求导数和求极值
求导数和求极值
导数和极值是微积分中的两个基本概念，涉及到求解函数在某
一点的斜率以及找到函数的最大值或最小值。在数学中，导数是
函数在某一点的切线斜率，而极值则是函数的局部最大值或最小值，它们在求解各种数学问题中都有着重要的作用。
求导数的方法
求导数是微积分的基本内容之一，我们可以通过以下几种方法
来求解函数的导数：
1. 用导数定义式：导数定义式是求解导数的基本方法，它是将
像函数一般表示出来的导数的定义进行计算和求解。
2. 用求导法则：求导法则是求解函数导数的基本规律，它可以
通过不同的求导法则来求解不同函数的导数。
3. 用导数的性质：导数的性质是求解函数导数的基本辅助工具，通过导数的连续性、导数的可加性、导数的乘积规则等可以方便
地求解函数的导数。
求极值的方法
求极值的方法主要是通过一阶导数对函数的形状进行判断，找
到函数最大值或最小值的位置，具体方法如下：
1. 求解一阶导数为0的点：求解函数导数为0的点，即极值点，可以通过解一元一次方程来得到。
2. 判断二阶导数的正负：通过判断极值点处的二阶导数的正负
来判断极值的类型，即判断是否为函数的最大值或最小值。
3. 绘制函数图象：将函数绘制出来，通过观察函数的图象来判
断函数的极值。
求导数和求极值的应用
求导数和求极值不仅是数学中的基本概念，也是各种领域中的
核心应用。以下是一些常见的应用：
1. 最优化问题：在计算机科学、经济学、工程学等领域，最优
化问题常出现。求解最大值或最小值问题可以通过求导数和求极
值来解决。
2. 优化控制：在自动控制领域，控制器的输出通常与系统的特
性有关。通过求解系统的导数和极值，可以对系统进行优化控制，从而实现最佳效果。
3. 物理问题：在物理学中，导数和极值可以用来求解运动物体
的速度、加速度和位置，从而应用于物理问题的分析和求解。
总结
求导数和求极值是微积分中的两个基本概念，它们在各个领域
中都有广泛的应用。掌握这两个重要的数学概念可以帮助我们更
好地理解和解决各种数学问题，同时也可以提高我们的数学素养
和解决实际问题的能力。
求导数和求极值
求导数和求极值 导数和极值是微积分中的两个基本概念，涉及到求解函数在某 一点的斜率以及找到函数的最大值或最小值。在数学中，导数是 函数在某一点的切线斜率，而极值则是函数的局部最大值或最小值，它们在求解各种数学问题中都有着重要的作用。 求导数的方法 求导数是微积分的基本内容之一，我们可以通过以下几种方法 来求解函数的导数： 1. 用导数定义式：导数定义式是求解导数的基本方法，它是将 像函数一般表示出来的导数的定义进行计算和求解。 2. 用求导法则：求导法则是求解函数导数的基本规律，它可以 通过不同的求导法则来求解不同函数的导数。 3. 用导数的性质：导数的性质是求解函数导数的基本辅助工具，通过导数的连续性、导数的可加性、导数的乘积规则等可以方便 地求解函数的导数。
求极值的方法 求极值的方法主要是通过一阶导数对函数的形状进行判断，找 到函数最大值或最小值的位置，具体方法如下： 1. 求解一阶导数为0的点：求解函数导数为0的点，即极值点，可以通过解一元一次方程来得到。 2. 判断二阶导数的正负：通过判断极值点处的二阶导数的正负 来判断极值的类型，即判断是否为函数的最大值或最小值。 3. 绘制函数图象：将函数绘制出来，通过观察函数的图象来判 断函数的极值。 求导数和求极值的应用 求导数和求极值不仅是数学中的基本概念，也是各种领域中的 核心应用。以下是一些常见的应用：
1. 最优化问题：在计算机科学、经济学、工程学等领域，最优 化问题常出现。求解最大值或最小值问题可以通过求导数和求极 值来解决。 2. 优化控制：在自动控制领域，控制器的输出通常与系统的特 性有关。通过求解系统的导数和极值，可以对系统进行优化控制，从而实现最佳效果。 3. 物理问题：在物理学中，导数和极值可以用来求解运动物体 的速度、加速度和位置，从而应用于物理问题的分析和求解。 总结 求导数和求极值是微积分中的两个基本概念，它们在各个领域 中都有广泛的应用。掌握这两个重要的数学概念可以帮助我们更 好地理解和解决各种数学问题，同时也可以提高我们的数学素养 和解决实际问题的能力。
高考数学知识点：函数的极值与导数的关系
高考数学知识点：函数的极值与导数的关系高考数学知识点：函数的极值与导数的关系 极值的定义： （1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。 极值的性质： （1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
判别f（x0）是极大、极小值的方法： 若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f （x）的极值点，是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。 求函数f（x）的极值的步骤： （1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。 对函数极值概念的理解： 极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点： ①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图 ②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定
