高中数学 选修2-1 北师大版 抛物线及其标准方程 课时作业(含答案)
高中数学第三章圆锥曲线与方程2.1抛物线及其标准方程课时作业北师大版选修2110150430
§2 抛物线 2.1 抛物线及其标准方程课时目标 1.掌握抛物线的定义、四种不同标准形式的抛物线方程、准线、焦点坐标及对应的几何图形.2.会利用定义求抛物线方程．1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F)的距离________的点的集合叫做抛物线，点F 叫做抛物线的________，直线l 叫做抛物线的________． 2．抛物线的标准方程(1)方程y 2＝±2px，x 2＝±2py(p>0)叫做抛物线的标准方程．(2)抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是__________，开口方向________．(3)抛物线y 2＝－2px(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是__________，开口方向________．(4)抛物线x 2＝2py(p>0)的焦点坐标是__________，准线方程是__________，开口方向________．(5)抛物线x 2＝－2py(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是__________，开口方向________．一、选择题1．抛物线y 2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是( )A .|a|4 B .|a|2 C ．|a| D ．－a 22．与抛物线y 2＝14x 关于直线x －y ＝0对称的抛物线的焦点坐标是( )A ．(1,0)B ．(116，0)C ．(0,0)D ．(0，116)3．抛物线y 2＝2px(p>0)上一点M 到焦点的距离是a(a>p 2)，则点M 的横坐标是( )A ．a ＋p 2B ．a －p 2C ．a ＋pD ．a －p4．已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x 轴上，其上点P(－3，m)到焦点F 的距离为5，则抛物线方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x5．方程2[(x ＋3)2＋(y －1)2]＝|x －y ＋3|表示的曲线是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．直线 D ．抛物线6．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172B．3 C. 5 D.92二、填空题7．抛物线x2＋12y＝0的准线方程是__________．8．若动点P在y＝2x2＋1上，则点P与点Q(0，－1)连线中点的轨迹方程是__________．9．已知抛物线x2＝y＋1上一定点A(－1,0)和两动点P，Q，当PA⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是______________．三、解答题10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程．11.平面上动点P到定点F(1,0)的距离比P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程．能力提升12．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )A.12B．1 C．2 D．413．AB为抛物线y＝x2上的动弦，且|AB|＝a (a为常数且a≥1)，求弦AB的中点M离x 轴的最近距离．1．理解抛物线定义，并能判定一些有关抛物线的点的轨迹问题．2．四个标准方程的区分：焦点在一次项字母对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口方向为坐标轴的正方向；系数为负时，开口方向为坐标轴的负方向．3．焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝2py通常又可以写成y＝ax2，这与以前学习的二次函数的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程y＝ax2来求其焦点和准线时，必须先化成标准形式．§2抛物线2．1 抛物线及其标准方程知识梳理1．相等焦点准线2．(2)(p 2，0) x ＝－p 2 向右 (3)(－p 2，0) x ＝p 2 向左 (4)(0，p 2) y ＝－p2 向上(5)(0，－p 2) y ＝p2向下作业设计1．B [因为y 2＝ax ，所以p ＝|a|2，即该抛物线的焦点到其准线的距离为|a|2.]2．D [y 2＝14x 关于直线x －y ＝0对称的抛物线为x 2＝14y ，∴2p＝14，p ＝18，∴焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116.]3．B [由抛物线的定义知：点M 到焦点的距离a 等于点M 到抛物线的准线x ＝－p2的距离，所以点M 的横坐标即点M 到y 轴的距离为a －p2.]4．B [点P(－3，m)在抛物线上，焦点在x 轴上，所以抛物线的标准方程可设为y 2＝－2px(p>0)．由抛物线定义知|PF|＝3＋p2＝5.所以p ＝4，所以抛物线的标准方程是y 2＝－8x.] 5．D [原方程变形为(x ＋3)2＋(y －1)2＝|x －y ＋3|2，它表示点M(x ，y)与点F(－3,1)的距离等于点M 到直线x－y ＋3＝0的距离．根据抛物线的定义，知此方程表示的曲线是抛物线．] 6．A [如图所示，由抛物线的定义知，点P 到准线x ＝－12的距离d 等于点P 到焦点的距离|PF|.因此点P 到点(0,2)的距离与点P 到准线的距离之和可转化为点P 到点(0,2)的距离与点P到点F 的距离之和，其最小值为点M(0,2)到点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离，则距离之和的最小值为 4＋14＝172.] 7．y ＝3解析 抛物线x 2＋12y ＝0，即x 2＝－12y ，故其准线方程是y ＝3.8．y ＝4x 29．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析 由题意知，设P(x 1，x 21－1)，Q(x 2，x 22－1)，又A(－1,0)，PA⊥PQ，∴PA →·PQ →＝0，即(－1－x 1,1－x 21)·(x 2－x 1，x 22－x 21)＝0，也就是(－1－x 1)·(x 2－x 1)＋(1－x 21)·(x 22－x 21)＝0.∵x 1≠x 2，且x 1≠－1，∴上式化简得x 2＝11－x 1－x 1＝11－x 1＋(1－x 1)－1，由基本不等式可得x 2≥1或x 2≤－3.10．解 设抛物线方程为y 2＝－2px (p>0)，则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0， 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ， m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－p 22＝5，解得⎩⎨⎧p ＝4，m ＝26，或⎩⎨⎧p ＝4，m ＝－2 6.