杨浦初中补习班五角场新王牌初二数学一元二次方程提高训练
初中八年级数学一元二次方程提高练习
初中数学一元二次方程提高练习一、单选题（共12题；共24分）1.已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则实数的值是（）A. 0B. 1C. −3D. −12.如果关于x的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是（）A. B. 且 C. 且 D.3.对于任意实数k，关于x的方程的根的情况为（）A. 有两个相等的实数根B. 没有实数根C. 有两个不相等的实数根D. 无法判定4.下列命题正确的是（）A. 若分式的值为0，则x的值为±2．B. 一个正数的算术平方根一定比这个数小．C. 若，则．D. 若，则一元二次方程有实数根．5.已知二次函数，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程的两根之积为（）A. 0B.C.D.6.直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（）.A. 0个B. 1个C. 2个D. 1个或2个7.规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论①方程x2+2x﹣8＝0是倍根方程；②若关于x的方程x2+ax+2＝0是倍根方程，则a＝±3；③若（x﹣3）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则n＝6m或3n＝2m；④若点（m，n）在反比例函数y＝的图象上，则关于x的方程mx2﹣3x+n＝0是倍根方程.上述结论中正确的有（）A. ②B. ①③C. ②③④D. ②④8.一元二次方程配方后化为（）A. B. C. D.9.关于x的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；② ；③ ．其中正确结论的个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个10.若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2﹣ab+b2=18，则+ 的值是（）A. 3B. ﹣3C. 5D. ﹣511.方程x2+ax+7=0和x2﹣7x﹣a=0有一个公共根，则a的值是（）A. 9B. 8C. 7D. 612.设是方程的两个实数根，则的值是( )A. -6B. -5C. -6或-5D. 6或5二、填空题（共5题；共5分）13.已知关于的一元二次方程，有下列结论：①当时，方程有两个不相等的实根；②当时，方程不可能有两个异号的实根；③当时，方程的两个实根不可能都小于1；④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的个数为________．14.一元二次方程的解为________．15.已知关于的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________．16.若方程的根也是方程的根，则________.17.设m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2018＝0的两个实数根，则m2＋3m＋n＝________.三、计算题（共3题；共25分）18.解方程：（1）（x﹣4）2﹣3＝0；（2）4（x﹣3）＝2x（x﹣3）.19.解下列方程：（1）3（5﹣x）2＝2（x﹣5）；（2）x2﹣4x+2＝0.20.已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值.四、解答题（共2题；共10分）21.阅读下面的例题：解方程x2﹣|x|﹣2＝0解：当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）；当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝1，（不合题意，舍去）x2＝﹣2；∴原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2．请参照例题解方程x2﹣|x﹣1|﹣1＝0．22.某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查发现：在一段时间内，当销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．若商场要获得10000元销售利润，该玩具销售单价应定为多少元？售出玩具多少件？答案解析部分一、单选题1.【答案】B【解析】【解答】解：根据题意得，解得；故答案为：B．【分析】把x＝代入方程就得到一个关于m的方程，就可以求出m的值．2.【答案】C【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，∴△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解得k≤ 且k≠0，故答案为：C．【分析】根据关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，知△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解之可得．3.【答案】B【解析】【解答】解：，，不论k为何值，，即，所以方程没有实数根，故答案为：B．【分析】先根据根的判别式求出“△”的值，再根据根的判别式的内容判断即可．4.【答案】D【解析】【解答】A.当x=2时，分式无意义，故A选项不符合题意；B.1的算数平方根还是1，不符合“一个正数的算术平方根一定比这个数小”，故B选项不符合题意；C.可以假设b=2，a=1，满足，代入式子中，通过计算发现与结论不符，故C选项不符合题意；D. ，当时，，一元二次方程有实数根，故D选项符合题意．故本题选择D．【分析】A选项：当x=2时，分式无意义；B选项：1的算数平方根还是1；C选项：可以让b=2，a=1，代入式子中即可做出判断；根据根的判别式可得到结论．5.【答案】D【解析】【解答】解：∵二次函数，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，可知二次函数图像的对称轴为直线x=0，即y轴，则，解得：a=-2，则关于x的一元二次方程为，则两根之积为，故答案为：D.【分析】根据题意可得二次函数图像的对称轴为y轴，从而求出a值，再利用根与系数的关系得出结果.6.【答案】D【解析】【解答】∵直线不经过第二象限，∴，∵方程，当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解，当a<0时，方程为一元二次方程，∵∆= ，∴4-4a>0，∴方程有两个不相等的实数根，故答案为：D.【分析】根据直线不经过第二象限，得到，再分两种情况判断方程的解的情况.7.【答案】D【解析】【解答】解：①x2+2x﹣8＝（x+4）(x-2)=0 ,∴x1=-4,x2=2, x1=-2x2, 不是倍根方程，错误；②由题意得：2x12=2, ∴x1=±1，∴x1=1,x2=2,x1=-1,x2=-2, 则a＝x1+x2=±3, 正确；③∵x1=3,x2=, 当x1=2x2时，3m=2n, 当x2=2x1时，n=6m, 错误；④由题意得：n=, ∴mx2-3x+=0, ∴x1+x2=,x1x2=, 整理得：2x12-5x1x2+2x22=0, ∴（x1-2x2）(2x1-x2)=0, ∴x1=2x2, 或x2=2x1，正确；综上，正确的是②④ .故答案为：D.【分析】①用十字相乘法解一元二次方程直接验证即可；②先根据两根之积等于2，分两种情况讨论均符合“倍根方程”的条件；③分两种情况讨论，结合倍根方程的条件可得m和n的关系；④根据反比例函数式，求出m和n的关系，利用一元二次方程根与系数的关系列式整理即可求得两根之间的关系.8.【答案】B【解析】【解答】,,.故答案为：B.【分析】配方法的基本步骤，在方程两边加上一次项系数的一半的平方。
杨浦初中补习班五角场新王牌中考数学带你刷题
