2018届高考数学二轮参数方程与极坐标专题卷(全国通用)(5)

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(2021年整理)2018高考数学试题分项版_极坐标参数方程[解析版]

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2017年高考数学试题分项版—极坐标参数方程（解析版）一、填空题1．(2017·北京理,11)在极坐标系中，点A在圆ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0上，点P 的坐标为(1,0)，则|AP｜的最小值为________．1．【答案】1【解析】由ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0,得x2＋y2－2x－4y＋4＝0，即（x－1)2＋(y－2）2＝1,圆心坐标为C(1，2）,半径长为1。

2018版高考数学考点55 极坐标与参数方程试题解读与变式

考点55 极坐标与参数方程【考纲要求】1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．4.了解参数方程，了解参数的意义．5.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．【命题规律】极坐标与参数方程近几年是在第22题解答题中考查，主要是极坐标方程、参数方程与平面直角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系的判断以及距离的最值问题.难度中等. 【典型高考试题变式】（一）参数方程与极坐标方程的综合运用例1.【2017新课标3】在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 0l ρθθ+=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.【分析】（1）由题意得直线l 1，l 2的普通方程，然后消去参数即可得到曲线C 的普通方程；（2）联立两个极坐标方程可得2291cos ,sin 1010θθ==【解析】（1）消去参数t 得1l 的普通方程()1:2l y k x =-；消去参数m 得l 2的普通方程()21:2l y x k=+. 设(),P x y ,由题设得()()212y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，消去k 得()2240x y y -=≠. 所以C 的普通方程为()2240x y y -=≠.【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.【变式1】【2018衡水联考】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：12x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（α为参数），以原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线lcos 14πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）过点()1,0M -，且与直线l 平行的直线1l 交曲线C 于A ， B 两点，求点M 到A ， B 两点的距离之积．【解析】（1）由题知，曲线C 化为普通方程为2213x y +=，由cos 124πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得cos sin 2ρθρθ-=-，所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+=．（2）由题知，直线1l的参数方程为12x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），代入曲线C ：2213x y +=中，化简，得2220t --=，设A ， B 两点所对应的参数分别为1t ， 2t ，则121t t =-，所以121MA MB t t ⋅==．【变式2】【2018山西两校联考】在平面直角坐标系xOy 中，曲线13cos :sin x C y αα=⎧⎨=⎩ (α为参数)，以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=-. （1）分别求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若P Q 、分别为曲线12C C 、上的动点，求PQ 的最大值.【解析】（1）因为曲线1C 参数方程为3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，所以cos 3sin xy αα⎧=⎪⎨⎪=⎩，因为22sin cos 1αα+=,所以1C 的普通方程为2219x y +=. 因为曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=-，即22sin ρρθ=-，故曲线2C 的直角坐标方程为222x y y +=-，即()2211x y ++=.（二）参数方程的运用例2.【2017年新课标1】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）.（1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la .【分析】（1）先将曲线C 和直线l 的参数方程化成普通方程，然后联立两方程即可求出交点坐标；（2）由直线l 的普通方程为440x y a +--=，设C 上的点为(3cos ,sin )θθ，易求得该点到l 的距离为d =对a 再进行讨论，即当4a ≥-和4a <-时，求出a 的值.【解析】（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=. 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=.由22430,19x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得3,0x y =⎧⎨=⎩或21,2524.25x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-.【名师点睛】化参数方程为普通方程的关键是消参，可以利用加减消元、平方消元、代入法等等；在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题时，通常将极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程来解决.【变式1】已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t ，(t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ，(θ为参数)．（1）求直线l 和圆C 的普通方程；（2）若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．【解析】（1）消去参数t 可得直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，消去参数θ可得圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16．（2）因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤25．【变式2】【2017云南省、四川省、贵州省联考】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线:sin x a C y a⎧=⎪⎨=⎪⎩（a为参数），直线:60l x y --=.（1）在曲线C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值；（2）过点(1,0)M -且与直线l 平行的直线1l 交C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积. 【解析】（1）设点,sin )P a a ，则点P 到直线l 的距离为|2sin()6|a d π--==所以当sin()13a π-=-时，31(,)22P -，此时max d =.【数学思想】 ①数形结合思想. ②分类讨论思想． ③转化与化归思想. 【温馨提示】①在参数方程、极坐标方程与平面直角坐标方程互化的过程中，要注意等价性，注意其中曲线上的点的横、纵坐标的取值范围是否因为转化而发生改变，如果发生改变则它们所表示的曲线就不是同一曲线． ②参数方程、极坐标方程是解析几何中曲线方程的另外两种表示形式，可以说是曲线的两种巧妙的表示形式，有时解决一些问题要借助参数的几何意义. 【典例试题演练】1.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．已知直线l 的参数方程是232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程是2cos 2sin ρθθ=．（1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，点M 为AB 的中点，点P的极坐标为)4π，求||PM 的值．【解析】（1）因为直线的参数方程是232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），消去参数t 得直线l 的普通方程为30x y -+=．由曲线C 的极坐标方程2cos 2sin ρθθ=，得22cos 2sin ρθρθ=．所以曲线C 的直角坐标方程为22x y =．（2）由23,2,y x x y =+⎧⎨=⎩得2260x x --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB 的中点1212(,)22x x y y M ++，因为122x x +=，所以(1,4)M ，又点P 的直角坐标为(1,1)，所以||3PM ==．2.【2018黑龙江齐齐哈尔一模】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为23312x ty t =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩ (t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为2cos 4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求直线l 的普通方程与圆C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求AB.3.【2017广东湛江市调研】已知极点与直角坐标系原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，圆C 的极坐标方程为sin a ρθ=，直线的参数方程为32545x t y t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.（1）若2a =，直线l 与x 轴的交点为,M N 是圆C 上一动点，求MN 的最大值；（2）若直线l 被圆C 截得的弦长等于圆C倍，求a 的值.【解析】（1）当2a =时，圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=，可化为22sin ρρθ=，化为直角坐标方程为2220x y y +-=，即()2211x y +-=.直线l 的普通方程为4380x y +-=，与x 轴的交点M 的坐标为()2,0. 因为圆心()0,1与点()2,0M所以MN1.（2）由sin a ρθ=可得2sin a ρρθ=，所以圆C 的普通方程为22224a a x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.因为直线l 被圆C 截得的弦长等于圆C倍，所以由垂径定理及勾股定理得：圆心到直线l 的距离为圆C 半径的一半，122a=⋅.解得32a =或3211a =. 4.【2017河南省豫北名校联盟对抗赛】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）求曲线C 的普通方程；（2）经过点(2,1)M （平面直角坐标系xOy 中点）作直线l 交曲线C 于,A B 两点，若M 恰好为线段的三等分点，求直线l 的斜率.【解析】（1）由曲线C 的参数方程，得cos ,4sin ,2x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以曲线C 的普通方程为221164x y +=. （2）设直线l 的倾斜角为1θ，则直线的参数方程为112cos ,1sin .x t y t θθ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.代入曲线C 的直角坐标方程，得2221111(cos 4sin )(4cos 8sin )80t t θθθθ+++-=，所以111222111222114cos 8sin ,cos 4sin 8.cos 4sin t t t t θθθθθθ+⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩由题意可知122t t =-.所以22111112sin 16sin cos 3cos 0θθθθ++=，即2121630k k ++=.解得k =所以直线l 5.【2017河南省广东省佛山市检测】在极坐标系中，射线:6l πθ=与圆:2C ρ=交于点A ，椭圆D 的方程为22312sin ρθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy .（1）求点A 的直角坐标和椭圆D 的参数方程；（2）若E 为椭圆D 的下顶点，F 为椭圆D 上任意一点，求AE AF ⋅的取值范围.（2）设) sin Fθθ，，又()0 1E -，，所以() 2AE =-，，()3 sin 1AF θθ=-，，于是()()3cos 32sin 12sin 3cos 55AE AF θθθθθϕ⋅=-+--=--+=++，因为()1sin 1θϕ-≤+≤，所以()555θϕ++≤+，所以AE AF ⋅5 5⎡⎣，. 6.【2018广西柳州摸底联考】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为24{ 4x t y t== (其中t 为参数）.以坐标原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线2C 的极坐标方程为cos 42πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭. （1）把曲线1C 的方程化为普通方程， 2C 的方程化为直角坐标方程；（2）若曲线1C ， 2C 相交于,A B 两点， AB 的中点为P ，过点P 做曲线2C 的垂线交曲线1C 于,E F 两点，求PE PF ⋅.【解析】（1）曲线1C 的参数方程为24{ 4x t y t==（其中t 为参数），消去参数可得24y x =.曲线2C的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，展开为)cos sin 22ρθρθ-=，化为10x y --=..（2）设()()1122,,,A x y B x y ，且中点为()00,P x y ，联立2410y xx y ⎧=⎨--=⎩，解得2610x x -+=，所以12126,1x x x x +==.所以12003,22x x x y +===. 线段AB的中垂线的参数方程为3222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），代入24y x =，可得2160t +-=，所以1216t t =-，所以1216PE PF t t ⋅==.。

