充分统计量的证明方法及几个重要定理

余弦定理证明过程(完整版)

余弦定理证明过程 余弦定理证明过程 =a，∠da=π-∠ba=π-，根据三角函数的定义知d点坐标是，asin)即d点坐标是,∴ad=而ad=b∴=∴asin=sina………… ①-aos=osa-b…… ②由 ①得asina=sin，同理可证asina=bsinb，∴asina=bsinb=sin.由 ②得aos=b-osa，平方得： a2os2=b2-2bosa+2os2a，即a2-a2sin2=b2-2bosa+2-2sin2a.而由 ①可得a2sin2=2sin2a∴a2=b2+2-2bosa.同理可证b2=a2+2- 2aosb，2=a2+b2-2abos.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3△ab的三边分别为a,b,,边b,a,ab上的中线分别为ma.mb,m,应用余弦定理证明: mb= m=ma=√^2-a*osb) =√ 由b^2=a^2+^2-2a*osb 得，4a*osb=2a^2+2^2-2b^ 2，代入上述ma表达式： ma=√ =√ 同理可得： mb=

m= 4 ma=√^2-a*osb) =√ 由b^2=a^2+^2-2a*osb 得，4a*osb=2a^2+2^2-2b^ 2，代入上述ma表达式： ma=√ =√ 证毕。 第五篇： 余弦定理的多种证明 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活． 对于任意三角形三边为a,b, 三角为a,b, 满足性质 a^2=b^2+^2-2*b**osa b^2=a^2+^2-2*a**osb ^2=a^2+b^2-2*a*b*os os=2ab osb=2a osa=2b 证明：

数学中如何证明向量共面

数学中如何证明向量共面 共面向量定理是数学学科的基本定理之一，那它该怎么被证明呢?证明的过程是怎样的呢?下面就是给大家的证明向量共面内容，希望大家喜欢。 已知O是空间任意一点,A.B.C.D四点满足任意三点均不共线 但四点共面,且O-A=2xB-O+3yC-O+4zD-O,则2x+3y+4z=? 写详细点怎么做谢谢了~明白后加分!!! 我假定你的O-A表示向量OA。 由O的任意性，取一个不在ABCD所在平面的O，这时若 OA=b*OB+c*OC+d*OD，那么b+c+d必定等于1。 (证明：设O在该平面上的投影为P，那么对平面上任何一点X，OX=OP+PX，然后取X=A、B、C、D代你给的关系式并比较OP分量即可。) 你给的右端向量都反向，所以2x+3y+4z=-1。 充分不必要条件。 如果有三点共线，则第四点一定与这三点共面，因为线和直线 外一点可以确定一个平面，如果第四点在这条线上，则四点共线，也一定是共面的。 而有四点共面，不一定就其中三点共线，比如四边形的四个顶 点共面，但这四个顶点中没有三个是共线的。 “三点共线”可以推出“四点共面”，但“四点共面”不能推 出“三点共线”。因此是充分不必要条件

任取3个点，如果这三点共线，那么四点共面;如果这三点不共线，那么它们确定一个平面，考虑第四点到这个平面的距离。方法二A、B、C、D四点共面的充要条件为向量AB、AC、AD的混合积 (AB,AC,AD)=0。方法三A、B、C、D四点不共面的充要条件为向量AB、AC、AD线性无关。 已知O是空间任意一点,A.B.C.D四点满足任意三点均不共线 ,但四点共面,且O-A=2xB-O+3yC-O+4zD-O,则2x+3y+4z=? 写详细点怎么做谢谢了我假定你的O-A表示向量OA。 由O的任意性，取一个不在ABCD所在平面的O，这时若 OA=b*OB+c*OC+d*OD，那么b+c+d必定等于1。 (证明：设O在该平面上的投影为P，那么对平面上任何一点X，OX=OP+PX，然后取X=A、B、C、D代你给的关系式并比较OP分量即可。) 你给的右端向量都反向，所以2x+3y+4z=-1。 4Xa-Yb+Yb-Zc+Zc-Xa=0 ∴Xa-Yb=-(Yb-Zc)-(Zc-Xa) 由共面判定定理知它们共面。 简单的说一个向量能够用另外两个向量表示，它们就共面。 1.若向量e1、e2、e3共面， (i)其中至少有两个不共线，不妨设e1,e2不共线，则e1,e2线性无关，e3可用e1,e2线性表示，即存在实数λ，μ，使得e3=λe1+μe2,于是 λe1+μe2-e3=0.