八年级：二次根式与一元二次方程综合（教案）教学目标：1.掌握二次根式的及其相关概念性质；2.掌握二次根式的计算；3.掌握一元二次方程的概念及其解法；4.掌握一元二次方程的应用；教学重点：二次根式的计算；解一元二次方程；一元二次方程的应用； 教学难点：一元二次方程的应用；三、课堂检测1．若最简根式2a 是同类二次根式，则2a b + =__________________．2.不等式31x -<的解集是3.在实数范围内因式分解： 2223x x --=4.如果方程210kx -+= 有两个不相等的实数根，那么k =5.已知223x ax -+ 为完全平方式，则a =_____________________．7.已知关于x 的方程226410k x kx k ++++=（） ，（1）只有一个根，求k 的值，并求此时方程的根；（2）有两相等的实数根，求k 的值，并求此时方程的根。
8.某商场今年1月份的销售额为70万元，2月份销售额下降了10%，后改进经营管理，月销售额大幅度上升，4月份销售额达到112万元，问：3、4月份平均每月增长的百分率是多少？（结果精确到1%）答案：1、 3； 2、 7x >--； 3、 72x x ⎛- ⎝⎭⎝⎭；4、 20k k <≠且 ；5、 ±；7、（1）k=-2，712x =-（2）15k =- ，1213x x == ，或 1222,3k x x ===- ； 8、 33%四、课堂总结本节课主要知识点：二次根式，一元二次方程总结：1. 二次根式的基本概念、性质；2. 最简二次根式、同类二次根式的概念、同类二次根式的合并3. 二次根式的分母有理化4. 二次根式的乘除法运算5. 代数式成立时未知量的取值范围问题（或者函数中自变量的取值范围问题）6. 二次根式的非负性7. 一元二次方程的定义、形式8. 一元二次方程的解法9. 一元二次方程的代数应用：分解二次三项式、解代数应用题10. 一元二次方程的几何应用：面积问题。
杨浦区最好高考补习班 新王牌高考补习 数学一元二次不等式
yxO杨浦新王牌一元二次不等式的解法一、复习1、一元一次不等式的解法依据是不等式的基本性质3（乘法性质）：如果0,>>c b a ，那么bc ac >；如果0,<>c b a ，那么bc ac <.2、二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像。
二、新课（一）一元二次不等式的定义1、只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的 不等式叫做一元二次不等式。
2、一元二次不等式的一般形式为： 。
（二）一元二次不等式的解法探究 1、如何解一元二次不等式0322>--x x ？解法一：先分解因式，转化为一元一次不等式组求解。
解法二：求此不等式的的解集可看作求二次函数322--=x x y 取正值时x 的取值范围，即求该二次函数的图像在x 轴上方时x 的取值范围。
2、根据二次函数322--=x x y 的图像，得 一元二次不等式0322<--x x 的解集是 ； 一元二次不等式0322≥--x x 的解集是 ； 一元二次不等式0322≤--x x的解集是 。
3、已知一元二次方程02=++c bx ax 的根的判别式042>-=∆ac b ， 则此方程有两个不等实数根，不妨设为21,x x ，且21x x <， 作出对应二次函数c bx ax y ++=2的图像，由图可得：一元二次不等式)0(02>>++a c bx ax 的解集是 ； 一元二次不等式)0(02><++a c bx ax 的解集是 ；【拓展】若0<a ，则一元二次不等式02>++c bx ax 的解集是 ；一元二次不等式02<++c bx ax 的解集是 。
（三）用区间表示不等式的解集设b a 、都为实数，并且b a <,我们规定: (1)集合}|{b x a x ≤≤叫做 区间,表示为 ； (2)集合}|{b x a x <<叫做 区间,表示为 ；(3)集合}|{b x a x <≤或}|{b x a x ≤<叫做 区间,分别表示为 或 ； (4)实数集R 表示为 ；集合}|{a x x ≥表示为 ； 集合}|{a x x >表示为 ；集合}|{b x x ≤表示为 ； 集合}|{b x x <表示为 ；在上述所有的区间中，b a 、叫做区间的 ； “∞-”读作“负无穷大”，“∞+”读作“正无穷大”。
浦东新王牌 初二数学 一元二次方程 沙H老师
8 x 2 6 x 9 0
四、
本课小结
1． 一元二次方程的解法二：因式分解法。 2． 原理：if A B 0 then A 0
或 B0
3． 步骤： 化一般式 因式分解（左边成绩右边 0） 解两个一次方程 得到一元二次方程的解。 4． 一元二次方程，如果有解，就有 2 个解。 （要么就无解）
2
四、
有一个根为 0，1，－1 的一元二次方程的系数和常数项的特征。
1．下列一元二次方程中，哪些方程有一个根为 0？哪些方程有一个根为 1？哪些方程有一个根为－1？
1 2 x 2 x 0 2 5x2 4 x 0 3 3 x 2 2 x 5 0 4 x2 7 x 6 0 5 x 2 5x 4 0 6 2 x 2 3x 5 0
4 x 2 7 x 12 0
通过因式分解，把一元二次方程化为两个一次因式的积等于 0 的形式，从而把解一元二次方程的问题转 化为解一元一次方程的问题，这种解一元二次方程的方法，叫做因式分解法。 （主要思路：降次！把二次降为一次） （形式：左边乘积，右边 0）
5
沙 H 老师 初二数学
教学目的：
一元二次方程解法一：开平方法
1．经历探索一元二次方程的第一种解法，体会从特殊到一般的思考方法以及降次策略。 2．掌握用开平方法解一元二次方程 3．理解一元二次方程应该有 2 个根的特点 重点：掌握用开平方法解一元二次方程 难点：发现用开平方法解一元二次方程的特点。 教学过程： 一、复习引入： 1、判断：下列方程是不是一元二次方程？一元二次方程的一般式？
3 2 x 2 5 0
注意：方程有解的话，有几个？ 这种解方程的方法，叫做：开平方法。
杨浦初中五角场恒高一对一补习班二次根式提高型知识讲解
二次根式的概念和性质（提高）知识讲解【学习目标】1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化简．3、理解并掌握同类二次根式和最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.【要点梳理】要点一、二次根式及代数式的概念1.二次根式：一般地，我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释： 二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.2.代数式：形如5，a ，a+b ，ab ，，x 3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质1、； 2.；3.. 要点诠释：1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。
一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即.要注意区别与联系：1).的取值范围不同，中≥0为任意值.2).≥0时，；<0时，.要点三、最简二次根式（1）被开方数不含有分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1) 被开放数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式.要点四、同类二次根式2(0a a =≥）2a 2a a a 2a a 2a -1. 定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.要点诠释：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似).要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.【典型例题】类型一、二次根式的概念1．已知y=+﹣4，计算x ﹣y 2的值． 【思路点拨】根据二次根式有意义的条件可得：，解不等式组可得x 的值，进而可求出y的值，然后代入x ﹣y 2求值即可．【答案与解析】解：由题意得：， 解得：x=，把x=代入y=+﹣4，得y=﹣4， 当x=，y=﹣4时x ﹣y2=﹣16=﹣14． 【总结升华】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 举一反三【变式】方程，当时，的取值范围是（ ）A ． B.≥2 C. D.≤2【答案】 C.