高考数学文(北师大版)大一轮总复习练习：2-11-2导数与函数的极值、最值(含答案解析)
2021届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第十一节第2课时导数与函数的极值最值课件文北师大版
当0<a<2时，可知2－a＋2a73 单调递减， 所以M－m的取值范围是287，2. 当2≤a<3时，2a73 单调递增， 所以M－m的取值范围是287，1. 综上，M－m的取值范围是287，2.
[破题技法] 1.求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a，b)内的极值； (2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)； (3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个 为最小值． 2．若f(x)在(a，b)内只有一个极值，则该极值为最值．
[破题技法] 1.利用导数研究函数极值的一般步骤 (1)确定函数定义域； (2)求导数f′(x)及f′(x)＝0的根； (3)根据方程f′(x)＝0的根将函数定义域分成若干区间，列出表格，检查导函数f′(x) 零点左右f′(x)的值的符号，如果左正右负，那么y＝f(x)在这个根处取极大值，如 果左负右正，那么y＝f(x)在这个根处取极小值．如果左右不改变符号，那么f(x) 在这个根处无极值． 2．判断极值点的个数 首先确定导数的零点的个数，再根据极值的定义，确定零点是否为极值点．
考点二 利用导数求函数的最值问题 挖掘 含参数的函数的最值/ 互动探究 [例] (2019·高考全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋2. (1)讨论f(x)的单调性； (2)当0<a<3时，记f(x)在区间[0，1]的最大值为M，最小值为m，求M－m的取值范 围． [解析] (1)f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)． 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝a3. 若a>0，则当x∈(－∞，0)∪a3，＋∞时，f′(x)>0，
当x∈(－∞，＋∞)时，g′(x)≥0，g(x)单调递增，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调
北师大版高考数学一轮复习统考第3章导数及其应用第3讲导数与函数的极值最值课件
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解析 8答案
3．(2019·岳阳模拟)函数 f(x)＝ln x－x 在区间(0，e]上的最大值为( )
A．1－e
B．－1
C．－e
D．0
解析 因为 f′(x)＝1x－1＝1－x x，当 x∈(0,1)时，f′(x)>0；当 x∈(1， e]时，f′(x)<0，所以当 x＝1 时，f(x)取得最大值 ln 1－1＝－1.故选 B．
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5
1．对于可导函数 f(x)，f′(x0)＝0 是函数 f(x)在 x＝x0 处有极值的必要 不充分条件．
2．若函数 f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一 定是函数的最值点．
3．极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极 值．
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12解析
2
PART TWO
核心考向突破
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13
精准设计考向，多角度探究突破
考向一 导数与函数的极值
角度 1 知图判断函数极值情况
例 1 (2019·浙江杭州二中 6 月热身考)如图，可知导函数 y＝f(x)在点
P(x0，f(x0))处的切线为 l：y＝g(x)，设 h(x)＝f(x)－g(x)，则下列说法正确的 是( )
的极小值；
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3
(2)函数的极大值与极大值点 若函数 f(x)在点 x＝b 处的函数值 f(b)比它在点 x＝b 附近其他点的函数
值□04 ___都__大___，且 f′(b)＝0，而且在 x＝b 附近的左侧□05 ____f_′(_x_)＞__0_____， 右侧□06 ___f′_(x_)_＜__0____，则点 b 叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大
高考高考数学一轮复习 第13讲导数与函数的极值最值及实际应用知能训练轻松闯关理北师大
第13讲导数与函数的极值、最值及实际应用1．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是()A ．y ＝x 3B ．y ＝ln(－x )C ．y ＝x e －xD ．y ＝x ＋2x解析：选D.由题可知，B 、C 选项中的函数不是奇函数，A 选项中，函数y ＝x 3单调递增(无极值)，而D 选项中的函数既为奇函数又存在极值．故选D. 2．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为()A.12 B ．1 C ．0D ．不存在解析：选A.f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x，且x >0.令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0<x <1.所以f (x )在x ＝1处取得最小值，且f (1)＝12－ln1＝12.3．已知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d 有极值，则c 的取值范围为()A ．c <14B ．c ≤14C ．c ≥14D ．c >14解析：选A.由题意得f ′(x )＝x 2－x ＋c ，若函数f (x )有极值，则Δ＝1－4c >0，解得c <14.4．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为() A ．13万件 B ．11万件 C ．9万件 D ．7万件解析：选C.因为y ′＝－x 2＋81，所以当x >9时，y ′<0；当0<x <9时，y ′>0.所以函数y ＝－13x 3＋81x －234在(9，＋∞)上递减，在(0，9)上递增，所以x ＝9是该函数的极大值点，又该函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以该函数在x ＝9处取得最大值． 5．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是() A ．(－∞，0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．(0，1) D ．(0，＋∞)解析：选B.因为f (x )＝x (ln x －ax )，所以f ′(x )＝ln x －2ax ＋1，由题可知f ′(x )在(0，＋∞)上有两个不同的零点，令f ′(x )＝0，则2a ＝ln x ＋1x ，令g (x )＝ln x ＋1x，则g ′(x )＝－ln x x2，所以g (x )在(0，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，又因为当x 从右边趋近于0时，g (x )→－∞，当x →＋∞时，g (x )→0，而g (x )max ＝g (1)＝1，所以只需0<2a <1⇒0<a <12.6．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1，1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值为() A ．－13 B ．－15 C ．10 D ．15解析：选A.f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，因为函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，所以－12＋4a ＝0，解得a ＝3，所以f ′(x )＝－3x 2＋6x ，f (x )＝－x 3＋3x 2－4.易知f ′(n )＝－3n 2＋6n ，f (m )＝－m 3＋3m 2－4，又m ，n ∈[－1，1]，所以当n ＝－1时，f ′(n )最小，为－9；又f ′(m )＝－3m 2＋6m ，令f ′(m )＝0得m ＝0或m ＝2，所以当m ＝0时，f (m )最小，为－4.故f (m )＋f ′(n )的最小值为－4＋(－9)＝－13，故选A. 7．函数y ＝2x －1x2的极大值是________．解析：y ′＝2＋2x3，令y ′＝0，得x ＝－1.当x ＜－1时，y ′＞0；当－1<x <0时，y ′＜0. 所以当x ＝－1时，y 取极大值－3. 答案：－38．设x 1，x 2是函数f (x )＝x 3－2ax 2＋a 2x 的两个极值点，若x 1<2<x 2，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2的两个零点x 1，x 2满足x 1<2<x 2，所以f ′(2)＝12－8a ＋a 2<0，解得2<a <6. 答案：(2，6)9．函数f (x )＝x sin x ＋cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π上的最大值为________． 解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，所以f ′(x )＝0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π上的解为x ＝π2.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝π12＋32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π2，f (π)＝－1，所以函数f (x )＝x sin x ＋cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π上的最大值为π2.答案：π210．设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，则实数a 的取值范围为________．解析：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－ax －b ，则f ′(1)＝0，得b ＝1－a .所以f ′(x )＝1x －ax ＋a －1＝－ax 2＋1＋ax －xx.①若a ≥0，当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )递增；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )递减，所以x ＝1是f (x )的极大值点．②若a <0，由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1a ，因为x ＝1是f (x )的极大值点，所以－1a>1，解得－1<a <0.综合①②得a 的取值范围是a >－1. 答案：(－1，＋∞)11．已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上是递增的．若a ＞0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0.所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上是递增的，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞上是递减的．(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值； 当a ＞0时，f (x )在x ＝1a处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上是递增的，g (1)＝0. 于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，a 的取值范围是(0，1)． 12．已知函数f (x )＝13x 3－ax ＋1.(1)当x ＝1时，f (x )取得极值，求a 的值； (2)求f (x )在[0，1]上的最小值；(3)若对任意m ∈R ，直线y ＝－x ＋m 都不是曲线y ＝f (x )的切线，求a 的取值范围．解：(1)因为f ′(x )＝x 2－a ，当x ＝1时，f (x )取得极值，所以f ′(1)＝1－a ＝0，a ＝1， 又x ∈(－1，1)时，f ′(x )<0，x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，即a ＝1时符合题意． (2)当a ≤0时，f ′(x )>0对x ∈(0，1)恒成立，所以f (x )在(0，1)上递增，所以f (x )在x ＝0处取得最小值f (0)＝1.当a >0时，令f ′(x )＝x 2－a ＝0，解得x 1＝－a ，x 2＝a ， 当0<a <1时，a <1，当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，f (x )是递减的； 当x ∈(a ，1)时，f ′(x )>0，f (x )是递增的，所以f (x )在x ＝a 处取得最小值f (a )＝1－2a a3.