故所求的抛物线方程为y 2＝－8x ，m ＝±2 6. 抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x ＝2. 11．解 方法一 设P 点的坐标为(x ，y)，则有(x －1)2＋y 2＝|x|＋1，两边平方并化简得y 2＝2x ＋2|x|.∴y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ， x≥0，0， x<0，即点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x≥0)或y ＝0 (x<0)．方法二 由题意，动点P 到定点F(1,0)的距离比到y 轴的距离大1，由于点F(1,0)到y 轴的距离为1，故当x<0时，直线y ＝0上的点适合条件；当x≥0时，原命题等价于点P 到点F(1,0)与到直线x ＝－1的距离相等，故点P 在以F 为焦点，x ＝－1为准线的抛物线上，其轨迹方程为y 2＝4x.故所求动点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x≥0)或y ＝0 (x<0)．12．C [方法一 由抛物线的标准方程得准线方程为x ＝－p2.∵准线与圆相切，圆的方程为(x －3)2＋y 2＝16，∴3＋p2＝4，∴p＝2.方法二 作图可知，抛物线y 2＝2px (p>0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切于点(－1,0)，所以－p2＝－1，p ＝2.]13．解设A 、M 、B 点的纵坐标分别为y 1、y 2、y 3.A 、M 、B 三点在抛物线准线上的射影分别为A′、M′、B′，如图所示． 由抛物线的定义，知|AF|＝|AA′|＝y 1＋14，|BF|＝|BB′|＝y 3＋14，∴y 1＝|AF|－14，y 3＝|BF|－14.又M 是线段AB 的中点，∴y 2＝12(y 1＋y 3)＝12⎝⎛⎭⎪⎫|AF|＋|BF|－12≥12×⎝⎛⎭⎪⎫|AB|－12＝14(2a －1)．等号在AB 过焦点F 时成立，即当定长为a 的弦AB 过焦点F 时，M 点与x 轴的距离最近，最近距离为14(2a －1)．。
高中北师大版数学选修2-1学案：3.2.1 抛物线及其标准方程 含答案
72 .
4
1
72
( ) 故当点 P 的坐标为 ，－1 时，d 有最小值
.
2
4
方法 2：因为 Error!无实根，所以直线与抛物线没有公共点．
设与直线 x＋y＋4＝0 平行的直线为 x＋y＋m＝0.
Error! ①消去 x 得 y2＋2y＋2m＝0，设此直线与抛物线相切，即
只有一个公共点．
1 所以 Δ ＝4－8m＝0，所以 m＝ .
在抛物线 y2＝2x 上求一点 P，使其到直线 l：x＋y＋4＝0 的距离最
小，并求最小距离．
y20 解：方法 1：设 P(x0，y0)是抛物线上的点，则 x0＝ ，P 到直线 x＋
2
y＋4＝0 的距离为 d＝
|x0＋y0＋4|
＝ 2
y20
| | ＋y0＋4 2
＝ 2
y0＋1 2＋7 ≥
22 2
7
＝ 2
【解】 将 x＝12 代入 x2＝4y 得 y＝36>6，∴ 点 A 在抛物线外部， 抛物线焦点为 F(0,1)，准线 l：y＝－1，过 P 作 PB⊥l 于点 B，交 x 轴
于点 C，则|PA|＋|PC|＝|PA|＋|PB|－1＝|PA|＋|PF|－1.由下图可知，当
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【解】
能通过．理由如下：建立如图所示的平面直角坐标系．
设抛物线方程为 x2＝－2py(p>0)，
当 x＝3 时，y＝－3，即点(3，－3)在抛物线上．代入得 2p＝3，故
抛物线方程为 x2＝－3y.
已知集装箱的宽为 3 m，
3
3
当 x＝ 时，y＝－ ，而桥高为 5 m，
2
4
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高中数学 选修2-1 北师大版 抛物线及其标准方程 作业(含答案)
1．明确抛物线方程有四种形式，记住并理解：“一次项定轴，正负定方向”． 2．重视抛物线定义的灵活应用，并重视抛物线解题时“数形结合”的作用． 3．在采用待定系数法求抛物线标准方程时，如果不知道开口方向，可将抛物线方程设成y 2＝2mx (或x 2＝2my )，m ∈R ，m ≠0，此时焦点到准线的距离为|m |.4．根据抛物线方程求其焦点坐标和准线方程时，一定要先化为标准形式，找出2p ，进而求出p 和p2的值，然后借助抛物线的开口方向即可求出焦点坐标和准线方程．————————————————————————————————————— —————————————————————————————————————[A 级 基础夯实]1．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标( ) A ．(2,0) B ．(－2,0) C ．(4,0)D ．(－4,0)解析：抛物线的开口向左，焦点在x 轴的负半轴上，2p ＝8，得p2＝2，故焦点坐标为(－2,0)．答案：B2．抛物线x 2＝4y 上一点P 的纵坐标为4，则点P 到抛物线焦点的距离为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：∵x 2＝4y ，设P (x p,4)， 故|PF |＝4＋1＝5. 答案：D3．抛物线y 2＝2x 的准线方程为( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝12D ．x ＝－12解析：由y 2＝2x ，知p 2＝12，所以准线方程x ＝－p 2＝－12，故选D.答案：D4．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|AB |的值为________．解析：∵y 2＝4x ，∴p ＝2.∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. 答案：85．已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点M (m ，－2)到焦点的距离为4，则m ＝________.解析：由已知，可设抛物线方程为x 2＝－2py .由抛物线定义有2＋p2＝4，∴p ＝4，∴x 2＝－8y .将(m ，－2)代入上式，得m 2＝16.∴m ＝±4.答案：±46．根据下列条件求抛物线的标准方程： (1)已知抛物线的焦点坐标是F (0，－2)； (2)准线方程为y ＝23；(3)焦点在x 轴负半轴上，焦点到准线的距离是5； (4)过点P (－2，－4)．解析：(1)因为抛物线的焦点在y 轴的负半轴上，且－p2＝－2，则p ＝4，所以，所求抛物线的标准方程为x 2＝－8y .(2)因为抛物线的准线在y 轴正半轴上，且p 2＝23，则p ＝43，所以，所求抛物线的标准方程为x 2＝－83y .(3)由焦点到准线的距离为5，知p ＝5，又焦点在x 轴负半轴上，所以，所求抛物线的标准方程为y 2＝－10x .(4)如图所示，因为点P 在第三象限，所以满足条件的抛物线的标准方程为y 2＝－2p 1x (p 1＞0)或x 2＝－2p 2y (p 2＞0)．分别将点P 的坐标代入上述方程，解得p 1＝4，p 2＝12.因此，满足条件的抛物线有两条，它们的方程分别为y 2＝－8x 和x 2＝－y .[B 级 能力提升]7．