第四课时 导数与函数的综合问题
导数与函数的哲学应用问题关系解析与归纳
导数与函数的哲学应用问题关系解析与归纳在数学中，导数是函数的重要概念之一，它广泛应用于各个领域的问题求解中。
同时，导数也与哲学息息相关，因为它涉及到对函数的理解和推导，体现了人类对于现实世界的思考和认知方式。
本文将探讨导数与函数的哲学应用问题的关系，对其进行解析与归纳。
1. 导数的概念与基本性质导数是数学中研究函数变化率的工具，表示函数在某一点上的变化情况。
导数的概念可以通过极限的方法进行定义，也可以通过函数的解析式进行求取。
导数具有一些基本性质，如导数的线性性、函数和导函数的关系等。
这些性质在函数分析和物理学中都得到了广泛应用。
2. 导数在物理学中的应用物理学是自然科学的重要分支，研究物质和能量之间的相互作用。
在物理学中，导数被广泛应用于描述物质的运动和变化。
例如，在力学中，通过对物体位移关于时间的导数，可以得到物体的速度；再通过对速度关于时间的导数，可以得到物体的加速度。
这些导数的概念和计算方法，使得物理学可以更加准确地描述和预测自然界的现象。
3. 导数在经济学中的应用经济学是社会科学中的一门重要学科，研究生产、分配和消费等经济现象。
在经济学中，导数被广泛应用于描述和分析经济变量之间的关系。
例如，在微观经济学中，通过对需求函数和供给函数的导数进行分析，可以得到市场均衡的价格和数量；在宏观经济学中，通过对经济增长率的导数进行研究，可以探讨经济发展的趋势和规律。
4. 导数在哲学中的反思导数作为一种数学工具，也在一定程度上反映了人类对于现实世界的认知方式和思考方式。
在哲学中，导数可以被理解为思维的抽象和推演过程。
人们通过对问题的分析和推理，提取出变化的本质，进而进行更深层次的思考和哲学探讨。
导数的应用问题，激发了人们对于函数和变化的本质的思考，涉及到哲学中的存在论、认识论等问题。
5. 导数与函数的综合应用导数与函数的综合应用问题是数学中的一个重要分支，也是导数与哲学应用问题关系的具体体现。
这些应用问题涉及到各个学科领域，如物理学、经济学、生物学等。
函数与导数综合问题 课件
令 g(x)＝x－21x＋2 x－ln(1＋x)，则 g(0)＝0.又 g′(x)＝1－4x24＋14＋x－x22x2 －1＋1 x＝412＋x2x2＞0，
)
A．x－y－2＝0
B．x＋y－2＝0
C．x＋4y－5＝0
D．x－4y－5＝0
解析：y′│x＝1＝2x2－x－1－122x│x＝1＝－2x－1 12│x＝1＝ －1，故切线方程为 y－1＝－(x－1)，即 x＋y－2＝0.故选 B.
答案：B
题型3 利用导数知识证明不等式 例3 求证：x－x22＜ln(1＋x)＜x－21x＋2 x，x∈(0，＋∞)．
点评：利用导数求函数的单调性，主要涉及的几类题型：求 单调区间，判断函数在某区间上的单调性，根据单调性求参数．只 要牢牢掌握导函数的符号与原函数单调性的对应关系，这些问题 就不难解决．
跟踪 训练
1．已知函数 f(x)＝mx3＋nx2 (m、n∈R，m≠0)，函数 y＝ f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线与 x 轴平行．
函数与导数综合问题
基础 梳理
1．导数的几何意义：函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数的几何 意义是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说， 曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率是 f′(x0)，相应地， 切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
D．ln(1＋x)≥x－18x2
跟踪 训练
解析：设 f(x)＝cos x＋12x2－1，则 f ′(x)＝－sin x＋ x≥0(x≥0)，所以 f(x)＝cos x＋12x2－1 是增函数，所以 f(x) ＝cos x＋21x2－1≥f(0)＝0，即 cos x≥1－21x2.故选 C.
