极坐标和参数方程
高中数学极坐标与参数方程公式的区别
高中数学极坐标与参数方程公式的区别1. 引言在高中数学课程中，学生常常会遇到极坐标和参数方程，它们是解决几何问题中常用的工具。
尽管它们都能描述曲线的形状，但是极坐标和参数方程在表达方式和使用方法上存在一些区别。
本文将探讨高中数学中极坐标和参数方程公式的区别，以帮助学生更好地理解和应用这两种方法。
2. 极坐标公式极坐标公式是一种将平面直角坐标系中的点转换为极坐标系表示的方法。
每个点由极径 r 和极角θ 表示。
极径 r 表示点到原点的距离，极角θ 表示点与正半轴的夹角。
极坐标公式的一般形式为：(x, y) = (r*cosθ, r*sinθ)其中，x 和 y 分别是点在直角坐标系中的坐标，r 和θ 是点在极坐标系中的坐标。
举个例子，考虑一个点 P 在极坐标系中的表示，其极坐标为(r, θ)。
可以通过极坐标公式将其转换为直角坐标系的表示，即：(x, y) = (r*cosθ, r*sinθ)3. 参数方程公式参数方程公式是一种使用参数变量表示曲线上不同点的方法。
一个曲线可以由两个参数 x(t) 和 y(t) 表示，其中 t 是一个参数变量。
参数方程公式的一般形式为：x = x(t)y = y(t)参数方程公式中的 x(t) 和 y(t) 分别表示曲线上每个点的 x 坐标和 y 坐标。
举个例子，考虑一个曲线 C 在参数方程中的表示，其参数方程为：x = x(t)y = y(t)4. 区别和应用极坐标和参数方程是描述曲线的两种不同方式，它们在表达方式和使用方法上存在一些区别。
4.1 表达方式极坐标使用极径和极角来表示点的位置，将点的坐标转换为极坐标形式。
而参数方程使用参数变量来表示曲线上不同点的位置，通过参数方程的函数表达式来确定曲线上的点。
4.2 描述方式极坐标可以很方便地描述圆、椭圆、螺旋线等具有对称性的曲线。
极坐标描述的曲线方程更简洁，有时可以将复杂的曲线用简单的方程表示出来。
参数方程可以很方便地描述直线、抛物线、双曲线等非对称的曲线。
极坐标和参数方程
极坐标和参数方程
极坐标和参数方程是描述一个图形或者曲线的不同数学描述方法。
极坐标是一种描述平面点位置的坐标系统，以原点为基准，通过一个点到原点的距离（称为极径）和从原点引出到该点的射线与某个参考线（通常为X轴）的夹角（称为极角）来确定一个点的位置。
参数方程是一种描述曲线的数学表示方法，通过一组参数（通常使用常数）来确定曲线上的点的坐标。
参数方程中的参数可以是时间、角度、弧长等。
极坐标和参数方程可以互相转换，即呈现相同的几何形状。
对于一个平面曲线，其极坐标和参数方程的转换公式如下：
极径r = f(t)
极角θ = g(t)
其中，t是参数，f(t)和g(t)是关于t的函数。
通过给定参数t的取值范围，可以确定曲线的一部分或整个形状。
高中数学极坐标与参数方程公式大全
高中数学极坐标与参数方程公式大全极坐标公式极坐标是一种用极径和极角来确定平面上点位置的坐标系统。
在高中数学中，我们常常会遇到极坐标与直角坐标之间的转换和相关公式。
点的极坐标表示在极坐标系统中，一个点的位置由极径和极角确定。
极径表示点到极点的距离，通常用字母 r 表示；极角表示点与极轴的夹角，通常用字母θ表示。
通过将直角坐标系中的点 (x, y) 转换成极坐标系下的点(r, θ)，可以使用以下公式：•极径 r：r = √(x^2 + y^2)•极角θ：θ = arctan(y / x)极坐标到直角坐标的转换假设在极坐标系统中，有一个点(r, θ)，我们可以通过以下公式将其转换为直角坐标系统下的点：•x 坐标：x = r * cos(θ)•y 坐标：y = r * sin(θ)参数方程公式参数方程是一种用参数表示自变量和因变量之间关系的方式。
在高中数学中，我们常常使用参数方程来描述曲线或者路径。
曲线的参数方程表示对于一个给定的曲线，我们可以使用参数方程来表示。
通常，我们用参数 t 来表示自变量，然后通过指定 x 和 y 的表达式，将参数 t 和 (x, y) 一一对应。
例如，一个曲线的参数方程可以表示为：•x = f(t)•y = g(t)参数方程与直角坐标系的关系通常情况下，参数方程与直角坐标系下的方程之间存在关系。
我们可以通过参数方程将曲线在直角坐标系下表示出来。
在参数方程中，将参数 t 的取值范围确定在一定的区间上，可以画出曲线的一部分或者整条曲线。
极坐标与参数方程之间的转换在一些数学问题中，我们需要在极坐标和参数方程之间进行转换。
下面是一些常见的极坐标与参数方程之间的转换公式：极坐标到参数方程的转换•x = r * cos(θ)•y = r * sin(θ)上述公式可以表示为参数方程：•x = f(θ) = r * cos(θ)•y = g(θ) = r * sin(θ)参数方程到极坐标的转换给定参数方程 x = f(t) 和 y = g(t)，我们可以通过以下步骤将其转换为极坐标：1.计算 r 的表达式：r = √(f(t)^2 + g(t)^2)2.计算极角θ 的表达式：θ = arctan(g(t) / f(t))可以注意到，在将参数方程转换为极坐标时，需要考虑函数 f(t) 和 g(t) 的符号，以确保角度θ 的取值范围正确。