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：∵x 2＝8y ，∴焦点F 的坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2.由抛物线的定义知|MF |＝y 0＋2.以F 为圆心、|FM |为半径的圆的标准方程为x 2＋(y －2)2＝(y 0＋2)2.由于以F 为圆心、|FM |为半径的圆与准线相交，又圆心F 到准线的距离为4，故4<y 0＋2，∴y 0>2.答案：C8．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．解析：由已知得B 点的纵坐标为1，横坐标为p 4，即B ⎝⎛⎭⎫p 4，1，将其代入y 2＝2px 得1＝2p ×p 4，解得p ＝2，则B 点到准线的距离为p 2＋p 4＝34p ＝342.答案：3429．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，点A (72，4)，求|P A |＋d 的最小值．解析：设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F (12，0)．又点A (72，4)在抛物线的外侧，且点P到准线的距离为d ，所以d ＝|PF |，则|P A |＋d ＝|P A |＋|PF |≥|AF |＝5.∴|P A |＋d 的最小值是5.10．河上有一座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5 m 时，水面宽为8 m ，一条小船宽4 m ，高2 m ，载货后船露出水面的部分高34 m ，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多高时，小船不能通航？解析：如图，建立直角坐标系，设拱桥抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)． 由题意，将B (4，－5)代入方程得p ＝85.∴x 2＝－165y .。
高中数学第三章圆锥曲线与方程3.2.1抛物线及其标准方程课时作业含解析北师大版选修2_1
课时作业14 抛物线及其标准方程时间：45分钟 ——基础巩固类——一、选择题1．与y 轴相切并和圆x 2＋y 2－10x ＝0外切的动圆圆心的轨迹为( B ) A ．圆 B ．抛物线和一条射线 C ．椭圆D ．抛物线解析：设动圆圆心坐标为(x ，y )，由题意得y ＝0(x <0)或y 2＝20x (x ≠0)．故选B. 2．焦点在x 轴上，且经过点P (－1,2)的抛物线的标准方程是( C ) A ．y 2＝14xB ．y 2＝－14xC ．y 2＝－4xD ．x 2＝－4y解析：根据抛物线焦点和点P (－1,2)的位置，可设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，把点的坐标代入抛物线方程得p ＝2.故抛物线的标准方程为y 2＝－4x .3．已知抛物线y ＝34x 2，则它的焦点坐标是( D )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，316 B.⎝⎛⎭⎪⎫316，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 解析：化为标准方程为x 2＝43y ，∴抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，故选D.4．抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x －3y ＝0的距离是( D ) A ．2 3 B ．2 C. 3D ．1解析：抛物线的焦点为(2,0)，则点(2,0)到直线x －3y ＝0的距离d ＝21＋3＝1，故选D.5．抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为( B ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，±62B.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，±72C.⎝ ⎛⎭⎪⎫94，±32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，±102解析：设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋p 2＝x 0＋14＝2，∴x 0＝74，∴y 0＝±72.6．已知点P 是抛物线x ＝14y 2上的一个动点，则点P 到点A (0,2)的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为( C )A ．2 B. 5 C.5－1D.5＋1解析：由抛物线x ＝14y 2可得y 2＝4x ，所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．依题意可知点P到点A (0,2)的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值，就是P 到(0,2)与P 到该抛物线准线的距离的和的最小值减去1，也就是点P 到点A (0,2)的距离与P 到该抛物线焦点的距离之和的最小值减1，可得0－12＋2－02－1＝5－1.故选C.7．抛物线y ＝x 2上一点到直线2x －y －4＝0的距离最短的点的坐标是( B ) A ．(12，14)B ．(1,1)C ．(32，94)D ．(2,4)解析：设抛物线上任一点为(x ，y )，则由点到直线的距离公式得d ＝|2x －y －4|5＝|2x －x 2－4|5＝|x －12＋3|5＝x －12＋35≥35. 当x ＝1时，取得最小值，此时点的坐标为(1,1)．8．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( C )A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3x D ．y 2＝3x解析：如图，分别过A ，B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知：|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|，∴∠BCB 1＝30°，∴∠AFx ＝60°，连接A 1F ，则△AA 1F 为等边三角形，过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于K ，则|KF |＝|A 1F 1|＝12|AA 1|＝12|AF |，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x ，故选C.二、填空题9．抛物线y 2＝－x 的焦点到它的准线的距离等于12.解析：由题意得p ＝12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，准线方程为x ＝14，所以焦点到它的准线的距离等于12. 10．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝2.解析：本小题主要考查抛物线的性质、弦长等基础知识．直线AB ：y ＝x －p2代入抛物线y 2＝2px ，得x 2－3px ＋p 24＝0，∴x 1＋x 2＝3p ，∴3p ＋p ＝8，∴p ＝2.11．