函数与导数的综合性问题
‘
．
．
丽
一、
＝ ≥ ． ３
式得证．
小 结 本 题 主 要 考 查 了导 数 在 函 数 中 的 应 用 、 数 的 函 零点的慨念 、 晒数单 渊 性 等 知 识 ， 数 作 为 解 决 函数 问 题 的 导 工具 ， 常用 于求 雨 数 的单 凋 性 、 值 等 等 ， 题 时 要 把 握 好 最 解 导 数 与 数 的单 凋性 的 关 系． 椤 已 函数 ＿ ｘ）＝ ｌ ｇ（ ０ ２ 口 ， ｈ ， ）＝ｘ Ｉ 一９ ． 一（ ｘ ｘ （） １ 如果 函数 ｇ（ ）的单 调 递 减 区间 为 （一１ ３） 求 函数 ， ， ｇ（ ）的 解 析 式 ． ｘ （ ） （ ） 条 件 下 ， 函 数 ｙ＝ｇ（ ２在 １的 求 ）的 图像 在 点 （一２，
。 ． ． ．
关 于 ０的方 程 ４ 一１Ｘ Ｘ ５ ＋１ Ｘ ｏ一１ ８ ２＋ｍ ＝０有 三 个
＼ ，
实根的 充要条件是ｇ１ｇ ÷ ｌ ０ （）ｆ ＜ ，
ｍ
ｆ一 ，得 ． ）０ ｓｍ ｍ 解
町得 ２ｘ＜３ ｚ ｘ ＋ｌ． ＞ｏ ． ≤ ａ ￣ 一２ Ｉ － １． ． ， 即 ｎ ３ ≤
＋∞ ） Ｐ， 实 数 ｎ 的 取 值 范 围 ． 求
解
（ ） ｘ １ ｇ （ ）＝３ 一２ ｘ一９ ｘ ａ ． 题 意 ， ３ 一２ ｘ一９＜０的解 集 为 （一１ ３） 得 ｘ ａ ， ． 即 ３ 一２ ｘ一９＝０的 两 根 为 一１ ３ ｘ ａ ，，
’
． ，
关于 ０ 的方程 ４ ： ５： ８０—１ ｘ 一１ｘ ＋１ｘ ２＋ｍ＝ ０有 三个 实根． ｇ ｘ ）＝ ｘ 一１ ｊ ８ ０ ２＋，， 设 （０ ４ｊ ＋１ｘ 一Ｉ ｎ ５ 贝 ）＝１ｘ 一３ｘ ＋１ ． ０ （０ ｇ ２ｊ ００ ８
导数的参数方程与隐函数的综合问题解析
导数的参数方程与隐函数的综合问题解析在微积分的学习过程中，导数是一个重要的概念。
导数可以用来描述数学函数的变化率，并在各种问题的解析中发挥着关键作用。
本文将围绕导数的参数方程和隐函数的综合问题展开讨论和解析。
一、导数的参数方程1.1 参数方程的概念参数方程是一种表示几何图形或者函数的方程表示形式。
在参数方程中，自变量通常用参数表示，通过参数的取值范围来表达函数的变化。
常见的参数方程表示为：x=f(t)，y=g(t)。
1.2 导数的参数方程求解方法对于参数方程导数的求解，可以利用链式法则来进行计算。
具体步骤如下：（1）对参数方程中的每个函数进行求导，得到关于自变量的导数；（2）利用链式法则求出关于参数的导数；（3）根据关系式dy/dx=dy/dt / dx/dt，计算出导数dy/dx。
1.3 导数的参数方程应用场景导数的参数方程可以应用于描述物体在弯曲运动中的速度和加速度变化，同时也可以用于描述极坐标系下的曲线方程等。
二、隐函数的导数问题2.1 隐函数的概念隐函数是一种以方程形态给出的函数，其中自变量和因变量之间的关系通过方程来隐含地表示。
在一些问题中，可以通过对隐函数求导来探索其性质和特征。
2.2 隐函数的导数求解方法求解隐函数的导数时，可以利用全导数或者偏导数的方法来进行计算。
具体步骤如下：（1）对隐函数的方程两边同时求导；（2）将求导结果中的隐含导数表示为已知导数和其他变量的函数；（3）根据求导结果来计算隐函数的导数。
2.3 隐函数的导数应用场景隐函数的导数可以应用于描述曲线的某一点的切线斜率，用于求解极值、最值等问题，还可以在物理学建模和经济学分析等领域中发挥重要作用。
三、参数方程与隐函数的综合问题解析3.1 参数方程与隐函数的关系参数方程与隐函数是微积分中的两个重要概念，它们是相互关联的。
参数方程可以通过对隐函数进行参数化来表示，而隐函数可以通过参数方程去求解其性质和特征。
3.2 参数方程与隐函数综合问题的解析方法在解析参数方程与隐函数综合问题时，可以利用以下方法进行求解：（1）将参数方程代入隐函数中，得到隐函数的表达形式；（2）利用隐函数的导数性质来求解问题，如切线斜率、曲线性质等；（3）通过参数方程和隐函数的相互关系，进一步求解相关问题。
导数方法解决函数不等式的综合问题
利用导数证明不等式
导数与不等式证明的 关系
通过构造函数并利用导数的性质， 可以证明某些不等式成立。
证明步骤
首先根据不等式构造一个适当的 函数，然后利用导数的性质分析 该函数的性质，从而证明原不等 式。
示例
证明不等式$e^xgeq x+1$对任 意实数$x$成立。构造函数 $f(x)=e^x-(x+1)$，求导得到 $f'(x)=e^x-1$。当$x<0$时， $f'(x)<0$，函数单调递减；当 $x>0$时，$f'(x)>0$，函数单调 递增。因此，函数在$x=0$处取 得最小值0，即$f(x)geq 0$恒成 立，从而证明了原不等式。
利用导数求最值
导数与函数最值的关系
求解步骤
示例
当函数在某点处取得极值时，该点处 的导数为0或不存在。通过求解导数 等于0的点，可以找到函数的潜在极 值点。
首先求出函数的导数，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ后令导数等 于0解出潜在极值点，最后通过比较 这些点的函数值来确定最值。
求函数$f(x)=x^3-3x^2+4$在区间$[-2,3]$内 的最大值和最小值。通过求导得到 $f'(x)=3x^2-6x$，令$f'(x)=0$解得$x=0$或 $x=2$。比较这两点及区间端点的函数值，得 到最大值为$f(3)=4$，最小值为$f(0)=4$。
03
函数不等式类型及解法
一元函数不等式解法
确定函数单调性
通过求导判断函数的单调性，从而确定不等式的解集 范围。
寻找临界点
令导数等于零，找到函数的临界点，判断函数在这些 点的变化情况。
判断函数值
根据临界点将函数分成若干区间，判断每个区间上函 数的正负，从而得到不等式的解集。