极坐标与参数方程知识讲解
参数方程和极坐标系一、 知识要点一曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数,即 ⎩⎨⎧==)()(t f y t f x并且对于t 每一个允许值,由方程组所确定的点Mx ,y 都在这条曲线上,那么方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数,简称参数．二常见曲线的参数方程如下： 1．过定点x 0,y 0,倾角为α的直线：ααsin cos 00t y y t x x +=+= t 为参数其中参数t 是以定点Px 0,y 0为起点,对应于t 点Mx ,y 为终点的有向线段PM 的数量,又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义,有以下结论．错误!．设A 、B 是直线上任意两点,它们对应的参数分别为t A 和t B ,则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ⋅--4)(2．错误!．线段AB 的中点所对应的参数值等于2BA t t +． 2．中心在x 0,y 0,半径等于r 的圆：θθsin cos 00r y y r x x +=+= θ为参数3．中心在原点,焦点在x 轴或y 轴上的椭圆：θθsin cos b y a x == θ为参数 或 θθsin cos a y b x ==中心在点x0,y0焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(.sin ,cos 00⎩⎨⎧+=+=b y y a x x 4．中心在原点,焦点在x 轴或y 轴上的双曲线：θθtg sec b y a x == θ为参数 或 θθec a y b x s tg ==5．顶点在原点,焦点在x 轴正半轴上的抛物线：pty pt x 222== t 为参数,p ＞0直线的参数方程和参数的几何意义过定点Px 0,y 0,倾斜角为α的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x t 为参数．极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O,叫做极点,引一条射线Ox,叫做极轴,再选一个长度单位和角度的正方向通常取逆时针方向;对于平面内的任意一点M,用ρ表示线段OM 的长度,θ表示从Ox 到OM 的角,ρ叫做点M 的极径,θ叫做点M 的极角,有序数对ρ, θ就叫做点M 的极坐标;这样建立的坐标系叫做极坐标系;2、极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点,在极坐标系下,一对有序实数ρ、θ对应惟一点P ρ,θ,但平面内任一个点P 的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标,这些坐标又有规律可循的,P ρ,θ极点除外的全部坐标为ρ,θ＋πk 2或ρ-,θ＋π)12(+k ,∈k Z ．极点的极径为0,而极角任意取．若对ρ、θ的取值范围加以限制．则除极点外,平面上点的极坐标就惟一了,如限定ρ>0,0≤θ＜π2或ρ<0,π-＜θ≤π等．极坐标与直角坐标的不同是,直角坐标系中,点与坐标是一一对应的,而极坐标系中,点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为： ⑴0ϕθ= ⑵θρcos a = ⑶θρcos a-= ⑷θρsin a =⑸θρsin a-= ⑹)cos(ϕθρ-=a4、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为)0(>a ： ⑴a =ρ ⑵θρcos 2a = ⑶θρcos 2a -= ⑷θρsin 2a = ⑸ θρsin 2a -= ⑹)cos(2ϕθρ-=a5、极坐标与直角坐标互化公式：例题参数方程例1.讨论下列问题：1、已知一条直线上两点()111,y x M 、()222,y x M ,以分点Mx ,y 分21M M 所成的比λ为参数,写出参数方程;2、直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 211233t 为参数的倾斜角是3、方程⎩⎨⎧+=+-=ααsin 3cos 1t y t x t 为非零常数,α为参数表示的曲线是4、已知椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin 4cos 5y x θ为参数,则椭圆上一点 P 25,32-的离心角可以是 A ．3πB ．32πC ．34πD ．