类型二、二次根式的性质480x -+0y >m 01m <<m 2m <m2.根据下列条件，求字母x的取值范围：(1)； (2).【答案与解析】(1)(2)【总结升华】二次根式性质的运用.举一反三【变式】问题探究：因为，所以，因为，所以请你根据以上规律，结合你的以验化简下列各式：（1）；（2）．【答案】解：（1）==；（2）==．3. 已知，1≤x≤3，化简：=_______.【思路点拨】由题意1≤x≤3，可以判断1﹣x≤0；x﹣3≤0，然后再直接开平方进行求解．【答案】2.【解析】解：∵1≤x≤3，∴1﹣x≤0，x﹣3≤0，∴=x﹣1+3﹣x=2.【总结升华】此题主要考查二次根式的性质和化简，计算时要仔细，是一道基础题．4.已知为三角形的三边，则=． 【答案】.【解析】为三角形的三边,,即原式==.【总结升华】重点考查二次根式的性质：的同时，复习了三角形三边的性质. 类型三、最简二次根式5.已知0<<,【答案与解析】原式=成立的条件是>0;若<0,.类型四、同类二次根式6. 如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么、的值是( ) A.=2，=1 B.=1，=2 C.=1，=-1 D. =1，=1【答案】 D.【解析】根据题意，得,解之，得，故选D.【总结升华】同类二次根式必须满足两个条件：(1)根指数是2；(2)被开方数相同；由此可以得到关于a 、b 的二元一次方程组，此类问题都可如此.举一反三【变式】若最简根式与根式是同类二次根式，求、的值．【答案】同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；•c b a ,,222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+a b c ++ c b a ,,0,0,0a b c b c a b c a ∴+->--<+->a b c a c b b c a +-++-++-a b c ++a b 2232232a b b ab a a b a b a b+-+-+a b a b +-a =a a a =-a b a b a b a b a b a b事实上，根式不是最简二次根式，因此把化简==|b|×a由题意得，∴，∴=1，b=1.。
一元二次方程提高题(八年级)
一元二次方程提高题（八年级）一．选择题（共6小题）1．一元二次方程2x2﹣（m+1）x+1=x（x﹣1）化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为﹣1，则m的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．22．满足（n2﹣n﹣1）n+2=1的整数n有几个（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣24．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，则方程m（x+h﹣3）2+k=0的解是（）A．x1=﹣6，x2=﹣1 B．x1=0，x2=5 C．x1=﹣3，x2=5 D．x1=﹣6，x2=25．x1、x2是一元二次方程3（x﹣1）2=15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是（）A．x1小于﹣1，x2大于3 B．x1小于﹣2，x2大于3C．x1，x2在﹣1和3之间D．x1，x2都小于36．已知α是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根，则下面对α的估计正确的是（）A．0＜α＜1 B．1＜α＜1.5 C．1.5＜α＜2 D．2＜α＜3二．填空题（共11小题）7．已知关于x的方程是一元二次方程，则m=．8．关于x的两个方程x2﹣x﹣2=0与有一个解相同，则a=．9．当k取值为时，关于x的方程x2+kx﹣1=0与x2+x+（k﹣2）=0只有一个相同的实数根．10．在实数范围内定义运算“☆”，其规则为：a☆b=a2﹣b2，则方程（4☆3）☆x=13的解为x=．11．方程x2﹣|x|﹣1=0的根是．12．三角形的每条边的长都是方程x2﹣7x+10=0的根，则三角形的周长是．13．已知实数x满足，则=．14．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣mx+1=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是．15．已知m、n是方程x2﹣2002x+2003=0的两根，则（n2﹣2003n+2004）与（m2﹣2003m+2004）的积是．16．设有x家公司参加一次商品交易会，每两家之间都签订一份合同，所有公司共签订45份合同，列方程得．17．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为x，根据题意，所列方程为．三．解答题（共12小题）18．用直接开平方法解下列方程（1）（3x﹣2）（3x+2）=8．（2）（5﹣2x）2=9（x+3）2．（3）﹣6=0 （4）（x﹣m）2=n．（n为正数）19．已知x3﹣a+3x﹣10=0和x3b﹣4+6x+8=0都是一元二次方程，求的值．20．先化简，再求值：，其中a是方程的解．21．设关于x的二次方程（k2﹣6k+8）x2+（2k2﹣6k﹣4）x+k2=4的两根都是整数．求满足条件的所有整数k的值．22．关于x的一元二次方程为（m﹣1）x2﹣2mx+m+1=0．（1）求出方程的根；（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？23．对于一元一次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，根据一元二次方程的解的概念知：ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2）=0．即ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2）这样我们可以在实数范围内分解因式．例：分解因式2x2+2x﹣1解：∵2x2+2x﹣1=0的根为即，∴=试仿照上例在实数范围内分解因式：3x2﹣5x+1．24．请先阅读例题的解答过程，然后再解答：解方程3x（x+2）=5（x+2）时，先将方程变形为3x（x+2）﹣5（x+2）=0，这个方程左边可以分解成两个一次因式的积，所以方程变形为（x+2）（3x﹣5）=0．我们知道，如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个因式有一个等于0，它们的积等于0．因此，解方程（x+2）（3x﹣5）=0，就相当于解方程x+2=0或3x﹣5=0，得到原方程的解为x1=﹣2，x2=．根据上面解一元二次方程的过程，王力推测：a﹒b＞0，则有或，请判断王力的推测是否正确？若正确，请你求出不等式＞0的解集，如果不正确，请说明理由．25．当a是什么整数时，ax2﹣8x+7=0与x2﹣4ax+4a2﹣4a﹣5=0的根都是整数？26．用两种方法解答：已知m、n是关于x的方程x2+（p﹣2）x+1=0两个实数根，求代数式（m2+mp+1）（n2+np+1）的值．27．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足，m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．28．已知x1、x2是方程4x2﹣（3m﹣5）x﹣6m2=0的两根，且，求m的值．29．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC 和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE 的周长是6，求△ABC面积．30.某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价a元，则可卖出(a件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%，如果商店10320)计划要获利400元，则每件商品的售价应定为多少元？一元二次方程提高题（八年级）参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．