2018宁波市中考必备数学模拟试卷(14)附详细试题答案
【数学】2018年浙江省宁波市数学中考真题(解析版)
2018年浙江省宁波市中考数学真题一、选择题（本大题共12小题，共48分）1.在−3，−1，0，1这四个数中，最小的数是()A. −3B. −1C. 0D. 12.2018中国(宁波)特色文化产业博览会于4月16日在宁波国际会展中心闭幕.本次博览会为期四天，参观总人数超55万人次，其中55万用科学记数法表示为()A. 0.55×106B. 5.5×105C. 5.5×104D. 55×1043.下列计算正确的是()A. a3+a3=2a3B. a3⋅a2=a6C. a6÷a2=a3D. (a3)2=a54.有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为()A. 45B. 35C. 25D. 155.已知正多边形的一个外角等于40∘，那么这个正多边形的边数为()A. 6B. 7C. 8D. 96.如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是()A. 主视图B. 左视图C. 俯视图D. 主视图和左视图7.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE.若∠ABC=60∘，∠BAC=80∘，则∠1的度数为()A. 50∘B. 40∘C. 30∘D. 20∘8.若一组数据4，1，7，，5的平均数为4，则这组数据的中位数为()A. 7B. 5C. 4D. 39.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，∠A=30∘，AB=4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则CD̂的长为()A. 16π B. 13π C. 23π D. 2√33π10.如图，平行于轴的直线与函数，的图象相交于A两点点在点B的右侧，C为轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则的为()A. 8B. −8C. 4D. −411.如图，二次函数的图象开向下，且经过第三象限的点P.若点P的横坐标为−1，则一次函数的图象大致是()A. B.C. D.12.在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片按图1，图2两种方式放置(图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2.当AD−AB=2时，S2−S1的值为()A. 2aB. 2bC. 2a−2bD.−2b二、填空题（本大题共6小题，共24分）13.计算：|−2018|=______．14.要使分式有意义，的取值应满足______．15.已知，y满足方程组，则的为______．16.如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45∘和30∘.若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为______米(结果保留根号)．17.如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为______．18.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME.若∠EMD=90∘，则cosB的值为______．三、计算题（本大题共1小题，共6分）19.已知抛物线经过点(1,0)，(1)求该抛物线的函数表达式；(2)将抛物线平移，使其顶点恰好在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．四、解答题（本大题共7小题，共72分）20.先化简，再求值：，中．21.在5×3的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．(1)在图1中画出线段BD，使BD//AC，其中D是格点；(2)在图2中画出线段BE，使BE⊥AC，其中E是格点．22.在第23个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间(用t表示，单位：小时)，采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按0≤t<2，2≤t<3，3≤t<4，t≥4分为四个等级，并依次用A，B，C，D表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：(1)求本次调查的学生人数；(2)求扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；(3)若该校共有学生1200人，试估计每周课外阅读时间满足3≤t<4的人数．23.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，D是AB边上一点(点D与A，B不重合)，连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90∘得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．(1)求证：△ACD≌△BCE；(2)当AD=BF时，求∠BEF的度数．24.某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元.已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．(1)求甲、乙两种商品的每件进价；(2)该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变.要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？25.若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．(1)已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3，请直接写出所有满足条件的AC的长；(2)如图1，在四边形ABCD中，AD//BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADC.求证：△ABC 是比例三角形．(3)如图2，在(2)的条件下，当∠ADC=90∘时，求BD的值．AC).26.如图1，直线l：与轴交于点A(4,0)，与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点(0<AC<165以点A为圆心，AC长为半径作⊙A交轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交⊙A于点F．(1)求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值；(2)如图2，连结CE，当CE=EF时，①求证：△OCE∽△OEA；②求点E的坐标；(3)当点C在线段OA上运动时，求OE⋅EF的最大值．【参考答案】一、选择题（本大题共12小题，共48分）1.【答案】A【解析】由正数大于零，零大于负数，得−3<−1<0<1，最小的数是−3，故选：A．2.【答案】B【解析】550000=5.5×105，故选：B．10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】A【解析】∵a3+a3=2a3，∴选项A符合题意；∵a3⋅a2=a5，∴选项B不符合题意；∵a6÷a2=a4，∴选项C不符合题意；∵(a3)2=a6，∴选项D不符合题意．故选：A．4.【答案】C【解析】∵从写有数字1，2，3，4，5这5张纸牌中抽取一张，其中正面数字是偶数的有2、4这2种结果，∴正面的数字是偶数的概率为2，5故选：C．5.【答案】D【解析】正多边形的一个外角等于40∘，且外角和为360∘，则这个正多边形的边数是：360∘÷40∘=9．故选：D．6.【答案】C【解析】从上边看是一个田字，“田”字是中心对称图形，故选：C．7.【答案】B【解析】∵∠ABC=60∘，∠BAC=80∘，∴∠BCA=180∘−60∘−80∘=40∘，∵对角线AC 与BD 相交于点O ，E 是边CD 的中点， ∴EO 是△DBC 的中位线，∴EO//BC ，∴∠1=∠ACB =40∘．故选：B ．8.【答案】C【解析】∵数据4，1，7，，5的平均数为4， ，解得：，则将数据重新排列为1、3、4、5、7，所以这组数据的中位数为4，故选：C ．9.【答案】C【解析】∵∠ACB =90∘，AB =4，∠A =30∘， ∴∠B =60∘，BC =2∴CD ⌢的长为60π×2180=2π3， 故选：C ．10.【答案】A【解析】轴，∴A ，B 两点纵坐标相同．设A(a,ℎ)，B(b,ℎ)，则，．，．选：A ．11.【答案】D【解析】由二次函数的图象可知，a <0，b <0，当时，y =a −b <0，的图象在第二、三、四象限， 故选：D ．12.【答案】B【解析】S1=(AB−a)⋅a+(CD−b)(AD−a)=(AB−a)⋅a+(AB−b)(AD−a)，S2=AB(AD−a)+(a−b)(AB−a)，∴S2−S1=AB(AD−a)+(a−b)(AB−a)−(AB−a)⋅a−(AB−b)(AD−a)=(AD−a)(AB−AB+b)+(AB−a)(a−b−a)=b⋅AD−ab−b⋅AB+ab=b(AD−AB)=2b．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，共24分）13.【答案】2018【解析】|−2018|=2018．故答案为：2018．14.【答案】【解析】要使分式有意义，则：．解得：，故的取值应满足：．故答案为：．15.【答案】−8【解析】原式=−15故答案为：−1516.【答案】1200(√3−1)【解析】由于CD//HB，∴∠CAH=∠ACD=45∘，∠B=∠BCD=30∘在Rt△ACH中，∵∴∠CAH=45∘∴AH=CH=1200米，在Rt△HCB，∵tan∠B=CHHB∴HB=CHtan∠B=1200tan30∘==1200√3(米)．√33∴AB=HB−HA=1200√3−1200=1200(√3−1)米故答案为：1200(√3−1)在Rt△ACH和Rt△HCB中，利用锐角三角函数，用CH表示出AH、BH的长，然后计算出AB的长．17.【答案】3或4√3【解析】如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC=PM=m．在Rt△PBM中，∵PM2=BM2+PB2，，∴PC=5，BP=BC−PC=8−5=3．如图2中当⊙P与直线AD相切时.设切点为，连接P，则，四边形PDC是矩形．，∴BM =4，PM =8，在Rt △PBM 中，PB =√82−42=4√3．综上所述，BP 的长为3或4√3．18.【答案】√3−12【解析】延长DM 交CB 的延长线于点H ．∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =AD =2，AD//CH ，∴∠ADM =∠H ，∵AM =BM ，∠AMD =∠HMB ，∴△ADM ≌△BHM ，∴AD =HB =2，∵EM ⊥DH ，∴EH =ED ，设，∵AE ⊥BC ，∴AE ⊥AD ，∴∠AEB =∠EAD =90∘∵AE 2=AB 2−BE 2=DE 2−AD 2，，或舍弃)，∴cosB =BE AB =√3−12， 故答案为√3−12．三、计算题（本大题共1小题，共6分）19.解：(1)把(1,0)，(0,32)代入抛物线解析式得：{−12+b +c =0c =32， 解得：{b =−1c =32，则抛物线解析式为；(2)抛物线解式为，将抛物线向右平一个单位向下平移2个单位，解析式变为．四、解答题（本大题共7小题，共72分）20.解：原式，时，原式．21.解(1)如图所示，线段BD即为所求；(2)如图所示，线段BE即为所求．22.解：(1)由条形图知，A级的人数为20人，由扇形图知：A级人数占总调查人数的10%=200(人)所以：20÷10%=20×10010即本次调查的学生人数为200人；(2)由条形图知：C级的人数为60人×100%=30%，所以C级所占的百分比为：60200B级所占的百分比为：1−10%−30%−45%=15%，B级的人数为200×15%=30(人)D级的人数为：200×45%=90(人)B所在扇形的圆心角为：360∘×15%=54∘．(3)因为C级所占的百分比为30%，所以全校每周课外阅读时间满足3≤t<4的人数为：1200×30%=360(人)答：全校每周课外阅读时间满足3≤t<4的约有360人．23. (1)证明：由题意可知：CD =CE ，∠DCE =90∘，∵∠ACB =90∘，∴∠ACD =∠ACB −∠DCB ，∠BCE =∠DCE −∠DCB ，∴∠ACD =∠BCE ，在△ACD 与△BCE 中，{AC =BC ∠ACD =∠BCE CD =CE∴△ACD ≌△BCE(SAS)(2)解：∵∠ACB =90∘，AC =BC ，∴∠A =45∘，由(1)可知：∠A =∠CBE =45∘，∵AD =BF ，∴BE =BF ，∴∠BEF =67.5∘24.解：(1)设甲种商品的每件进价为元，则乙种商品的每件进价为元． 根据题意，得，，解得．检验，是原方程的解．答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；(2)甲乙两种商品的销售量为200040=50．设甲种商品按原销售单价销售a 件，则(60−40)a +(60×0.7−40)(50−a)+(88−48)×50≥2460，解得a≥20．答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．25.解：(1)∵△ABC是比例三角形，且AB=2、AC=3，①当AB2=BC⋅AC时，得：4=3AC，解得：AC=43；②当BC2=AB⋅AC时，得：9=2AC，解得：AC=92；③当AC2=AB⋅BC时，得：AC=6，解得：AC=√6(负值舍去)；所以当AC=43或92或√6时，△ABC是比例三角形；(2)∵AD//BC，∴∠ACB=∠CAD，又∵∠BAC=∠ADC，∴△ABC∽△DCA，∴BCCA =CAAD，即CA2=BC⋅AD，∵AD//BC，∴∠ADB=∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ADB=∠ABD，∴AB=AD，∴CA2=BC⋅AB，∴△ABC是比例三角形；(3)如图，过点A作AH⊥BD于点H，∵AB=AD，∴BH=12BD，∵AD//BC，∠ADC=90∘，∴∠BCD=90∘，∴∠BHA=∠BCD=90∘，又∵∠ABH=∠DBC，∴△ABH∽△DBC，∴ABDB =BHBC，即AB⋅BC=BH⋅DB，∴AB⋅BC=12BD2，又∵AB⋅BC=AC2，∴12BD2=AC2，∴BDAC=√2．26.解：∵直线l：与轴交于点A(4,0)，∴−34×4+b=0，∴b=3，∴直线l的函数表达式，∴B(0,3)，∴OA=4，OB=3，在Rt△AOB中，tan∠BAO=OBOA =34；(2)①如图2，连接DF，∵CE=EF，∴∠CDE=∠FDE，∴∠CDF=2∠CDE，∵∠OAE=2∠CDE，∴∠OAE=∠ODF，∵四边形CEFD是⊙O的圆内接四边形，∴∠OEC=∠ODF，∴∠OEC=∠OAE，∵∠COE=∠EOA，∴△COE∽△EOA，②过点E⊥OA于M，由①知，tan∠OAB=34，设EM=3m，则AM=4m，∴OM=4−4m，AE=5m，∴E(4−4m,3m)，AC=5m，∴OC=4−5m，由①知，△COE∽△EOA，∴OCOE =OEOA，∴OE2=OA⋅OC=4(4−5m)=16−20m，∵E(4−4m,3m)，∴(4−4m)2+9m2=25m2−32m+16，∴25m2−32m+16=16−20m，∴m=0(舍)或m=1225，∴4−4m=4825，3m=3625，∴(4825,3625)，(3)如图，设⊙O的半径为r，过点O作OG⊥AB于G，∵A(4,0)，B(0,3)，∴OA=4，OB=3，∴AB=5，∴12AB×OG=12OA×OB，∴OG=125，∴AG=OGtan∠AOB =125×43=165，∴EG=AG−AE=165−r，连接FH，∵EH是⊙O直径，∴EH=2r，∠EFH=90∘=∠EGO，∵∠OEG=∠HEF，∴△OEG∽△HEF，∴OEHE =EGEF，∴OE⋅EF=HE⋅EG=2r(165−r)=−2(r−85)2+12825，∴r=85时，OE⋅EF最大值为12825．。
2018年浙江省宁波市中考数学试卷(含答案与解析)
---------------- 密★启用前 _ --------------------_____号 卷A . -3B . -1C.0D.1生 __ 考 __ __ 上 __ __ __ __ __ 姓 _A .4_ 答 5 B .5 C .5 D .__ __ _ --------------------的是（）A . πB . πC . πD . 2 310.如图,平行于 x 轴的直线与函数 y = k1 (k > 0 , x > 0) , y =x x -------------绝7.如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O , E 是边 CD 的中点,连结在--------------------浙江省宁波市 2018 年初中学业水平考试数学本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.OE .若 ∠ABC = 60︒ , ∠BAC = 80︒ ,则 ∠1 的度数为 （ ）_ __ __ __1.在 -3 , -1 ,0,1 这四个数中,最小的数是（） __ __ 览会为期四天,参观总人数超 55 万人次,其中 55 万用科学记数法表示为 （）__ _ _A . 0.55 ⨯106B . 5.5 ⨯105C . 5.5 ⨯ 104D . 55 ⨯ 104_ _ 4.有五张背面完全相同的卡片, 正面分别写有数字 1,2,3,4,5,把这些卡片背_ _ _ _ 面朝上洗匀后,从中随机抽取一张,其正面的数字是偶数的概率为 （）名 __ _ __ A.6 B.7C.8D.9__ __ 6.如图是由 6个大小相同的立方体组成的几何体,在这个几何体的三视图中,是中心对称 _ 题 校 学 业 毕 此 第Ⅰ卷（选择题 共 48 分）一、选择题（本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）--------------------2.2018 中国（宁波）特色文化产业博览会于 4 月 16 日在宁波国际会展中心闭幕.本次博3.下列计算正确的是 （ ） -------------------- A . a 3 + a 3 = 2a 3 B . a 3 a 2 = a 6 C. a 6 ÷ a 2 = a 3 D . (a 3 )2 = a 53 2 1-------------------- 5_ 5.已知正多边形的一个外角等于 40︒ ,那么这个正多边形的边数为 （ ）图形无--------------------A.主视图B.左视图C.俯视图 D .主视图和左视图A .50︒B. 40︒C. 30︒D. 20︒8.若一组数据 4,1,7, x ,5 的平均数为 4,则这组数据的中位数为 （ ）A.7B.5C.4D.3 9.如图,在 △ABC 中, ∠ACB = 90︒ , ∠A = 30︒ , AB = 4 ,以点 B 为圆心, BC 长为半径画 弧,交边 AB 于点 D ,则 CD 的长为 （ ）1 12 63 3 3 πk2(k > 0 , x > 0) 的图象分1 2别相交于 A , B 两点,点 A 在点 B 的右侧, C 为 x 轴上的一个动点 ,若 △ABC 的面积为 4,则 k - k 的值为 （ ）1 2A.8B. -8C.4D. -411.如图,二次函数 y = ax 2 + b x 的图象开口向下 ,且经过第三象限的点 P .若点 P 的横坐标为 -1 ,则一次函数 y = (a - b ) x + b 的图象大致是效数学试卷 第 1 页（共 34 页）数学试卷 第 2 页（共 34 页）x -1 有意义, x 的取值应满足2 .⎩ x + 2 y = -3，（）AB C D12.在矩形 ABCD 内,将两张边长分别为 a 和 b (a > b ) 的正方形纸片按图 1,图 2 两种方式放置（图 1,图 2 中两张正方形纸片均有部分重叠）,矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示,设图 1 中阴影部分的面积为 S ,图 2 中阴影部分的面积为 S .12当 AD - AB = 2 时, S - S 的值为（ ）2117.如图,正方形 ABCD 的边长为 8, M 是 AB 的中点, P 是 BC 边上的动点 ,连结 PM ,以点 P 为圆心 , PM 长为半径作 P .当 P 与正方形 ABCD 的边相切时 , BP 的长为 .18.如图,在菱形 ABCD 中, AB = 2 , ∠B 是锐角, AE ⊥ BC 于点 E , M 是 AB 的中点,连结 MD , ME .若 ∠EMD = 90︒ ,则 cosB 的值为 .A . 2aB . 2bC . 2a - 2bD . -2b第Ⅱ卷（非选择题 共 102 分）二、填空题（本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.把答案填写在题中的横线上）13.计算： | -2 018| = .三、解答题（本大题共 8 小题,共 78 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.（本小题满分 6 分）14.要使分式 1.先化简,再求值： ( x - 1)2 + x(3 - x) ,其中 x = - 1⎧ x - 2 y = 5，15.已知 x , y 满足方程组 ⎨则 x 2 - 4 y 2 的值为 .16.如图,某高速公路建设中需要测量某条江的宽度 AB ,飞机上的测量人员在 C 处测得A ,B 两点的俯角分别为 45︒ 和 30︒ .若飞机离地面的高度C H 为 1200 米,且点 H , A ,B 在同一水平直线上,则这条江的宽度 AB 为米（结果保留根号）.20.（本小题满分 8 分）在 5⨯ 3 的方格纸中, △ABC 的三个顶点都在格点上.