数学教案导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用
数学教案-导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用一、教学目标：1. 理解函数的极值与最值的概念，掌握求解函数极值与最值的方法。
2. 熟练运用导数性质，解决实际问题中的最值问题。
3. 提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的逻辑思维和数学素养。
二、教学内容：1. 函数的极值与最值概念。
2. 求解函数极值与最值的方法。
3. 导数在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：函数的极值与最值的概念，求解方法及实际应用。
2. 教学难点：导数在实际问题中的综合运用。
四、教学方法与手段：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究函数极值与最值的问题。
2. 利用多媒体课件，展示函数图像，直观地引导学生理解极值与最值的概念。
3. 结合实际问题，运用导数求解最值问题，培养学生的应用能力。
五、教学过程：1. 导入新课：复习函数的极值与最值概念，引导学生回顾求解方法。
2. 知识讲解：讲解求解函数极值与最值的方法，结合实例进行分析。
3. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
4. 案例分析：结合实际问题，运用导数求解最值问题，培养学生的应用能力。
6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识，提高学生的自主学习能力。
教案将继续编写后续章节，敬请期待。
六、教学评估：1. 课堂练习环节，通过学生解答练习题的情况，评估学生对函数极值与最值概念的理解以及求解方法的掌握程度。
2. 案例分析环节，通过学生分析实际问题、运用导数求解最值问题的过程，评估学生的应用能力和逻辑思维。
3. 课后作业的完成情况，评估学生对课堂所学知识的巩固程度和自主学习能力。
七、教学反思：1. 根据教学评估的结果，反思教学过程中是否存在不足，如有需要，调整教学方法，以提高教学效果。
2. 针对学生的掌握情况，针对性地进行辅导，解决学生在学习过程中遇到的问题。
3. 结合学生的反馈，优化教学内容，使之更符合学生的学习需求。
八、课后作业：1. 复习本节课所学的函数极值与最值的概念及求解方法。
导数和数列综合问题解决技巧之构造函数法
导数和数列不等式的综合问题解决技巧之构造函数法1．已知曲线．从点向曲线引斜率为22:20(1,2,)n C x nx y n -+== (1,0)P -n C 的切线，切点为．(0)n n k k >n l (,)n n n P x y （1）求数列的通项公式； {}{}n n x y 与（2）证明：．13521n n nxx x x x y -⋅⋅⋅<<A A A A 【解析】曲线是圆心为，半径为的圆， 222:()n C x n y n -+=(,0)n n 切线 :(1)n n l y k x =+ （Ⅰ，解得，又，n =2221n n k n =+2220n n n x nx y -+= 联立可解得， (1)n n ny k x =+,1n n n x y n ==+（Ⅱ=n n x y = 先证：， 13521n x x x x -⋅⋅⋅⋅< 证法一：利用数学归纳法 当时，，命题成立， 1n =112x =<假设时，命题成立，即 n k =13521kx x x x -⋅⋅⋅⋅< 则当时，1n k =+135212121k kk x x xx x x -++⋅⋅⋅⋅<=∵， 2222416161483k kk k ++=>++．<=∴当时，命题成立，故成立． 1n k =+13521n x x x x -⋅⋅⋅⋅<==，121214)12(4)12(2122222+-=--<-=-nnnnnnnnnnn xxnnnnnxxxx+-=+=+-⨯⨯⨯<-⨯⨯⨯=⋅⋅⋅⋅-1112112125331212432112531<不妨设，令，t=()f t t t=则在上恒成立，故在上单调递减，()10f tt'=<t∈()f t t t=t∈从而()(0)0f t t t f=-<=<综上，成立．13521nnnxx x x xy-⋅⋅⋅⋅<<2．设函数表示的导函数．2()2(1)ln(),()kf x x x k N f x*'=--∈()f x（I）求函数的单调递增区间；()y f x=（Ⅱ）当k为偶数时，数列{}满足，求数列{}的通项公式；na2111,()3n n na a f a a+'==-2na （Ⅲ）当k为奇数时，设，数列的前项和为，证明不等式()12nb f n n'=-{}n b n n S对一切正整数均成立，并比较与的大小．()111n bnb e++>n20091S-2009ln解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），又，212[(1)]()22(1)kkxy f x xx x--''==--=当k为奇数时，，122(1)()xf xx+'=即的单调递增区间为．(0,),()0(0,)x f x'∈+∞∴>+∞在恒成立.()f x'(0,)+∞当k为偶函数时，222(1)2(1)(1)()x x xf xx x-+-'==(0,),0,10,x x x∈+∞>+>又由，得，即的单调递增区间为，()0f x'>10,1x x->∴>()f x(1,)+∞综上所述：当k 为奇数时，的单调递增区间为， ()f x (0,)+∞当k 为偶数时，的单调递增区间为()f x (1,).