（2012秋•渠县校级月考）一元二次方程2x2﹣（m+1）x+1=x（x﹣1）化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为﹣1，则m的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【分析】整理为一般形式后，根据一次项的系数为﹣1，列方程求解即可．【解答】解：整理得：x2﹣mx+1=0，∵一次项的系数为﹣1，∴﹣m=﹣1，解得：m=1，故选B．【点评】解决本题的关键是得到整理后的相关式子．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．2．（2012•浙江校级自主招生）满足（n2﹣n﹣1）n+2=1的整数n有几个（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】因为1的任何次幂为1，﹣1的偶次幂为1，非0数的0次幂为1，所以应分三种情况讨论n的值．【解答】解：（1）n2﹣n﹣1=1，解得：n=2或n=﹣1；（2），解得：n=0；（3），解得：n=﹣2．故选：A．【点评】本题比较复杂，解答此题时要注意1的任何次幂为1，﹣1的偶次幂为1，非0数的0次幂为1，三种情况，不要漏解．3．（2014•菏泽）已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，则a ﹣b的值为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣2【分析】由于关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，那么代入方程中即可得到b2﹣ab+b=0，再将方程两边同时除以b即可求解．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，∴b2﹣ab+b=0，∵﹣b≠0，∴b≠0，方程两边同时除以b，得b﹣a+1=0，∴a﹣b=1．故选：A．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程进而解决问题．4．（2014•内江）关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，则方程m（x+h﹣3）2+k=0的解是（）A．x1=﹣6，x2=﹣1 B．x1=0，x2=5 C．x1=﹣3，x2=5 D．x1=﹣6，x2=2【分析】利用直接开平方法得方程m（x+h）2+k=0的解x=﹣h±，则﹣h﹣=﹣3，﹣h+=2，再解方程m（x+h﹣3）2+k=0得x=3﹣h±，所以x1=0，x2=5．【解答】解：解方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）得x=﹣h±，而关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，所以﹣h﹣=﹣3，﹣h+=2，方程m（x+h﹣3）2+k=0的解为x=3﹣h±，所以x1=3﹣3=0，x2=3+2=5．故选：B．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p （p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±．5．（2014•枣庄）x1、x2是一元二次方程3（x﹣1）2=15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是（）A．x1小于﹣1，x2大于3 B．x1小于﹣2，x2大于3C．x1，x2在﹣1和3之间D．x1，x2都小于3【分析】利用直接开平方法解方程得出两根进而估计无理数的大小得出答案．【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程3（x﹣1）2=15的两个解，且x1＜x2，∴（x﹣1）2=5，∴x﹣1=±，∴x2=1+＞3，x1=1﹣＜﹣1，故选：A．【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程以及估计无理数的大小，求出两根是解题关键．6．（2014•荆州）已知α是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根，则下面对α的估计正确的是（）A．0＜α＜1 B．1＜α＜1.5 C．1.5＜α＜2 D．2＜α＜3【分析】先求出方程的解，再求出的范围，最后即可得出答案．【解答】解：解方程x2﹣x﹣1=0得：x=，∵a是方程x2﹣x﹣1=0较大的根，∴a=，∵2＜＜3，∴3＜1+＜4，∴＜＜2，故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程，估算无理数的大小的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中．二．填空题（共11小题）7．（2011•东台市校级模拟）已知关于x的方程是一元二次方程，则m=﹣2．【分析】根据一元二次方程式的定义可得m2﹣m﹣4=2，m﹣3≠0，求m的解即可．【解答】解：由题意可得m2﹣m﹣4=2，且m﹣3≠0，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．解答时要先观察方程特点，再依据以上四个方面的要求进行有针对性的判断和计算．8．（2007•呼和浩特）关于x的两个方程x2﹣x﹣2=0与有一个解相同，则a=﹣5．【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；先解方程x2﹣x﹣2=0，将它的根分别代入方程，去掉不符合题意的根，求出a的值．【解答】解：解方程x2﹣x﹣2=0得：x=2或﹣1；把x=2或﹣1分别代入方程，当x=2时x﹣2=0，方程不成立；当x=﹣1时，得到，解得a=﹣5．【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义；本题注意分式方程中分母不为0．9．（2013秋•渝水区校级月考）当k取值为0时，关于x的方程x2+kx﹣1=0与x2+x+（k﹣2）=0只有一个相同的实数根．【分析】两个方程有一个相同的实数根，则设相同的实数根为a，代入到两方程进行解答，可求出k的值．求出k值后要验证两方程是否是只有一个相同的实数根．【解答】解：设相同实根是a 则a2+ka﹣1=0，a2+a+k﹣2=0 相减得（k﹣1）a﹣1﹣k+2=0，即（k﹣1）a=k﹣1若k=1，则两个方程都是x2+x﹣1=0，有两个相同的根，不合题意所以k不等于1．所以a==1 即相同实根是x=1，代入方程12+k×1﹣1=0，k=0，符合k为非负数，所以k=0．故答案为：0．【点评】考查了一元二次方程的解，此题有两个关键点，一个是要设出两个方程的相同实数根，代入运算．另外一根为验证所求得的k值是否符合题意．为易错题．10．（2008•孝感）在实数范围内定义运算“☆”，其规则为：a☆b=a2﹣b2，则方程（4☆3）☆x=13的解为x=±6．【分析】按照题中给出的规则运算．其规则为：a☆b=a2﹣b2．【解答】解：其规则为：a☆b=a2﹣b2，则方程（4☆3）☆x=13解的步骤为：（42﹣32）☆x=13，7☆x=13，49﹣x2=13，x2=36，∴x=±6．【点评】此题是典型的新定义题型，解题的关键是要根据所给的规则把数或字母代入相应的位置，进行计算．该题中用到了直接开平方法解方程，所以要熟悉直接开平方法．11．（2011春•桐城市月考）方程x2﹣|x|﹣1=0的根是或．【分析】分x＞0和x＜0两种情况进行讨论，当x＞0时，方程x2﹣x﹣1=0；当x ＜0时，方程x2+x﹣1=0；分别求符合条件的解即可．【解答】解：当x＞0时，方程x2﹣x﹣1=0；∴x=；当x＜0时，方程x2+x﹣1=0；∴x=，∴x=；故答案为或．【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣公式法，要特别注意分类讨论思想的运用．12．（2013•瑞昌市校级模拟）三角形的每条边的长都是方程x2﹣7x+10=0的根，则三角形的周长是12或6或15．【分析】方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求出解，利用三角形的三边关系判断，求出三角形周长即可．