四川省宜宾第三中学2017-2018学年高二下学期9月月考数学(理)试题+Word版缺答案
2017-2018学年高二下期月考试题
数 学（理）
一、选择题
1．设命题p ：∀x ＞0，x ＞lnx ．则￢p 为（ ） A ．∀x ＞0，x≤lnx B ．∀x ＞0，x ＜lnx C ．∃x 0＞0，x 0＞lnx 0
D ．∃x 0＞0，x 0≤lnx 0
2．“在(,)a b 内()0f x '
>”是“()f x 在(,)a b 内单调递增”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
3．下列命题中正确的是（ ）
A ．若p ：∃x ∈R ，x 2+x+1＜0，则￢p ：∀x ∈R ，x 2+x+1＜0
B ．若p ∨q 为真命题，则p ∧q 也为真命题
C ．“函数f （x ）为奇函数”是“f （0）=0”的充分不必要条件
D ．命题“若x 2﹣3x+2=0，则x=1”的否命题为真命题 4．若f （x ）=sin （2x+6
π
），则f′（π）等于（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D 5．函数y=2x 3﹣3x 2+a 的极小值是5，那么实数a 等于（ ） A ．6
B ．0
C ．5
D ．1
6．2x 2﹣5x ﹣3＜0的一个必要不充分条件是（ ）
A ．﹣＜x ＜3
B ．﹣＜x ＜0
C ．﹣3＜x ＜
D ．﹣1＜x ＜6
7．函数f （x ）的定义域为开区间（a ，b ），导函数f′（x ）在（a ，b ）内的图象如图所示，则函数f （x ）在开区间（a ，b ）内有极小值（ ）
A ．2个
B ．1个
C ．3个
D ．4个
8．命题p ：关于x 的函数y=x 2﹣3ax+4在[1，+∞）上是增函数，命题q ：函数y=（2a ﹣1）x 为减函数，若“p 且q”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．（﹣∞，]∪（，+∞）
B ．（﹣∞，]
C ．（，+∞）
D ．（，]
9．已知函数f （x ）=
12
x 2
﹣cos （π+x ）+l ，f′（x ）为f （x ）的导函数，则y=f′（x ）的函数图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．设函数f′（x ）是奇函数f （x ）（x ∈R ）的导函数，f （﹣1）=0，当x ＞0时，
xf′（x ）﹣f （x ）＜0，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
B ．（﹣1，0）∪（1，+∞）
C ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）
D ．（0，1）∪（1，+∞）
11．已知f （x ）=x 2﹣3，g （x ）=me x ，若方程f （x ）=g （x ）有三个不同的实根，则m 的取
值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．（0，2e ）
12．设函数y=f （x ）在区间D 上的导函数为f′（x ），f′（x ）在区间D 上的导函数为g （x ）．若
在区间D 上，g （x ）＜0恒成立，则称函数f （x ）在区间D 上为“凸函数”．已知实数
m 是常数，()432
31262x mx x f x =--
，若对满足|m|≤2的任何一个实数m ，函数f （x ）在区间（a ，b ）上都为“凸函数”，则b ﹣a 的最大值为（ ） A ．3
B ．2
C ．1
D ．﹣1
二、填空题
13．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax+2y=0与直线l 2 ：x+(a+1)y+4=0平行的 ▲ 条
件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”)
14．若曲线y=x 2+ax+b 在点（0，b ）处的切线方程是x ﹣y+1=0，则a ，b 的值分别为 ．
15．若函数f （x ）=ax 3﹣ax 2+（2a ﹣3）x+1在R 上存在极值，则实数a 的取值范围是 ．
16．已知函数()
243 1
2
x x
f x
++
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，g（x）=x+
x
1
+t，若∀x1∈R，∃x2∈[1，3]，使得f
（x1）≤g（x2），则实数t的取值范围是．
三、解答题
17．已知曲线C的参数方程为（α为参数），以直角坐标系原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）若直线的极坐标方程为sinθ﹣cosθ=，求直线被曲线C截得的弦长．
18．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
19．函数f（x）=ax3+bx2﹣3x 在点x=1 处取得极大值为2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f （x ）在区间[0，2]上的最大值和最小值．
20．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴非负半轴重合，直线l 的参数
方程为：（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为：ρ=4cosθ．
（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）设直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，求|PQ|的值．
21．已知函数2()(2)ln f x x a x a x =-++（a 为实数）．
（1）若2a =-，求函数()y f x =在1x =处的切线方程． （2）求函数()f x 的单调区间．
22．已知函数f（x）=lnx+．
（1）当a=2时，证明对任意的x∈（1，+∞），f（x）＞1；
（2）求证：ln（n+1）＞（n∈N*）．
（3）若函数f（x）有且只有一个零点，求实数a的取值范围．。
2017-2018学年四川省宜宾市高二下学期期中考试数学(理)试题 含部分解析7
高二下学期期中考试理科数学试题考试时间120分钟，满分150分。
一、选择题（本题共12小题，共60分） 1、已知复数z 满足(13)1i z i +=+，则z =（ ） A ．22B ．2-C ．2D ． 2 2、曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为（ ） A.45° B.60° C.120° D.135°3、已知i 为虚数单位，a 为实数，复数(2i)(1+i)z a =-在复平面内对应的点为M ，则“a =1”是“点M 在第四象限”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4、若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y ++= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y --=5、若1()2nx x-的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项的系数之和为（ ） A ．164-B ．132C ．164D ．1128 6、已知命题:,34x x p x R ∀∈<，命题231,:x x R x q -=∈∃，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．q p ∧B ．q p ⌝∧C ．q p ∧⌝D ．q p ⌝∧⌝ 7、如图，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是,(1)'(1)2y kx b f f =+-=若，则b=( )A ．1B ．-1C ．2D ．-28、6名志愿者选4人去“鸟巢”和“水立方”实地培训，每处2人，其中乙不能去“水立方”，则选派方法有（ ）A ．60B ．70C ．80D ．909、把,,,A B C D 四件玩具分给三个小朋友，每位小朋友至少分到一件玩具，且,A B 两件玩具不能分给同一个人，则不同的分法有（ ）A ．36种B ．30种C ．24种D ．18种10、甲、乙、丙三位同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分，回答如下：甲说：是我考满分；乙说：丙不是满分；丙说：乙说的是真话． 事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么满分的同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．不确定 11、曲线ln(21)y x =-上的点到直线230x y -+=的最短距离是 （ ） A.5B.25C.35D.012、已知方程ln 1x kx =+在()30,e 上有三个不等实根，则实数k 的取值范围是A.320,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.3232,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C.3221,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3221,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题（本题共4小题，共20分）13、由0,1,2,3,4,5可构成不重复的六位偶数的个数为 （用数字作答）．． 14、在()()5211x x +-的展开式中含3x 项的系数是 （用数字作答）． 15、由曲线2y x =与直线2y x =+所围成的平面图形的面积为 ． 16、已知奇函数()f x 定义域为()()(),00,,'f x -∞+∞为其导函数,且满足以下条件①0x >时,()()3'f x f x x<；②()112f =；③()()22f x f x =,则不等式()224f x x x<的解集为 ．三、解答题（本题共6小题，共70分）17、（10分）已知在3312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，第6项为常数项． （1）求n ；（2）求含2x 项的系数．18、（12分）已知直线1l 为曲线2)(2+-==x x x f y 在点)2,1(处的切线，2l 为该曲线的另外一条切线，且21l l ⊥. （1）求直线1l 、2l 的方程；（2）求由直线1l 、2l 及x 轴所围成的三角形的面积．19、（12分）定义在实数集上的函数2()f x x x =+，31()23g x x x m =-+．（1）求函数()f x 的图象在1x =处的切线方程；（2）若()()f x g x ≥对任意的[]4,4x ∈-恒成立，求实数m 的取值范围．20、（12分）若函数()34f x ax bx =-+,当2x =时,函数()f x 有极值为43-． （1）求函数()f x 的解析式； （2）若()f x k=有3个解,求实数k 的取值范围．21、（12分）已知函数()11f x nx kx =-+. (1)求函数)(x f 的单调区间;(2)若0)(≤x f 恒成立,试确定实数k 的取值范围;22、（12分）已知函数1)1ln()(+-+=x x x x f . （1）求)(x f 的最小值；（2）求证：对任意的正数a 与b ，恒有abb a -≥-1ln ln ．阶段性测试理科数学(答案)一、选择题（本题共12小题，共60分）1、【答案】A2、【答案】A3、【答案】A4、【答案】D5、【答案】C6、【答案】C 【解析】由题意得，当1x =-时，1134-->，所以命题:,34x x p x R ∀∈<是假命题；因为函数3y x =与21y x =-的图象存在交点，所以命题231,:x x R x q -=∈∃是真命题，所以命题q p ∧⌝为真命题，故选C ． 7、【答案】C8、【答案】A 【解析】若乙被选上，则乙不能去水立方，只能去鸟巢，共有215330C C =种选派方法，若乙不被选上，共有225330C C =种选派方法，所以共有30+30=60种选派方法，故选A.9、【答案】B 【解析】分两步进行分析:？先计算把D C B A ,,,四件玩具分给三个小朋友,每位小朋友至少分到一件玩具的分法数目:首先将4件玩具分成3组,其中1组有2件,剩余2组各1件,有624=C 种分组方法,再将这3组对应三个小朋友,有633=A 种方法,则有3666=⨯种情况；？计算B A ,两件玩具分给同一个人的分法数目,若B A ,两件玩具分给同一个人,则剩余的2件玩具分给其他2人,有62213=⨯A C 种情况.综上可得,B A ,两件玩具不能分给同一个人的不同分法有30636=-种,故选B. 10、【答案】B【解析】如果甲说的是真话，则乙丙都是真话，与在这三名同学中，只有一人说的是假话，相矛盾，如果甲说的是假话，乙丙说的是真话，那乙就是满分．故选B ．11、【答案】A 【解析】设直线l 与曲线ln(21)y x =-相切与点00(,)P x y 且与直线230x y -+=平行，由02221k x ==-得01x =，所以(1,0)P ，因此直线:220l x y --=，直线:220l x y --=到230x y -+=的距离为555d ==.所以6422465510()()曲线ln(21)y x =-上的点到直线230x y -+=的最短距离是5.12、【答案】C 【解析】设11f x kx g x lnx y kx =+==+（），（），与y lnx =的图象在01（，）一定有一个交点，依题意只需1f x kx g x lnx =+=（），（）在31e （，）上有2个交点即可.作1f x kx g x lnx =+=（），（）的图象如图所示设直线1f x kx =+（）与g x lnx =（）相切于点a b （，）；则211k a b lna k e b ka -⎧⎪⎪⇒=⎨⎪+⎪⎩＝＝＝ 且对数函数g x lnx =（）的增长速度越来越慢，直线1f x kx =+（）过定点01（，） 方程ln 1x kx =+|中取3x e =得32k e -=， ∴则实数k 的取值范围是322e k e --＜＜． 故选C二、填空题（本题共4小题，共20分）13、【答案】312【解析】末尾是0时，有12055=A 种；不是0时，有2种选择，首位有4种选择，中间有44A 种，故有1924244=⨯⨯A 种，共有312192120=+种.14、【答案】-10【解析】含3x 项的系数3322552(1)(1)10C C ⨯-+-=- 15、【答案】92【解析】由22223211119(1,1),(2,4)(2)(2)|2322y x A B S x x dx x x x y x --⎧=⇒-⇒=+-⇒+-=⎨=+⎩⎰． 16、【答案】【解析】0x >时，令()()()343()()0f x xf x f x g x g x x x '-'=⇒=<，又()f x 为奇函数，所以()g x 为偶函数，因为()()22f x f x =，所以()11111142248f f f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，31()14814()4f g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，从而()2112()8(||)()||444f x x g x g x g x x <⇒<⇒<⇒>⇒解集三、解答题（本题共6小题，共70分） 17、【答案】（1）10n =；（2）454． 试题解析：（1）通项公式为23112rn r r r n T C x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ∵第6项为常数项，∴5r =时，有1003n -=，即10n =. （2）令10223r -=，得2r =，∴所求的系数为221014524C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 18、试题解析：（1）因为21y x '=-，所以 1(1)1k f '==，1:1l y x =+；又因为21l l ⊥，所以2121k x =-=-，解得: 切点(0,2),所以2:2l y x =-+（2）由12y x y x =+⎧⎨=-+⎩得1232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以两直线的交点为13(,)22，1l 与x 轴的交点(1,0)-，2l 与x 轴的交点(2,0)，所以面积1393224S =⨯⨯=19、试题解析：（1）∵2()f x x x =+，∴'()21f x x =+，(1)2f =，∴'(1)3f =， ∴所求切线方程为23(1)y x -=-，即310x y --=．（2）令323211()()()2333h x g x f x x x m x x x x m x =-=-+--=-+-，∴2'()23h x x x =--，当41x -<<-时，'()0h x >；当13x -<<时，'()0h x <；当34x <<时，'()0h x >，要使()()f x g x ≥恒成立，即max ()0h x ≤，由上知()h x 的最大值在1x =-或4x =取得，而5(1)3h m -=+，20(4)3h m =-，∵52033m m +>-，∴503m +≤，即53m ≤-．20、试题解析：（1）()2'3f x ax b =-,由题意:()()'212428243f a bf a b =-⎧⎪⎨=-+=-⎪⎩,解得134a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩,∴所求的解析式为()31443f x x x =-+． （2）由（1）可得()()()2'422f x x x x =-=-+，令()'0f x =，得2x =或2x =-，∴当2x <-时，()'0f x >，当22x -<<时，()'0f x <，当2x >时，()'0f x >，因此，当2x =-时，()f x 有极大值283，当2x =时，()f x 有极小值43-，∴函数()31443f x x x =-+的图象大致如图．由图可知:42833k -<<．21、【答案】(I)函数()f x 的定义域为(0,)+∞,'1()f x k x=-当0≤k 时'1()0f x k x =->,则()f x 在(0,)+∞上是增函数 ;当0>k 时,若1(0,)x k ∈时有'1()0f x k x=->若1(,)x k ∈+∞时有'1()0f x k x=-<则()f x 在1(0,)k 上是增函数上,在1(,)k+∞上是减函数 .(Ⅱ)由(I)知0≤k 时,()f x 在(0,)+∞上是增函数, 而(1)10,()0f k f x =->≤不成立,故0>k又由(I)知()f x 的最大值为1()f k,要使0)(≤x f 恒成立,则1()0f k≤即可. 10ln ≥≤-k k 得22、解：（1）∵函数∴，由f′（x）＞0⇒x＞0；由f′（x）＜0⇒﹣1＜x＜0；∴f（x）的单调增区间（0，+∞），单调减区间（﹣1，0）所以)f)0(f的最小值为0(x（2）所证不等式等价为而，设t=x+1，则，由（1）结论可得，F（t）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，由此F（t）min=F（1）=0，所以F（t）≥F（1）=0即，记代入得：得证．。