在平面直角坐标系xOy 中，有一定点A (2,1)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，则该抛物线的方程是y 2＝5x .解析：由题意得，线段OA 的垂直平分线方程为2x ＋y －52＝0，则与x 轴的交点为F (54，0)．所以p ＝52，即抛物线方程为y 2＝5x .三、解答题12．已知平面上动点P 到定点F (1,0)的距离比点P 到y 轴的距离大1，求动点P 满足的方程．解：方法1：设点P 的坐标为(x ，y )，则有x －12＋y 2＝|x |＋1.将两边平方并化简，得y 2＝2x ＋2|x |.∴y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x x ≥0，0x <0.∴动点P 满足的方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x <0)．方法2：由题意，动点P 到定点F (1,0)的距离比点P 到y 轴的距离大1，由于点F (1,0)到y 轴的距离为1，故当x <0时，直线y ＝0上的点适合条件，当x ≥0时，题中条件等价于点P 到点F (1,0)与点P 到直线x ＝－1的距离相等，故点P 的集合是以F 为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线，方程为y 2＝4x .故所求动点P 满足的方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x <0)．13．如图，是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的钢筋焊接在一起的架子支撑．已知镜口直径为12 m ，镜深2 m.(1)建立适当的坐标系，求抛物线的方程和焦点坐标；(2)若把盛水和食物的容器近似的看作点，试求每根钢筋的长度．解： (1)如图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x 轴垂直于镜口直径．由已知，得A 点坐标是(2,6)， 设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， 则36＝2p ×2，∴p ＝9.所以所求抛物线的标准方程是y 2＝18x . 焦点坐标是F (92，0)．(2)∵盛水的容器在焦点处，所以A 、F 两点间的距离即为每根钢筋长．|AF |＝2－922＋62＝6.5.故每根钢筋的长度是6.5 m.——能力提升类——14．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝6.解析：因为FA →＋FB →＋FC →＝0，所以点F 为△ABC 的重心，则A ，B ，C 三点的横坐标之和为点F 的横坐标的三倍，即x A ＋x B ＋x C ＝3，所以|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝x A ＋1＋x B ＋1＋x C ＋1＝6.15．如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率． 解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px . ∵点P (1,2)在抛物线上， ∴22＝2p ·1，得p ＝2.故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1. (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB . 则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)． ∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， ∴k PA ＝－k PB . ∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1. ∴y 1＋2＝－(y 2＋2)． ∴y 1＋y 2＝－4.由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线上， 得y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，② 由①－②得直线AB 的斜率k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝4y 1＋y 2＝－44＝－1(x 1≠x 2)．。
高中数学选修2-1北师大版 抛物线及其标准方程 学案3(含答案)
§2 抛物线2.1 抛物线及其标准方程自主整理1.平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作__________.这个定点F叫作抛物线的__________,这条定直线l叫作抛物线的__________.2.方程y2=±2px,x2=±2py(p＞0)叫作抛物线的__________方程.3.抛物线y2=2px(p＞0)的焦点坐标是__________,它的准线方程是__________,开口方向是__________.4.抛物线y2=-2px(p＞0)的焦点坐标是__________,它的准线方程是__________,开口方向是__________.5.抛物线x2=2py(p＞0)的焦点坐标是__________,它的准线方程是__________,开口方向是__________.6.抛物线x2=-2py(p＞0)的焦点坐标是__________,它的准线方程是__________,开口方向是__________.高手笔记次项系数为负时,不要出现错误.3.只有顶点在坐标原点,焦点在坐标轴上的抛物线方程才有标准形式.4.抛物线的开口方向取决于一次项变量(x或y)的取值范围.如抛物线x2=-2y,一次项变量y≤0,所以抛物线开口向下.名师解惑1.对抛物线的四种类型的标准方程的理解与认识剖析:一条抛物线由于建立坐标系的形式不同,得到标准方程的形式也不同,其中标准方程中p 的大小,确定了抛物线的形状.标准方程有四种形式:y 2=2px,y 2=-2px,x 2=2py,x 2=-2py(p ＞0).在求抛物线方程时,由于标准方程有四种形式,易混淆,可先根据题目的条件作出草图,确定方程的形式,再求参数p,若不能确定是哪一种形式的标准方程,应写出四种形式的标准方程来,不要遗漏某一种情况.2.对标准方程中的参数p 的理解剖析:标准方程中的参数p 的几何意义是指焦点到准线的距离,p ＞0恰恰说明定义中的焦点F 不在准线l 上这一隐含条件.参数p 的几何意义在解题时常常用到,特别是具体的标准方程中应找到相当于p 的值,才易于确定焦点坐标和准线方程. 讲练互动【例1】求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1)过点(-3,2);(2)焦点在直线x-2y-4=0上.解析:要求抛物线的标准方程，需根据条件确定其类型,设出方程的形式,然后求出参数p. 答案:(1)当抛物线的焦点在x 轴上时,设抛物线方程为y 2=-2px(p ＞0). 由抛物线过(-3,2)知,22=-2p×(-3),p=32. 所以所求的抛物线方程为y 2=34-x. 当抛物线的焦点在y 轴上时,设抛物线方程为x 2=2py(p ＞0). 由抛物线过(-3,2)知,(-3)2=4p,p=49. 