乘积码与级联码
合集下载
乘积码与级联码
b ≤ INT [ (dxdy-1)／2 ]
(7-2)
13
同样思路可以从二维乘积码扩展到由多个子码
组成的多维乘积码，也可以改变传输的方式由一般的
分组乘积码演变为循环乘积码。
循环乘积码指这样的一种乘积码：其行码Cx和列码Cy 都是循环码，而且传输顺序不是按行或按列，而是按
码阵的对角线次序。
对角线方向固定地由左 上到右下，凡超出下沿 后即上跳到第一行，超 出右沿后即回退到第一 列。
为了分析级联码的性能，消除其它因素比如交织
器性能的影响，通常可以用一个理想的均匀交织器作为
交织器的模型。理想均匀交织器定义为这样一种装置：
它能把重量为w的输入码字以相等的概率1
N w
映射为
全部 N 个不同的置换体之一。 w
8
m个
(p,k) m个 长度 m个 (n, p)
m个
线性分组
该码在发端是两级编码、收端是两级译码，属于两级纠
错。连接信息源的叫外编码器，连通信道的叫内编码器 。若外码为码率Ro的(N,K)分组码，内码为码率Ri的(n,k) 分组码，则两者合起来相当于码长Nn、信息位Kk、码率 Rc= Ri Ro的分组长码。
3
级联码内码通常采用卷积码 这是因为最大似然译码－软判决维特比算法适合于约束度 较小的卷积码。 级联码外码通常采用纠突发差错分组码如RS码、法尔码 等。这是因为卷积码的译码是序列译码，以卷积码为内码 时，一旦出错就是一个序列差错，相当于一个突发差错， 因此RS码成为首选的外码。 RS码纠突发差错能力与卷积码序列差错平均长度的匹配 如果卷积内码是( n, k, L ), L为约束长度，RS外码是GF(q) 域上的 ( N, K, d )码，其中q =2J，则根据RS码的特点，必 有N = 2J - 1, K = 2J - 1-2t, d = 2t +1。由于卷积码最可能 的差错序列长度是(L +1), 而RS二进衍生码纠突发差错的 能力是(t-1)J+1, 因此原则上应有 (t-1)J+1 L +1，使卷积 码译码差错在大多数情况下能被RS码纠正。
数学编码知识 -回复
数学编码知识-回复1. 什么是数学编码？数学编码是一种将符号序列映射为数学对象的方法。
它在信息理论、数据压缩、通信系统等领域都有广泛的应用。
数学编码利用数学方法，通过对数据的特性进行分析和建模，从而实现数据的高效压缩和传输。
2. 数学编码的基本原理是什么？数学编码的基本原理是利用数据的概率分布特性，将出现概率较高的符号用较短的码字表示，而出现概率较低的符号用较长的码字表示。
这样可以实现对数据的压缩，减少数据的存储空间和传输带宽。
3. 数学编码的常见方法有哪些？常见的数学编码方法有霍夫曼编码、算术编码、字典编码等。
其中，霍夫曼编码是一种构建前缀码的方法，通过对数据进行频率统计和排序，利用二叉树的性质构建码字；算术编码是一种基于概率的编码方法，通过将数据映射到一个区间上，根据不同符号的出现概率来划分子区间；字典编码是一种将数据映射为字典中索引的方法，通过构建字典表来实现对数据的编码。
4. 霍夫曼编码的具体实现步骤是什么？霍夫曼编码的具体实现步骤如下：- 统计每个符号的出现频率。
- 将频率按照从小到大的顺序进行排序。
- 构建霍夫曼树，通过将频率最小的两个节点组合成一个新节点，并将其频率设为两个子节点频率之和。
- 重复上述步骤，直到所有节点都被组合为一棵树。
- 对霍夫曼树进行前序遍历，给出每个叶子节点的码字，其中左边路径为0，右边路径为1。
- 根据霍夫曼树给出的码字，对输入的符号序列进行编码。
5. 算术编码的具体实现步骤是什么？算术编码的具体实现步骤如下：- 统计每个符号的出现频率，并计算每个符号出现的概率。
- 将数据映射到一个区间上，初始化区间为[0, 1)。
- 根据符号的概率和当前区间的范围，更新区间的上下界。
- 重复上述步骤，直到所有符号被编码。
- 最后，输出压缩后的编码。
6. 字典编码的具体实现步骤是什么？字典编码的具体实现步骤如下：- 构建初始字典表，将每个符号作为一个初始的字典表项。
- 从输入的符号序列中逐个读入符号。
LDPC码及级联LDPC卷积码编译码的性能研究
关键词：LDPC 码，BP 译码算法，生成矩阵，校验矩阵，LDPC/联 LDPC/卷积码编译码的性能研究
图、表清单
图 1.1 数字通信系统的基本模型 ................................................ 1 图 1.2 二进制对称信道(BSC)的转移概率 ......................................... 4 图 1.3 卷积码编码器 ......................................................... 10 图 1.4（2，1，2）卷积码编码器 ............................................... 11 图 1.5（2，1，2）卷积码编码器状态图 ......................................... 11 图 2.1 A(9,2,3)LDPC 码的二分图 .............................................. 