当a ≥1时，a ≥1.x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，f (x )是递减的，所以f (x )在x ＝1处取得最小值f (1)＝43－a .综上所述，当a ≤0时，f (x )在x ＝0处取得最小值f (0)＝1； 当0<a <1时，f (x )在x ＝a 处取得最小值f (a )＝1－2a a3；当a ≥1时，f (x )在x ＝1处取得最小值f (1)＝43－a .(3)因为∀m ∈R ，直线y ＝－x ＋m 都不是曲线y ＝f (x )的切线，所以f ′(x )＝x 2－a ≠－1对x ∈R 恒成立，只要f ′(x )＝x 2－a 的最小值大于－1即可．而f ′(x )＝x 2－a 的最小值为－a ， 所以－a >－1，即a <1.1．一列电力机车每小时电的消耗费用与机车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20km/h 时，每小时消耗的电价值40元，其他费用每小时需400元，机车的最高速度为100km/h ，机车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？ 解：设机车的速度为x km/h ，甲、乙两城距离为a km. 由题意，令40＝k ·203，所以k ＝1200，则总费用f (x )＝(kx 3＋400)·a x＝a ⎝⎛⎭⎪⎫kx 2＋400x ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1200x 2＋400x (0<x ≤100)．由f ′(x )＝a （x 3－40 000）100x2＝0，得x ＝2035. 当0<x <2035时，f ′(x )<0；当2035<x ≤100时，f ′(x )>0.所以当x ＝2035时，f (x )取最小值，即速度为2035km/h 时，总费用最少． 2．已知函数f (x )＝exax 2＋x ＋1，其中a ∈R .(1)当a ＝0时，求函数f (x )的定义域和极值；(2)当a ＝1时，试确定函数g (x )＝f (x )－1的零点个数，并证明． 解：(1)当a ＝0时，函数f (x )＝exx ＋1，其定义域为{x |x ∈R ，且x ≠－1}，f ′(x )＝x e x（x ＋1）2.令f ′(x )＝0，得x ＝0.当x 变化时，f (x )和f ′(x )的变化情况如下：所以()的递减区间为(－∞，－1)，(－1，0)； 递增区间为(0，＋∞)．故当x ＝0时，函数f (x )有极小值f (0)＝1. (2)结论：函数g (x )存在两个零点． 证明过程如下：由题意得函数g (x )＝exx 2＋x ＋1－1.因为x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0，所以函数g (x )的定义域为R .又g ′(x )＝e x（x 2＋x ＋1）－e x （2x ＋1）（x 2＋x ＋1）2＝e xx （x －1）（x 2＋x ＋1）2，令g ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝1，当x 变化时，g (x )和g ′(x )的变化情况如下：故函数()的递减区间为(0，1)；递增区间为(－∞，0)，(1，＋∞)．当x ＝0时，函数g (x )有极大值g (0)＝0； 当x ＝1时，函数g (x )有极小值g (1)＝e3－1.因为函数g (x )在(－∞，0)上是递增的，且g (0)＝0， 所以对于任意x ∈(－∞，0)，g (x )≠0.因为函数g (x )在(0，1)上是递减的，且g (0)＝0， 所以对于任意x ∈(0，1)，g (x )≠0. 因为函数g (x )在(1，＋∞)上是递增的， 且g (1)＝e3－1<0，g (2)＝e27－1>0，所以函数g (x )在(1，＋∞)上存在唯一x 0，使得g (x 0)＝0， 故函数g (x )存在两个零点，即0和x 0.。
2023届高考数学一轮复习作业利用导数研究函数的极值最值北师大版
利用导数研究函数的极值、最值一、选择题1．函数y＝在[0，2]上的最大值是( )A． B． C．0 D．A [易知y′＝，x∈[0，2]，令y′＞0，得0≤x＜1，令y′＜0，得1＜x≤2，所以函数y＝在[0，1]上单调递增，在(1，2]上单调递减，所以y＝在[0，2]上的最大值是y max＝，故选A．]2．(2021·宁波质检)下列四个函数中，在x＝0处取得极值的函数是( )①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝x3－3x2；④y＝2x．A．①② B．①③ C．③④ D．②③D [对于①，y′＝3x2≥0，故①不是；对于②，y′＝2x，当x＞0时，y′＞0，当x＜0时，y′＜0，当x＝0时，y′＝0，故②是；对于③，y′＝3x2－6x＝3x(x－2)，当x＜0时，y′＞0，当0＜x＜2时，y′＜0，当x ＝0时，y′＝0，故③是；对于④，由y＝2x的图像知，④不是．故选D．]3．如图是函数y＝f (x)的导函数y＝f ′(x)的图像，给出下列命题：①－3是函数y＝f (x)的极小值点；②－1是函数y＝f (x)的极小值点；③y＝f (x)在x＝0处的切线的斜率小于零；④y＝f (x)在区间(－3，1)上单调递增．则正确命题的序号是( )A．①④ B．①② C．②③ D．③④A [由图可知x＜－3时，f ′(x)＜0，x∈(－3，1)时f ′(x)＞0，∴－3是f (x)的极小值点，①正确；又x∈(－3，1)时f ′(x)≥0，∴f (x)在区间(－3，1)上单调递增，故②不正确，④正确．∵函数y＝f (x)在x＝0处的导数大于0，∴y＝f (x)在x＝0处的切线的斜率大于0．∴③不正确．故选A．]4．若x＝1是函数f (x)＝ax＋ln x的极值点，则( )A．f (x)有极大值－1B．f (x)有极小值－1C．f (x)有极大值0D．f (x)有极小值0A [∵f (x)＝ax＋ln x，x＞0，∴f ′(x)＝a＋，由f ′(1)＝0得a＝－1，∴f ′(x)＝－1＋＝．由f ′(x)＞0得0＜x＜1，由f ′(x)＜0得x＞1，∴f (x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．∴f (x)极大值＝f (1)＝－1，无极小值，故选A．]5．已知f (x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值是( )A．－37 B．－29 C．－5 D．以上都不对A [∵f ′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，∴f (x)在(－2，0)上单调递增，在(0，2)上单调递减，∴x＝0为极大值点，也为最大值点，∴f (0)＝m＝3，∴m＝3．∴f (－2)＝－37，f (2)＝－5．∴最小值是－37．故选A．]6．已知函数f (x)＝x3＋3x2－9x＋1，若f (x)在区间[k，2]上的最大值为28，则实数k的取值范围为( )A．[－3，＋∞)B．(－3，＋∞)C．(－∞，－3)D．(－∞，－3]D [由题意知f ′(x)＝3x2＋6x－9，令f ′(x)＝0，解得x＝1或x＝－3，所以f ′(x)，f (x)随x的变化情况如下表：x(－∞，－3)－3(－3，1)1(1，＋∞)f ′(x)＋0－0＋f (x)↗极大值↘极小值↗又f (－3)＝28，f (1)＝－4，f (2)＝3，f (x)在区间[k，2]上的最大值为28，所以k≤－3．]二、填空题7．设a∈R，若函数y＝e x＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________．(－∞，－1) [∵y＝e x＋ax，∴y′＝e x＋a．∵函数y＝e x＋ax有大于零的极值点，则方程y′＝e x＋a＝0有大于零的解，∵x＞0时，－e x＜－1，∴a＝－e x＜－1．]8．已知函数f (x)＝ln x－ax存在最大值0，则a＝________． [f ′(x)＝－a，x＞0．当a≤0时，f ′(x)＝－a＞0恒成立，函数f (x)单调递增，不存在最大值；当a＞0时，令f ′(x)＝－a＝0，解得x＝．当0＜x＜时，f ′(x)＞0，函数f (x)单调递增；当x＞时，f ′(x)＜0，函数f (x)单调递减．∴f (x)max＝f ＝ln －1＝0，解得a＝．]9．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．3 [设圆柱的底面半径为R，母线长为l，则V＝πR2l＝27π，∴l＝，要使用料最省，只需使圆柱的侧面积与下底面面积之和S最小．由题意，S＝πR2＋2πRl＝πR2＋2π·．∴S′＝2πR－，令S′＝0，得R＝3，根据单调性得当R＝3时，S最小．]三、解答题10．(2021·北京高考)已知函数f (x)＝．(1)若a＝0，求y＝f (x)在(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x)在x＝－1处取得极值，求f (x)的单调区间，以及最大值和最小值．[解] (1)当a＝0时，f (x)＝，则f ′(x)＝．当x＝1时，f (1)＝1，f ′(1)＝－4，故y＝f (x)在(1，f (1))处的切线方程为y－1＝－4(x－1)，整理得y＝－4x＋5．(2)已知函数f (x)＝，则f ′(x)＝．若函数f (x)在x＝－1处取得极值，令f ′(－1)＝0，则＝0，解得a＝4．经检验，当a＝4时，x＝－1为函数f (x)的极大值，符合题意．此时f (x)＝，函数定义域为R，f ′(x)＝，令f ′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝4．f (x)，f ′(x)随x的变化趋势如下表：x(－∞，－1)－1(－1，4)4(4，＋∞)f ′(x)＋0－0＋f (x)↗极大值↘极小值↗故函数单调递增区间为(－∞，－1)，(4，＋∞)，单调递减区间为(－1，4)．极大值为f (－1)＝1，极小值为f (4)＝－．又因为x＜时，f (x)＞0；x＞时，f (x)＜0，所以函数f (x)的最大值为f (－1)＝1，最小值为f (4)＝－．11．在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v(米/单位时间)，每单位时间的用氧量为＋1(升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9(升)，返回水面的平均速度为(米/单位时间)，每单位时间用氧量为1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y(升)．(1)求y关于v的函数关系式；(2)若c≤v≤15(c＞0)，求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少．[解] (1)由题意，下潜用时(单位时间)，用氧量为×＝＋(升)，水底作业时的用氧量为10×0.9＝9(升)，返回水面用时＝(单位时间)，用氧量为×1.5＝(升)，因此总用氧量y ＝＋＋9(v＞0)．(2)y′＝－＝，令y′＝0得v＝10，当0＜v＜10时，y′＜0，函数单调递减；当v＞10时，y′＞0，函数单调递增．若c＜10，函数在(c，10)上单调递减，在(10，15)上单调递增，∴当v＝10时，总用氧量最少．若c≥10，则y在[c，15]上单调递增，∴当v＝c时，这时总用氧量最少．1．函数f (x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3，2]上的任意x1，x2，都有|f (x1)－f (x2)|≤t，则实数t的最小值是( )A．20 B．18 C．3 D．0A [原命题等价于对于区间[－3，2]上的任意x，都有f (x)max－f (x)min≤t，∵f ′(x)＝3x2－3，∴当x∈[－3，－1]时，f ′(x)＞0，当x∈[－1，1]时，f ′(x)＜0，当x∈[1，2]时，f ′(x)＞0．∴f (x)max＝f (2)＝f (－1)＝1，f (x)min＝f (－3)＝－19．∴f (x)max－f (x)min＝20，∴t≥20．即t的最小值为20．故选A．]2．若x＝－2是函数f (x)＝(x2＋ax－1)e x－1的极值点，则f (x)的极小值为( )A．－1 B．－2e－3 C．5e－3 D．1A [f ′(x)＝(2x＋a)e x－1＋(x2＋ax－1)e x－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]e x－1．∵x＝－2是f (x)的极值点，∴f ′(－2)＝0，即(4－2a－4＋a－1)e－3＝0，得a＝－1．∴f (x)＝(x2－x－1)e x－1，f ′(x)＝(x2＋x－2)e x－1．由f ′(x)＞0，得x＜－2或x＞1；由f ′(x)＜0，得－2＜x＜1．∴f (x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴f (x)的极小值点为1，∴f (x)的极小值为f (1)＝－1．]3．已知函数f (x)＝a ln x＋(a＞0)．(1)求函数f (x)的单调区间和极值；(2)是否存在实数a，使得函数f (x)在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．[解] 由题意，知函数的定义域为{x|x＞0}，f ′(x)＝－(a＞0)．(1)由f ′(x)＞0解得x＞，所以函数f (x)的单调递增区间是；由f ′(x)＜0解得x＜，所以函数f (x)的单调递减区间是．所以当x＝时，函数f (x)有极小值f ＝a ln ＋a＝a－a ln a，无极大值．(2)不存在．理由如下：由(1)可知，当x∈时，函数f (x)单调递减；当x∈时，函数f (x)单调递增．①若0＜≤1，即a≥1时，函数f (x)在[1，e]上为增函数，故函数f (x)的最小值为f (1)＝a ln 1＋1＝1，显然1≠0，故不满足条件．②若1＜≤e，即≤a＜1时，函数f (x)在上为减函数，在上为增函数，故函数f (x)的最小值为f (x)的极小值f ＝a ln ＋a＝a－a ln a＝a(1－ln a)＝0，即ln a＝1，解得a＝e，而≤a＜1，故不满足条件．