所以所求的抛物线方程为x 2=29y. (2)直线x-2y-4=0与x 轴的交点为(4,0),与y 轴的交点为(0,-2),故抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2). 当焦点为(4,0)时,设抛物线方程为y 2=2px(p ＞0),2p=4,p=8. 所以抛物线方程为y 2=16x.当焦点为(0,-2)时,设抛物线方程为x 2=-2py(p ＞0),2p-=-2,p=4. 所以抛物线方程为x 2=-8y. 绿色通道在求抛物线标准方程时,焦点的位置不易确定,可作出草图,结合图形,设出方程,利用待定系数法分情况求解.在(2)中,根据抛物线标准方程的要求,可知直线x-2y-4=0与坐标轴的交点一定是抛物线的焦点,依此便求出焦点坐标,进而分类求解. 变式训练1.求顶点在原点,焦点在x 轴上的抛物线且截直线2x-y+1=0所得弦长为15的抛物线方程. 答案:设所求抛物线方程为y 2=ax(a≠0),① 直线方程变形为y=2x+1.② 设抛物线截直线所得弦为AB,②代入①,整理得4x 2+(4-a)x+1=0,则 |AB|=15]414)44)[(21(22=⨯--+a .解得a=12,或a=-4.所以所求抛物线方程为y 2=12x,或y 2=-4x.【例2】已知抛物线y 2=2x 的焦点是F,点P 是抛物线上的动点,又有点A(3,2),求｜PA ｜+｜PF ｜的最小值,并求出取最小值时P 点坐标.解析:由定义知,抛物线上点P 到焦点F 的距离等于点P 到准线l 的距离d,由图可知,求|PA|+|PF|的问题可转化为求|PA|+d 的问题.答案:将x=3代入抛物线方程y 2=2x,得y=±6. 因为6>2,所以A 在抛物线内部.设抛物线上点P 到准线l:x=21的距离为d,由定义知｜PA ｜+｜PF ｜=｜PA ｜+d.由图可知, 当PA ⊥l 时，｜PA ｜+d 最小，最小值为27,即|PA|+|PF|的最小值为27.此时P 点纵坐标为2,代入y 2=2x,得x=2.所以点P 的坐标为(2,2). 绿色通道本题涉及到抛物线上的点P 到焦点的距离,即|PF|,常考虑用定义转化,定义是解决问题的基础和灵魂,要善于考虑定义和应用定义解题. 变式训练2.已知点M(-2,4)及焦点为F 的抛物线y=81x 2,在此抛物线上求一点P,使|PM|+|PF|的值最小. 答案:如右图所示,设抛物线上的点P 到准线的距离为|PQ|. 由抛物线的定义,知|PF|=|PQ|, ∴|PF|+|PM|=|PQ|+|PM|.当P,Q,M 三点共线时,|PM|+|PF|最小. 由M(-2,4),可设P(-2,y 0),代入y=81x 2,得y 0=21,故P 点的坐标为(-2,21). 【例3】一辆卡车高3 m,宽1.6 m,欲通过断面为抛物线形的隧道,如图所示,已知拱口AB 宽恰好是拱高CD 的4倍,若拱宽为a m,求能使卡车通过的a 的最小整数值.解析:要求拱宽a 的最小值,需建立适当的坐标系,写出抛物线的方程,然后利用方程求解.答案:以拱顶为原点,拱高所在直线为y 轴,建立直角坐标系,如图,设抛物线方程为x 2=-2py(p ＞0),则点B 的坐标为(2a ,4a-),由点B 在抛物线上, 所以(2a )2=-2p·(4a -),p=2a ，所以抛物线方程为x 2=-ay.将点E(0.8,y)代入抛物线方程,得y= a64.0-. 所以点E 到拱底AB 的距离为4a -|y|=4a -a64.0＞3.解得a ＞12.21,因为a 取整数,所以a 的最小值为13. 绿色通道解决实际应用问题的关键是转化为数学问题,首先应考虑建立恰当的直角坐标系,得出抛物线方程,利用抛物线的知识解决问题. 变式训练3.汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分,灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直,灯泡位于抛物线焦点处(如图),已知灯口的直径是24 cm,灯深10 cm,那么灯泡与反射镜的顶点(即截得抛物线的顶点)距离是多少?答案:取反射镜的轴即抛物线的轴为x 轴,抛物线的顶点为坐标原点,建立直角坐标系xOy,如题图所示.因灯口直径|AB|=24,灯深|OP|=10, 所以点A 的坐标是(10,12).设抛物线的方程为y 2=2px(p ＞0). 由点A(10,12)在抛物线上,得122=2p×10, 所以p=7.2.抛物线的焦点F 的坐标为(3.6,0).因此灯泡与反射镜顶点的距离是3.6 cm. 教材链接 【思考交流】1.观察下图,你能用数学语言来描述吗?请与同学交流.答:动圆圆心到定点(动圆恒过的定律)的距离与它到定直线(动圆的公共切线)的距离相等,它的集合是抛物线.2.一条抛物线,由于它在坐标平面内的位置不同,方程也不同,你能否归纳出开口向左,向上,向下,顶点在原点,焦点在坐标轴上的抛物线标准方程?并分别写出它们的准线方程.答:顶点在原点,焦点在坐标轴上的抛物线,开口向左,向上,向下的标准方程分别是y 2=-2px,x 2=2py,x 2=-2py(p ＞0),顶点在原点,焦点在坐标轴上的抛物线,开口向左,向上,向下的准线方程分别是x=2p ,y=2p ,y=2p .。
选修2-1抛物线及其标准方程课时作业
课时作业13 抛物线及其标准方程时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，又过点(－2,3)的抛物线方程是( )A ．y 2＝94xB ．x 2＝43yC ．y 2＝－94x 或x 2＝－43yD ．y 2＝－92x 或x 2＝43y！【答案】 D【解析】 ∵点(－2,3)在第二象限，∴设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)或x 2＝2p ′y (p ′>0)，又点(－2,3)在抛物线上，∴9＝4p ，p ＝94；4＝6p ′，p ′＝23.2．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( ) B ．－18 C ．8 D ．－8【答案】 B[【解析】 ∵y ＝ax 2，∴x 2＝1a y ，其准线方程为y ＝2，∴a <0,2＝1－4a，∴a ＝－18. 3．设定点M (3，103)与抛物线y 2＝2x 上的点P 之间的距离为d 1，点P 到抛物线准线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2取最小值时，点P 坐标为( )A ．(0,0)B ．(1，2)C ．(2,2)D ．(18，－12)【答案】 C【解析】 连接PF ，则d 1＋d 2＝|PM |＋|PF |≥|MF |，知d 1＋d 2的最小值是|MF |，当且仅当M ，P ，F 三点共线时，等号成立，而直线MF 的方程为y ＝43(x －12)与y 2＝2x ，联立求得x ＝2，y ＝2；x ＝18，y ＝－12(舍去)，此时，点P 的坐标为(2,2)．4.$如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是( )A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线 【答案】 D【解析】 由于C 1D 1⊥平面BB 1C 1C ，连接PC 1，则PC 1⊥C 1D 1，即点P 到直线C 1D 1的距离即PC 1.因此，动点P 到定点C 1与定直线BC 的距离相等，依抛物线的定义知，动点P 的轨迹为抛物线． -5．抛物线y ＝14a x 2(a ≠0)的焦点坐标为( )A ．a >0时为(0，a )，a <0时为(0，－a )B ．a >0时为(0，a 2)，a <0时为(0，－a2) C ．