17 图 2.2 A(9,2,3)LDPC 码经过列变换后的二分图................................... 18 图 3.1 BP 算法第二步中信息传播流程示意图..................................... 26 图 3.2 BP 算法第三步中信息传播流程示意图..................................... 27 图 3.3 AWGN 信道模型 ........................................................ 28 图 3.4 R=1/2 时，不同长度的 LDPC 码在迭代 3 次下的性能比较 ..................... 29 图 3.5 不同码率的 LDPC 码在迭代 3 次下的性能比较 .............................. 29 图 3.6 （8000,4,8）LDPC 码在不同迭代次数下的译码性能 ......................... 30 图 3.7 A(8,2,4)LDPC 校验矩阵对应的 TANNER 图 ................................... 31 图 3.8 TANNER 图中两个长度为 4 的环............................................ 31 图 3.9 长度为 4 的环在校验矩阵中的表示 ....................................... 31 图 3.10 长度为 8 的环在校验矩阵中的表示 ...................................... 32 图 3.11 BP 算法中信息在环中的传输示意图...................................... 33 图 4.1 例 4.1 中基于生成矩阵的非正规 LDPC 码的 TANNER 图 ........................ 37 图 4.2 基于生成矩阵的非正规 LDPC 码的性能曲线（不包含校验位） ................ 38 图 4.3 基于生成矩阵的非正规 LDPC 码和基于校验矩阵的 LDPC 码的性能比较 ......... 39 图 4.4 基于生成矩阵的 LDPC 码（包含校验位）和基于校验矩阵的 LDPC 码的性能比较 . 40 图 5.1 分块译码原理框图 ..................................................... 42 图 5.2 不同分块比例的译码性能比较 ........................................... 46 图 5.3 分块在不同迭代次数下的译码性能比较 ................................... 47 图 5.4 分块译码性能与正规 LDPC 码 BP 算法译码性能比较 ......................... 47 图 6.1 （2，1，2）码 L=5 时的篱笆图 .......................................... 50
几种常用纠错码的性能分析及应用研究报告
目录设计总说明IIntroductionIII1 绪论12 纠错码的基本概念32.1数字通信系统32.1.1 数字通信系统的组成32.1.2 信道模型52.2差错控制系统和纠错码分类92.2.1 差错控制系统的分类92.2.2 纠错码的分类113线性分组码113.1线性分组码的基本概念113.2线性分组码的编码113.2.1 生成矩阵113.2.2 校验矩阵153.2.3 编码的实现153.3线性分组码的译码163.3.1 线性分组码的纠检错能力173.3.2 伴随式解码14循环码204.1循环码的一般概念204.1.1 循环码的定义204.1.2 循环码的生成多项式204.2循环码的编码204.3循环码的译码224.4 BCH码244.4.1BCH的编码算法244.4.2 BCH的译码算法254.5 RS码264.5.1 RS编码算法264.5.2RS的译码265卷积码285.1卷积码的表示285.2卷积码的编码原理295.3卷积码的译码296纠错码在移动通信中的应用396.1移动通信的概述396.2移动通信中的差错控制406.2.1 移动通信中的差错控制406.2.2 移动通信中常用的纠错方式41 6.2.3 编码方法426.3移动通信中纠错码的应用和发展426.3.1 模拟移动通信系统中数字信令的BCH编码436.3.2 GSM的FEC编码436.3.3 DMA系统(IS-95)中的FEC编码446.3.4．3G中的Turbo码457MATLAB简介及卷积码的仿真 (37)7.1MATLAB (37)7.2MATLAB在通信仿真中的应用 (37)7.3卷积码的仿真 (38)8 总结46参考文献错误!未定义书签。
附录 (44)致46几种常用纠错码的性能分析及应用研究设计总说明随着社会的发展，信息的传播起着越来越重要的作用。
现代通信朝着宽带化、智能化、综合化、个人化的方面发展，传播手段如无线多媒体等新技术不断更新，但它们都面临着一个不可避免的问题，即如何不断降低误码率，提高通信质量。
Turbo码..