导数与函数极值最值
导数与函数的极值与最值 1. 函数的极值 ⑴．判断 f (x 0)是极值的方法 一般地，当函数 y ＝f (x )在点 x 0 处连续时， ①．如果在 x 0 附近的左侧 f ′(x )＞0，右侧 f ′(x )＜0，那么 f (x 0)是极大值； ②．如果在 x 0 附近的左侧 f ′(x )＜0，右侧 f ′(x )＞0，那么 f (x 0)是极小值． ⑵．求可导函数极值的步骤： ①．求 f ′(x )； ②．求方程 f ′(x )＝0 的根； ③．检查 f ′(x )在方程 f ′(x )＝0 的根左右值的符号．如果左正右负，那么 y ＝f (x )在这个根处取得极大值； 如果左负右正，那么 y ＝f (x )在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点． 2. 函数的最值 ⑴．在闭区间[a ，b ]上连续的函数 y ＝f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值． ⑵．若函数 f (x )在[a ，b ]上单调递增，则 f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数 f (x ) 在[a ，b ]上单调递减，则 f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值． ⑶．设函数 f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求 f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤如下： ①．求 f (x )在(a ，b )内的极值； ②．将 f (x )的各极值与 f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 3. 利用极值求参数 1. 极值点使得导函数为0，即极值点为导函数的零点. 2. 极值点的个数就是导函数变号零点的个数 3. 方法：①直接法：直接求方程，得到方程的根，在通过解不等式确定参数取值范围； ②分离参数法：将参数分离，构造新函数转化成求最值或者值域的问题； ③数形结合：先对解析式变形，在坐标系中画出函数图像，通过找交点求解. 题型一 求极值 【例1】(1)（2019·湖北高二期末）函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则（ ）
导数与函数极值、最值问题
【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试卷难度考查较大. 【方法点评】 类型一利用导数研究函数的极值 使用情景：一般函数类型 解题模板：第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步求方程'()0f x =的根； 第三步 判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值. 例1 已知函数x x x f ln 1 )(+= ，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值． 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（ ） A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18 【答案】C 【解读】 试卷分析：b ax x x f ++='23)(2,⎩⎨⎧=+++=++∴1010232 a b a b a ⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=----=⇒114012232b a a a a b 或⎩⎨⎧=-=33 b a ．当⎩⎨⎧=-=3 3 b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值． 当⎩ ⎨⎧-==114b a 时， )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意． 所
导数与函数的极值
导数与函数的极值 函数的极值是指函数在某个区间上取得的最大值或最小值。导数是函数变化率的度量，通过导数我们可以研究函数的极值情况。在本文中，我们将讨论导数与函数的极值之间的关系以及如何运用导数来确定函数的极值。 1. 导数的定义 导数表示函数在某一点上的变化速率。对于可导函数f(x)，其导数定义为： f'(x) = lim(Δx→0) [f(x+Δx) - f(x)] / Δx 其中，Δx表示x的增量，Δx→0表示Δx趋近于0。导数的值代表了函数在该点的瞬时变化率。 2. 极值的定义 函数的极值包括最大值和最小值。在某个区间上，如果函数在某一点的导数为0，那么该点可能是函数的极值点。具体而言，若函数在该点的导数由正变负，这个点就是极大值点；若函数在该点的导数由负变正，这个点就是极小值点。 3. 导数与函数极值的关系 函数的极值点必然是函数的驻点，即导数为0的点。然而，只有导数为0的点不一定是极值点。根据导数的定义，我们可以利用导数判断函数的极值点。具体来说：
