2.1.1数轴上的基本公式
2019版高中数学第二章平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式课件新人教B版
二、内容要求 1.直线与方程 (1)在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素. (2)理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程, 掌握过两点的直线斜率的计算公式. (3)能根据斜率判定两条直线平行或垂直. (4)根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、
所以方程的解为x=-4或x=2.
(2)|x+3|+|x-1|=4; (3)|x+3|+|x-1|=3.
解 : (2) 因为 |x+3|+|x-1| 表示数轴上点到 A(-3) 与 B(1) 的距离之和 , 而
A(-3)到B(1)的距离为|1-(-3)|=4, 又因为|x+3|+|x-1|=4,所以-3≤x≤1,
2 2
(3)当x≥0时,|x|=x,
则A(|x|)和B(x)为同一个点. 当x<0时,|x|>x,则A(|x|)位于B(x)的右侧.
类型二 数轴上的基本公式的应用 【例2】 已知数轴上A,B两点的坐标分别为x1=a+b,x2=a-b.求AB,BA,d(A, B),d(B,A). 解:AB=x2-x1=(a-b)-(a+b)=-2b; BA=x1-x2=(a+b)-(a-b)=2b或BA=-AB=2b;
(3)|x-2|=1表示到点A(2)的距离等于1的点的集合,所以|x-2|=1表示点B(1)和点
C(3).
变式训练3-1:在数轴上,运用两点距离的概念和计算公式,解下列方程: (1)|x+3|+|x-1|=6;
解:(1)因为|x+3|+|x-1|表示数轴上点到A(-3)与B(1)的距离之和,
2.1.1数轴上的基本公式教案教师版
§2.1 平面直角坐标系中的基本公式2．1.1 数轴上的基本公式【学习要求】1．理解实数与数轴上的点的对应关系，理解实数运算在数轴上的几何意义．2．掌握数轴上两点间的距离公式．3．掌握数轴上向量加法的坐标运算．4．理解向量相等及零向量的概念．【学法指导】通过数轴上点与实数的一一对应关系拓展到数轴上向量与实数的一一对应关系，从而得到数轴上两点间的距离公式，为研究平面解析几何奠定扎实的基础.填一填：知识要点、记下疑难点1．数轴：一条给出了 原点 、 度量单位 和 正方向 的直线．2．如果点P 与实数x 对应，则称点P 的坐标为 x ，记作 P(x) ．3．向量：位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做 位移向量 ，简称为 向量 ，从点A 到点B 的向量，记作AB →.线段AB 的长叫做向量AB →的 长度 ，记作 |AB →| .4．相等的向量：数轴上同向且 等长 的向量叫做相等的向量．5．向量的坐标或数量：我们可用实数表示数轴上的一个向量AB →，这个实数叫做向量AB →的 坐标或数量 ，用AB 表示．若O 是原点，点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则AB ＝OB －OA ，所以AB ＝x 2－x 1.6．数轴上两点AB 间的距离公式为：d(A ，B)＝ |x 2－x 1| .研一研：问题探究、课堂更高效探究点一 直线坐标系问题1 数轴是怎样定义的？答：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系．问题2 实数集与数轴上的点有怎样的关系？答：实数集与数轴上的点存在着一一对应的关系．例1 (1)如果点P(x)位于点M(－2)，N(3)之间，求x 的取值范围；(2)试确定点A(x 2＋x ＋1)与B ⎝⎛⎭⎫34的位置关系．解: (1)由题意可得，点M(－2)位于点N(3)的左侧， 而P 点位于两点之间，应满足－2<x<3.(2)∵x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34， ∴当x ＝－12时，A 、B 两点重合； 当x ≠－12时，x 2＋x ＋1>34，∴A 点位于B 点右侧． 综上所述，A 、B 两点重合，或A 点位于B 点右侧． 