25
仿真结果表明：
采用长度为65536的随机交织器 在译码迭代18次的情况下 采用BPSK调制 信噪比Eb/N00.7dB时，码率为1/2的 Turbo码在加性高斯白噪声的信道上误 比特率为BER10-5，达到了与Shannon极
限仅差0.7dB的优异性能；
26
Turbo码：
又称为并行级联卷积码（PCCC，Parallel Concatenated Convolutional Code）。 它巧妙地将卷积码和随机交织器结合在一起， 在实现随机编码思想的同时，通过交织器实 现了用短码构造长码的方法，并采用软输出 迭代译码来逼近最大似然译码。 Turbo码充分利用了Shannon信道编码定理的 基本条件。 Turbo码被看作是1982年 TCM 技术问世以来， 信道编码理论与技术研究上所取得的最伟大 的技术成就，具有里程碑式的意义。
10
串行级联码器
信息 外编码器 (N，K) 分组码 内编码器 (n，k) 分组码 信道
级联码编码器
• 连接信息源的叫外编码器；
外码是（N,K）分组码；码率为Ro；
• 连接信道的叫内编码器；
内码是（n,k）分组码，码率为Ri；
• 两者合起来有：码长Nn、信息位Kk、码率 Rc=RiRo
11
9.1.4 硬判决和软判决
Turbo码简介
Turbo码
Turbo码基础 Turbo码编码器
并行级联结构 反馈系统卷积码 交织器
2
Tubor码基础
Shannon 信道编码定理（第二定理）
1948年，美国Bell实验室的C.E.Shannon 在贝 尔技术杂志上发表了题为《通信的数学理论》 （A mathematical theory of communication） 的论文。 Shannon指出：任何一个通信道都有确定的信 道容量C，如果通信系统所要求的传输速率R小 于C，则存在一种编码方式，当码长n充分大并 应用最大似然译码（MLD）时，信息的错误概 率可以达到任意小。这就是著名的 Shannon 有躁信道编码定理。 3
仿真结果表明：
采用长度为65536的随机交织器 在译码迭代18次的情况下 采用BPSK调制 信噪比Eb/N00.7dB时，码率为1/2的 Turbo码在加性高斯白噪声的信道上误 比特率为BER10-5，达到了与Shannon极
限仅差0.7dB的优异性能；
26
Turbo码：
又称为并行级联卷积码（PCCC，Parallel Concatenated Convolutional Code）。 它巧妙地将卷积码和随机交织器结合在一起， 在实现随机编码思想的同时，通过交织器实 现了用短码构造长码的方法，并采用软输出 迭代译码来逼近最大似然译码。 Turbo码充分利用了Shannon信道编码定理的 基本条件。 Turbo码被看作是1982年 TCM 技术问世以来， 信道编码理论与技术研究上所取得的最伟大 的技术成就，具有里程碑式的意义。
10
串行级联码器
信息 外编码器 (N，K) 分组码 内编码器 (n，k) 分组码 信道
级联码编码器
• 连接信息源的叫外编码器；
外码是（N,K）分组码；码率为Ro；
• 连接信道的叫内编码器；
内码是（n,k）分组码，码率为Ri；
• 两者合起来有：码长Nn、信息位Kk、码率 Rc=RiRo
11
9.1.4 硬判决和软判决
Turbo码简介
Turbo码
Turbo码基础 Turbo码编码器
并行级联结构 反馈系统卷积码 交织器
2
Tubor码基础
Shannon 信道编码定理（第二定理）