余弦定理的八种证明方法

余弦定理的八种证明方法 2011年高考数学卷（陕西卷）考出了“说明并证明余弦定理”这个考题,使平时不注重翻阅课本的同学大部分吃了亏，虽然这是书本上的知识，且课本上只给出了一种证明方法，但仍让同学们很难想到会考这个证明题，因此我们利用这次研究性学习活动，以论文的方式来介绍一下多种余弦定理的证明方法，来增强我们对课本知识的理解。 用多种方法证明余弦定理，扩展思维，了解更多的过程。 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形便可适当移于其它知识。 一余弦定理的内容 对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质 a2 = b2 + c2- 2·b·c·cosA b2 = a2 + c2 - 2·a·c·cosB c2 = a2 + b2 - 2·a·b·cosC 二证明方法 方法一：平面几何法 ∵如图，有a+b=c ∴c·c=(a+b)·(a+b) ∴c2=a·a+2a·b+b·b ∴c2=a2+b2+2|a||b|cos(π-θ) 又∵Cos(π-θ)=-Cosθ∴c2=a2+b2-2|a||b|cosθ 再拆开，得c^2=a2+b2-2*a*b*cosC

方法二：勾股法 在任意△ABC中 做AD⊥BC. ∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a 则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根据勾股定理可得： AC2=AD2+DC2 b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2 b2=(sinB*c)2+a2-2ac*cosB+(cosB)2*c2 b2=(sinB2+cosB2)*c2-2ac*cosB+a2 b2=c2+a2-2ac*cosB 方法三：解析法 在三角形ABC建立直角坐标系，使A点为原点，B点落在x轴正半轴上，设三角形三边abc 则有三点坐标为A（0，0）B（c，0）C（bcosA，bsinA） ∵BC=a 则由距离公式得a=（c-bcosA）2-（bsinA）2 化简得a=c2+b2-2bccosA ∴a2=c2+b2-2bccosA 方法四：面积法 S△ACQ=(1/2)bc(cos∠BAC), S△PBC=(1/2)ac(cos∠CBA),

土石方工程量方格网计算例题

例题：某公园为了满足游人游园的需要，拟将如图地面平整为三坡向两面“T”字形广场。广场具有 1.5%的纵坡和 2%横坡，土方就地平衡 , 试求其设计标高坡的 并计算其土方量。 1．作方格网 按正南北方向（或根据场地具体情况决定）作边长为 20m的方格网，将各方格角点测设到地面上，同时测量各角点的地面标高并将标高值标记在图纸上，这就是该点的原地形标高。（如果有较精确的地形图，可用插入法由图上直接求得各角点的原地形标高，并标记在图上。）

上图所示的角点 1—1属于上述第一种情况，过点 1—1 作相邻二等高线间的距离最短的线段。用比例尺量得 L＝ 12.6m，x＝7.4m, 等高差 h＝0.5m，代人前面插入法求两相邻等高线之间任意点高程的公式，得 Hx=Ha+xh/L =〔20.00 +( 7.4 ×0.5 )/12.6 〕= 20.29 m 2.标方格网角点 3.将角点测设到图纸上或用插入法求角点高程。 4.求平整标高平整标高就是把一块高低不平的地面在保证土方平衡的前提下，挖高填低成水平后的地面标高；设计中经常用原地面高程的平均值作为平整标高。 设平整标高为 H0，则 : H0= 1/4N* (∑ h1+2∑h2+3∑h3+4∑h4) 式中： h1——计算时使用一次的角点高程； h2 计算时使用二次的角点高程；

h3 计算时使用三次的角点高程； h4 ——计算时使用四次的角点高程。 H0 =1/4N* (∑h1+2∑h2+3∑h3+4∑ h4) ∑ h1=角点之和 =(20.29+20.23+19.37+19.64+18.79+19.32)=117.75 2∑h2=2*(边点之和 ) =2*(20.54+20.89+21.00+19.50+19.39+19.35)=241.34 3∑h3=3*(拐点之和 ) =3*(19.91+20.15)=120.18 4∑h4=4*( 中间点之和 ) =4*(20.21+20.50)=162.84 代入公式 :N=8 H0=1/(4*8)*(117.75+241.34+120.18+162.84) ≈ 20.06 5.求各角点的设计标高 假设 4-3 点的设计标高是 x，根据场地的坡度求出其他点的标高，标在角点上，如图；再求出每角点的设计标高。

两角和与差的余弦公式证明

两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比 沈阳市教育研究院王恩宾 两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式 基础上变形得到的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往 往得到了广大教师的关注. 对于不同版本的教材采用的方法往往不同，认真体会各种不同 的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、 解决问题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下：方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法 设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β． 过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β 的正弦、余弦的线段来表示OM． 过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂 足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB ＋CP＝OA cosα＋AP sinα＝cosβcosα＋sinβsinα． 综上所述，. 说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解. 但这种推 导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难. 此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推 广问题. 方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法

设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有|P1P2 |= . 在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α，α+β和，它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与x轴交于P1，则P1(1,0)、P2(cosα，sinα)、P3(cos(α+β)，sin(α+β))、. ∵，且， ∴，∴， ∴ ， ∴， ∴，. 说明：该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起，利用单位圆上与角有关的四个点， 建立起等式关系，通过将等式的化简、变形就可以得到符合要求 的和角与差角的三角公式. 在此种推导方法中，推导思路的产生是一个难点，另外对于三点在一条直线和三点在一条直线上时这一特殊情况，还需要加以解释、说明.