四川省宜宾市第三中学校2018-2019学年高二9月月考数学试题解析
四川省宜宾市第三中学校2018-2019学年高二9月月考数学试题解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知圆C 方程为222x y +=，过点(1,1)P -与圆C 相切的直线方程为（ ）A ．20x y -+=B ．10x y +-=C ．10x y -+=D ．20x y ++= 2． 12,e e 是平面内不共线的两向量，已知12AB e ke =-，123CD e e =-，若,,A B D 三点共线，则的值是（ ）A ．1B ．2C ．-1D ．-2 3． 设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若633S S =，则96SS =（ ） A ．2 B ．73 C.83D ．3 4． 一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是边AB 上的动点，记四面体FMCE -的体积为1V ，多面体BCE ADF -的体积为2V ，则=21V V（ ）1111]A ．41 B ．31 C ．21D ．不是定值，随点M 的变化而变化5． 已知,,x y z 均为正实数，且22log x x =-，22log yy -=-，22log z z -=，则（ ）A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y z <<D ．y x z << 6． 已知集合23111{1,(),,}122i A i i i i -=-+-+（其中为虚数单位），2{1}B x x =<，则A B =（ ） A ．{1}- B ．{1} C ．{1,}2- D ．{}27． 已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤-5342y x y x x y ，若目标函数mx y z -=取得最大值时有唯一的最优解)3,1(，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1-<mB ．10<<mC ．1>mD ．1≥m【命题意图】本题考查了线性规划知识，突出了对线性目标函数在给定可行域上最值的探讨，该题属于逆向问题，重点把握好作图的准确性及几何意义的转化，难度中等.8． （文科）要得到()2log 2g x x =的图象，只需将函数()2log f x x =的图象（ ）A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向上平移1个单位D ．向下平移1个单位9． 过点),2(a M -，)4,(a N 的直线的斜率为21-，则=||MN （ ） A ．10 B ．180 C ．36 D ．5610．已知全集R U =，集合{|||1,}A x x x R =≤∈，集合{|21,}xB x x R =≤∈，则集合U AC B 为（ ）A.]1,1[-B.]1,0[C.]1,0(D.)0,1[- 【命题意图】本题考查集合的运算等基础知识，意在考查运算求解能力.11．已知α，[,]βππ∈-，则“||||βα>”是“βαβαcos cos ||||->-”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力. 12．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(0)2πϕ<<与y 轴的交点为(0,1)，且图像上两对称轴之间的最小距离为2π，则使()()0f x t f x t +--+=成立的t 的最小值为（ ）1111] A ．6π B ．3π C ．2πD ．23π二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．分别在区间[0,1]、[1,]e 上任意选取一个实数a b 、，则随机事件“ln a b ≥”的概率为_________. 14．在ABC ∆中，有等式：①sin sin a A b B =；②sin sin a B b A =；③cos cos a B b A =；④sin sin sin a b cA B C+=+.其中恒成立的等式序号为_________. 15．已知函数21,0()1,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，()21xg x =-，则((2))f g = ，[()]f g x 的值域为 ．【命题意图】本题考查分段函数的函数值与值域等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力.16．已知过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点2F 的直线交双曲线于,A B 两点，连结11,AF BF ，若1||||AB BF =，且190ABF ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）A ．5-BC ．6- D【命题意图】本题考查双曲线定义与几何性质，意要考查逻辑思维能力、运算求解能力，以及考查数形结合思想、方程思想、转化思想．三、解答题（本大共6小题，共70分。
宜宾市2018年秋期高二年级教学质量监测试题高二数学(理)试卷
2018年秋期高二年级教学质量监测试题理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生在答题卷上务必将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码；请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 第Ⅰ卷一、选择题：共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．若甲、乙、丙三人分别用简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的方法，从容量为100的总体中分别抽取一个容量为20的样本，每个个体被甲、乙、丙抽中的概率分别为123,,P P P ，则以下说法正确的是 A ．123P P P =< B ．231P P P =< C ．132P P P =<D ．123P P P ==2．点()2,1-到直线10x y -+=的距离是AB C ． D 3．双曲线152022=-y x 的焦距为 A ．10 B ．8 C ．15 D ．1524．路口人行横道的红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为50秒．若一名行人在该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为A ．58B ．710C ．38D ．3105．已知向量a ()1,1,k =，b ()1,0,1=--，c ()0,2,1=，且向量2-a b 与c 互相垂直，则k 的值是 A ．1 B ．2- C ．3- D ．4-6．执行右图的程序框图，输出的b 的值是 A ．16 B ．12 C ．8D ．27．从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为A ．13B ．512C ．12D ．7128．为了从甲、乙两人中选一人参加英语竞赛，老师将二人最近6次英语测试的分数进行统计，得到如图所示的茎叶图．设甲、乙两人的平均成绩分别是x x 甲乙和，则下列说法正确的是A ．x x >甲乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛B ．x x <甲乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛C ．x x =甲乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D ．x x =甲乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛9．已知直线l 过点()0,1，且倾斜角为直线1:220l x y --=的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为A ．4330x y --=B ．3430x y --=C ．3440x y --=D ．4340x y --=10．已知直线:2230l mx y m +--=与圆22:3O x y +=交于,A B两点，且AB =,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，则CD 的值为A． B ．2 CD11．如图，一段封闭曲线由椭圆229125x y +=和双曲线224112x y -=的实线部分组成，点M 在椭圆的实线部分运动，点N 在双曲线实线部分运动（M ，N 均不在x 轴上）．设点F 为椭圆的右焦点，则△MNF 周长的最小值为 A ．3B ．6 C．6D ．1412．设双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与直线2a x c=（c =）分别交于,A B 两点，F 为该双曲线的右焦点．若11cos ,22AFB ⎛⎫∠∈- ⎪⎝⎭，则该双曲线的离心率的取值范围是 A．2⎫⎪⎪⎝⎭B．)2 C．( D．)∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案直接填在答题卡对应题中横线上．(注意．．:在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 13．已知直线1l 的斜率21=k ，直线2l 经过点点()2,3-m A 和()1,0B ．若12l l ∥，则实数m 的值是__________．14．已知圆221240C x y x y +--=：和圆2222440C x y x y +++-=：相交于,A B 两点，则直线AB 的方程为__________．15．某小学为了了解在校学生身体发育情况，从全校600名学生中随机抽取100名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可以估计该校学生身高的中位数是__________厘米．(精确到0.1) 16．已知F 为抛物线()220y px p =>的焦点，过F的直线交抛物线于,A B 两点，且2AF FB =，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ，1AA l ⊥于点1A ．若四边形1AACF 的面积为220，则p 的值为__________． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）(注意．．:在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 已知圆C ：22440x y x ++-=，直线l ：20x ay a +-=． (1) 当a 为何值时，直线l 与圆C 相切？(2)若以点(M 为圆心的圆M 与圆C 外切，求圆M 的标准方程．18．（本小题满分12分）(注意．．:在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 2011年至2017年的某种农产品价格y （单位：元）的数据如下表：(1) 求y 关于t 的线性回归方程；(2) 利用(1)中的回归方程，分析2011年至2017年该农产品价格的变化情况，并预测2019年该农产品价格．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121nii i ni i tty y b tt∧==--=-∑∑，ˆˆay bt =-．19．（本小题满分12分）(注意．．:在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 已知动圆M 经过点()1,0A ，且与直线:1l x =-相切．设动圆的圆心M 的轨迹为C ，过点()1,0A 且斜率为k 的直线1l 与轨迹C 交于E ，F 两点，且线段EF 的中点纵坐标是2．(1) 求动圆的圆心M 的轨迹； (2) 求1l 的方程．20．（本小题满分12分）(注意．．:在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 某届国际白酒文化节上，出现了许多新的白酒品牌．其中浓香型白酒有21种，酱香型白酒有14种，清香型白酒有7种，现采用分层抽样的方法从这些白酒中抽取6种进行品鉴．(1) 求应从浓香型白酒、酱香型白酒、清香型白酒中分别抽取的白酒种数； (2) 若从抽取的6种白酒中随机抽取2种做进一步研究分析， ① 列出所有可能的抽取结果；② 求抽取的2种白酒中至少有1种是浓香型的概率．21．（本小题满分12分）(注意．．:在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 如图，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ,=3PC ，D 为线段BC 上的点，且22CA DA CD DB ====．(1) 证明：DA ⊥平面PCA ； (2) 求二面角D PA B --的余弦值．22．（本小题满分12分）(注意．．:在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 已知椭圆222:1(2)4x y C a a +=>的离心率为e ，左焦点为F ，左顶点为A ，O 为坐标原点，(1) 求椭圆C 的方程；(2) 若过点()2,0P ，且斜率为()0k k ≠的直线与椭圆C 交于,M N 两点，线段MN 的垂直平分线与x 轴交于点Q ，求MN PQ的取值范围．2018年秋期高二年级教学质量监测试题理科数学参考答案及评分意见说明：一、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题（每小题5分，共20分） 13．21-； 14. 012=-+y x 15．123.3 16．4 三、解答题（共70分）.17. 解：（1）由x 2＋y 2－8y ＋12＝0得，圆C 标准方程为()8222=++y x ，则圆C 的圆心为()0,2-，半径为22.因直线l 与圆C相切，则有221222=+--a a ，解得a ＝1. ………………（5分）（2）由题意得，圆M 的标准方程为：()()22222r y x =-+-，又圆M 与圆C 外切，所以22+=r MC 即()[]()2222222+=+--r 解得，2=r所以圆M的标准方程为()()22222=-+-y x . ………………（10分）18.