数学试卷 第 3 页（共 34 页） 数学试卷 第 4 页（共 34 页）__ __ __ _ 此_ __ 3≤t ＜4 , t ≥4 分为四个等级,并依次用 A , B , C , D 表示,根据调查结果统计的数据,_ __ __ 考 __ 卷_ _ _ _ 上名 __ 姓 __ __ _ （3）若该校共有学生 1200 人,试估计每周课外阅读时间满足的人数.__ 毕--------------------小题满分 10 分）已知抛物线 y = - x 2 + bx + c 经过点 (1,0) , (0, ) .（ ,（2）将抛物线 y = - x 2 + bx + c 平移,使其顶点恰好落在原点 ,请写出一种平移的方-----------------------------（1）在图 1 中画出线段 BD ,使 BD ∥AC ,其中 D 是格点；（2）在图 2 中画出线段 BE ,使 BE ⊥ AC ,其中 E 是格点.在--------------------21.（本小题满分 8 分）在第 23 个世界读书日前夕,我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间（用 t 表示,单位：小时）,采用随机抽样的方法进行问卷调查,调查结果按 0≤t ＜2 , 2≤t ＜3 , --------------------_ 绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图,由图中给出的信息解答下列问题：号 生 __ _ --------------------__ _ _ _ _ __ __ _ _ _ --------------------_ _ _ _ （1）求本次调查的学生人数；_ （2）求扇形统计图中等级 B 所在扇形的圆心角度数,并把条形统计图补充完整；_ 答_ --------------------__ __ __ __ 校 学 题业 22.（本1 32 223.（本小题满分 10 分）如图,在 △ABC 中, ∠ACB = 90︒ , AC = BC , D 是 AB 边上一点 点 D 与 A , B 不重合） 连结 CD ,将线段 CD 绕点 C 按逆时针方向旋转 90︒ 得到线段 CE ,连结 DE 交 BC 于点3≤t ＜4 F ,连接. BE（1）求证： △ACD ≌△BCE ；（2）当 AD = BF 时,求 ∠BEF 的度数.24.（本小题满分 10 分）某商场购进甲、乙两种商品,甲种商品共用了 2 000 元,乙种商品共用了 2 400 元.已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多 8 元,且购进的甲、乙两种商品件数相同.（1）求甲、乙两种商品的每件进价；（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售,甲种商品的销售单价为 60 元,乙种商品的销售单价为 88 元,销售过程中发现甲种商品销量不好,商场决定：甲种商品销售一定数量后,将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变.要使两种商品全部售完后共获利不少于 2 460 元,问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？无（1）求该抛物线的函数表达式；--------------------1 2法及平移后的函数表达式.效数学试卷 第 5 页（共 34 页） 数学试卷 第 6 页（共 34 页）如图 1,直线 l : y = - x + b 与 x 轴交于点 A(4,0) ,与 y 轴交于点 B ,点 C 是线段 OA5 ) .以点 A 为圆心, AC 长为半径作 A 交 x 轴于另一点 D ,交线AC 的值.25.（本小题满分 12 分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积 ,我们把这个三角形叫做比例三角形.（1）已知 △ABC 是比例三角形, AB = 2 , BC = 3 ,请直接写出所有满足条件的 AC 的长；（2）如图 1,在四边形 ABCD 中, AD ∥BC ,对角线 BD 平分 ∠ABC , ∠BAC = ∠ADC . 求证： △ABC 是比例三角形.（3）如图 2,在（2）的条件下,当 ∠ADC = 90︒ 时,求 BD26.（本小题满分 14 分）3 4上一动点 (0 < AC < 16段 AB 于点 E ,连结 OE 并延长交 e A 于点 F .（1）求直线 l 的函数表达式和 tan ∠BAO 的值；（2）如图 2,连结 CE ,当 CE = EF 时, ①求证： △OCE ∽△OEA ；②求点 E 的坐标；（3）当点 C 在线段 OA 上运动时,求 OE g EF 的最大值.数学试卷 第 7 页（共 34 页） 数学试卷 第 8 页（共 34 页）浙江省宁波市2018年初中学业水平考试数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题1.【答案】A【解析】由正数大于零,零大于负数,得-3<-1<0<1,最小的数是-3,【考点】有理数大小比较2.【答案】B【解析】550000=5.5⨯105,故选：B.【考点】科学记数法——表示较大的数3.【答案】A【解析】解：Q a3+a3=2a3,∴选项A符合题意；Q a3g a2=a5,∴选项B不符合题意；Q a6÷a2=a4,∴选项C不符合题意；Q(a3)2=a6,∴选项D不符合题意.故选：A.【考点】合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法4.【答案】C【解析】Q从写有数字1,2,3,4,5这5张纸牌中抽取一张,其中正面数字是偶数的有2、4这2种结果,∴正面的数字是偶数的概率为2, 5故选：C.【考点】概率公式5.【答案】D【解析】正多边形的一个外角等于40︒,且外角和为360︒,则这个正多边形的边数是：360︒÷40︒=9.故选：D.【考点】多边形内角与外角6.【答案】C【解析】从上边看是一个田字,“田”字是中心对称图形,故选：C.【考点】中心对称图形，简单组合体的三视图7.【答案】B【解析】Q∠ABC=60︒,∠BAC=80︒,∴∠BCA=180︒-60︒-80︒=40︒,Q对角线AC与BD相交于点O,E是边CD的中点,∴E O是∆DBC的中位线,∴E O∥BC,∴∠1=∠ACB=40︒.故选：B.【考点】三角形中位线定理，平行四边形的性质8.【答案】C【解析】Q数据4,1,7,x,5的平均数为4,∴4+1+7+x+5=4,5解得：x=3,则将数据重新排列为1、3、4、5、7,所以这组数据的中位数为4,2 2 2 2 1【考点】算术平均数，中位数9.【答案】C【解析】 Q ∠ACB = 90︒ , AB = 4 , ∠A = 30︒ ,∴∠B = 60︒ , BC = 2∴ CD 的长为 60π ⨯ 2 2π =180 3,故选：C .【考点】含 30 度角的直角三角形，弧长的计算10.【答案】A【解析】解： Q AB ∥x 轴,∴ A , B 两点纵坐标相同.设 A(a, h) , B(b , h) ,则 ah = k , bh = k .1 2Q S1 1 1AB g y = (a - b )h = (ah - bh ) = (k - k ) = 4 ,A 2∴ k - k = 8 .12故选：A .【考点】反比例函数系数 k 的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征11.【答案】D【解析】解：由二次函数的图象可知,a < 0 ,b < 0 ,当 x = -1 时, y = a - b < 0 ,∴ y = (a - b ) x + b 的图象在第二、三、四象限,故选：D .【考点】一次函数的图象，二次函数的性质12.【答案】B【解析】解： S = ( A B - a) g a + (CD - b )( A D - a) = ( A B - a) g a + ( A B - b )( A D - a) ,1S = AB( A D - a) + (a - b )( A B - a) ,2∴S-S=AB(AD-a)+(a-b)(A B-a)-(A B-a)g a-(A B-b)(A D-a) 21=(AD-a)(AB-AB+b)+(AB-a)(a-b-a)=b g AD-ab-b g AB+ab=b(AD-AB)=2b故选：B.【考点】整式的混合运算第Ⅰ卷二、填空题13.【答案】2018【解析】|-2018|=2018.故答案为：2018.【考点】绝对值14.【答案】x≠1.【解析】要使分式1有意义,则：x-1≠0. x-1解得：x≠1,故x的取值应满足：x≠1.故答案为：x≠1.【考点】分式有意义的条件15.【答案】-15【解析】原式=(x+2y)(x-2y)=-3⨯5=-15故答案为：-15【考点】二元一次方程组的解16.【答案】1200(3-1)【解析】由于CD∥HB,∴∠CAH=∠ACD=45︒,∠B=∠BCD=30︒在△Rt ACH中,Q∠CAH=45︒∴AH=CH=1200米,.在△Rt HCB,Q tan∠B=CHHB∴HB=CH1200=tan∠B tan30︒=12003=12003（米）.3∴AB=HB-HA=12003-1200=1200(3-1)米故答案为：1200(3-1)【考点】解直角三角形的应用——仰角俯角问题17.【答案】3或43【解析】如图1中,当e P与直线CD相切时,设PC=PM=x.在△Rt PBM中,Q PM2=BM2+PB2,∴x2=42+(8-x)2,∴x=5,∴PC=5,BP=BC-PC=8-5=3.∴P M=PK=CD=2BM,∴B M=4,PM=8,在△Rt PBM中,PB=82-42=43.综上所述,BP的长为3或43.【考点】正方形的性质，切线的性质18.【答案】3-12.【解析】解：延长DM交CB的延长线于点H.Q四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=AD=2,AD∥CH,∴∠ADM=∠H,Q AM=BM,∠AMD=∠HMB,∴△ADM≌△BHM,∴AD=HB=2,Q EM⊥DH,∴E H=ED,设BE=x,∴∠AEB=∠EAD=90︒AE2=AB2-BE2=DE2-AD2,∴22-x2=(2+x)2-22,∴x=3-1或-3-1（舍弃）,∴c os B=BE3-1=AB2,3-1故答案为.2【考点】菱形的性质，解直角三角形三、解析题19.【答案】12【解析】解：原式=x2-2x+1+3x-x2=x+1,当x=-1211时,原式=-+1=.22【考点】整式的混合运算——化简求值20.【答案】（1）如图所示,线段BD即为所求；（2）如图所示,线段BE即为所求.【考点】平行线的判定与性质，作图——应用与设计作图21.【答案】（1）200（2）54％（3）360【解析】解：（1）由条形图知,A级的人数为20人,由扇形图知：A级人数占总调查人数的10%100⎪⎪-2+b+c=0【解析】解：（1）把(1,0),(0,)代入抛物线解析式得：⎨,⎪c=解得：⎨3,⎪⎩⎩所以C级所占的百分比为：60⨯100%=30%, 200B级所占的百分比为：1-10%-30%-45%=15%,B级的人数为200⨯15%=30（人）D级的人数为：200⨯45%=90（人）B所在扇形的圆心角为：360︒⨯15%=54︒.（3）因为C级所占的百分比为30%,所以全校每周课外阅读时间满足3≤t＜4的人数为：1200⨯30%=360（人）答：全校每周课外阅读时间满足3≤t＜4的约有360人.【考点】用样本估计总体，频数（率）分布直方图，扇形统计图1 22.【答案】（1）y=-x2-x+23 21（2）y=-x22⎧1323⎪2⎧b=-1⎪c=21则抛物线解析式为y=-x2-x+23 2；131（2）抛物线解析式为y=-x2-x+=-(x+1)2+2,2221⎨∠ACD = ∠BCE ⎪CD = CE系数法求二次函数解析式23.【答案】（1）∴∠A = 45︒（2）∴∠BEF = 67.5︒【解析】（1）由题意可知： C D = CE , ∠DCE = 90︒ ,Q ∠ACB = 90︒ ,∴∠ACD = ∠ACB -∠ DCB ,∠BCE = ∠DCE -∠ DCB ,∴∠ACD = ∠BCE ,在 △ACD 与 △BCE 中,⎧ A C = BC⎪ ⎩∴△ACD ≌△BCE (SAS )（2） Q ∠ACB = 90︒ , AC = BC ,∴∠A = 45︒ ,由（1）可知： ∠A = ∠CBE = 45︒ ,Q AD = BF ,∴ B E = BF ,∴∠BEF = 67.5︒【考点】全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，旋转的性质24.【答案】（1）4048（2）20【解析】（1）设甲种商品的每件进价为 x 元,则乙种商品的每件进价为 ( x + 8) 元.根据题意,得, 2000 2400 = x x + 8 , 解得 x = 40 .所以当AC=4或或6时,△ABC是比例三角形；∴BC（2）甲乙两种商品的销售量为2000=50. 40设甲种商品按原销售单价销售a件,则(60-40)a+(60⨯0.7-40)(50-a)+(88-48)⨯50…2460,解得a≥20.答：甲种商品按原销售单价至少销售20件.【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用25.【答案】（1）Q△ABC是比例三角形,且AB=2、BC=3,①当AB2=BC g AC时,得：4=3AC,解得：AC=4 3；9②当BC2=AB g AC时,得：9=2A C,解得：AC=；2③当AC2=AB g B C时,得：AC2=6,解得：AC=6（负值舍去）；932（2）Q AD∥BC,∴∠ACB=∠CAD,又Q∠BAC=∠ADC,∴△ABC∽△DCA,CA=CA AD,即CA2=BC g AD,Q AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,Q BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,∴∠ADB=∠ABD,∴AB=AD,∴CA2=BC g AB,∴△ABC是比例三角形；（3）如图,过点A作AH⊥BD于点H,∴AB在△Rt AOB中,tan∠BAO=OBQ AB=AD,1∴BH=BD,2Q AD∥BC,∠ADC=90︒,∴∠BCD=90︒,∴∠BHA=∠BCD=90︒,又Q∠ABH=∠DBC,∴△ABH∽△DBC,BH=DB BC,即AB g B C=BH g D B,1∴AB g BC=BD2,2又Q AB g BC=AC2,∴12BD2=AC2, BD∴=2.AC【考点】相似形综合题26.【答案】（2）Q直线l:y=-3x+b与x轴交于点A(4,0), 43∴-⨯4+b=0, 4∴b=3,∴直线l的函数表达式y=-3x+3, 4∴B(0,3),∴OA=4,OB=3,3=；OA4（2）①如图2,连接DF,Q CE=EF,∴OCQ∠OAE=2∠CDE,∴∠OAE=∠ODF,Q四边形CEFD是e O的圆内接四边形,∴∠OEC=∠ODF,∴∠OEC=∠OAE,Q∠COE=∠EOA,∴△COE∽△EOA,②过点E⊥OA于M,由①知,tan∠OAB=3 4 ,设EM=3m,则AM=4m,∴OM=4-4m,AE=5m,∴E(4-4m,3m),AC=5m,∴OC=4-5m,由①知,△COE∽△EOA,OE=OE OA,∴OE2=OA g OC=4(4-5m)=16-20m, Q E(4-4m,3m),∴(4-4m)2+9m2=25m2-32m+16,∴25m2-32m+16=16-20m,∴m=0（舍）或m=12 25,∴4-4m=5236,3m=, 25255236∴E(,),2525（3）如图,设e O的半径为r,过点O作OG⊥AB于G, Q A(4,0),B(0,3),∴OA=4,OB=3,AB⨯OG=∴OE∴11OA⨯OB, 2212∴OG=,5OG12416∴AG==⨯=,tan∠AOB53516∴EG=AG-AE=-r,5连接FH,Q EH是e O直径,∴E H=2r,∠EFH=90︒=∠EGO,Q∠OEG=∠HEF,∴△OEG∽△HEF,EG=HE EF,168128∴OE g EF=HE g EG=2r(-r)=-2(r-)2+5525,8128∴r=时,OE g EF最大值为525.【考点】圆的综合题。
2018年浙江省宁波市中考数学试卷（含答案与解析）
2018年浙江省宁波市中考数学试卷（含答案与解析）---------------- 密★启⽤前 _ --------------------_____号卷A . -3B . -1C.0D.1⽣ __ 考 __ __ 上 __ __ __ __ __ 姓 _A .4_ 答 5 B .5 C .5 D .__ __ _ --------------------的是（）A . πB . πC . πD . 2 310.如图,平⾏于 x 轴的直线与函数 y = k1 (k > 0 , x > 0) , y =x x -------------绝7.如图,在平⾏四边形 ABCD 中,对⾓线 AC 与 BD 相交于点 O , E 是边 CD 的中点,连结在--------------------浙江省宁波市 2018 年初中学业⽔平考试数学本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.OE .若∠ABC = 60? , ∠BAC = 80? ,则∠1 的度数为（）_ __ __ __1.在 -3 , -1 ,0,1 这四个数中,最⼩的数是（） _ __ 览会为期四天,参观总⼈数超 55 万⼈次,其中 55 万⽤科学记数法表⽰为（）__ _ _A . 0.55 ?106B . 5.5 ?105C . 5.5 ? 104D . 55 ? 104_ _ 4.有五张背⾯完全相同的卡⽚, 正⾯分别写有数字 1,2,3,4,5,把这些卡⽚背_ _ _ _ ⾯朝上洗匀后,从中随机抽取⼀张,其正⾯的数字是偶数的概率为（）名 __ _ __ A.6 B.7C.8D.9__ __ 6.如图是由 6个⼤⼩相同的⽴⽅体组成的⼏何体,在这个⼏何体的三视图中,是中⼼对称 _ 题校学业毕此第Ⅰ卷（选择题共 48 分）⼀、选择题（本⼤题共 12 ⼩题,每⼩题 4 分,共 48 分.在每⼩题给出的四个选项中,只有⼀项是符合题⽬要求的）--------------------2.2018 中国（宁波）特⾊⽂化产业博览会于 4 ⽉ 16 ⽇在宁波国际会展中⼼闭幕.3.下列计算正确的是（） -------------------- A . a 3 + a 3 = 2a 3 B . a 3 a 2 = a 6 C. a 6 ÷ a 2 = a 3 D . (a 3 )2 = a 53 2 1-------------------- 5_ 5.已知正多边形的⼀个外⾓等于 40? ,那么这个正多边形的边数为（）图形⽆--------------------A.主视图B.左视图C.俯视图 D .主视图和左视图A .50?B. 40?C. 30?D. 20?8.若⼀组数据 4,1,7, x ,5 的平均数为 4,则这组数据的中位数为（）A.7B.5C.4D.3 9.如图,在△ABC 中, ∠ACB = 90? , ∠A = 30? , AB = 4 ,以点 B 为圆⼼, BC 长为半径画弧,交边 AB 于点 D ,则 CD 的长为（）1 12 63 3 3 πk2(k > 0 , x > 0) 的图象分1 2别相交于 A , B 两点,点 A 在点 B 的右侧, C 为 x 轴上的⼀个动点 ,若△ABC 的⾯积为 4,则 k - k 的值为（）1 2A.8B. -8C.4D. -411.如图,⼆次函数 y = ax 2 + b x 的图象开⼝向下 ,且经过第三象限的点 P .若点 P 的横坐标为 -1 ,则⼀次函数 y = (a - b ) x + b 的图象⼤致是效数学试卷第 1 页（共 34 页）数学试卷第 2 页（共 34 页）x -1 有意义, x 的取值应满⾜2 .x + 2 y = -3，（）AB C D12.在矩形 ABCD 内,将两张边长分别为 a 和 b (a > b ) 的正⽅形纸⽚按图 1,图 2 两种⽅式放置（图 1,图 2 中两张正⽅形纸⽚均有部分重叠）,矩形中未被这两张正⽅形纸⽚覆盖的部分⽤阴影表⽰,设图 1 中阴影部分的⾯积为 S ,图 2 中阴影部分的⾯积为 S .12当 AD - AB = 2 时, S - S 的值为（）117.如图,正⽅形 ABCD 的边长为 8, M 是 AB 的中点, P 是 BC 边上的动点 ,连结 PM ,以点 P 为圆⼼ , PM 长为半径作 P .当 P 与正⽅形 ABCD 的边相切时 , BP 的长为 .18.如图,在菱形 ABCD 中, AB = 2 , ∠B 是锐⾓, AE ⊥ BC 于点 E , M 是 AB 的中点,连结 MD , ME .若∠EMD = 90? ,则 cosB 的值为 .A . 2aB . 2bC . 2a - 2bD . -2b第Ⅱ卷（⾮选择题共 102 分）⼆、填空题（本⼤题共 6 ⼩题,每⼩题 4 分,共 24 分.把答案填写在题中的横线上）13.计算： | -2 018| = .三、解答题（本⼤题共 8 ⼩题,共 78 分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤）19.（本⼩题满分 6 分）14.要使分式 1.先化简,再求值： ( x - 1)2 + x(3 - x) ,其中 x = - 1x - 2 y = 5，15.已知 x , y 满⾜⽅程组 ?则 x 2 - 4 y 2 的值为 .16.如图,某⾼速公路建设中需要测量某条江的宽度 AB ,飞机上的测量⼈员在 C 处测得A ,B 两点的俯⾓分别为 45? 和 30? .若飞机离地⾯的⾼度C H 为 1200 ⽶,且点 H , A ,B 在同⼀⽔平直线上,则这条江的宽度 AB 为⽶（结果保留根号）.20.（本⼩题满分 8 分）在 5? 3 的⽅格纸中, △ABC 的三个顶点都在格点上.数学试卷第 3 页（共 34 页）数学试卷第 4 页（共 34 页）__ __ __ _ 此_ __ 3≤t ＜4 , t ≥4 分为四个等级,并依次⽤ A , B , C , D 表⽰,根据调查结果统计的数据,_ __ __ 考 __ 卷_ _ _ _ 上名 __ 姓 __ __ _ （3）若该校共有学⽣ 1200 ⼈,试估计每周课外阅读时间满⾜的⼈数.__ 毕--------------------⼩题满分 10 分）已知抛物线 y = - x 2 + bx + c 经过点 (1,0) , (0, ) .