③若＞e，即0＜a＜时，函数f (x)在[1，e]上为减函数，故函数f (x)的最小值为f(e)＝a＋＝0，解得a＝－，而0＜a＜，故不满足条件．综上所述，这样的a不存在．1．若函数f (x)＝x3－3ax在区间(－1，2)上仅有一个极值点，则实数a的取值范围为________．[1，4) [因为f ′(x)＝3(x2－a)，所以当a≤0时，f ′(x)≥0在R上恒成立，所以f (x)在R上单调递增，f (x)没有极值点，不符合题意； 当a＞0时，令f ′(x)＝0得x＝±，当x变化时，f ′(x)与f (x)的变化情况如下表所示：x(－∞，－)－(－，)(，＋∞)f ′(x)＋0－0＋f (x)↗极大值↘极小值↗因为函数f (x)在区间(－1，2)上仅有一个极值点，所以或解得1≤a＜4．]2．已知函数f (x)＝2sin x＋sin 2x，则f (x)的最小值是________．－ [∵f (x)的最小正周期T＝2π，∴求f (x)的最小值相当于求f (x)在[0，2π]上的最小值．f ′(x)＝2cos x＋2cos 2x＝2cos x＋2(2cos2x－1)＝4cos2x＋2cos x－2＝2(2cos x－1)(cos x＋1)．令f ′(x)＝0，解得cos x＝或cos x＝－1，x∈[0，2π]．∴由cos x＝－1，得x＝π；由cos x＝，得x＝π或x＝．∵函数的最值只能在导数值为0的点或区间端点处取到，f (π)＝2sin π＋sin 2π＝0，f ＝2sin ＋sin ＝，f ＝－，f (0)＝0，f (2π)＝0，∴f (x)的最小值为－．]3．(2019·全国卷Ⅲ)已知函数f (x)＝2x3－ax2＋b．(1)讨论f (x)的单调性；(2)是否存在a，b，使得f (x)在区间[0，1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由．[解] (1)f ′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．令f ′(x)＝0，得x＝0或x＝．若a＞0，则当x∈(－∞，0)∪时，f ′(x)＞0；当x∈时，f ′(x)＜0．故f (x)在(－∞，0)，单调递增，在单调递减．若a＝0，f (x)在(－∞，＋∞)单调递增．若a＜0，则当x∈∪(0，＋∞)时，f ′(x)＞0；当x∈时，f ′(x)＜0．故f (x)在，(0，＋∞)单调递增，在单调递减．(2)满足题设条件的a，b存在．①当a≤0时，由(1)知，f (x)在[0，1]单调递增，所以f (x)在区间[0，1]的最小值为f (0)＝b，最大值为f (1)＝2－a＋b．此时a，b满足题设条件当且仅当b＝－1，2－a＋b＝1，即a＝0，b＝－1．②当a≥3时，由(1)知，f (x)在[0，1]单调递减，所以f (x)在区间[0，1]的最大值为f (0)＝b，最小值为f (1)＝2－a＋b．此时a，b满足题设条件当且仅当2－a＋b＝－1，b＝1，即a＝4，b＝1．③当0＜a＜3时，由(1)知，f (x)在[0，1]的最小值为f ＝－＋b，最大值为b或2－a＋b．若－＋b＝－1，b＝1，则a＝3，与0＜a＜3矛盾．若－＋b＝－1，2－a＋b＝1，则a＝3或a＝－3或a＝0，与0＜a＜3矛盾．综上，当且仅当a＝0，b＝－1或a＝4，b＝1时，f (x)在[0，1]的最小值为－1，最大值为1．。
高考数学一轮复习第2章第12节导数与函数的极值最值教师用书文北师大版3
学习资料汇编第十二节导数与函数的极值、最值[考纲传真] 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．1．导数与函数的极值(1)函数的极大值与导数的关系增加减少(2)减少增加(1)求函数y＝f (x)在(a，b)内的极值．(2)将函数y＝f (x)的各极值与f (a)，f (b)比较，最大的为最大值，最小的为最小值．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的极大值一定比极小值大．( )(2)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0为极值点的充要条件．( ) (3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( ) (4)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图像如图2121所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内极小值点的个数为( )【导学号：66482113】图2121A ．1B ．2C ．3D ．4A [导函数f ′(x )的图像与x 轴的交点中，左侧图像在x 轴下方，右侧图像在x 轴上方的只有一个，所以f (x )在区间(a ，b )内有一个极小值点．]3．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件C [y ′＝－x 2＋81，令y ′＝0得x ＝9或x ＝－9(舍去)． 当x ∈(0,9)时，y ′＞0，当x ∈(9，＋∞)时，y ′＜0， 则当x ＝9时，y 有最大值．即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．]4．(2016·四川高考)已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝( ) A ．－4 B ．－2 C ．4D ．2D [由题意得f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0得x ＝±2，∴当x <－2或x >2时，f ′(x )>0；当－2<x <2时，f ′(x )<0，∴f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．∴f (x )在x ＝2处取得极小值，∴a ＝2.]5．函数y ＝2x 3－2x 2在区间[－1,2]上的最大值是________． 8 [y ′＝6x 2－4x ，令y ′＝0， 得x ＝0或x ＝23.∵f (－1)＝－4，f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－827， f (2)＝8，∴最大值为8.]☞角度1设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图像如图2122所示，则下列结论中一定成立的是( )图2122A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)D [由题图可知，当x ＜－2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．]☞角度2 求函数的极值求函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )的极值．[解] 由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x ＞0知：(1)当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值；5分(2)当a ＞0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .又当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，9分从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值. 12分☞角度3 已知极值求参数(1)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )【导学号：66482114】A ．(－∞，0)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．(0,1)D ．(0，＋∞)(2)(2016·广东肇庆三模)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，若x ＝－3是函数f (x )的一个极值点，则实数a ＝________.(1)B (2)5 [(1)∵f (x )＝x (ln x －ax )， ∴f ′(x )＝ln x －2ax ＋1，故f ′(x )在(0，＋∞)上有两个不同的零点， 令f ′(x )＝0，则2a ＝ln x ＋1x，设g (x )＝ln x ＋1x ，则g ′(x )＝－ln x x2， ∴g (x )在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减，又∵当x →0时，g (x )→－∞，当x →＋∞时，g (x )→0， 而g (x )max ＝g (1)＝1， ∴只需0＜2a ＜1⇒0＜a ＜12.(2)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由题意知x ＝－3为方程3x 2＋2ax ＋3＝0的根，∴3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，解得a ＝5.][规律方法] 利用导数研究函数极值的一般流程(2017·郑州模拟)已知函数f (x)＝(x－k)e x.(1)求f (x)的单调区间；(2)求f (x)在区间[0,1]上的最小值．[解](1)由f (x)＝(x－k)e x，得f ′(x)＝(x－k＋1)e x，令f ′(x)＝0，得x＝k－1. 2分f (x)与f ′(x)的变化情况如下：递减递增(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f (x)在[0,1]上递增，所以f (x)在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k，7分当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，由(1)知f (x)在[0，k－1)上递减，在(k－1,1]上递增，所以f (x)在区间[0,1]上的最小值为f (k－1)＝－e k－1.当k－1≥1，即k≥2时，函数f (x)在[0,1]上递减，所以f (x)在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k)e. 10分综上可知，当k≤1时，f (x)min＝－k；当1＜k＜2时，f (x)min＝－e k－1；当k≥2时，f (x)min＝(1－k)e. 12分[规律方法]求函数f (x)在[a，b]上的最大值、最小值的步骤：(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a)，f (b)；(3)将函数f (x )的极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值． [变式训练1] (2017·石家庄质检(二))若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，若t ＝ab ，则t 的最大值为( )【导学号：66482115】A ．2B ．3C ．6D ．9D [f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，则f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，a ＋b ＝6，又a ＞0，b ＞0，则t ＝ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，故选D.]某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．[解] (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2. 5分(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润为f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋x －2＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6. 7分从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)， 于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得，x ＝4时，函数f (x )取得极大值，也是最大值，9分 所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大. 12分 [规律方法] 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)设自变量、因变量，建立函数关系式y ＝f (x )，并确定其定义域； (2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答．[变式训练2] 某品牌电动汽车的耗电量y 与速度x 之间有关系y ＝13x 3－392x 2－40x (x＞0)，为使耗电量最小，则速度应定为________.【导学号：66482116】40 [由y ′＝x 2－39x －40＝0， 得x ＝－1或x ＝40， 由于0＜x ＜40时，y ′＜0；x ＞40时，y ′＞0.所以当x ＝40时，y 有最小值．][思想与方法]1．可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同．2．求闭区间上可导函数的最值时，对函数的极值是极大值还是极小值可不作判断，直接与端点的函数值比较即可．3．如果目标函数在定义区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点．4．若函数f (x )在定义域A 上存在最大值与最小值，则： (1)对任意x ∈A ，f (x )＞0⇔f (x )min ＞0； (2)存在x ∈A ，f (x )＞0⇔f (x )max ＞0. [易错与防范]1．求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能．2．导数为零的点不一定是极值点．对含参数的求极值问题，应注意分类讨论．3．若函数y＝f (x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f (x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．4．利用导数解决实际生活中的优化问题，要注意问题的实际意义．敬请批评指正。