1948年，美国Bell实验室的C.E.Shannon 在贝 尔技术杂志上发表了题为《通信的数学理论》 （A mathematical theory of communication） 的论文。 Shannon指出：任何一个通信道都有确定的信 道容量C，如果通信系统所要求的传输速率R小 于C，则存在一种编码方式，当码长n充分大并 应用最大似然译码（MLD）时，信息的错误概 率可以达到任意小。这就是著名的 Shannon 有躁信道编码定理。 3
编码理论
汉明码和Golay码的基本原理相同。它们都是将q元符 号按每k个分为一组．然后通过编码得到n-k个q元符号 作为冗余校验符号，最后由校验符号和信息符号组成有 n个q元符号的码字符号。得到的码字可以纠正t个错误， 编码码率为为k/n。这种类型的码字称为分组码，一般 记为(q,n,k,t)码，二元分组码可以简记为(n,k,t)码或者 (n,k)码。汉明码和Golay码都是线性的，任何两个码字 经过模q的加操作之后，得到的码字仍旧是码集合中的 一个码字。
在Golay码提出之后最主要的一类分组码就是ReedMuller码。它是Muller在1954年提出的，此后Reed在 Muller提出的分组码的基础上得到了一种新的分组码， 称为Reed-Muller码，简记为RM码。在1969年到1977 年之间，RM码在火星探测方面得到了极为广泛的应用。 即使在今天，RM码也具有很大的研究价值，其快速的 译码算法非常适合于光纤通信系统。
我们主要讨论差错控制编码技术。
差错控制编码技术是适应数字通信抗 噪声干扰的需要而诞生和发展起来的， 它是于1948年、著名的信息论创始人 C. E. Shannon（香农）在贝尔系统技 术 杂 志 发 表 的 “ A Mathematical Theory of Communication”一文，开 创了一门新兴学科和理论：信息论和 编码理论。
编码理论
周武旸 wyzhou@ 中国科学技术大学
• 助教
– 刘磊：liul@
课程内容
第一章 绪论
1.1 信道编码的历史及研究现状 1.2 简单编码方式回顾 • 1.2.1 线性分组码 • 1.2.2 循环码
第二章 基础理论
2.1 信道编码定理 2.2 硬判决与软判决 2.3 基本信道模型及其信道容量 2.4 MAP与ML算法 2.5 因子图与和积算法
PA
使编码科学家们一直寻找靠近Ｓ ｈ ａ ｎ ｎ ｏ ｎ 限的“ 好
码 ” 。２ ０世 纪六 七 十 年 代 出 现 了许 多 有 效 的
提 出了用 迭 代译 码 的方 法 来 进行 译 码 ［ ２ 】 ，但 是
如图 １ 所 示 ，Ｐ Ａ码 是 一 种 串 行 级 联 码 ，
由单校验 Ｔ ｕ ｒ ｂ ｏ 乘积码 和码率为 １ 的递归卷积
位 。外 码 编码 结束 后 的码 字长 度 为 Ｐ （ ｔ ＋ ２）。 外 码 与 内码 之 间 由随 机 交织 器 相 连 。而 Ｐ Ａ码
的 内码是 由一个 延 迟单 元 和一个 累加器 构成 的
对迭代译码 的热情关注 ，使得各种现代的高效
译 码理 论 相 继 出现 ，完 善 了 Ｓ ｈ ａ ｎ ｎ ｏ ｎ 信 道 编 码
０ 前言
对象 ，通过 仿真分析 比较 了三种译 码算法对
Ｐ Ａ码 误 码率 性能 的影 响 。
１ Ｐ Ａ码 的编码 原理
１ ９ ４ ８年 ， 题 为 “ Ａ ｍ ａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｙ ｏ ｆ
ｃ ｏ ｍ ｍ ｕ ｎ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ” 的论文 『 １ 提出了信道编码理论 ，
２ ０ １ ５年第 ５ 期 总第 １ ３ ２期
《 福建师 大福 清分 校学报 》