（ ,（2）将抛物线 y = - x 2 + bx + c 平移,使其顶点恰好落在原点 ,请写出⼀种平移的⽅-----------------------------（1）在图 1 中画出线段 BD ,使 BD ∥AC ,其中 D 是格点；（2）在图 2 中画出线段 BE ,使 BE ⊥ AC ,其中 E 是格点.在--------------------21.（本⼩题满分 8 分）在第 23 个世界读书⽇前⼣,我市某中学为了解本校学⽣的每周课外阅读时间（⽤ t 表⽰,单位：⼩时）,采⽤随机抽样的⽅法进⾏问卷调查,调查结果按 0≤t ＜2 , 2≤t ＜3 , --------------------_ 绘制成了如图所⽰的两幅不完整的统计图,由图中给出的信息解答下列问题：号⽣ __ _ --------------------__ _ _ _ _ __ __ _ _ _ --------------------_ _ _ _ （1）求本次调查的学⽣⼈数；_ （2）求扇形统计图中等级 B 所在扇形的圆⼼⾓度数,并把条形统计图补充完整；_ 答_ --------------------__ __ __ __ 校学题业 22.（本1 32 223.（本⼩题满分 10 分）如图,在△ABC 中, ∠ACB = 90? , AC = BC , D 是 AB 边上⼀点点 D 与 A , B 不重合）连结 CD ,将线段 CD 绕点 C 按逆时针⽅向旋转 90? 得到线段 CE ,连结 DE 交 BC 于点3≤t ＜4 F ,连接. BE（1）求证：△ACD ≌△BCE ；（2）当 AD = BF 时,求∠BEF 的度数.24.（本⼩题满分 10 分）某商场购进甲、⼄两种商品,甲种商品共⽤了 2 000 元,⼄种商品共⽤了 2 400 元.已知⼄种商品每件进价⽐甲种商品每件进价多 8 元,且购进的甲、⼄两种商品件数相同.（1）求甲、⼄两种商品的每件进价；（2）该商场将购进的甲、⼄两种商品进⾏销售,甲种商品的销售单价为 60 元,⼄种商品的销售单价为 88 元,销售过程中发现甲种商品销量不好,商场决定：甲种商品销售⼀定数量后,将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；⼄种商品销售单价保持不变.要使两种商品全部售完后共获利不少于 2 460 元,问甲种商品按原销售单价⾄少销售多少件？⽆（1）求该抛物线的函数表达式；--------------------1 2法及平移后的函数表达式.效数学试卷第 5 页（共 34 页）数学试卷第 6 页（共 34 页）如图 1,直线 l : y = - x + b 与 x 轴交于点 A(4,0) ,与 y 轴交于点 B ,点 C 是线段 OA5 ) .以点 A 为圆⼼, AC 长为半径作 A 交 x 轴于另⼀点 D ,交线AC 的值.25.（本⼩题满分 12 分）若⼀个三⾓形⼀条边的平⽅等于另两条边的乘积 ,我们把这个三⾓形叫做⽐例三⾓形.（1）已知△ABC 是⽐例三⾓形, AB = 2 , BC = 3 ,请直接写出所有满⾜条件的 AC 的长；（2）如图 1,在四边形 ABCD 中, AD ∥BC ,对⾓线 BD 平分∠ABC , ∠BAC = ∠ADC . 求证：△ABC 是⽐例三⾓形.（3）如图 2,在（2）的条件下,当∠ADC = 90? 时,求 BD26.（本⼩题满分 14 分）3 4上⼀动点 (0 < AC < 16段 AB 于点 E ,连结 OE 并延长交 e A 于点 F .（1）求直线 l 的函数表达式和 tan ∠BAO 的值；（2）如图 2,连结 CE ,当 CE = EF 时, ①求证：△OCE ∽△OEA ；②求点 E 的坐标；（3）当点 C 在线段 OA 上运动时,求 OE g EF 的最⼤值.数学试卷第 7 页（共 34 页）数学试卷第 8 页（共 34 页）浙江省宁波市2018年初中学业⽔平考试数学答案解析第Ⅰ卷⼀、选择题1.【答案】A【解析】由正数⼤于零,零⼤于负数,得-3<-1<0<1,最⼩的数是-3,【考点】有理数⼤⼩⽐较2.【答案】B【解析】550000=5.5?105,故选：B.【考点】科学记数法——表⽰较⼤的数【解析】解：Q a3+a3=2a3,∴选项A符合题意；Q a3g a2=a5,∴选项B不符合题意；Q a6÷a2=a4,∴选项C不符合题意；Q(a3)2=a6,∴选项D不符合题意.故选：A.【考点】合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘⽅与积的乘⽅，同底数幂的除法4.【答案】C∴正⾯的数字是偶数的概率为2, 5故选：C.【考点】概率公式5.【答案】D【解析】正多边形的⼀个外⾓等于40?,且外⾓和为360?,则这个正多边形的边数是：360?÷40?=9.故选：D.【考点】多边形内⾓与外⾓6.【答案】C【解析】从上边看是⼀个⽥字,“⽥”字是中⼼对称图形,故选：C.【考点】中⼼对称图形，简单组合体的三视图7.【答案】B【解析】Q∠ABC=60?,∠BAC=80?,∴∠BCA=180?-60?-80?=40?,Q对⾓线AC与BD相交于点O,E是边CD的中点,∴E O是?DBC的中位线,∴E O∥BC,∴∠1=∠ACB=40?.故选：B.【考点】三⾓形中位线定理，平⾏四边形的性质8.【答案】C【解析】Q数据4,1,7,x,5的平均数为4,∴4+1+7+x+5=4,5解得：x=3,2 2 2 2 1【考点】算术平均数，中位数9.【答案】C【解析】 Q ∠ACB = 90? , AB = 4 , ∠A = 30? ,∴∠B = 60? , BC = 2∴ CD 的长为 60π ? 2 2π =180 3,故选：C .【考点】含 30 度⾓的直⾓三⾓形，弧长的计算10.【答案】A【解析】解： Q AB ∥x 轴,∴ A , B 两点纵坐标相同.设 A(a, h) , B(b , h) ,则 ah = k , bh = k .1 2Q S1 1 1AB g y = (a - b )h = (ah - bh ) = (k - k ) = 4 ,A 212故选：A .【考点】反⽐例函数系数 k 的⼏何意义，反⽐例函数图象上点的坐标特征11.【答案】D【解析】解：由⼆次函数的图象可知,a < 0 ,b < 0 ,当 x = -1 时, y = a - b < 0 ,∴ y = (a - b ) x + b 的图象在第⼆、三、四象限,故选：D .【考点】⼀次函数的图象，⼆次函数的性质12.【答案】B【解析】解： S = ( A B - a) g a + (CD - b )( A D - a) = ( A B - a) g a + ( A B - b )( A D - a) , 1S = AB( A D - a) + (a - b )( A B - a) ,2∴S-S=AB(AD-a)+(a-b)(A B-a)-(A B-a)g a-(A B-b)(A D-a) 21=(AD-a)(AB-AB+b)+(AB-a)(a-b-a)=b g AD-ab-b g AB+ab=b(AD-AB)=2b故选：B.【考点】整式的混合运算第Ⅰ卷⼆、填空题13.【答案】2018【解析】|-2018|=2018.故答案为：2018.【考点】绝对值14.【答案】x≠1.【解析】要使分式1有意义,则：x-1≠0. x-1解得：x≠1,故x的取值应满⾜：x≠1.故答案为：x≠1.【考点】分式有意义的条件15.【答案】-15【解析】原式=(x+2y)(x-2y)=-3?5=-15故答案为：-15【考点】⼆元⼀次⽅程组的解16.【答案】1200(3-1)【解析】由于CD∥HB,∴∠CAH=∠ACD=45?,∠B=∠BCD=30?在△Rt ACH中,Q∠CAH=45?.在△Rt HCB,Q tan∠B=CHHB∴HB=CH1200=tan∠B tan30?=12003=12003（⽶）.3∴AB=HB-HA=12003-1200=1200(3-1)⽶故答案为：1200(3-1)【考点】解直⾓三⾓形的应⽤——仰⾓俯⾓问题17.【答案】3或43【解析】如图1中,当e P与直线CD相切时,设PC=PM=x.在△Rt PBM中,Q PM2=BM2+PB2,∴x2=42+(8-x)2,∴x=5,∴P M=PK=CD=2BM,∴B M=4,PM=8,在△Rt PBM中,PB=82-42=43.综上所述,BP的长为3或43.【考点】正⽅形的性质，切线的性质18.【答案】3-12.【解析】解：延长DM交CB的延长线于点H.Q四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=AD=2,AD∥CH,∴∠ADM=∠H,Q AM=BM,∠AMD=∠HMB,∴△ADM≌△BHM,∴AD=HB=2,Q EM⊥DH,∴E H=ED,设BE=x,∴∠AEB=∠EAD=90?AE2=AB2-BE2=DE2-AD2,∴22-x2=(2+x)2-22,∴x=3-1或-3-1（舍弃）,∴c os B=BE3-1=AB2,3-1故答案为.2【考点】菱形的性质，解直⾓三⾓形三、解析题19.【答案】12【解析】解：原式=x2-2x+1+3x-x2=x+1,当x=-1211时,原式=-+1=.22【考点】整式的混合运算——化简求值20.【答案】（1）如图所⽰,线段BD即为所求；（2）如图所⽰,线段BE即为所求.【考点】平⾏线的判定与性质，作图——应⽤与设计作图21.【答案】（1）200（2）54％（3）360【解析】解：（1）由条形图知,A级的⼈数为20⼈,由扇形图知：A级⼈数占总调查⼈数的10%100-2+b+c=0【解析】解：（1）把(1,0),(0,)代⼊抛物线解析式得：?,c=解得：?3,所以C级所占的百分⽐为：60100%=30%, 200B级所占的百分⽐为：1-10%-30%-45%=15%,B级的⼈数为200?15%=30（⼈）D级的⼈数为：200?45%=90（⼈）B所在扇形的圆⼼⾓为：360??15%=54?.（3）因为C级所占的百分⽐为30%,所以全校每周课外阅读时间满⾜3≤t＜4的⼈数为：1200?30%=360（⼈）答：全校每周课外阅读时间满⾜3≤t＜4的约有360⼈.【考点】⽤样本估计总体，频数（率）分布直⽅图，扇形统计图1 22.【答案】（1）y=-x2-x+23 21（2）y=-x2213232b=-1c=21则抛物线解析式为y=-x2-x+23 2；131（2）抛物线解析式为y=-x2-x+=-(x+1)2+2,2221∠ACD = ∠BCE ?CD = CE系数法求⼆次函数解析式23.【答案】（1）∴∠A = 45?（2）∴∠BEF = 67.5?【解析】（1）由题意可知： C D = CE , ∠DCE = 90? ,Q ∠ACB = 90? ,∴∠ACD = ∠ACB -∠ DCB ,∠BCE = ∠DCE -∠ DCB ,∴∠ACD = ∠BCE ,在△ACD 与△BCE 中,A C = BC∴△ACD ≌△BCE (SAS )（2） Q ∠ACB = 90? , AC = BC ,∴∠A = 45? ,由（1）可知：∠A = ∠CBE = 45? ,Q AD = BF ,∴ B E = BF ,∴∠BEF = 67.5?【考点】全等三⾓形的判定与性质，等腰直⾓三⾓形，旋转的性质24.【答案】（1）4048（2）20【解析】（1）设甲种商品的每件进价为 x 元,则⼄种商品的每件进价为 ( x + 8) 元.根据题意,得, 2000 2400 =x x + 8,解得 x = 40 .所以当AC=4或或6时,△ABC是⽐例三⾓形；∴BC（2）甲⼄两种商品的销售量为2000=50. 40设甲种商品按原销售单价销售a件,则(60-40)a+(60?0.7-40)(50-a)+(88-48)?50…2460,解得a≥20.答：甲种商品按原销售单价⾄少销售20件.【考点】分式⽅程的应⽤；⼀元⼀次不等式的应⽤25.【答案】（1）Q△ABC是⽐例三⾓形,且AB=2、BC=3,①当AB2=BC g AC时,得：4=3AC,解得：AC=4 3；9②当BC2=AB g AC时,得：9=2A C,解得：AC=；2③当AC2=AB g B C时,得：AC2=6,解得：AC=6（负值舍去）；932（2）Q AD∥BC,∴∠ACB=∠CAD,⼜Q∠BAC=∠ADC,∴△ABC∽△DCA,CA=CA AD,即CA2=BC g AD,Q AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,Q BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,∴∠ADB=∠ABD,∴AB=AD,∴CA2=BC g AB,∴△ABC是⽐例三⾓形；（3）如图,过点A作AH⊥BD于点H,∴AB在△Rt AOB中,tan∠BAO=OB1∴BH=BD,2Q AD∥BC,∠ADC=90?,∴∠BCD=90?,∴∠BHA=∠BCD=90?,⼜Q∠ABH=∠DBC,∴△ABH∽△DBC,BH=DB BC,即AB g B C=BH g D B,1∴AB g BC=BD2,2⼜Q AB g BC=AC2,∴12BD2=AC2, BD∴=2.AC【考点】相似形综合题26.【答案】（2）Q直线l:y=-3x+b与x轴交于点A(4,0), 43∴-?4+b=0, 4∴b=3,∴直线l的函数表达式y=-3x+3, 4∴B(0,3),∴OA=4,OB=3,3=；OA4（2）①如图2,连接DF,Q CE=EF,∴OCQ∠OAE=2∠CDE,∴∠OAE=∠ODF,Q四边形CEFD是e O的圆内接四边形,∴∠OEC=∠ODF,∴∠OEC=∠OAE,Q∠COE=∠EOA,∴△COE∽△EOA,②过点E⊥OA于M,由①知,tan∠OAB=3 4 ,设EM=3m,则AM=4m,∴OM=4-4m,AE=5m,∴E(4-4m,3m),AC=5m,∴OC=4-5m,由①知,△COE∽△EOA,OE=OE OA,∴OE2=OA g OC=4(4-5m)=16-20m, Q E(4-4m,3m),∴(4-4m)2+9m2=25m2-32m+16,∴25m2-32m+16=16-20m,∴m=0（舍）或m=12 25,,3m=, 25255236∴E(,),2525（3）如图,设e O的半径为r,过点O作OG⊥AB于G, Q A(4,0),B(0,3),∴OA=4,OB=3,AB?OG=∴OE∴11OA?OB, 2212∴OG=,5OG12416∴AG==?=,tan∠AOB53516∴EG=AG-AE=-r,5连接FH,Q EH是e O直径,∴E H=2r,∠EFH=90?=∠EGO,Q∠OEG=∠HEF,∴△OEG∽△HEF,EG=HE EF,168128∴OE g EF=HE g EG=2r(-r)=-2(r-)2+5525,8128∴r=时,OE g EF最⼤值为525.【考点】圆的综合题。
浙江省宁波市中考数学试卷包括答案解析
2018 年浙江省宁波市中考数学试卷及答案解析A． B ．C．D．12．（ 4 分）在矩形 ABCD内，将两张边长分别为 a 和 b（ a＞b）的正方形纸片按图 1，图 2 两种方式放置（图 1，图 2 中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图 1 中阴影部分的面积为S1，图 2 中阴影部分的面积为S2．当 AD﹣AB=2时， S2﹣S1的值为（）A．2a B．2b C．2a﹣2b D．﹣ 2b二、填空题（每题 4 分，共 24 分）13．（ 4 分）计算： | ﹣2018|= ．14．（ 4 分）要使分式有意义， x 的取值应满足．15．（ 4 分）已知 x，y 满足方程组，则 x2﹣ 4y2的值为．16．（ 4 分）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在 C 处测得 A，B 两点的俯角分别为45°和 30°．若飞机离地面的高度CH 为 1200 米，且点 H，A，B 在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为米（结果保留根号）．17．（ 4 分）如图，正方形 ABCD的边长为 8，M是 AB 的中点， P 是 BC边上的动点，连接 PM，以点 P 为圆心， PM长为半径作⊙ P．当⊙ P 与正方形 ABCD的边相切时， BP的长为．18．（ 4 分）如图，在菱形A BCD中， AB=2，∠ B 是锐角， AE⊥BC于点 E， M是 AB 的中点，连接MD，ME．若∠ EMD=90°，则 cosB 的值为．三、解答题（本大题有8 小题，共 78 分）219．（ 6 分）先化简，再求值：（x﹣1） +x（3﹣x），其中 x=﹣．（ 1）在图 1 中画出线段 BD，使 BD∥AC，其中 D是格点；（ 2）在图 2 中画出线段 BE，使 BE⊥AC，其中 E 是格点．21．（8 分）在第 23 个世界读书日前夕，我市某中学为认识本校学生的每周课外阅读时间（用 t 表示，单位：小时），采用随机抽样的方法进行问卷检查，检查结果按 0≤ t ＜ 2， 2≤t ＜3，3≤t ＜4，t ≥4 分为四个等级，并依次用A，B，C，D表示，依照检查结果统计的数据，绘制成了以下列图的两幅不完满的统计图，由图中给出的信息解答以下问题：（1）求本次检查的学生人数；（2）求扇形统计图中等级 B 所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完满；（3）若该校共有学生 1200 人，试估计每周课外阅读时间满足 3≤t ＜4 的人数．22．（ 10 分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c 经过点（ 1， 0），（ 0，）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）将抛物线 y=﹣ x2+bx+c 平移，使其极点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．23．（ 10 分）如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°， AC=BC，D 是 AB边上一点（点 D 与 A，B 不重合），连接 CD，将线段 CD绕点 C 按逆时针方向旋转 90°获取线段CE，连接 DE交 BC于点 F，连接 BE．（1）求证：△ ACD≌△ BCE；（2）当 AD=BF时，求∠ BEF的度数．24．（ 10 分）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000 元，乙种商品共用了 2400 元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8 元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．（ 1）求甲、乙两种商品的每件进价；（ 2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60 元，乙种商品的销售单价为88 元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售必然数量后，将节余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共盈利很多于2460 元，问甲种商品按原销售单价最少销售多少件？25．（12 分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比率三角形．（ 1）已知△ ABC是比率三角形， AB=2，BC=3，请直接写出全部满足条件的AC的长；（2）如图 1，在四边形 ABCD中，AD∥BC，对角线 BD均分∠ ABC，∠BAC=∠ADC．求证：△ ABC是比率三角形．（ 3）如图 2，在（ 2）的条件下，当∠ ADC=90°时，求的值．26．（ 14 分）如图 1，直线 l ：y=﹣x+b 与 x 轴交于点 A（4，0），与 y 轴交于点 B，点 C 是线段 OA上一动点（ 0＜ AC＜）．以点A为圆心，AC长为半径作⊙A 交 x 轴于另一点 D，交线段 AB于点 E，连接 OE并延长交⊙ A 于点 F．（1）求直线 l 的函数表达式和 tan ∠ BAO的值；（2）如图 2，连接 CE，当 CE=EF时，①求证：△ OCE∽△ OEA；②求点 E 的坐标；（ 3）当点 C在线段 OA上运动时，求OE?EF的最大值．2018 年浙江省宁波市中考数学试卷参照答案与试题解析一、选择题（每题 4 分，共 48 分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（4 分）在﹣ 3，﹣ 1，0，1 这四个数中，最小的数是（）A．﹣ 3 B ．﹣ 1 C．0D．1【解析】依照正数大于零，零大于负数，可得答案．【解答】解：由正数大于零，零大于负数，得﹣3＜﹣ 1＜0＜1，最小的数是﹣ 3，应选： A．【谈论】此题观察了有理数比较大小，利用正数大于零，零大于负数是解题要点．2．（4 分） 2018 中国（宁波）特色文化产业博览会于 4 月 16 日在宁波国际会展中心谢幕．本次博览会为期四天，参观总人数超55 万人次，其中55 万用科学记数法表示为（）A．0.55 ×106B．5.5 × 105C． 5.5 ×104D．55×104【解析】科学记数法的表示形式为a× 10n的形式，其中 1≤|a| ＜ 10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点搬动了多少位， n 的绝对值与小数点搬动的位数相同．当原数绝对值＞ 1 时， n 是正数；当原数的绝对值＜ 1 时， n是负数．【解答】解： 550000=5.5 ×105，应选： B．【谈论】此题观察科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中 1≤|a| ＜10，n 为整数，表示时要点要正确确定 a 的值以及 n 的值．3．（4 分）以下计算正确的选项是（）A．a3+a3=2a3B．a3?a2=a6 C．a6÷ a2 =a3D．（a3）2 =a5【解析】依照同底数幂的除法法规，同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判断即可．【解答】解：∵ a3 +a3=2a3，∴选项 A 吻合题意；∵a3?a2=a5，∴选项 B 不吻合题意；∵a6÷a2=a4，∴选项 C 不吻合题意；∵（ a3）2 =a6，∴选项 D 不吻合题意．应选： A．【谈论】此题主要观察了同底数幂的除法法规，同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，解答此题的要点是要明确：①底数a≠0，由于0 不能够做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法规时，底数a 可是单项式，也能够是多项式，但必定明确底数是什么，指数是什么．4．