+∞（Ⅱ）当k 为偶数时，由（Ⅰ）知， 所以22(1)()x f x x-'=22(1)().n n n a f a a -'=根据题设条件有 2222221112(1)3,21,12(1),n n n n n n a a a a a a +++-=- ∴=+ +=+∴{}是以2为公比的等比数列， 21n a +∴ 221211(1)22,2 1.n n n n n a a a -+=+⋅= ∴=-（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当k 为奇数时，12(),f x x'=+ 11111(),1.223n n b f n n S n n'∴=-= =+++⋅⋅⋅+由已知要证两边取对数，即证111,n e n +⎛⎫+> ⎪⎝⎭11ln 1,1n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭事实上：设则 11,t n+=1(1),1n t t =>-因此得不等式 …………………………………………① 1ln 1(1)t t t>->构造函数下面证明在上恒大于0．1()ln 1(1),g t t t t=+->()g t (1,)+∞∴在上单调递增，即211()0,g t t t '=->()g t (1,)+∞()(1)0,g t g >=1ln 1,t t>-∴ ∴即成立．11ln 1,1n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭111,n e n +⎛⎫+> ⎪⎝⎭()111n b n b e ++>由得 11ln,1n n n +>+111231ln ln ln ln(1),23112n n n n +++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+=++即当时， 11ln(1),n S n +-<+2008n =20091S -<2009.ln3．已知，函数． 0a >1()ln xf x x ax-=+（Ⅰ）试问在定义域上能否是单调函数？请说明理由；（Ⅱ）若()f x 在区间 [)1,+∞上是单调递增函数，试求实数a 的取值范围；（Ⅲ）当 1a =时，设数列 1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为，求证：n S 111()(2)n n nS f n S n N n n---<-<∈*≥且解：（Ⅰ）的定义域为，，由得． ()f x ()0,+∞21()ax f x ax -'=()0f x '=1x a=当时，，递减； 1(,x a a∈()0f x '<()f x 当时，，递增． 1(,)x a∈+∞()0f x '>()f x所以不是定义域上的单调函数．()y f x =（Ⅱ）若在是单调递增函数，则恒成立，即恒成立． ()f x x ∈[1,)+∞()0f x '≥1a x≥即．1max,[1,)a x x ⎧⎫≥ ∈+∞⎨⎬⎩⎭11x∴≤1a ∴≥ （Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知，在上为增函数， 1a =1()ln xf x x x-=+[1,)+∞ 111()ln ln ,n n nf n n n n n n----=+-= 又当时，， ，即．1x >()(1)f x f >1ln 0x x x -∴+>1ln 1x x>- 令则，当时，()1ln ,g x x x =--1()1g x x'=-(1,)x ∈+∞()0.g x '>从而函数在上是递增函数， ()g x [1,)+∞所以有即得()(1)0,g x g >=1ln .x x -> 综上有： 11ln 1,(1).x x x x-<<->111ln .1x x x x+∴<<+ 令时，不等式也成立，1,2,...,1,(2)x n n N n *=-∈≥且111ln .1x x x x+∴<<+ 于是代入，将所得各不等式相加，得1112311...ln ln ...ln 1....2312121n n n n +++<+++<+++--即 11111...ln 1. (2321)n n n +++<<+++-即 111()(2).n n nS f n S n N n n*---<-<∈≥且4．设函数．（是自然对数的底数）()(1),()x f x e x g x e =-=e （Ⅰ）判断函数零点的个数，并说明理由； ()()()H x f x g x =-（Ⅱ）设数列满足：，且 {}n a 1(0,1)a ∈1()(),,n n f a g a n N *+=∈①求证：；②比较与的大小．01n a <<n a 1(1)n e a +-解：（Ⅰ）， 令 ()(1)x H x e e '=--0()0,ln(1)H x x e '= =- 当时，在上是增函数 0(,)x x -∞()0,H x '> ()H x 0(,)x x -∞ 当时，在上是减函数 0(,)x x +∞()0,H x '< ()H x 0(,)x x +∞ 从而max 0()(0)(1)1(1)ln(1)2x H x H e x e e e e ==-+-=---+注意到函数在上是增函数， ()ln 1k t t t t =-+[)1,+∞ 从而 从而 ()(1)0,11k t k e ≥=->又0()0H x > 综上可知：有两个零点．()H x （Ⅱ）因为即， 所以 1()(),n n f a g a +=1(1)1na n e a e +-+=11(1)1n a n a e e +=-- ①下面用数学归纳法证明． 