Ｊ Ｏ Ｕ Ｒ Ｎ Ａ Ｌ Ｏ Ｆ Ｆ Ｕ Ｑ Ｉ Ｎ Ｇ Ｂ Ｒ Ａ Ｎ Ｃ Ｈ ０ Ｆ Ｆ Ｕ Ｊ Ｉ Ａ Ｎ Ｎ Ｏ Ｒ ＭＡ Ｌ Ｕ Ｎ Ｉ Ｖ Ｅ Ｒ Ｓ Ｉ Ｔ Ｙ Ｓ ｕ ｍ Ｎ ｏ ． １ ３ ２
Ｐ Ａ码 译码 算法 的研 究
徐 梦石
（ １ ． 福 州 大学数 学 与计 算机 科学 学 院 ，福 建 福州 ３ ５ ０ ０ ０ ０ ； ２ ． 福 建 师范 大学 福清 分校 电子 与信 息 工程 学 院 ，福 建福 清 ３ ５ ０ ３ ０ ０ ）
乘积码基于相关运算的迭代译码
２ ．按某 个 线 性 分 组码 Ｃ Ｉ ｋ， 】 ， 的编 码 规 则 对 Ｃ逐 行 进 行 编 码 ，得 到 一 个新 的 ｋ× 阵 Ｃ ｎ ｎ码 ；
３ ．按 某个 线性 分 组 码 Ｃ Ｉ。 】 编码 规 则对 Ｃ 逐 列 进 行 编 码 ，最 后 得 到 ｎ × 乘积 码 。这 ，， 的 ｎ ｋ ｎ的
ＶＯ．ｌ １１
Ｎ Ｏ４ ．
Ａｕ ｕ ｔ ２ ０ ｇ ｓ， ０６
乘积码 基 于相 关运 算 的迭代 译码
彭 万权 Байду номын сангаас 冯 文 江， 陈林
（ 庆 大学 通 信 工 程 学 院 ， 重 庆 ４ ０ ４ ） 重 ０ ０ ４
擒 耍 ｔ乘积 码是 一种 能以 Ｔ ｒ ｕｂ 的思想 实现 译码 的级联 码 ，具有 一般 编码无 法达 到 的纠错 能力 。本 文提 出一种 ｏ码
里对 ｃ 采 用 了最 简 单 的行 进 列 出交 织 ，这 种 交 织 技 术 适 用 于 高 斯信 道 ，对 于其 它 更 为 复杂 的信 道 ，通 常 采 用 另 外 的交 织 方 式 ，此 时便 可 视 其 为 一 般 的 级联 码 。 由以上 编 码 规 则 可 看 出， 码 阵 可 分 割 成 ４
的竞 争 码 字 ， 同时 还 要通 过 实 验 的方 式 确 定 一 系 列参 数 ，增 加 了译 码 复 杂 度 ，其 中 一 个 重 要环 节 是 当 在 给 定 的候 选 码 字 中 找不 到 竞 争 码 字 时 需 要 用 常数 代 替 软输 出值 。之 后 的 研 究 多 是 围绕 如 何 确 定
维普资讯
第 ｌ 卷 第 ４期 ｌ ２０ 年 ８ 月 ０６
文 章 编号 ： １０ ・２ ９（０ ６ ０ ．０ ６０ ０ ７０４ ２ ０ ） ４０ ２ ．５
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4
符合这种关系的卷积码内码加RS码外码于是成了级联码 的黄金搭配。比如，当外码采用(255,233)RS码，内码采 用(2,1,7)卷积码且用维特比软判决译码时，与不编码相 比可产生约7dB的编码增益，特别适用于高斯白噪声信 道如卫星通信和宇航通信。 例如，早期“先锋号”(Pioneer)宇航通信采用限制长度 L=32的卷积码，不适合维特比算法而采用了序列译码。 而在“探险号”(Voyager) 飞向木星和土星的旅程中，改 用(255, 233) RS外码、 (2,1,7)卷积内码的级联码，这种 码的性能之优良，使之被认为是一种宇航标准码而称为 ‘NASA’码。 ‘NASA’码在内码与外码中间还插入一个5×255的交织 器
1.串行级联码
1966年，Forney提出了一种构造长码的有效的方法，就 是利用两个短码的串接构成一个长码，叫(串行)级联码 ，其结构如图7-1。
2
信息 外编码器 (N, K, do) 分组码
内编码器 (n, k, di) 分组码
信道
(Nn, Kk, do di)级联码编码器 图7-1 串行级联码
1