高考专题全国卷真题2011至2018-极坐标与参数方程

4—4.坐标系与参数方程【高考真题】4.4-1（2011全国-23）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），是上的动点，点满足，点的轨迹为曲线。

（Ⅰ)当求的方程；（Ⅱ）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求.4.4-2（2012全国-23）已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是。

正方形ABCD 的顶点都在上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为（2，）。

（1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；（2）设为上任意一点，求的取值范围。

4.4-3（2013全国Ⅰ-23）已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x =4+5costy =5+5sint（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ。

（Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）4.4-4（2013全国Ⅱ-23）已知动点P ，Q 都在曲线C ：上，对应参数分别为β=α与α=2π为（0＜α＜2π）M 为PQ 的中点。

（Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为a 的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点。

xOy 1C 2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩αM 1C P 2OP OM =P 2C 2C O x 3πθ=1C A 2C B ||AB 1C ⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x ϕx 2C 2=ρ2C 3πP 1C 2222||||||||PD PC PB PA +++()2cos 2sin x y βββ=⎧⎨=⎩为参数4.4-5（2014全国Ⅰ-23）已知曲线：，直线：（为参数）. (Ⅰ)写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（Ⅱ）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.4.4-6（2014全国Ⅱ-23）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为，.（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.4.4-7（2015全国Ⅰ-23）在直角坐标系中，直线:=2，圆：,以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

