中考数学复习实数

二、有理数的运算
加、减、乘、除、乘方运算
一、有理数的基本概念
1.负数： 在正数前面加“—‖的数；
0既不是正数，也不是负数。 判断： 1）a一定是正数； × 2）－a一定是负数； × 3）－（－a）一定大于0；× 4）0是正整数。 ×
整数和分数统称有理数 2.有理数：
整数 有理数 分数 正有理数 有理数 正整数（自然数） 零 负整数 正分数 负分数 正整数（自然数） 正分数 负整数 负分数

1.x≥0（即 a ≥0 ）,2.a≥0 ； 3.（ a ）2=a ；4. a 2 =a.
± a ‖ 中.其隐含的条件有：
在“如果x2=a，那么x=
1.a≥0
； 2.（± a ）2=a ； 3. a a 0
2
a a 0 a 0 a a 0
12.平方根的性质与开平方
一般地，如果一个数x的平方等于a，即 x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根 (square root)，记为“ ±a ‖，读作“ 正负根号a‖ .特别地，我们规定0的平方 0 根是0，即± =0.
•你发现它们的区别了吗！
11.平方根与算术平方根

在“如果x2=a，那么x= a
‖中.其隐含的条件有：
[例1]在下列实数中,无理数共有( C )

2 1
3
8
3 7
0.2121121112 cos 45 tan 44 cot 46
C．4个 D．5个
A．2个 B．3个
有理数总复习 一、有理数的基本概念
1.负数 2.有理数 3.数轴 4.互为相反数 5.互为倒数 6.有理数的绝对值 7.有理数大小的比较 8.科学记数法、近似数与有效数字
2)有理数减法法则 减去一个数， 等于加上这个数的相反数. 即
a-b=a+(-b)
例：分别求出数轴上两点间的距离： ①表示2的点与表示-7的点； ②表示-3的点与表示-1的点。
解：①︱2-（-7）︱=︱2+7︱=︱9︱=9 ②︱-3-（-1）︱=︱-3+1︱=︱-2︱=2
3）有理数的乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负， 并把绝对值相乘； 任何数同0相乘，都得0. ① 几个不等于0的数相乘，积的符号 由负因数的个数决定，当负因数有奇 数个时，积为负；当负因数有偶数个 时，积为正. ② 几个数相乘，有一个因数为0， 积就为0.
⑤了解近似数与有效数字的概念； 在解决实际问题中，能用计算器进 行近似计算，并按问题的要求对结 果取近似值。 ⑥了解二次根式的概念及其加、减、 乘、除运算法则，会用它们进行有 关实数的简单四则运算 ( 不要求分 母有理化)。
一、实数的分类(基本概念)：
正整数 ( 自然数 ) 正整数 正实数正有理数 正分数 整数 零 负整数 有理数 正无理数 实数 零 正分数 实数 分数 负整数 负分数 负有理数 负实数 正无理数 负分数 无理数 负无理数 负无理数
④理解有理数的运算律，并能运 用运算律简化运算。 ⑤能运用有理数的运算解决简单 的问题。 ⑥能对含有较大数字的信息作出 合理的解释和推断。[参见例1] (2)实数 ①了解平方根、算术平方根、立 方根的概念，会用根号表示数的平方 根、立方根。
②了解开方与乘方互为逆运算， 会用平方运算求某些非负数的平方根， 会用立方运算求某些数的立方根，会 用计算器求平方根和立方根。 ③了解无理数和实数的概念，知 道实数与数轴上的点一一对应。 ④能用有理数估计一个无理数的 大致范围。[参见例2]
•一般地，求一个数的平方根的方法有两种： •1.根据乘方意义求平方根; 2.用计算器求平方根.13.ຫໍສະໝຸດ 方根与开立方
一般地，如果一个正数x的立方等于a，即x3=a， 那么这个正数x就叫做a的立方根（cube root）， 记为“3 a ”，读作“3次根号a‖ .特别地，我 3 们规定0的立方根是0，即“ ” 0 0. 在“如果x3=a，那么x=3 a ‖ 中.其隐含的条件是 x、a都可以是任意数 ；
①除以一个数等于乘上这个数的倒数; 即
a÷b=a×
1 b
(b≠0)
② 两数相除,同号得正,异号得负, 并把绝对值相除; 0除以任何一个不等于0的数,都 得0.
5)有理数的乘方
即a· a· a·· · ·· a=a
n 个
n
①求n个相同因数的积的运算,叫做乘方。
幂
a
n
指数
底数
②正数的任何次幂都是正数； 负数的奇次幂是负数， 负数的偶次幂是正数.
用数学语言描述有理数乘法法则：
①同号相乘 若a>0,b>0,则 ab=+︱a︱×︱b︱ 若a<0,b<0,则 ab= +︱a︱×︱b︱ ②异号相乘 若a>0,b<0,则 ab= - ︱a︱×︱b︱ 若a<0,b>0,则 ab= -︱a︱×︱b︱ ③数与0相乘 a为任何有理数，则 a×0= 0
4)有理数除法法则

a a 4. a 0, b 0; b b
3.
a b a b a 0, b 0;
5.将
a aa 0与(a b)( a b) a b 结合运用 .
2 2 2