当时，，不等式成立． (0,1)n a ∈1n =1(0,1)a ∈ 假设时， 那么 n k =(0,1)k a ∈11(1)1k a k a e e +=--1011kka a e e e e << ∴<-<- 即 10(1)11k a e e ∴<-<-1(0,1)k a +∈ 这表明时，不等式成立． 所以对， 1n k =+n N *∈(0,1)n a ∈②因为，考虑函数1(1)1na n n n e a a e a +--=--()1(01)x p x e x x =-- << ，从而在上是增函数()10x p x e '=->()p x (0,1)()(0)0p x p >=所以，即1(1)0n n e a a +-->1(1)n n e a a +->5．数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列． {}n a n S n n N *∈2,,n n n a S a （1）求数列的通项公式；{}n a（2）设数列的前项和为，且，求证：对任意实数是常数，{}n b n n T 2ln n n nxb a =(1,](x e e ∈e=2．71828…）和任意正整数，总有；n 2n T <（3）在正数数列中，．求数列中的最大项． {}n c 11(),()n n n a c n N +*+=∈{}n c 解：由已知：对于，总有成立 (1)n N *∈22n n n S a a =+ (2)21112(2)n n n S a a n ---∴=+≥（1）—（2）得22112n n n n n a a a a a --∴=+-- 111()()n n n n n n a a a a a a ---∴+=+-均为正数，1,n n a a - 11(2)n n a a n -∴-=≥ 数列是公差为1的等差数列∴{}n a 又时，，解得，1n =21112S a a =+11a =()n a n n N *∴=∈（2）证明：对任意实数和任意正整数，总有(]1,x e ∈n 22ln 1n n n x b a n=≤222111111...1...121223(1)n T n n n∴≤+++<++++⋅⋅-⋅1111111(1() (22223)1n n n ⎛⎫=+-+-++-=-<⎪-⎝⎭（3）解：由已知22112a c c ==⇒= ，33223a c c ==⇒=44334a c c ==⇒==易得55445a c c ==⇒=12234,......c c c c c <>>> 猜想时，是递减数列2n ≥{}n c令，则 ln ()x f x x=221ln 1ln ()x xx x f x x x ⋅--'==当时，，则，即 ∴3x ≥ln 1x >1ln 0x -<()0f x '< 在内为单调递减函数， ∴()f x [)3,+∞由知 11n n n a c ++=ln(1)ln 1n n c n +=+ 时，是递减数列，即是递减数列 2n ∴≥{}ln n c {}n c又，数列中的最大项为12c c <∴{}n c 2c =6．已知23()ln 2,().8f x x xg x x =++=（1）求函数的极值点；()()2()F x f x g x =-⋅（2）若函数在上有零点，求的最小值；()()2()F x f x g x =-⋅),()te t Z ⎡+∞∈⎣t （3）证明：当时，有成立；0x >[]1()1()g x g x e +<（4）若，试问数列中是否存在？若存在，求出所有相1(1)()()g n n b g n n N *+=∈{}n b ()n m b b m n =≠等的两项；若不存在，请说明理由．（为自然对数的底数）．e 解：（1）由题意，的定义域为23()ln 228F x x x x =++-(0,)+∞,函数的单调递增区间为和， (32)(2)()4x x F x x --'=∴()F x 20,3⎛⎤⎥⎝⎦[)2,+∞的单调递减区间为，()F x 2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以为的极大值点，为的极小值点，23x =()F x 2x =()F x （2）在上的最小值为 ()F x 2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭(2)F且，在上没有零点， 23ln 41(2)242ln 2082F -=⨯-++=>()F x ∴2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭函数在上有零点，并考虑到在单调递增且在单调递减，故只∴()F x ),te ⎡+∞⎣()F x 20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦须且即可，23t e <()0F t ≤易验证 121222313()120,()20,88F e e e F e e e -----⎛⎫=⋅+->=⋅-< ⎪⎝⎭当时均有所以函数在上有零点， 2,t t Z ≤∈()0,t F e <()F x )1,()t e e t Z -⎡∈⎣即函数在上有零点， 的最大值为()F x ),()te t Z ⎡+∞∈⎣t ∴2-（3）证明：当时，不等式0x >[]1()1()g x g x e +<即为： 11(1)ln(1)1ln(1)xx e x x x x+<⇔+<⇔+<构造函数则 ()ln(1)(0),h x x x x =+->1()10,11x h x x x-'=-=<++所以函数在上是减函数，因而时， ()h x (0,)+∞0x >()(0)0,h x h <=即：时，成立，所以当时，成立；0x >ln(1)x x +<0x >[]1()1()g