2021版高考文科数学(北师大版)一轮复习教师用书：第三章 第3讲 导数与函数的极值、最值 Word版含答案
第3讲导数与函数的极值、最值一、知识梳理1．函数的极值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)<0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．[提醒](1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点．(2)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值．(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系．2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上是增加的，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上是减少的，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．[提醒]极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值．常用结论记住两个结论(1)若函数在开区间(a，b)内的极值点只有一个，则相应极值点为函数最值点．(2)若函数在闭区间[a，b]的最值点不是端点，则最值点亦为极值点．二、教材衍化1．若函数f(x)＝2x3－x2＋ax＋3在区间(－1，1)内恰有一个极值点，则实数a的取值范围为()A．(－8，－4) B．[－8，－4)C．(－8，－4] D．(－∞，－8]∪[－4，＋∞)答案：C2．函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为()A．1－e B．－1C．－e D．0答案：B一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的．()(2)导数为零的点不一定是极值点．()(3)函数的极大值不一定比极小值大．()(4)函数的极大值一定是函数的最大值．()(5)开区间上的单调连续函数无最值．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×(5)√二、易错纠偏常见误区(1)利用极值求参数时忽略对所求参数的检验；(2)混淆极值与极值点的概念；(3)连续函数在区间(a，b)上不一定存在最值．1．若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为．解析：函数f(x)＝x(x－c)2的导数为f′(x)＝3x2－4cx＋c2，由题意知，在x＝2处的导数值为12－8c＋c2＝0，解得c＝2或6，又函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，故导数在x ＝2处左侧为负，右侧为正，而当c＝6时，f(x)＝x(x－6)2在x＝2处有极大值，故c＝2.答案：22．函数g(x)＝－x2的极值点是，函数f(x)＝(x－1)3的极值点(填“存在”或“不存在”)．解析：结合函数图象可知g(x)＝－x2的极值点是x＝0.因为f′(x)＝3(x－1)2≥0，所以f′(x)＝0无变号零点，故函数f(x)＝(x－1)3不存在极值点．答案：0不存在3．函数g(x)＝x2在[1，2]上的最小值和最大值分别是，在(1，2)上的最小值和最大值均(填“存在”或“不存在”)．解析：根据函数的单调性及最值的定义可得．答案：1，4不存在函数的极值问题(多维探究) 角度一由图象判断函数的极值已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图，则下列叙述正确的是()A．函数f(x)在(－∞，－4)上是减少的B．函数f(x)在x＝2处取得极大值C．函数f(x)在x＝－4处取得极值D．函数f(x)有两个极值点【解析】由导函数的图像可得，当x≤2时，f′(x)≥0，函数f(x)是增加的；当x>2时，f′(x)<0，函数f(x)是减少的，所以函数f(x)的递减区间为(2，＋∞)，故A错误．当x ＝2时函数取得极大值，故B正确．当x＝－4时函数无极值，故C错误．只有当x＝2时函数取得极大值，故D错误．故选B.【答案】 B由图象判断函数y ＝f (x )的极值，要抓住两点：(1)由y ＝f ′(x )的图象与x 轴的交点，可得函数y ＝f (x )的可能极值点；(2)由导函数y ＝f ′(x )的图象可以看出y ＝f ′(x )的值的正负，从而可得函数y ＝f (x )的单调性，两者结合可得极值点．角度二 求已知函数的极值已知函数f (x )＝ln x ＋a －1x，求函数f (x )的极小值．【解】 f ′(x )＝1x －a －1x 2＝x －（a －1）x 2(x >0)，当a －1≤0，即a ≤1时，f ′(x )>0，函数f (x )在(0，＋∞)上是增加的，无极小值． 当a －1>0，即a >1时，由f ′(x )<0，得0<x <a －1，函数f (x )在(0，a －1)上是减少的； 由f ′(x )>0，得x >a －1，函数f (x )在(a －1，＋∞)上是增加的．f (x )极小值＝f (a －1)＝1＋ln(a －1)．综上所述，当a ≤1时，f (x )无极小值； 当a >1时，f (x )极小值＝1＋ln(a －1)．利用导数研究函数极值问题的一般流程角度三已知函数的极值求参数值(范围)设函数f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为0，求实数a 的值； (2)若f (x )在x ＝1处取得极小值，求实数a 的取值范围． 【解】 (1)因为f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ， 所以f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x . f ′(2)＝(2a －1)e 2.由题设知f ′(2)＝0，即(2a －1)e 2＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ＝(ax －1)(x －1)e x . 若a >1，则当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，1时，f ′(x )<0; 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值．若a ≤1，则当x ∈(0，1)时，ax －1≤x －1<0， 所以f ′(x )>0.所以1不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是(1，＋∞)．已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．[提醒]若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．1．(2020·咸阳市诊断测试)已知函数f(x)＝(x2－m)e x，若函数f(x)的图象在x＝1处切线的斜率为3e，则f(x)的极大值是()A．4e－2B．4e2C．e－2D．e2解析：选A.f′(x)＝(x2＋2x－m)e x.由题意知，f′(1)＝(3－m)e＝3e，所以m＝0，f′(x)＝(x2＋2x)e x.当x>0或x<－2时，f′(x)>0，f(x)是增函数；当－2<x<0时，f′(x)<0，f(x)是减函数．所以当x ＝－2时，f (x )取得极大值，f (－2)＝4e －2.故选A.2．已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1处有极值0，则a －b ＝ ． 解析：由题意得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋3a －b －1＝0，b －6a ＋3＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9，经检验当a ＝1，b ＝3时，函数f (x )在x ＝－1处无法取得极值，而a ＝2，b ＝9满足题意，故a －b ＝－7.答案：－73．已知函数f (x )＝e x (－x ＋ln x ＋a )(e 为自然对数的底数，a 为常数，且a ≤1)．判断函数f (x )在区间(1，e)内是否存在极值点，并说明理由．解：f ′(x )＝e x (ln x －x ＋1x＋a －1)，令g (x )＝ln x －x ＋1x ＋a －1，x ∈(1，e)，则f ′(x )＝e xg (x )，g ′(x )＝－x 2－x ＋1x 2<0恒成立，所以g (x )在(1，e)上是减少的，所以g (x )<g (1)＝a －1≤0，所以f ′(x )＝0在(1，e)内无解． 所以函数f (x )在区间(1，e)内无极值点．函数的最值问题(师生共研)(2020·贵阳市检测)已知函数f (x )＝x －1x－ln x .(1)求f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最大值和最小值(其中e 是自然对数的底数)． 【解】 (1)f (x )＝x －1x －ln x ＝1－1x－ln x ，f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为f ′(x )＝1x 2－1x ＝1－xx 2，所以f ′(x )＞0⇒0<x <1，f ′(x )<0⇒x ＞1，所以f (x )在(0，1)上是增加的，在(1，＋∞)上是减少的．(2)由(1)得f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，1上是增加的，在(1，e]上是减少的， 所以f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的极大值为f (1)＝1－11－ln 1＝0. 又f ⎝⎛⎭⎫1e ＝1－e －ln 1e ＝2－e ，f (e)＝1－1e －ln e ＝－1e ，且f ⎝⎛⎭⎫1e <f (e)． 所以f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最大值为0，最小值为2－e.求函数f (x )在[a ，b ]上最值的方法(1)若函数在区间[a ，b ]上是增加的或减少的，f (a )与f (b )一个为最大值，一个为最小值． (2)若函数在闭区间[a ，b ]内有极值，要先求出[a ，b ]上的极值，与f (a )，f (b )比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．(3)函数f (x )在区间(a ，b )上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．1．函数f (x )＝x 22x ＋1在⎣⎡⎦⎤－13，1上的最小值与最大值的和为( ) A.13 B.23 C ．1D ．0解析：选A.f ′(x )＝2x （2x ＋1）－2x 2（2x ＋1）2＝2x （x ＋1）（2x ＋1）2，x ∈⎣⎡⎦⎤－13，1，当f ′(x )＝0时，x ＝0；当－13≤x ≤0时，f ′(x )<0；当0<x ≤1时，f ′(x )>0，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤－13，0上是减函数，在(0，1]上是增函数．所以f (x )min ＝f (0)＝0. 又f ⎝⎛⎭⎫－13＝13，f (1)＝13. 所以f (x )的最大值与最小值的和为13.2．(2020·江西南昌模拟)已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数． (1)当a ＝－1时，求f (x )的最大值；(2)若f (x )在区间(0，e]上的最大值为－3，求a 的值． 解：(1)易知f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x ，f ′(x )＝－1＋1x ＝1－x x ，令f ′(x )＝0，得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0.所以f (x )在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数． 所以f (x )max ＝f (1)＝－1.所以当a ＝－1时，函数f (x )在(0，＋∞)上的最大值为－1. (2)f ′(x )＝a ＋1x ，x ∈(0，e]，1x ∈⎣⎡⎭⎫1e，＋∞. ①若a ≥－1e ，则f ′(x )≥0，从而f (x )在(0，e]上是增函数，所以f (x )max ＝f (e)＝a e ＋1≥0，不符合题意；②若a <－1e ，令f ′(x )>0得a ＋1x >0，结合x ∈(0，e]，解得0<x <－1a，令f ′(x )<0得a ＋1x <0，结合x ∈(0，e]，解得－1a <x ≤e.从而f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1a 上为增函数，在⎝⎛⎦⎤－1a ，e 上为减函数，所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1＋ln ⎝⎛⎭⎫－1a . 