【解答】解：方程x2﹣7x+10=0，分解因式得：（x﹣2）（x﹣5）=0，解得：x=2或x=5，三角形三边长为2，2，5（舍去）；2，5，5；2，2，2；5，5，5，则周长为12或6或15．故答案为：12或6或15【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程整理为一般形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．13．（2012•金牛区三模）已知实数x满足，则=3．【分析】先设=y，代入后化为整式方程求解，即可求出答案．【解答】解：设=y，则原方程可变形为y2﹣y=6，解得y1=﹣2，y2=3，当y1=﹣2时，=﹣2，∵△=b2﹣4ac＞0∴此方程无解，当y2=3时，=3，∵△=b2﹣4ac＞0∴此方程有解，∴=3；故答案为：3．【点评】此题考查了用换元法解分式方程，是常用方法之一，它能够使方程化繁为简，化难为易，因此对能用此方法解的分式方程的特点应该加以注意，并要能够熟练变形整理．14．（2009•鄂尔多斯）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣mx+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是m≠2且m≠1．【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．还要注意二次项系数不为0．【解答】解：∵方程为一元二次方程，∴（m﹣1）≠0，即m≠1，∵方程有两个不相等实数根，∴△=（﹣m）2﹣4（m﹣1）=（m﹣2）2＞0，∴m≠2，综合得m≠1且m≠2．故答案为：m≠1且m≠2．【点评】总结：（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；②△=0⇔方程有两个相等的实数根；③△＜0⇔方程没有实数根．（2）一元二次方程的二次项系数不为0．15．（2005•盐亭县校级模拟）已知m、n是方程x2﹣2002x+2003=0的两根，则（n2﹣2003n+2004）与（m2﹣2003m+2004）的积是2．【分析】由题意得m2﹣2002m+2003=0则m2=2002m﹣2003；n2﹣2002n+2003=0，则n2=2002n﹣2003．而（n2﹣2003n+2004）×（m2﹣2003m+2004）=（2002n﹣2003﹣2003n+2004）（2002m﹣2003﹣2003m+2004）=（﹣n+1）（﹣m+1）=mn ﹣（m+n）+1，然后利用根与系数的关系即可求出其值．【解答】解：由题意得m2﹣2002m+2003=0，则m2=2002m﹣2003；又n2﹣2002n+2003=0，则n2=2002n﹣2003，∴（n2﹣2003n+2004）×（m2﹣2003m+2004）=（2002n﹣2003﹣2003n+2004）（2002m﹣2003﹣2003m+2004）=（﹣n+1）（﹣m+1）=mn﹣（m+n）+1=2003﹣2002+1=2．故填空答案：2．【点评】如果是这个方程的根，就一定适合这个方程；此题还利用根与系数的关系将所求代数式化简，然后才能利用根与系数的关系求出题目结果．16．（2014秋•武平县校级月考）设有x家公司参加一次商品交易会，每两家之间都签订一份合同，所有公司共签订45份合同，列方程得x（x﹣1）=45．【分析】根据每两家签订一份合同，共x家参与可知签订的合同数为：x（x﹣1），然后根据已知条件等于45即可列出方程．【解答】解：依题意得签订的合同数为1+2+3+…+x﹣1，∴x（x﹣1）=45．故填空答案：x（x﹣1）=45．【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据单循环问题的数量关系建立方程是关键．17．（2014秋•蓟县期中）如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，（32﹣x）=540．求道路的宽．如果设小路宽为x，根据题意，所列方程为（20﹣x）【分析】设小路宽为x米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了（32﹣x）（20﹣x）米2，进而即可列出方程，求出答案．【解答】解：利用平移，原图可转化为右图，设小路宽为x米，根据题意得：（20﹣x）（32﹣x）=540．故答案为：（20﹣x）（32﹣x）=540．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案．另外还要注意解的合理性，从而确定取舍．三．解答题（共12小题）18．（2014•沈阳校级模拟）用直接开平方法解下列方程（1）（3x﹣2）（3x+2）=8．（2）（5﹣2x）2=9（x+3）2．（3）﹣6=0（4）（x﹣m）2=n．（n为正数）【分析】（1）计算整理，进一步利用直接开平方解方程；（2）直接开方，再按解一元一次方程的方法求解即可；（3）先移项，方程两边都乘3除以2，再直接开方；（4）直接开方得出答案即可．【解答】解：（1）（3x﹣2）（3x+2）=89x2﹣4=8x2=x=±解得：x1=，x2=﹣；（2）（5﹣2x）2=9（x+3）25﹣2x=3（x+3），5﹣2x=﹣3（x+3）解得：x1=﹣，x2=﹣14；（3）﹣6=0（x﹣4）2=9x﹣4=±3解得：x1=1，x2=7；（4）（x﹣m）2=nx﹣m=±解得：x1=m+，x2=m﹣．【点评】此题主要考查了直接开方法求一元二次方程的解，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．19．（2013秋•望城县期末）已知x3﹣a+3x﹣10=0和x3b﹣4+6x+8=0都是一元二次方程，求的值．【分析】因为x3﹣a+3x﹣10=0和x3b﹣4+6x+8=0都是一元二次方程，所以3﹣a=2．即：a=1；3b﹣4=2，即b=2．把a=1，b=2代入上式就可转化为利用平方差公式进行计算．【解答】解：3﹣a=2．即：a=1；3b﹣4=2，即b=2，=[]20022=（a﹣b）20022，把a=1，b=2代入，原式=（1﹣2）2002（1+）2=（1+）2=3+2．【点评】本题解决的关键是根据一元二次方程的定义求出a，b的值，然后逆用了积的乘方的运算性质．20．（2013•重庆模拟）先化简，再求值：，其中a 是方程的解．【分析】根据题意先解方程求出a﹣a2的值，然后把代数式化简，再把a﹣a2的值代入即可．【解答】解：∵a是方程的解，∴a2﹣a﹣=0，∴a﹣a2=﹣={}÷﹣a2=÷﹣a2=×﹣a2=a﹣a2，∴代数式的值为﹣．【点评】此题主要考查了方程解的定义和分式的运算，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．21．设关于x的二次方程（k2﹣6k+8）x2+（2k2﹣6k﹣4）x+k2=4的两根都是整数．求满足条件的所有实数k的值．【分析】求出二根x1=，x2=，从中消去k得x1x2+3x1+2=0，分解得x1（x2+3）=﹣2．借助方程组得k=6，3，．【解答】解：原方程可化为（k﹣4）（k﹣2）x2+（2k2﹣6k﹣4）x+（k﹣2）（k+2）=0，[（k﹣4）x+（k﹣2）][（k﹣2）x+（k+2）]=0．∵（k﹣4）（k﹣2）≠0∴x1=，x2=；∴k﹣4=（x1≠﹣1）①k﹣2=（x2≠﹣1）②由①②消去k，得x1•x2+3x1+2=0．∴x1（x2+3）=﹣2．由于x1，x2都是整数．∴，，，即，，∴k=6，3，．经检验，k=6，3，满足题意．【点评】本题方程整理成关于x的一元二次方程的一般形式后，二次项系数不为0 是隐含的条件，应考虑．将参数k用方程两根表示并最终消去参数k是解题的关键．22．（2013•南充）关于x的一元二次方程为（m﹣1）x2﹣2mx+m+1=0．（1）求出方程的根；（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？【分析】（1）利用求根公式x=解方程；（2）利用（1）中x的值来确定m的值．【解答】解：（1）根据题意，得m≠1．∵a=m﹣1，b=﹣2m，c=m+1，∴△=b2﹣4ac=（﹣2m）2﹣4（m﹣1）（m+1）=4，则x1==，x2=1；（2）由（1）知，x1==1+，∵方程的两个根都为正整数，∴是正整数，∴m﹣1=1或m﹣1=2，解得m=2或3．即m为2或3时，此方程的两个根都为正整数．【点评】本题考查了公式法解一元二次方程．