(0，a ) D ．(1a ，0) 【答案】 C【解析】 a >0时，x 2＝4ay 的焦点为(0，a )；a <0时，x 2＝4ay 的焦点为(0，a )，这时焦点在y 轴负半轴上．故不论a 为何值，x 2＝4ay 的焦点总为(0，a )，故选C.6．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( ) <A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在【答案】 B【解析】 当斜率不存在时，x 1＋x 2＝2不符合题意． 因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，设直线方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ?x －1?y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， ∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝5，∴k 2＝43，即k ＝±233.#因而这样的直线有且仅有两条．二、填空题(每小题10分，共30分)7．(2013·北京文)若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝________，准线方程为________．【答案】 2 x ＝－1【解析】 由p 2＝1知p ＝2，则准线方程为x ＝－p2＝－1. 8．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________.【答案】 2【解析】 如图，设A (x 0，y 0)，由抛物线定义知x 0＋1＝2，∴x 0＝1，则直线AB ⊥x 轴，∴|BF |＝|AF |＝2.,9．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的通径长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)． 能使该抛物线方程为y 2＝10x 的条件是________(要求填写合适条件的序号)． \【答案】 ②⑤【解析】 由抛物线方程y 2＝10x 知，它的焦点在x 轴上，∴②适合．又∵它的焦点坐标为F (52，0)，原点O (0,0)，设点P (2,1)，可知k PO ·k PF ＝－1，∴⑤也适合，而①显然不成立，通过计算可知③、④不合题意．三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(13分)已知抛物线的方程如下，分别求它们的焦点坐标和准线方程．(1)y 2＝ax (a >0)；(2)3x ＝2y 2.【分析】 先根据抛物线的标准方程，求出p ，然后写出焦点坐标和准线方程．【解析】 (1)由抛物线的标准方程y 2＝ax (a >0)知，2p ＝a .故p 2＝a4.因此，所给抛物线的焦点为(a 4，0)，准线方程为x ＝－a4.#(2)把所给的抛物线方程变形为标准方程得y 2＝32x ，故2p ＝32，即p 2＝38.因此，所给抛物线的焦点为(38，0)，准线方程为x ＝－38. 【总结】 根据抛物线方程求其焦点坐标和准线方程，一定要先化成标准方程，求出p2的值，即可写出焦点坐标和准线方程．11．(13分)已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是其焦点．点A (－2，4)在抛物线的内部，在此抛物线上求一点P ，使|PF |＋|PA |的值最小．【分析】 如图所示，根据抛物线的定义把PF 转化为PQ ，使线段PA ，PQ 的两端点A ，Q 分别落在抛物线的两侧，再通过“数形结合”可知当A ，P ，Q 三点共线时距离达到最小．)【解析】 ∵点A (－2,4)在抛物线x 2＝8y 内部，如上图所示，设抛物线的准线为l ，过P 作PQ ⊥l 于Q ，过A 作AB ⊥l 于B .由抛物线的定义可知|PF |＋|PA |＝|PQ |＋|PA |≥|AQ |≥|AB |.当且仅当A ，P ，Q 三点共线时，|PF |＋|PA |的值最小，此时点P 的坐标为(－2，y 0)，代入x 2＝8y ，得y 0＝12，故当点P 的坐标为(－2，12)时，|PF |＋|PA |的值最小．12．(14分)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作一直线交抛物线于A 、B 两点，求1|AF |＋1|BF |的值．【解析】 已知焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设AB 方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋k 2p 24＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2，且x 1＋x 2＝k 2p ＋2p k 2，x 1x 2＝p 24.∴1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2?x 1＋x 2?＋p 24＝k 2p ＋2p k 2＋p p 24＋p 2·k 2p ＋2p k 2＋p 24＝2p (为定值)．。
高中数学选修2-1课时作业 抛物线的标准方程附解析
1．抛物线y＝4x2的准线方程为()A．x＝－1B．y＝－1 C．x＝－116D．y＝－1162．抛物线y2＝4x的焦点坐标是()A．(0，2) B．(0，1) C．(2，0) D．(1，0)3．经过点(2，4)的抛物线的标准方程为()A．y2＝8x B．x2＝y C．y2＝8x或x2＝y D．无法确定4．过点F(0，3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为()A．y2＝12x B．y2＝－12x C．x2＝12y D．x2＝－12y5．已知M是抛物线y2＝2px(p>0)上的点，若M到此抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和4，则点M的横坐标为()A．1 B．1或4 C．1或5 D．4或56．以双曲线x216－y29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为()A．y2＝16x B．y2＝－16x C．y2＝8x D．y2＝－8x7．已知抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，则抛物线的标准方程为________．8．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________．9．若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．10．抛物线y＝－14x2上的动点M到两定点F(0，－1)，E(1，－3)的距离之和的最小值为________．11．已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，求动圆圆心M的轨迹方程．1．抛物线y ＝4x 2的准线方程为( )A ．x ＝－1B ．y ＝－1C ．x ＝－116 D ．y ＝－116答案：D2．抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是( )A ．(0，2)B ．(0，1)C ．