解：（1） 由所给数据计算得17t =（1+2+3+4+5+6+7）=417y =（3.9+4.3+4.6+5.4+5.8+6.2+6.9）=5.3 ,7211()t tt =-∑=9+4+1+0+1+4+9=28，7111()()t tt y y =--∑=(3)( 1.4)(2)(1)(1)(0.7)-⨯-+-⨯-+-⨯-00.110.520.93 1.614+⨯+⨯+⨯+⨯=71117211()()140.528()t t tt y y b tt ==--===-∑∑， 5.30.54 3.3a y b t =-=-⨯=. 所求回归方程为0.5 3.3y t =+. ………………（7分）（2）由（1），b ^＝0.5>0，故2011至2017年该农产品价格逐年增加，平均每年约增加0.5元.将2019年的年份代号t ＝9代入（Ⅰ）中的回归方程， 得y ^＝0.5×9＋3.3＝7.8， 故预测2019年该农产品价格为7.8元.………………（12分）19.（1）解：设(,),1M x y MA x =+则有 1x =+,整理得: 24y x =即动圆的圆心M 的轨迹C 是一条抛物线，其轨迹方程为: 24y x =． ………………（6分）（2）由题意可设l 的方程为(1)(0)y k x k =->．设1221(,),(,)E y x y x F ，由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=．216160k ∆=+>，故122224k x k x ++=．()()k x k x k y y 4112121=-+-=+ 所以1222y y k +=． EF 的中点纵坐标是2．所以2=2k，解得1k =． 因此l的方程为1.y x =- ………………（12分）20.解：（1）由分层抽样的定义知，从浓香型白酒中抽取的白酒数目为6×2121＋14＋7＝3；从酱香型白酒抽取的白酒数目为6×1421＋14＋7＝2；清香型白酒中抽取的白酒数目为6×721＋14＋7＝1. 则从浓香型白酒、酱香型白酒、清香型白酒中分别抽取的白酒数目为3,2,1.………………（4分）(2) ①在抽取到的6种白酒中，3种浓香型白酒分别记为A 1，A 2，A 3,2种酱香型白酒分别记为A 4，A 5，1种清香型白酒记为A 6，则抽取2种白酒的所有可能结果为(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，A 5)，(A 1，A 6)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，A 5)，(A 2，A 6)，(A 3，A 4)，(A 3，A 5)，(A 3，A 6)，(A 4，A 5)，(A 4，A 6)，(A 5，A 6)，共15种． ………………（8分）②从6种白酒中抽取的2种白酒至少有一种为浓香型白酒(记为事件B )的所有可能结果为(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，A 5)，(A 1，A 6)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，A 5)，(A 2，A 6)，(A 3，A 4)，(A 3，A 5)，(A 3，A 6)，共12种． 所以P (B )＝541512= ………………（12分） 21.（1）证明： PC ⊥平面ABC ，DA ⊂平面ABC ，∴PC ⊥DA .CD ＝2，CA ＝A D ＝2,得△A CD 为等腰直角三角形，故CA ⊥DA .又PC ∩AC ＝C ，DA 垂直于平面PCA 内两条相交直线，故DA ⊥平面PCA . ………………（4分） （2）由（1）知，PC ⊥平面ABC ，且△A CD 为等腰直角三角形，∴∠DCA ＝π4，如图，以C 为坐标原点，以CP →为Z 轴，CB →为Y 轴，平面CAB 为XY C -坐标平面，建立空间直角坐标系XYZ C -.则C (0，0，0)，P (0，0，3)，A (1，1，0)，B(0，3，0)，D (0，2，0)，PA ＝(1，1，－3)，PD ＝(0，2，－3)，()3,3,0=-PB . 设平面P AD 的法向量为()1111,,z y x n =，由⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙0011n PA n ，得⎩⎨⎧=-=-+0320311111z y z y x ，故可取()2,3,31=n .设平面P AB 的法向量为()2222,,z y x n =，由⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙022PB n PA n ，得⎩⎨⎧=-=-+0330322222z y z y x ，故可取()1,1,22=.∴cos 〈n 1，n 2〉=n 1·n 2|n 1|·|n 2|=633. 故所求二面角D －P A －B 的余弦值为633. ………………（12分）22. 解：（1）设()()00,>-c c F ，∴c a FA a OA c OF -===,,解得()2223c c a =- 又24b =.∴2212,16c a ==所以椭圆C 的方程为141622=+y x………………（4分）（2）由()⎪⎩⎪⎨⎧-==+2141622x k y y x ，得()0161616142222=-+-+k x k x k .设()()2211,,y x N y x M ，，则有141616,141622212221+-=∙+=+k k x x k k x x ， ()()[]21221241x x x xk MN -++=()()()14164141612222422+--++=k k k k k()141381222+++=k k k设线段MN 的中点为()00,y x D ，则148222210+=+=k k x x x ，()1422200+-=-=k kx k y 所以线段MN 的中点D 坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+142148222k k k k ，，设线段MN 得垂直平分线为l ，其斜率为1k ，则kk 11-=， 所以l 的方程为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--=++1481142222k k x k k k y令0=y ，得线段AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点⎪⎪⎭⎫⎝⎛+0,14622k k Q ，又点()0,2P ，所以1422222++=-=k k x PQ Q .∴ 138221222+∙++=k k k PQ MN=22212341314kk k +-=++ k ≠0，∴112>+k ，∴1＜3－21＋k 2＜3. ∴PQMN 的取值范围为(4，43) . ………………（12分）。
四川省宜宾第三中学2017-2018学年高二数学4月月考试题 理(无答案)
高二下期4月月考试题数 学（理）一、选择题1．设命题p ：∀x ＞0，x ＞lnx ．则￢p 为（ ） A ．∀x ＞0，x≤lnxB ．∀x ＞0，x ＜lnxC ．∃x 0＞0，x 0＞lnx 0D ．∃x 0＞0，x 0≤lnx 02．“在(,)a b 内()0f x '>”是“()f x 在(,)a b 内单调递增”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．下列命题中正确的是（ ）A ．若p ：∃x∈R，x 2+x+1＜0，则￢p ：∀x∈R，x 2+x+1＜0 B ．若p∨q 为真命题，则p∧q 也为真命题C ．“函数f （x ）为奇函数”是“f（0）=0”的充分不必要条件D ．命题“若x 2﹣3x+2=0，则x=1”的否命题为真命题 4．若f （x ）=sin （2x+6π），则f′（π）等于（ ）A ．0B ．1C ．2D 5．函数y=2x 3﹣3x 2+a 的极小值是5，那么实数a 等于（ ） A ．6B ．0C ．5D ．16．2x 2﹣5x ﹣3＜0的一个必要不充分条件是（ ）A ．﹣＜x ＜3B ．﹣＜x ＜0C ．﹣3＜x ＜D ．﹣1＜x ＜67．函数f （x ）的定义域为开区间（a ，b ），导函数f′（x ）在（a ，b ）内的图象如图所示，则函数f （x ）在开区间（a ，b ）内有极小值（ ）A ．2个B ．1个C ．3个D ．4个8．命题p ：关于x 的函数y=x 2﹣3ax+4在[1，+∞）上是增函数，命题q ：函数y=（2a ﹣1）x为减函数，若“p 且q”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，]∪（，+∞）B ．（﹣∞，]C ．（，+∞）D ．（，]9．已知函数f （x ）=12x 2﹣cos （π+x ）+l ，f′（x ）为f （x ）的导函数，则y=f′（x ）的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．设函数f′（x ）是奇函数f （x ）（x∈R）的导函数，f （﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x ）﹣f （x ）＜0，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B ．（﹣1，0）∪（1，+∞） C ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D ．（0，1）∪（1，+∞）f （x ）=g （x ）有三个不同的实根，则m 的取．C ．D ．（0，2e ）f′（x ），f′（x ）在区间D 上的导函数为g （x ）．若f （x ）在区间D 上为“凸函数”．已知实数的任何一个实数m ，函数f （x ）在b ﹣a 的最大值为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．﹣1二、填空题13．设a∈R ，则“a＝1”是“直线l 1：ax+2y=0与直线l 2 ：x+(a+1)y+4=0平行的 ▲ 条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”) 14．若曲线y=x 2+ax+b 在点（0，b ）处的切线方程是x ﹣y+1=0，则a ，b 的值分别为 ．15．若函数f （x ）=ax 3﹣ax 2+（2a ﹣3）x+1在R 上存在极值，则实数a 的取值范围是 ．16．已知函数()243 12x xf x++⎛⎫= ⎪⎝⎭，g（x）=x+x1+t，若∀x1∈R，∃x2∈[1，3]，使得f（x1）≤g（x2），则实数t的取值范围是．三、解答题17．已知曲线C的参数方程为（α为参数），以直角坐标系原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）若直线的极坐标方程为sinθ﹣cosθ=，求直线被曲线C截得的弦长．18．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．函数f（x）=ax3+bx2﹣3x 在点x=1 处取得极大值为2．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f （x ）在区间[0，2]上的最大值和最小值．20．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴非负半轴重合，直线l 的参数方程为：（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为：ρ=4cos θ．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）设直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，求|PQ|的值．21．已知函数2()(2)ln f x x a x a x =-++（a 为实数）．（1）若2a =-，求函数()y f x =在1x =处的切线方程． （2）求函数()f x 的单调区间．22．已知函数f（x）=lnx+．（1）当a=2时，证明对任意的x∈（1，+∞），f（x）＞1；（2）求证：ln（n+1）＞（n∈N*）．（3）若函数f（x）有且只有一个零点，求实数a的取值范围．。
四川宜宾2017_2018学年高二数学(理科)下学期考试模拟习题一
四川省宜宾市一中2017-2018学年高二数学（理科）下学期考试模拟试题一一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为( )A 、－4 （B ）－45 （C ）4 （D ）45 2、若复数()()12bi i ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b =（ ）A ．2-B ．12-C ．2D ．12 3.复数z ＝i 1＋i(其中i 为虚数单位)的虚部是( ) A ．－12 B.12i C.12 D ．－12i 4.设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( )A ．2＋3iB ．2－3iC ．3＋2iD ．3－2i 5、已知向量()1,2a x =r ，()4,b x =-r ，则“2x =”是“a b ⊥r r ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 已知函数y =f (x ),y =g (x )的导函数的图象如下图，那么y =f (x ),y =g (x )的图象可能是（ ）7. 下列说法中正确的是（ ）A ．“()00f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件B ．若:p 0R x ∃∈，20010x x -->，则:p ⌝R x ∀∈，210x x --<C ．若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题D ．“若6πα=，则1sin 2α=”的否命题是“若6πα≠，则1sin 2α≠ 8. 若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（ ）A. [1,)-+∞B. (1,)-+∞C. (,1]-∞-D. (,1)-∞-9. 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球．从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有种？A ．115种B ．120 种C ．125 种D ．130种10. 已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是A.21y x =-B.y x =C.32y x =-D.23y x =-+11.已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为43π的球与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是（ ） A ．63 B ．123 C ．183 D ．24312.定义在()0,+∞上的单调函数()f x ，()0,x ∀∈+∞，()2log 3f f x x -=⎡⎤⎣⎦，则方程()()2f x f x '-=的解所在区间是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2D ．()2,3 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分 13．在复平面内，复数21i i -对应的点的坐标为 . 14.已知函数()f x （R x ∈）满足()11f =，且()f x 的导数()12f x '<，则不等式()22122x f x <+的解集为 ． 15. 已知双曲线E 的中心为原点，F(3，0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且AB 的中点为N(－12，－15)，则E 的方程为____________．16.设函数()2ln 2x f x k x =-，0k >．则()f x 极小值____________. 三．解答题17.已知p ：2x-443⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m>0)，若“⌝ p ⇒ ⌝q ”为假命题，“⌝q ⇒⌝p ”为真命题，求m 的取值范围．18.设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，求a 的取值范围．19.某中学有4位学生申请A 、B 、C 三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．