要会熟练运用公式法求得一元二次方程的解．23．（2013秋•山阳县校级期中）对于一元一次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，根据一元二次方程的解的概念知：ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2）=0．即ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2）这样我们可以在实数范围内分解因式．例：分解因式2x2+2x﹣1解：∵2x2+2x﹣1=0的根为即，∴=试仿照上例在实数范围内分解因式：3x2﹣5x+1．【分析】认真阅读材料，运用求根公式解得对应方程3x2﹣5x+1=0的解，再仿照材料中的例题分解因式．【解答】解：∵3x2﹣5x+1=0的根为即，∴=．【点评】本题主要考查了用求根公式法分解因式．要认真阅读材料，熟练运用求根公式解得对应方程的解，根据材料中给出的方法分解因式．从阅读材料中获取所需的解题方法是需要掌握的基本能力．24．（2004•乌鲁木齐）请先阅读例题的解答过程，然后再解答：代数第三册在解方程3x（x+2）=5（x+2）时，先将方程变形为3x（x+2）﹣5（x+2）=0，这个方程左边可以分解成两个一次因式的积，所以方程变形为（x+2）（3x ﹣5）=0．我们知道，如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个因式有一个等于0，它们的积等于0．因此，解方程（x+2）（3x﹣5）=0，就相当于解方程x+2=0或3x﹣5=0，得到原方程的解为x1=﹣2，x2=．根据上面解一元二次方程的过程，王力推测：a﹒b＞0，则有或，请判断王力的推测是否正确？若正确，请你求出不等式＞0的解集，如果不正确，请说明理由．【分析】先根据利用因式分解法求方程根的方法判断出王力的推测是正确的，再根据其范例及不等式的性质列出不等式组，求出其解集即可．【解答】解：王力的推测是正确的．∴∴（1）或（2）解不等式组（1）得：x；解不等式组（2）得：x；∴不等式的解集是x或x．【点评】此题是一道材料分析题，考查了同学们的阅读理解能力．对于分是不等式，应当根据“两数相除，同号得正”进行分析．25．（2015秋•简阳市期中）当a是什么整数时，ax2﹣8x+7=0与x2﹣4ax+4a2﹣4a ﹣5=0的根都是整数？【分析】这两个一元二次方程都有解，因而根与判别式△≥0，即可得到关于a 不等式，从而求得a的范围，再根据a是整数，即可得到a的可能取到的几个值，然后对每个值进行检验，是否符合使两个一元二次方程的解都是整数即可确定a 的值．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣8x+7=0与x2﹣4ax+4a2﹣4a﹣5=0有解，则a≠0，∴△≥0ax2﹣8x+7=0，∴△=64﹣28a≥0，即a≤；x2﹣4ax+4a2﹣4a﹣5=0，△=16a2﹣16a2+16a+20≥0，∴4a+5≥0，a≥﹣；∴﹣≤a≤，而a是整数，∴a=﹣1，a=0（舍去），a=1，a=2，①当a=﹣1时，方程ax2﹣8x+7=0为x2﹣8x+7=0，方程的解是x1=7，x2=1；x2﹣4ax+4a2﹣4a﹣5=0即x2+4x+3=0，方程的解是x1=﹣3，x2=﹣1；②当a=1时，方程ax2﹣8x+7=0为x2﹣8x+7=0，方程的解是x1=7，x2=1；x2﹣4ax+4a2﹣4a﹣5=0即x2﹣4x﹣5=0，方程的解是x1=﹣1，x2=5；③当a=2时，方程ax2﹣8x+7=0为2x2﹣8x+7=0，此时方程的解不为整数，故a=2舍去；综合上述：当a是﹣1或1时，ax2﹣8x+7=0与x2﹣4ax+4a2﹣4a﹣5=0的根都是整数．【点评】解答此题要知道一元二次方程根的情况与判别式△的关系，首先根据根的判别式确定a的范围是解决本题的关键．26．（2001•宁夏）用两种方法解答：已知m、n是关于x的方程x2+（p﹣2）x+1=0两个实数根，求代数式（m2+mp+1）（n2+np+1）的值．【分析】本题主要是利用韦达定理来计算．已知m、n是关于x的方程x2+（p﹣2）x+1=0两个实数根，有四个等式可供使用：m+n=2﹣p①，mn=1②，m2+（p ﹣2）m+1=0③，n2+（p﹣2）n+1=0④．通过变形方法，合理地选择解题方法．【解答】解：∵m、n是x2+（p﹣2）x+1=0的根，∴m+n=2﹣p，mn=1．方法一：m2+（p﹣2）m+1=0，n2+（p﹣2）n+1=0．即m2+pm+1=2m，n2+pn+1=2n．原式=2m×2n=4mn=4．方法二：（m2+mp+1）（n2+np+1）=（m2+mp）（n2+np）+m2+mp+n2+np+1=m2n2+m2np+mpn2+mnp2+m2+mp+n2+np+1=1+mp+np+p2+m2+n2+mp+np+1=2+p2+m2+n2+2（m+n）p=2+p2+m2+n2+2（2﹣p）p=2+p2+m2+n2+4p﹣2p2=2+（m+n）2﹣2mn+4p﹣2p2+p2=2+（2﹣p）2﹣2+4p﹣2p2+p2=4﹣4p+p2+4p﹣p2=4．【点评】本题主要是通过根与系数的关系来求值．注意把所求的代数式转化成m+n=2﹣p，mn=1的形式，正确对所求式子进行变形是解题的关键．27．（2015•黄冈中学自主招生）已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足，m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．【分析】（1）本题可先求出方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0的两个根，然后根据这两个根都是正整数求出m的值．（2）由（1）得出的m的值，然后将m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．进行化简，得出a，b的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a，b的值，进而得出三角形的面积．【解答】解：（1）∵关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是整数）．∵a=m2﹣1，b=﹣9m+3，c=18，∴b2﹣4ac=（9m﹣3）2﹣72（m2﹣1）=9（m﹣3）2≥0，设x1，x2是此方程的两个根，∴x1•x2==，∴也是正整数，即m2﹣1=1或2或3或6或9或18，又m为正整数，∴m=2；（2）把m=2代入两等式，化简得a2﹣4a+2=0，b2﹣4b+2=0当a=b时，当a≠b时，a、b是方程x2﹣4x+2=0的两根，而△＞0，由韦达定理得a+b=4＞0，ab=2＞0，则a＞0、b＞0．①a≠b，时，由于a2+b2=（a+b）2﹣2ab=16﹣4=12=c2故△ABC为直角三角形，且∠C=90°，S=．△ABC②a=b=2﹣，c=2时，因＜，故不能构成三角形，不合题意，舍去．③a=b=2+，c=2时，因＞，故能构成三角形．S△ABC=×（2）×=综上，△ABC的面积为1或．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理等知识点，本题中分类对a，b的值进行讨论，并通过计算得出三角形的形状是解题的关键．28．（2010•山东模拟）已知x1、x2是方程4x2﹣（3m﹣5）x﹣6m2=0的两根，且，求m的值．【分析】首先根据根与系数的关系可以得到两根之和与两根之积用m表示的形式，也可以根据两根之积得到x1x2≤0，从而可以去掉已知等式的绝对值符号，然后结合根与系数的关系即可求出m的值．【解答】解：∵a=4，b=5﹣3m，c=﹣6m2，∴△=（5﹣3m）2+4×4×6m2=（5﹣3m）2+96m2，∵5﹣3m=0与m=0不能同时成立．△=（5﹣3m）2+96m2＞0则：x1x2≤0，又∵，∴，又∵，，∴，∴，解得：m1=1，m2=5．【点评】此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．29．（2016•濉溪县三模）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE 的周长是6，求△ABC面积．【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；（2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论；（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值，根据完全平方公式求得ab的值，从而可求得面积．【解答】（1）解：当a=3，b=4，c=5时勾系一元二次方程为3x2+5x+4=0；（2）证明：根据题意，得△=（c）2﹣4ab=2c2﹣4ab∵a2+b2=c2∴2c2﹣4ab=2（a2+b2）﹣4ab=2（a﹣b）2≥0即△≥0∴勾系一元二次方程必有实数根；（3）解：当x=﹣1时，有a﹣c+b=0，即a+b=c∵2a+2b+c=6，即2（a+b）+c=6∴3c=6∴c=2∴a2+b2=c2=4，a+b=2∵（a+b）2=a2+b2+2ab∴ab=2∴S=ab=1．△ABC【点评】此类题目要读懂题意，根据题目中所给的材料结合勾股定理和根的判别式解题．。