(2，0)D ．(1，0) 解析：由题意，y 2＝4x 的焦点坐标为(1，0)．答案：D3．经过点(2，4)的抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝8xB ．x 2＝yC ．y 2＝8x 或x 2＝yD ．无法确定解析：由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝2p ′y (p ′>0)，将点(2，4)代入可得p ＝4或p ′＝12，所以所求抛物线的标准方程为y 2＝8x 或x 2＝y . 答案：C4．过点F (0，3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝－12xC ．x 2＝12yD ．x 2＝－12y解析：由题意，知动圆圆心到点F (0，3)的距离等于到定直线y ＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F 为焦点，直线y ＝－3为准线的抛物线，所以所求的抛物线方程为x 2＝12y .答案：C5．已知M 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的点，若M 到此抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和4，则点M 的横坐标为( )A ．1B ．1或4C ．1或5D ．4或5解析：因为点M 到对称轴的距离为4，所以点M 的坐标可设为(x ，4)或(x ，－4)，又因为M 到准线的距离为5，所以⎩⎪⎨⎪⎧42＝2px ，x ＋p 2＝5，解得⎩⎨⎧x ＝4，p ＝2，或⎩⎨⎧x ＝1，p ＝8. 答案：B6．以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝16x B ．y 2＝－16x C ．y 2＝8x D ．y 2＝－8x答案：A7．已知抛物线的焦点在直线x －2y －4＝0上，则抛物线的标准方程为________．答案：y 2＝16x 或x 2＝－8y8．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________．解析：因为|AF|＋|BF|＝x A＋x B＋12＝3，所以x A＋x B＝52.所以线段AB的中点到y轴的距离为x A＋x B2＝54.答案：549．若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．解析：x M＋1＝10⇒x M＝9.答案：910．抛物线y＝－14x2上的动点M到两定点F(0，－1)，E(1，－3)的距离之和的最小值为________．解析：将抛物线方程化成标准方程为x2＝－4y，可知焦点坐标为(0，－1)，因为－3＜－1 4，所以点E(1，－3)在抛物线的内部，如图所示，设抛物线的准线为l，过M点作MP⊥l于点P，过点E作EQ⊥l于点Q，由抛物线的定义可知，|MF|＋|ME|＝|MP|＋|ME|≥|EQ|，当且仅当点M在EQ上时取等号，又|EQ|＝1－(－3)＝4，故距离之和的最小值为4.答案：411．已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，求动圆圆心M的轨迹方程．解：法一：设动点M(x，y)，设⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，所以点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，所以p2＝3，所以p＝6.所以圆心M的轨迹方程是y2＝12x.法二：设动点M(x，y)，则点M的轨迹是集合P＝{M||MA|＝|MN|}，即（x－3）2＋y2＝|x＋3|，化简得y2＝12x.所以圆心M的轨迹方程为y2＝12x.。
高中数学北师大版选修2-1课时作业3.2.3 抛物线的简单性质(2) Word版含解析
第三章§课时作业一、选择题．过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于，两点，若点，在抛物线的准线上的射影分别为，，则∠为( )．°．°．°．°解析：设抛物线的方程为＝(>)．如图，∵＝，＝，∴∠＝∠，∠＝∠.又∥∥，∴∠＝∠，∠＝∠.∴∠＝∠＝°.答案：．设抛物线＝(＋)的准线为，直线＝与该抛物线相交于、两点，则点及点到准线的距离之和为( )．．．．解析：易知＝过抛物线的焦点，∴＋＝＝－＝×＝，故选择.答案：．已知点是抛物线＝上的一个动点，则点到点()的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )．．．．解析：依题意设点在抛物线准线上的投影为点′，抛物线的焦点为，依抛物线的定义，知点到该抛物线准线的距离为′＝，则点到点()的距离与点到该抛物线准线的距离之和＝＋≥＝＝.答案：二、填空题．设斜率为的直线过抛物线＝(≠)的焦点，且和轴交于点.若△(为坐标原点)的面积为，则抛物线方程为( )．＝±．＝±．＝．＝解析：不论值正负，抛物线的焦点坐标都是，故直线的方程为＝，令＝得＝－，故△的面积为××＝＝，故＝±.故选择.答案：．已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线＝与抛物线交于，两点，若()为的中点，则抛物线的方程为．解析：设抛物线的方程为＝(≠)，由方程组(\\(＝，＝))得交点坐标为()，(，)，而点()是的中点，从而有＝，故所求抛物线的方程为＝.答案：＝．设抛物线＝(>)的焦点为，点()．若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为．解析：抛物线的焦点的坐标为，线段的中点的坐标为，代入抛物线方程得＝×，解得＝，故点的坐标为，故点到该抛物线准线的距离为＋＝.答案：．过抛物线＝(>)的焦点作斜率为的直线与该抛物线交于，两点，，在轴上的正射影分别为，.若梯形的面积为，则＝.解析：依题意，抛物线的焦点的坐标为，设(，)，(，)，直线的方程为－＝，代入抛物线方程得，－＋＝，故＋＝，＝＋＝＋＋＝，直角梯形有一个内角为°，故＝＝×＝，梯形面积为(＋)×＝××＝＝，＝.答案：三、解答题．过抛物线的焦点作不垂直于对称轴的直线交抛物线于，两点，线段的垂直平分线交对称轴于点.求证：＝.证明：如图，不妨设抛物线的方程为＝(>)，交点为(，)，(，)，的中点为(，)，则＝，。
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2016-2017学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.2.1 拋物线及
其标准方程课后演练提升 北师大版选修2-1
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．对拋物线y ＝4x 2
，下列描述正确的是( )
A ．开口向上，焦点为(0,1)
B ．开口向上，焦点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，116 C ．开口向右，焦点为(1,0) D ．开口向右，焦点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，116 解析： 拋物线方程可化为：x 2
＝14y ，∴2p ＝14，开口向上，焦点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，116，故选B.