[配套K12]2018版高考数学考点55 极坐标与参数方程试题解读与变式

2018届高考数学(全国通用)二轮复习中档大题精品讲义第7讲坐标系与参数方程

第7讲坐标系与参数方程[明考情]坐标系与参数方程是高考必考题，以选做题形式出现，基础性知识考查为主，中低档难度. [知考向]1.极坐标与直角坐标的互化.2.参数方程与普通方程的互化.3.极坐标与参数方程的综合应用.考点一极坐标与直角坐标的互化要点重组把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0).1.已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ·sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径. 解以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6.2.已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π3，求CP 的长. 解由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，即x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，∴圆心C (2，0)，又由点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π3，可得点P 的直角坐标为(2，23)， ∴CP ＝(2－2)2＋(23－0)2＝2 3.3.在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，求a 的值.解 ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为2x ＋y －1＝0， ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2. 在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22. 将⎝⎛⎭⎫22，0代入x 2＋y 2＝a 2，得a ＝22. 4.在以O 为极点的极坐标系中，直线l 与曲线C 的极坐标方程分别是ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝32和ρsin 2θ＝8cos θ，直线l 与曲线C 交于点A ，B ，求线段AB 的长.解 ∵ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ρcos θcos π4－ρsin θsin π4＝22ρcos θ－22ρsin θ＝32， ∴直线l 对应的直角坐标方程为x －y ＝6. 又∵ρsin 2θ＝8cos θ，∴ρ2sin 2θ＝8ρcos θ， ∴曲线C 对应的直角坐标方程是y 2＝8x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝6，y 2＝8x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18，y ＝12，所以A (2，－4)，B (18，12)，所以AB ＝(18－2)2＋[12－(－4)]2＝16 2. 即线段AB 的长为16 2.考点二参数方程与普通方程的互化要点重组常见曲线的参数方程(1)过定点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).(2)圆心在P (x 0，y 0)，半径等于r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数).(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数).(4)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数).方法技巧参数方程化为普通方程：由参数方程化为普通方程就是要消去参数，消参数时常常采用代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，且消参数时要注意参数的取值范围对x ，y 的限制.5.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 经过点P (1，2)，倾斜角α＝π6.(1)写出圆C 的标准方程和直线l 的参数方程； (2)设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |的值. 解 (1)圆C 的标准方程为x 2＋y 2＝16.直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t (t 为参数).(2)把直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t 代入x 2＋y 2＝16，得⎝⎛⎭⎫1＋32t 2＋⎝⎛⎭⎫2＋12t 2＝16， t 2＋(3＋2)t －11＝0.所以t 1t 2＝－11，即|P A |·|PB |＝11.6.已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝－3＋3t ，y ＝23＋t(t 为参数).(1)写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；(2)设A (1，0)，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其到直线l 的距离相等，求点P 的坐标.解 (1)椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为x －3y ＋9＝0. (2)设P (2cos θ，3sin θ)，则|AP |＝(2cos θ－1)2＋(3sin θ)2＝2－cos θ，点P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ－3sin θ＋9|2＝2cos θ－3sin θ＋92.由|AP |＝d ，得3sin θ－4cos θ＝5，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，得sin θ＝35，cos θ＝－45.故P ⎝⎛⎭⎫－85，335.7.(2016·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数).设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.解直线l 的方程化为普通方程为3x －y －3＝0，椭圆C 的方程化为普通方程为x 2＋y 24＝1.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，x 2＋y 24＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝0或⎩⎨⎧x 2＝－17，y 2＝－837，∴A (1，0)，B ⎝⎛⎭⎫－17，－837.故AB ＝⎝⎛⎭⎫1＋172＋⎝⎛⎭⎫0＋8372＝167.8.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，曲线C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值. 解 (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0，0)和⎝⎛⎭⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α).所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.考点三极坐标与参数方程的综合应用方法技巧解决极坐标与参数方程的综合问题的关键是掌握极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化.涉及圆、圆锥曲线上的点的最值问题，往往通过参数方程引入三角函数，利用三角函数的最值求解.9.(2017·全国Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数).设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.解 (1)消去参数t ，得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m ，得l 2的普通方程l 2：y ＝1k (x ＋2).设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k (x ＋2)，消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)，所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0).(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)，联立⎩⎨⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ).故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，得ρ2＝5，所以l 3与C 的交点M 的极径为 5.10.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＋3＝0，θ∈[0，2π]. (1)求C 1的直角坐标方程；(2)曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos π6，y ＝t sin π6(t 为参数)，求C 1与C 2的公共点的极坐标.解 (1)把ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ代入曲线C 1的极坐标方程ρ2－4ρcos θ＋3＝0，θ∈[0，2π]，可得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，故C 1的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝1.(2)由曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos π6，y ＝t sin π6(t 为参数)，可知此直线经过原点，倾斜角为π6，因此C 2的极坐标方程为θ＝π6或θ＝7π6(ρ＞0).将θ＝π6代入C 1的极坐标方程，可得ρ2－23ρ＋3＝0，解得ρ＝3；将θ＝7π6代入C 1的极坐标方程，可得ρ2＋23ρ＋3＝0，解得ρ＝－3，舍去.故C 1与C 2的公共点的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，π6. 11.在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D ⎝⎛⎭⎫2，π3. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A (ρ1，θ0)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ0＋π2，若A ，B 都在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值.解 (1)因为C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，所以C 1的普通方程为x 24＋y 2＝1.由题意知曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2a ·cos θ(a 为半径)，将D ⎝⎛⎭⎫2，π3代入，得2＝2a ×12，所以a ＝2.所以圆C 2的圆心的直角坐标为(2，0)，半径为2，所以C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4. (2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ4＋ρ2sin 2θ＝1.即ρ2＝44sin 2θ＋cos 2θ. 所以ρ21＝44sin 2θ0＋cos 2θ0，ρ22＝44sin 2⎝⎛⎭⎫θ0＋π2＋cos 2⎝⎛⎭⎫θ0＋π2＝4sin 2θ0＋4cos 2θ0. 所以1ρ21＋1ρ22＝4sin 2θ0＋cos 2θ04＋4cos 2θ0＋sin 2θ04＝54.12.(2017·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ (θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数).(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a . 解 (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425，从而C 与l 的交点坐标是(3，0)，⎝⎛⎭⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程是x ＋4y －4－a ＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 距离d ＝ |3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917. 由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117. 由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.例 (10分)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 与椭圆C 的极坐标方程分别为cos θ＋2sin θ＝0和ρ2＝4cos 2θ＋4sin 2θ.(1)求直线l 与椭圆C 的直角坐标方程；(2)若Q 是椭圆C 上的动点，求点Q 到直线l 距离的最大值. 审题路线图利用极坐标和直角坐标互化公式―→得直线和椭圆的直角坐标方程――――→引入参数α得椭圆的参数方程―――→代入距离公式用α的三角函数表示Q 到l 的距离――――→利用辅助角公式转化 Q 到l 距离的最大值规范解答·评分标准解 (1)由cos θ＋2sin θ＝0⇒ρcos θ＋2ρsin θ＝0⇒x ＋2y ＝0，即直线l 的直角坐标方程为x ＋2y ＝0.由ρ2＝4cos 2θ＋4sin 2θ⇒ρ2cos 2θ＋4ρ2sin 2θ＝4⇒x 2＋4y 2＝4，即x 24＋y 2＝1.即椭圆C 的直角坐标方程为x 24＋y 2＝1.…………………………………………………4分(2)因为椭圆C ：x 24＋y 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)，………………6分可设Q (2cos α，sin α)，因此点Q 到直线l ：x ＋2y ＝0的距离d ＝|2cos α＋2sin α|12＋22＝22⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π45，……8分所以当α＝k π＋π4，k ∈Z 时，d 取得最大值2105.故点Q 到直线l 的距离的最大值为2105.……………………………………………10分构建答题模板[第一步] 互化：将极坐标方程与直角坐标方程互化. [第二步] 引参：引进参数，建立椭圆的参数方程. [第三步] 列式：利用距离公式求出距离表达式. [第四步] 求最值：利用三角函数求出距离的最值.1.在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率.解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ).设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程，得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11，|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44. 由|AB |＝10，得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153. 2.已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2－32t ，y ＝12t ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系. (1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)求曲线C 2上的动点M 到曲线C 1的距离的最大值. 解 (1)ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2(cos θ＋sin θ)，即ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)，可得x 2＋y 2－2x －2y ＝0，故C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. (2)易知C 1的普通方程为x ＋3y ＋2＝0. 由(1)知曲线C 2是以(1，1)为圆心的圆，且圆心到直线C 1的距离d ＝|1＋3＋2|12＋(3)2＝3＋32，所以动点M 到曲线C 1的距离的最大值为3＋3＋222.3.已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋10cos α，y ＝1＋10sin α(α为参数)，以直角坐标系原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；(2)若直线l 的极坐标方程为sin θ－cos θ＝1ρ，求直线l 被曲线C 截得的弦长.解 (1)因为曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋10cos α，y ＝1＋10sin α(α为参数)，所以曲线C 的普通方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10， ①曲线C 表示以(3，1)为圆心，10为半径的圆.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入①并化简，得ρ＝6cos θ＋2sin θ，即曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋2sin θ. (2)因为直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1，所以圆心C 到直线y ＝x ＋1的距离为d ＝322，所以直线被曲线C 截得的弦长为210－92＝22.4.(2017·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值. 解 (1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)，由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0). 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0).(2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0).由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α.于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3 ＝4cos α⎪⎪⎪⎪12sin α－32cos α＝|sin 2α－3cos 2α－3| ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32≤2＋ 3. 当2α－π3＝－π2即α＝－π12时，S 取得最大值2＋3，所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.5.坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t ，y ＝5＋2t (t 为参数)，曲线C 2：ρ2－6ρcos θ－10ρsin θ＋9＝0. (1)将曲线C 1化成普通方程，将曲线C 2化成参数方程；(2)判断曲线C 1和曲线C 2的位置关系.解 (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t ，y ＝5＋2t (t 为参数)，∴t ＝x －4，代入y ＝5＋2t ，得y ＝5＋2(x －4)，即y ＝2x －3，∴曲线C 1的普通方程是y ＝2x －3.将ρ＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入曲线C 2的方程ρ2－6ρcos θ－10ρsin θ＋9＝0，得x 2＋y 2－6x －10y ＋9＝0，即(x －3)2＋(y －5)2＝25.设x －3＝5cos α，y －5＝5sin α得曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos α，y ＝5＋5sin α(α为参数). (2)由(1)知，曲线C 1是经过点P (4，5)的直线，曲线C 2是以O ′(3，5)为圆心，5为半径的圆. ∵|PO ′|＝1＜5，∴点P (4，5)在曲线C 2内，∴曲线C 1和曲线C 2相交.。