x g x e +<（4）因为 1(1)(2)111(1)(2)2222(1)11(1)3(1),(1n n n n n n n n n n n b n n e n n b n b n n n n n++++++++++++===⋅+<<令，得， 23(1)1n n+<2330n n -->因此，当时，有4n ≥(1)(2)1(1)(2)1,n n n n n nb b +++++<所以当时，，即 4n ≥1n n b b +>456...b b b >>>又通过比较的大小知：， 1234b b b b 、、、1234b b b b <<<因为且时所以若数列中存在相等的两项，只能是与后面的项11,b =1n ≠111,n n b n +=≠{}n b 23b b 、可能相等，又，所以数列中存在唯一相等的两项， 11113964283528,35b b b b ====>={}n b 即．28b b =7．在数列中， {}n a 12a =11,22().n n n a a n N ++=+∈ （I ）求证：数列为等差数列； }2{nn a（II ）若m 为正整数，当时，求证：． 2n m ≤≤1231(1)()n m n n m m n a m⋅--+≤解：（I ）由变形得：1122+++=n n n a a 122,1221111=-+=++++n nn n n n n n a a a a 即故数列是以为首项，1为公差的等差数列 }2{nn a121=a （II ）（法一）由（I ）得n n n a 2⋅= m m n m m m a n n m m nm n n 1)23)(1(1)3)(1(221-≤+--≤⋅+-即令mn m nn m n f n m n f 123()()1(,23()1()(+⋅-=+⋅+-=则当mn m n m n f n f n m 1)32(1)1()(,2⋅-+-=+≥>时m m m n m 11)32()211(32()11(⋅-+≥⋅-+=又 23221211211(1>>-+>+-⋅+=-+m m m C m m m m m 123(211>-+∴则为递减数列． )(,1)1()(n f n f n f 则>+当m=n 时，递减数列．)1()(+>n f n f )(,2n f n m 时当≥≥∴ mm m m f x f m m 1)1(49(),1()49()2()(11max-≤--==∴2故只需证要证：时，2,)11()1(491)23)(1(2≥+=+≤-≤+-m mm m m m n m m m m n 而即证49221212212122122)1(121111(22010=⨯-+≥-+=-+=-⋅+=⋅+⋅+≥+m m m m m mm C m C C m m m m m 故原不等式成立．（法二）由（I ）得n n n a 2⋅= mm n m m m a n n m m nm n n 1)23)(1(1)3)(1(221-≤+--≤⋅+-即令)123ln 1()23()('),2()23)(1()(-⋅+-=≤≤+-=m x m x f m x x m x f m xm x则上单调递减． ],2[)(0)(',11,2m x f x f mx m m x 在即<∴<+-∴≤≤ ∴ mm m m f x f m m 1)1()49(),1()49()2()(11max-≤--==∴2故只需证也即证，时而2,)11(149≥+≤m mm49221212212122122)1(121111(22210=⨯-+≥-+=-+=-⋅+=⋅+⋅+≥+m m m m m mm C m C C m m m m m 故原不等式成立．。
导数与三角函数的综合的解题技巧
导数与三角函数的综合的解题技巧
导数与三角函数的综合问题在高中数学中是比较常见的，掌握相关的解题技巧可以提高解题效率。
以下是一些解题技巧：
1. 对于导数问题，首先要掌握导数的定义和求导法则，特别是常见函数的导数。
2. 对于三角函数问题，需要了解各种三角函数的定义、性质和公式，以及它们与圆的关系。
3. 对于综合问题，需要根据题目中的信息建立函数关系式，并利用已知条件求解未知量。
4. 注意变量的定义域和值域，避免出现无解或多解的情况。
5. 利用图像、几何等方法辅助解题，特别是对于三角函数问题，画出对应的三角函数图像可以更好地理解和解决问题。
6. 注意符号的使用，特别是导数的正负号和三角函数的周期性等特点。
综合运用上述技巧，可以较为高效地解决导数与三角函数的综合问题。
但需要注意的是，这些技巧只是解题中的辅助手段，关键还是要理解数学概念和方法，熟练掌握解题技巧才能更好地应对各种高中数学考试题目。
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课时作业(十六) [第16讲 导数与函数的综合问题][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________．2．若函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是________．3．方程2x 3＋7＝6x 2在(0,2)内的实根个数为________．4．下列不等式在(0，＋∞)上恒成立的是________．(填序号)①ln x >x ；②sin x >x ；③tan x >x ；④e x>x ＋1. 能力提升5．当x ≠0时，a ＝e x，b ＝1＋x ，则a ，b 的大小关系是________．6．方程x 3－6x 2＋9x －4＝0的实根的个数为________．7．以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是________．8．