正弦定理、余弦定理知识点总结及最全证明

正弦定理、余弦定理知识点总结及证明方法 ——王彦文青铜峡一中1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一 些简单的三角形度量问题． 2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和 方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问 题． 主要考查有关定理的应用、三角恒等变换 的能力、运算能力及转化的数学思想．解三角 形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或 证明，或与三角函数联系在一起求距离、高度 以及角度等问题，且多以应用题的形式出现． 1．正弦定理 (1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它 所对角的正弦的比相等， 即．其中R是三角形外接圆的 半径． (2)正弦定理的其他形式： ①a＝2R sin A，b＝，c ＝； ②sin A＝a 2R，sin B＝， sin C＝； ③a∶b∶c＝______________________. 2．余弦定理 (1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即 a2＝，b2＝， c2＝. 若令C＝90°，则c2＝，即为勾股定理． (2)余弦定理的变形：cos A ＝，cos B＝，cos C＝. 若C为锐角，则cos C>0，即a2＋b2______c2；若C为钝角，则cos C<0，即a2＋b2______c2.故由a2＋b2与c2值的大小比较，可以判断C为锐角、钝角或直角． (3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角____________，余弦定理亦可以写成sin2A＝sin2B＋sin2C－2sin B sin C cos A，类似地，sin2B＝____________；sin2C＝__________________.注意式中隐含条件A＋B＋C＝π. 3．解斜三角形的类型 (1)已知三角形的任意两个角与一边，用____________定理．只有一解． (2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用____________定理，可能有___________________．如在△ABC中，已知a， 时，只有一解． (4)已知两边及夹角，用____________定理，必有一解．

工程量计算例题DOC

【例】某工程采用预拌混凝土，已知C20混凝土独立基础85m3，独立基础模板接触面积179.1m2，用工料单价法计算工程造价（按三类工程取费,市区计取税金，预拌混凝土市场价330元/m3），其他可竞争措施项目仅计取“生产工具用具使用费”、“检验试验配合费”。 工程预算表 取费程序表 例题解析：1.其他可竞争措施项目中的其他11项费用按建设工程项目的实体项目和可竞争措施项目（11项费用除外）中人工费与机械费之和乘以相应系数计算。 2．企业管理费、规费、利润的计费基数是相同的，即按直接费中的人工费与机械费之和乘以相应费率，其中直接费包括直接工程费和措施费。 3．价款调整包括人、材、机的价差调整，价款调整不参与取企业管理费、规费和利润。 4.注意2012年新定额安全生产、文明施工费计算的变化。 【例】如图，计算人工挖土方、钎探、回填土、余土外运、砖基础工程量。 (土质类别为二类，垫层C15砼，室外地坪-0.300)

【例】如下图所示尺寸，求混凝土带型基础模板和混凝土的工程造价。 备注：按三类工程取费，企业管理费费率为17%，利润费率为10%，规费费率为25%，税金税率为3.48%，安全生产、文明施工费为4.25%。 解：(1)带型基础外侧模板 S 1 =[(4.5×2+0.5×2)×2+(4.8+0.5×2)×2]×0.3=9.48 m2 (2) 带型基础内侧模板 S 2 =[(4.5-0.5×2)×2+（4.8-0.5×2)×2]×0.3×2=8.76 m2 带型基础模板工程量 S= S 1+ S 2 =18.24 m2（模板工程量3分） （3）带形基础混凝土 外墙 V=1×0.3×（4.5+4.5+4.8）×2=8.28 m3 （混凝土工程量2分）内墙 V=1×0.3×（4.8-1）=1.14 m3 （混凝土工程量2分） 合计：9.42 m3