答案： B
2．抛物线y ＝ax 2
的准线方程是y ＝2，则a 的值为( ) A.18 B ．－18 C ．8 D ．－8
解析： 由y ＝ax 2，得x 2
＝1a y ，14a ＝－2，a ＝－18
.
答案： B
3．若动圆与圆(x －2)2＋y 2
＝1外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A ．y 2＝8x
B ．y 2
＝－8x
C ．y 2＝4x
D ．y 2
＝－4x
解析： 设动圆的半径为r ，圆心O ′(x ，y )，且O ′到点(2,0)的距离为r ＋1，O ′到直线x ＝－1的距离为r ，所以O ′到(2,0)的距离与到直线x ＝－2的距离相等，由抛物线的
定义知y 2
＝8x .故选A.
答案： A
4．焦点在x 轴上，又在直线3x －4y －12＝0上的拋物线的标准方程是( )
A ．y 2＝－16x
B ．y 2
＝－12x
C ．y 2＝16x
D ．y 2
＝12x
解析： 直线3x －4y －12＝0与x 轴的交点坐标为(4,0)，故拋物线方程为y 2
＝16x . 答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．抛物线y 2
＝2px ，过点M (2,2)，则点M 到抛物线准线的距离为________．
解析： y 2
＝2px 过点M (2,2)，于是p ＝1，所以点M 到抛物线准线的距离为2＋p 2＝52
.
答案： 5
2
6．若拋物线y 2
＝mx 与椭圆x 29＋y 2
5
＝1有一个共同的焦点，则m ＝________.
解析： ∵椭圆x 29＋y 2
5＝1的焦点为(2,0)、(－2,0)，若拋物线与椭圆共焦点(2,0)，
则m
4
＝2，∴m ＝8；若共焦点(－2,0)，则m ＝－8，∴m ＝±8. 答案： ±8
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．在平面直角坐标系xOy 中，拋物线C 的顶点在原点，经过点A (2,2)，其焦点F 在x 轴上．
(1)求拋物线C 的标准方程；
(2)求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程．
解析： (1)由题意，可设拋物线C 的标准方程为y 2
＝2px ，因为点A (2,2)在拋物线C
上，所以p ＝1.因此，拋物线C 的标准方程为y 2
＝2x .
(2)由(1)可得焦点F 的坐标是⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，0，又直线OA 的斜率为22＝1，故与直线OA 垂直的直线的斜率为－1.因此，所求直线的方程是x ＋y －1
2
＝0.
8．某桥的桥洞呈拋物线形，桥下水面宽16 m ，当水面上涨2 m 时，水面宽变为12 m ，求此时桥洞顶部距水面的高度．
解析： 建立坐标系如图所示，
设拋物线方程为x 2
＝－2py (p ＞0)．
由条件可知点B 的横坐标为8，点E 的横坐标为6.
两点的纵坐标分别为y B ＝－32p ，y E ＝－18
p
，
∴y E －y B ＝14
p
＝2，得p ＝7，
∴拋物线方程为：x 2
＝－14y ，y E ＝－187，
所以此时桥洞顶部距水面的高度为18
7 m.
尖子生题库 ☆☆☆
9．(10分)已知拋物线的顶点为直角坐标系的原点，准线方程为4x ＋1＝0.
(1)在拋物线上有一定点P ，到拋物线焦点的距离为|PF |＝5
2
，求点P 的坐标；
(2)设拋物线上有一动点Q ，当动点Q 与点A (1,0)的距离|QA |取得最小值时，求Q 点的坐标，及|QA |的最小值．
解析： (1)因为准线方程为4x ＋1＝0，即x ＝－14，得p 2＝14，所以p ＝1
2
，由题意，拋
物线方程为y 2
＝x .
设P (x 1，y 1)，因为|PF |等于点P 到准线的距离，所以x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝5
2
，得x 1＝94，进而y 1
＝±32，即点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫94，32或⎝ ⎛⎭⎪⎫9
4
，－32.
(2)设Q (a 2，a )，则|QA |＝ a 2－1 2＋a 2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－122＋34，当且仅当a 2＝12时，|QA |取得最小值32，此时Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫12
，－22.。