（4 分）有五张反面完满相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片反面向上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为（）A．B．C．D．【解析】让正面的数字是偶数的状况数除以总状况数 5 即为所求的概率．【解答】解：∵从写有数字 1， 2，3，4，5 这 5 张纸牌中抽取一张，其中正面数字是偶数的有 2、4 这 2 种结果，∴正面的数字是偶数的概率为，应选： C．【谈论】此题主要观察了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的要点，用到的知识点为：概率等于所讨状况数与总状况数之比．5．（4 分）已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（）A．6B．7C．8D．9【解析】依照正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数．【解答】解：正多边形的一个外角等于 40°，且外角和为 360°，则这个正多边形的边数是： 360°÷ 40°=9．应选： D．【谈论】此题主要观察了多边形的外角和定理，解决问题的要点是掌握多边形的外角和等于 360 度．6．（ 4 分）如图是由 6 个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（）A．主视图B．左视图C．俯视图D．主视图和左视图【解析】依照从上边看获取的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从上边看是一个田字，“田”字是中心对称图形，应选： C．【谈论】此题观察了简单组合体的三视图，从上边看获取的图形是俯视图，又利用了中心对称图形．7．（4 分）如图，在 ?ABCD中，对角线 AC与 BD订交于点 O，E 是边 CD的中点，连接 OE．若∠ ABC=60°，∠ BAC=80°，则∠ 1 的度数为（）A．50°B．40°C．30°D．20°【解析】直接利用三角形内角和定理得出∠ BCA的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案．【解答】解：∵∠ ABC=60°，∠ BAC=80°，∴∠ BCA=180°﹣ 60°﹣ 80°=40°，∵对角线 AC与 BD订交于点 O，E 是边 CD的中点，∴EO是△ DBC的中位线，∴EO∥BC，∴∠ 1=∠ACB=40°．应选： B．【谈论】此题主要观察了三角形内角和定理、三角形中位线定理等知识，得出EO是△ DBC的中位线是解题要点．8．（ 4 分）若一组数据 4，1，7，x，5 的平均数为 4，则这组数据的中位数为（）A．7B．5C．4D．3【解析】先依照平均数为 4 求出 x 的值，尔后依照中位数的看法求解．【解答】解：∵数据 4，1，7，x，5 的平均数为 4，∴=4，解得： x=3，则将数据重新排列为1、3、4、5、7，所以这组数据的中位数为4，应选： C．【谈论】此题观察了中位数的看法：将一组数据依照从小到大（或从大到小）的序次排列，若是数据的个数是奇数，则处于中间地址的数就是这组数据的中位数；若是这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．9．（4 分）如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°，∠ A=30°， AB=4，以点 B 为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点 D，则的长为（）A．π B．π C．π D．π【解析】先依照 ACB=90°， AB=4，∠ A=30°，得圆心角和半径的长，再依照弧长公式可获取弧 CD的长．【解答】解：∵∠ ACB=90°， AB=4，∠ A=30°，∴∠ B=60°， BC=2∴的长为=，应选： C．【谈论】此题主要观察了弧长公式的运用和直角三角形30 度角的性质，解题时注意弧长公式为： l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为 R）．10．（ 4 分）如图，平行于x 轴的直线与函数 y=（k1＞0，x＞0），y=（k2 ＞ 0，x＞0）的图象分别订交于A，B 两点，点 A 在点 B 的右侧， C为 x 轴上的一个动点，若△ ABC的面积为 4，则 k1﹣k2的值为（）A．8B．﹣ 8 C．4D．﹣ 4【解析】设 A（a，h），B（b，h），依照反比率函数图象上点的坐标特色得出 ah=k1，bh=k2．依照三角形的面积公式获取 S△ABC= AB?y= （a﹣b）h= （ah﹣ bh）= （ k1﹣k2）=4，求出 k1﹣k2=8．【解答】解：∵ AB∥x 轴，∴ A， B 两点纵坐标相同．设 A（a，h）， B（ b，h），则 ah=k1，bh=k2．∵ S△ABC= AB?y= （ a﹣ b） h=（ah﹣bh）=（k1﹣k2）=4，∴k1﹣k2=8．应选： A．【谈论】此题观察了反比率函数图象上点的坐标特色，点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式．也观察了三角形的面积．11．（4 分）如图，二次函数 y=ax2+bx 的图象张口向下，且经过第三象限的点P．若点 P 的横坐标为﹣ 1，则一次函数y=（ a﹣b）x+b 的图象大体是（）A． B ．C．D．【解析】依照二次函数的图象能够判断a、b、a﹣b 的正负状况，进而能够获取一次函数经过哪几个象限，此题得以解决．【解答】解：由二次函数的图象可知，a＜0，b＜0，当x=﹣ 1 时， y=a﹣b＜0，∴y=（a﹣b）x+b 的图象在第二、三、四象限，应选： D．【谈论】此题观察二次函数的性质、一次函数的性质，解答此题的要点是明确题意，利用函数的思想解答．12．（ 4 分）在矩形 ABCD内，将两张边长分别为 a 和 b（ a＞b）的正方形纸片按图 1，图 2 两种方式放置（图 1，图 2 中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图 1 中阴影部分的面积为S1，图 2 中阴影部分的面积为S2．当 AD﹣AB=2时， S2﹣S1的值为（）A．2a B．2b C．2a﹣2b D．﹣ 2b【解析】利用面积的和差分别表示出S1和 S2，尔后利用整式的混杂运算计算它们的差．【解答】解： S1=（ AB﹣a）?a+（CD﹣ b）（AD﹣a）=（ AB﹣ a）?a+（AB﹣ b）（AD ﹣ a），S2=AB（ AD﹣a）+（a﹣b）（ AB﹣a），∴S2﹣S1=AB（AD﹣a） +（ a﹣ b）（AB﹣a）﹣（ AB﹣a）?a﹣（ AB﹣ b）（AD﹣a）=（AD﹣a）（AB﹣ AB+b）+（AB﹣a）（ a﹣ b﹣ a）=b?AD﹣ ab﹣b?AB+ab=b（AD﹣ AB）应选： B．【谈论】此题观察了整式的混杂运算：整体”思想在整式运算中较为常有，合时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式平时要用括号括起来．也观察了正方形的性质．二、填空题（每题 4 分，共 24 分）13．（ 4 分）计算： | ﹣2018|= 2018．【解析】直接利用绝对值的性质得出答案．【解答】解： | ﹣2018|=2018 ．故答案为： 2018．【谈论】此题主要观察了绝对值，正确掌握绝对值的定义是解题要点．14．（ 4 分）要使分式有意义，x的取值应满足x≠1．【解析】直接利用分式有意义则分母不能够为零，进而得出答案．【解答】解：要使分式有意义，则：x﹣1≠ 0．解得： x≠1，故 x 的取值应满足： x≠1．故答案为： x≠1．【谈论】此题主要观察了分式有意义的条件，正确掌握分式的定义是解题要点．15．（ 4 分）已知 x，y 满足方程组，则x2﹣4y2的值为﹣8．【解析】依照平方差公式即可求出答案．【解答】解：原式 =（ x+2y）（x﹣2y）=﹣3×5=﹣15故答案为：﹣ 15【谈论】此题观察因式分解，解题的要点是熟练运用平方差公式，此题属于基16．（ 4 分）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在 C 处测得 A，B 两点的俯角分别为45°和 30°．若飞机离地面的高度CH 为 1200 米，且点 H，A，B 在同一水平直线上，则这条江的宽度 AB为1200（﹣ 1）米（结果保留根号）．【解析】在 Rt △ ACH和 Rt △HCB中，利用锐角三角函数，用 CH表示出 AH、BH 的长，尔后计算出AB的长．【解答】解：由于 CD∥ HB，∴∠ CAH=∠ACD=45°，∠ B=∠BCD=30°在 Rt△ ACH中，∵∴∠ CAH=45°∴ AH=CH=1200米，在 Rt△ HCB，∵ tan ∠B=∴ HB====1200 （米）．∴AB=HB﹣HA=1200 ﹣ 1200=1200（﹣1）米故答案为： 1200（﹣1）【谈论】此题观察了锐角三角函数的仰角、俯角问题．题目难度不大，解决此题的要点是用含 CH的式子表示出 AH和 BH．17．（ 4 分）如图，正方形 ABCD的边长为 8，M是 AB 的中点， P 是 BC边上的动点，连接 PM，以点 P 为圆心， PM长为半径作⊙ P．当⊙ P 与正方形 ABCD的边相切时， BP的长为 3 或 4．【解析】分两种状况分别求解：如图 1 中，当⊙ P 与直线 CD相切时；如图 2 中当⊙P 与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形；【解答】解：如图 1 中，当⊙ P 与直线 CD相切时，设 PC=PM=m．22 2在 Rt△ PBM中，∵ PM=BM+PB，22 2∴ x =4 +（8﹣x），∴ x=5，∴PC=5， BP=BC﹣PC=8﹣5=3．如图 2 中当⊙ P 与直线 AD相切时．设切点为 K，连接 PK，则 PK⊥ AD，四边形PKDC 是矩形．∴ PM=PK=CD=2BM，∴ BM=4， PM=8，在 Rt△ PBM中， PB= =4 ．综上所述， BP的长为 3 或 4 ．【谈论】此题观察切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的要点是学会用分类谈论的思想思虑问题，学会利用参数成立方程解决问题．18．（ 4 分）如图，在菱形A BCD中， AB=2，∠ B 是锐角， AE⊥BC于点 E， M是 AB 的中点，连接MD，ME．若∠ EMD=90°，则 cosB 的值为．【解析】延长 DM交 CB的延长线于点 H．第一证明 DE=EH，设 BE=x，利用勾股定理成立方程求出 x 即可解决问题．【解答】解：延长 DM交 CB的延长线于点 H．∵四边形 ABCD是菱形，∴AB=BC=AD=2，AD∥CH，∴∠ ADM=∠H，∵ AM=BM，∠ AMD=∠HMB，∴△ ADM≌△ BHM，∴AD=HB=2，∵EM⊥DH，∴EH=ED，设BE=x，∵ AE⊥BC，∴AE⊥AD，∴∠ AEB=∠EAD=90°2222 2∵ AE=AB﹣BE=DE﹣AD，∴ 22﹣x2=（2+x）2﹣22，∴ x=﹣1或﹣﹣1（舍弃），∴ cosB= =，故答案为．【谈论】此题观察菱形的性质、勾股定理、线段的垂直均分线的性质、全等三角形的判断和性质等知识，解题的要点是学会增加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（本大题有8 小题，共 78 分）19．（ 6 分）先化简，再求值：（x﹣1）2+x（3﹣x），其中 x=﹣．【解析】第一计算完满平方，再计算单项式乘以多项式，再合并同类项，化简后再把 x 的值代入即可．【解答】解：原式 =x2﹣ 2x+1+3x﹣ x2=x+1，当 x=﹣时，原式=﹣+1=．【谈论】此题主要观察了整式的混杂运算﹣﹣化简求值，要点是先按运算序次把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．20．（ 8 分）在 5×3 的方格纸中，△ ABC的三个极点都在格点上．（1）在图 1 中画出线段 BD，使 BD∥AC，其中 D是格点；（2）在图 2 中画出线段 BE，使 BE⊥AC，其中 E 是格点．【解析】（1）将线段 AC沿着 AB方向平移 2 个单位，即可获取线段BD；（2）利用 2× 3 的长方形的对角线，即可获取线段BE⊥AC．【解答】解：（1）以下列图，线段 BD即为所求；（ 2）以下列图，线段BE即为所求．【谈论】此题主要观察了作图以及平行四边形的性质，第一要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．21．（8 分）在第 23 个世界读书日前夕，我市某中学为认识本校学生的每周课外阅读时间（用 t 表示，单位：小时），采用随机抽样的方法进行问卷检查，检查结果按 0≤ t ＜ 2， 2≤t ＜3，3≤t ＜4，t ≥4 分为四个等级，并依次用A，B，C，D表示，依照检查结果统计的数据，绘制成了以下列图的两幅不完满的统计图，由图中给出的信息解答以下问题：（1）求本次检查的学生人数；（2）求扇形统计图中等级 B 所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完满；（3）若该校共有学生 1200 人，试估计每周课外阅读时间满足 3≤t ＜4 的人数．【解析】（1）由条形图、扇形图中给出的级别 A 的数字，可计算出检查学生人数；（2）先计算出 C 在扇形图中的百分比，用 1﹣ [ （ A+D+C）在扇形图中的百分比 ]可计算出 B 在扇形图中的百分比，再计算出 B 在扇形的圆心角．（3）总人数×课外阅读时间满足 3≤ t ＜ 4 的百分比即得所求．【解答】解：（1）由条形图知， A 级的人数为 20 人，由扇形图知： A 级人数占总检查人数的 10%所以： 20÷10%=20×=200（人）即本次检查的学生人数为200 人；（ 2）由条形图知： C 级的人数为 60 人所以 C 级所占的百分比为：× 100%=30%，B 级所占的百分比为： 1﹣10%﹣30%﹣ 45%=15%，B 级的人数为 200×15%=30（人）D级的人数为： 200×45%=90（人）B 所在扇形的圆心角为： 360°× 15%=54°．（ 3）由于 C级所占的百分比为30%，所以全校每周课外阅读时间满足3≤t ＜ 4 的人数为： 1200× 30%=360（人）答：全校每周课外阅读时间满足3≤t ＜ 4 的约有 360 人．第 23 页（共 32 页）【谈论】此题观察了扇形图和条形图的相关知识．题目难度不大．扇形图中某项的百分比 = × 100%，扇形图中某项圆心角的度数 =360°×该项在扇形图中的百分比．22．（ 10 分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c 经过点（ 1， 0），（ 0，）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）将抛物线 y=﹣ x2+bx+c 平移，使其极点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．【解析】（1）把已知点的坐标代入抛物线解析式求出 b 与 c 的值即可；（ 2）指出满足题意的平移方法，并写出平移后的解析式即可．【解答】解：（1）把（ 1，0），（ 0，）代入抛物线解析式得：，解得：，则抛物线解析式为y=﹣x 2﹣x+；（ 2）抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+ =﹣（x+1）2+2，将抛物线向右平移一个单位，向下平移 2 个单位，解析式变成y=﹣x2．【谈论】此题观察了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特色，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数23．（ 10 分）如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°， AC=BC，D 是 AB边上一点（点 D 与 A，B 不重合），连接 CD，将线段 CD绕点 C 按逆时针方向旋转 90°获取线段CE，连接 DE交 BC于点 F，连接 BE．（1）求证：△ ACD≌△ BCE；（2）当 AD=BF时，求∠ BEF的度数．【解析】（1）由题意可知： CD=CE，∠ DCE=90°，由于∠ ACB=90°，所以∠ ACD= ∠ACB﹣∠ DCB，∠ BCE=∠DCE﹣∠ DCB，所以∠ ACD=∠BCE，进而可证明△ ACD≌△BCE（SAS）（2）由△ ACD≌△ BCE（SAS）可知：∠ A=∠CBE=45°， BE=BF，进而可求出∠ BEF 的度数．【解答】解：（1）由题意可知： CD=CE，∠ DCE=90°，∵∠ ACB=90°，∴∠ ACD=∠ACB﹣∠ DCB，∠BCE=∠ DCE﹣∠ DCB，∴∠ ACD=∠BCE，在△ ACD与△ BCE中，∴△ ACD≌△ BCE（SAS）（2）∵∠ ACB=90°， AC=BC，∴∠ A=45°，由（ 1）可知：∠A=∠CBE=45°，∵ AD=BF，∴ BE=BF，∴∠°【谈论】此题观察全等三角形的判断与性质，解题的要点是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判断与性质，此题属于中等题型．24．（ 10 分）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000 元，乙种商品共用了 2400 元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8 元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．（ 1）求甲、乙两种商品的每件进价；（ 2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60 元，乙种商品的销售单价为 88 元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售必然数量后，将节余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共盈利很多于2460 元，问甲种商品按原销售单价最少销售多少件？【解析】（1）设甲种商品的每件进价为 x 元，乙种商品的每件进价为y 元．根据“某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了 2000 元，乙种商品共用了 2400 元．购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程；（2）设甲种商品按原销售单价销售 a 件，则由“两种商品全部售完后共盈利很多于 2460 元”列出不等式．【解答】解：（1）设甲种商品的每件进价为 x 元，则乙种商品的每件进价为（x+8）元．依照题意，得，= ，解得 x=40 ．经检验， x=40 是原方程的解．答：甲种商品的每件进价为40 元，乙种商品的每件进价为48 元；（ 2）甲乙两种商品的销售量为=50．设甲种商品按原销售单价销售 a 件，则（60﹣40）a+（ 60× 0.7 ﹣40）（ 50﹣a） +（88﹣48）× 50≥ 2460，解得 a ≥ 20．答：甲种商品按原销售单价最少销售20 件．【谈论】此题观察了分式方程的应用，一元一次不等式的应用．此题属于商品销售中的利润问题，对于此类问题，隐含着一个等量关系：利润=售价﹣进价．25．（12 分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比率三角形．（ 1）已知△ ABC是比率三角形， AB=2，BC=3，请直接写出全部满足条件的AC的长；（2）如图 1，在四边形 ABCD中，AD∥BC，对角线 BD均分∠ ABC，∠BAC=∠ADC．求证：△ ABC是比率三角形．（ 3）如图 2，在（ 2）的条件下，当∠ ADC=90°时，求的值．【解析】（1）依照比率三角形的定义分2 2 2AB=BC?AC、 BC=AB?AC、 AC=AB?BC三种状况分别代入计算可得；2（2）先证△ABC∽△DCA得CA=BC?AD，再由∠ADB=∠CBD=∠ABD知AB=AD即可得；（ 3）作 AH⊥BD，由 AB=AD知 BH= BD，再证△ ABH∽△ DBC得 AB?BC=BH?DB，即222 2AB?BC= BD，结合 AB?BC=AC知BD=AC，据此可得答案．【解答】解：（1）∵△ ABC是比率三角形，且AB=2、 AC=3，①当 AB2=BC?AC时，得： 4=3AC，解得： AC= ；2②当 BC=AB?AC时，得： 9=2AC，解得： AC= ；2③当 AC=AB?BC时，得： AC=6，解得： AC= （负值舍去）；所以当 AC= 或或时，△ ABC是比率三角形；（2）∵AD∥BC，∴∠ACB=∠CAD，又∵∠ BAC=∠ADC，∴△ ABC∽△ DCA，2∴=，即CA=BC?AD，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵BD均分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ ADB=∠ABD，∴AB=AD，2∴ CA=BC?AB，∴△ ABC是比率三角形；（ 3）如图，过点A作 AH⊥ BD于点 H，∵AB=AD，∴ BH= BD，∵AD∥BC，∠ ADC=90°，∴∠ BCD=90°，∴∠ BHA=∠BCD=90°，又∵∠ ABH=∠DBC，∴△ ABH∽△ DBC，∴= ，即 AB?BC=BH?DB，2∴AB?BC= BD，2又∵ AB?BC=AC，2 2∴BD=AC，∴= ．【谈论】此题主要观察相似三角形的综合问题，解题的要点是理解比率三角形的定义，并熟练掌握相似三角形的判断与性质．26．（ 14 分）如图点 B，点 C 是线段A 交 x 轴于另一点1，直线 l ：y=﹣x+b 与 x 轴交于点 A（4，0），与 y 轴交于OA上一动点（ 0＜ AC＜）．以点A为圆心，AC长为半径作⊙D，交线段 AB于点 E，连接 OE并延长交⊙ A 于点 F．（1）求直线 l 的函数表达式和 tan ∠ BAO的值；（2）如图 2，连接 CE，当 CE=EF时，①求证：△ OCE∽△ OEA；②求点 E 的坐标；（ 3）当点 C在线段 OA上运动时，求OE?EF的最大值．【解析】（1）利用待定系数法求出 b 即可得出直线 l 表达式，即可求出 OA，OB，即可得出结论；（2）①先判断出∠ CDF=2∠CDE，进而得出∠ OAE=∠ODF，即可得出结论；②设出 EM=3m，AM=4m，进而得出点 E 坐标，即可得出 OE的平方，再依照①的相似得出比率式得出 OE的平方，成立方程即可得出结论；（3）利用面积法求出 OG，进而得出 AG， HE，再构造相似三角形，即可得出结论．【解答】解：∵直线 l ：y=﹣ x+b 与 x 轴交于点 A（ 4， 0），∴﹣×4+b=0，∴b=3，∴直线 l 的函数表达式 y=﹣x+3，∴B（ 0， 3），∴OA=4， OB=3，在Rt△ AOB中， tan ∠ BAO= = ；（2）①如图 2，连接 DF，∵ CE=EF，∴∠ CDE=∠FDE，∴∠ CDF=2∠ CDE，∵∠ OAE=2∠ CDE，∴∠ OAE=∠ODF，∵四边形 CEFD是⊙ O的圆内接四边形，∴∠ OEC=∠ODF，∴∠ OEC=∠OAE，∵∠ COE=∠EOA，∴△ COE∽△ EOA，②过点 E⊥ OA于 M，由①知， tan ∠OAB= ，设EM=3m，则AM=4m，∴ OM=4﹣ 4m，AE=5m，∴ E（ 4﹣ 4m，3m），AC=5m，∴OC=4﹣5m，由①知，△ COE∽△ EOA，∴，2∴ OE=OA?OC=4（ 4﹣5m） =16﹣ 20m，∵ E（ 4﹣ 4m，3m），22 2∴（ 4﹣4m） +9m=25m﹣32m+16，2∴ 25m﹣ 32m+16=16﹣20m，∴ m=0（舍）或 m=，∴ 4﹣ 4m=，3m=，∴（，），（3）如图，设⊙ O的半径为 r ，过点 O作 OG⊥AB于G，∵ A（ 4， 0），B（0，3），∴ OA=4，OB=3，∴ AB=5，∴ AB×OG= OA×OB，∴ OG= ，∴ AG==×=，∴EG=AG﹣AE= ﹣r ，连接 FH，∵ EH是⊙ O直径，∴EH=2r，∠ EFH=90°=∠ EGO，∵∠ OEG=∠HEF，∴△ OEG∽△ HEF，∴，∴OE?EF=HE?EG=2r（﹣r）=﹣2（r﹣）2+，∴ r=时，OE?EF最大值为．【谈论】此题是圆的综合题，主要观察了待定系数法，相似三角形的判断和性质，锐角三角函数，勾股定理，正确作出辅助线是解此题的要点．。