垂心余弦定理证明

垂心余弦定理证明 垂心余弦定理证明如右图，在ABC中，三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c . 以A为原点，AC所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是C点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得B 点坐标是(ccosA，csinA) . ∴CB = (ccosA-b，csinA). 现将CB平移到起点为原点A，则AD = CB . 而|AD| = |CB| = a ，∠DAC = π-∠BCA = π-C ， 根据三角函数的定义知D点坐标是(acos(π-C)，asin(π-C)) 即D点坐标是(-acosC，asinC), ∴ AD = (-acosC，asinC) 而AD = CB ∴ (-acosC，asinC) = (ccosA-b，csinA) ∴ asinC = csinA …………① -acosC = ccosA-b ……② 由①得asinA = csinC ，同理可证asinA = bsinB ， ∴ asinA = bsinB = csinC . 由②得acosC = b-ccosA ，平方得： a2cos2C = b2-2bccosA + c2cos2A ， 即a2-a2sin2C = b2-2bccosA + c2-c2sin2A . 而由①可得a2sin2C = c2sin2A ∴ a2 = b2 + c2-2bccosA . 同理可证b2 = a2 + c2-2accosB ， c2 = a2 + b2-2abcosC . 到此正弦定理和余弦定理证明完毕。 2 正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定理有好几种不同的证明方法.人教A 版教材《数学》(必修5)是用向量的数量积给出证明的，如是在证明正弦定理时用到作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积，这种构思方法过于独特，不易被初学者接受.本文试图通过运用多种方法证明正、余弦定理从而进一步理解正、余弦定理，进一步体会向量的巧妙应用和数学中“数”与“形”的完美结合. 定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,则 (1)(正弦定理) = = ; (2)(余弦定理) c2=a2+b2-2abcos C, b2=a2+c2-2accos B, a2=b2+c2-2bccos A. 一、正弦定理的证明 证法一：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的三条高。则有 AD=bsin∠BCA， BE=csin∠CAB， CF=asin∠ABC。 所以S△ABC=abcsin∠BCA =bcsin∠CAB =casin∠ABC. 证法二：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的3条高。则有 AD=bsin∠BCA=csin∠ABC，

计算土石方工程量及定额例题正式版

第三节工程量计算及定额应用 [例1-1]某工程如图所示，人工挖土方不大开挖，有工作面，土质为坚土，试计算条形基础土石方工程量，确定定额项目。 习题1 解：L外墙=（27+13.7）*2=81.4m L内墙=9.6-1.14+11.7-1.14=19.02m 工程量=81.4*1.54*0.15+81.4*(1.14+0.2*2+0.3*1.75)*1.75 +19.02*1.54*0.15+19.02*(1.14+0.2*2+0.3*1.75)*1.75 =368.51m3 套1-2-12 368.51/10*140.13=5163.93元 [例1-2]如习题1图所示，计算回填土工程量，确定定额项目。(已知垫层体积23.01m3，毛石基础体积88.57m3,砖基础体积17.17m3) 解：368.33-(23.01+88.57+17.17)=239.58 m3 套1-4-12 1-4-12 夯填土|沟槽、地坑|人工10m3 44.26 44.00 0.26 239.58/10*44.26=1060.38元 [例1-3]学院某处预埋铸铁管道，Ⅰ类管沟，管沟宽1米，长51米，挖深0.9米，预埋管道直径600，计算挖土工程量，回填土

工程量。 解：1*0.9*51= 1*0.9*51-0.22*51= [例1-3]如习题1图铲运机土方大开挖工程，土质为坚土，余土须运至400米，计算挖运土工程量，确定定额项目。 解：=[(13.7+0.77*2)* (27+0.77*2)-2*21.6-2.1*7.2]*0.15+ [(13.7+0.72*2)*( 27+0.72*2)+ (13.7+0.72*2+0.3*1.75)*( 27+0.72*2+0.3*1.75) + )( 2 * 27 .0 * 72 2 + + + + + )( 7. 13 (+ .0 72 * 72 .0 2 3.0 ) 75 13 27 .1* 72 .0 7. )( * 75 2 .1* 3.0 ]* 1.75/3-2*21.6-2.1*7.2=748.63m3 套1-3-7，1-3-8 748.63m3*27.04/10+748.63m3*5.64*2/10=2868.75元 [例1-4]某建筑平面图如下图所示，墙厚240，计算建筑物人工场地平整的工程量，确定定额项目。 习题4 (21.4+0.24)*(17.8+0.24)+(17.8+21.4+0.48)*2*2+16-14.4*9.8=m2 套1-4-1 343.67/10*13.86=476.33元 [例1-5]某工程如下图所示，计算竣工清理工程量，确定定额项目。计算房心回填土工程量，回填厚度250mm,墙厚240。