杨浦初中补习班五角场新王牌初中数学一对三秋季班
知识框架
（1）英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”．
（2）“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点．
（3）解“牛吃草”问题的主要依据：
草的每天生长量不变；
每头牛每天的食草量不变；
草的总量=草场原有的草量+新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值
新生的草量=每天生长量⨯天数．
（4）同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：
⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；
⑵草的生长速度=(对应牛的头数⨯较多天数-对应牛的头数⨯较少天数)÷(较多天数-较少天数)；
⑶原来的草量=对应牛的头数⨯吃的天数-草的生长速度⨯吃的天数；
⑷吃的天数=原来的草量÷(牛的头数-草的生长速度)；
⑸牛的头数=原来的草量÷吃的天数+草的生长速度．
（5）“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．
重难点。
一元二次方程单元提高卷八年级数学下学期考试满分全攻略
第2章一元二次方程（单元提高卷）（满分100分，完卷时间90分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共28题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．一．选择题（共10小题）1．（2021秋•双流区期末）关于方程2x2﹣3x+1＝0的根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断2．（2021春•拱墅区校级期中）已知代数式x2+y2+4x﹣6y+13＝0，则（y+1）x的值为（）A．16B．﹣16C．﹣D．3．（2021•济宁三模）欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x2+ax＝b2的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程x2+x﹣1＝0的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出AD、BC的中点G、H，再折出线段AN，然后通过沿线段AN折叠使AD落在线段AH上，得到点D的新位置P，并连接NP、NH，此时，在下列四个选项中，有一条线段的长度恰好是方程x2+x﹣1＝0的一个正根，则这条线段是（）A．线段BH B．线段DN C．线段CN D．线段NH 4．（2021•安徽二模）一元二次方程（x﹣1）（x+5）＝3x+1的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．只有一个实数根5．（2021春•鹿城区校级期中）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+3＝0化成（x+a）2＝b的形式，则a、b的值分别是（）A．3，12B．﹣3，12C．3，6D．﹣3，66．（2021春•余杭区期中）把方程x2﹣4x﹣1＝0转化成（x+m）2＝n的形式，则m，n的值是（）A．2，3B．2，5C．﹣2，3D．﹣2，57．（2021秋•平顶山期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为（）A．2019B．2020C．2021D．20228．（2021•宁波模拟）某商场品牌手机经过5，6月份连续两次降价每部售价由5000元降到3600元．且第一次降价的百分率是第二次的2倍，设第二次降价的百分率为x，根据题意可列方程（）A．5000（1﹣x）（1﹣2x）＝3600B．3600（1﹣x）（1﹣2x）＝5000C．5000（1﹣x）（1﹣）＝3600D．3600（1+x）（1+2x）＝50009．（2021春•崇川区校级月考）关于x的一元二次方程nx2﹣x+2＝0有两个不相等的实数根，则n的取值范围是（）A．n＜且n≠0B．n＞C．﹣≤n＜且n≠0D．﹣＜n≤且n≠010．（2021春•下城区期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．其中正确的（）A．①②④B．①②③C．①③④D．②③④二．填空题（共8小题）11．（2021秋•辛集市期末）将一元二次方程x2﹣3x+1＝0变形为（x+h）2＝k的形式为．12．（2021秋•麦积区期末）若关于x的方程（m﹣1）+4x﹣2＝0是一元二次方程，则m的值为．13．（2021春•拱墅区校级期中）已知实数m，n满足m﹣n＝1，则代数式m2+2n+4m﹣1的最小值为．14．（2021秋•椒江区校级期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样多数目的小分支，主干、支干、小分支一共是43个，则每个支干长出的小分支数目为．15．（2021春•嘉兴期末）某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行了28场，则该校八年级有个班级．16．（2021•南京）设x1，x2是关于x的方程x2﹣3x+k＝0的两个根，且x1＝2x2，则k＝．17．（2021春•鄞州区校级期末）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0），满足3a﹣b+c＝0，则方程必有一根为．18．（2021春•鄞州区期中）用配方法解方程x2﹣6x+1＝0，则方程可配方为．三．解答题（共10小题）19．（2021秋•广水市期末）解方程：（1）x（x﹣2）+x﹣2＝0；（2）（x+1）（x﹣1）＝6x﹣120．（2021秋•西湖区校级期末）设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有两个实数根x1，x2．（1）若x12+x22＝2，求m的值；（2）令T＝+，求T的取值范围．21．（2021秋•盐都区期末）随着“共享经济”的概念迅速普及，共享汽车也进入了人们的视野，某共享汽车租赁公司年初在某地投放了一批共享汽车，全天包车的租金定为每辆120元．据统计，三月份的全天包车数为25次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到64次．（1）若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率；（2）从六月份起，该公司决定降低租金，经调查发现，租金每降价a元，全天包车数增加1.6a 次，当租金降价多少元时，公司将获利8800元？22．（2021秋•宁远县期末）某医药商店销售一款口罩，每袋成本价为30元，按物价部门规定，每袋售价大于30元但不得高于60元，且为整数．经市场调查发现，当售价为40元时，日均销售量为100袋，在此基础上，每袋售价每增加1元，日均销售量减少5袋；每袋售价每减少1元，日均销售量增加5袋．设该商店这款口罩售价为x元．（1）这款口罩日均销售量为袋．（用含x的代数式表示）（2）若该商店这款口罩日均销售额为2500元，求x的值．（销售额＝销售量×售价）（3）是否存在x的值，使得该商店销售这款口罩的日均毛利润为1200元？若存在，求出x的值；若不存在，则说明理由．（毛利润＝销售量×（售价﹣成本价））23．