(1) 求恰有2人申请A 大学的概率；(2) 求被申请大学的个数是3个的概率.20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，直线l 与x 轴交于点E ，与椭圆C 交于A 、B 两点．当直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C 的右焦点时，弦AB 的长为263. (1) 求椭圆C 的方程；(2) 若点E 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32，0，点A 在第一象限且横坐标为3，连结点A 与原点O 的直线交椭圆C 于另一点P ，求△PAB 的面积．21．已知函数()(21)ln 2k f x k x x x=-++，k R ∈．（1）当1k =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）当k e =时，试判断函数()f x 是否存在零点，并说明理由；22．已知函数()2ln ,f x x ax x a R =+-∈． （1）若函数()f x 在[]1,2上是减函数，求实数a 的取值范围；（2）令()()2g x f x x =-，是否存在实数a ，当(]0,x e ∈（e 是自然常数）时，函数()g x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由；16级高二下学期半期考试理科数学模拟试题一参考答案选择题：1.D;2.C;3.C;4.A;5.A;6. D;7. D;8.Ｃ;9. A ; 10. A; 11.C;12. C.填空题：13.（-1，1） 14.()(),11,-∞-+∞U15. x 24－y 25＝1 解析：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2（x 1＋x 2）a 2（y 1＋y 2）＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以将4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线的标准方程是x 24－y 25＝1.16.(1ln )2k k f -= 17．解：设p ，q 分别对应集合P ，Q ，则P ＝{x|－2≤x ≤10}，Q ＝{x|1－m ≤x ≤1＋m}， 由⌝q ⇒⌝p 为真，⌝p ⇒⌝q 为假，得P ⊆ Q ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m>10，m>0或⎩⎪⎨⎪⎧1－m<－2，1＋m ≥10，m>0，解得m ≥9.18.解∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a .当a ≥0时，y 不可能有极值点，故a <0.由e x ＋a ＝0，得e x ＝－a ，∴x ＝ln(－a )．∴x ＝ln(－a )即为函数的极值点．∴ln(－a )>0，即ln(－a )>ln1.∴a <－1.19.解 解：(1) 记“恰有2人申请A 大学”为事件A ，P(A)＝C 24×2234＝2481＝827. 故恰有2人申请A 大学的概率为827. (2) 记“被申请大学的个数是3个”为事件B ，P(B)＝C 24×A 3334＝3681＝49.20．解：(1) 由c a ＝63，设a ＝3k(k ＞0)，则c ＝6k ，b 2＝3k 2，所以椭圆C 的方程为x 29k 2＋y 23k2＝1. 因为直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C 的右焦点，即x A ＝x B ＝6k ，代入椭圆方程，解得y ＝±k ，是2k ＝263，即k ＝63，所以椭圆C 的方程为x 26＋y 22＝1. (2) 将x ＝3代入x 26＋y 22＝1，解得y ＝±1. 因为点A 在第一象限，从而A(3，1)，由点E 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32，0， 所以k AB ＝23，直线AE 的方程为y ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32， 联立直线AE 与椭圆C 的方程，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－75. 又PA 过原点O ，于是P(－3，－1)，PA ＝4，所以直线PA 的方程为x －3y ＝0，所以点B 到直线PA 的距离h ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－35＋7352＝335，S △PAB ＝12×4×335＝635. 21．解：函数()f x 的定义域：(0,)x ∈+∞，222212(21)()2k k x k x k f x x x x -+--'=-+=2()(21)x k x x +-=（1）当1k =时，x x x x f 21ln )(++=，2)12)(1()(xx x x f -+='， 有3211ln )1(=++=f ，即切点(1,3)，21)12)(11()1(2=-+='=f k ， ∴曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线方程是)1(23-=-x y ，即12+=x y ；（2）若k e =，()(21)ln 2e f x e x x x=-++， 2()(21)()x e x f x x +-'=，令()0f x '=，得1x e =-（舍），212=x ，则min 111()()(21)ln 22(1ln 2)ln 21012222e f x f e e ==-++⋅=-++>， ∴函数()f x 不存在零点；22综上，存在实数2a e =，使得当(]0,x e ∈时()g x 有最小值3．当0x e <≤时，()0x ϕ'≥，()h x 在(]0,e 上单调递增。
2017-2018学年四川省宜宾市高二下学期第一次月考数学（理）试题解析版8
2017-2018学年四川省宜宾市高二下学期第一次月考数学（理）试题解析版8高二下学期第一次月考理科数学试题考试时间120分钟，满分150分。
一、选择题（本题共12小题，共60分） 1、抛物线2yx=在点11,24M的切线的倾斜角是（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 2、对任意的x ，有3()4f x x'=，(1)1f =-，则此函数解析式可以为( )A ．4()f x x= B ．4()2f x x =-C ．4()1f x x =+ D ．4()f x x=-3、若命题“P ∧q”为假，且“?p”为假，则（）A ．“p 或q”为假B ．q 假C ．q 真D ．p 假 4、命题“()00,x ?∈+∞，00 ln 3x x >-”的否定是（）A.()00,x ?∈+∞，00ln 3x x ≤- B.()0,x ?∈+∞，ln3x x >- C.()0,x ?∈+∞，ln 3x x<- D.()0,x ?∈+∞，ln3x x≤-5、若曲线2y x a x b=++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则（）A ．1a =，1b =B ．1a =-，1b =C ．1a=，1b =- D ．1a =-，1b =-6、“函数()0y fx =在x 处有极值”是“()00f x '=”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 7、若曲线()2 1ln 2f x a x x x=++在点()()1,1f 处的切线与712yx =-平行，则a =A ．-1B ．0C ．1D ．2 8、已知a 是函数3()12f x x x=-的极小值点，则a =（）A ．-16B ．-2C ．16D ．29、函数xax x f ln )(-=在区间),1[+∞上为减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．]2,(--∞B ．]0,(-∞C ．]1,(-∞D ．),1[+∞ 10、函数223x x xye-=的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．11、设()xx f cos 0=，()()x f x f '=01，()()x f x f '=12，，()()x f x f nn '=+1，*Nn ∈，则()=x f 2016（）A ．xsin B ．xcosC ．xsin- D ．xcos-12、已知)(x f 为R 上的可导函数，且对R x ∈，均有)(')(x f x f >，则有（）A.)0()2016(),0()2016(20162016f e f f f e<<- B ．)0()2016(),0()2016(20162016f e f f f e >>- C ．)0()2016(),0()2016(2016 2016f e f f f e ><- D ．)0()2016(),0()2016(20162016f ef f f e <>-二、填空题（本题共4小题，共20分）13、已知2()2f x x x=+，则(0)f '=___________.14、如图，函数()y fx =的图象在点P 处的切线方程是8y x =-+，则(5)'(5)f f +=___________.15、已知函数()()3261f x x a x a x =++++有极大值和极小值，则a的取值范围是___________.16、已知函数()f x 的定义域[]15-，，部分对应值如表，()f x 的导函数()'y f x =的图象如图所示，下列关于函数()f x 的命题；x1- 0245()Fx121.521①函数()f x 的值域为[]12，；②函数()f x 在[]02，上是减函数；③如果当[]1x t ∈-，时，()f x 最大值是2，那么t 的最大值为4；④当12a <<时，函数()yfx a=-最多有4个零点.其中正确命题的序号是___________.三、解答题（本题共6小题，共70分） 17、（10分）已知命题p ：2450x x --≤，命题q：22210x x m-+-≤（0m >）．（1）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；（2）若5 m =，p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数x 的取值范围．18、（12分）已知函数()31443f x x x =-+，（1）求函数的的极值（2）求函数在区间[-3，4]上的最大值和最小值。
四川省宜宾第三中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试题(无答案)
高2017级高二（下）半期试题理科数学一、选择题1、复数z 满足()1i 2i z -=，则z =( ) A. 1i -B. 1i -+C. 1i --D. 1i +2、点M 的直角坐标是( )3、设”的（”是“则“12121,<<-∈x x R x） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4、函数x x y ln 22-=的单调增区间为（ ） A. （﹣∞，﹣1）∪（0，1） B. （1，+∞） C. （﹣1，0）∪（1，+∞）D. （0，1）5、下列命题中正确的是（ ）A. 命题“若2320x x -+=，则1x =”的否命题为“若2320x x -+=，则1x ≠；B. 命题“设a ，b∈R，若a+b≠6，则a≠3或b≠3”是一个真命题；C. 若或为真命题，则,p q 均为真命题；D. 命题0:,p x R ∃∈使得20010x x ++<，则:,p x R ⌝∀∈均有210x x ++>.6、已知四个命题：①在回归分析中，相关指数2R 为0.98的模型比相关指数2R 为0.80的模型拟合的效果差； ②在对分类变量X 和进行独立性检验时，随机变量2K 的观测值k 越大，则“X 与相关”可信程度越大；③线性回归方程对应的直线ˆˆˆybx a =+至少经过其样本数据点中的一个点； ④在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高； 其中真命题是：( ) A. ①④B. ②④C. ①②D. ②③7、由直线0,2==y x 及曲线x x y -=2围成的所有封闭图形的面积为（ ） A. 1B.317 C.32 D.658、若函数123)(23++-=x x a x x f 在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛341，上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，417B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，310C.⎪⎭⎫⎝⎛∞+，316D.⎪⎭⎫⎝⎛∞+，310 9*1n N n ∈（，＞）”时，由1n k k =（＞）不等式成立，推证1n k =+时，左边应增加的项数是（ ） A. 12k -B. 21k -C. 2kD. 21k +10、设)(x f '是函数)(x f 的导函数，将)(x f y =和)(x f y '=的图像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）A. B.C. D.11、已知函数()ln xf x x x ae =-（为自然对数的底数）有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）B. ()0,eC. ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-e 1，D. (),e -∞12、已知函数x x a x f 2ln )(-=，若不等式xe ax xf 2)1(->+在),0(+∞∈x 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. a≤2B. a≥2C. a≤0D. 0≤a≤2二、填空题13、设m R ∈， ()2221i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则________m =．14、函数)(x f 在P 点处的切线方程是102+-=x y ，若点P 的横坐标是5，则='+)5()5(f f ．15、在椭圆1121622=+y x 上找一点，使这一点到直线0122=--y x 的距离最大,则该点的坐标为 ． 16、在平面直角坐标系xoy 中，已知点是函数)0()(>=x e x f x的图象上的动点，该图像在点处的切线l 交轴于点M 。