浙江省宁波市2018年中考数学试卷(解析版)
浙江省宁波市2018年中考数学试卷含答案【精品】一、选择题（本大题共12小题，共48分）1. 在，，0，1这四个数中，最小的数是A. B. C. 0 D. 1【答案】A【解析】【分析】根据正数大于零，零大于负数，正数大于一切负数，即可得答案．【详解】由正数大于零，零大于负数，得，最小的数是，故选A．【点睛】本题考查了有理数比较大小，利用好“正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小”是解题关键．2. 2018中国宁波特色文化产业博览会于4月16日在宁波国际会展中心闭幕本次博览会为期四天，参观总人数超55万人次，其中55万用科学记数法表示为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．【详解】55万=550000，550000的小数点向左移动5位得到5.5，所以55万用科学记数法表示为，故选B.【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3. 下列计算正确的是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方的运算方法，逐项判定即可．【详解】，选项A符合题意；，选项B不符合题意；，选项C不符合题意；，选项D不符合题意，故选A．【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，解答此题的关键是要明确：底数，因为0不能做除数；单独的一个字母，其指数是1，而不是0；应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．4. 有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】正面的数字是偶数的情况数是2，总的情况数是5，用概率公式进行计算即可得.【详解】从写有数字1，2，3，4，5这5张纸牌中抽取一张，其中正面数字是偶数的有2、4这2种结果，正面的数字是偶数的概率为，故选C．【点睛】本题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．5. 已知正多边形的一个外角等于，那么这个正多边形的边数为A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D【解析】【分析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，即可求得边数．【详解】正多边形的一个外角等于，且外角和为，则这个正多边形的边数是：，故选D．【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，熟练掌握多边形的外角和等于360度是解题的关键．6. 如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是A. 主视图B. 左视图C. 俯视图D. 主视图和左视图【答案】C【解析】【分析】根据所得到的主视图、俯视图、左视图结合中心对称图形的定义进行判断即可.【详解】观察几何体，可得三视图如图所示：可知俯视图是中心对称图形，故选C.【点睛】本题考查了三视图、中心对称图形，正确得到三视图是解决问题的关键.7. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结若，，则的度数为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用三角形内角和定理得出的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案．【详解】，，，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，是的中位线，，，故选B．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形中位线定理等知识，得出EO是的中位线是解题关键．8. 若一组数据4，1，7，x，5的平均数为4，则这组数据的中位数为A. 7B. 5C. 4D. 3【答案】C【解析】【分析】先根据平均数为4求出x的值，然后根据中位数的概念进行求解即可.【详解】数据4，1，7，x，5的平均数为4，，解得：，则将数据重新排列为1、3、4、5、7，所以这组数据的中位数为4，故选C．【点睛】本题考查了平均数和中位数，熟知平均数和中位数的求解方法是解题的关键.将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．9. 如图，在中，，，，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，则的长为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据，，，得圆心角和半径的长，再根据弧长公式可得到弧CD的长．【详解】，，，，，的长为，故选C．学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...10. 如图，平行于x轴的直线与函数，的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若的面积为4，则的值为A. 8B.C. 4D.【答案】A【解析】【分析】设，，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，根据三角形的面积公式得到，即可求出．【详解】轴，，B两点纵坐标相同，设，，则，，，，故选A．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟知点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式是解题的关键.11. 如图，二次函数的图象开口向下，且经过第三象限的点若点P的横坐标为，则一次函数的图象大致是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，观察各选项即可得答案．【详解】由二次函数的图象可知，，，当时，，的图象经过二、三、四象限，观察可得D选项的图象符合，故选D．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，认真识图，会用函数的思想、数形结合思想解答问题是关键.12. 在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为当时，的值为A. 2aB. 2bC.D.【答案】B【解析】【分析】利用面积的和差分别表示出和，然后利用整式的混合运算计算它们的差．【详解】，，，，，，，故选B．【点睛】本题考查了正方形的性质，整式的混合运算，“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来.二、填空题（本大题共6小题，共24分）13. 计算：______．【答案】2018【解析】【分析】利用绝对值的定义进行求解即可得.【详解】|-2018|表示求-2018的绝对值，-2018的绝对值是2018，所以，|-2018|=2018，故答案为：2018.【点睛】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的概念与性质是解题的关键.14. 要使分式有意义，x的取值应满足______．【答案】x≠1【解析】【分析】根据分式有意义的条件——分母不为0进行求解即可得.【详解】要使分式有意义，则：，解得：，故x的取值应满足：，故答案为：．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键. 15. 已知x，y满足方程组，则的值为______．【答案】-15【解析】【分析】观察所求的式子以及所给的方程组，可知利用平方差公式进行求解即可得.【详解】∵，∴=（x+2y）（x-2y）=-3×5=-15，故答案为：-15.【点睛】本题考查代数式求值，涉及到二元一次方程组、平方差公式因式分解，根据代数式的结构特征选用恰当的方法进行解题是关键.16. 如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为和若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为______米结果保留根号．【答案】【解析】【分析】在和中，利用锐角三角函数，用CH表示出AH、BH的长，然后计算出AB的长．【详解】由于，，，在中，，米，在，，米，米，故答案为：.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角、俯角问题，题目难度不大，解决本题的关键是用含CH的式子表示出AH和BH．17. 如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作当与正方形ABCD的边相切时，BP的长为______．【答案】3或【解析】【分析】分两种情况：与直线CD相切、与直线AD相切，分别画出图形进行求解即可得. 【详解】如图1中，当与直线CD相切时，设，在中，，，，，；如图2中当与直线AD相切时，设切点为K，连接PK，则，四边形PKDC是矩形，，，，在中，，综上所述，BP的长为3或．18. 如图，在菱形ABCD中，，是锐角，于点E，M是AB的中点，连结MD，若，则的值为______．【答案】【解析】【分析】延长DM交CB的延长线于点首先证明，设，利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题．【详解】延长DM交CB的延长线于点H，四边形ABCD是菱形，，，，，，≌，，，，设，，，，，，或舍弃，，故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题是解决本题的关键.三、计算题（本大题共1小题，共6分）19. 已知抛物线经过点，求该抛物线的函数表达式；将抛物线平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．【答案】抛物线解析式为；具体见解析.【解析】【分析】把已知点的坐标代入抛物线解析式求出b与c的值即可；指出满足题意的平移方法，并写出平移后的解析式即可．【详解】把，代入抛物线解析式得：，解得：，则抛物线解析式为；抛物线解析式为，将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．四、解答题（本大题共7小题，共72分）20. 先化简，再求值：，其中．【答案】，．【解析】【分析】先利用完全平方公式、单项式乘多项式法则进行展开，然后合并同类项，最后把数值代入进行计算即可得.【详解】=，当时，原式．【点睛】本题考查了整式的混合运算--化简求值，熟练掌握整式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键．21. 在的方格纸中，的三个顶点都在格点上．在图1中画出线段BD，使，其中D是格点；在图2中画出线段BE，使，其中E是格点．【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析.【解析】【分析】将线段AC沿着AB方向平移2个单位，即可得到线段BD；利用的长方形的对角线，即可得到线段．【详解】如图所示，线段BD即为所求；如图所示，线段BE即为所求．【点睛】本题考查了作图以及平行四边形的性质，理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图是关键．22. 在第23个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间用t表示，单位：小时，采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按，，，分为四个等级，并依次用A，B，C，D表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：求本次调查的学生人数；求扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；若该校共有学生1200人，试估计每周课外阅读时间满足的人数．【答案】本次调查的学生人数为200人；B所在扇形的圆心角为，补全条形图见解析；全校每周课外阅读时间满足的约有360人．【解析】【分析】根据等级A的人数及所占百分比即可得出调查学生人数；先计算出C在扇形图中的百分比，用在扇形图中的百分比可计算出B在扇形图中的百分比，再计算出B在扇形的圆心角；总人数课外阅读时间满足的百分比即得所求．【详解】由条形图知，A级的人数为20人，由扇形图知：A级人数占总调查人数的，所以：人，即本次调查的学生人数为200人；由条形图知：C级的人数为60人，所以C级所占的百分比为：，B级所占的百分比为：，B级的人数为人，D级的人数为：人，B所在扇形的圆心角为：，补全条形图如图所示：；因为C级所占的百分比为，所以全校每周课外阅读时间满足的人数为：人，答：全校每周课外阅读时间满足的约有360人．【点睛】本题考查了扇形图和条形图的相关知识，从统计图中找到必要的信息进行解题是关键.扇形图中某项的百分比，扇形图中某项圆心角的度数该项在扇形图中的百分比．23. 如图，在中，，，D是AB边上一点点D与A，B不重合，连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．求证：≌；当时，求的度数．【答案】证明见解析；.【解析】【分析】由题意可知：，，由于，从而可得，根据SAS即可证明≌；由≌可知：，，从而可求出的度数．【详解】由题意可知：，，，，，，在与中，，≌；，，，由可知：，，，.【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质．24. 某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．求甲、乙两种商品的每件进价；该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？【答案】甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；甲种商品按原销售单价至少销售20件．【解析】【分析】设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为（x+8）)元根据“某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程进行求解即可；设甲种商品按原销售单价销售a件，则由“两种商品全部售完后共获利不少于2460元”列出不等式进行求解即可．【详解】设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为元，根据题意得，，解得，经检验，是原方程的解，答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；甲乙两种商品的销售量为，设甲种商品按原销售单价销售a件，则，解得，答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找出等量关系列出方程，找出不等关系列出不等式是解题的关键.25. 若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．已知是比例三角形，，，请直接写出所有满足条件的AC的长；如图1，在四边形ABCD中，，对角线BD平分，求证：是比例三角形．如图2，在的条件下，当时，求的值．【答案】当或或时，是比例三角形；证明见解析；．【解析】【分析】根据比例三角形的定义分、、三种情况分别代入计算可得；先证∽得，再由知即可得；作，由知，再证∽得，即，结合知，据此可得答案．【详解】是比例三角形，且、，当时，得：，解得：；当时，得：，解得：；当时，得：，解得：负值舍去；所以当或或时，是比例三角形；，，又，∽，，即，，，平分，，，，，是比例三角形；如图，过点A作于点H，，，，，，，又，∽，，即，，又，，．【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，理解比例三角形的定义，熟练掌握和运用相似三角形的判定与性质是解题的关键．26. 如图1，直线l：与x轴交于点，与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点以点A为圆心，AC长为半径作交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交于点F．求直线l的函数表达式和的值；如图2，连结CE，当时，求证：∽；求点E的坐标；当点C在线段OA上运动时，求的最大值．【答案】（1）直线l的函数表达式，；证明见解析；E；最大值为．【解析】【分析】利用待定系数法求出b即可得出直线l表达式，即可求出OA，OB，即可得出结论；先判断出，进而得出，即可得出结论；设出，，进而得出点E坐标，即可得出OE的平方，再根据的相似得出比例式得出OE的平方，建立方程即可得出结论；利用面积法求出OG，进而得出AG，HE，再构造相似三角形，即可得出结论．【详解】（1）直线l：与x轴交于点，，，直线l的函数表达式，，，，在中，；如图2，连接DF，，，，，，四边形CEFD是的圆内接四边形，，，，∽，过点于M，由知，，设，则，，，，，，由知，∽，，，，，，舍或，，，；如图，设的半径为r，过点O作于G，，，，，，，，，，连接FH，是直径，，，，∽，，，时，最大值为．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理等，熟练掌握相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，运用数理结合思想，正确添加辅助线进行图形构建是解本题的关键．。
┃精选3套试卷┃2018年宁波市中考数学学业质量检查模拟试题