- 如果函数在某一点的导数为0，并且导数的符号在此点前后改变，那么该点就是函数的极值点。 - 如果函数在某一点的导数为0，并且导数的符号在此点前后不改变，那么该点可能是函数的驻点但不是极值点。 4. 导数的应用 利用导数判断函数的极值点可以帮助我们解决许多实际问题。例如，在经济学中，我们可以通过求解某种产品的利润函数来确定最大化利 润的产量。通过求解利润函数的导数，我们可以找到使利润最大化的 产量。 同样地，在物理学中，我们可以使用导数来分析物体的运动情况。 通过求解位置函数的导数，我们可以找到物体的最大速度和最大加速 度的时刻。 此外，在数学建模和优化问题中，导数也是一种重要的工具。通过 确定函数的极值点，我们可以优化函数的性能，以满足特定需求。 5. 导数与极值的例子 例如，我们考虑函数f(x) = x^2在区间[0, 2]上的极值问题。首先， 我们求解函数的导数f'(x) = 2x。通过令f'(x) = 0，我们得到x=0为函数 的驻点。然后，我们观察导数的符号变化。在x < 0时，导数为负；在 0 < x < 2时，导数为正；在x > 2时，导数为正。根据导数的符号变化，我们可以得出结论：x=0为函数的极小值点。
求极值的方法与技巧
求极值的方法与技巧 求极值是数学中的重要问题，涉及到函数的最大值和最小值。在解决 求极值的问题时，有一些常用的方法和技巧可以帮助我们更好地处理。 一、导数法 求极值最常用的方法之一就是导数法。导数是函数变化率的一种测量 方式，通过求函数的导数，可以找到函数的临界点，即函数取得极值的点。 1.寻找导数为零的点 极值点在导函数为零的点上，因此可以通过求导数，令导数等于零并 解方程，得到函数的极值点。求导数时，需要注意函数定义域和导数存在 的条件。 2.寻找导数不存在的点 导数不存在的点也可能是函数的极值点，可以通过求导数，找到函数 导数不存在的点。 3.寻找导数符号变化的点 如果函数在其中一区间内导数的符号发生变化，那么这个区间内一定 存在极值点。可以通过列出导数符号变化的条件，找到极值点所在的区间。 二、函数图像法 函数图像是函数性质的直观表达。通过观察函数的图像特征，可以找 到函数的极值点。 1.求函数的零点
函数零点是函数与横轴交点的横坐标，也是函数的极值点。可以通过求解函数的零点，得到函数的极值点。 2.寻找函数上下凹区域 函数在上凹区域和下凹区域会有极值点存在。可以通过函数的二阶导数（二阶导数大于零的区域为上凹区域，小于零的区域为下凹区域）找到函数的凹凸性，从而确定极值点所在的区域。 3.观察振荡特征 如果函数在其中一区间内振荡变化，那么该区间内一定存在极值点。可以通过观察函数的振荡特征，找到函数的极值点。 三、辅助工具法 除了导数法和函数图像法外，还可以借助辅助工具来求极值。 1.使用微积分软件 微积分软件可以帮助我们对函数进行求导和求积等计算，大大简化了求极值的过程。可以通过微积分软件的计算功能，得出函数的极值点。 2.英文和图表分析 有时，通过阅读相关文献或分析数据图表，我们可以发现规律，从而找到函数的极值点。这种方法可以在应用领域中得到广泛应用。 总结起来，求取极值的方法与技巧主要包括导数法、函数图像法和辅助工具法。其中，导数法是求解极值最常用的方法，通过求函数的导数，找到其临界点即为极值点；函数图像法通过观察函数图像特征、求函数的零点和凹凸区域来找到极值点；辅助工具法则借助于微积分软件、英文和
利用导数求函数的单调性和极值
利用导数求函数的单调性和极值函数的单调性和极值是数学中一个常见的问题，利用导数可以很方 便地求解。导数可以告诉我们函数在某一点的变化情况，从而推断函 数的单调性和极值。本文将介绍如何利用导数求函数的单调性和极值。 1. 导数的定义 首先，我们需要了解导数的定义。对于一元函数y = f(x)，其导数可以通过以下公式求得： f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h 其中，f'(x)表示函数f(x)在x处的导数，h表示一个无穷小的增量。 导数可以理解为函数在某一点上的变化速率。 2. 利用导数求函数的单调性 函数的单调性是指函数在某个区间上的变化趋势。利用导数可以判 断函数在某个区间上的单调性。 若在区间(a, b)上，对于任意的x1, x2∈(a, b)，当x1
当x1
导数与函数的极值、最值
导数与函数的极值、最值 考点一 利用导数研究函数的极值 考法(一) 已知函数的解析式求函数的极值点个数或极值 [例1] 已知函数f (x )＝x －1＋a e x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，求函数 f (x )的极值． [解] 由f (x )＝x －1＋a e x ，得f ′(x )＝1－a e x . ①当a ≤0时，f ′(x )＞0，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值． ②当a ＞0时，令f ′(x )＝0， 得e x ＝a ，即x ＝ln a ， 当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )＜0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )＞0， 所以函数f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故函数f (x )在x ＝ln a 处取得极小值且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值； 当a ＞0时，函数f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值． [例2] 设函数f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2－x )，其中a ∈R.讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由． [解] f ′(x )＝1 x ＋1＋a (2x －1)＝2ax 2＋ax －a ＋1x ＋1(x ＞－1)． 令g (x )＝2ax 2＋ax －a ＋1，x ∈(－1，＋∞)． ①当a ＝0时，g (x )＝1，f ′(x )＞0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点． ②当 a ＞0时，Δ＝a 2－8a (1－a )＝a (9a －8)． 当0＜a ≤8 9时，Δ≤0，g (x )≥0，f ′(x )≥0， 函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点． 当a ＞8 9 时，Δ＞0， 设方程2ax 2＋ax －a ＋1＝0的两根为x 1，x 2(x 1＜x 2)， 因为x 1＋x 2＝－1 2， 所以x 1＜－14，x 2＞－1 4 . 由g (－1)＝1＞0，可得－1＜x 1＜－1 4 . 所以当x ∈(－1，x 1)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；
求极值的方法
求极值的方法 求极值是数学中的一个重要概念，是一种求函数取得最大值或最 小值的方法。在实际生活中，求极值是广泛应用于经济学、物理学、 工程学等领域的数学方法。本文将介绍求极值的几种常用方法，包括 导数法、二次函数法和拉格朗日乘数法。 一、导数法 导数法是求解函数极值的常用方法之一。对于一个连续可导的函数， 极值点的判断可以通过求导来实现。极大值和极小值的判定条件是函 数的导数为0或者不存在。 例如，对于函数f(x)，如果在某个点x0的导数f'(x0)等于0， 或者导数不存在，那么x0即为函数的极值点。然后我们可以通过二阶 导数的符号来判断该极值点是极大值还是极小值。若f''(x0)大于0， 那么x0为极小值点；若f''(x0)小于0，那么x0为极大值点。 二、二次函数法 对于一元二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，求 极值的方法可以使用二次函数的顶点公式。二次函数的顶点坐标可以 通过以下公式计算： x = -b / (2a) y = f(x) = -(b^2 - 4ac) / (4a) 通过计算得到的顶点坐标，可以判断二次函数的极值是极大值还 是极小值。当a大于0时，顶点即为极小值点；当a小于0时，顶点 即为极大值点。 三、拉格朗日乘数法 拉格朗日乘数法是一种用于求解带有约束条件的多元函数的极值的方法。在实际问题中，往往会有一些限制条件，如总成本不超过某个值、总产量达到某个目标等。这时候，不能简单地对变量进行求导，因为 约束条件将使得函数的自变量存在依赖关系。 拉格朗日乘数法的基本思想是通过引入一个拉格朗日乘子，将带
有限制条件的多元函数转化为一个无约束条件的函数。具体步骤如下：1. 建立带有约束条件的函数： F(x1, x2, ..., xn, λ) = f(x1, x2, ..., xn) + λ(g(x1, x2, ..., xn) - c) 其中，f(x1, x2, ..., xn)为目标函数，g(x1, x2, ..., xn)为约 束条件，λ为拉格朗日乘子，c为常数。 2. 对F(x1, x2, ..., xn, λ)分别对x1, x2, ..., xn求偏导数，并令其为0。 ∂F / ∂x1 = 0, ∂F / ∂x2 = 0, ..., ∂F / ∂xn = 0 3. 对约束条件进行求导，并令其为0。 ∂F / ∂λ = 0 4. 联立以上方程组，求解得到极值点。 拉格朗日乘数法可以有效地解决带有约束条件的多元函数的极值 问题，广泛应用于经济学、工程学等领域中的优化问题。 综上所述，求极值的方法包括导数法、二次函数法和拉格朗日乘 数法。导数法适用于一元函数的极值求解，通过求导和二阶导数的符 号可以判断极值类型；二次函数法适用于二次函数的极值求解，通过 计算顶点坐标可以判断极值类型；拉格朗日乘数法适用于带有约束条 件的多元函数的极值求解，通过引入拉格朗日乘子将约束条件转化为 无约束条件。这些方法在实际问题中都有广泛的应用，能够有效地求 解极值问题。
求极值的若干方法