令－1＋ln ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－3，得ln ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－2， 即a ＝－e 2.因为－e 2<－1e ，所以a ＝－e 2为所求．故实数a 的值为－e 2.函数极值与最值的综合应用(师生共研)已知函数f (x )＝13x 3－ax ＋1.(1)当x ＝1时，f (x )取得极值，求a 的值； (2)求f (x )在[0，1]上的最小值；(3)若对任意m ∈R ，直线y ＝－x ＋m 都不是曲线y ＝f (x )的切线，求a 的取值范围． 【解】 (1)因为f ′(x )＝x 2－a ，当x ＝1时，f (x )取得极值，所以f ′(1)＝1－a ＝0，a ＝1， 又x ∈(－1，1)时，f ′(x )<0，x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，即a ＝1时符合题意． (2)当a ≤0时，f ′(x )>0对x ∈(0，1)恒成立，所以f (x )在(0，1)上是增加的，所以f (x )在x ＝0处取得最小值f (0)＝1. 当a >0时，令f ′(x )＝x 2－a ＝0， 解得x 1＝－a ，x 2＝a ， 当0<a <1时，a <1，当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，f (x )是减少的； 当x ∈(a ，1)时，f ′(x )>0，f (x )是增加的， 所以f (x )在x ＝a 处取得最小值f (a )＝1－2a a3.当a ≥1时，a ≥1.x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，f (x )是减少的， 所以f (x )在x ＝1处取得最小值f (1)＝43－a .综上所述，当a ≤0时，f (x )在x ＝0处取得最小值f (0)＝1；当0<a <1时，f (x )在x ＝a 处取得最小值f (a )＝1－2a a3；当a ≥1时，f (x )在x ＝1处取得最小值f (1)＝43－a .(3)因为对任意的m ∈R ，直线y ＝－x ＋m 都不是曲线y ＝f (x )的切线， 所以f ′(x )＝x 2－a ≠－1对x ∈R 恒成立， 只要f ′(x )＝x 2－a 的最小值大于－1即可． 而f ′(x )＝x 2－a 的最小值为－a ， 所以－a >－1，即a <1.解决函数极值、最值问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论． (3)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x <1，a ln x ，x ≥1.(1)求f (x )在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点； (2)求f (x )在区间[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值． 解：(1)当x <1时，f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－x (3x －2)， 令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝23，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所以当x ＝0时，函数f (x )取得极小值f (0)＝0，函数f (x )的极大值点为x ＝23.(2)①由(1)知，当－1≤x <1时，函数f (x )在[－1，0)和⎣⎡⎭⎫23，1上是减少的，在⎣⎡⎭⎫0，23上是增加的．因为f (－1)＝2，f ⎝⎛⎭⎫23＝427，f (0)＝0，所以f (x )在[－1，1)上的最大值为2. ②当1≤x ≤e 时，f (x )＝a ln x ，当a ≤0时，f (x )≤0； 当a >0时，f (x )在[1，e]上是增加的． 所以f (x )在[1，e]上的最大值为f (e)＝a .所以当a ≥2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为a ； 当a <2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为2.[基础题组练]1．函数f (x )＝2x 3＋9x 2－2在[－4，2]上的最大值和最小值分别是( ) A ．25，－2 B ．50，14 C ．50，－2D ．50，－14解析：选C.因为f (x )＝2x 3＋9x 2－2，所以f ′(x )＝6x 2＋18x ，当x ∈[－4，－3)或x ∈(0，2]时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数，当x ∈(－3，0)时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数，由f (－4)＝14，f (－3)＝25，f (0)＝－2，f (2)＝50，故函数f (x )＝2x 3＋9x 2－2在[－4，2]上的最大值和最小值分别是50，－2.2．已知函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－3，－12内是增加的； ②当x ＝－2时，函数y ＝f (x )取得极小值； ③函数y ＝f (x )在区间(－2，2)内是增加的；④当x ＝3时，函数y ＝f (x )有极小值． 则上述判断正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．①②④D ．③④解析：选B.对于①，函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－3，－12内有增有减，故①不正确； 对于②，当x ＝－2时，函数y ＝f (x )取得极小值，故②正确；对于③，当x ∈(－2，2)时，恒有f ′(x )>0，则函数y ＝f (x )在区间(－2，2)上是增加的，故③正确；对于④，当x ＝3时，f ′(x )≠0，故④不正确．3．已知函数f (x )＝2f ′(1)ln x －x ，则f (x )的极大值为( ) A ．2 B ．2ln 2－2 C ．eD ．2－e解析：选B.函数f (x )定义域(0，＋∞)，f ′(x )＝2f ′（1）x －1，所以f ′(1)＝1，f (x )＝2ln x －x ，令f ′(x )＝2x －1＝0，解得x ＝2.当0<x <2时，f ′(x )>0，当x >2时，f ′(x )<0，所以当x ＝2时函数取得极大值，极大值为2ln 2－2.4．用边长为120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四周分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱的最大容积为( )A ．120 000 cm 3B ．128 000 cm 3C ．150 000 cm 3D ．158 000 cm 3解析：选B.设水箱底长为x cm ，则高为120－x2cm.由⎩⎪⎨⎪⎧120－x 2＞0，x ＞0，得0＜x ＜120. 设容器的容积为y cm 3，则有y ＝－12x 3＋60x 2.求导数，有y ′＝－32x 2＋120x .令y ′＝0，解得x ＝80(x ＝0舍去)．当x ∈(0，80)时，y ′＞0；当x ∈(80，120)时，y ′＜0.因此，x ＝80是函数y ＝－12x 3＋60x 2的极大值点，也是最大值点，此时y ＝128 000.故选B.5．函数f (x )＝3x 2＋ln x －2x 的极值点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无数解析：选A.函数定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝6x ＋1x －2＝6x 2－2x ＋1x，由于x >0，g (x )＝6x 2－2x ＋1的Δ＝－20<0， 所以g (x )>0恒成立，故f ′(x )>0恒成立， 即f (x )在定义域上是增加的，无极值点．6．函数f (x )＝x 3－3x 2＋4在x ＝ 处取得极小值． 解析：由f ′(x )＝3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2.列表答案：27．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1.若函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为6，则实数a ＝ ；若函数在(－1，3)内既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是 ．解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6，结合题意f ′(1)＝3a ＋9＝6，解得a ＝－1；若函数在(－1，3)内既有极大值又有极小值，则f ′(x )＝0在(－1，3)内有2个不相等的实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－12（a ＋6）>0，f ′（－1）>0，f ′（3）>0，解得－337<a <－3.答案：－1 ⎝⎛⎭⎫－337，－3 8．(2020·河南驻马店模拟)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x 的极值点，则f ′(－2)＝________，f (x )的极小值为________．解析：由函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x 可得f ′(x )＝(2x ＋a )e x ＋(x 2＋ax －1)e x ，因为x ＝－2是函数f (x )的极值点，所以f ′(－2)＝(－4＋a )e －2＋(4－2a －1)e －2＝0，即－4＋a ＋3－2a ＝0，解得a ＝－1.所以f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x .令f ′(x )＝0可得x ＝－2或x ＝1.当x <－2或x >1时，f ′(x )>0，此时函数f (x )为增函数，当－2<x <1时，f ′(x )<0，此时函数f (x )为减函数，所以当x ＝1时函数f (x )取得极小值，极小值为f (1)＝(12－1－1)×e 1＝－e.答案：0 －e9．(2020·洛阳尖子生第二次联考)已知函数f (x )＝mx －nx－ln x ，m ∈R .(1)若函数f (x )的图象在(2，f (2))处的切线与直线x －y ＝0平行，求实数n 的值； (2)试讨论函数f (x )在区间[1，＋∞)上的最大值． 解：(1)由题意得f ′(x )＝n －x x 2，所以f ′(2)＝n －24.由于函数f (x )的图像在(2，f (2))处的切线与直线x －y ＝0平行，所以n －24＝1，解得n ＝6. (2)f ′(x )＝n －xx 2，令f ′(x )<0，得x >n ；令f ′(x )>0，得x <n . ①当n ≤1时，函数f (x )在[1，＋∞)上是减少的， 所以f (x )max ＝f (1)＝m －n ；②当n >1时，函数f (x )在[1，n )上是增加的，在(n ，＋∞)上是减少的，所以f (x )max ＝f (n )＝m －1－ln n .10．(2019·高考江苏卷节选)设函数f (x )＝(x －a )(x －b )·(x －c )，a ，b ，c ∈R ，f ′(x )为f (x )的导函数．(1)若a ＝b ＝c ，f (4)＝8，求a 的值；(2)若a ≠b ，b ＝c ，且f (x )和f ′(x )的零点均在集合{－3，1，3}中，求f (x )的极小值． 解：(1)因为a ＝b ＝c ，所以f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )＝(x －a )3. 因为f (4)＝8，所以(4－a )3＝8，解得a ＝2.(2)因为b ＝c ，所以f (x )＝(x －a )(x －b )2＝x 3－(a ＋2b )x 2＋b (2a ＋b )x －ab 2， 从而f ′(x )＝3(x －b )⎝⎛⎭⎫x －2a ＋b 3.令f ′(x )＝0，得x ＝b 或x ＝2a ＋b 3.因为a ，b ，2a ＋b3都在集合{－3，1，3}中，且a ≠b ，所以2a ＋b 3＝1，a ＝3，b ＝－3.此时，f (x )＝(x －3)(x ＋3)2，f ′(x )＝3(x ＋3)(x －1)． 令f ′(x )＝0，得x ＝－3或x ＝1.列表如下：[综合题组练]1．(2020·郑州质检)若函数y ＝f (x )存在n －1(n ∈N *)个极值点，则称y ＝f (x )为n 折函数，例如f (x )＝x 2为2折函数．已知函数f (x )＝(x ＋1)e x －x (x ＋2)2，则f (x )为( )A ．2折函数B ．3折函数C ．4折函数D ．5折函数解析：选C.f ′(x )＝(x ＋2)e x －(x ＋2)(3x ＋2)＝(x ＋2)·(e x －3x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝－2或e x ＝3x ＋2.易知x ＝－2是f (x )的一个极值点，又e x ＝3x ＋2，结合函数图象，y ＝e x 与y ＝3x ＋2有两个交点．又e －2≠3×(－2)＋2＝－4.所以函数y ＝f (x )有3个极值点，则f (x )为4折函数．2．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内存在最小值，则实数k 的取值范围是 ．