2018年高考数学真题专题汇编----极坐标与参数方程

（ 1）求的取值范围；（ 2）求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程．
4.【 2018 江苏卷 21C】在极坐标系中，直线 l 的方程为 4cos ，求直线 l 被曲线 C 截得的弦长．
sin( π 6
) 2 ，曲线 C 的方程为
参考答案
一、填空题
1.1 2
1
2.
2
二、解答题
1.解：（ 1）由 x cos ， y sin 得 C2 的直角坐标方程为 ( x 1)2 y2 4．
2018 年高考数学真题专题汇编 ----
极坐标与参数方程
一、填空题
1. 【 2018 北京卷 10】在极坐标系中，直线 cos 则 a=_______2cos 相切，
x 2.【2018 天津卷 12】 )已知圆 x2 y2 2 x 0的圆心为 C，直线
2 1 t,
（ 2）由（ 1）知 C2 是圆心为 A( 1,0) ，半径为 2 的圆．
2 ( t 为参数 )
y 3 2t 2
与该圆相交于 A，B 两点，则 △ ABC 的面积为
.
二、解答题
1.【 2018 全国一卷 22】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的方程为 y k|x| 2.以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 2 2 cos 3 0 .
（ 1）求 C2 的直角坐标方程；（ 2）若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点，求 C1 的方程 .
x 2cos θ， 2【. 2018 全国二卷 22】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 y 4sin θ（ θ为参数），直线 l 的参数方程为
x 1 t cos α，（ t 为参数）．