中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，二次函数y=ax 1+bx+c （a≠0）的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线x=1，且OA=OC ．则下列结论：①abc ＞0；②9a+3b+c ＞0；③c ＞﹣1；④关于x 的方程ax 1+bx+c=0（a≠0）有一个根为﹣1a；⑤抛物线上有两点P （x 1，y 1）和Q （x 1，y 1），若x 1＜1＜x 1，且x 1+x 1＞4，则y 1＞y 1．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】D 【解析】根据抛物线的图象与系数的关系即可求出答案．【详解】解：由抛物线的开口可知：a ＜0，由抛物线与y 轴的交点可知：c ＜0，由抛物线的对称轴可知：2b a-＞0，∴b ＞0，∴abc ＞0，故①正确； 令x=3，y ＞0，∴9a+3b+c ＞0，故②正确；∵OA=OC ＜1，∴c ＞﹣1，故③正确；∵对称轴为直线x=1，∴﹣2b a=1，∴b=﹣4a ． ∵OA=OC=﹣c ，∴当x=﹣c 时，y=0，∴ac 1﹣bc+c=0，∴ac ﹣b+1=0，∴ac+4a+1=0，∴c=41a a +-，∴设关于x 的方程ax 1+bx+c=0（a≠0）有一个根为x ，∴x ﹣c=4，∴x=c+4=1a-，故④正确； ∵x 1＜1＜x 1，∴P 、Q 两点分布在对称轴的两侧，∵1﹣x 1﹣（x 1﹣1）=1﹣x 1﹣x 1+1=4﹣（x 1+x 1）＜0，即x 1到对称轴的距离小于x 1到对称轴的距离，∴y 1＞y 1，故⑤正确．故选D ．【点睛】 本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax 1+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定．本题属于中等题型．2．如右图,⊿ABC 内接于⊙O ，若∠OAB=28°则∠C 的大小为（ ）A．62°B．56°C．60°D．28°【答案】A【解析】连接OB．在△OAB中，OA=OB（⊙O的半径），∴∠OAB=∠OBA（等边对等角）；又∵∠OAB=28°，∴∠OBA=28°；∴∠AOB=180°-2×28°=124°；而∠C=12∠AOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠C=62°；故选A3．如图，数轴上的A、B、C、D四点中，与数﹣3表示的点最接近的是( )A．点A B．点B C．点C D．点D【答案】B【解析】3 1.732-≈-，计算-1.732与-3，-2，-1的差的绝对值，确定绝对值最小即可. 【详解】3 1.732-≈-，()1.7323 1.268---≈，()1.73220.268---≈，()1.73210.732---≈，因为0.268＜0.732＜1.268，所以3-表示的点与点B最接近，故选B.4．如图是由长方体和圆柱组成的几何体，它的俯视图是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】分析：根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．详解：从上边看外面是正方形，里面是没有圆心的圆，故选A．点睛：本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．5．若a=10，则实数a在数轴上对应的点的大致位置是（）A．点E B．点F C．点G D．点H【答案】C【解析】根据被开方数越大算术平方根越大，可得答案．【详解】解：∵9＜10＜16，∴3＜10＜4，∵a=10，∴3＜a＜4，故选：C．【点睛】本题考查了实数与数轴，利用被开方数越大算术平方根越大得出3＜10＜4是解题关键．6．如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=35°，则∠2的度数为（）A．10°B．20°C．25°D．30°【答案】C【解析】分析：如图，延长AB 交CF 于E ，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°．∵∠1=35°，∴∠AEC=∠ABC ﹣∠1=25°．∵GH ∥EF ，∴∠2=∠AEC=25°．故选C ．7．如图，从边长为a 的正方形中去掉一个边长为b 的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（ ）A ．22()()a b a b a b +-=-B ．222()2a b a ab b -=-+C ．222()2a b a ab b +=++D ．2()a ab a a b +=+【答案】A 【解析】由图形可以知道，由大正方形的面积-小正方形的面积=矩形的面积，进而可以证明平方差公式．【详解】解：大正方形的面积-小正方形的面积=22a b -，矩形的面积=()()a b a b +-，故22()()a b a b a b +-=-，故选：A ．【点睛】本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．8．如图1，在△ABC 中，AB=BC ，AC=m ，D ，E 分别是AB ，BC 边的中点，点P 为AC 边上的一个动点，连接PD ，PB ，PE.设AP=x ，图1中某条线段长为y ，若表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是（ ）A．PD B．PB C．PE D．PC【答案】C【解析】观察可得，点P在线段AC上由A到C的运动中，线段PE逐渐变短，当EP⊥AC时，PE最短，过垂直这个点后，PE又逐渐变长，当AP=m时，点P停止运动，符合图像的只有线段PE，故选C.点睛：本题考查了动点问题的函数图象，对于此类问题来说是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．9．《九章算术》是中国古代数学专著，《九章算术》方程篇中有这样一道题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”这是一道行程问题，意思是说：走路快的人走100步的时候，走路慢的才走了60步；走路慢的人先走100步，然后走路快的人去追赶，问走路快的人要走多少步才能追上走路慢的人？如果走路慢的人先走100步，设走路快的人要走 x 步才能追上走路慢的人，那么，下面所列方程正确的是()A．x x10060100-=B．x x10010060-=C．x x10060100+=D．x x10010060+=【答案】B【解析】解：设走路快的人要走x 步才能追上走路慢的人，根据题意得：10010060x x-=．故选B．点睛：本题考查了一元一次方程的应用．找准等量关系，列方程是关键．10．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF=4，则下列结论：①12AFFD=；②S△BCE=36；③S△ABE=12；④△AEF～△ACD，其中一定正确的是（）A．①②③④B．①④C．②③④D．①②③【答案】D【解析】∵在▱ABCD中，AO=12 AC，∵点E是OA的中点，∴AE=13CE ， ∵AD ∥BC ， ∴△AFE ∽△CBE ，∴AF AE BC CE ==13， ∵AD=BC ，∴AF=13AD ， ∴12AF FD =；故①正确； ∵S △AEF =4， AEFBCE SS =（AF BC ）2=19， ∴S △BCE =36；故②正确；∵EF AE BE CE = =13， ∴AEFABE SS =13， ∴S △ABE =12，故③正确；∵BF 不平行于CD ，∴△AEF 与△ADC 只有一个角相等，∴△AEF 与△ACD 不一定相似，故④错误，故选D ．二、填空题（本题包括8个小题）11．如图,在矩形ABCD 中,AB=4,BC=6,点E 为BC 的中点,将△ABE 沿AE 折叠,使点B 落在矩形内点F 处,连接CF,则CF 的长度为_____【答案】185【解析】分析题意,如图所示,连接BF,由翻折变换可知,BF ⊥AE,BE=EF,由点E 是BC 的中点可知BE=3,根据勾股定理即可求得AE ；根据三角形的面积公式1122AB BE AE BH ⨯⨯=⨯⨯可求得BH,进而可得到BF 的长度;结合题意可知FE=BE=EC,进而可得∠BFC=90°,至此,在Rt △BFC 中,利用勾股定理求出CF 的长度即可【详解】如图,连接BF.∵△AEF是由△ABE沿AE折叠得到的, ∴BF⊥AE,BE=EF.∵BC=6,点E为BC的中点,∴BE=EC=EF=3根据勾股定理有AE2=AB2+BE2代入数据求得AE=5根据三角形的面积公式1122AB BE AE BH ⨯⨯=⨯⨯得BH=12 5即可得BF=24 5由FE=BE=EC,可得∠BFC=90°再由勾股定理有BC2-BF2=CF2代入数据求得CF=18 5故答案为18 5【点睛】此题考查矩形的性质和折叠问题，解题关键在于利用好折叠的性质12．一个凸多边形的内角和与外角和相等，它是______边形．【答案】四【解析】任何多边形的外角和是360度，因而这个多边形的内角和是360度．n边形的内角和是（n-2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．【详解】解：设边数为n，根据题意，得（n-2）•180=360，解得n=4，则它是四边形．故填：四.【点睛】此题主要考查已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．13．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．水面下降2.5m，水面宽度增加_____m．【答案】1.【解析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=-1.5代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半1米，抛物线顶点C坐标为（0，1），设顶点式y=ax1+1，把A点坐标（-1，0）代入得a=-0.5，∴抛物线解析式为y=-0.5x1+1，当水面下降1.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=-1.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=-1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=-1.5代入抛物线解析式得出：-1.5=-0.5x1+1，解得：x=±3，1×3-4=1，所以水面下降1.5m，水面宽度增加1米．故答案为1．【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．14．不等式组2113242xx x+>-⎧⎨+≥+⎩的整数解是_____．【答案】0【解析】求出不等式组的解集，再找出不等式组的整数解即可．【详解】2113242x x x +>-⎧⎨+≥+⎩ 211x +>-,则x>-13242x x +≥+,则x 0≤∴不等式组的解集为-1<x 0≤.∴整数解为0.【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组是解题的关键.15．计算：cos 245°-tan30°sin60°=______．【答案】0【解析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案．【详解】2cos 45tan30sin60︒-︒︒=223311()023222-⨯=-= . 故答案为0.【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 16．如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，位似中心点是点O ，OE 3=OA 5，则EFGH ABCD S S 四边形四边形＝_____． 【答案】925【解析】试题分析：∵四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，位似中心点是点O ，∴EF AB ＝OE OA ＝35， 则EFGH ABCD S S 四边形四边形＝2()OE OA ＝23()5＝925． 故答案为925． 点睛：本题考查的是位似变换的性质，掌握位似图形与相似图形的关系、相似多边形的性质是解题的关键．17．函数21y x =-中，自变量x 的取值范围是_____． 【答案】x ≠1【解析】根据分母不等于0，可以求出x 的范围；【详解】解：（1）x-1≠0，解得：x≠1；故答案是：x≠1，【点睛】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．18．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝4，以点C 为圆心，CB 长为半径作弧，交AB 于点D ；再分别以点B 和点D 为圆心，大于12BD 的长为半径作弧，两弧相交于点E ，作射线CE 交AB 于点F ，则AF 的长为_____．【答案】1；【解析】分析：根据辅助线做法得出CF ⊥AB ，然后根据含有30°角的直角三角形得出AB 和BF 的长度，从而得出AF 的长度．详解：∵根据作图法则可得：CF ⊥AB ， ∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，∴AB=2BC=8， ∵∠CFB=90°，∠B=10°， ∴BF=12BC=2， ∴AF=AB －BF=8－2=1．点睛：本题主要考查的是含有30°角的直角三角形的性质，属于基础题型．解题的关键就是根据作图法则得出直角三角形．三、解答题（本题包括8个小题）19．2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上的一道靓丽的风景线.大桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海地隧道，西人工岛上的A 点和东人工岛上的B 点间的距离约为5.6千米，点C 是与西人工岛相连的大桥上的一点，A ，B ，C 在一条直线上.如图，一艘观光船沿与大桥AC 段垂直的方向航行，到达P 点时观测两个人工岛，分别测得PA ，PB 与观光船航向PD 的夹角18DPA ∠=︒，53DPB ∠=︒，求此时观光船到大桥AC 段的距离PD 的长（参考数据：180.31sin ︒≈，180.95cos ︒≈，180.33tan ︒≈，530.80sin ︒≈，530.60cos ︒≈，53 1.33tan ︒≈）.【答案】5.6千米【解析】设PD的长为x千米，DA的长为y千米，在Rt△PAD中利用正切的定义得到tan18°=yx，即y=0.33x，同样在Rt△PDB中得到y+5.6=1.33x，所以0.33x+5.6=1.33x，然后解方程求出x即可．【详解】设PD的长为x千米，DA的长为y千米，在Rt△PAD中，tan∠DPA=DA DP，即tan18°=yx，∴y=0.33x，在Rt△PDB中，tan∠DPB=64 5.6g)56x⨯-（，即tan53°=5.6yx+，∴y+5.6=1.33x，∴0.33x+5.6=1.33x，解得x=5.6，答：此时观光船到大桥AC段的距离PD的长为5.6千米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用：根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．20．如图，AC⊥BD，DE交AC于E，AB＝DE，∠A＝∠D．求证：AC＝AE+BC．【答案】见解析.【解析】由“SAS”可证△ABC≌△DEC，可得BC＝CE，即可得结论．【详解】证明：∵AB＝DE，∠A＝∠D，∠ACB＝∠DCE＝90°∴△ABC≌△DEC（SAS）∴BC＝CE，∵AC＝AE+CE∴AC＝AE+BC【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键．21．解方程：112 22xx x-=---【答案】无解【解析】解：去分母：方程两边同时乘以x-2，得1-x=-1-2（x-2）1-x="-1-2x+4X="2检验：当x=2时，x-2=0，所以x=2不是原方程的解．∴原方程无解．【详解】请在此输入详解！22．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（4，0），C（4，4）．按下列要求作图：①将△ABC向左平移4个单位，得到△A1B1C1；②将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°，得到△A1B1C1．求点C1在旋转过程中所经过的路径长．【答案】（1）①见解析；②见解析；（1）1π．【解析】（1）①利用点平移的坐标规律，分别画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点可得△A1B1C1；②利用网格特点和旋转的性质，分别画出点A1、B1、C1的对应点A1、B1、C1即可；（1）根据弧长公式计算．【详解】（1）①如图，△A1B1C1为所作；②如图，△A1B1C1为所作；（1）点C1在旋转过程中所经过的路径长＝9042 180ππ⨯=【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移的性质．23．学校为了提高学生跳远科目的成绩,对全校500名九年级学生开展了为期一个月的跳远科目强化训练。
浙江省宁波市中考数学真题试卷(带解析)
宁波市2018年初中学业水平考试数学试题试题卷Ⅰ一、选择题（每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在-3，-1，0，1这四个数中，最小的数是（ ）A ．-3B ．-1C ．0D ．12.2018中国（宁波）特色文化产业博览会于4月16日在宁波国际会展中心闭幕.本次博览会为期四天，参观总人数超55万人次.其中55万用科学记数法表示为（ ）A ．60.5510⨯B ．55.510⨯C ．45.510⨯D ．45510⨯ 3.下列计算正确的是（ ）A ．3332a a a +=B ．326a a a ⋅=C ．623a a a ÷= D ．325()a a =4.有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为（ ） A ．45 B ．35 C ．25 D ．155.已知正多边形的一个外角等于40，那么这个正多边形的边数为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．96.如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（ ）A ．主视图B ．左视图C ．俯视图D ．主视图和左视图7.如图，在ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，E 是边CD 的中点，连结OE .若60ABC ∠=，80BAC ∠=，则1∠的度数为（ ）A ．50B ．40C ．30D ．208.若一组数据4，1，7，x ，5的平均数为4，则这组数据的中位数为（ ） A ．7 B ．5 C ．4 D ．39.如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=，30A ∠=，4AB =，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交边AB 于点D ，则CD 的长为（ ）A ．16πB ．13πC ．23πD ．23310.如图，平行于x 轴的直线与函数11(0,0)k y k x x =>>，22(0,0)ky k x x=>>的图象分别相交于A ，B 两点，点A 在点B 的右侧，C 为x 轴上的一个动点.若ABC ∆的面积为4，则12k k -的值为（ ）A ．8B ．-8C ．4D ．-411.如图，二次函数2y ax bx =+的图象开口向下，且经过第三象限的点P .若点P 的横坐标为-1，则一次函数()y a b x b =-+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12.在矩形ABCD 内，将两张边长分别为a 和()b a b >的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分为1S ，图2中阴影部分的面积为2S .当2AD AB -=时，21S S -的值为（ ）A ．2aB ．2bC ．22a b -D ．2b -试题卷Ⅱ二、填空题（每小题4分，共24分）13.计算：2018-= ． 14.要使分式11x -有意义，x 的取值应满足 ． 15.已知x ，y 满足方程组2523x y x y -=⎧⎨+=-⎩，则224x y -的值为 ．16.如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB ，飞机上的测量人员在C 处测得A ，B 两点的俯角分别为45和30.若飞机离地面的高度CH 为1200米，且点H ，A ，B 在同一水平直线上，则这条江的宽度AB 为 米（结果保留根号）．17.如图，正方形ABCD 的边长为8，M 是AB 的中点，P 是BC 边上的动点，连结PM ，以点P 为圆心，PM 长为半径作P .当P 与正方形ABCD 的边相切时，BP 的长为 ．18.如图，在菱形ABCD 中，2AB =，B ∠是锐角，AE BC ⊥于点E ，M 是AB 的中点，连结MD ，ME .若90EMD ∠=，则cos B 的值为 ．三、解答题（本大题有8小题，共78分）19.先化简，再求值：2(1)(3)x x x -+-，其中12x =-. 20.在53⨯的方格纸中，ABC ∆的三个顶点都在格点上.（1）在图1中画出线段BD ，使//BD AC ，其中D 是格点； （2）在图2中画出线段BE ，使BE AC ⊥，其中E 是格点.21.在第23个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间（用t 表示，单位：小时），采用随机抽样的方法进行问卷调查.调查结果按02t ≤<，23t ≤<，34t ≤<，4t ≥分为四个等级，并依次用A ，B ，C ，D 表示.根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：（1）求本次调查的学生人数；（2）求扇形统计图中等级B 所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整； （3）若该校共有学生1200人，试估计每周课外阅读时间满足34t ≤<的人数. 22.已知抛物线212y x bx c =-++经过点(1,0)，3(0,)2. （1）求该抛物线的函数表达式； （2）将抛物线212y x bx c =-++平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式. 23.如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=，AC BC =，D 是AB 边上一点（点D 与A ，B 不重合），连结CD ，将线段CD 绕点C 按逆时针方向旋转90得到线段CE ，连结DE 交BC 于点F ，连BE .（1）求证：ACD BCE ∆≅∆；（2）当AD BF =时，求BEF ∠的度数.24.某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元.已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同. （1）求甲、乙两种商品的每件进价；（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元.销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变.要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？25.若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形.（1）已知ABC ∆是比例三角形，2AB =，3BC =，请直接写出所有满足条件的AC 的长； （2）如图1，在四边形ABCD 中，//AD BC ，对角线BD 平分ABC ∠，BAC ADC ∠=∠. 求证：ABC ∆是比例三角形；（3）如图2，在（2）的条件下，当90ADC ∠=时，求BDAC的值. 26.如图1，直线l ：34y x b =-+与x 轴交于点(4,0)A ，与y 轴交于点B ，点C 是线段OA 上一动点（1605AC <<）.以点A 为圆心，AC 长为半径作A 交x 轴于另一点D ，交线段AB 于点E ，连结OE 并延长交A 于点F .