解析：因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，又因为f ′(x )＝4x －1x ，所以由f ′(x )＝0解得x ＝12，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0，解得1≤k <32. 答案：⎣⎡⎭⎫1，32 3．已知函数f (x )＝e x ＋2x. (1)求函数f (x )在(1，f (1))处的切线方程；(2)证明：f (x )仅有唯一的极小值点．解：(1)因为f ′(x )＝e x （x －1）－2x 2， 所以k ＝f ′(1)＝－2.又因为f (1)＝e ＋2，所以切线方程为y －(e ＋2)＝－2(x －1)，即2x ＋y －e －4＝0.(2)证明：令h (x )＝e x (x －1)－2，则h ′(x )＝e x ·x ，所以x ∈(－∞，0)时，h ′(x )<0，x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )>0.当x ∈(－∞，0)时，易知h (x )<0，所以f ′(x )<0，f (x )在(－∞，0)上没有极值点．当x ∈(0，＋∞)时，因为h (1)＝－2<0，h (2)＝e 2－2>0，所以f ′(1)<0，f ′(2)>0，f (x )在(1，2)上有极小值点．又因为h (x )在(0，＋∞)上是增加的，所以f (x )仅有唯一的极小值点．4．设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x (常数a >0)．(1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值，求实数a 的取值范围．解：(1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a ，可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞)．所以g ′(x )＝1x －2a ＝1－2ax x.又a >0， 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12a 时，g ′(x )>0，函数g (x )是增加的， 当x ∈⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞时，g ′(x )<0，函数g (x )是减少的． 所以函数y ＝g (x )的增区间为⎝⎛⎭⎫0，12a ，减区间为⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞. (2)由(1)知，f ′(1)＝0.①当0<a <12时，12a>1，由(1)知f ′(x )在⎝⎛⎭⎫0，12a 上是增加的，可得当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，当x ∈⎝⎛⎭⎫1，12a 时，f ′(x )>0. 所以f (x )在(0，1)内是减少的，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上是增加的． 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不符合题意．②当a ＝12时，12a＝1，f ′(x )在(0，1)上是增加的，在(1，＋∞)上是减少的，所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )是减少的，不符合题意．③当a >12时，0<12a<1，当x ∈⎝⎛⎭⎫12a ，1时，f ′(x )>0，f (x )是增加的，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )是减少的．所以f (x )在x ＝1处取极大值，符合题意．综上可知，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，＋∞.。
2021高考北师版(文科)数学一轮复习讲义：第2章 第12节 导数与函数的极值、最值
第十二节导数与函数的极值、最值[考纲] 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．1．导数与函数的极值(1)函数的极大值与导数的关系x (a，x0)极大值点x0(x0，b)f ′(x)＋0－y＝f (x)增加极大值减少图示(2)函数的极小值与导数的关系x (a，x0)极小值点x0(x0，b)f ′(x)－0＋y＝f (x)减少极小值增加图示(1)求函数y＝f (x)在(a，b)内的极值．(2)将函数y＝f (x)的各极值与f (a)，f (b)比拟，最大的为最大值，最小的为最小值．1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)函数的极大值一定比极小值大．()(2)对可导函数f (x)，f ′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．()(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．()(4)假设实际问题中函数定义域是开区间，那么不存在最优解．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)函数f (x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f ′(x)在(a，b)内的图像如图2-12-1所示，那么函数f (x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为()【导学号：66482113】图2-12-1A．1B．2C．3D．4A[导函数f ′(x)的图像与x轴的交点中，左侧图像在x轴下方，右侧图像在x轴上方的只有一个，所以f (x)在区间(a，b)内有一个极小值点．] 3．某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，那么使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件C[y′＝－x2＋81，令y′＝0得x＝9或x＝－9(舍去)．当x∈(0,9)时，y′＞0，当x∈(9，＋∞)时，y′＜0，那么当x＝9时，y有最大值．即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．]4．(2021·四川高考)a为函数f (x)＝x3－12x的极小值点，那么a＝() A．－4 B．－2C．4 D．2D [由题意得f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0得x ＝±2，∴当x <－2或x >2时，f ′(x )>0；当－2<x <2时，f ′(x )<0，∴f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．∴f (x )在x ＝2处取得极小值，∴a ＝2.]5．函数y ＝2x 3－2x 2在区间[－1,2]上的最大值是________． 8 [y ′＝6x 2－4x ，令y ′＝0， 得x ＝0或x ＝23.∵f (－1)＝－4，f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－827，f (2)＝8，∴最大值为8.]利用导数研究函数的极值问题☞角度1 根据函数图像判断极值设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图像如图2-12-2所示，那么以下结论中一定成立的是( )图2-12-2A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)D [由题图可知，当x ＜－2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(xf (x )在x ＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．]☞角度2 求函数的极值求函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )的极值．[解] 由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax ，x ＞0知：(1)当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值；5分(2)当a ＞0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .又当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，9分 从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值. 12分☞角度3 极值求参数(1)函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，那么实数a 的取值范围是( )【导学号：66482114】A ．(－∞，0)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C ．(0,1)D ．(0，＋∞)(2)(2021·广东肇庆三模)函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，假设x ＝－3是函数f (x )的一个极值点，那么实数a ＝________.(1)B (2)5 [(1)∵f (x )＝x (ln x －ax )， ∴f ′(x )＝ln x －2ax ＋1，故f ′(x )在(0，＋∞)上有两个不同的零点， 令f ′(x )＝0，那么2a ＝ln x ＋1x ，设g (x )＝ln x ＋1x ，那么g ′(x )＝－ln xx 2，∴g (x )在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减，又∵当x →0时，g (x )→－∞，当x →＋∞时，g (x )→0， 而g (x )max ＝g (1)＝1，∴只需0＜2a＜1⇒0＜a＜1 2.(2)f ′(x)＝3x2＋2ax＋3，由题意知x＝－3为方程3x2＋2ax＋3＝0的根，∴3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，解得a＝5.][规律方法]利用导数研究函数极值的一般流程利用导数解决函数的最值问题(2021·郑州模拟)函数f (x)＝(x－k)e x.(1)求f (x)的单调区间；(2)求f (x)在区间[0,1]上的最小值．[解](1)由f (x)＝(x－k)e x，得f ′(x)＝(x－k＋1)e x，令f ′(x)＝0，得x＝k－1. 2分f (x)与f ′(x)的变化情况如下：x (－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f ′(x)－0＋f (x)递减－e k－1递增分(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f (x)在[0,1]上递增，所以f (x)在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k，7分当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，由(1)知f (x)在[0，k－1)上递减，在(k－1,1]上递增，所以f (x)在区间[0,1]上的最小值为f (k－1)＝－e k－1.当k－1≥1，即k≥2时，函数f (x)在[0,1]上递减，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e. 10分 综上可知，当k ≤1时，f (x )min ＝－k ； 当1＜k ＜2时，f (x )min ＝－e k －1； 当k ≥2时，f (x )min ＝(1－k )e. 12分[规律方法] 求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值、最小值的步骤： (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的极值与f (a )，f (b )比拟，其中最大的为最大值，最小的为最小值．[变式训练1] (2021·石家庄质检(二))假设a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，假设t ＝ab ，那么t 的最大值为( )【导学号：66482115】A ．2B ．3C ．6D ．9D [f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，那么f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，a ＋b ＝6，又a ＞0，b ＞0，那么t ＝ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，应选D.]利用导数研究生活中的优化问题某商场销售某种商品的经历说明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)假设该商品的本钱为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．[解] (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2. 5分 (2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10(x －6)2＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6. 