小结: 根据数轴上点与实数的对应关系，数轴上的点自左到右对应的实数依次增大．跟踪训练1 不在数轴上画点，判断下列各组点的位置关系(主要说明哪一个点位于另一个点的右侧)：(1)A(－1.5)，B(－3)； (2)A(a)，B(a 2＋1)； (3)A(|x|)，B(x)．解: (1)∵－1.5>－3， ∴A(－1.5)位于B(－3)的右侧．(2)∵a 2＋1－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34≥34>0， ∴a 2＋1>a ，∴B(a 2＋1)位于A(a)的右侧． (3)当x ≥0时，|x|＝x ， 则A(|x|)和B(x)为同一个点． 当x<0时，|x|>x ，则A(|x|)位于B(x)的右侧．探究点二 数轴上的向量问题1 阅读教材65页～66页，回答什么是向量？如何表示？答:如果数轴上的任意一点A 沿着轴的正向或负向移动到另一点B ，则说点在数轴上作了一次位移，位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称为向量，从点A 到点B 的向量，记作AB →.问题2 什么是向量的坐标或数量？答:我们可用实数表示数轴上的一个向量AB →，这个实数叫做向量AB →的坐标或数量．问题3 如果把相等的所有向量看作一个整体，作为同一个向量，那么实数与数轴上的向量有什么关系？答: 它们之间是一一对应的．问题4 位移AB →与位移BC →的和是怎样定义的？答: 在数轴上，如果点A 作一次位移到点B ，由点B 再作一次位移到点C ，则位移AC →叫做位移AB →与位移BC →的和．记作AC →＝AB →＋BC →.问题5 对数轴上任意三点A ，B ，C 都具有什么关系？答: AC ＝AB ＋BC.问题6 设AB →是数轴上的任意一个向量，O 为原点，A(x 1)，B(x 2)，那么AB 如何用x 1，x 2表示？答: AB ＝OB －OA ＝x 2－x 1.问题7 数轴上两点AB 的距离公式是怎样的？答: d(A ，B)＝ |AB|＝|x 1－x 2|.例2 已知A 、B 、C 是数轴上任意三点． (1)若AB ＝5，CB ＝3，求AC ； (2)证明：AC ＋CB ＝AB.(1)解: ∵AC ＝AB ＋BC ， ∴AC ＝AB －CB ＝5－3＝2.(2)证明 设数轴上A 、B 、C 三点的坐标分别为x A 、x B 、x C ，则AC ＋CB ＝(x C －x A )＋(x B －x C )＝x B －x A ＝AB. ∴AC ＋CB ＝AB.小结: 本题的关键是结合条件联想到AC →可用AB →、BC →两个首尾相连的向量来表示，再运用相反向量的定义将之转化为已知条件，从而解决问题．跟踪训练2 已知数轴上A 、B 两点的坐标分别为x 1＝a ＋b ，x 2＝a －b ，求AB 、BA.解:∵A 点的坐标是x 1＝a ＋b ， B 点的坐标是x 2＝a －b ，∴AB ＝x 2－x 1＝(a －b)－(a ＋b)＝－2b ， BA ＝x 1－x 2＝(a ＋b)－(a －b)＝2b.例3 已知数轴上两点A(a)，B(5)．求：当a 为何值时，(1)两点间距离为5? (2)两点间距离大于5? (3)两点间距离小于3?解: 数轴上两点A 、B 之间的距离为|AB|＝|a －5|.(1)根据题意得|a －5|＝5， 可解得a ＝0或a ＝10.(2)根据题意得|a －5|>5， 即a －5>5或a －5<－5， ∴a>10或a<0.(3)根据题意得|a －5|<3， 即－3<a －5<3， ∴2<a<8.小结: 一个实数的绝对值的几何意义是实数在数轴上的对应点到原点的距离．跟踪训练3 已知M 、N 、P 是数轴上三点，若|MN|＝5，|NP|＝3，求d(M ，P)．解: ∵M 、N 、P 是数轴上三点，|MN|＝5，|NP|＝3，∴(1)当点P 在点M ，N 之间时(如图所示)，d(M ，P)＝|MN|－|NP|＝5－3＝2.(2)当点P 在点M 、N 之外时(如图所示)，d(M ，P)＝|MN|＋|NP|＝5＋3＝8.综上所述，d(M ，P)＝2或d(M ，P)＝8.练一练：当堂检测、目标达成落实处1．不在数轴上画点，确定下列各组点中，哪组中的点C 位于点D 的右侧 ( A )A ．C(－3)和D(－4)B ．C(3)和D(4)C ．C(－4)和D(3)D ．C(－4)和D(－3)2．