2018届高考数学二轮复习选修4-4 第二节参数方程专题

参数方程专题[基础达标](35分钟70分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.已知曲线C的参数方程为x=2cos t，y=2sin t(t为参数)，C在点(1，1)处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为() A.ρ=2sin θ+π4B.ρsin θ+π4=2C.ρsin θ+π4=2D.ρ=sin θ+π4B【解析】把曲线C的参数方程x=2cos t，y=2sin t(t为参数)消去参数，化为普通方程为x2+y2=2，曲线C在点(1，1)处的切线为l：x+y=2，化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=2，即ρsin θ+π4=2.2x=t cosα，y=t sinα(t是参数)与圆x=4+2cosθ，y=2sinθ(θ是参数)相切，则直线的倾斜角α为()A.π6B.5π6C.π6或5π6D.π2C【解析】直线x=t cosα，y=t sinα(t是参数)的普通方程为y=x tanα，圆x=4+2cosθ，y=2sinθ(θ是参数)的普通方程为(x-4)2+y2=4，由于直线与圆相切，则1+tan2α=2，即tan2α=13，解得tan α=±33，由于α∈[0，π)，故α=π6或5π6.二、填空题(每小题5分，共10分)3.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ，直线l的参数方程为x=t+a，y=-22t(t为参数)，若直线l将曲线C的周长分为1∶5，则实数a=.-1或5【解析】曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4x，标准方程为(x-2)2+y2=4，直线l的普通方程为x+y-a=0，直线l将曲线C的周长分为1∶5，则弦所对的圆心角是60°，则圆心(2，0)到直线l的距离为3，即3=3，解得a=-1或5.4.以平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线x=7cosφ，y=7sinφ(φ为参数，φ∈R)上的点到曲线ρ(cosθ+sinθ)=4(ρ，θ∈R)的最短距离是.22−7【解析】曲线x=7cosφ，y=7sinφ的普通方程为x2+y2=7，曲线ρ(cosθ+sinθ)=4的直角坐标方程为x+y=4，圆心(0，0)到直线x+y=4的距离d=2>，所以圆x2+y2=7上的点到直线x+y=4的最短距离为d-r=2−.三、解答题(共50分)5.(10分C的直角坐标方程是x2+y2=2x，直线l的参数方程是x=32t+m，y=12t(t为参数).(1)求直线l的普通方程；(2)设点P(m，0)，若直线l与曲线C交于A，B两点，且|PA|·|PB|=1，求实数m 的值.【解析】(1)直线l的参数方程是x=32t+m，y=12t(t为参数)，消去参数t可得x=3y+m.(2)把x=32t+m，y=12t(t为参数)代入方程x2+y2=2x，得t2+(3m-3)t+m2-2m=0，由Δ>0，解得-1<m<3，∴t1t2=m2-2m.∵|PA|·|PB|=1=|t1t2|，∴m2-2m=±1，解得m=1±2，1.又∵Δ>0，∴实数m=1±2，1.6.(10分)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=2-k，y=3-2k(k为参数)，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系.圆C的极坐标方程为ρ=2sin θ.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l交于点A，B，若点M的坐标为(2，3)，求|MA|·|MB|的值.【解析】(1)由ρ=2sin θ得ρ2=2ρsin θ，即x2+y2-2y=0，标准方程为x2+(y-1)2=1.故圆C的直角坐标方程为x2+(y-1)2=1.(2)直线l的参数方程为x=2-k，y=3-2k(k为参数)，可化为x=2-55t，y=3-255t其中k=55t ，代入圆C的直角坐标方程，得2-55t2+2-255t2=1，即t2-1255t+7=0.由于Δ=12552-4×7=45>0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以t1+t2=1255，t1·t2=7，又直线l过点M(2，3)，故由上式及t的几何意义，得|MA|·|MB|=|t1|·|t2|=7.7.(10分xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为x=t，y=at(t为参数)，曲线C1的方程为ρ(ρ-4sinθ)=12，定点A(6，0)，点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点.(1)求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；(2)直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围.【解析】(1)根据题意，得曲线C1的直角坐标方程为x2+y2-4y=12，设点P(x'，y')，Q(x，y).根据中点坐标公式，得x'=2x-6，y'=2y，代入x2+y2-4y=12，得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为(x-3)2+(y-1)2=4. (2)直线l的直角坐标方程为y=ax，根据题意，得圆心(3，1)到直线的距离d≤22-(3)2=1，即2≤1，解得0≤a≤34，∴实数a的取值范围为0，34.8.(10分xOy中，曲线C1：x=t cosα，y=t sinα(t为参数，t≠0)，其中0≤α<π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sin θ，C3：ρ=23cos θ.(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值.【解析】(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0，曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.联立x2+y2-2y=0，x2+y2-23x=0，解得x=0，y=0或x=32，y=32.所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和32，32.(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α<π.因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(23cos α，α).所以|AB|=|2sin α-23cos α|=4sin α-π3.当α=5π6时，|AB|取得最大值，最大值为4.9.(10分)已知直线l的参数方程为x=-1-32t，y=3+12t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sin θ-π6.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)点P(x，y)是直线l与圆面ρ≤4sin θ-π6的公共点，求3x+y的取值范围.【解析】(1)因为圆C的极坐标方程为ρ=4sin θ-π6，所以ρ2=4ρsin θ-π6=4ρ32sinθ-12cosθ .又ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以x2+y2=23y-2x，所以圆C的直角坐标方程为x2+y2+2x-23y=0.(2)设z=3x+y，由圆C的方程x2+y2+2x-23y=0，得(x+1)2+(y-3)2=4，所以圆C的圆心是(-1，3)，半径是2.将x=-1-32t，y=3+12t代入z=3x+y，得z=-t.又由题可知点P在圆C内，所以有-1-32t+12+3+12t-32≤4，解得-2≤t≤2，所以-2≤-t≤2，即3x+y的取值范围是[-2，2].[高考冲关](20分钟45分)1.(5分C：ρ=2sin θ，A，B为曲线C上的两点，以极点为原点，极轴为x轴非负半轴的直角坐标系中，曲线E：x=4t+2，y=-3t-3上一点P，则∠APB的最大值为()A.π4B.π3C.π2D.2π3B【解析】曲线C的直角坐标方程为x2+(y-1)2=1，曲线E的普通方程为3x+4y+6=0，易得直线E与圆C相离，且圆心C到直线E的距离d=2，则∠APB 取最大值时，PA，PB与圆C相切，且PC最短，此时在Rt△PAC中，sin ∠APC=12，故∠APC=π6，所以∠APB=π3.2.(10分)已知直线C1：x=1+t cosα，y=t sinα(t为参数)，曲线C2：x=cosθ，y=sinθ(θ为参数).(1)当α=π3时，求C1与C2的交点坐标；(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.【解析】(1)当α=π3时，C1的普通方程为y=3(x-1)，C2的普通方程为x2+y2=1，联立方程组y=3(x-1)，x2+y2=1，解得C1与C2的交点坐标分别为(1，0)，12，-32.(2)依题意，C1的普通方程为x sinα-y cosα-sin α=0，则A点的坐标为(sin2α，-sin αcosα)，故当α变化时，P点轨迹的参数方程为x=12sin2α，y=-12sinαcosα(α为参数)，所以1-4x=cos2α，-4y=sin2α，所以P点轨迹的普通方程为 x-142+y2=116.故P点的轨迹是圆心为14，0，半径为14的圆.3.(10分)已知曲线C1的参数方程是x=2cosφ，y=3sinφ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2，正方形ABCD 的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为2，π3.(1)求点A，B，C，D的直角坐标；(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.【解析】(1)由已知可得A2cosπ3，2sinπ3，B2cosπ3+π2，2sinπ3+π2，C2cosπ3+π ，2sinπ3+π ，D2cosπ3+3π2，2sinπ3+3π2，即A(1，3)，B(-3，1)，C(-1，-3)，D(3，-1).(2)设P(2cos φ，3sin φ)，令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2，则S=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ.因为0≤sin2φ≤1，所以S的取值范围是[32，52].4.(10分C ：x 24+y 29=1，直线l ：x =2+t ，y =2-2t(t为参数).(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA|的最大值与最小值.【解析】(1)曲线C 的参数方程为 x =2cos θ，y =3sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为2x+y-6=0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为 d= 55|4cos θ+3sin θ-6|. 则|PA|=dsin 30°=2 55|5sin(θ+α)-6|，其中α为锐角，且tan α=43，当sin(θ+α)=-1时，|PA|取得最大值，最大值为22 55；当sin(θ+α)=1时，|PA|取得最小值，最小值为2 55.5.(10分l ： x =1+12t ，y = 32t (t 为参数)，曲线C 1：x =cos θ，y =sin θ(θ为参数).(1)设l 与C 1相交于A ，B 两点，求|AB|；(2)若把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的12，纵坐标压缩为原来的 32，得到曲线C 2，设点P 是曲线C 2上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值. 【解析】(1)由题意得l 的普通方程为y= 3(x-1)，C 1的普通方程为x 2+y 2=1. 联立方程y = 3(x -1)，x 2+y 2=1，解得l 与C 1的交点为A (1，0)，B 12，-32，则|AB|=1.(2)由题意可得C2的参数方程为x=12cosθ，y=32sinθ(θ为参数)，故点P的坐标是12cosθ，32sinθ .从而点P到直线l的距离d=32cosθ-32sinθ-32=342sin θ-π4+2，当sin θ-π4=-1时，d取得最小值，最小值为64(2-1).。