《共面向量定理》教案设计

（1） B C （2） 课 题：共面向量定理 江苏省泰州中学 宋健 教学目标： 知识与技能：了解共面向量的含义，理解共面向量定理； 利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题； 过程与方法：运用类比的方法，自主探究向量共面的条件,并能灵活运用； 情感态度与价值观：体会类比，化归的思想方法；领悟数学研究方法的模式化特点，感受理 性思维的力量。 教学重点：共面向量的含义，理解共面向量定理 教学难点：利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题 教学过程： 一。问题情景 1、关于空间向量线性运算的理解 问题：如图（1），MN 可以由哪些向量相加得到？图（2）中呢？ 平面向量加法的三角形法则可以推广到空间向量，只要图形封闭，其中的一个向量即可以用其它向量线性表示。 从平面到空间，类比是常用的推理方法。 二、建构数学 师生共同活动 如图：在长方体中，由相等向量的定义可知a AB,b AD,p AC ===，而AB AC AD 、、在同一平面内，此时我们称a b p 、、是共面向量。 1.共面向量的定义 一般地，能平移到同一个平面内的向量叫共面向量（coplanar vector ）； 类比1：共面向量与共线向量的定义在形式上有何相同之处? 都是将向量问题转化为直线与直线或直线与平面之间的位置关系来研究. 探究1：(1)我们已经知道空间中任意两个向量一定可以共面，那么空间中任意三个向量一定 是共面向量吗？请举例说明． a b p

结论：空间中的任意三个向量不一定是共面向量． 例如：对于四面体ABCD ，AB 、AC 、AD 这三个向量就不是共面向量． (2)空间三个向量p ,b a ,具备怎样的条件时才是共面向量呢？ 2.共面向量的判定 联想：在平面向量中，向量与非零向量共线的充要条件是 λ=，类比到空间向量，探究得到 共面向量定理 如果两个向量,不共线，那么向量与向量,共面的充要条件是存在有 序实数组),(y x ，使得p xa yb =+ 这就是说，向量可以由不共线的两个向量b a , 分析定理 类比2:空间共线向量定理和平面共线定理是相同的,那么,空间共面向量定理是否和平面向量的某个定理相联系呢? 空间向量中的共面定理与平面向量基本定理不仅在形式上是相同的,而且在本质上也是一致的.这是因为任意两个空间向量b a ,都可以平移到同一个平面,当b a ,不共线时,可以作为基向量,向量与它们共面,也就是向量可以平移到这个平面,所以就能用b a ,线性表示. 三、数学运用 问题:如图，已知两堵矩形墙壁ABCD 和ADEF 所在平面垂直于地面，有两只蚂蚁分别从D 、E 两点沿对角线BD,AE 向上爬，当它们都爬到对角线的1 3 处时，它们惊奇的发现它们距离地面CDE 的高度一样，你能告诉它们这是为什么吗？ 分析：即要证MN//平面CDE ，只要证明向量MN 可以用平面CDE 内的两个不共线的向量CD 和DE 线性表示. 证明：因为M 在BD 上，且BM= 13 BD 所以111MB DB DA AB 333 ==+ 同理11AN AD DE 33 = + N N F E D A M C B

余弦定理证明过程

余弦定理证明过程(精选多篇) 余弦定理证明过程ma=√ -ac*cosb) =√ 由b =a +c -2ac*cosb 得，4ac*cosb=2a +2c -2b ，代入上述ma表达式： ma=√ =√ 证毕。 2 在任意△abc中,作ad⊥bc. ∠c对边为c，∠b对边为b，∠a对边为a--> bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c

勾股定理可知： ac2=ad2+dc2 b2=2+2 b2=sin2b*c2+a2+cos2b*c2-2ac*cosb b2=*c2-2ac*cosb+a2 b2=c2+a2-2ac*cosb 所以，cosb=/2ac 2 如右图，在abc中，三内角a、b、c 所对的边分别是a、b、c.以a为原点，ac 所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是c点坐标是，由三角函数的定义得b 点坐标是.∴cb=.现将cb平移到起点为原点a，则ad=cb.而|ad|=|cb|=a，∠dac=π-∠bca=π-c，根据三角函数的定义知d点坐标是，asin)即d点坐标是,∴ad=而ad=cb∴=∴asinc=csina…………①-acosc=ccosa-b……②由①得asina=csinc，同理可证asina=bsinb，∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-ccosa，平方得：a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而

由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bccosa.同理可证b2=a2+c2-2accosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3△abc 的三边分别为a,b,c,边bc,ca,ab上的中线分别为,mc,应用余弦定理证明: mb= mc=ma=√ -ac*cosb) =√ 由b =a +c -2ac*cosb 得，4ac*cosb=2a +2c -2b ，代入上述ma表达式： ma=√ =√ 同理可得： mb= mc= 4 ma=√ -ac*cosb) =√ 由b =a +c -2ac*cosb 得，4ac*cosb=2a +2c -2b ，代入