卷积码前后码组间的卷积可看作是一项增加码长的措施 ，卷积码的最大似然译码－维特比译码在一定条件下等 效于最佳译码。但维特比译码的复杂度与限制长度成指 数增长的关系，使它仅适合约束度较小的卷积码。 于是人们被迫去寻找各种替代的、可实现的方法，其中 之一是受信号分级放大、火箭分级推动的启发，纠错是 否也能分级？这就导致了级联编码方案的出现。
N＝mp的
线性分组
k比特组 外编码器 p比特组 块交织器 p比特组 内编码器 n比特组
上图是串行级联分组码 SCBC ( Serially Concatenated Block Code) 。外、内码分别是(p,k) 和(n, p) 二进制线性系 统分组码，块交织长度为N=mp (m是交织器一次交织包含
信息
外编码器 BCH码
交织器
内编码器 卷积码
加交织器的级联码
图7-3 级联码与交织器的结合
AWGN 信道
7
交织器和干扰(扰码)器有区别，干扰器在于数据 形式（比如0、1幅度）的随机化，而交织器在于数据顺 序的随机化。
交织器分周期交织和伪随机交织两种，它的重要
设计参数之一是交织度，该参数视信道特性来定。级联 码所用交织器通常是伪随机交织器，交织器对N比特的 数据块作伪随机的置换。
的外码码字数)。 编码和交织的具体过程如下：mk位信息比特经(p,k)
外编码器变为N＝mp比特后送入交织器，按交织器的置换
算法以不同的顺序读出。交织后的mp比特然后被分隔成m 组长度p的分组送入内编码器，产生m个长度n的码字。从 总体效果看， mk位信息比特被串行级联分组码SCBC编成 了mn的码块，是(mn,mk)分组码，码率R=(k/p)·(p/n)= k/n , 码长mn位。由于m可以选得较大，这种码比不使用交织器 的一般级联码的等效码长要大得多。
信息 外码 RS码
内码 卷积码
交织器
调制器 突发差错 信道
级联码编码器
图7-2 级联码用于突发差错信道
6
针对维特比译码产生突发差错的特点，如果在卷积码内 码和分组外码之间插入一个交织器，则维特比译码产生 的突发差错将通过交织作用而随机化，外码面对的将是 随机差错，可以不用针对突发差错的RS码、法尔码等， 而改用一般分组码或BCH码，如图7-3所示。
为了分析级联码的性能，消除其它因素比如交织
器性能的影响，通常可以用一个理想的均匀交织器作为
交织器的模型。理想均匀交织器定义为这样一种装置：
它能把重量为w的输入码字以相等的概率1
N w
映射为
全部 N 个不同的置换体之一度 m个 (n, p)
m个
线性分组
7.1 乘积码与级联码
•理论上，只要增加码长，几乎所有的码都可以是渐近好码 。比如码率一定的 (14,8)分组码优于(7,4) 码，而(21,12) 分 组码可能更优。全可以合理推论：使差错概率无限小的好 码(7m,4m), m一定存在。 •纠错码包含理论与实践两方面课题。构码理论的难度主要 体现在编码上，想要完全依靠理论找到渐近好码异常困难 ，至今尚未解决，但要找出码长为几千、几万位的好码还 是可能的。从工程角度看，真正的障碍还在于译码上。因 为一旦构码规则或方法确定后，编码实现起来相当容易， 对于(n,k)分组码而言，其复杂度与码长成线性关系，仅在k 或n-k数量级, 写作O(k)或O(n-k)。而最佳（最大似然）译码 的工程实现却相当复杂，其译码复杂度与码长成指数关系 ，是O(2k)或O(2n-k)，因此长码的最佳译码几乎不可能
该码在发端是两级编码、收端是两级译码，属于两级纠
错。连接信息源的叫外编码器，连通信道的叫内编码器 。若外码为码率Ro的(N,K)分组码，内码为码率Ri的(n,k) 分组码，则两者合起来相当于码长Nn、信息位Kk、码率 Rc= Ri Ro的分组长码。
3