35π例2 把弹道曲线的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=,21sin ,cos 200gt t v y t v x αα )2()1(化成普通方程． 例3. 将下列数方程化成普通方程．①⎩⎨⎧==t y t x 222,②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=221212t t y t x ,③⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=2221211t t y t t x ,④⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)1()1(t t b y t t a x ,⑤⎩⎨⎧+=+-=11mx y my x ．例4. 直线3x －2y ＋6=0,令y = tx ＋6t 为参数．求直线的参数方程． 例5.已知圆锥曲线方程是⎩⎨⎧-+-=++=5sin 461cos 532ϕϕt y t x （1） 若t 为参数,ϕ为常数,求该曲线的普通方程,并求出焦点到准线的距离；（2） 若ϕ为参数,t 为常数,求这圆锥曲线的普通方程并求它的离心率; 例6. 在圆x 2＋2x ＋y 2=0上求一点,使它到直线2x ＋3y －5=0的距离最大． 例7. 在椭圆4x 2＋9y 2=36上求一点P ,使它到直线x ＋2y ＋18=0的距离最短或最长．例8.已知直线；l ：⎩⎨⎧+=--=ty t x 4231与双曲线y-22-x 2=1相交于A 、B 两点,P 点坐标P-1,2;求：1|PA|.|PB|的值； 2弦长|AB|; 弦AB 中点M 与点P 的距离;例9.已知A2,0,点B,C 在圆x 2+y 2=4上移动,且有π32=∠BAC 求ABC ∆重心G 的轨迹方程;例10.已知椭圆183222=+y x 和圆x 2+y-62=5,在椭圆上求一点P 1,在圆上求一点 P 2,使|P 1P 2|达到最大值,并求出此最大值;例11.已知直线l 过定点P-2,0,与抛物线C: x 2+ y-8=0相交于A 、B 两点;1若P 为线段AB 的中点,求直线l 的方程；2若l 绕P 点转动,求AB 的中点M 的方程.例12.椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上是否存在点P,使得由P 点向圆x 2+y 2=b 2所引的两条切线互相垂直若存在,求出P 点的坐标；若不存在,说明理由;例题极坐标系例1讨论下列问题：1．在同一极坐标系中与极坐标M －2, 40°表示同一点的极坐标是 A －2, 220° B －2, 140° C 2,－140° D 2,－40°2．已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A 4,0°, B －4,－120°, C 23＋2, 30°,则△ABC 为 ;A 正三角形B 等腰直角三角形C 直角非等腰三角形D 等腰非直角三角形3．在直角坐标系中,已知点M －2,1,以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,当极角在－π,π 内时,M 点的极坐标为 A 5,π－argtg －21B －5,argtg －21C －5,π－argtg 21D 5,－π＋argtg 21例2..把点)4,3(),6,5(ππ--B A 的极坐标化为直角坐标;例3.把点)0,2(),3,0(),1,3(P N M ---的直角坐标化为极坐标;例4.已知正三角形ABC 中,顶点A 、B 的极坐标分别为)2,3(),0,1(πB A ,试求顶点C 的极坐标;例5.化圆的直角方程x 2+y 2-2ax=0为极坐标方程; 例6.化圆锥曲线的极坐标方程θρcos e i ep-=为直角坐标方程;例7.讨论下列问题：1．在极坐标系里,过点M 4,30°而平行于极轴的直线 的方程是 A θρsin ＝2 B θρsin ＝－2 C 2cos =θρ D 2cos -=θρ2．在极坐标系中,已知两点M 14,arcsin 31,M 2－6,－π－arccos －322,则线段M 1M 2的中点极坐标为 A －1,arccos 322 B 1, arcsin 31C －1,arccos －322D 1,－arcsin 313. 已知P 点的极坐标是1,π,则过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ; A ρ=1 B ρ＝cos θ C ρcos θ=－1 D ρcos θ=14. 若ρ>0,则下列极坐标方程中,表示直线的是 ; A θ=3π B cos θ=230≤θ≤π C tg θ=1 D sin θ=10≤θ≤π 5. 若点A －4, 67π与B关于直线θ=3π对称,在ρ>0, －π≤θ<π条件下,B 的极坐标是 ;6. 直线ρcos θ－4π=1与极轴所成的角是 ;7. 