若函数y ＝e x＋mx 有极值，则实数m 的取值范围是________．9．若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．10．[2011·镇江统考] 已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x 2＋2)<f (3x )，则实数x 的取值范围是________．11．[2011·南通模拟] 已知函数g (x )＝1sin θ·x＋ln x 在[1，＋∞)上为增函数，且θ∈(0，π)，则θ的值为________．12．[2011·海安检测] 已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时不等式f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝30.3·f (30.3)，b ＝log π3·f (log π3)，c ＝log 319·f ⎝⎛⎭⎪⎫log 319，则a ，b ，c 的大小关系是________．13．(8分)已知函数f (x )＝14x 4＋x 3－92x 2＋cx 有三个极值点．证明：－27<c <5.14．(8分)已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋bx，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0.(1)求a ，b 的值；(2)证明：当x >0且x ≠1时，f (x )>ln xx －1.15．(12分)[2012·苏南联考] 已知函数f (x )＝ln x ＋1x －1. (1)求函数的定义域，并证明f (x )＝lnx ＋1x －1在定义域上是奇函数；(2)若x ∈[2,6]，f (x )>ln mx －1 7－x恒成立，求实数m 的取值范围．16．(12分)已知函数f (x )＝x 2－8ln x ，g (x )＝－x 2＋14x . (1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，求a 的取值范围； (3)若方程f (x )＝g (x )＋m 有惟一解，试求实数m 的值．课时作业(十六)【基础热身】1．(0，＋∞) [解析] y ′＝－4x 2＋b ，函数有三个单调区间，即y ′值有正、有负，则b >0.2.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ [解析] y ′＝3x 2＋2x ＋m ，因为函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，故Δ＝4－4×3m ≤0，从而m ≥13.3．1 [解析] 设f (x )＝2x 3－6x 2＋7，则f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)， 因为x ∈(0,2)，所以有f ′(x )<0，所以f (x )在(0,2)内单调递减， 又f (0)＝7>0，f (2)＝－1<0，所以在(0,2)内存在惟一的x 0，使f (x 0)＝0，因此，方程2x 3＋7＝6x 2在(0,2)内的实根个数为1.4．③④ [解析] 当x ＝1时，①，②不成立；对于③，设f (x )＝tan x －x ，则f ′(x )＝1cos 2x －1＝1－cos 2x cos 2x ＝sin 2x cos 2x≥0，因此f (x )在(0，＋∞)上是增函数，f (x )min >f (0)＝0，符合题意；对于④，令f (x )＝e x －x －1，f ′(x )＝e x－1，在(0，＋∞)上f (x )是增函数，故f (x )min >f (0)＝0，符合题意．【能力提升】5．a >b [解析] 设y ＝e x －1－x ，∴y ′＝e x －1，∴x >0时，函数y ＝e x－1－x 是递增的；x <0时，函数y ＝e x－1－x 是递减的，∴x ＝0时，y 有最小值0.故x ≠0时，y >0，即a >b .6．2 [解析] 令f (x )＝x 3－6x 2＋9x －4，则f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)． 由f ′(x )>0得x >3或x <1；由f ′(x )<0得1<x <3.∴f (x )的单调增区间为(3，＋∞)，(－∞，1)，单调减区间为(1,3)，∴f (x )在x ＝1处取极大值，在x ＝3处取极小值，又∵f (1)＝0，f (3)＝－4<0，∴函数f (x )的图象与x 轴有两个交点，即方程x 3－6x 2＋9x －4＝0有两个实根．7．③④ [解析] 导函数的图象为抛物线，其变号零点为函数的极值点，因此③、④不正确．8．m <0 [解析] y ′＝e x ＋m ，由条件知e x ＋m ＝0有实数解，∴m ＝－e x<0.9．－2<a <2 [解析] f ′(x )＝3x 2－3，f (x )极大＝f (－1)＝2＋a ，f (x )极小＝f (1)＝－2＋a ，函数f (x )有3个不同零点，则2＋a >0且－2＋a <0，因此－2<a <2.10．(1,2) [解析] 由f (x )＝ln x ＋2x⇒f ′(x )＝1x＋2x ln2>0(x ∈(0，＋∞))，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x 2＋2)<f (3x )⇒0<x 2＋2<3x ⇒x ∈(1,2)．11.π2 [解析] 由题意，g ′(x )＝－1sin θ·x 2＋1x≥0在[1，＋∞)上恒成立，即sin θ·x －1sin θ·x2≥0.