求极值的若干方法 一、导数法 导数法是求函数极值最常用的方法之一、通过计算函数的导数并将其 置为0，可以找到函数的驻点。驻点即为函数可能的极值点。对驻点进行 二阶导数测试，如果二阶导数为正则为极小值点，如果二阶导数为负则为 极大值点。 二、边界点法 对于定义在一定范围内的函数，其极值点可能出现在这个范围的边界上。因此，通过计算函数在边界点处的值，并与内部驻点的值进行比较， 可以得到函数的极值。 三、拉格朗日乘数法 拉格朗日乘数法适用于带有约束条件的优化问题。对于求解函数在约 束条件下的极值问题，通过引入拉格朗日乘数，将约束条件加入到目标函 数中，然后对引入的约束条件和目标函数进行求导，可以得到关于约束条 件和目标函数的一组方程，通过求解这组方程可以得到极值点。 四、牛顿法 牛顿法是一种迭代法，通过不断地进行线性逼近来逐步逼近极值点。 该方法通过迭代逼近函数的根，利用函数的一阶导数和二阶导数进行求解。通过不断迭代，可以逐步逼近极值点。 五、切线法 切线法是一种简单但有效的求解极值的方法。切线法基于函数在极值 点处的切线垂直于函数曲线的性质。首先选择一个初始点，然后沿着函数
曲线进行迭代，在每一步迭代中，找到当前点处的切线，然后将切线与坐标轴相交的点作为下一步的迭代点，直至找到极值点。 六、割线法 割线法是一种介于切线法和牛顿法之间的方法。该方法适用于函数的导数不能很容易地求解的情况。割线法通过选择两个初始点，然后计算这两个点处的斜率，使用割线的性质来逼近极值点。通过不断迭代计算新的割线与x轴相交的点，可以逐步逼近极值点。 七、二分法 二分法适用于具有单调性的函数的极值求解。该方法通过选择一个区间，然后将其一分为二，比较中点和两个区间端点处函数的值，缩小区间范围，直至找到极值点。 八、遗传算法 遗传算法是一种模拟进化过程的优化算法，常用于求解复杂问题中的极值。该方法模拟生物进化的过程，通过随机生成一组初始解，然后通过交叉、变异等操作对解进行改进和演化，最终得到一个相对较优的解。九、粒子群算法 粒子群算法是一种模拟鸟群觅食行为的优化算法，也常用于求解极值问题。该方法通过随机生成一组粒子，每个粒子代表一个解，在空间中进行迭代，通过更新速度和位置等操作来寻找极值。 以上是常见的求极值的方法。在实际应用中，选择适用的方法需要根据具体问题的特点和约束条件来决定。不同的方法有不同的适用范围和求解效率，选用合适的方法可以更好地求解极值问题。
导数与函数的极值问题
导数与函数的极值问题 在微积分中，导数是一个重要的概念，它与函数的极值问题密切相关。本文将探讨导数与函数的极值问题以及如何通过导数求解极值。 一、导数的定义和意义 导数是用于描述函数变化率的概念。对于函数f(x)而言，它在某一点x处的导数可以用以下极限表示： f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h 导数可以理解为函数在某一点处的瞬时变化率。具体来说，如果导数为正，意味着函数在该点上升；如果导数为负，意味着函数在该点下降；而导数为零则表示函数在该点达到极值。 二、函数的极值点 函数的极值点指的是函数在其定义域内取得极大值或极小值的点。通过导数可以求解函数的极值点。 1. 极大值和极小值的判断 一阶导数的符号能够帮助我们判断函数的极值类型。具体而言，如果在某点的邻域内，函数的导数从正数变为负数，那么该点就是一个极大值点；反之，若导数从负数变为正数，那么该点就是一个极小值点。 2. 驻点和拐点
驻点是指导数等于零的点，它可能是函数的极值点，也可能是函数的拐点。通过二阶导数可以进一步判断。 如果某点的二阶导数大于零，那么该点为函数的极小值点；反之，若二阶导数小于零，则为函数的极大值点。而二阶导数等于零的点则是函数的拐点。 三、求解极值的步骤 求解函数的极值可以遵循以下步骤： 1. 找到函数的定义域。 2. 求解导数并求出临界点，即导数等于零或不存在的点。 3. 确定临界点是否为极值点，可以通过导数的符号或者二阶导数判断。 4. 检查定义域的端点是否为极值点。 5. 比较所有极值点的函数值，得出最大值和最小值。 值得注意的是，求解函数的极值可能会有一些特殊情况，如存在无界区间、导数不存在的点以及多项式函数的极值情况等。在实际求解中需要注意这些特殊情况，并做出适当的处理。 结束语 导数与函数的极值问题是微积分中的重要研究内容，通过导数的求解可以帮助我们判断函数的极值类型，进而在数学模型、最优化问题等领域得到应用。掌握导数和极值的概念及求解方法，对于理解函数
求极值的若干方法
求极值的若干方法 极值问题是数学中常见的一类问题，指的是在一定范围内寻找函数取得最大值或最小值的点。求解极值问题的方法多种多样，下面将介绍几种常用的方法。 一、导数法 导数法是求解极值问题最常用的方法之一、它的基本思想是通过函数的导数来判断函数在其中一点的增减情况，进而推断函数的极值点。 求解步骤如下： 1.求函数的导数。 2.解方程f'(x)=0，求出导数的根。 3.构造函数f(x)在导数根的左右区间上的函数表格，确定函数在这些区间上的增减情况。 4.根据增减情况和导数的性质，判断函数的极值点。 二、二次函数的最值 对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），它的最值可以通过二次函数的几何性质来求解。 1.若a>0，则f(x)的图像开口朝上，此时最小值为f(-b/2a)； 2.若a<0，则f(x)的图像开口朝下，此时最大值为f(-b/2a)。 三、一元函数的最值
