只兔子。
鸡兔同笼详解
我国古代著名趣题之一.大约在1500年前,《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题.书中是这样叙述的：“今有稚兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里,从上面数,有35个头；从下面数,有94只脚.求笼中各有几只鸡和兔?2*35得70 94-70得24 24/2=12 35-12得23古代解法解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚,则每只鸡就变成了“独脚鸡”,每只兔就变成了“双脚兔”.这样,（1）鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；（2）如果笼子里有一只兔子,则脚的总数就比头的总数多1.因此,脚的总只数47与总头数35的差,就是兔子的只数,即47－35＝12（只）.显然,鸡的只数就是35－12＝23（只）了.用方程也可以.这一思路新颖而奇特,其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已.这种思维方法叫化归法.化归法就是在解决问题时,先不对问题采取直接的分析,而是将题中的条件或问题进行变形,使之转化,直到最终把它归成某个已经解决的问题.《孙子算经》上的解法很巧妙,它是按公式：兔数足数－头数来算的,具体计算是这样的：兔数（只）,鸡数＝头数－免数＝35－12＝23,并且书中还给出了公式的来历：把足数除以2以后,每只鸡只剩下一足,每只兔剩下两足了,减去头数,就相当于每只鸡兔再减去一只,鸡足减完了,剩下的每只兔只有一足了,此时所剩足数恰好等于兔子头数. 详细解法一,基本问题"鸡兔同笼"是一类有名的中国古算题.最早出现在《孙子算经》中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题,或者用解它的典型解法--"假设法"来求解.因此很有必要学会它的解法和思路.例1 有若干只鸡和兔子,它们共有88个头,244只脚,鸡和兔各有多少只解:我们设想,每只鸡都是"金鸡独立",一只脚站着;而每只兔子都用两条后腿,像人一样用两只脚站着.现在,地面上出现脚的总数的一半,·也就是244÷2=122(只).在122这个数里,鸡的头数算了一次,兔子的头数相当于算了两次.因此从122减去总头数88,剩下的就是兔子头数122-88=34,有34只兔子.当然鸡就有54只.答:有兔子34只,鸡54只.上面的计算,可以归结为下面算式:总脚数÷2-总头数=兔子数.上面的解法是《孙子算经》中记载的.做一次除法和一次减法,马上能求出兔子数,多简单!能够这样算,主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2,4又是2的2倍.可是,当其他问题转化成这类问题时,"脚数"就不一定是4和2,上面的计算方法就行不通.因此,我们对这类问题给出一种一般解法.还说例1.如果设想88只都是兔子,那么就有4×88只脚,比244只脚多了88×4-244=108(只).每只鸡比兔子少(4-2)只脚,所以共有鸡(88×4-244)÷(4-2)= 54(只).说明我们设想的88只"兔子"中,有54只不是兔子.而是鸡.因此可以列出公式鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数).当然,我们也可以设想88只都是"鸡",那么共有脚2×88=176(只),比244只脚少了244-176=68(只).每只鸡比每只兔子少(4-2)只脚,68÷2=34(只).说明设想中的"鸡",有34只是兔子,也可以列出公式兔数=(总脚数-鸡脚数×总头数)÷(兔脚数-鸡脚数).上面两个公式不必都用,用其中一个算出兔数或鸡数,再用总头数去减,就知道另一个数.假设全是鸡,或者全是兔,通常用这样的思路求解,有人称为"假设法". 现在,拿一个具体问题来试试上面的公式.对于这类问题的计算,常常可以利用已知脚数的特殊性.例2中的"脚数"19与11之和是30.我们也可以设想16只中,8只是"兔子",8只是"鸡",根据这一设想,脚数是8×(11+19)=240.比280少40.40÷(19-11)=5.就知道设想中的8只"鸡"应少5只,也就是"鸡"(蓝铅笔)数是3.30×8比19×16或11×16要容易计算些.利用已知数的特殊性,靠心算来完成计算.