【高三数学试题精选】2018高考数学(理)二轮复习极坐标与参数方程配套试题

2018高考数学(理)二轮复习极坐标与参数方程配套试题
5 精品题库试题
理数
1(x化为极坐标方程为ρcs θ+ρsin θ=1,即ρ= ∵0≤x≤1,∴线段在第一象限内(含端点),∴0≤θ≤ 故选A
2(4=0,
cρ=4cs θρ2=4ρcs θ,∴cx2+2=4x,
即(x-2)2+2=4,∴c(2,0),r=2
∴点c到直线l的距离d= = ,
∴所求弦长=2 =2 故选D
3(1上 D在直线=x+1上
[答案] 3B
[解析] 3曲线 (θ为参数)的普通方程为(x+1)2+(-2)2=1,该曲线为圆,圆心(-1,2)为曲线的对称中心,其在直线=-2x上,故选B
4 (2)2+(-1)2=1,由直线l与曲线c相交所得的弦长|AB|=2知,AB 为圆的直径,故直线l过圆心(2,1),注意到直线的倾斜角为 ,即斜率为1,从而直线l的普通方程为=x-1,从而其极坐标方程为ρsin θ=ρcs θ-1,即ρcs =1
9( +1=0,
又点的直角坐标为( ,1),
∴点到直线的距离d= =1
10(4坐标系与参数方程）
在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线（为参数）和曲线相交于两点，设线段的中点为，则点的直角坐标为．[答案] 21
[解析] 21 消去参数t可得曲线c1的普通方程为，曲线，根。

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参数方程与极坐标1．设点P 在曲线2sin =θρ上,点Q 在曲线1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）上,求|PQ |的最小值（）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A 【解析】试题分析：首先把两曲线化为直角坐标方程：222,(1)1y x y =-+=，数形结合知过x=1的直线与圆相交的较近的两点间的距离就是PQ的最小值．考点：直线与圆的位置关系．2．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()4x tt y t =⎧⎨=+⎩为参数.曲线C 的参数方程为2()2x y θθθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩为参数，则直线l 和曲线C 的公共点有（）（A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）无数个【答案】B 【解析】试题分析：()4x t t y t =⎧⎨=+⎩为参数即y=x+4，2()2x y θθθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩为参数即22(2)(2)8x y -+-=，=l 和曲线C 的公共点有1个，选B 。