对于一元函数f(x)，如果它在有限的区间[a,b]上连续，那么它在这 个区间上必然有最大值和最小值。我们可以通过以下方法来求解： 1.求出函数的导数f'(x)。 2.求出f'(x)=0的解，这些点可能是函数的极值点。 3.将求得的解代入函数中，根据f''(x)的正负性判断这些点的类型（极大值点或极小值点）。 4.将区间的端点与求得的极值点比较，找出最大值和最小值。 四、拉格朗日乘数法 拉格朗日乘数法可以求解约束条件下的极值问题。具体步骤如下： 1. 建立带有约束条件的目标函数。假设有一个目标函数f(x1, x2, ..., xn)，并且有一个或多个约束条件g(x1, x2, ..., xn)=0。 2. 设置拉格朗日函数L(x1, x2, ..., xn, λ)=f(x1, x2, ..., xn)+λg(x1, x2, ..., xn)。 3. 分别对x1, x2, ..., xn和λ求偏导数，并令偏导数为0。 4.解方程组，并判断解是否满足约束条件。 5.将解代入目标函数，求得极值。 五、几何法 如果函数的图像已知，可以通过观察图像的形状来估计函数的极值点。例如，对于函数y=f(x)，如果函数图像在特定点上下凸，则这个点可能 是极小值点；如果函数图像在特定点下凹，则这个点可能是极大值点。
利用导数求函数极值
利用导数求函数极值 函数极值是数学中的一个重要概念，它描述了函数在其定义域内的 最大值和最小值。为了确定函数的极值点，我们可以使用导数的概念 和求导的方法。本文将介绍如何利用导数求函数极值。 一、导数的定义 在开始讲解之前，我们先来回顾一下导数的定义。对于函数y = f(x)，在某一点x处的导数可以表示为f'(x)，它的定义如下： f'(x) = lim(h->0) [f(x + h) - f(x)] / h 其中，lim表示极限，h表示一个无穷小的增量。这个极限表示的是函数在点x处的切线斜率。当导数为正时，函数呈现上升趋势；当导 数为负时，函数呈现下降趋势。而极值点就是在导数变号的地方。 二、求解极值的步骤 为了求解函数的极值，我们可以遵循以下步骤： 1. 求解导函数 首先，我们需要求解原函数的导函数。导函数是通过求原函数的导 数得到的，即将原函数中的自变量进行求导。 2. 求解导函数的零点 接下来，我们需要求解导函数的零点，即令导函数等于零，解出自 变量的值。这些零点就是可能的极值点。
3. 判断极值类型 通过对导函数的零点进行二阶导数的正负性判断，可以确定每个零点处的极值的类型。当二阶导数大于零时，表示该点为极小值；当二阶导数小于零时，表示该点为极大值。 三、举例说明 为了更好地理解如何利用导数求函数极值，我们举一个具体的例子来说明。 例题：求函数y = x^2 - 4x + 3的极值点及极值类型。 解答： 1. 求解导函数： 首先，我们需要求解原函数的导函数。对函数y = x^2 - 4x + 3求导得到导函数y' = 2x - 4。 2. 求解导函数的零点： 令导函数等于零，解方程2x - 4 = 0得到x = 2。所以x = 2是一个可能的极值点。 3. 判断极值类型： 对导函数y' = 2x - 4求二阶导数得到y'' = 2。由于二阶导数大于零，即y'' > 0，所以x = 2处为极小值。 综上所述，函数y = x^2 - 4x + 3的极值点为x = 2，为一个极小值。
高中物理-求极值的六种方法
高中物理-求极值的六种方法 求极值是高中物理中一个非常重要的概念，涉及到函数的最大值和最小值。本文将介绍六种常用的方法来求解极值问题。 一、函数求导法 函数求导法是一种常见且常用的求极值方法。它的基本思想是通过求函数的导数，来确定函数在其定义域内的最值点。 具体步骤如下： 1.首先，确定函数的定义域和导数的存在性； 2.然后，求函数的导数； 3.接着，求导数关于自变量的表达式，即导函数，进一步化简； 4.接下来，令导数等于零，求解方程得到临界点； 5.最后，通过求解临界点对应的函数值来确定最值。 二、函数图像法 函数图像法是一种通过观察函数的图像来确定其极值点的方法。 具体步骤如下： 1.首先，将函数的定义域代入函数，得到函数的函数值； 2.接着，在给定的定义域内画出函数的图像； 3.然后，通过观察图像来确定函数的极值点； 4.最后，验证观察到的极值点是否为真正的最值。
三、区间端点法 区间端点法是一种通过确定函数在定义域端点的函数值，来确定其极值的方法。 具体步骤如下： 1.首先，找到函数的定义域； 2.接着，代入定义域的端点值，计算函数的函数值； 3.然后，比较函数在不同端点的函数值，确定最大值和最小值； 4.最后，验证所得的最值是否为真正的极值。 四、二次函数求顶点法 二次函数求顶点法是一种通过求解二次函数的顶点，来确定其极值的方法。 具体步骤如下： 1.首先，将二次函数化为标准型； 2.接着，通过平移、缩放等方法，确定二次函数的顶点； 3.然后，求解顶点的函数值； 4.最后，验证所得的最值是否为真正的极值。 五、拉格朗日乘数法 拉格朗日乘数法是一种通过构造拉格朗日函数，将约束条件引入极值问题，来求解带有约束的优化问题的方法。 具体步骤如下：
导数及函数的极值、最值