下列说法正确的个数有 ( )①数轴上的向量的坐标一定是一个实数；②向量的坐标等于向量的长度；③向量AB →与向量BA →的长度一样；④如果数轴上两个向量的坐标相等，那么这两个向量相等．A ．1B ．2C ．3D ．4解析： ①③④是正确的，故选C.课堂小结：1．相等的向量的起点与终点并不一定一致，可以通过平移将所有相等的向量视作同一个向量．因数轴上每一个向量的坐标为一个实数，如果把相等的所有向量看作一个整体，作为同一个向量，则实数与数轴上的向量之间是一一对应的．2．重要结论：①对于数轴上任意三点A ，B ，C 都有AC ＝AB ＋BC ；②AB＝－BA 或AB ＋BA ＝0.3．向量与数量的区别与联系向量是不同于数量的一种新的量．数量只有大小，没有方向，其大小可以用正数、负数或零来表示，它是一个代数量，可以进行各种代数运算；数量之间可以比较大小．向量是既有大小，又有方向的量；由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的．4．数轴上的向量的坐标计算公式：AB ＝x B －x A ；数轴上两点的距离公式d(A ，B)＝|AB|＝|x B －x A |.。
2.1.1-2平面直角坐标系中的基本公式
在一条高速公路上距离出发点的一个以
千米为单位的数就可以确定车的位置，请 问在一个电影院里如何确定你的位置？飞 行员要想和地面指挥指挥中心联系，该如 何报告他的位置？
一维直线
数轴
二维平面
平面直角坐标系
三维空间
空间直角坐标系
第 二 章 用数字或其符号来
平 确定一个点或一个
面 解 析
物体位置的方法叫 坐标方法。相关的
知识点二 位移向量
议一议:如何用数表示数轴上的位移?
如数轴上的一点A沿着轴的正向或负向移到另一点B, 则说点在数轴上作了一次位移,点不动,则说作了零位移. 位移是一个既有大小又有方向的量,通常称为向量.
从点A到点B的向量,记为 AB ,读作“向量AB”，A 为向量的起点，B为向量的终点，线段AB的长度叫做向 量 AB 的长度，也叫做向量的模，记作 AB ，数轴上 同向且等长的向量叫做相等向量，起点和终点重合的向 量叫零向量，零向量没有确定的方向.
几 符号和数称为点的
何 坐标。
初
步
2.1平面直角坐标系 中的基本公式
2.1.1.数轴上的基本公式
知识点1 数轴上的向量 知识点2 数轴上的向量的运算
知识点一 数轴上点的坐标
1.什么叫做数轴?在数轴上，点P与实数x的对应法则
是什么呢？
P
M
-3 -2 -1 0 1 2 3 给出了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴， 或者说在这条直线上建立了直线坐标系.
例1．已知□ABCD的三个顶点A(－3，0)，
B(2，－2)，C(5，2)，求顶点D的坐标.
解：因为平行四边形的 两条对角线的中点相同， 所以它们的坐标也相同。
设D点的坐标为(x，y)，
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修2【配套备课资源】第二章 2.1.1
d(M，P)＝|MN|－|NP|＝5－3＝2. (2)当点 P 在点 M、N 之外时(如图所示)，
d(M，P)＝|MN|＋|NP|＝5＋3＝8.
综上所述，d(M，P)＝2 或 d(M，P)＝8.
练一练· 当堂检测、目标达成落实处
2.1.1
1．不在数轴上画点，确定下列各组点中，哪组中的点 C 位
本 课 时 栏 目 开 关
研一研· 问题探究、课堂更高效
2.1.1
探究点一
本 课 时 栏 目 开 关
直线坐标系
问题 1 数轴是怎样定义的？
答 一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数 轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系．
问题 2 答 实数集与数轴上的点有怎样的关系？ 实数集与数轴上的点存在着一一对应的关系．
研一研· 问题探究、课堂更高效
2.1.1
例 1 (1)如果点 P(x)位于点 M(－2)，N(3)之间，求 x 的取值 范围； (2)试确定点 A(x ＋x＋1)与
本 课 时 栏 目 开 关
2
3 B4的位置关系．
解 (1)由题意可得，点 M(－2)位于点 N(3)的左侧， 而 P 点位于两点之间，应满足－2<x<3.