级联码内码通常采用卷积码 这是因为最大似然译码－软判决维特比算法适合于约束度 较小的卷积码。 级联码外码通常采用纠突发差错分组码如RS码、法尔码 等。这是因为卷积码的译码是序列译码，以卷积码为内码 时，一旦出错就是一个序列差错，相当于一个突发差错， 因此RS码成为首选的外码。 RS码纠突发差错能力与卷积码序列差错平均长度的匹配 如果卷积内码是( n, k, L ), L为约束长度，RS外码是GF(q) 域上的 ( N, K, d )码，其中q =2J，则根据RS码的特点，必 有N = 2J - 1, K = 2J - 1-2t, d = 2t +1。由于卷积码最可能 的差错序列长度是(L +1), 而RS二进衍生码纠突发差错的 能力是(t-1)J+1, 因此原则上应有 (t-1)J+1 L +1，使卷积 码译码差错在大多数情况下能被RS码纠正。
5
以卷积码为内码的级联码适用于高斯白噪声信道，原因
是卷积码本质上属于纠随机差错码而不是纠突发差错码 。当卷积加RS码模式的级联码用于突发差错信道如移动 通信的衰落信道(fading channels)时，必须采取一些附加 的措施，其中最简单有效的是采用交织器(interleaver)，
加在信道编码器与信道调制器之间，如图7-2所示。
符合这种关系的卷积码内码加RS码外码于是成了级联码 的黄金搭配。比如，当外码采用(255,233)RS码，内码采 用(2,1,7)卷积码且用维特比软判决译码时，与不编码相 比可产生约7dB的编码增益，特别适用于高斯白噪声信 道如卫星通信和宇航通信。 例如，早期“先锋号”(Pioneer)宇航通信采用限制长度 L=32的卷积码，不适合维特比算法而采用了序列译码。 而在“探险号”(Voyager) 飞向木星和土星的旅程中，改 用(255, 233) RS外码、 (2,1,7)卷积内码的级联码，这种 码的性能之优良，使之被认为是一种宇航标准码而称为 ‘NASA’码。 ‘NASA’码在内码与外码中间还插入一个5×255的交织 器
1.串行级联码
1966年，Forney提出了一种构造长码的有效的方法，就 是利用两个短码的串接构成一个长码，叫(串行)级联码 ，其结构如图7-1。
2
信息 外编码器 (N, K, do) 分组码
内编码器 (n, k, di) 分组码
信道
(Nn, Kk, do di)级联码编码器 图7-1 串行级联码
1
卷积码前后码组间的卷积可看作是一项增加码长的措施 ，卷积码的最大似然译码－维特比译码在一定条件下等 效于最佳译码。但维特比译码的复杂度与限制长度成指 数增长的关系，使它仅适合约束度较小的卷积码。 于是人们被迫去寻找各种替代的、可实现的方法，其中 之一是受信号分级放大、火箭分级推动的启发，纠错是 否也能分级？这就导致了级联编码方案的出现。
N＝mp的
线性分组
k比特组 外编码器 p比特组 块交织器 p比特组 内编码器 n比特组
上图是串行级联分组码 SCBC ( Serially Concatenated Block Code) 。外、内码分别是(p,k) 和(n, p) 二进制线性系 统分组码，块交织长度为N=mp (m是交织器一次交织包含
信息
外编码器 BCH码
交织器
内编码器 卷积码
加交织器的级联码
图7-3 级联码与交织器的结合
AWGN 信道
7
交织器和干扰(扰码)器有区别，干扰器在于数据 形式（比如0、1幅度）的随机化，而交织器在于数据顺 序的随机化。
交织器分周期交织和伪随机交织两种，它的重要
设计参数之一是交织度，该参数视信道特性来定。级联 码所用交织器通常是伪随机交织器，交织器对N比特的 数据块作伪随机的置换。
的外码码字数)。 编码和交织的具体过程如下：mk位信息比特经(p,k)