《共面向量定理》教学反思

《共面向量定理》教学反思 《共面向量定理》教学反思范文 11月29日，我在学校大型教研活动《我与课改共成长》中上了一节公开课，并有幸得到中国教育学会专家毛老师的指导，获益匪浅。 这节课能圆满成功，离不开集体的智慧。为了帮我上好这节课，我们数学组从组长到普通老师都给了我很大的帮助。在准备这节课的过程中，刘主任、几个组长和高二备课组的几个老师从设计教案开始，每个细节，每个环节帮我出主意、提了很多中肯的建议，并为我提供各种方便，章老师更亲自帮我修改教案和课件。在试上时，蒋校长、季校长都到场听课，提出了许多宝贵意见。 本节教学中，我主要注意了以下几个问题： 1.培养学生的数学思维能力是数学教学的核心问题，让学生经历思想方法的形成过程，这是基本而重要的。在这节课的教学中，我注意引导学生学会运用类比、归纳等方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，体验数学在结构上的和谐性。领悟数学研究方法的模式化特点，感受理性思维的力量。 2.新课改关注教学理念，关注教师是否满足学生的需要。新课程标准明确指出：学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。新课程标准最大的特点是突出学生的主体地位。在教学中我注重尊重、关心、理解、信任学生，努力创设平等、民主、和谐的气氛，给学生以学习轻松自由乐趣无限的“数学环境”；注重

让班级中的全体学生都积极投入到学习中去，并能主动思考问题；注意采取各种有效的手段和方法，调动学生的积极性，激发起学生浓厚的学习兴趣，让学生广泛参与到自主学习、合作交流探究中。 3.运用有效教学理念关注学生的进步和发展。确立学生的主体地位，“一切为了学生的发展”。加强师生互动，生生交流。既注重人的智慧获得，又注重人的情感发展。在这节课的教学中，我注意从学生出发，给学生更多的自由，让他们真正参与，注重学习的过程，注重学生的自我完善，自我发展，教会学生学会学习，尤其是有意义的接受学习和发现学习。注重培养学生的自信，自重，自尊，使他们充满希望和成功，促进其健康人格的.形成。 4.重视学生个性的和谐发展，并通过教学唤起学生的求知欲和对个人全面发展的追求。同时，引导学生独立思考，主动获取信息，实现知识、能力和人格的协同发展。 5．新课程理念倡导教师，学生在课堂上一起生成发展的教学模式，体现“用教材教而不是教教材”的先进思想，注重师生间的互动。因此，用教材而不是教教材，要求教师能利用教材进行重新组合。这节课的教学过程中，我挖掘教材中所蕴涵的思想方法，领会编者的意图，通过改变例题形式，改变问题方式等手段，用活教材，很好的达到了教学目标。 6.以多媒体为主的现代教育手段，可以有效的突破课堂教学时空的局限，弥补教材内容的单调、抽象等不足。本节课我利用多媒体从准备上课开始，就给学生营造一个轻松而有趣的学习环境，大大激发

用复数证明余弦定理

用复数证明余弦定理法一：证明：建立如下图所示的直角坐标系，则A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函数的定义可得：C=(bcos A,bsin A)，以AB、BC为邻边作平行四边形ABCC′，则∠BAC′=π-∠B， ∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′(-acos B,asin B). 根据向量的运算： =(-acos B,asin B)， = - =(bcos A-c,bsin A), (1)由 = ：得 asin B=bsin A,即 = . 同理可得： = . ∴ = = . (2)由 =(b-cos A-c)2+(bsin A)2=b2+c2-2bccos A， 又| |=a, ∴a2=b2+c2-2bccos A. 同理： c2=a2+b2-2abcos C; b2=a2+c2-2accos B. 法二：如图5， ,设轴、轴方向上的单位向量分别为、，将上式的两边分别与、作数量积，可知 ， 即 将(1)式改写为 化简得b2-a2-c2=-2accos B. 即b2=a2+c2-2accos B.(4) 这里(1)为射影定理，(2)为正弦定理，(4)为余弦定理. 2 在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b 则c^2=a^2+b^2-2ab*cosC a^2=b^2+c^2-2bc*cosA b^2=a^2+c^2-2ac*cosB 下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。 过A作AD⊥BC于D，则BD+CD=a 由勾股定理得： c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2 所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2 =(a-CD)^2-(CD)^2+b^2 =a^2-2a*CD +(CD)^2-(CD)^2+b^2 =a^2+b^2-2a*CD 因为cosC=CD/b 所以CD=b*cosC 所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC 题目中^2表示平方。 2