本 课 时 栏 目 开 关
2.1.1
2.1.1
【学习要求】
数轴上的基本公式
1．理解实数与数轴上的点的对应关系，理解实数运算在数
本 课 时 栏 目 开 关
轴上的几何意义． 2．掌握数轴上两点间的距离公式． 3．掌握数轴上向量加法的坐标运算． 4．理解向量相等及零向量的概念． 【学法指导】 通过数轴上点与实数的一一对应关系拓展到数轴上向量 与实数的一一对应关系，从而得到数轴上两点间的距离公 式，为研究平面解析几何奠定扎实的基础.
《平面解析几何初步》教材分析
人教B版高中数学必修2第二章教材分析平面解析几何初步人大附中吴中才一、课标要求（1）直线与方程①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素．②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式．③能根据斜率判定两条直线平行或垂直．④根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系．⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．⑥探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．（2）圆与方程①回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程．②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系．③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．（3）在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想．（4）空间直角坐标系①通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置．②通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式．二、北京高考考试说明要求三、解析几何的基本思想方法解析几何是几何学的一个分支，是通过坐标法运用代数工具研究几何问题的一门学科，它把形与数有机地结合起来．一方面，将几何问题代数化------用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；另一方面，将代数问题几何化------分析代数语言的几何含义，使代数语言更直观、更形象地表达出来．解析几何的基本思想：用代数的方法解决几何问题．解析法，就是坐标法，解析几何就是在坐标系的基础上，用代数的方法研究几何问题一门学科．用解析法研究几何图形的性质，须先将几何图形置于坐标系下，对“形”进行翻译转化：把点转化为坐标、把曲线转化为方程，把题目中明显的或隐含的解题所需要的一切几何特征，用数式和数量关系表示出来.把“形”翻译为“数”是用坐标法解决几何问题时首要工作.曲线方程几何特征数式和数量关系四、教材分析（一）本章地位和作用在必修4中学过《平面向量》，这为本章的学习打下了一定的基础.本章的学习把数学的两个基本对象——形和数有机地联系起来，这就使得坐标法的作用更加明显，这对于人们发现新结论也具有重大意义．近代数学的巨大发展，在很大程度上应该归功于解析几何．本章的主要学习内容是：在平面直角坐标系中建立直线和圆的方程，运用代数方法研究它们的几何性质及其相互间的位置关系，初步形成用代数方法解决几何问题的能力，体现数形结合的思想方法．这也为今后学习圆锥曲线打下基础．（二）本章重点与难点1、重点：直线的点斜式方程、一般式方程，圆的方程2、难点：在平面直角坐标系中，求直线和圆的方程以及由方程研究直线与圆的性质(坐标法的应用)（三）课时分配建议（共约18课时）2.1.1数轴上的基本公式---------------------------------------- 1课时2.1.2平面直角坐标系中的基本公式------------------------- 