★20.计算： (1)加减法——把带根号的数看作“字母”,仿“通分”、 “分解因式”、“合并同类项”运算； (2)乘除法——①运用性质：
③ 一个数同0相加,仍得这个数。
用数学语言描述有理数加法法则：
①同号相加： 若a>0,b>0,则a+b=︱a︱+︱b︱ 若a<0,b<0,则a+b= -(︱a︱+︱b︱) ②异号相加 若a>0,b<0,︱a︱>︱b︱, 则a+b=︱a︱-︱b︱ 若a>0,b<0,︱a︱<︱b︱, 则a+b= - (︱b︱-︱a︱) 若a、b互为相反数，则a+b= 0 ③与0相加 a是任一个有理数，则a+0= a
a b a b a 0, b 0; a a a 0, b 0. b b
有理数的运算法则和运算律完全适用于实数.
16.有关实数的非负性：
1a
2
0;
2 a 0; 3
a 0 (a 0).
若几个非负数的和等于0,那么这几个非负数都0. 17.科学记数法：把一个数记成 a 10n 的形式，其 中 1 a 10 ，n 为整数。这种记数方
法叫做科学记数法。 18.近似数与有效数字：一个近似数，四舍五入到哪一 位，就说这个近似数精确到哪一位。这时，从左边第
2. 一个近似数，从左边第一个不是0 的数字起到，到精确到的数位止，所 有的数字，都叫做这个数的有效数字。
9.有理数的五种运算
1.运算法则 2.运算顺序 3.运 算 律
1.运算法则
1）有理数加法法则
2）有理数减法法则 3）有理数乘法法则
4）有理数除法法则 5）有理数的乘方
1)有理数加法法则 ① 同号两数相加,取相同的符号, 并把绝对值相加； ② 异号两数相加,取绝对值较大 的加数的符号,并用较大的绝对值 减去较小的绝对值；互为相反数 的两数相加得0；
2.运算顺序
1）有括号，先算括号里面的； 2）先算乘方，再算乘除，
最后算加减；
3）对只含乘除，或只含加减的 运算，应从左往右运算。
3.有理数的运算律 1)加法交换律
a+b=b+a ab=ba
(ab)c=a(bc)
2)加法结合律(a+b)+c=a+(b+c) 3)乘法交换律
4)乘法结合律 5)分 配 律
a(b+c)=ab+ac
问题情境 无理数的引入
实 数 的 应 用
算术平方根 无理数的表示 平方根 立方根
概念
分类
实数及相关概念
绝对值，相反数
实数与数轴上点的对应关系
实数运算和比较大小
10.平方根与算术平方根

一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方 根，记为“ a ”，读作“根号a‖ .特别 0 0，即 地，我们规定0的算术平方根是 =0.
1）可通过数轴比较： 在数轴上的两个数，右边的数 总比左边的数大； 正数都大于0，负数都小于0； 正数大于一切负数； 2）两个负数，绝对值大的反而小。 即:若a＜0,b＜0,且︱a︱＞︱b︱, 则a ＜ b.
8.科学记数法、近似数与有效数字
1. 把一个大于10的数记成a×10n 的形式，其中a是整数数位只有一位 的数，这种记数法叫做科学记数法 .
1.一个正数有两个平方根，
且它们互为相反数； 2.0只有一个平方根，它是0 本身； 3.负数没有平方根. 4.（± a ）2=a ； a.a 0 5. 2 a a.a 0


开平方： 求一个数a的平方根的 运算，叫做开平方 (extraction of square root)，其中a叫做被开 方数. 开平方运算与平方运 算互为逆运算.
（a是任意一个有理数）；
2）0的相反数是0. 3）若a、b互为相反数，则a+b=0.
-4
-2 2 4
-4 -3 –2 –1
0
1
2
3
4
5.倒 数
乘积是1的两个数互为倒数 .
1）a的倒数是
1 （a≠0）； a
2）0没有倒数 ； 3）若a与b互为倒数，则ab=1.
例：下列各数，哪两个数互为倒数？ 1 1 8， ( ) ，-1，+（-8），1， 8 8
零 负有理数