导数与函数的极值、最值 最新考纲了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次). 知识梳理 1.函数的极值与导数 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0， ①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f′(x)≤0，右侧f′(x)≥0，那么f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤： ①求f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值. 2.函数的最值与导数 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2)设函数f(x)在[a，b]上连续且在(a，b)可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f(x)在(a，b)的极值； ②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比拟，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 诊断自测
1.判断正误(在括号打“√〞或“×〞) 精彩PPT展示 (1)函数在某区间上或定义域极大值是唯一的.(×) (2)函数的极大值不一定比极小值大.(√) (3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件.(×) (4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.(√) 2.函数f(x)＝－x3＋3x＋1有( ) A.极小值－1，极大值1 B.极小值－2，极大值3 C.极小值－2，极大值2 D.极小值－1，极大值3 解析因为f(x)＝－x3＋3x＋1，故有y′＝－3x2＋3，令y′＝－3x2＋3＝0，解得x＝±1，于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－1)－1(－1，1)1(1，＋∞) f′(x)－0＋0－ f(x)极大值极小值 所以f(x)的极小值为f(－1)＝－1，f(x)的极大值为f(1)＝3. 答案 D 3.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－ x)f′(x)的图象如下图，那么以下结论中一定成立的是( ) A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 解析由题图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值.
导数求极值步骤范文
导数求极值步骤范文 一、导数的基本概念 导数最初是由法国数学家拉格朗日于18世纪提出的，是微分学的重 要内容之一、导数表示函数在其中一点处的切线的斜率，也可以理解为函 数在该点处的变化率。若函数f(x)在点x处可导，则称f(x)在点x处可导。 二、极值点的定义 在了解导数的基础上，我们可以给出极值点的定义。在数学中，我们 把函数在其中一点附近取得最大值或最小值的点称为极值点。极值点包括 两种类型：最大值点和最小值点。 三、导数求极值的步骤 1.求导数 首先，我们需要求出函数的导数。假设函数为f(x)，导数为f'(x)。 2.导数为零或不存在的点 通过求导数，我们可以找到导数为零或不存在的点。这些点可能是函 数的极值点。 3.求导数为零或不存在的点的函数值 我们需要将导数为零或不存在的点带入原函数，求出这些点的函数值。这将有助于判断这些点是极大值还是极小值。 4.求二阶导数
对导数为零或不存在的点再次求导，得到二阶导数。二阶导数的正负性能够确定导数为零或不存在的点的类型。具体判断如下： a.若二阶导数大于零，则导数为零的点是极小值点； b.若二阶导数小于零，则导数为零的点是极大值点； c.若二阶导数等于零，则无法判断。 5.综合判断 通过以上步骤，可以得到一系列的导数为零或不存在的点及其相应的函数值。根据二阶导数的正负性，我们可以判断这些点是极大值点还是极小值点。在判断时还可以结合函数的图像进行综合判断。 6.将得到的极值点代入原函数 最后，将得到的极值点代入原函数，求出这些点的函数值，从而得到极值。 四、求导数的性质 在以上步骤中，我们使用了一些导数的性质来判断极值点。下面是一些常用的导数性质： 1.可导函数的导数连续 如果函数在特定点处可导，则它在该点的导数存在。这一性质保证了导数的连续性。 2.导数为零的点可能是极值点 导数为零的点通常是函数的极值点。这是因为导数表示函数在该点的变化率，当函数的变化率为零时，往往对应着函数的极值点。
求极值的三种方法
求极值的三种方法 一、直接法。先判断函数的单调性，若函数在定义域内为单调函数，则最大值为极大值，最小值为极小值 二、导数法 （1）、求导数f'(x)； （2）、求方程f'(x)=0的根； （3）、检查f'(x)在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。 举例如下图：该函数在f'(x)大于0，f'(x)小于0，在f'(x)=0时，取极大值。同理f'(x)小于0，f'(x)大于0时，在f'(x)=0时取极小值。 扩展资料：