1课时2.2.1直线方程的概念与直线的斜率-------------------------1课时2.2.2直线方程的几种形式-------------------------------------2课时2.2.3两条直线的位置关系-------------------------------------2课时2.2.4点到直线的距离--------------------------------------------1课时2.2复习课----------------------------------------------------------1课时2.3.1圆的标准方程----------------------------------------------- 1课时2.3.2圆的一般方程----------------------------------------------- 2课时2.3.3直线与圆的位置关系--------------------------------------1 课时2.3.4圆与圆的位置关系----------------------------------------- 1课时2.4.1空间直角坐标系-------------------------------------------- 1课时2.4.2空间两点的距离公式--------------------------------------1 课时复习小结------------------------------------------------------------2课时（四）分节教材分析2．1 平面直角坐标系中的基本公式--------共2课时2.1.1数轴上的基本公式-------- 1课时重点：理解和掌握数轴上的基本公式难点：建立实数与数轴的点或位移的对应关系教学建议：（1）学生已有向量学习的基础，不妨结合向量理解坐标及AC=AB+BC 等；（2）在记忆公式的同时，理解它们的几何意义及符号语言；（3）用几何意义研究书后练习题中含绝对值的不等式的解集．具体说明：（1）坐标是解析几何的工具，没有坐标就无法实现几何问题的代数化．本节讲述了数轴——直线坐标系，即一维坐标或数量，以及直线坐标系下的两点距离公式，这与下一节课讲述平面直角坐标系，即二维坐标系下的两点距离公式，以及第四节讲述空间直角坐标系下，即三维坐标系下的两点距离公式，形成一个统一的体系，同时也为第二、三节打下铺垫．（2）数轴上任意三点之间的关系式AC=AB+BC 是我们学习解析几何的基础，由此可以推出，数轴上的基本公式：AB=21x x -，d(A ，B)=21x x -．2.1.2平面直角坐标系中的基本公式-------- 1课时重点：平面上两点间的距离公式、中点坐标公式难点：用坐标方法研究几何问题教学建议：（1）引导学生把二维坐标问题转化为一维坐标问题处理，构造直角三角形推导两点距离公式，利用数轴上的基本公式AB=21x x -推导中点坐标公式；（2）教学时适当介绍算法思想；（3）平面内两点距离公式和中点坐标公式也可结合向量推导．具体说明：（1）结合上一节课的教学，突出由坐标求距离的算法思想，即给出坐标，就可求出距离，这也是在突出解析思想．（2）例3是学生正式接触坐标法的第一个例子，教学时要渗透一般的解答过程与方法，即：先建立直角坐标系（代数化），再利用坐标进行运算，最后回到几何问题．努力让学生体会到坐标法在研究几何问题中的作用和威力．2．2 直线的方程--------共 6+1课时2.2.1直线方程的概念与直线的斜率--------1课时重点：直线斜率的概念及其公式难点：理解直线斜率的几何意义教学建议：（1）正确理解直线与方程的关系，比较一次函数与直线方程的区别和联系； （2）明确直线斜率的几何意义，引导学生研究倾斜角与斜率间的关系；（3）结合向量，明确方向向量、斜率、倾斜角的关系，明确他们都可表示直线的方向．最后甚至可给出法向量的概念．具体说明：（1）直线的倾斜角和斜率是直线的基本特征量，都反映直线的倾斜程度．倾斜角是个几何概念，用它来刻画直线方向不符合解析思想.使用斜率就可以从代数角度刻画直线，因此，教材先从方程组的解得出斜率的概念212121()y y k x x x x -=≠-，再从几何意义理解(0)y k x x∆=∆≠∆，最后再讲倾斜角的概念． （2）用比值(0)y k x x∆=∆≠∆定义斜率为导数的学习埋下了伏笔.在此定义下推导两直线垂直时的斜率关系更简捷.教材从斜率反映直线相对x 轴的倾斜程度，继而引入刻画倾斜程度的另一直观几何量——倾斜角的概念．倾斜角的范围是[)π,0，可先由学生思考，探索，进而得到结论.（3）特别注意0x ∆=或0y ∆=时直线的斜率与倾斜角的意义．关于斜率与倾斜角的理解： ①都反映直线的倾斜程度.