直线ρcos θ－α=1与直线ρsin θ－α=1的位置关系是 ;8. 直线y =kx ＋1 k <0且k ≠－21与曲线ρ2sin θ－ρsin2θ＝0的公共点的个数是 ;A 0B 1C 2D 3 例8.讨论下列问题；1. 圆的半径是1,圆心的极坐标是1, 0,则这个圆的极坐标方程是 ; A ρ＝cos θ B ρ＝sin θ C ρ＝2cos θ D ρ＝2sin θ2. 极坐标方程分别是ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是 ; A 2 B 2 C 1 D22 3. 在极坐标系中和圆ρ=4sin θ相切的一条直线方程是 A ρsin θ=2 B ρcos θ=2 C ρsin θ=4 D ρcos θ=4 4．圆ρ＝D cos θ－E sin θ与极轴相切的充分必要条件是 AD ·E ＝0 BD 2＋E 2＝0 CD ＝0,E ≠0 DD ≠0,E ＝05．圆=ρ23sin θ－2cos θ的圆心的极坐标为 ; 6. 若圆的极坐标方程为ρ=6cos θ,则这个圆的面积是 ; 7. 若圆的极坐标方程为ρ=4sin θ,则这个圆的直角坐标方程为 ; 8. 设有半径为4的圆,它在极坐标系内的圆心的极坐标为－4, 0,则这个圆的极坐标方程为 ; 例9.当a 、b 、c 满足什么条件时,直线θθρsin cos 1b a +=与圆θρcos 2c =相切例10.试把极坐标方程cos 62sin 32cos =-+θθρθρm 化为直角坐标方程,并就m 值的变化 讨论曲线的形状;例11.过抛物线y 2=2px 的焦点F 且倾角为θ的弦长|AB|,并证明：||1||1FB FA +为常数学; 例12.设椭圆左、右焦点分别为F 1、F 2,左、右端点分别为A 、A ’,过F1作一条长度等于椭圆短轴弦MN,设MN 的倾角为α.1若椭圆的长、短轴的长分别为2a,2b,求证：;cos 2b a a +=α2若|AA ’|=6,|F 1F 2|=24,求α.例13.求椭圆12222=+by a x的过一个焦点且互相垂直的焦半径为直角边的直角三角形面积的最小值;。
参数方程与极坐标(精华版)
参数方程与极坐标(精华版)y y tsin注意：倾角为的直线，斜率为tan，所以tan=tan，即tcos=tsin，所以cos=sin，即=45，即直线与x轴或y轴夹45角。
Eg：已知直线L过点（1，2）且与x轴夹45角，求直线L的方程。
解：设直线L的参数方程为x=1+tcos45，y=2+tsin45，即x=1+t/2，y=2+t/2，将y=mx+b代入得到m=1，b=3/2，即直线L的方程为y=x+3/2.四、极坐标1、定义：在平面直角坐标系中，点P到原点O的距离r和OP与x轴正半轴的夹角唯一确定点P的位置，称（r，）为点P的极坐标，r为极径，为极角，记作P（r，）。
2、极坐标与直角坐标的转换x=r cos，y=r sinr2=x2+y2，tan=y/x3、常见曲线的极坐标方程1）圆：r=a2）半直线：=0或=3）双曲线：r=a sec或r=a cosec4）椭圆：r=a bcos或r=a sin5）心形线：r=a(1+cos)6）阿基米德螺线：r=a+b7）对数螺线：r=a e b8）伯努利双曲线：r2=a2 sec29）费马螺线：r=2a sin(/2)10）旋轮线：r=a或r=a sin(n)/sin（n为正整数）总结：极坐标的方程形式比较简单，但是不同曲线的极坐标方程需要记忆，转换成直角坐标系方程需要用到三角函数的知识。
P点的有向距离在点P两侧t的符号相反，可以通过直线的参数方程来表示。
其中，t代表有向距离的几何意义。
需要注意的是，t的符号相对于点P，正负在P点两侧，且|PP|=|t|。
直线参数方程可以有多种变式，比如y=y+tsinα和x=x+at，y=y+bt，但此时t的几何意义不是有向距离。
只有当t前面系数的平方和为1时，t的几何意义才是有向距离。
因此，可以将直线参数方程整理为x=x+a2+b2t，XXX，让a2+b2t作为t，这样t的几何意义就是有向距离了。
例如，对于直线x=-1+3t，y=2-4t，可以求其倾斜角。
高等数学课件：极坐标参数方程
例 2．将极坐标方程2 a2cos2 化为直角坐标方程： 解： 2 a2(cos 2sin2), 4 a22(cos2sin2), 4 a2[(cos)2 (sin)2], (x2 y2)2 a2(x2 y2).
（三）极坐标系中曲线的对称性
（2）当 R, R 时，
M(, )
的量法 ：逆转为正，顺转为负. O
0
x
的量法 ： 0 时，则在角的 终边上取 M 点，使OM ；
0 时，则在角的 终边的反向延长线上取 M 点，
使 OM .
O
0
x
M(, )
M(, )
(, )
O
x
M1(, )
这样，一对实数(, ) 对应唯 一 点 M，
(, 2k) (, (2k
2．
椭圆
x2 a2
y2 b2
1
(ab0)
的参数方程：
xacost
ybsint
,