2016-2017年四川省宜宾三中高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2016-2017学年四川省宜宾三中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）复数的虚部为（）A．B．C．D．2．（5分）“a＞b＞0”是“a2＞b2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知命题p：∀x＞0，x3＞0，那么￢p是（）A．∀x＞0，x3≤0B．C．∀x＜0，x3≤0D．4．（5分）定积分（2x+1）dx的值为（）A．6B．5C．4D．35．（5分）n个连续自然数按规律排成表：根据规律，从2016到2018，箭头的方向依次为（）A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓6．（5分）在极坐标系中，圆ρ＝2被直线ρsinθ＝1截得的弦长为（）A．B．2C．2D．37．（5分）若f（x）＝xe x，则f′（1）＝（）A．0B．e C．2e D．e28．（5分）用数学归纳法证明不等式“1+++…+≥1+（n∈N*）”的过程中，由n＝k到n＝k+1时，不等式的左边（）A．增加了1项B．增加了2项C．增加了2k项D．增加了2k+1项9．（5分）从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）＝mlnx+8x﹣x2在[3，+∞）上单调递减，则实数m 的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣8）B．（﹣∞，﹣8]C．（﹣∞，﹣6）D．（﹣∞，﹣6] 11．（5分）若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1，2，3，4，5，6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有（）A．120个B．80个C．40个D．20个12．（5分）已知函数f（x）＝，关于x的方程f2（x）﹣2af（x）+a﹣1＝0（a∈R）有四个相异的实数根，则a的取值范围是（）A．（﹣1，）B．（1，+∞）C．（，2）D．（，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）＝1，则C与极轴的交点到极点的距离是．14．（5分）原命题：“设复数z＝a+bi（i为虚数单位），若z为纯虚数，则a＝0”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有个．15．（5分）二维空间中圆的一维测度（周长）l＝2πr，二维测度（面积）S＝πr2；三维空间中球的二维测度（表面积）S＝4πr2，三维测度（体积）V＝πr3；四维空间中“超球”的三维测度V＝8πr3，则猜想其四维测度W＝．16．（5分）已知函数f（x）＝lnx+（e﹣a）x﹣b，其中e为自然对数的底数．若不等式f（x）≤0恒成立，则的最小值为．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程、计算步骤．）17．（10分）已知复数z＝3+bi（b∈R），且（1+3i）•z为纯虚数．（1）求复数z；（2）若w＝，求复数w的模|w|．18．（12分）设t∈R，已知p：函数f（x）＝x2﹣tx﹣t有两个零点，q：∀x∈R，2﹣t2≤|x|．（Ⅰ）若p为真命题，求t的取值范围；（Ⅱ）若p∧￢q为真命题，求t的取值范围．19．（12分）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2＝25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．20．（12分）已知函数f（x）＝（x2﹣x+1）e x，其中e是自然对数的底数．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[﹣2，+∞）时，讨论函数f（x）的图象与直线y＝m的公共点个数．21．（12分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ＝2，曲线C的方程为y2＝2px（p＞0）．（Ⅰ）设t为l参数，若，求直线l的参数方程；（Ⅱ）直线与曲线C交于P，Q，设M（﹣2，﹣4），且|PQ|2＝|MP|•|MQ|，求实数p的值．22．（12分）已知函数f（x）＝ln（1+x）（x＞0），g（x）＝．（Ⅰ）求f（x）在x＝0处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）＞g（x）对x∈（0，+∞）恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）n∈N*时，比较与f（n）的大小并证明．2016-2017学年四川省宜宾三中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）复数的虚部为（）A．B．C．D．【解答】解：复数＝＝﹣﹣i，该复数的虚部为﹣．故选：C．2．（5分）“a＞b＞0”是“a2＞b2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由“a＞b＞0”能推出“a2＞b2”，是充分条件，由“a2＞b2”推不出“a＞b＞0”，不是必要条件，故选：A．3．（5分）已知命题p：∀x＞0，x3＞0，那么￢p是（）A．∀x＞0，x3≤0B．C．∀x＜0，x3≤0D．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x＞0，x3＞0，那么￢p是．故选：D．4．（5分）定积分（2x+1）dx的值为（）A．6B．5C．4D．3【解答】解：定积分（2x+1）dx＝＝6．故选：A．5．（5分）n个连续自然数按规律排成表：根据规律，从2016到2018，箭头的方向依次为（）A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓【解答】解：选定1作为起始点，由图看出，位置变化规律是以4为周期，由于2016＝4×504，可知第2016个数和4的位置相同，所以从2016到2018，箭头方向依次是↓→故选：A．6．（5分）在极坐标系中，圆ρ＝2被直线ρsinθ＝1截得的弦长为（）A．B．2C．2D．3【解答】解：圆ρ＝2的极坐标方程转化成直角坐标方程为：x2+y2＝4．直线ρsinθ＝1转化成直角坐标方程为：y＝1．所以：圆心到直线y＝1的距离为1．则：弦长l＝＝．故选：C．7．（5分）若f（x）＝xe x，则f′（1）＝（）A．0B．e C．2e D．e2【解答】解：∵f（x）＝xe x，∴f′（x）＝e x+xe x，∴f′（1）＝2e．故选：C．8．（5分）用数学归纳法证明不等式“1+++…+≥1+（n∈N*）”的过程中，由n＝k到n＝k+1时，不等式的左边（）A．增加了1项B．增加了2项C．增加了2k项D．增加了2k+1项【解答】解：当n＝k时，不等式左边为1++…+，共有2k项，当n＝k+1时，不等式左边为1++…++++…+，共有2k+1项，∴不等式左边增加的项数为：2k+1﹣2k＝2k．故选：C．9．（5分）从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：个位数与十位数之和为奇数的两位数中，其个位数与十位数有一个为奇数，一个为偶数，共有＝45记：“个位数与十位数之和为奇数的两位数中，其个位数为0”为事件A，则A 包含的结果：10，30，50，70，90共5个由古典概率的求解公式可得，P（A）＝故选：D．10．（5分）已知函数f（x）＝mlnx+8x﹣x2在[3，+∞）上单调递减，则实数m 的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣8）B．（﹣∞，﹣8]C．（﹣∞，﹣6）D．（﹣∞，﹣6]【解答】解：f′（x）＝+8﹣2x＝，令g（x）＝﹣2x2+8x+m，若函数f（x）＝mlnx+8x﹣x2在[3，+∞）上单调递减，则﹣2x2+8x+m≤0在[3，+∞）成立，则m≤2x2﹣8x在[3，+∞）上恒成立，令h（x）＝2x2﹣8x，x∈[3，+∞），h′（x）＝4x﹣8＞0，故h（x）在[3，+∞）递增，故h（x）min＝h（3）＝﹣6，故m≤﹣6，故选：D．11．（5分）若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1，2，3，4，5，6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有（）A．120个B．80个C．40个D．20个【解答】解：根据题意，十位上的数最大，只能为3、4、5、6，分四种情形处理，当十位数字为3时，百位、个位的数字为1、2，有A22种选法，当十位数字为4时，百位、个位的数字为1、2、3，有A32种选法，当十位数字为5时，百位、个位的数字为1、2、3、4，有A42种选法，当十位数字为6时，百位、个位的数字为1、2、3、4、5，有A52种选法，则伞数的个数为A22+A32+A42+A52＝40；故选：C．12．（5分）已知函数f（x）＝，关于x的方程f2（x）﹣2af（x）+a﹣1＝0（a∈R）有四个相异的实数根，则a的取值范围是（）A．（﹣1，）B．（1，+∞）C．（，2）D．（，+∞）【解答】解：当x＞0时，f（x）＝，函数的导数f′（x）＝＝，当x＞1时，f′（x）＞0，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，则当x＝1时函数取得极小值f（1）＝e，当x＜0时，f（x）＝﹣，函数的导数f′（x）＝﹣＝﹣，此时f′（x）＞0恒成立，此时函数为增函数，作出函数f（x）的图象如图：设t＝f（x），则t＞e时，t＝f（x）有3个根，当t＝e时，t＝f（x）有2个根当0＜t＜e时，t＝f（x）有1个根，当t≤0时，t＝f（x）有0个根，则f2（x）﹣2af（x）+a﹣1＝0（m∈R）有四个相异的实数根，等价为t2﹣2at+a﹣1＝0（m∈R）有2个相异的实数根，其中0＜t＜e，t＞e，设h（t）＝t2﹣2at+a﹣1，则，即，即，即a＞，即实数a的取值范围是（，+∞），故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）＝1，则C与极轴的交点到极点的距离是．【解答】解：由题意，θ＝0，可得ρ（3cos0﹣4sin0）＝1，∴C与极轴的交点到极点的距离是ρ＝．故答案为：．14．（5分）原命题：“设复数z＝a+bi（i为虚数单位），若z为纯虚数，则a＝0”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有1个．【解答】解：若z为纯虚数，则a＝0，且b≠0，即原命题为命题，则逆否命题为假命题，命题的逆命题为若a＝0，则z为纯虚数为假命题，当a＝0，且b＝0时，命题不成立，即逆命题为假命题，则否命题为假命题，故真命题为逆否命题，故答案为：115．（5分）二维空间中圆的一维测度（周长）l＝2πr，二维测度（面积）S＝πr2；三维空间中球的二维测度（表面积）S＝4πr2，三维测度（体积）V＝πr3；四维空间中“超球”的三维测度V＝8πr3，则猜想其四维测度W＝2πr4．【解答】解：∵二维空间中圆的一维测度（周长）l＝2πr，二维测度（面积）S ＝πr2，观察发现S′＝l三维空间中球的二维测度（表面积）S＝4πr2，三维测度（体积）V＝πr3，观察发现V′＝S∴四维空间中“超球”的三维测度V＝8πr3，猜想其四维测度W，则W′＝V＝8πr3；∴W＝2πr4；故答案为：2πr416．（5分）已知函数f（x）＝lnx+（e﹣a）x﹣b，其中e为自然对数的底数．若不等式f（x）≤0恒成立，则的最小值为﹣．【解答】解：∵函数f（x）＝lnx+（e﹣a）x﹣b，其中e为自然对数的底数，∴，x＞0，当a≤e时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f（x）≤0不可能恒成立，当a＞e时，由，得x＝，∵不等式f（x）≤0恒成立，∴f（x）的最大值为0，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴当x＝时，f（x）取最大值，f（）＝﹣ln（a﹣e）﹣b﹣1≤0，∴ln（a﹣e）+b+1≥0，∴b≥﹣1﹣ln（a﹣e），∴（a＞e），令F（x）＝，x＞e，F′（x）＝＝，令H（x）＝（x﹣e）ln（x﹣e）﹣e，H′（x）＝ln（x﹣e）+1，由H′（x）＝0，得x＝e+，当x∈（e+，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数，x∈（e，e+）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数，∴当x＝e+时，H（x）取最小值H（e+）＝﹣e﹣，∵x→e时，H（x）→0，x＞2e时，H（x）＞0，H（2e）＝0，∴当x∈（e，2e）时，F′（x）＜0，F（x）是减函数，当x∈（2e，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）是增函九，∴x＝2e时，F（x）取最小值，F（2e）＝＝﹣，∴的最小值为﹣．故答案为：﹣．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程、计算步骤．）17．（10分）已知复数z＝3+bi（b∈R），且（1+3i）•z为纯虚数．（1）求复数z；（2）若w＝，求复数w的模|w|．【解答】解：（1）复数z＝3+bi（b∈R），且（1+3i）•z为纯虚数．即（1+3i）•（3+bi）＝3﹣3b+（9+b）i为纯虚数，∴3﹣3b＝0，9+b≠0，解得b＝1．∴z＝3+i．（2）w＝＝＝＝，∴复数w的模|w|＝＝．18．（12分）设t∈R，已知p：函数f（x）＝x2﹣tx﹣t有两个零点，q：∀x∈R，2﹣t2≤|x|．（Ⅰ）若p为真命题，求t的取值范围；（Ⅱ）若p∧￢q为真命题，求t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，若p为真命题，则函数f（x）＝x2﹣tx﹣t有两个零点，即函数f（x）＝x2﹣tx﹣t与x轴有2个交点，必有（﹣t）2﹣4（﹣t）＞0，即t2+4t＞0，解可得：t＜﹣4或t＞0；（Ⅱ）若p∧￢q为真命题，则P为真命题，而q为假命题，q：∀x∈R，2﹣t2≤|x|，分析可得：t2≥2，即t≤﹣或t≥，则￢q成立时，有﹣＜t＜，若p∧￢q为真命题，则必有0＜t＜．19．（12分）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2＝25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．【解答】解：（Ⅰ）∵圆C的方程为（x+6）2+y2＝25，∴x2+y2+12x+11＝0，∵ρ2＝x2+y2，x＝ρcosα，y＝ρsinα，∴C的极坐标方程为ρ2+12ρcosα+11＝0．（Ⅱ）∵直线l的参数方程是（t为参数），∴t＝，代入y＝t sinα，得：直线l的一般方程y＝tanα•x，∵l与C交与A，B两点，|AB|＝，圆C的圆心C（﹣6，0），半径r＝5，圆心到直线的距离d＝．∴圆心C（﹣6，0）到直线距离d＝＝，解得tan2α＝，∴tanα＝±＝±．∴l的斜率k＝±．20．（12分）已知函数f（x）＝（x2﹣x+1）e x，其中e是自然对数的底数．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[﹣2，+∞）时，讨论函数f（x）的图象与直线y＝m的公共点个数．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝（x2﹣x+1）e x，f′（x）＝x（x+1）e x，令f′（x）＞0，解得：x＞0或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜0，故f（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，0）递减，在（0，+∞）递增；（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）在[﹣2，﹣1）递增，在（﹣1，0）递减，在（0，+∞）递增，而f（﹣2）＝，f（﹣1）＝，f（0）＝1＜f（﹣2），故m＞时，f（x）的图象与直线y＝m的公共点个数是1个，m＝时，f（x）的图象与直线y＝m的公共点个数是2个，1＜m＜时，f（x）的图象与直线y＝m的公共点个数是3个，m＝1时，f（x）的图象与直线y＝m的公共点个数是2个，≤m＜1时，f（x）的图象与直线y＝m的公共点个数是1个；m＜时，f（x）的图象与直线y＝m的公共点个数是0个．21．（12分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ＝2，曲线C的方程为y2＝2px（p＞0）．（Ⅰ）设t为l参数，若，求直线l的参数方程；（Ⅱ）直线与曲线C交于P，Q，设M（﹣2，﹣4），且|PQ|2＝|MP|•|MQ|，求实数p的值．【解答】解：（I）直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ＝2，利用互化公式可得直角坐标方程：x﹣y﹣2＝0．设t为l参数，若，可得直线l经过点（﹣2，﹣4），斜率为1．∴直线l的参数方程为．（II）把直线l的参数方程代入曲线C的方程y2＝2px（p＞0）．可得：t2﹣（8+2p）t+32+8p＝0．设MP＝t1，MQ＝t2．则t1+t2＝8+2p，t1•t2＝32+8p．|PQ|2＝＝﹣4t1t2，|MP|•|MQ|＝t1•t2．∵|PQ|2＝|MP|•|MQ|，∴﹣4t1t2＝t1•t2．即＝5t1t2．∴＝5（32+8p），化为：4+p＝5，解得p＝1．22．（12分）已知函数f（x）＝ln（1+x）（x＞0），g（x）＝．（Ⅰ）求f（x）在x＝0处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）＞g（x）对x∈（0，+∞）恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）n∈N*时，比较与f（n）的大小并证明．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝ln（1+x）的导数为f′（x）＝，可得f（x）在x＝0处的切线斜率为1，切点为（0，0），即有f（x）在x＝0处的切线方程为y＝x；（Ⅱ）若f（x）＞g（x）对x∈（0，+∞）恒成立，即为ln（1+x）﹣＞0在x＞0恒成立，即有a＜在x＞0恒成立，设h（x）＝﹣2＝，x＞0，由m（x）＝（x+2）ln（x+1）﹣2x的导数为m′（x）＝ln（x+1）+﹣2＝ln（x+1）﹣，x＞0，由n（x）＝ln（x+1）﹣，x＞0，可得n′（x）＝﹣＝＞0，可得n（x）在（0，+∞）递增，即有n（x）＞n（0）＝0，则m′（x）＞0，m（x）在m（x）在（0，+∞）递增，即有m（x）＞m（0）＝0，即有h（x）＞0恒成立，即＞2在x＞0恒成立，则a的范围是（﹣∞，2]；（Ⅲ）由u（x）＝lnx+的定义域为（0，+∞），令v（x）＝lnx+﹣1，则v′（x）＝﹣＝＞0，∴v（x）在（0，+∞）为增函数，当x＞1时，v（x）＞v（1）＝0，即u（x）＞1；当0＜x＜1时，v（x）＜v（1）＝0，即u（x）＞1，当x＝1时，v（x）＝v（1）＝0，即u（1）＝1，当x＞1时，lnx+＞1，即lnx＞，令x＝，k∈N*，即ln ＞＝，∴ln （n +1）＝ln +ln +…+ln ＞++…+，即ln 2﹣ln 1+ln 3﹣ln 2+…+ln （1+n ）﹣lnn ＞++…+，即有ln （n +1）＞++…+，（n ∈N *），又＝a （++…+），f （n ）＝ln （1+n ）， 当0≤a ≤1时，即有＜f （n ）；当a ＜0时，＜f （n ）；当a ＞1时，与f （n ）的大小关系不确定．。