7分从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)， 于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大. 12分[规律方法] 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)设自变量、因变量，建立函数关系式y ＝f (x )，并确定其定义域； (2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比拟函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答．[变式训练2] 某品牌电动汽车的耗电量y 与速度x 之间有关系y ＝13x 3－392x 2－40x (x ＞0)，为使耗电量最小，那么速度应定为________.【导学号：66482116】40 [由y ′＝x 2－39x －40＝0， 得x ＝－1或x ＝40， 由于0＜x ＜40时，y ′＜0； x ＞40时，y ′＞0.所以当x ＝40时，y 有最小值．][思想与方法]1．可导函数y＝f (x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同．2．求闭区间上可导函数的最值时，对函数的极值是极大值还是极小值可不作判断，直接与端点的函数值比拟即可．3．如果目标函数在定义区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点．4．假设函数f (x)在定义域A上存在最大值与最小值，那么：(1)对任意x∈A，f (x)＞0⇔f (x)min＞0；(2)存在x∈A，f (x)＞0⇔f (x)max＞0.[易错与防范]1．求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能．2．导数为零的点不一定是极值点．对含参数的求极值问题，应注意分类讨论．3．假设函数y＝f (x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f (x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．4．利用导数解决实际生活中的优化问题，要注意问题的实际意义．。
高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 第2讲 第2课
第2课时 导数与函数的极值、最值一、选择题1．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝ln(－x )C ．y ＝x e －xD ．y ＝x ＋2x解析 由题可知，B ，C 选项中的函数不是奇函数，A 选项中，函数y ＝x 3单调递增(无极值)，D 选项中的函数既为奇函数又存在极值． 答案 D2．(2017·石家庄质检)若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，若t ＝ab ，则t 的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．9解析 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，则f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，则a ＋b ＝6， 又a >0，b >0，则t ＝ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号．答案 D3．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值等于( )A.14B.13C.12D ．1 解析 由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1. 令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a，当0<x <1a 时，f ′(x )>0；当x >1a时，f ′(x )<0.∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1. 答案 D4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,2)B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C ．(－3,6)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)，由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝4a 2－4×3×(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0， ∴a >6或a <－3. 答案 B5．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，则下列图像不可能为y ＝f (x )图像的是( )解析 因为[f (x )e x]′＝f ′(x )e x＋f (x )(e x)′＝[f (x )＋f ′(x )]e x，且x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，所以f (－1)＋f ′(－1)＝0；选项D 中，f (－1)＞0，f ′(－1)＞0，不满足f ′(－1)＋f (－1)＝0. 答案 D 二、填空题6．(2017·咸阳模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，若x ＝－3是函数f (x )的一个极值点，则实数a ＝________. 解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3. 依题意知，－3是方程f ′(x )＝0的根 所以3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，解得a ＝5. 经检验，a ＝5时，f (x )在x ＝－3处取得极值． 答案 57．(2016·北京卷改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤0，－2x ，x >0，则f (x )的最大值为________．解析 当x >0时，f (x )＝－2x <0；当x ≤0时，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，当x <－1时，f ′(x )>0，f (x )是增函数，当－1<x <0时，f ′(x )<0，f (x )是减函数． ∴f (x )≤f (－1)＝2，∴f (x )的最大值为2. 答案 28．设a ∈R ，若函数y ＝e x＋ax 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x＋a . ∵函数y ＝e x＋ax 有大于零的极值点， 则方程y ′＝e x ＋a ＝0有大于零的解， ∵x >0时，－e x<－1，∴a ＝－e x<－1. 答案 (－∞，－1) 三、解答题9．(2015·安徽卷)已知函数f (x )＝ax x ＋r2(a >0，r >0)．(1)求f (x )的定义域，并讨论f (x )的单调性； (2)若a r＝400，求f (x )在(0，＋∞)内的极值．解 (1)由题意可知x ≠－r ，所求的定义域为(－∞，－r )∪(－r ，＋∞)．f (x )＝ax x ＋r2＝axx 2＋2rx ＋r 2，f ′(x )＝a x 2＋2rx ＋r 2－axx ＋2rx 2＋2rx ＋r 22＝a r －x x ＋rx ＋r 4.所以当x <－r 或x >r 时，f ′(x )<0； 当－r <x <r 时，f ′(x )>0.因此，f (x )的单调递减区间为(－∞，－r )，(r ，＋∞)；f (x )的单调递增区间为(－r ，r )．(2)由(1)的解答可知f ′(r )＝0，f (x )在(0，r )上单调递增，在(r ，＋∞)上单调递减． 因此，x ＝r 是f (x )的极大值点，所以f (x )在(0，＋∞)内的极大值为f (r )＝arr2＝a 4r ＝4004＝100，f (x )在(0，＋∞)内无极小值；综上，f (x )在(0，＋∞)内极大值为100，无极小值．10．(2017·衡水中学二调)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝(－x 2＋ax －3)e x(a 为实数)．(1)当a ＝5时，求函数y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程； (2)求f (x )在区间[t ，t ＋2](t >0)上的最小值． 解 (1)当a ＝5时，g (x )＝(－x 2＋5x －3)e x，g (1)＝e. 又g ′(x )＝(－x 2＋3x ＋2)e x， 故切线的斜率为g ′(1)＝4e.所以切线方程为y －e ＝4e(x －1)，即y ＝4e x －3e. (2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：①当t ≥e 时，在区间[t ，t ＋2]上f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (t )＝t ln t .②当0<t <1e 时，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫t ，1e 上f (x )为减函数，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，t ＋2上f (x )为增函数， 所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e .11．(2017·广州调研)若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图像与x 轴相切于一点A (m,0)(m ≠0)，且f (x )的极大值为12，则m 的值为( )A ．－23B ．－32C.23D.32解析 由题意可得f (m )＝m 3＋am 2＋bm ＝0，m ≠0，则m 2＋am ＋b ＝0 ①，且f ′(m )＝3m 2＋2am ＋b ＝0 ②， ①－②化简得m ＝－a2.f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b 的两根为－a 2和－a6，则b ＝a 24，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6＝12，解得a ＝－3，m ＝32.答案 D12．(2015·安徽卷)函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图像如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b <0，c >0，d >0B ．a >0，b <0，c <0，d >0C ．a <0，b <0，c >0，d >0D ．a >0，b >0，c >0，d <0解析 由函数y ＝f (x )的图像知，a >0，f (0)＝d >0. 又x 1，x 2是函数f (x )的极值点， 且f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝0，∴x 1，x 2是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根． 由图像知，x 1>0，x 2>0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2b3a >0，x 1x 2＝c3a >0.因此b <0，且c >0.答案 A13．(2015·陕西卷)函数y ＝x e x在其极值点处的切线方程为________．解析 由y ＝x e x 可得y ′＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)，从而可得y ＝x e x在(－∞，－1)上递减，在(－1，＋∞)上递增，所以当x ＝－1时，y ＝x e x 取得极小值－e －1，因为y ′|x ＝－1＝0，故切线方程为y ＝－e －1，即y ＝－1e .答案 y ＝－1e14．(2016·山东卷改编)设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x (常数a >0)(1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值．求实数a 的取值范围． (1)解 由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a ， 可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞)． 所以g ′(x )＝1x －2a ＝1－2axx.又a >0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减． ∴函数y ＝g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞.(2)由(1)知，f ′(1)＝0.①当0<a <12时，12a >1，由(1)知f ′(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 内单调递增，可得当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0,1)内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 内单调递增． 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意．②当a ＝12时，12a ＝1，f ′(x )在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，所以当x∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意．③当a >12时，0<12a <1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．所以f (x )在x ＝1处取极大值，符合题意．综上可知，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.。