考点：本题主要考查参数方程与普通方程的互化，直线与圆的位置关系。

点评：小综合题，将参数方程化为普通方程，实现了“化生为熟”，研究直线与圆的位置关系，两种思路，一是“代数法”，二是“几何法”。

3．坐标系中，圆θρsin 2-=的圆心的极坐标是（） A ．)2,1(πB ．)2,1(π- C ．)0,1( D ．(1,)π【答案】B 【解析】试题分析：圆θρsin 2-=即为圆22s i n ρρθ=-化成直角坐标方程为2220x y y ++=，所以圆心的直角坐标为()0,1-，极坐标是)2,1(π-.考点：圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化.4．将点M 的极坐标⎪⎭⎫⎝⎛310π，化成直角坐标是（）(A)(5， (B)()5 (C)()5，5 (D)()5-，-5 【答案】A【解析】本题考查极坐标与直角坐标的互化由点M 的极坐标⎪⎭⎫⎝⎛310π，，知10,3πρθ== 极坐标与直角坐标的关系为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，所以⎪⎭⎫⎝⎛310π，的直角坐标为10cos 5,10sin 33x y ππ====即(5，故正确答案为A5．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程（φ为参数）．以O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM ：θ=与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．【答案】（Ⅰ）ρ=2cosθ，（Ⅱ）2【解析】试题分析：（I ）圆C 的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x﹣1）2+y 2=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简即可得到此圆的极坐标方程．（II ）由直线l 的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM ：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．分别与圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出．解：（I ）圆C 的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x ﹣1）2+y 2=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简得：ρ=2cosθ，即为此圆的极坐标方程．（II ）如图所示，由直线l 的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM ：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．联立，解得，即Q ．联立，解得或．∴P．∴|PQ|==2．考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．视频6．[选修4-4：坐标系与参数方程]已知极坐标系中的曲线2cos sin ρθθ=与曲线πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【答案】2a = 【解析】试题分析：由将cos ,sin x y ρθρθ==极坐标方程2cos sin ρθθ=及πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭化为直角坐标方程2x y =，2x y +=，联立方程组解得交点坐标()1,1A ，()2,4B -，根据两点间距离公式求线段AB 的长．试题解析：曲线2cos sin ρθθ=化为2x y =；…………………………………4分πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭同样可化为2x y +=，…………………………8分联立方程组，解得()1,1A ，()2,4B -，所以AB ==所以3222a a -=（0a >），解得2a =（负值已舍）．………………10分考点：极坐标方程化为直角坐标方程7．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程是x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，（t 为参数）；以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的极坐标方程为2cos()4ρθπ=+．（1）写出直线l 的普通方程与圆C 的直角坐标方程；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值.【答案】曲线C:02222=+-+y x y x （2）62．【解析】试题分析：先将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程，再把直线上的点的坐标（含参数）代入，化为求函数的最值问题，也可将直线l 的参数方程化为普通方程，根据勾股定理转化为求圆心到直线上最小值的问题.试题解析：（1曲线C:02222=+-+y x y x 4分（2）因为圆C 的极坐标方程为θθρsin 2cos 2-=，所以θρθρρs i n 2c o s 22-=，所以圆C 的直角坐标方程为02222=+-+y x y x ，圆心为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-22,22,半径为1, 6分因为直线l的参数方程为,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），所以直线l上的点P+⎝向圆C引切线长是所以直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是62． 10分考点：参数方程与极坐标，直线与圆的位置关系.8．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线2:sin2cosC aρθθ=(0)a>，过点()2,4P--的直线l的参数方程为（t为参数）。