实际上,可以任意设想一个方便的兔数或鸡数.例如,设想16只中,"兔数"为10,"鸡数"为6,就有脚数19×10+11×6=256.比280少24.24÷(19-11)=3,就知道设想6只"鸡",要少3只.要使设想的数,能给计算带来方便,常常取决于你的心算本领. 二,"两数之差"的问题鸡兔同笼中的总头数是"两数之和",如果把条件换成"两数之差",又应该怎样去解呢例9 鸡与兔共100只,鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只解一:假如再补上28只鸡脚,也就是再有鸡28÷2=14(只),鸡与兔脚数就相等,兔的脚是鸡的脚4÷2=2(倍),于是鸡的只数是兔的只数的2倍.兔的只数是(100+28÷2)÷(2+1)=38(只).鸡是100-38=62(只).答:鸡62只,兔38只.当然也可以去掉兔28÷4=7(只).兔的只数是(100-28÷4)÷(2+1)+7=38(只).也可以用任意假设一个数的办法.解二:假设有50只鸡,就有兔100-50=50(只).此时脚数之差是4×50-2×50=100,比28多了72.就说明假设的兔数多了(鸡数少了).为了保持总数是100,一只兔换成一只鸡,少了4只兔脚,多了2只鸡脚,相差为6只(千万注意,不是2).因此要减少的兔数是(100-28)÷(4+2)=12(只).兔只数是。
鸡兔同笼问题详细分析
鸡兔同笼问题详细分析“鸡兔同笼”是一个古老而有趣的数学问题，常常让很多人感到困惑，但只要掌握了正确的方法，就能轻松解决。
我们先来看一个典型的鸡兔同笼问题：在一个笼子里，有若干只鸡和兔，从上面数有 35 个头，从下面数有 94 只脚，问鸡和兔各有多少只？解决鸡兔同笼问题，常见的方法有假设法和方程法。
我们先来看看假设法。
假设笼子里全部都是鸡，因为每只鸡有 2 只脚，那么 35 只鸡总共应该有 35×2 ＝ 70 只脚。
但实际上有 94 只脚，多出来的脚就是因为把兔当成鸡来算了。
每只兔有 4 只脚，每只鸡有 2 只脚，所以每把一只兔当成鸡就少算了 4 2 ＝ 2 只脚。
总共少算了 94 70 ＝ 24 只脚，所以兔的数量就是 24÷2 ＝ 12 只。
鸡的数量就是 35 12 ＝ 23 只。
我们再用假设法假设笼子里全部都是兔。
那么 35 只兔应该有 35×4＝ 140 只脚，实际有 94 只脚，多算了 140 94 ＝ 46 只脚。
每把一只鸡当成兔就多算了 2 只脚，所以鸡的数量就是 46÷2 ＝ 23 只，兔的数量就是 35 23 ＝ 12 只。
接下来看看方程法。
我们设鸡的数量为 x 只，兔的数量为 y 只。
因为鸡和兔一共有 35 个头，所以 x ＋ y ＝ 35。
又因为鸡有 2 只脚，兔有4 只脚，总共有 94 只脚，所以 2x ＋ 4y ＝ 94。
由第一个方程 x ＋ y ＝ 35，可以得到 x ＝ 35 y。
将其代入第二个方程 2x ＋ 4y ＝ 94 中，得到 2×（35 y) ＋ 4y ＝ 94，展开括号得到 70 2y ＋ 4y ＝ 94，移项合并得到 2y ＝ 24，解得 y ＝ 12。
将 y ＝ 12 代入x ＝ 35 y 中，得到 x ＝ 23。
鸡兔同笼问题并不仅仅局限于上面这种简单的形式，还可以有很多变化。
比如，题目可能会告诉你鸡和兔脚的总数的差，或者笼子里鸡和兔的数量之差。
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趣解“鸡兔同笼”
鸡兔同笼问题，是小学阶段一个非常重要的数学模型。
除了常规解法之外，我通过百度搜索归纳，提供另外几种非常规的解法，希望达到抛砖引玉的效果。
题目：“鸡兔同笼，上有40个头，下有100只足。
鸡兔各有多少只？”
一、强悍的“数脚法”
这是一帮训练有素的鸡和兔，它们能够服从我们的一切命令
然后，我们来下达命令——
请所有小动物们抬起一只脚~~
因为有40个头，总共有40个小动物，所以这样一来地面上就减少了40只脚，还剩下60只脚
然后，下达第二个命令——
请所有小动物们再抬起一只脚~~
好了现在再减去40只脚……还剩20只
现在鸡们已经坐在了地上【孩子们数脚的时候千万不要把PP也数进去哟~】，兔们都是两脚着地
因此还剩下的20只脚就都是兔子脚
20÷2=15，因此有10只兔子
35-10=30，因此有30只鸡
总结一下公式——
设有A个头，B只脚
兔子数=（B-2A）÷2
鸡数=A-兔子数
二、列表法
我们一个一个地试，把结果列成表格，最后得出３０只鸡、１０