余弦定理的六种证法

余弦定理的六种证法 法一(平面几何)：在△ABC 中，已知,,AC b BC a C ==∠及，求 c 。 过A 作sin sin AD BC D AD AC C BC C ⊥=于，是＝， cos cos ,CD AC b c == 在Rt ABD ?中，2222222(sin )(cos )2cos AB AD BD b c a b c a b ab c =+=+-=+-， 法二（平面向量）： 222()()22||||AB AB AC BC AC BC AC AC BC BC AC AC BC ?=+?+=??+=+? 2 22 cos(180)2cos B BC b ab B a -+=-+ ，即：2222cos c a b ab c =+- 法三（解析几何）：把顶点C 置于原点，CA 落在x 轴的正半轴上，由于△ABC 的AC=b ， CB=a ，AB=c ，则A ，B ，C 点的坐标分别为A(b ，0)，B(acosC ，asinC)，C(0，0)． |AB|2=(acosC －b)2+(asinC －0)2 =a 2cos2C －2abcosC+b 2+a 2sin2C =a 2+b 2－2abcosC ， 即c 2=a 2+b 2－2abcosC ． 法四（利用正弦定理）： 先证明如下等式：C B A C B A cos sin sin 2sin sin sin 2 2 2 =-+ ⑴ 证明：C B A 2 2 2 sin sin sin -+ C

()()()()()[] C B A B A B A C C B A B A C B A c o o s C B A c o s s i n s i n 2c o s c o s c o s c o s c o s c o s 2 2c o s 12c o s 22 122c o s 12 2c o s 122c o s 12 =+--=+-+-=++ +- =-- -+ -= 故⑴式成立，再由正弦定理变形，得 )2(s i n 2s i n 2s i n 2?? ? ??===C R c B R b A R a 结合⑴、)2(有 () . c o s 2c o s s i n s i n 24s i n s i n s i n 42 2 2 2 2 2 2 2 C ab C B A R C B A R c b a =?=-+=-+ 即 C ab b a c cos 22 22-+=. 同理可证 A bc c b a cos 22 2 2 -+=；B ca a c b cos 22 2 2 -+=. 法五（用相交弦定理证明余弦定理）: 如图，在三角形ABC 中，∠A=α，AB=a ，BC=b ，AC=c 。现在以B 为圆心，以长边AB 为半径做圆，这里要用长边的道理在于，这样能保证C 点在圆内。BC 的延长线交圆B 于点D 和E 这样以来，DC=a-b ，CE=a+b ，AC=c 。因为AG=2acosα，所以CG=2acosα-c 。根据相交弦定理有： DC×CE=AC×CG ，带入以后就是 (a-b)(a+b)=c(2acosα-c) 化简以后就得b 2=a 2+c 2+2accosα。也就是我们的余弦定理。 法六（面积解释）： 如图9，以△ABC 的三边为边长向外作三个正方形，， 交AB 于K 。据说欧几里德就是利用此图形证明勾股定理的。易证(最好是将 看作是 旋转而成)，进而可得；同理，所以直角三角形斜边上的正方 形面积等于两直角边上两正方形面积之和。

余弦定理的多种证明

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活． 对于任意三角形三边为a,b,c 三角为A,B,C 满足性质 a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA b^2=a^2+c^2-2*a*c*CosB c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc 证明： 如图： ∵a=b-c ∴a^2=(b-c)^2 （证明中前面所写的a,b,c皆为向量，^2为平方）拆开即 a^2=b^2+c^2-2bc 再拆开，得a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA 同理可证其他，而下面的CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc就是将CosA移到右边表示一下。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 平面几何证法： 在任意△ABC中 做AD⊥BC. ∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a 则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根据勾股定理可得： AC^2=AD^2+DC^2 b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2 b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2 b^2=c^2+a^2-2ac*cosB cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac 从余弦定理和余弦函数的性质可以看出, 如果一个三角形两边的平方和等于第三 边的平方,那么第三边所对的角一定是直

空间向量基本定理汇总

1 装 订 线 庆云第一中学课堂导学案 （设计者：于长田 审核者：刘晓莉） 年级 高二 学科 数学 编号 x （2-1）44日期 2015-12-02 班级 姓名 3.1.2空间向量基本定理 一．学习目标：掌握空间向量基底的概念；了解空间向量的基本定理及其推论；了解空间向 量基本定理的证明。 二．自学指导：阅读课本P82—P84页注意下面问题。 1.共线向量定理： 2.共面向量： 3.共面向量定理： 4.空间向量分解定理： 三．知识应用 例1在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB = a ，AD =b ，1AA =c ，P 是CA 1的中点，M 是CD 1的中点，N 是C 1D 1的中点，点Q 在CA 1上，且CQ ：QA 1=4：1， 用基底{a 、b 、c }表示以下向量： （1）AP ，（2）AN ，（3）AQ 练习：1.已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1，设，AB = a ，AD =b ，1AA =c 用基底{} ,,a b c 表示如下向量 ： (1) 111,,,AC AB A D DC (2)AG (G 是侧面CC 1D 1D 的中心) 2.已知空间四边形OABC 中，M,N 分别是对边OA,BC 的中点，点G 在MN 上，且MG=2GN.设OA=,a ,OB b = ,OC c =试用基底{} ,,a b c 表示OG 例2.已知向量a =1e －22e +33e ，=21e +2e ，=61e －22e +63e ， 判断a +b 与c 能否共面或共线？c －3b 与b －2a 能否共面或共线？