∵θ∈(0，π)，∴sin θ>0.故sin θ·x －1≥0在[1，＋∞)上恒成立，只需sin θ·1－1≥0，即sin θ≥1，只有sin θ＝1.结合θ∈(0，π)，得θ＝π2.12．c >a >b [解析] 令g (x )＝xf (x )，则由于f (x )是R 上的奇函数，所以g (x )为R 上的偶函数，又当x ∈(－∞，0)时不等式f (x )＋xf ′(x )<0成立，即g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )<0，故当x ∈(－∞，0)时，g (x )单调递减，从而g (x )在(0，＋∞)上单调递增．又由于2>30.3>1，log π3∈(0,1)，log 319＝－2，所以g (－2)＝g (2)>g (30.3)>g (log π3)，即c >a >b .13．[解答] 证明：因为函数f (x )＝14x 4＋x 3－92x 2＋cx 有三个极值点，所以f ′(x )＝x 3＋3x 2－9x ＋c ＝0有三个互异的实根．设g (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋c ，则g ′(x )＝3x 2＋6x －9＝3(x ＋3)(x －1)，当x <－3时，g ′(x )>0，g (x )在(－∞，－3)上为增函数； 当－3<x <1时，g ′(x )<0，g (x )在(－3,1)上为减函数； 当x >1时，g ′(x )>0，g (x )在(1，＋∞)上为增函数．所以函数g (x )在x ＝－3时取极大值，在x ＝1时取极小值． 因为g (x )＝0有三个不同实根，所以g (－3)>0且g (1)<0. 即－27＋27＋27＋c >0且1＋3－9＋c <0， 解得c >－27且c <5，故－27<c <5.14．[解答] (1)∵f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －ln x x ＋1 2－bx 2，由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧f 1 ＝1，f ′ 1 ＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a 2－b ＝－12，∴a ＝b ＝1.(2)证明：由(1)知f (x )＝ln x x ＋1＋1x， 所以f (x )－ln x x －1＝11－x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2ln x －x 2－1x .设h (x )＝2ln x －x 2－1x (x >0)，则h ′(x )＝－ x －12x2. 当x ≠1时，h ′(x )<0，而h (1)＝0，故当x ∈(0,1)时，h (x )>0，当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0.得11－xh (x )>0，从而，当x >0且x ≠1时，f (x )－ln x x －1>0，即f (x )>ln xx －1.15．[解答] (1)由x ＋1x －1>0，解得x <－1或x >1，∴函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝ln －x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1－1＝－ln x ＋1x －1＝－f (x )，∴f (x )＝ln x ＋1x －1在定义域上是奇函数．(2)由x ∈[2,6]时，f (x )>ln mx －1 7－x恒成立，∴x ＋1x －1>m x －1 7－x>0，x ∈[2,6]， ∴0<m <(x ＋1)(7－x )在x ∈[2,6]上恒成立．令g (x )＝(x ＋1)(7－x )＝－x 2＋6x ＋7，x ∈[2,6]， 令g ′(x )≥0，即－2x ＋6≥0，得x ≤3； 令g ′(x )<0，即－2x ＋6<0，得x >3.故x ∈[2,3]时函数单调递增，x ∈[3,6]时函数单调递减， x ∈[2,6]时，g (x )min ＝g (6)＝7，∴0<m <7.16．[解答] (1)因为f ′(x )＝2x －8x，所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝－6，又f (1)＝1，故所求切线方程为y －1＝－6(x －1)，即y ＝－6x ＋7.(2)因为f ′(x )＝2 x ＋2 x －2x，又x >0，所以当x >2时，f ′(x )>0； 当0<x <2时，f ′(x )<0.即f (x )在(2，＋∞)上递增，在(0,2)上递减，又g (x )＝－(x －7)2＋49，所以g (x )在(－∞，7)上递增，在(7，＋∞)上递减，欲f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，a ＋1≤7，解得2≤a ≤6.(3)原方程等价于2x 2－8ln x －14x ＝m ，令h (x )＝2x 2－8ln x －14x ，则原方程即为h (x )＝m .因为当x >0时原方程有惟一解，所以函数y ＝h (x )与y ＝m 的图象在y 轴右侧有惟一的交点．又h ′(x )＝4x －8x －14＝2 x －4 2x ＋1x，且x >0，所以当x >4时，h ′(x )>0；当0<x <4时，h ′(x )<0.即h (x )在(4，＋∞)上递增，在(0,4)上递减． 故h (x )在x ＝4处取得最小值，从而当x >0时原方程有惟一解的充要条件是m ＝h (4)＝－16ln2－24.。