（1）求直线l 的函数表达式和tan BAO ∠的值； （2）如图2，连结CE ，当CE EF =时， ①求证：OCEOEA ∆∆；②求点E 的坐标；（3）当点C 在线段OA 上运动时，求OE EF ⋅的最大值.2018年浙江省宁波市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48分） 1. 在，，0，1这四个数中，最小的数是A. B. C. 0 D. 1【答案】A【解析】解：由正数大于零，零大于负数，得，最小的数是，故选：A．根据正数大于零，零大于负数，可得答案．本题考查了有理数比较大小，利用正数大于零，零大于负数是解题关键．2.2018中国宁波特色文化产业博览会于4月16日在宁波国际会展中心闭幕本次博览会为期四天，参观总人数超55万人次，其中55万用科学记数法表示为A.B. C. D.【答案】B【解析】解：，故选：B．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.下列计算正确的是B. C. D.A.【答案】A【解析】解：，选项A符合题意；，选项B不符合题意；，选项C不符合题意；，选项D不符合题意．故选：A．根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判定即可．此题主要考查了同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，解答此题的关键是要明确：底数，因为0不能做除数；单独的一个字母，其指数是1，而不是0；应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．4.有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：从写有数字1，2，3，4，5这5张纸牌中抽取一张，其中正面数字是偶数的有2、4这2种结果， 正面的数字是偶数的概率为，故选：C ．让正面的数字是偶数的情况数除以总情况数5即为所求的概率．此题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．5. 已知正多边形的一个外角等于，那么这个正多边形的边数为A. 6B. 7C. 8D. 9 【答案】D【解析】解：正多边形的一个外角等于，且外角和为， 则这个正多边形的边数是：． 故选：D ．根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数．本题主要考查了多边形的外角和定理，解决问题的关键是掌握多边形的外角和等于360度．6. 如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是A. 主视图B. 左视图C. 俯视图D. 主视图和左视图 【答案】C【解析】解：从上边看是一个田字， “田”字是中心对称图形， 故选：C ．根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图，又利用了中心对称图形．7. 如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，E 是边CD 的中点，连结若，，则的度数为A.B. C. D.【答案】B 【解析】解：，，，对角线AC 与BD 相交于点O ，E 是边CD 的中点，是的中位线，，．故选：B ．直接利用三角形内角和定理得出的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案．此题主要考查了三角形内角和定理、三角形中位线定理等知识，得出EO是的中位线是解题关键．8.若一组数据4，1，7，x，5的平均数为4，则这组数据的中位数为A. 7B. 5C. 4D. 3【答案】C【解析】解：数据4，1，7，x，5的平均数为4，，解得：，则将数据重新排列为1、3、4、5、7，所以这组数据的中位数为4，故选：C．先根据平均数为4求出x的值，然后根据中位数的概念求解．本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．9.如图，在中，，，，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则的长为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，，，，的长为，故选：C．先根据，，，得圆心角和半径的长，再根据弧长公式可得到弧CD的长．本题主要考查了弧长公式的运用和直角三角形30度角的性质，解题时注意弧长公式为：弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为．10.如图，平行于x轴的直线与函数，的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若的面积为4，则的值为A. 8B.C. 4D.【答案】A【解析】解：轴，，B两点纵坐标相同．设，，则，．，．故选：A．设，，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，根据三角形的面积公式得到，求出．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式也考查了三角形的面积．11.如图，二次函数的图象开口向下，且经过第三象限的点若点P的横坐标为，则一次函数的图象大致是A.B.C.D.【答案】D【解析】解：由二次函数的图象可知，，，当时，，的图象在第二、三、四象限，故选：D．根据二次函数的图象可以判断a、b、的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，本题得以解决．本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答．12.在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为当时，的值为A. 2aB. 2bC.D.【答案】B【解析】解：，，．故选：B．利用面积的和差分别表示出和，然后利用整式的混合运算计算它们的差．本题考查了整式的混合运算：整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来也考查了正方形的性质．二、填空题（本大题共6小题，共24分）13.计算：______．【答案】2018【解析】解：．故答案为：2018．直接利用绝对值的性质得出答案．此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．14.要使分式有意义，x的取值应满足______．【答案】【解析】解：要使分式有意义，则：．解得：，故x的取值应满足：．故答案为：．直接利用分式有意义则分母不能为零，进而得出答案．此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．15.已知x，y满足方程组，则的值为______．【答案】【解析】解：原式故答案为：根据平方差公式即可求出答案．本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．16.如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为和若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为______米结果保留根号．【答案】【解析】解：由于，，在中，米，在，米．米故答案为：在和中，利用锐角三角函数，用CH表示出AH、BH的长，然后计算出AB的长．本题考查了锐角三角函数的仰角、俯角问题题目难度不大，解决本题的关键是用含CH的式子表示出AH和BH．17.如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作当与正方形ABCD的边相切时，BP的长为______．【答案】3或【解析】解：如图1中，当与直线CD相切时，设．在中，，，，，．如图2中当与直线AD相切时设切点为K，连接PK，则，四边形PKDC是矩形．，，，在中，．综上所述，BP的长为3或．分两种情形分别求解：如图1中，当与直线CD相切时；如图2中当与直线AD相切时设切点为K，连接PK，则，四边形PKDC是矩形；本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．18.如图，在菱形ABCD中，，是锐角，于点E，M是AB的中点，连结MD，若，则的值为______．【答案】【解析】解：延长DM交CB的延长线于点H．四边形ABCD是菱形，，，，，，≌，，，，设，，，，，或舍弃，，故答案为．延长DM交CB的延长线于点首先证明，设，利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题．本题考查菱形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．三、计算题（本大题共1小题，共6分）19.已知抛物线经过点，求该抛物线的函数表达式；将抛物线平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．【答案】解：把，代入抛物线解析式得：，解得：，则抛物线解析式为；抛物线解析式为，将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为．【解析】把已知点的坐标代入抛物线解析式求出b与c的值即可；指出满足题意的平移方法，并写出平移后的解析式即可．此题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．四、解答题（本大题共7小题，共72分）20.先化简，再求值：，其中．【答案】解：原式，当时，原式．【解析】首先计算完全平方，再计算单项式乘以多项式，再合并同类项，化简后再把x的值代入即可．此题主要考查了整式的混合运算--化简求值，关键是先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．21.在的方格纸中，的三个顶点都在格点上．在图1中画出线段BD，使，其中D是格点；在图2中画出线段BE，使，其中E是格点．【答案】解：如图所示，线段BD即为所求；如图所示，线段BE即为所求．【解析】将线段AC沿着AB方向平移2个单位，即可得到线段BD；利用的长方形的对角线，即可得到线段．本题主要考查了作图以及平行四边形的性质，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．22.在第23个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间用t表示，单位：小时，采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按，，，分为四个等级，并依次用A，B，C，D表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：求本次调查的学生人数；求扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；若该校共有学生1200人，试估计每周课外阅读时间满足的人数．【答案】解：由条形图知，A级的人数为20人，由扇形图知：A级人数占总调查人数的所以：人即本次调查的学生人数为200人；由条形图知：C级的人数为60人所以C级所占的百分比为：，B级所占的百分比为：，B级的人数为人D级的人数为：人B所在扇形的圆心角为：．因为C级所占的百分比为，所以全校每周课外阅读时间满足的人数为：人答：全校每周课外阅读时间满足的约有360人．【解析】由条形图、扇形图中给出的级别A的数字，可计算出调查学生人数；先计算出C在扇形图中的百分比，用在扇形图中的百分比可计算出B在扇形图中的百分比，再计算出B在扇形的圆心角．总人数课外阅读时间满足的百分比即得所求．本题考查了扇形图和条形图的相关知识题目难度不大扇形图中某项的百分比，扇形图中某项圆心角的度数该项在扇形图中的百分比．23.如图，在中，，，D是AB边上一点点D与A，B不重合，连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．求证：≌；当时，求的度数．【答案】解：由题意可知：，，，，，，在与中，≌，，，由可知：，，，【解析】由题意可知：，，由于，所以，，所以，从而可证明≌由≌可知：，，从而可求出的度数．本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，本题属于中等题型．24.某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．求甲、乙两种商品的每件进价；该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？【答案】解：设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为元．根据题意，得，，解得．经检验，是原方程的解．答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；甲乙两种商品的销售量为．设甲种商品按原销售单价销售a件，则，解得．答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．【解析】设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为y元根据“某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程；设甲种商品按原销售单价销售a件，则由“两种商品全部售完后共获利不少于2460元”列出不等式．本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用本题属于商品销售中的利润问题，对于此类问题，隐含着一个等量关系：利润售价进价．25.若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．已知是比例三角形，，，请直接写出所有满足条件的AC的长；如图1，在四边形ABCD中，，对角线BD平分，求证：是比例三角形．如图2，在的条件下，当时，求的值．【答案】解：是比例三角形，且、，当时，得：，解得：；当时，得：，解得：；当时，得：，解得：负值舍去；所以当或或时，是比例三角形；，，又，∽，，即，，，平分，，，，，是比例三角形；如图，过点A作于点H，，，，，，，又，∽，，即，，又，，．【解析】根据比例三角形的定义分、、三种情况分别代入计算可得；先证∽得，再由知即可得；作，由知，再证∽得，即，结合知，据此可得答案．本题主要考查相似三角形的综合问题，解题的关键是理解比例三角形的定义，并熟练掌握相似三角形的判定与性质．26.如图1，直线l：与x轴交于点，与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点以点A为圆心，AC长为半径作交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交于点F．求直线l的函数表达式和的值；如图2，连结CE，当时，求证：∽；求点E的坐标；当点C在线段OA上运动时，求的最大值．【答案】解：直线l：与x轴交于点，，，直线l的函数表达式，，，，在中，；如图2，连接DF，，，，，，四边形CEFD是的圆内接四边形，，，，∽，过点于M，由知，，设，则，，，，，，由知，∽，，，，，，舍或，，，，如图，设的半径为r，过点O作于G，，，，，，，，，，连接FH，是直径，，，，∽，，，时，最大值为．【解析】利用待定系数法求出b即可得出直线l表达式，即可求出OA，OB，即可得出结论；先判断出，进而得出，即可得出结论；设出，，进而得出点E坐标，即可得出OE 的平方，再根据的相似得出比例式得出OE 的平方，建立方程即可得出结论；利用面积法求出OG，进而得出AG，HE，再构造相似三角形，即可得出结论．此题是圆的综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．。
2018年浙江省宁波市中考数学试卷及答案解析
2018年浙江省宁波市中考数学试卷及答案解析A． B．C．D．12．（4分）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD﹣AB=2时，S2﹣S1的值为（）A．2a B．2b C．2a﹣2b D．﹣2b二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）计算：|﹣2018|= ．14．（4分）要使分式有意义，x的取值应满足．15．（4分）已知x，y满足方程组，则x2﹣4y2的值为．16．（4分）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH 为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为米（结果保留根号）．17．（4分）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为．18．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB 的中点，连结MD，ME．若∠EMD=90°，则cosB的值为．三、解答题（本大题有8小题，共78分）19．（6分）先化简，再求值：（x﹣1）2+x（3﹣x），其中x=﹣．20．（8分）在5×3的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出线段BD，使BD∥AC，其中D是格点；（2）在图2中画出线段BE，使BE⊥AC，其中E是格点．21．（8分）在第23个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间（用t表示，单位：小时），采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按0≤t＜2，2≤t＜3，3≤t＜4，t≥4分为四个等级，并依次用A，B，C，D表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：（1）求本次调查的学生人数；（2）求扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；（3）若该校共有学生1200人，试估计每周课外阅读时间满足3≤t＜4的人数．22．（10分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点（1，0），（0，）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）将抛物线y=﹣x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．23．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D 与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．24．（10分）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．（1）求甲、乙两种商品的每件进价；（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？25．（12分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．（1）已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3，请直接写出所有满足条件的AC的长；（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADC．求证：△ABC是比例三角形．（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC=90°时，求的值．26．（14分）如图1，直线l：y=﹣x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点（0＜AC＜）．以点A为圆心，AC长为半径作⊙A交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交⊙A于点F．（1）求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值；（2）如图2，连结CE，当CE=EF时，①求证：△OCE∽△OEA；②求点E的坐标；（3）当点C在线段OA上运动时，求OE•EF的最大值．2018年浙江省宁波市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（4分）在﹣3，﹣1，0，1这四个数中，最小的数是（）A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．1【分析】根据正数大于零，零大于负数，可得答案．【解答】解：由正数大于零，零大于负数，得﹣3＜﹣1＜0＜1，最小的数是﹣3，故选：A．【点评】本题考查了有理数比较大小，利用正数大于零，零大于负数是解题关键．2．（4分）2018中国（宁波）特色文化产业博览会于4月16日在宁波国际会展中心闭幕．本次博览会为期四天，参观总人数超55万人次，其中55万用科学记数法表示为（）A．0.55×106B．5.5×105C．5.5×104D．55×104【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：550000=5.5×105，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（4分）下列计算正确的是（）A．a3+a3=2a3B．a3•a2=a6 C．a6÷a2=a3D．（a3）2=a5【分析】根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判定即可．【解答】解：∵a3+a3=2a3，∴选项A符合题意；∵a3•a2=a5，∴选项B不符合题意；∵a6÷a2=a4，∴选项C不符合题意；∵（a3）2=a6，∴选项D不符合题意．故选：A．【点评】此题主要考查了同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．4．（4分）有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为（）A．B．C．