t[0, 2].
椭圆
(
x
x a2
)2
(
y
y b2
)2
1
(ab0)
的参数方程：
x y
x y
acost bsint
(a
b
0),
t[0, 2].
3．摆线的参数方程：
xa(t sint) y a(1cost )
(
y
)
2 3
1
，
aa
2 22
故普通方程为 x 3 y 3 a 3 .
（二）几种常见曲线的参数方程
1． 圆 x2 y2 a2 的参数方程：
x acost yasint
极坐标与参数方程
选修4－4 极坐标与参数方程一、极坐标1.(1)极坐标系 (2)极坐标2．极坐标与直角坐标的互化 3．简单曲线的极坐标方程二.参数方程 1.概念2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．直线参数方程的标准形式的应用过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则①|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.②若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 22，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22.③若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0. ④|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．1. (3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ (φ为参数)一、极坐标方程与直角坐标方程互化及判断曲线类型【例1】化下列极坐标方程为直角坐标方程，并说明它是什么曲线。
(1) 2540ρρ-+=； (2) 53cos 4sin ρθθ=+；(3) 523cos ρθ=-； (4）242ππρθθρ-+=, 其中R ρ∈【解析】（1）方程变形为(1)(4)0ρρ--=,∴1ρ=或4ρ=，即221x y +=或2216x y +=， 故原方程表示圆心在原点半径分别为1和4的两个圆。
(2) 变形得3cos 4sin 5ρθρθ+=,即3450x y +-=，故原方程表示直线3450x y +-=。
极坐标系与参数方程知识点总结
千里之行，始于足下。
极坐标系与参数方程知识点总结
极坐标系与参数方程是描述平面上的点与曲线的两种坐标系统。
1. 极坐标系：
极坐标系由极径（r）和极角（θ）组成，其中极径表示点到原点的距离，极角表示点在极坐标系中的方向。
- 极径：通常用正数表示，表示点到原点的距离。
- 极角：一般用弧度表示，表示点所在的射线与参考射线（通常为 x 轴正半轴）的夹角。
2. 参数方程：
参数方程是一组用参数表示的方程，通过为变量赋予不同的值来表示曲线上的点。
- 参数：参数是代表自变量的符号，可以用任意字母表示。
- 方程组：在参数方程中，通常会有两个或更多的方程，每个方程用参数表示一个坐标分量，用来描述曲线上的点。
极坐标系和参数方程在描述一些特殊曲线时非常有用，例如圆、椭圆、双曲线等。
其中，使用极坐标系描述曲线更加方便，而使用参数方程描述曲线更加灵活。
应用场景：
1. 极坐标系常用于描述圆心在原点的圆形曲线，以及玫瑰线、阿基米德螺线等特殊曲线。
2. 参数方程常用于描述具有特定形状的曲线，如椭圆的参数方程为 x = a * cos(t), y = b * sin(t)，其中 t 为参数，a 和 b 分别为椭圆在 x 轴和 y 轴上的半径。
第1页/共2页
锲而不舍，金石可镂。
3. 参数方程也常用于描述轨迹问题，例如描述一个物体在运动过程中的位置随时间而变化的轨迹。
总结：
极坐标系和参数方程是两种用于描述平面上曲线的坐标系统，它们在不同场景下有不同的应用。
熟练掌握这两种坐标系统的表示方法和转换方法，可以更好地理解和描述曲线的性质和特点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（极坐标和参数方程）1.以直角坐标系原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα⎧⎪⎨⎪⎩＝＋,＝，(t 为参数,0<α<π).曲线C 的极坐标方程为ρ=22cos sin θθ. (Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程;(Ⅱ)设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,当α变化时,求|AB|的最小值.2.在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为几点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