3 . 已知2,a i j k =-+ 32,b i j k =-++ -37c i j =+ 证明这三个向量共面。 4.已知三个向量a ，b ，c 不共面，并且p a b c =+-，235q a b c =--，71822r a b c =-++，向量p ，q ，r 是否共面？ 例 3.已知矩形ABCD,P 为平面ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD,M,N 分别为PC,PD 上的点，且 PM=2MC,PN=ND 求满足MN=x AB y AD z AP ++的实数x,y,z 的值。 5 已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1 （1）化简112 23 AA BC AB ++并在图上标出其结果。（2）设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧 面BCC 1B 1对角线BC 1上的 3 4 分点，设1MN AB AD AA αβλ=++试求,,αβλ的值。 练习巩固： 1．“a ＝x b ”是“向量a 、b 共线”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 2．满足下列条件，能说明空间不重合的A 、B 、C 三点共线的是 ( ) A.AB →＋BC →＝AC → B.AB →－BC →＝AC → C.AB →＝BC → D ．|AB →|＝|BC →| 3．已知{a ，b ，c }是空间向量的一个基底，则可以与向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是 A ．a B ．b C ．a ＋2b D ．a ＋2c 4．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD → ＝7a －2b ，则一定共线的三点是 ( ) A ．A 、 B 、D B ．A 、B 、 C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D 5．在下列等式中，使点M 与点A ，B ，C 一定共面的是 ( ) A.OM →＝25OA →－15OB →－15OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC → C.MA →＋MB →＋MC →＝0 D.OM →＋OA →＋OB →＋OC → ＝0 6．已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任一点，若由OP →＝15OA →＋23OB →＋λOC → 确定的一点P 与A ， B ， C 三点共面，则λ＝________. 7．在以下3个命题中，真命题的个数是________． ①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面． ②若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线． ③若a ，b 是两个不共线向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底． 8．设e 1，e 2是平面上不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD → ＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共

证明余弦定理范文

证明余弦定理范文 怎么证明余弦定理 证明余弦定理： 因为过c作cd垂直于ab，ad=bcosa;所以 (c-bcosa)^2+(bsina)^2=a^2。 又因为b^2-(bcosa)^2=(bsina)^2，所以 (c-x)^2+b^2-(bcosa)^2=a^2， 所以c^2-2cbcosa+(bcosa)^2+b^2-(bcosa)^2=a^2， 所以c^2-2cbcosa+b^2=a^2， 所以c^2+b^2-a^2=2cbcosa， 所以cosa=(c^2+b^2-a^2)/2bc 同理cosb=(a^2+c^2-b^2)/2ac，cosc=(a^2+b^2-c^2)/2ab 2 在任意△abc中,作ad⊥bc. ∠c对边为c，∠b对边为b，∠a对边为a--> bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c 勾股定理可知： ac?=ad?+dc? b?=(sinb*c)?+(a-cosb*c)? b?=sin?b*c?+a?+cos?b*c?-2ac*cosb b?=(sin?b+cos?b)*c?-2ac*cosb+a? b?=c?+a?-2ac*cosb

所以，cosb=(c?+a?-b?)/2ac 2 如右图，在abc中，三内角a、b、c所对的边分别是a、b、c.以a为原点，ac所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是c点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得b点坐标是(osa，csina).∴cb=(osa-b，csina).现将cb平移到起点为原点a，则ad=cb.而|ad|=|cb|=a，∠dac=π-∠bca=π-c，根据三角函数的定义知d点坐标是(acos(π-c)，asin(π-c))即d点坐标是(-acosc，asinc),∴ad=(-acosc，asinc) 而ad=cb∴(-acosc，asinc)=(osa-b，csina)∴asinc=csina………… ①-acosc=osa-b……②由①得asina=csinc，同理可证asina=bsinb，∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-osa，平方得： a2cos2c=b2-2bosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bosa.同理可证 b2=a2+c2-2aosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理证明 完毕。3△abc的三边分别为a,b,c,边bc,ca,ab上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明: mb=(1/2) mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb) =(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb) 由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb 得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式： ma=(1/2)√