直线l与曲线C分别交于M N、．若PM MN PN、、成等比数列,求实数的值。

【答案】a=1【解析】试题分析：把参数方程化为普通方程，把极坐标方程化为直角坐标方程，联立方程组利用根与系数的关系求出()()''''12122,2164t t t t a+==+．再根据由PM MN PN、、成等比数列,则2''''1212t t t t-=，由此求得实数a的值．试题解析：解：曲线C的直角坐标方程为y2=2ax （a>0）将直线l的参数方程化为2,{ (4.2xty=-+=''+'-为参数）代入曲线C的直角坐标方程得：()2116402t t a-++'='因为交于两点，所以0>，即a>0或a<-4．设交点M,N对应的参数分别为''12,tt．则()()''''12122,2164t t t t a+==+若PM MN PN、、成等比数列,则2''''1212t t t t-=解得a=1或a=-4（舍）所以满足条件的a=1．（10分）．考点：1．直线的参数方程；2．等比数列的性质；3．简单曲线的极坐标方程．9．在直角坐标平面内，直线l过点P（1，1），且倾斜角α＝3π．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ＝4sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设直线l与圆C交于A、B两点，求|PA|·|PB|的值．【答案】（1）x2＋y2－4y＝0；（2）2【解析】试题分析：（1）极坐标方程化为直角坐标方程，利用公式222{ cos xsin y x y ρθρθρ===+即可得；（2）可用直线的参数方程解决，直线l参数方程为112{ 1x ty =+=+（t 为参数），直线上点M 的参数为t ，则t 的几何意义是PM t =，由此只要把参数方程代入圆方程，由韦达定理可得12t t ，而12PA PB t t =．试题解析：（1）∵4sin ρθ=，∴24sin ρρθ=，则2240x y y +-=，即圆C 的直角坐标方程为2240x y y +-=．（2）由题意，得直线l的参数方程为112{ 1x ty =+=+（t 为参数）．将该方程代入圆C 方程x 2＋y 2－4y ＝0，得2t ＝0，t 1t 2＝－2．即|PA|·|PB|＝|t 1t 2|＝2．考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程及应用． 10．选修4-4：极坐标与参数方程在极坐标系中，已直曲线:2cos C ρθ=,将曲线C 上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C 1，又已知直线()3{3x tcos t y tsinππ==是参数，且直线l 与C 1交于A 、B 两点，（1）求曲线C 1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（2）设定点(P , 求11PA PB+的值；【答案】（1）2214x y +=曲线1C是焦点()),长轴长为4的椭圆（2）32 【解析】试题分析：（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x 2+y 2=ρ2，化曲线C 1的方程为（x ﹣1）2+y 2=1，再由图象的伸缩变换可得曲线C 1；（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程2214x y +=中，得到关于t 的二次方程，运用韦达定理，参数的几何意义，即可求11PA PB+．试题解析：（1）曲线的直角坐标方程为，即∴曲线的直角坐标方程为∴曲线是焦点,长轴长为4的椭圆.解（2）将直线的参数方程代入曲线的方程中得，设对应的参数为、∴，∴.11．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的参数方程为1{(x cos y sin θθθ=+=为参数).(Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)若曲线C 向左平移一个单位,再经过伸缩变换2{x xy y=''=得到曲线C '，设(),M x y为曲线C '上任一点，求224x y -的最小值，并求相应点M 的直角坐标.【答案】（I ）2cos ρθ=;（Ⅱ）2-， M 的坐标为⎛ ⎝⎭或1,⎛- ⎝⎭.【解析】试题分析：（I ）消参得曲线C 的普通方程为()2211x y -+=⇒曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ= ；（Ⅱ）利用变换公式求得曲线C '的直角坐标方程为2214x y += ，再利用参数法结合三角函数求得最值及相应坐标. 试题解析：（I ）由 1{x cos y sin θθ=+=（θ为参数）得曲线C 的普通方程为()2211x y -+=得曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（Ⅱ）()2211x y -+=，向左平移一个单位再经过伸缩变换2{x xy y=''=得到曲线C '的直角坐标方程为2214x y +=，设()2cos ,sin M αα，则2222c o 23s i n c o s s i n4x y y a a αα-=--cos22cos 23a παα⎛⎫==+ ⎪⎝⎭当3k παπ=+时，224x y -的最小值为2-，此时点M的坐标为⎛⎝⎭或1,⎛- ⎝⎭. 【点睛】本题考查参数极坐标方程，涉及函数与方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，具有一定的综合性，属于中等题型.在极坐标方程与直角坐标方程互化中应紧扣公式进行转化，在求最值时应注意借助参数思想解题，可以大大降低计算量和求解效率. 12．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy中，直线140C y +-=，曲线2:{(1x cos C y sin ϕϕϕ==+为参数），以以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.()I 求12,C C 的极坐标方程；()II 若曲线3C 的极坐标方程为(0,0)2πθαρα=><<，且曲线3C 分别交12,C C 于点,A B 两点，求OBOA的最大值．【答案】（1）12cos sin 40;:2sin C C θρθρθ+-==（2）max 3.4OB OA =【解析】试题分析：（1）由cos ,sin x y ρθρθ==可得曲线1C 的极坐标方程；先将曲线2C 化为普通方程，进而可得曲线2C 的极坐标方程；（2）设()()12,,,A B ραρα，122sin ,ρρα==则21OB OAρρ=，根据三角函数有界性可得到答案. 试题解析： ()I cos ,sin x y ρθρθ== ，1cos sin 40;C θρθ∴+-={1x cos y sin ϕϕ==+ ， ()2211x y ∴+-=， cos ,sin x y ρθρθ== ，()()22cos sin 11ρθρθ∴+-=， 22sin 0ρρθ∴-=， 2:2sin C ρθ∴=()II 曲线3C 为(0,0)2πθαρα=><<，设()()12,,,A B ραρα，122sin ,ρρα==则)12112sin sin sin 21446OB OAρπααααρ⎡⎤⎛⎫==⨯+=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ,3πα∴= max 3.4OB OA =13．直线被圆所截得的弦长为．【答案】．【解析】试题分析：由题意，得直线与圆的普通方程分别为与，则弦心距，则弦长为．考点：曲线的参数方程；直线与圆的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了曲线的参数方程与普通方程的互化、直线与圆的位置关系的判定与应用，其中把曲线的参数方程化为普通方程和牢记直线与圆的弦长公式是解答本题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力及推理、运算能力，属于基础题，本题的解答中，先把直线与圆的参数化为普通方程与，利用直线与圆的弦长公式，即可求解．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆ρ=2cos θ的圆心到直线ρsin θ+2ρcos θ=1的距离是 .【解析】由ρ=2cos θ，化为直角坐标方程为x y x 22+-2=0x2+y2-2x=0，其圆心是A （1，0），由ρsin θ+2ρcos θ=1得：化为直角坐标方程为2x+y-1=0，由点到直线的距离公式，得=15．已知两曲线参数方程分别为()0sin x y θθπθ⎧=⎪≤<⎨=⎪⎩和()254R x t t y t⎧=⎪∈⎨⎪=⎩，它们的交点坐标为___________．【答案】⎛ ⎝⎭ 【解析】试题分析：两曲线参数方程化成普通方程联立方程得：2221554x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，解方程组得交点坐标为⎛ ⎝⎭. 考点：参数方程.16．（坐标系与参数方程选做题）直线3470x y +-=截曲线cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）的弦长为_ _ 【答案】85【解析】曲线消参后得到普通方程为22(1)1x y +-=,由圆心（0，1）到直线3x+4y-7=0的距离|30417|355d ⨯+⨯-==,所以弦长85l ==.。