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计时双基练十五 导数与函数的极值、最值A 组 基础必做1．当函数y ＝x·2x 取极小值时，x ＝( ) A.1ln 2 B ．－1ln 2C ．－ln 2D ．ln 2解析 令y′＝2x ＋x·2x ln 2＝0，∴x ＝－1ln 2。
答案 B2．(2015·济宁一模)函数f(x)＝12x 2－ln x 的最小值为( )A.12 B ．1 C ．0D ．不存在解析 f′(x)＝x －1x ＝x 2－1x，且x>0。
令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得0<x<1。
∴f(x)在x ＝1处取得极小值也是最小值，且f(1)＝12－ln 1＝12。
答案 A3．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A ．a<－1 B ．a>－1 C ．a>－1eD ．a<－1e解析 ∵y ＝e x ＋ax ，∴y′＝e x ＋a 。
∵函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点， 则方程y′＝e x ＋a ＝0有大于零的解， ∵x>0时，－e x <－1，∴a ＝－e x <－1。
答案 A4．设函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c ∈R)。
若x ＝－1为函数f(x)e x 的一个极值点，则下列图像不可能为y ＝f(x)图像的是( )解析 因为[f(x)e x ]′＝f′(x)e x ＋f(x)(e x )′＝[f(x)＋f′(x)]e x ，且x ＝－1为函数f(x)e x 的一个极值点，所以f(－1)＋f′(－1)＝0；选项D 中，f(－1)>0，f′(－1)>0，不满足f′(－1)＋f(－1)＝0。
答案 D5．函数f(x)＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( )A ．20B ．18C ．3D ．0解析 因为f′(x)＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令f′(x)＝0，得x ＝±1，所以－1,1为函数的极值点。
又f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3,2]上f(x)max ＝1，f(x)min ＝－19。
又由题设知在区间[－3,2]上f(x)max －f(x)min ≤t ，从而t≥20，所以t 的最小值是20。
答案 A6．(2016·山东日照模拟)如果函数y ＝f(x)的导函数的图像如图所示，给出下列判断： ①函数y ＝f(x)在区间⎝⎛⎭⎫－3，－12内单调递增； ②函数y ＝f(x)在区间⎝⎛⎭⎫－12，3内单调递减； ③函数y ＝f(x)在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f(x)有极小值； ⑤当x ＝－12时，函数y ＝f(x)有极大值。
则上述判断中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④⑤D ．③解析 当x ∈(－3，－2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，①错；当x ∈⎝⎛⎭⎫－12，2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x ∈(2,3)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，②错；当x ＝2时，函数y ＝f(x)有极大值，④错；当x ＝－12时，函数y ＝f(x)无极值，⑤错。
故选D 。
答案 D7．已知函数f(x)＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m ＝________。
解析 由题意，得f′(x)＝3x 2－12，令f′(x)＝0，得x ＝±2，又f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，所以M ＝24，m ＝－8，M －m ＝32。
答案 328．已知函数f(x)＝x 3＋mx 2＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围是________。
解析 f′(x )＝3x 2＋2mx ＋m ＋6＝0有两个不等实根， 即Δ＝4m 2－12×(m ＋6)>0。
所以m>6或m<－3。
答案 (－∞，－3)∪(6，＋∞)9．已知函数f(x)＝x 3＋3mx 2＋nx ＋m 2在x ＝－1时有极值0，则m ＋n ＝________。
解析 ∵f′(x)＝3x 2＋6mx ＋n ， ∴由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧－＝－3＋－2＋－＋m 2＝0，－＝－2＋－＋n ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝9。
当⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ＝3时，f′(x)＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0恒成立与x ＝－1是极值点矛盾； 当⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝9时，f′(x)＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)， 显然x ＝－1是极值点，符合题意。
∴m ＋n ＝11。
答案 1110．已知函数f(x)＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)。
(1)若曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x 轴，求a 的值； (2)求函数f(x)的极值。
解 (1)由f(x)＝x －1＋a e x ，得f′(x)＝1－ae x 。
又曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x 轴， 得f′(1)＝0，即1－ae ＝0，解得a ＝e 。
(2)f′(x)＝1－aex ，①当a ≤0时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数， 所以函数f(x)无极值。
②当a>0时，令f′(x)＝0，得e x ＝a ，即x ＝ln a 。
x ∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0； x ∈(ln a ，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故f(x)在x ＝ln a 处取得极小值，且极小值为f(ln a)＝ln a ，无极大值。
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，f(x)在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值。
11．(2015·衡水中学二调)已知函数f(x)＝xln x ，g(x)＝(－x 2＋ax －3)e x (a 为实数)。
(1)当a ＝5时，求函数y ＝g(x)在x ＝1处的切线方程； (2)求f(x)在区间[t ，t ＋2](t>0)上的最小值。
解 (1)当a ＝5时，g(x)＝(－x 2＋5x －3)e x ，g(1)＝e 。
又g′(x)＝(－x 2＋3x ＋2)e x ， 故切线的斜率为g′(1)＝4e 。
所以切线方程为：y －e ＝4e(x －1)，即y ＝4ex －3e 。
(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x ＋1， 当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：①当t≥1e 时，在区间[t ，t ＋2]上f(x)为增函数，所以f(x)min ＝f(t)＝tln t 。
②当0<t<1e 时，在区间⎣⎡⎭⎫t ，1e 上f(x)为减函数，在区间⎝⎛⎦⎤1e ，t ＋2上f(x)为增函数， 所以f(x)min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e。
B 组 培优演练1．如图是函数f(x)＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图像，则x 21＋x 22等于( )A.89B.109C.169D.289解析 由图像可得f(x)＝x(x ＋1)(x －2)＝x 3－x 2－2x ， 又∵x 1、x 2是f′(x)＝3x 2－2x －2＝0的两根，∴x 1＋x 2＝23，x 1x 2＝－23，故x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫232＋2×23＝169。
答案 C2．(2015·陕西卷)对二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a 为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( )A ．－1是f(x)的零点B ．1是f(x)的极值点C ．3是f(x)的极值D ．点(2,8)在曲线y ＝f(x)上 解析 f′(x)＝2ax ＋b 。
若A 正确，则f(－1)＝0，即a －b ＋c ＝0，① 若B 正确，则f′(1)＝0，即2a ＋b ＝0，② 若C 正确，则f′(x 0)＝0，且f(x 0)＝3， 即f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ＝3，即c －b24a＝3③ 若D 正确，则f(2)＝8，即4a ＋2b ＋c ＝8。
④假设②③④正确，则由②得b ＝－2a ，代入④得c ＝8，代入③得8－4a 24a ＝3，解得a ＝5，b ＝－10，c ＝8。
此时f(x)＝5x 2－10x ＋8，f(－1)＝5×(－1)2＝10×(－1)＋8＝5＋10＋8＝23≠0，即A 不成立。
故B ，C ，D 可同时成立，而A 不成立。
故选A 。
答案 A3．(2016·山西省康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中高三年级第二次四校联考)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋eax在[－2,3]上的最大值为2，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫13ln 2，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤0，13ln 2 C ．(－∞，0]D.⎝⎛⎦⎤－∞，13ln 2 解析 当x≤0时，由f′(x)＝6x(x ＋1)＝0，解得x ＝－1或x ＝0，∴f(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1,0)上单调递减，∴f(x)max ＝f(－1)＝2；当x>0时，f′(x)＝ae ax ，①当a>0时，f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴在[0,3]上f(x)max ＝f(3)＝e 3a ≤2，解得0<a≤13ln 2；②当a≤0时，f′(x)≤0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴f(x)<f(0)＝1，符合题意。
综上，a≤13ln 2。
答案 D4．(2015·新课标全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ln x ＋a(1－x)。
(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围。
解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x －a 。
若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)单调递增。
若a>0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f′(x)>0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f′(x)<0。
所以f(x)在⎝⎛⎭⎫0，1a 单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞单调递减。
(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)无最大值；当a>0时，f(x)在x ＝1a 取得最大值，最大值为f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln ⎝⎛⎭⎫1a ＋a ⎝⎛⎭⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1。