2017-2018学年四川省宜宾三中高二(上)期中数学试卷(理科)
2017-2018学年四川省宜宾三中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求）.1．（5分）椭圆2x2+y2=6的焦点坐标是（）A．（±，0）B．（0，±）C．（±3，0）D．（0，±3）2．（5分）已知直线l：x﹣y+1=0，则直线l的倾斜角是（）A．B．C．D．3．（5分）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．外切C．相交D．外离4．（5分）若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为12，则M到y轴的距离是（）A．9B．11C．8D．105．（5分）直线（a+2）x+（1﹣a）y﹣3=0与（a﹣1）x+（2a+3）y+2=0互相垂直，则a的值为（）A．﹣1B．1C．±1D．6．（5分）直线3x+4y﹣3=0与直线6x+my+14=0平行，则它们的距离为（）A．B．2C．D．87．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（）A．B．C．D．8．（5分）已知双曲线C：，直线l：y=2x﹣2．若直线l平行于双曲线C的一条渐近线且经过C的一个顶点，则b=（）A．1B．2C．D．49．（5分）直线l过点P（1，3），且与x、y轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是（）A．3x+y﹣6=0B．x+3y﹣10=0C．3x﹣y=0D．x﹣3y+8=0 10．（5分）直线y=x+b与曲线x=有且仅有一个公共点，则b的取值范围是（）A．|b|=B．﹣1＜b≤1或b=﹣C．﹣1≤b≤D．0＜b≤1或b=11．（5分）设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D．若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于（）A．B．C．D．12．（5分）已知直线l：x+y﹣6=0和圆M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0，点A在直线l 上，若直线AC与圆M至少有一个公共点C，且∠MAC=30°，则点A的横坐标的取值范围是（）A．（0，5）B．[1，5]C．[1，3]D．（0，3]二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（1，﹣3，4）关于xOy平面对称的点的坐标是．14．（5分）直线2x﹣y﹣1=0被圆（x﹣2）2+（y+2）2=9截得的弦长为．15．（5分）以抛物线C：y2=4x的焦点为一个顶点，另外两个顶点在抛物线C上的正三角形的边长为．16．（5分）已知椭圆C1：和等轴双曲线C2有公共的焦点F1，F2，P为C2的渐近线上一点，若存在两条互相垂直的直线过点P且与椭圆C1相切，则△PF1F2的面积为．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．17．（10分）已知点A（2，﹣3）和B（﹣2，﹣5）（I）求AB的中垂线方程；（II）圆心在直线x﹣2y﹣3=0上的圆经过A、B两点，求该圆的方程．18．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线过双曲线的左顶点．（I）求C的方程；（II）不过原点O的直线交C于M、N两点，且OM⊥ON，求实数m的值．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=AA1=1，D是棱AA1上的点，DC1⊥BD．（Ⅰ）求证：D为AA1中点；（Ⅱ）求直线BC1与平面BDC所成角正弦值大小．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点（1，）在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为，求直线l的方程．21．（12分）已知正三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，AB=2，，点D为AC的中点，点E在线段AA1上（I）当AE：EA1=1：2时，求证：DE⊥BC1；（Ⅱ）是否存在点E，使二面角D﹣BE﹣A等于60°若存在求AE的长；若不存在，请说明理由．22．（12分）设圆x2+y2+4x﹣20=0的圆心为A，过点B（2，0）且与x轴不重合的直线l交圆A于C、D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（I）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（II）对直线x=m上任意一点T，过A作TA的垂线交E的轨迹于P，Q两点，都有OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）．①求实数m的值；②当最小时，求点T的坐标．2017-2018学年四川省宜宾三中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求）.1．（5分）椭圆2x2+y2=6的焦点坐标是（）A．（±，0）B．（0，±）C．（±3，0）D．（0，±3）【分析】根据题意，将椭圆的方程变形为标准方程，分析可得其焦点位置以及c 的值，由焦点坐标公式即可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆2x2+y2=6的标准方程为+=1，其焦点在y轴上，且c==，则其焦点坐标为（0，±），故选：B．【点评】本题考查椭圆的标准方程，注意将椭圆的方程变形为标准方程．2．（5分）已知直线l：x﹣y+1=0，则直线l的倾斜角是（）A．B．C．D．【分析】求出直线的斜率．然后求解直线的倾斜角．【解答】解：直线x﹣y+1=0的斜率为：，直线的倾斜角为α，则tanα=，∴α=．故选：C．【点评】本题考查直线的斜率与直线的倾斜角的关系，基本知识的考查．3．（5分）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．外切C．相交D．外离【分析】由两圆的方程可得圆心坐标及其半径，判断圆心距与两圆的半径和差的关系即可得出．【解答】解：圆C（x+2）2+y2=4的圆心C（﹣2，0），半径r=2；圆M（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心M（2，1），半径R=3．∴|CM|==，R﹣r=3﹣2=1，R+r=3+2=5．∴R﹣r＜＜R+r．∴两圆相交．故选：C．【点评】本题考查了判断两圆的位置关系的方法，属于基础题．4．（5分）若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为12，则M到y轴的距离是（）A．9B．11C．8D．10【分析】利用抛物线的性质转化得出M到准线x=﹣1的距离为12，故到y轴的距离为11．【解答】解：抛物线的准线为x=﹣1，∵点M到焦点的距离为12，∴点M到准线x=﹣1的距离为12，∴点M到y轴的距离为11．故选：B．【点评】本题考查了抛物线的性质，抛物线的定义的应用，属于基础题．5．（5分）直线（a+2）x+（1﹣a）y﹣3=0与（a﹣1）x+（2a+3）y+2=0互相垂直，则a的值为（）A．﹣1B．1C．±1D．【分析】根据两条直线垂直的充要条件可得：（a+2）（a﹣1）+（1﹣a）（2a+3）=0，从而可求a的值【解答】解：由题意，∵直线（a+2）x+（1﹣a）y﹣3=0与（a﹣1）x+（2a+3）y+2=0互相垂直∴（a+2）（a﹣1）+（1﹣a）（2a+3）=0∴（a﹣1）（a+2﹣2a﹣3）=0∴（a﹣1）（a+1）=0∴a=1，或a=﹣1故选：C．【点评】本题以直线为载体，考查两条直线的垂直关系，解题的关键是利用两条直线垂直的充要条件．6．（5分）直线3x+4y﹣3=0与直线6x+my+14=0平行，则它们的距离为（）A．B．2C．D．8【分析】直线3x+4y﹣3=0与直线6x+my+14=0平行，可得﹣=﹣，解得m．再利用平行线之间的距离公式即可得出．【解答】解：直线3x+4y﹣3=0与直线6x+my+14=0平行，∴﹣=﹣，解得m=8．∴直线6x+8y+14=0化为：3x+4y+7=0．∴它们的距离==2．故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质及其之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（）A．B．C．D．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．【解答】解：取BC的中点G．连接GC1∥FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则∠OEH为异面直线所成的角．在△OEH中，OE=，HE=，OH=．由余弦定理，可得cos∠OEH=．故选：B．【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及余弦定理的应用，属于基础题．8．（5分）已知双曲线C：，直线l：y=2x﹣2．若直线l平行于双曲线C的一条渐近线且经过C的一个顶点，则b=（）A．1B．2C．D．4【分析】根据题意，由双曲线的方程分析可得双曲线的焦点位置以及渐近线方程，由直线l的方程可得其与x轴交点的坐标，分析可得a的值，又由直线l平行于双曲线C的一条渐近线，可得=2，解可得b的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：，其焦点在x轴上，其渐近线方程为：y=±x，直线l：y=2x﹣2与x轴交点为（1，0），则双曲线的一个顶点为（1，0），即a=1，若直线l平行于双曲线C的一条渐近线，则有=2，又由a=1，则b=2；故选：B．【点评】本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线渐近线方程的求法，注意双曲线顶点坐标公式．9．（5分）直线l过点P（1，3），且与x、y轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是（）A．3x+y﹣6=0B．x+3y﹣10=0C．3x﹣y=0D．x﹣3y+8=0【分析】设所求的直线方程为：．由于过点P（1，3）且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积等于6，列出方程组，解得a，b即可．【解答】解：设所求的直线方程为：．∵过点P（1，3）且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积等于6，∴，解得a=2，b=6．故所求的直线方程为：3x+y﹣6=0．故选：A．【点评】本题考查了直线与直线的位置关系、交点求法、相互平行与垂直的直线与斜率之间的关系、三角形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，属于基础题．10．（5分）直线y=x+b与曲线x=有且仅有一个公共点，则b的取值范围是（）A．|b|=B．﹣1＜b≤1或b=﹣C．﹣1≤b≤D．0＜b≤1或b=【分析】把曲线方程整理后可知其图象为半圆，进而画出图象来，要使直线与曲线有且仅有一个交点，那么很容易从图上看出其三个极端情况分别是：直线在第四象限与曲线相切，交曲线于（0，﹣1）和另一个点，及与曲线交于点（0，1），分别求出b，则b的范围可得．【解答】解：曲线x=有即x2+y2=1 （x≥0），表示一个半圆（单位圆位于x轴及x轴右侧的部分）．如图，A（0，1）、B（1，0）、C（0，﹣1），当直线y=x+b经过点A时，1=0+b，求得b=1；当直线y=x+b经过点B、点C时，0=1+b，求得b=﹣1；当直线y=x+b和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可得1=，求得b=﹣，或b=（舍去），故要求的实数b的范围为﹣1＜b≤1或b=﹣，故选：B．【点评】本题主要考查了直线与圆相交的性质．对于此类问题除了用联立方程转化为方程的根的问题之外，也可用数形结合的方法较为直观．11．（5分）设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D．若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于（）A．B．C．D．【分析】根据条件分别求出A，B，D的坐标，利用AD⊥F1B，建立方程关系即可得到结论【解答】解：不妨假设椭圆中的a=1，则F1（﹣c，0），F2（c，0），当x=c时，由+=1得y==b2，即A（c，b2），B（c，﹣b2），设D（0，m），∵F1，D，B三点共线，∴=，解得m=﹣，即D（0，﹣），∴若AD⊥F1B，则k AD•k F1B=﹣1，即=﹣1，即3b4=4c2，则b2=2c=（1﹣c2）=2c，即c2+2c﹣=0，解得c==，则c==，∵a=1，∴离心率e==，故选：B．【点评】本题主要考查椭圆离心率的求解，根据条件求出对应点的坐标，利用直线垂直与斜率之间的关系是解决本题的关键，运算量较大．为了方便，可以先确定一个参数的值．12．（5分）已知直线l：x+y﹣6=0和圆M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0，点A在直线l 上，若直线AC与圆M至少有一个公共点C，且∠MAC=30°，则点A的横坐标的取值范围是（）A．（0，5）B．[1，5]C．[1，3]D．（0，3]【分析】设点A的坐标为（x0，6﹣x0），圆心M到直线AC的距离为d，则d=|AM|sin30°，由直线AC与⊙M有交点，知d=|AM|sin30°≤2，由此能求出点A的横坐标的取值范围．【解答】解：如图，设点A的坐标为（x0，6﹣x0），圆心M到直线AC的距离为d，则d=|AM|sin30°，∵直线AC与⊙M有交点，∴d=|AM|sin30°≤2，∴（x0﹣1）2+（5﹣x0）2≤16，∴1≤x0≤5，故选：B．【点评】本题考查直线和圆的方程的综合运用，是基础题．解题时要认真审题，注意数形结合思想的灵活运用．二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（1，﹣3，4）关于xOy平面对称的点的坐标是（1，﹣3，﹣4）．【分析】直接根据关于谁对称谁不变这一结论直接写结论即可．【解答】解：在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（1，﹣3，4）关于xOy平面对称的点的坐标是：（1，﹣3，﹣4）．故答案为：（1，﹣3，﹣4）．【点评】本题考查空间向量的坐标的概念，向量的坐标表示，空间点的对称点的坐标的求法，记住某些结论性的东西将有利于解题．空间直角坐标系中任一点P（a，b，c）关于坐标平面xOy的对称点为P4（a，b，﹣c）；关于坐标平面yOz的对称点为P5（﹣a，b，c）；关于坐标平面xOz的对称点为P6（a，﹣b，c）．14．（5分）直线2x﹣y﹣1=0被圆（x﹣2）2+（y+2）2=9截得的弦长为4．【分析】求出已知圆的圆心，半径r．利用点到直线的距离公式，算出圆心到直线直线l的距离d，由垂径定理加以计算，可得直线2x﹣y+1=0被圆截得的弦长．【解答】解：圆（x﹣2）2+（y+2）2=9的半径为3，圆心坐标为（2，﹣2），则圆心到直线的距离d==，则弦长的一半为==2，则直线2x﹣y﹣1=0被圆（x﹣2）2+（y+2）2=9截得的弦长为为4，故答案为：4【点评】本题给出直线与圆的方程，求直线被圆截得的弦长，着重考查点到直线的距离公式、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．15．（5分）以抛物线C：y2=4x的焦点为一个顶点，另外两个顶点在抛物线C上的正三角形的边长为8+4或8﹣4．【分析】根据题意，设正三角形为ABC，其边长为t，且A在焦点处，求出抛物线焦点的坐标，分析可得B的坐标，将B的坐标代入抛物线方程，求出t的值即可得答案．【解答】解：根据题意，设正三角形为ABC，其边长为t，且A在焦点处，抛物线C：y2=4x的焦点为（1，0），即A（1，0），则B的坐标为（1+t，t）或（1﹣t，t），将B（1+t，t）代入抛物线的方程可得：（t）2=4（1+t），解可得t=8+4，将B（1﹣t，t）代入抛物线的方程可得：（t）2=4（1﹣t），解可得t=8﹣4，故正三角形的边长为8+4或8﹣4，故答案为：8+4或8﹣4．