已知直线l 上两点N M ,的极坐标分别为)2,332(),0,2(π，圆C 的参数方程θθθ(sin 23cos 22⎩⎨⎧+-=+=y x 为参数）。
（Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系。
3.（10分）已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同．圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=ααsin 21cos 21y x (α为参数),点Q 的极坐标为)47,2(π.（Ⅰ）化圆C 的参数方程为极坐标方程；（Ⅱ）若点P 是圆C 上的任意一点, 求P ,Q 两点间距离的最小值。
4.（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为：32,542.5x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，它与曲线1)2(:22=--x y C 交于A ，B 两点．(Ⅰ) 求AB 的长；(Ⅱ) 在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P 的极坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛43,22π，求点P 到线段AB 中点M 的距离．5.（本题满分12分）已知：在直角坐标系xOy中，曲线Ｃ的参数方程为：21x t t y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），以原点Ｏ为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求曲线Ｃ的极坐标方程．6.（本题满10分）已知：在直角坐标系xOy 中，曲线Ｃ的参数方程为：2221(21x t t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩为参数），以原点Ｏ为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求曲线Ｃ的极坐标方程．7.（10分）在直角坐标系xoy 中，以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆1C ,直线2C 的极坐标方程分别为4sin ,cos 4πρθρθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.(I)求1C 与2C 交点的极坐标;(II)设P 为1C 的圆心,Q 为1C 与2C 交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为()3312x t at R b y t ⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩为参数,求,a b 的值. 8.（本小题满分10分）在直角坐标系中，以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线θθρcos 2sin :2a C =)0(>a ，过点)4,2(--P 的直线l 的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y tx 224222，(t 为参数)，直线l 与曲线C 分别交于N M ,两点. (1)写出曲线C 和直线l 的普通方程；(2)若|||,||,|PN MN PM 成等比数列,求a 的值．9. 在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P(4，2)且倾斜角为a 的直线；在极坐标系（以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=(I)写出直线l 的参数方程；并将曲线C 的方程化为直角坐标方程； ( II)若曲线C 与直线相交于不同的两点M 、N ，求PM PN+的取值范围．10.（本小题满分10分）已知曲线14cos :(3sin x tC t y t =-+⎧⎨=+⎩为参数），28cos :(3sin x C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）。
（1）化12,C C 的方程为普通方程; （2）若1C 上的点P 对应的参数为2t π=，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线332:(2x tC t y t=+⎧⎨=-+⎩为参数）距离的最小值.11.（本小题满分10分）已知曲线14cos :(3sin x t C t y t =-+⎧⎨=+⎩为参数），28cos :(3sin x C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）。