D．【分析】让正面的数字是偶数的情况数除以总情况数5即为所求的概率．【解答】解：∵从写有数字1，2，3，4，5这5张纸牌中抽取一张，其中正面数字是偶数的有2、4这2种结果，∴正面的数字是偶数的概率为，故选：C．【点评】此题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．（4分）已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（）5．A．6 B．7 C．8 D．9【分析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数．【解答】解：正多边形的一个外角等于40°，且外角和为360°，则这个正多边形的边数是：360°÷40°=9．故选：D．【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，解决问题的关键是掌握多边形的外角和等于360度．6．（4分）如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（）A．主视图B．左视图C．俯视图D．主视图和左视图【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从上边看是一个田字，“田”字是中心对称图形，故选：C．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图，又利用了中心对称图形．7．（4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE．若∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1的度数为（）A．50°B．40°C．30°D．20°【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠BCA的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案．【解答】解：∵∠ABC=60°，∠BAC=80°，∴∠BCA=180°﹣60°﹣80°=40°，∵对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，∴EO是△DBC的中位线，∴EO∥BC，∴∠1=∠ACB=40°．故选：B．【点评】此题主要考查了三角形内角和定理、三角形中位线定理等知识，得出EO是△DBC的中位线是解题关键．8．（4分）若一组数据4，1，7，x，5的平均数为4，则这组数据的中位数为（）A．7 B．5 C．4 D．3【分析】先根据平均数为4求出x的值，然后根据中位数的概念求解．【解答】解：∵数据4，1，7，x，5的平均数为4，∴=4，解得：x=3，则将数据重新排列为1、3、4、5、7，所以这组数据的中位数为4，故选：C．【点评】本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．9．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则的长为（）A．πB．πC．πD．π【分析】先根据ACB=90°，AB=4，∠A=30°，得圆心角和半径的长，再根据弧长公式可得到弧CD的长．【解答】解：∵∠ACB=90°，AB=4，∠A=30°，∴∠B=60°，BC=2∴的长为=，故选：C．【点评】本题主要考查了弧长公式的运用和直角三角形30度角的性质，解题时注意弧长公式为：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．10．（4分）如图，平行于x轴的直线与函数y=（k1＞0，x＞0），y=（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为（）A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4【分析】设A（a，h），B（b，h），根据反比例函数图象上点的坐标特征得出ah=k1，bh=k2．根据三角形的面积公式得到S△ABC=AB•yA=（a﹣b）h=（ah﹣bh）=（k1﹣k2）=4，求出k1﹣k2=8．【解答】解：∵AB∥x轴，∴A，B两点纵坐标相同．设A（a，h），B（b，h），则ah=k1，bh=k2．∵S△ABC =AB•yA=（a﹣b）h=（ah﹣bh）=（k1﹣k2）=4，∴k1﹣k2=8．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式．也考查了三角形的面积．11．（4分）如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y=（a﹣b）x+b的图象大致是（）A． B．C．D．【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、a﹣b的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，本题得以解决．【解答】解：由二次函数的图象可知，a＜0，b＜0，当x=﹣1时，y=a﹣b＜0，∴y=（a﹣b）x+b的图象在第二、三、四象限，故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答．12．（4分）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD﹣AB=2时，S2﹣S1的值为（）A．2a B．2b C．2a﹣2b D．﹣2b【分析】利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差．【解答】解：S1=（AB﹣a）•a+（CD﹣b）（AD﹣a）=（AB﹣a）•a+（AB﹣b）（AD ﹣a），S2=AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a），∴S2﹣S1=AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a）﹣（AB﹣a）•a﹣（AB﹣b）（AD﹣a）=（AD﹣a）（AB﹣AB+b）+（AB﹣a）（a﹣b﹣a）=b•AD﹣ab﹣b•AB+ab=b（AD﹣AB）=2b．故选：B．【点评】本题考查了整式的混合运算：整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．也考查了正方形的性质．二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）计算：|﹣2018|= 2018 ．【分析】直接利用绝对值的性质得出答案．【解答】解：|﹣2018|=2018．故答案为：2018．【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．14．（4分）要使分式有意义，x的取值应满足x≠1 ．【分析】直接利用分式有意义则分母不能为零，进而得出答案．【解答】解：要使分式有意义，则：x﹣1≠0．解得：x≠1，故x的取值应满足：x≠1．故答案为：x≠1．【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．15．（4分）已知x，y满足方程组，则x2﹣4y2的值为﹣8 ．【分析】根据平方差公式即可求出答案．【解答】解：原式=（x+2y）（x﹣2y）=﹣3×5=﹣15故答案为：﹣15【点评】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．16．（4分）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH 为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB1200（﹣1）米（结果保留根号）．【分析】在Rt△ACH和Rt△HCB中，利用锐角三角函数，用CH表示出AH、BH 的长，然后计算出AB的长．【解答】解：由于CD∥HB，∴∠CAH=∠ACD=45°，∠B=∠BCD=30°在Rt△ACH中，∵∴∠CAH=45°∴AH=CH=1200米，在Rt△HCB，∵tan∠B=∴HB====1200（米）．∴AB=HB﹣HA=1200﹣1200=1200（﹣1）米故答案为：1200（﹣1）【点评】本题考查了锐角三角函数的仰角、俯角问题．题目难度不大，解决本题的关键是用含CH的式子表示出AH和BH．17．（4分）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为3或4．【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时；如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形；【解答】解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC=PM=m．在Rt△PBM中，∵PM2=BM2+PB2，∴x2=42+（8﹣x）2，∴x=5，∴PC=5，BP=BC﹣PC=8﹣5=3．如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC 是矩形．∴PM=PK=CD=2BM，∴BM=4，PM=8，在Rt△PBM中，PB==4．综上所述，BP的长为3或4．【点评】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．18．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB 的中点，连结MD，ME．若∠EMD=90°，则cosB的值为．【分析】延长DM交CB的延长线于点H．首先证明DE=EH，设BE=x，利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题．【解答】解：延长DM交CB的延长线于点H．∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=AD=2，AD∥CH，∴∠ADM=∠H，∵AM=BM，∠AMD=∠HMB，∴△ADM≌△BHM，∴AD=HB=2，∵EM⊥DH，∴EH=ED，设BE=x，∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，∴∠AEB=∠EAD=90°∵AE2=AB2﹣BE2=DE2﹣AD2，∴22﹣x2=（2+x）2﹣22，∴x=﹣1或﹣﹣1（舍弃），∴cosB==，故答案为．【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（本大题有8小题，共78分）19．（6分）先化简，再求值：（x﹣1）2+x（3﹣x），其中x=﹣．【分析】首先计算完全平方，再计算单项式乘以多项式，再合并同类项，化简后再把x的值代入即可．【解答】解：原式=x2﹣2x+1+3x﹣x2=x+1，当x=﹣时，原式=﹣+1=．【点评】此题主要考查了整式的混合运算﹣﹣化简求值，关键是先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．20．（8分）在5×3的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出线段BD，使BD∥AC，其中D是格点；（2）在图2中画出线段BE，使BE⊥AC，其中E是格点．【分析】（1）将线段AC沿着AB方向平移2个单位，即可得到线段BD；（2）利用2×3的长方形的对角线，即可得到线段BE⊥AC．【解答】解：（1）如图所示，线段BD即为所求；（2）如图所示，线段BE即为所求．【点评】本题主要考查了作图以及平行四边形的性质，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．21．（8分）在第23个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间（用t表示，单位：小时），采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按0≤t＜2，2≤t＜3，3≤t＜4，t≥4分为四个等级，并依次用A，B，C，D表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：（1）求本次调查的学生人数；（2）求扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；（3）若该校共有学生1200人，试估计每周课外阅读时间满足3≤t＜4的人数．【分析】（1）由条形图、扇形图中给出的级别A的数字，可计算出调查学生人数；（2）先计算出C在扇形图中的百分比，用1﹣[（A+D+C）在扇形图中的百分比]可计算出B在扇形图中的百分比，再计算出B在扇形的圆心角．（3）总人数×课外阅读时间满足3≤t＜4的百分比即得所求．【解答】解：（1）由条形图知，A级的人数为20人，由扇形图知：A级人数占总调查人数的10%所以：20÷10%=20×=200（人）即本次调查的学生人数为200人；（2）由条形图知：C级的人数为60人所以C级所占的百分比为：×100%=30%，B级所占的百分比为：1﹣10%﹣30%﹣45%=15%，B级的人数为200×15%=30（人）D级的人数为：200×45%=90（人）B所在扇形的圆心角为：360°×15%=54°．（3）因为C级所占的百分比为30%，所以全校每周课外阅读时间满足3≤t＜4的人数为：1200×30%=360（人）答：全校每周课外阅读时间满足3≤t＜4的约有360人．【点评】本题考查了扇形图和条形图的相关知识．题目难度不大．扇形图中某项的百分比=×100%，扇形图中某项圆心角的度数=360°×该项在扇形图中的百分比．22．（10分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点（1，0），（0，）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）将抛物线y=﹣x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．【分析】（1）把已知点的坐标代入抛物线解析式求出b与c的值即可；（2）指出满足题意的平移方法，并写出平移后的解析式即可．【解答】解：（1）把（1，0），（0，）代入抛物线解析式得：，解得：，则抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+；（2）抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+=﹣（x+1）2+2，将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为y=﹣x2．【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．23．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D 与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．【分析】（1）由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，由于∠ACB=90°，所以∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，所以∠ACD=∠BCE，从而可证明△ACD≌△BCE（SAS）（2）由△ACD≌△BCE（SAS）可知：∠A=∠CBE=45°，BE=BF，从而可求出∠BEF 的度数．【解答】解：（1）由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD与△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=45°，由（1）可知：∠A=∠CBE=45°，∵AD=BF，∴BE=BF，∴∠BEF=67.5°【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，本题属于中等题型．24．（10分）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．（1）求甲、乙两种商品的每件进价；（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？【分析】（1）设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为y元．根据“某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程；（2）设甲种商品按原销售单价销售a件，则由“两种商品全部售完后共获利不少于2460元”列出不等式．【解答】解：（1）设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为（x+8）元．根据题意，得，=，解得 x=40．经检验，x=40是原方程的解．答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；（2）甲乙两种商品的销售量为=50．设甲种商品按原销售单价销售a件，则（60﹣40）a+（60×0.7﹣40）（50﹣a）+（88﹣48）×50≥2460，解得 a≥20．答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用．本题属于商品销售中的利润问题，对于此类问题，隐含着一个等量关系：利润=售价﹣进价．25．（12分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．（1）已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3，请直接写出所有满足条件的AC的长；（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADC．求证：△ABC是比例三角形．（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC=90°时，求的值．【分析】（1）根据比例三角形的定义分AB2=BC•AC、BC2=AB•AC、AC2=AB•BC三种情况分别代入计算可得；（2）先证△ABC∽△DCA得CA2=BC•AD，再由∠ADB=∠CBD=∠ABD知AB=AD即可得；（3）作AH⊥BD，由AB=AD知BH=BD，再证△ABH∽△DBC得AB•BC=BH•DB，即AB•BC=BD2，结合AB•BC=AC2知BD2=AC2，据此可得答案．【解答】解：（1）∵△ABC是比例三角形，且AB=2、AC=3，①当AB2=BC•AC时，得：4=3AC，解得：AC=；②当BC2=AB•AC时，得：9=2AC，解得：AC=；③当AC2=AB•BC时，得：AC=6，解得：AC=（负值舍去）；所以当AC=或或时，△ABC是比例三角形；∴∠ACB=∠CAD，又∵∠BAC=∠ADC，∴△ABC∽△DCA，∴=，即CA2=BC•AD，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ADB=∠ABD，∴AB=AD，∴CA2=BC•AB，∴△ABC是比例三角形；（3）如图，过点A作AH⊥BD于点H，∵AB=AD，∴BH=BD，∵AD∥BC，∠ADC=90°，∴∠BCD=90°，∴∠BHA=∠BCD=90°，又∵∠ABH=∠DBC，∴△ABH∽△DBC，∴=，即AB•BC=BH•DB，∴AB•BC=BD2，∴BD2=AC2，∴=．【点评】本题主要考查相似三角形的综合问题，解题的关键是理解比例三角形的定义，并熟练掌握相似三角形的判定与性质．26．（14分）如图1，直线l：y=﹣x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点（0＜AC＜）．以点A为圆心，AC长为半径作⊙A交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交⊙A于点F．（1）求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值；（2）如图2，连结CE，当CE=EF时，①求证：△OCE∽△OEA；②求点E的坐标；（3）当点C在线段OA上运动时，求OE•EF的最大值．【分析】（1）利用待定系数法求出b即可得出直线l表达式，即可求出OA，OB，即可得出结论；（2）①先判断出∠CDF=2∠CDE，进而得出∠OAE=∠ODF，即可得出结论；②设出EM=3m，AM=4m，进而得出点E坐标，即可得出OE的平方，再根据①的相似得出比例式得出OE的平方，建立方程即可得出结论；（3）利用面积法求出OG，进而得出AG，HE，再构造相似三角形，即可得出结论．【解答】解：∵直线l：y=﹣x+b与x轴交于点A（4，0），∴﹣×4+b=0，∴b=3，∴直线l的函数表达式y=﹣x+3，∴B（0，3），∴OA=4，OB=3，在Rt△AOB中，tan∠BAO==；（2）①如图2，连接DF，∵CE=EF，∴∠CDE=∠FDE，∴∠CDF=2∠CDE，∵∠OAE=2∠CDE，∴∠OAE=∠ODF，∵四边形CEFD是⊙O的圆内接四边形，∴∠OEC=∠ODF，∴∠OEC=∠OAE，∵∠COE=∠EOA，∴△COE∽△EOA，②过点E⊥OA于M，由①知，tan∠OAB=，设EM=3m，则AM=4m，∴OM=4﹣4m，AE=5m，∴E（4﹣4m，3m），AC=5m，∴OC=4﹣5m，由①知，△COE∽△EOA，∴，∴OE2=OA•OC=4（4﹣5m）=16﹣20m，∵E（4﹣4m，3m），∴（4﹣4m）2+9m2=25m2﹣32m+16，∴25m2﹣32m+16=16﹣20m，∴m=0（舍）或m=，∴4﹣4m=，3m=，∴（，），（3）如图，设⊙O的半径为r，过点O作OG⊥AB于G，∵A（4，0），B（0，3），∴OA=4，OB=3，∴AB=5，∴AB×OG=OA×OB，∴OG=，∴AG==×=，∴EG=AG﹣AE=﹣r，连接FH，∵EH是⊙O直径，∴EH=2r，∠EFH=90°=∠EGO，∵∠OEG=∠HEF，∴△OEG∽△HEF，∴，∴OE•EF=HE•EG=2r（﹣r）=﹣2（r﹣）2+，∴r=时，OE•EF最大值为．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．。