【点评】本题考查抛物线的几何性质，注意另外两个顶点必须关于x轴上下对称．16．（5分）已知椭圆C1：和等轴双曲线C2有公共的焦点F1，F2，P为C2的渐近线上一点，若存在两条互相垂直的直线过点P且与椭圆C1相切，则△PF1F2的面积为4．【分析】根据椭圆的方程，求得双曲线的方程及渐近线方程，由椭圆的切线的性质，直线的P1P2方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，即可求得P点坐标，根据三角形的面积公式，即可求得△PF1F2的面积．【解答】解：由椭圆C1：的焦点F（±2，0），由c=2，则等轴双曲线C2：，则双曲线的渐近线方程为：y=±x，设P（a，a），a＞0，若P0（x0，y0）在椭圆（a＞b＞0）外，则过P0作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是；∴直线的P1P2方程，即y=﹣x，设P1（x1，y1），P2（x2，y2），将直线的P1P2方程代入椭圆方程整理得：x2﹣x+=0，则x1+x2=，x1x2=，则y1+y2=（﹣x1）+（﹣x1）=，y1y2=（﹣x1）（﹣x1）=﹣（x1+x2）+x1x2=，直线PP1的斜率k1=，k2=，由k1×k2=﹣1，即×=﹣1，即y1y2﹣a（y1+y2）+a2+x1x2﹣a（x1+x2）+a2=0，整理得：2a4﹣11a2+12=0，解得：a2=4，则a=2，△PF1F2的面积S=×2c×2=4，∴△PF1F2的面积4，故答案为：4．【点评】本题考查椭圆的性质，椭圆的切线方程的应用，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及直线斜率公式的应用，考查转化思想，考查计算能力，属于难题．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．17．（10分）已知点A（2，﹣3）和B（﹣2，﹣5）（I）求AB的中垂线方程；（II）圆心在直线x﹣2y﹣3=0上的圆经过A、B两点，求该圆的方程．【分析】（I）由中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，再由点斜式方程即可得到所求方程；（II）圆心在直线x﹣2y﹣3=0上的圆经过A、B两点，设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，（r＞0），分别代入A，B的坐标，以及（a，b）代入直线x﹣2y ﹣3=0，可得a，b，r的方程组，解方程即可得到所求圆的方程．【解答】解：（I）A（2，﹣3）和B（﹣2，﹣5），可得AB的中点为（0，﹣4），直线AB的斜率为=，则AB的中垂线的斜率为﹣2，即有AB的中垂线方程为y+4=2（x﹣0），即为2x﹣y﹣4=0；（II）圆心在直线x﹣2y﹣3=0上的圆经过A、B两点，设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，（r＞0），则，解得a=﹣1，b=﹣2，r=，可得圆的方程为（x+1）2+（y+2）2=10．【点评】本题考查直线的中垂线方程的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查圆的方程的求法，注意运用待定系数法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线过双曲线的左顶点．（I）求C的方程；（II）不过原点O的直线交C于M、N两点，且OM⊥ON，求实数m的值．【分析】（Ⅰ）根据双曲线的性质可抛物线的定义即可求出，（Ⅱ）将直线方程，代入抛物线的方程，运用韦达定理和抛物线的定义，即可得到所求值【解答】解：（Ⅰ）双曲线的左顶点为（﹣1，0），∴﹣=﹣1，∴p=2，∴y2=4x，（Ⅱ）设M（x1，y1）N（x2，y2）由，消x整理可得y2﹣8y+8m=0，∴y1y2=8m，y1+y2=8，∴x1x2=（2y1﹣2m）（2y2﹣2m）=4[y1y2﹣m（y1+y2）+m2]=4（8m﹣8m+m2）=4m2，∵OM⊥ON，∴•=x1x2+y1y2=4m2+8m=0，解得m=0（舍去），m=﹣2【点评】本题考查抛物线的定义和方程、性质的运用，考查直线和抛物线的方程联立，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=AA1=1，D是棱AA1上的点，DC1⊥BD．（Ⅰ）求证：D为AA1中点；（Ⅱ）求直线BC1与平面BDC所成角正弦值大小．【分析】（Ⅰ）由已知可得AC，BC，CC1两两互相垂直，分别CA、CB、CC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，结合DC1⊥BD，利用向量垂直的坐标运算求得D的竖坐标，可得D为AA1的中点；（Ⅱ）求出面BDC的法向量，利用向量法能求出直线BC1与平面BDC所成角正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）由已知可得AC，BC，CC1两两互相垂直，分别以CA、CB、CC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，∵AC=BC=AA1=1，D是棱AA1上的点，∴D（1，0，h），C1（0，0，2），B（0，1，0），B1（0，1，2），∴=（﹣1，0，2﹣h），=（1，﹣1，h），∵DC1⊥BD，∴，得﹣1+h（2﹣h）=0，解得h=1，∴D为AA1的中点；解：（Ⅱ）=（0，﹣1，2），设面BDC的一个法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，﹣1），设直线BC1与平面BDC所成角为θ，则sinθ===．∴直线BC1与平面BDC所成角正弦值大小为．【点评】本题考查空间中直线与直线的位置关系，训练了利用空间向量求解线面角，是中档题．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点（1，）在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为，求直线l的方程．【分析】（1）由题意可设椭圆的标准方程，并求出椭圆两个焦点的坐标，又点（1，）在椭圆C上，利用椭圆定义可求出长轴长，从而求出椭圆C的方程；（2）为避免讨论可设过F1的直线l的方程为x=ty﹣1，和椭圆方程联立后化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求出直线和椭圆两个交点纵坐标的和与积，△AF2B的面积就是=，由此求出t的值，则直线l的方程可求．【解答】解：（1）由题意可设椭圆C的方程为（a＞b＞0），由|F1F2|=2得c=1，∴F1（﹣1，0），F2（1，0），又点（1，）在椭圆C上，∴，a=2．则b2=a2﹣c2=4﹣1=3．∴椭圆C的方程为；（2）如图，设直线l的方程为x=ty﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），把x=ty﹣1代入，得：（3t2+4）y2﹣6ty﹣9=0，∴==，∴，解得：（舍）或t2=1，t=±1．故所求直线方程为：x±y+1=0．【点评】本题考查了利用定义求椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，采用了设而不求的数学方法，该题把直线l的方程设为x=ty﹣1，避免了讨论直线斜率存在和不存在的情况，此题属中档题．21．（12分）已知正三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，AB=2，，点D为AC的中点，点E在线段AA1上（I）当AE：EA1=1：2时，求证：DE⊥BC1；（Ⅱ）是否存在点E，使二面角D﹣BE﹣A等于60°若存在求AE的长；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由D为正三角形ABC的中点，得到BD⊥AC，再由两面垂直的性质得到BD⊥面ACC1A1，继而BD⊥DE，在平面ACC1A1中利用解三角形求出∠ADE与∠CDC1的值，从而得到ED⊥DC1，则由ED⊥面BDC1，则DE⊥BC1；（Ⅱ）假设存在点E，使二面角D﹣BE﹣A等于60°，设出AE的长度，利用二面角的两个半平面的法向量所成角为60°求出h的值，若h的值在[0，]内则说明点E存在，否则不存在．【解答】解：（Ⅰ）证明：如图，连结DC1，因为ABC﹣A1B1C1为正三棱柱，所以△ABC为正三角形，又因为D为AC的中点，所以BD⊥AC，又平面ABC⊥平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1，所以BD⊥DE．因为AE：EA 1=1：2，AB=1，，所以，AD=1，所以在Rt△ADE中，∠ADE=30°，在Rt△DCC1中，，所以，即ED⊥DC1，所以ED⊥平面BDC1，又BC1⊂面BDC1，所以ED⊥BC1．（Ⅱ）解：存在点E，使二面角D﹣BE﹣A等于60°．事实上，假设存在点E满足条件，设AE=h．取A1C1的中点D1，连结DD1，则DD1⊥平面ABC，所以DD1⊥AD，DD1⊥BD，分别以DA、DB、DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，则A（1，0，0），B（0，，0），E（1，0，h），所以，，，．设平面DBE的一个法向量为，则，，令z1=1，得x1=﹣h，所以，再设平面ABE的一个法向量为，则，，令y 2=1，得，所以．所以=．解得．故存在点E，当AE=时，二面角D﹣BE﹣A等于60°．【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了二面角的平面角及其求法，训练了存在性问题的求解方法，对于存在性问题，在假设结论成立的前提下进行推理，得到与已知的条件，公理、定理等相符的式子，则假设成立，否则不成立．此题是中档题．22．（12分）设圆x2+y2+4x﹣20=0的圆心为A，过点B（2，0）且与x轴不重合的直线l交圆A于C、D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（I）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（II）对直线x=m上任意一点T，过A作TA的垂线交E的轨迹于P，Q两点，都有OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）．①求实数m的值；②当最小时，求点T的坐标．【分析】（I）求得圆心及半径，根据三角形相似，即可求得，|AD|=|AC|=2，∴|DE|=|BE|，|则|EA|+|EB|=2，根据椭圆的定义及方程，即可求得点E 的轨迹方程；（II）设P，Q点坐标，设PQ的方程，即可求得TA的方程，代入即可求得T点坐标，求得|TA|，联立方程，利用韦达定理及弦长公式，根据斜率公式，即可求得m的值，利用基本不等式的性质，即可求得最小时．【解答】解：（I）圆x2+y2+4x﹣20=0的标准方程为：（x+2）2+y2=24，圆心为A（﹣2，0），半径为2，∵BE∥AC，∴△BDE∽△CAD，∴=，∵|AD|=|AC|=2，∴|DE|=|BE|，|EA|+|EB|=2，故|EA|+|EB|=2是定值，由A（﹣2，0），B（2，0），a=，c=2，∴点E的轨迹方程，（y≠0）；（II）①设P（x1，y1），Q（x2，y2），线段PQ的中点为M（x0，y0）．直线PQ的方程为：y=k（x+2），直线TA的方程为：y=﹣（x+2）．T（m，﹣），|TA|=．联立，化为：（1+3k2）x2+12k2x+12k2﹣6=0．∴x1+x2=﹣，x1x2=．∴x0=﹣，y0=k（x0+2）=．∴=﹣=﹣，解得：m=﹣3．②∴|TA|=．|PQ|==．∴=≥=，当且仅当|k|=，即k=±1时取等号．∴点T的坐标（﹣3，±1）．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、中点坐标公式、弦长公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2017-2018学年高二下学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．复数z1=（m2﹣2m+3）+（m2﹣m+2）i（m∈R），z2=6+8i，则m=3是z1=z2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除3．定积分（x2+sinx）dx的值为（）A． +B．﹣C．﹣D． +4．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则复数z的共轭复数是（）A． i B．﹣ i C．3i D．﹣3i5．求曲线y2=4x与直线y=x所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积（）A．B．πC．πD．24π6．若复数z满足|z+3+i|=，则|z|的最大值为（）A．3+B． +C． +D．37．已知=（）A．f′（x0）B．f′（x）C．2f′（x）D．﹣f′（x）8．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表．十六进制01234567十进制01234567十六进制89A B C D E F十进制89101112131415例如，用十六进制表示E+D=1B，则A×C=（）A．6E B．78 C．5F D．C09．利用数学归纳法证明不等式+++…+＞时，由k递推到k+1时，不等式左边应添加的式子是（）A．B． +C．﹣D． +﹣10．设函数f（x）=x3+x2+，其中θ∈（﹣，），则导数f′（1）的取值范围是（）A．（﹣，1] B．（﹣，1）C．（﹣，） D．（﹣，]11．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且 f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）12．若函数f（x）的导函数f′（x）=x2﹣3x﹣10，则函数f（1﹣x）的单调递增区间是（）A．（，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣4，3）D．（﹣∞，﹣4）和（3，+∞）二、填空题（每小题5分，共20分）13．计算： +（3+i17）﹣= ．14．在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则=+，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC 上的高为h，则．15．过点（1，0）且与曲线y=相切的直线的方程为．16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx，（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为3，则a的值为．三、解答题（17题10分，其它每题12分）17．已知复数z+i，均为实数，且在复平面内，（z+ai）2的对应点在第四象限内，求实数a的取值范围．18．设函数f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值﹣，求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．19．设数列{an }的前n项和为Sn，且关于x的方程x2﹣anx﹣an=0有一根为Sn﹣1．（1）求出S1，S2，S3；（2）猜想{Sn}的通项公式，并用数学归纳法证明．20．设铁路AB长为100，BC⊥AB，且BC=30，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x 的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4．（1）将总运费y表示为x的函数；（2）如何选点M才使总运费最小．21．在两个正数a，b之间插入一个数x，可使得a，x，b成等差数列，若插入两个数y，z，可使得a，y，z，b成等比数列，求证：x+1≥．22．设函数f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）（x＞0），曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0．（1）求证：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；（2）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．复数z1=（m2﹣2m+3）+（m2﹣m+2）i（m∈R），z2=6+8i，则m=3是z1=z2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由z1=z2，可得：m2﹣2m+3=6，m2﹣m+2=8，解得m，即可判断出结论．【解答】解：由z1=z2，可得：m2﹣2m+3=6，m2﹣m+2=8，解得m=3．