②直线不垂直x 轴时，k=tanα．③倾斜角为900或x 1=x 2⇔斜率不存在；k ＝0⇔倾斜角为零角；k >0⇔倾斜角为锐角；k <0⇔倾斜角为钝角.④斜率公式与两点的顺序无关，直线上两点的取点位置无关.⑤斜率公式是推导直线方程、研究直线的位置关系等许多问题的关键，也是学好本章的关键. ⑥研究直线时斜率公式更为方便.2.2.2直线方程的几种形式---------2课时重点：点斜式直线方程的推导难点：直线与二元一次方程的对应关系教学建议：（1）在推导直线的点斜式方程时，注意求动点轨迹方程的思路和步骤；（2）理解直线方程的点斜式与斜截式、两点式与截距式之间的关系，了解它们表示直线的特征；（3）掌握直线方程不同形式间的转化和不同直线方程形式的选用；（4）理解直线一般方程与二元一次方程之间的关系；（5）视时间和学生情况，是否渗透点向式与点法式方程的推导．（轨迹法）具体说明：（1）直线方程是“数形结合”的根基，从中要让学生了解点与坐标的对应，直线与直线斜率的对应，直线与直线方程的对应.（2）直线方程的点斜式是最基本的，斜截式和两点式都由点斜式推出，截距式由两点式推出．点斜式、两点式给出了根据常见的条件求直线方程的方法和途径，而斜截式和截距式则被用来进一步讨论直线的有关问题．教学中要重视学生的自主探索和归纳能力的培养.要引导学生从斜率公式推导出点斜式，进而得到其它各种形式.再引导学生去观察特点、适用条件、记忆方法.①点斜式最为重要，推导直线的点斜式时要使学生了解：建立点斜式的主要依据是：经过直线上一个定点与这条直线上任意一点的直线是唯一的. 渗透求轨迹方程的方法．② 讲解点斜式方程时，要注意到k x x y y =--11与)(11x x k y y -=-是不同的，前者表示的直线少一个点111(,)P x y ，后者才是整条直线；③ 斜率不存在的直线不能用点斜式；④ 斜截式是点斜式的特殊情形，需斜率存在，还要注意截距不是距离，可正、可负、可零； ⑤ 两点式：121121x x x x y y y y --=--，适用于斜率存在且不为0的直线，变成等积式则普适； ⑥ 截距式是两点式的特殊情形，截距不为0，故截距式不能表示过原点及平行于坐标轴的直线； ⑦ 讲解直线方程的一般式时，要注意A 、B 不全为零，注意对斜率k 存在与不存在的情况进行有条理的分类；还要特别注意：1x x =也可看成关于x 、y 的二元一次方程，其中y 的系数为0；⑧ 确定一条直线必须要有两个独立条件，无论哪种方程形式都一样：比如：直线一般式方程0Ax By C ++=表面上看要求A 、B 、C 三个系数，由于A 、B 不同时为零，则：若0A ≠，则方程化为：0B C x y A A ++=，只需确定B C A A与的值； 若0B ≠，则方程化为：0A C x y B B ++=，只需确定A C B B与的值． ⑨ 注意直线方程五种形式间的关系与适用条件，发挥各自的优势，优化解题方法；⑩ 待定系数法是求直线方程的一种重要方法，体现了方程的思想，教学时可适当渗透．（3）在具体应用中，尽管点斜式、两点式是基本形式，但参数较多，常把它们化为斜截式和一般式.斜截式与初中的一次函数有相同的形式，易于沟通，形式比较简单，参数有明显的几何意义；截距式方程尽管是以习题的形式出现，但它的形式简明对称，参数意义明显，能为画直线提供方便.斜截式是学习平行与垂直的基础，学生要能从直线的各种形式灵活变到斜截式.另外，理解参数的几何意义是数形结合的第一步，由“数”到“形”历来也是学生的一个薄弱，本节开始要重视画图教学.2.2.3两条直线的位置关系---------2课时重点：两直线平行、重合、相交与垂直的条件难点：用直线的方程研究两直线平行、重合、相交与垂直的条件，体会思维的完备性教学建议：（1）教师设计好探究的过程，帮助学生体会用代数方法研究几何问题的思想过程；（2）掌握直线的一般方程和斜截式方程下的平行、垂直条件，注意两直线平行或垂直时，它们的斜截式方程或一般式方程的系数间的关系．（3）视时间及学生情况，是否渗透与直线有关的对称问题，结合方向向量和法向量探究直线的位置关系．具体说明：（1）研究两直线的位置关系是从研究两条直线的交点开始的，这对应到一个二元一次方程组有唯一解．如果没有唯一解（即无解或有无穷多个解），则两直线平行或重合．垂直是相交的特例，教材放到下一节课专门探究．（2）教材研究两直线的交点、平行与重合，运用的是直线的一般方程，这相对解方程组而言比较方便．