（2021秋•仙居县期中）如图，小球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加1.6m．（1）写出小球滚动的距离s（单位：m）关于滚动的时间t（单位：s）的函数解析式．（提示：本题中，距离＝平均速度×时间t，＝，其中，v0是开始时的速度，v t是t秒时的速度．）（2）如果斜面的长是4m，小球从斜面顶端滚到底端用多长时间？24．（2021•永嘉县校级模拟）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？25．（2021•罗湖区校级模拟）随着人们环保意识的不断增强，我市家庭电动自行车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2014年底拥有家庭电动自行车125辆，2016年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆．（1）若该小区2014年底到2017年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同，则该小区到2017年底电动自行车将达到多少辆？（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资3万元再建若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位1000元/个，露天车位200元/个．考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，则该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案．26．（2021•永嘉县校级模拟）随着阿里巴巴、淘宝网、京东、小米等互联网巨头的崛起，催生了快递行业的高速发展．据调查，杭州市某家小型快递公司，今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年4月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？27．（2019秋•南昌县期末）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为t，则另一个根为2t，因此ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx+2t2a，所以有b2﹣ac＝0；我们记“K＝b2﹣ac”即K＝0时，方程ax2+bx+c＝0为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：（1）方程①x2﹣x﹣2＝0；方程②x2﹣6x+8＝0这两个方程中，是倍根方程的是（填序号即可）；（2）若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，求4m2+5mn+n2的值；（3）关于x的一元二次方程x2﹣n＝0（m≥0）是倍根方程，且点A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，求此倍根方程的表达式．28．（2020•浙江自主招生）一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意，现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层时，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯即直接从楼梯上楼）．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《一元二次方程》全章复习与巩固—巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题
1. 关于x 的一元二次方程（a －1）x 2＋x ＋|a|－1＝0的一个根是0，则实数a 的值为（ ）
A.－1
B.0
C.1
D.－1或1
2．已知a 是方程x 2+x ﹣1=0的一个根，则的值为（ ） A. B. C.﹣1 D.1 3．若一元二次方程x 2+2x+a=0的有实数解，则a 的取值范围是（ ）
A ．a ＜1
B ． a≤4
C ． a≤1
D ． a≥1
4．已知关于的方程有实根，则的取值范围是（ ） A ． B ．且 C ． D ．
5．如果是、是方程的两个根，则的值为（ ） A ．1 B ．17 C ．6.25 D ．0.25
6．有x 支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A ．x （x ﹣1）=45
B ．x （x +1）=45
C ．x （x ﹣1）=45
D ．x （x +1）=45
7. 方程x 2+ax+1=0和x 2-x-a=0有一个公共根，则a 的值是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
8. 若关于x 的一元二次方程
的两个实数根分别是，且满足． 则k 的值为（ ）
A.－1或
B.－1
C.
D.不存在
二、填空题
9．关于x 的方程的解是x 1=－2，x 2=1（a ，m ，b 均为常数，a ≠0），则方程的解是 .
10．已知关于x 的方程x 2+2(a+1)x+(3a 2+4ab+4b 2
+2)＝0有实根，则a 、b 的值分别为 ．
11．已知α、β是一元二次方程的两实数根，则(α-3)(β-3)＝________．
12．当m=_________时，关于x 的方程是一元二次方程；当m=_________时，此方程是一元一次方程.
13．把一元二次方程3x 2-2x-3=0化成3(x+m)2=n 的形式是____________；若多项式x 2-ax+2a-3是一个完
22211a a a
--
-12
-
+12-±x 2
(2)230m x mx m -+++=m 2m ≠6m ≤2m ≠6m <6m ≤αβ2
234x x +=22αβ+2()0a x m b ++=2(2)0a x m b +++=2430x x --=
全平方式，则a=_________.
14．若关于x 的一元二次方程ax 2+2x ﹣1=0无解，则a 的取值范围是 .
15．已知，那么代数式的值为________.
16．当x=_________时，既是最简二次根式，被开方数又相同.
三、解答题
17. 已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +（2m +1）=0有实数根．
（1）求m 的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x 1，x 2，且2x 1x 2+x 1+x 2≥20，求m 的取值范围．
18．设(a ，b)是一次函数y ＝(k-2)x+m 与反比例函数的图象的交点，且a 、b 是关于x 的一元二次方程的两个不相等的实数根，其中k 为非负整数，m 、n 为常数．
（1）求k 的值；
（2）求一次函数与反比例函数的解析式．
19. 长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，
购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．
(1)求平均每次下调的百分率；
(2)某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择： ①打9.8折销售；
②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优惠?
n y x =
22(3)(3)0kx k x k +-+-=
20．已知某项工程由甲、乙两队合做12天可以完成，共需工程费用13 800元，乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的2倍少10天，且甲队每天的工程费用比乙队多150元.
(1)甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天？
(2)若工程管理部门决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应该
选择哪个工程队？请说明理由.。