寻求函数整个定义域上的最大值和最小值是数学优化的目标。如果函数在闭合区间上是连续的，则通过极值定理存在整个定义域上的最大值和最小值。此外，整个定义域上最大值（或最小值）必须是域内部的局部最大值（或最小值），或必须位于域的边界上。 因此，寻找整个定义域上最大值（或最小值）的方法是查看内部的所有局部最大值（或最小值），并且还查看边界上的点的最大值（或最小值），并且取最大值或最小的）一个。 1、求极大极小值步骤： 求导数f'(x)； 求方程f'(x)=0的根； 检查f'(x)在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。f'(x)无意义的点也要讨论。即可先求出f'(x)=0的根和f'(x)无意义的点，再按定义去判别。 2、求极值点步骤： 求出f'(x)=0,f"(x)≠0的x值； 用极值的定义（半径无限小的邻域f(x)值比该点都小或都大的点为极值点），讨论f(x)的间断点。 上述所有点的集合即为极值点集合。
求极值的方法与技巧
求极值的方法与技巧 求极值（即最大值或最小值）是数学中的一个重要问题，对于实际问 题的解决非常有帮助。在解决求极值问题时，有几种方法和技巧可以帮助 我们找到最优解。 一、导数法 导数法是求取函数极值的一种重要方法。它的基本思想是通过求取函 数的导数来研究函数的增减性，从而得到函数的最值。 1.确定函数的定义域：首先需要确定函数的自变量范围，即函数是定 义在哪个区间上的。 2.求导数：对于给定的函数，求取其导函数。 3.找到导数为零的点：求解导函数等于零的方程，在这些点处函数的 导数为零，也就是函数的极值点。 4.检查极值：计算极值点的函数值，比较得出最大值或最小值。 例如，对于函数f(x)=x^2-4x+3，我们可以通过求导数的方法来求取 极值。 首先求导函数f'(x)=2x-4，然后将导函数等于零，得到方程2x-4=0，解出x=2 接下来，将x=2代入原函数中，得到f(2)=(2)^2-4(2)+3=-1 所以，函数f(x)的极小值为-1，当且仅当x=2时。 二、二次型矩阵法
对于二次型矩阵，我们可以通过计算其特征值和特征向量来求取极值。 1.构造二次型矩阵：将函数转化为一个二次型矩阵，即通过展开函数，并将其写成矩阵的形式。 2.求取特征值和特征向量：计算二次型矩阵的特征值和特征向量。 3.判断极值：根据特征值的正负情况来判断函数的极值。 如果特征值都大于零，那么函数有一个极小值。如果特征值都小于零，那么函数有一个极大值。如果特征值既有正数又有负数，那么函数没有极值。 三、拉格朗日乘数法 拉格朗日乘数法是一种求解约束问题的极值方法，可用于求解带有约 束条件的极值问题。 1.确定函数和约束条件：首先需要将函数和约束条件写出来。 2.构造拉格朗日函数：将约束条件乘以一个拉格朗日乘子，并与原函 数相加，形成一个新的函数。 3.求取梯度：对构造的拉格朗日函数求取梯度，得到等于零的方程组。 4.解方程组：求解方程组，得到自变量的值。 5.检查极值：将求得的自变量代入原函数中，求取函数的极值。 这种方法常常应用于有约束条件的最优化问题，例如求解最大面积、 最小周长等问题。 在实际问题中，还可以利用图像的性质和变化趋势来判断函数的极值。此外，还有一些其他的数学工具和技巧，如泰勒展开、微分方程方法等，
高二数学利用导数求最值和极值试题答案及解析
高二数学利用导数求最值和极值试题答案及解析 1.若函数在[－1,1]上有最大值3，则该函数在[－1,1]上的最小值是__________ 【答案】 【解析】令得或,当时, ,当时, ,因此当时, ,所以,当时, ,当时, ,因此,答案为. 【考点】导数与最值 2.已知函数，其中。 （1）若，求函数的极值点和极值； （2）求函数在区间上的最小值。 【答案】（1）极小值点为，极小值为；极大值点为，极大值为；（2） 【解析】（1）把代入原函数，求出的导函数，令导函数等于求出根即可得 极值点，把极值点代入原函数得极值。（2）因为，所以把分两种情况来讨论，当时，函数在区间为单调递增函数，最小值为，当时，求出函数的导函数，并 令得增区间，令得减区间，最后得出的最小值。 试题解析：解：（1）当时，。 2分 令，得或。 所以，在区间上，，函数是增函数；在区间上，，函数是减 函数；在区间上，，函数是增函数。 4分[ 所以，函数的极小值点为，极小值为；极大值点为，极大值为。8 分 （2）当时，是R上的增函数， 在区间上的最小值为。 10分 当时，。 在区间上是减函数，在区间上，是增函数。 12分 所以，在区间上的最小值为， 13分 。 14分 综上，函数在区间上的最小值为。 【考点】导数在求极值及最值中的应用； 3.已知函数. （1）求曲线在点（1，0）处的切线方程； （2）设函数，其中，求函数在上的最小值.(其中为自然对数的 底数) 【答案】（1） （2）当时，的最小值为0； 当时，的最小值为； 当时，的最小值为． 【解析】利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程，注意这个点的切点.（2）解决类似 的问题时，注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时，要先求函数在区间内使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较 即得.（3）分类讨论是学生在学习过程中的难点，要找好临界条件进行讨论. 试题解析：（1）由，得切线的斜率为． 又切线过点，所以直线的方程为 4分 （2），则 令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增