（1）化12,C C 的方程为普通方程; （2）若1C 上的点P 对应的参数为2t π=，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线332:(2x tC t y t=+⎧⎨=-+⎩为参数）距离的最小值.12.选修4—4：坐标系与参数方程． (1)求点M （2，3π）到直线ρ=θθcos sin 3+上点A 的距离的最小值。
(2)求曲线)(sin cos 1:为参数θθθ⎩⎨⎧=+-=y x C 关于直线y =1对称的曲线的参数方程13.坐标系与参数方程． (1)求点M （2，3π）到直线ρ=θθcos sin 3+上点A 的距离的最小值。
(2)求曲线)(sin cos 1:为参数θθθ⎩⎨⎧=+-=y x C 关于直线y =1对称的曲线的参数方程14.已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l 的极坐标方程为：)4sin(210πθρ-=,点(2cos ,2sin 2)P αα+，参数[]0,2απ∈.(Ⅰ)求点P 轨迹的直角坐标方程； (Ⅱ)求点P 到直线l 距离的最大值.15.在极坐标系内，已知曲线1C 的方程为22(cos 2sin )40ρρθθ--+=，以极点为原点，极轴方向为x 正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线2C 的参数方程为5145183x ty t=-⎧⎨=+⎩（t 为参数）．（I ）求曲线1C 的直角坐标方程以及曲线2C 的普通方程； （II ）设点P 为曲线2C 上的动点，过点P 作曲线1C 的两条切线，求这两条切线所成角余弦值的取值范试卷答案1.2.3.（1）圆C 的直角坐标方程为4)1()1(22=++-y x ， 展开得022222=-+-+y x y x化为极坐标方程02sin 2cos 22=-+-θρθρρ ……………5分 （2）点Q 的直角坐标为)2,2(-，且点Q 在圆C 内， 由（1）知点C 的直角坐标为)1,1(-所以22||-=QC ， 所以Q P ,两点间距离的最小值为2)22(2||=--=PQ ……………10分4.(Ⅰ)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得27601250t t +-=设A ，B 对应的参数分别为21,t t ，则 121260125,77t t t t +=-=-．所以127AB t t =-==． (Ⅱ)易得点P 在平面直角坐标系下的坐标为)2,2(-，根据中点坐标的性质可得AB 中点M 对应的参数为123027t t +=-．所以由t 的几何意义可得点P 到M 的距离为 123027t t PM +==． 5.由211x t y t ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，得0,02t x ≥∴<≤y x =代入21x t =+得22:20(0)C x y x x +-=>，:2cos (0)C ρ=θρ>6.由222121x t ty t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，得0,02t x ≥∴<≤，两式相除，得y t x =代入221x t =+得 22:20(0)C x y x x +-=>，:2cos (0)C ρ=θρ>7.()()()222224sin ,40cos 442040244,4,4220,2,1,3,12x y y x y x x x y y y y x y P Q PQ a b ρθρρθπρθππ∴=∴+-=⎛⎫-=∴+= ⎪⎝⎭==⎧+-=⎧⎧⇒⎨⎨⎨==+=⎩⎩⎩⎛⎫⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⎧⎧⇒⎨⎨=⎩⎩ 23.解:=4sin ,联立或交点的极坐标为直线的普通方程为4=-ab+22y=bx-ab+2,由题意得:6=b-ab+28.9.10.11.12.13.14.15.解：（I ）对于曲线1C 的方程为22(cos 2sin )40ρρθθ--+=，可化为直角坐标方程222440x y x y +-++=，即22(1)(2)1x y -++=；对于曲线2C 的参数方程为5145183x t y t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数），可化为普通方程34150x y +-=；（II ）过圆心(1,2)-点作直线34150x y +-=的垂线，此时两切线成角θ最大，即余弦值最小，则由点到直线的距离公式可知，4d ==，则1sin24θ=，因此27cos 12sin 8θθ=-=，因此两条切线所成角的余弦值的取值范围是7[,1)8．。