外编码器变为N＝mp比特后送入交织器，按交织器的置换
算法以不同的顺序读出。交织后的mp比特然后被分隔成m 组长度p的分组送入内编码器，产生m个长度n的码字。从 总体效果看， mk位信息比特被串行级联分组码SCBC编成 了mn的码块，是(mn,mk)分组码，码率R=(k/p)·(p/n)= k/n , 码长mn位。由于m可以选得较大，这种码比不使用交织器 的一般级联码的等效码长要大得多。
信息 外码 RS码
内码 卷积码
交织器
调制器 突发差错 信道
级联码编码器
图7-2 级联码用于突发差错信道
6
针对维特比译码产生突发差错的特点，如果在卷积码内 码和分组外码之间插入一个交织器，则维特比译码产生 的突发差错将通过交织作用而随机化，外码面对的将是 随机差错，可以不用针对突发差错的RS码、法尔码等， 而改用一般分组码或BCH码，如图7-3所示。
为了分析级联码的性能，消除其它因素比如交织
器性能的影响，通常可以用一个理想的均匀交织器作为
交织器的模型。理想均匀交织器定义为这样一种装置：
它能把重量为w的输入码字以相等的概率1
N w
映射为
全部 N 个不同的置换体之一度 m个 (n, p)
m个
线性分组
7.1 乘积码与级联码
•理论上，只要增加码长，几乎所有的码都可以是渐近好码 。比如码率一定的 (14,8)分组码优于(7,4) 码，而(21,12) 分 组码可能更优。全可以合理推论：使差错概率无限小的好 码(7m,4m), m一定存在。 •纠错码包含理论与实践两方面课题。构码理论的难度主要 体现在编码上，想要完全依靠理论找到渐近好码异常困难 ，至今尚未解决，但要找出码长为几千、几万位的好码还 是可能的。从工程角度看，真正的障碍还在于译码上。因 为一旦构码规则或方法确定后，编码实现起来相当容易， 对于(n,k)分组码而言，其复杂度与码长成线性关系，仅在k 或n-k数量级, 写作O(k)或O(n-k)。而最佳（最大似然）译码 的工程实现却相当复杂，其译码复杂度与码长成指数关系 ，是O(2k)或O(2n-k)，因此长码的最佳译码几乎不可能
该码在发端是两级编码、收端是两级译码，属于两级纠
错。连接信息源的叫外编码器，连通信道的叫内编码器 。若外码为码率Ro的(N,K)分组码，内码为码率Ri的(n,k) 分组码，则两者合起来相当于码长Nn、信息位Kk、码率 Rc= Ri Ro的分组长码。
3
级联码内码通常采用卷积码 这是因为最大似然译码－软判决维特比算法适合于约束度 较小的卷积码。 级联码外码通常采用纠突发差错分组码如RS码、法尔码 等。这是因为卷积码的译码是序列译码，以卷积码为内码 时，一旦出错就是一个序列差错，相当于一个突发差错， 因此RS码成为首选的外码。 RS码纠突发差错能力与卷积码序列差错平均长度的匹配 如果卷积内码是( n, k, L ), L为约束长度，RS外码是GF(q) 域上的 ( N, K, d )码，其中q =2J，则根据RS码的特点，必 有N = 2J - 1, K = 2J - 1-2t, d = 2t +1。由于卷积码最可能 的差错序列长度是(L +1), 而RS二进衍生码纠突发差错的 能力是(t-1)J+1, 因此原则上应有 (t-1)J+1 L +1，使卷积 码译码差错在大多数情况下能被RS码纠正。
5
以卷积码为内码的级联码适用于高斯白噪声信道，原因
是卷积码本质上属于纠随机差错码而不是纠突发差错码 。当卷积加RS码模式的级联码用于突发差错信道如移动 通信的衰落信道(fading channels)时，必须采取一些附加 的措施，其中最简单有效的是采用交织器(interleaver)，
加在信道编码器与信道调制器之间，如图7-2所示。