因此，教材用“思考与讨论”栏目提出了用斜率判定两直线平行或重合的条件，这也要求学生理解掌握：斜率反映直线的倾斜程度，如果两条直线倾斜程度相同，则它们平行或重合．（3）用斜率刻画两条直线的位置关系，由两直线斜率的数量关系来判断直线是否平行，运用的是解析的思想方法.分类讨论是本节重点渗透的数学思想，对两条直线平行和垂直的判定问题，常对斜率是否存在进行讨论.两直线平行：对不同的两条直线12,l l ，①121212(,)l l k k k k ⇔=均存在②12,k k 均不存在，12l l两直线垂直： ① 两条直线斜率都存在且不等于零，12121-=⇔⊥k k l l ；② 两直线中，一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零；（4）教材推导两直线垂直的判定条件，是先推必要条件的，并且借助了勾股定理，然后利用推导过程的可逆性，得到充分条件．（5）教材给出了判断两直线平行或垂直的算法步骤，教学时适当渗透．2.2.4点到直线的距离---------1课时重点：点到直线的距离公式难点：点到直线的距离公式的推导教学建议：（1）在公式的推导过程中，体会解析几何中“设而不求”的解题方法和技巧；（2）推导两平行直线间的距离公式；（3）视情况尝试运用向量等其他方法推导点到直线的距离公式．具体说明：（1）点到直线的距离公式推导方法很多，如面积法、函数法、三角法、向量法、不等式法等，可以作为学生研究性学习课题，让学生探究．本课是用两点的距离公式来推导的：（2）两平行直线间的距离可以化归到点到直线的距离，教材是用例2给出的．使用点到直线的距离公式时，直线方程必须是一般式，求两平行线之间的距离，两直线方程的x 、y 系数必须相同．公式教学，要让学生去发现、探究，要让学生尝试着用已经学过的数学知识，结合问题的转化，知识的迁移，探索到新的数学结论，培养学生的数学能力和数学素养.切不可直接给出结果．“告诉”的知识不具有增长性！2.2复习课---------1课时建议站位高一点，带领学生再看直线的教学：平面几何的基本元素是点与线（包括直线和圆），所以，首先研究这些基本元素的代数表述． 平面几何的基本元素的代数表述是什么？点P ←→有序实数对（a , b ）直线←→一次函数，是一次函数吗？从一次函数的图象是一条直线引入．直线的解析式是否一定就是一次函数？显然不是，如0x =．用方程可能更合适．那么{直线的方程}是一个什么样的集合呢？回过头来，大多数的直线都可以用一次函数表示，我们先来看一看，一次函数是怎样表示直线的？用二元一次方程更准确，从此提出方程的概念．建立了平面上直线的集合与二元一次方程的集合之间的一一对应关系．奠定了基础：研究直线，就是研究二元一次方程． 不光研究直线的代数表达，还需清楚关键量的作用．方法一：从几何上考虑：直线的陡、平对应于代数方程中的那个量？直线过特殊点对应于方程？ 方法二：从代数的解析式入手，特征量k ，b 的几何意义是什么？直线的方向，倾斜程度：k （斜率，两点确定一条直线，两点能否确定斜率？），倾斜角特殊点：纵截距．b ．从辩证的角度看：直线l 的方程是21y x =+，（0,1）在线上，（2,1）不在，在哪儿？一般地说，若()00,x y 满足什么条件，则该点在直线l 上，若()00,x y 满足什么条件，则该点不在直线l 上．换句话说：如果把平面看成点的集合，以点与直线的位置为标准，可将平面上的点分成几类？分别用集合表示．直线方程的几种形式虽然我们已经知道{}二元一次方程与{}直线之间有了一一对应的关系，但究竟那条直线对应哪一个二元一次方程需要搞清楚．给一条直线，能否立刻指出它的方程？给一条直线，能否立即给出几何上的定位？几何上，确定一条直线的条件是：根据哪些条件，你能迅速求出相应的直线方程？1）给两点，求方程，落实待定系数法（斜截式方程），注意严谨．2）给定一点，一个方向（如何给出方向？倾斜角，斜率？划归到直线方程的特征量）；仍然从待定系数法引出，00b y kx =-，直线方程为00y kx y kx =+-．重新认识该方程，引出轨迹法．3）从轨迹法的角度再认识：给出两点，求直线方程．或用化归的思想，化归到已求出的方程．单个几何元素（点、直线）研究完成后，研究多个几何元素之间的关系：1）再认识点与直线．将代数形式与几何特征对应00y kx b >+是什么含义．2）认识直线与直线，仍然先从几何出发，研究两条直线的位置关系：平行（与直线的方向有关），相交（仍可用方向（系数特征）表述，但细致一点的比如说交点，则与方程组的解有关），特别地——垂直（仅与直线的方向有关），寻求相应的代数表述．