∴m=3是z1=z2的充要条件．故选：C．2．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设 a，b都不能被3整除．【解答】解：反证法证明命题时，应假设命题的反面成立．“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设 a，b都不能被3整除，故选 B．3．定积分（x2+sinx）dx的值为（）A． +B．﹣C．﹣D． +【考点】67：定积分．【分析】根据定积分的运算，即可求得答案．【解答】解：（x2+sinx）dx=（x3﹣cosx）=（﹣）﹣（0﹣1）=+，（x2+sinx）dx=+，故选B．4．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则复数z的共轭复数是（）A． i B．﹣ i C．3i D．﹣3i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简z=，结合已知条件列出方程组，求解可得a的值，然后代入z=化简求出复数z，则复数z的共轭复数可求．【解答】解：∵z===是纯虚数，∴，解得a=6．∴z==．则复数z的共轭复数是：﹣3i．故选：D．5．求曲线y2=4x与直线y=x所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积（）A．B．πC．πD．24π【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用定积分求体积．【解答】解：解方程组得x=4，y=4．∴几何体的体积V=π（4x﹣x2）dx=π•（2x2﹣）|=．故选B．6．若复数z满足|z+3+i|=，则|z|的最大值为（）A．3+B． +C． +D．3【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由|z+3+i|=的几何意义，即复平面内的动点Z到定点P（﹣3，﹣1）的距离为画出图形，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+i|=的几何意义，复平面内的动点Z到定点P（﹣3，﹣1）的距离为，可作图象如图：∴|z|的最大值为|OP|+=．故选：B．7．已知=（）A．f′（x0）B．f′（x）C．2f′（x）D．﹣f′（x）【考点】6F：极限及其运算．【分析】化简，根据极限的运算，即可求得答案．【解答】解：==+=2f′（x），∴=2f′（x），故选C．8．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表．十六进制01234567十进制01234567十六进制89A B C D E F十进制89101112131415例如，用十六进制表示E+D=1B，则A×C=（）A．6E B．78 C．5F D．C0【考点】EM：进位制．【分析】本题需先根据十进制求出A与C的乘积，再把结果转化成十六进制即可．【解答】解：∵A×C=10×12=120，∴根据16进制120可表示为78．故选：B．9．利用数学归纳法证明不等式+++…+＞时，由k递推到k+1时，不等式左边应添加的式子是（）A．B． +C．﹣D． +﹣【考点】RG：数学归纳法．【分析】只须求出当n=k时，左边的代数式，当n=k+1时，左边的代数式，相减可得结果．【解答】解：当n=k时，左边的代数式为，当n=k+1时，左边的代数式为，故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为：，故选：D．10．设函数f（x）=x3+x2+，其中θ∈（﹣，），则导数f′（1）的取值范围是（）A．（﹣，1] B．（﹣，1）C．（﹣，） D．（﹣，]【考点】63：导数的运算．【分析】求导，当x=1时，f′（1）=+=sin（θ+），由θ∈（﹣，），即可求得θ+∈（﹣，），根据正弦函数的性质，即可求得导数f′（1）的取值范围．【解答】解：f（x）=x3+x2+，f′（x）=x2+x，f′（1）=+=sin（θ+），由θ∈（﹣，），则θ+∈（﹣，），则sin（θ+）∈（﹣，1]，∴导数f′（1）的取值范围（﹣，1]，故选A．11．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且 f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】设g（x）=，根据函数的单调性和函数的奇偶性求出不等式的解集即可．【解答】解：设g（x）=，∴g′（x）=，∵当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，∴当x＞0时，g′（x）＞0∴g（x）在（0，+∞）递增，∵f（﹣x）=f（x），∴g（﹣x）==﹣g（x），∴g（x）是奇函数，∴g（x）在（﹣∞，0）递增，∵f（2）=0∴g（2）==0，当x＞0时，f（x）＜0等价于＜0，∴g（x）＜0=g（2），∴0＜x＜2，当x＜0时，f（x）＜0等价于＞0，∴g（x）＞0=g（﹣2），∴﹣2＜x＜0，不等式f（x）＜0的解集为（﹣2，0）∪（0，2），故选：C．12．若函数f（x）的导函数f′（x）=x2﹣3x﹣10，则函数f（1﹣x）的单调递增区间是（）A．（，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣4，3）D．（﹣∞，﹣4）和（3，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由f′（x）＜0求出f（x）的减区间，利用对称性求得f（﹣x）的增区间，再由平移变换可得函数f（1﹣x）的单调递增区间．【解答】解：由f′（x）=x2﹣3x﹣10＜0，得﹣2＜x＜5，∴函数f（x）的减区间为（﹣2，5），则函数y=f（﹣x）的增区间为（﹣5，2），而f（1﹣x）=f[﹣（x﹣1）]是把函数y=f（﹣x）向右平移1个单位得到的，∴函数f（1﹣x）的单调递增区间是（﹣4，3）．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．计算： +（3+i17）﹣= 4+2i ．【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数的运算法则分别计算即可．【解答】解：原式=+（3+i）﹣=+3+i﹣i10=i+3+i+1=4+2i；故答案为：4+2i．14．在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则=+，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC 上的高为h，则+．【考点】F3：类比推理．【分析】立体几何中的类比推理主要是基本元素之间的类比：平面⇔空间，点⇔点或直线，直线⇔直线或平面，平面图形⇔平面图形或立体图形，故本题由平面上的直角三角形中的边与高的关系式类比立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系即可．【解答】解：∵PA、PB、PC两两互相垂直，∴PA⊥平面PBC．设PD在平面PBC内部，且PD⊥BC，由已知有：PD=，h=PO=，∴，即．故答案为：．15．过点（1，0）且与曲线y=相切的直线的方程为4x+y﹣4=0 ．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出切点坐标，利用导数求出过切点的切线方程，再把已知点代入，求出切点横坐标，则切线方程可求．【解答】解：设切点为（），由y=，得y′=，∴，则切线方程为y﹣，把点（1，0）代入，可得，解得．∴切线方程为y﹣2=﹣4（x﹣），即4x+y﹣4=0．故答案为：4x+y﹣4=0．16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx，（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为3，则a的值为．【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】题目中给出了函数图象与x轴围成的封闭图形的面积，所以我们可以从定积分着手，求出函数以及函数与x轴的交点，建立等式求解参数．【解答】解：由已知对方程求导，得：f′（x）=3x2+2ax+b．由题意直线y=0在原点处与函数图象相切，故f′（0）=0，代入方程可得b=0．故方程可以继续化简为：f（x）=x3+ax2=x2（x+a），令f（x）=0，可得x=0或者x=﹣a，可以得到图象与x轴交点为（0，0），（﹣a，0），由图得知a＜0．故对﹣f（x）从0到﹣a求定积分即为所求面积，即：﹣a f（x）dx=3，﹣∫将 f（x）=x3+ax2代入得：﹣a（﹣x3﹣ax2）dx=3，∫求解，得a=﹣．故答案为：﹣．三、解答题（17题10分，其它每题12分）17．已知复数z+i，均为实数，且在复平面内，（z+ai）2的对应点在第四象限内，求实数a的取值范围．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】复数z+i，均为实数，可设z=x﹣i， =﹣i，可得﹣=0，z=﹣2﹣i．在复平面内，（z+ai）2=4﹣（a﹣1）2﹣4（a﹣1）i的对应点在第四象限内，可得4﹣（a﹣1）2＞0，﹣4（a﹣1）＜0，解出即可得出．【解答】解：∵复数z+i，均为实数，设z=x﹣i， ==﹣i，∴﹣ =0，∴x=﹣2．∴z=﹣2﹣i．∵在复平面内，（z+ai）2=[﹣2+（a﹣1）i]2=4﹣（a﹣1）2﹣4（a﹣1）i的对应点在第四象限内，∴4﹣（a﹣1）2＞0，﹣4（a﹣1）＜0，解得：1＜a＜3．∴实数a的取值范围是（1，3）．18．设函数f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值﹣，求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出f′（x）=x2﹣（3a+2）x+6a，由函数f（x）在x=1处取得极值﹣，列出方程组，能求出a，b．（2）由f′（x）=x2﹣3x+2，利用导数性质能求出函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）∵f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R，∴f′（x）=x2﹣（3a+2）x+6a，∵函数f（x）在x=1处取得极值﹣，∴，解得a=，b=﹣1．（2）由（1）得f（x）=﹣+2x﹣1，∴f′（x）=x2﹣3x+2，由f′（x）=x2﹣3x+2＞0，得x＞2或x＜1，∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1]，[2，+∞）．19．设数列{an }的前n项和为Sn，且关于x的方程x2﹣anx﹣an=0有一根为Sn﹣1．（1）求出S1，S2，S3；（2）猜想{Sn}的通项公式，并用数学归纳法证明．【考点】RG：数学归纳法；8E：数列的求和．【分析】（1）由题设求出S1=，S2=．S3=．（2）由此猜想Sn=，n=1，2，3，…．然后用数学归纳法证明这个结论．【解答】解：（1）当n=1时，x2﹣a1x﹣a1=0有一根为S1﹣1=a1﹣1，于是（a1﹣1）2﹣a1（a1﹣1）﹣a1=0，解得a1=．当n=2时，x2﹣a2x﹣a2=0有一根为S2﹣1=a2﹣，于是（a2﹣）2﹣a2（a2﹣）﹣a2=0，解得a2=由题设（Sn ﹣1）2﹣an（Sn﹣1）﹣an=0，Sn 2﹣2Sn+1﹣anSn=0．当n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1，代入上式得Sn﹣1Sn﹣2Sn+1=0．①得S1=a1=，S2=a1+a2=+=．由①可得S3=．（2）由（1）猜想Sn=，n=1，2，3，…．下面用数学归纳法证明这个结论．（i）n=1时已知结论成立．（ii）假设n=k时结论成立，即Sk=，当n=k+1时，由①得Sk+1=，可得Sk+1=，故n=k+1时结论也成立．综上，由（i）、（ii）可知Sn=对所有正整数n都成立．20．设铁路AB长为100，BC⊥AB，且BC=30，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x 的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4．（1）将总运费y表示为x的函数；（2）如何选点M才使总运费最小．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）由题意，AB=100，BC⊥AB，BC=30，BM=x，则AM=100﹣x．MC=，可得总运费y表示为x的函数；（2）根据（1）中的关系式，利用导函数单调性，可得最值．【解答】解：（1）由题意，AB=100，BC⊥AB，BC=30，BM=x，则AM=100﹣x．MC=，∴总运费y=2×+4×MC=200﹣2x+4，．（2）由（1）可得y=200﹣2x+4，．则y′=﹣2+4××令y′=0．可得：2=4x，解得：x=10．当时，y′＜0，则y在当单调递减．当时，y′＞0，则y在单调递增．∴当x=10时，y取得最大值为200+60．∴选点M距离B点时才使总运费最小．21．在两个正数a，b之间插入一个数x，可使得a，x，b成等差数列，若插入两个数y，z，可使得a，y，z，b成等比数列，求证：x+1≥．【考点】8G：等比数列的性质．【分析】y，z为正数，可得≤，要证明x+1≥．（x＞0）．只要证明：2x≥y+z即可．根据a，x，b成等差数列，a，y，z，b成等比数列，a，b＞0．可得2x=a+b，，z=．令=m＞0， =n＞0，可得2x≥y+z⇔m3+n3≥m2n+mn2⇔（m﹣n）2≥0，【解答】证明：∵y，z为正数，∴≤，要证明x+1≥．（x＞0）．只要证明：2x≥y+z即可．∵a，x，b成等差数列，a，y，z，b成等比数列，a，b＞0，∴2x=a+b，，z=．令=m＞0， =n＞0，则2x≥y+z⇔m3+n3≥m2n+mn2．⇔（m﹣n）2≥0，上式显然成立，因此：x+1≥．22．设函数f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）（x＞0），曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0．（1）求证：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；（2）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）由题意求得a=1，得到函数解析式，构造函数g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1）．利用导数可得函数在[1，+∞）上为增函数，可得g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥（x﹣1）2；（2）设h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，求其导函数，结合（1）放缩可得h′（x）≥3（x﹣1）﹣2m（x﹣1）=（x﹣1）（3﹣2m）．然后对m分类讨论求解．【解答】（1）证明：由f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1），得f′（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）=2axlnx+ax ﹣1．∵曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0，∴a﹣1=0，得a=1．则f（x）=x2lnx﹣x+1．设g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1）．g′（x）=2xlnx﹣x+1，g″（x）=2lnx+1＞0，∴g′（x）在[1，+∞）上为增函数，∴g′（x）≥g′（1）=0，则g（x）在[1，+∞）上为增函数，∴g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥（x﹣1）2；（2）解：设h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，h′（x）=2xlnx+x﹣2m（x﹣1）﹣1，由（1）知，x2lnx≥（x﹣1）2+x﹣1=x（x﹣1），∴xlnx≥x﹣1，则h′（x）≥3（x﹣1）﹣2m（x﹣1）=（x﹣1）（3﹣2m）．①当3﹣2m≥0，即m时，h′（x）≥0，h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（1）=0成立；②当3﹣2m＜0，即m＞时，h′（x）=2xlnx+（1﹣2m）（x﹣1），h″（x）=2lnx+3﹣2m．令h″（x）=0，得＞1，∴当x∈[1，x）时，h′（x）＜h′（1）=0，）上单调递减，则h（x）＜h（1）=0，不合题意．∴h（x）在[1，x综上，m．。