三、极端假设法（假设全是头或全是足）
解法1：假设40个头都是鸡，那么应有足2×40=80（只），比实际少100-80=20（只）。
这是把兔看作鸡的缘故。
而把一只兔看成一只鸡，足数就会少4-2=2（只）。
因此兔有20÷2=10（只），鸡有40-10=30（只）。
解法2：假设40个头都是兔，那么应有足4×40=160（只），比实际多160-100=60（只）。
这是把鸡看作兔的缘故。
而把一只鸡看成一
只兔，足数就会多4-2=2（只）。
因此鸡有60÷2=30（只），兔有40-30=10（只）。
“数学是思维的体操”，如果学生仅仅满足于掌握了解这两种解法，很容易思维僵化，非常不利于学生发散思维的培养。
请大家看下面几种解法。
解法3：假设100只足都是鸡足，那么应有头100÷2=50（个），比实际多50-40=10（个）。
把兔足看作鸡足，兔的只数（头数）就会扩大4÷2倍，即兔的只数增加（4÷2-1）倍。
因此兔有10÷（4÷2-1）=10（只），鸡有40-10=30（只）。
解法4：假设100只足都是兔足，那么应有头100÷4=25（个），比实际少40-25=15（个）。
把鸡足看作兔足，鸡的只数（头数）就会缩小4÷2倍，即鸡的只数减少1-1÷（2÷4）=1/2。
因此鸡有15÷1/2=30（只），兔有40-30=10（只）。
四、任意假设法
解法１：假设40个头中，鸡有12个（0至40中的任意整数），则兔有40-12=28（个），那么它们一共有足2×12+4×28=136（只），比实际多136-100=36（只）。
这说明有一部分鸡看作兔了，而把一只鸡看成一只兔，足数就会多4-2=2（只），因此把鸡看成兔的只数是36÷2=18（只）。
那么鸡实际有12+18=30（只），兔实际有28-18=10（只）。
解法２：假设100只足中，有鸡足80只（0至100中的任意整数，最好是2的倍数），则兔足有100-80=20（只），那么它们一共有
头80÷2+20÷4=45（个），比实际多45-40=5（个）。
这说明把一部分兔足看作鸡足了，而把兔足看成鸡足，兔的只数（头数）就会增加（4÷2-1）倍。
因此把兔看作鸡的只数是5÷（4÷2-1）=5（只），那么兔实际有20÷4+5=10（只），鸡实际有40-10=30（只）。
通过比较第一类和第二类解法，我们不难看出：任意假设是极端假设的一种形式。
五、除减法
用脚的总数除以2，也就是100÷2=50（只）。
这里我们可以设想为，每只鸡都是一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着。
这样在50这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次.因此从50减去总头数40，剩下的就是兔子头数10只。
有10只兔子当然鸡就有30只。
这种解法其实就是《孙子算经》中记载的：做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单！这也是文章前面这个数学段子中趣解的由来，我也课堂当中也经常喜欢给学生讲解这种解法。
六、盈亏法
把总足数100看作标准数。
假设鸡有25只，兔则有40-25=15（只），那么它们有足2×25+4×15=110（只），比标准数盈余110-100=10（只）；再假设鸡有32只，兔则有40-32=8（只），那么它们有足2×32+4×8=96（只），比标准数不足100-96=4（只）。
根据盈不足术公式，可以求出鸡的只数。
即鸡有（25×4+32×10）÷（4+10）=30（只），兔则有40-30=10（只）。
七、比例分配
40个头一共100只足，平均每个头有足100÷40=2.5（只）。
而一只鸡比平均数少（2.5-2）只足，一只兔比平均数多（4-2.5）只足。
根据平均问题的“移多补少”思想：超出总数等于不足总数，故知：（2.5-2）×鸡的只数=（4-2.5）×兔的只数。
因此，鸡的只数︰兔的只数=（4-2.5）：（2.5-2）=1.5：0.5=3：1按比例分配可以求出鸡兔各有多少只。
即鸡有40×3/（3+1）=30（只），而兔则有40×1/（3+1）=10（只）。
八、列方程
设鸡有x只，那么兔有（40-x）只。
根据题意列方程：2x+4（40-x）=100 解这个方程得：x=30 40-x=40-30=10那么鸡有30只，兔有10只。
当然方程是一种万能和傻瓜式的解法，这里就不多说了。
限于本人能力所限，路过的朋友有更简单更精妙的解法也可以留言分享一下。