3）点到直线的距离：有多种研究方法，是研究性学习的好课题．方法一：垂线，求交点（课本），注意运算中体现出的数学美．方法二：A 版教材给出的方法（几何上多走一步，代数上省却无数功夫）方法三：距离的本质定义．d ==≥=== 2.3圆的方程-------- 共5课时2.3.1圆的标准方程-------- 1课时重点：圆的标准方程以及根据已知条件求圆的方程难点：根据已知条件求圆的方程教学建议：（1）根据求轨迹方程的方法与步骤求圆的标准方程，会读、写圆的标准方程，特别是圆心在原点的圆的标准方程；（2）会判断点在圆内、圆外所满足的条件．具体说明：（1）继求直线的点斜式方程，进一步巩固和渗透求轨迹方程的思路，可按这一思路设计教学．由圆的定义推导圆的标准方程，这就是求曲线的方程．要分析圆的标准方程的特点，使学生理解其中参数的含义，能从中读出圆心和半径．（2）圆的标准方程中有三个独立的参数，因而求解圆的方程需三个独立的条件，渗透方程思想．待定系数法是求圆的标准方程的重要方法．例1（3）、例2解法2、例3都采用了待定系数法，尤其例3属于应用问题，它的教学要注意首先数学化，即先建立恰当的直角坐标系．坐标系不同，所求得的方程也不一样．2.3.2圆的一般方程-------- 2课时重点：圆的一般方程、由圆的一般方程读出圆心与半径及二元二次方程表示圆的条件．难点：由圆的一般方程读出圆心与半径教学建议：（1）由圆的标准方程得到一般方程，它是一个二元二次方程，再由二元二次方程研究表示圆的条件；（2）会读写圆的一般方程，会将一般方程与标准方程进行互化，强调配方法的应用．具体说明：（1）方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的条件：A C =、0B =、2240D E AF +->，这些要对照圆的标准方程，让学生总结得出．（2）圆的一般方程中也含有三个独立的参数，因而求解圆的一般方程也需要三个独立的条件，进一步巩固待定系数法和方程思想，例2是巩固这个的典型例题．（3）例3是阿波罗尼斯圆的特殊情形，教学是可视情况拓展，该例的教学要突出求轨迹方程的方法与步骤．2.3.3直线与圆的位置关系--------1 课时重点：直线和圆的位置关系的判断和应用难点：联立方程组研究直线和圆的位置关系，并从代数与几何的角度灵活判断．教学建议：从几何的角度直线与圆的关系可以从直线与圆的交点个数来判断，从代数的角度，可以联立直线与圆的方程，看所得到的方程组的解的情况；也可以进一步看圆心到直线的距离与半径的关系来进行判断．这些方法进行比较，多用一些几何关系，就可能少一些代数运算．具体说明：（1）判断直线和圆的位置关系一般有两种：一是线心距法（几何方法），运算量小，直观简单；二是差别式法（代数方法），运算量较大. 这里经常会遇到直线与圆相切、相交的情形．直线和圆相的判断还可以根据直线过圆内一定点来判断．直线和圆相交时，半弦、弦心距、半径构成一个直角三角形，在相关计算中有着重要作用．（2）过圆上一点的切线方程教材是通过例2给出的，它对于斜率不存在的情况也适用．这一结论可以视情况要求学生掌握．教学中还可以引导学生思考其他求解方法．2.3.4圆与圆的位置关系-------- 1课时重点：两圆位置关系的判断难点：通过两圆方程联立方程组的解来研究两圆的位置关系，并从代数与几何角度灵活判断．教学建议：（1）从圆心距与半径之间的大小关系来判断两圆的位置关系较为简便，从联立方程组的解的情况来判断两圆的位置关系较复杂，但两种方法都要引导学生思考．（2）求圆心距时需要用到两圆的圆心坐标和半径，因此将圆的一般方程进行配方，变为圆的标准方程，或从圆的一般方程读出圆心坐标与半径，是研究两圆的位置关系的基础．具体说明：坐标法讨论两圆的位置关系，让学生再次感受到坐标法在研究几何问题中的作用．（2）对于圆系方程与圆的根轴在教学中请慎重考虑，建议不作介绍．2.4空间直角坐标系--------共2课时2.4.1空间直角坐标系-------- 1课时重点：空间直角坐标系和点在空间直角坐标系中的坐标难点：确定点在空间直角坐标系中的坐标教学建议：（1）了解空间直角坐标系、x坐标、y坐标、z坐标、点P的坐标、坐标平面、八个卦限、每个卦限内点的坐标分量的符号；（2）空间中任意一点与三个实数的有序数组一一对应．具体说明：（1）空间直角坐标系是学习空间向量以及用空间向量来解决立体几何问题的基础，也是学习选修2－1的重要基础．教学时，应该通过具体情景，感受建立空间直角坐标系的必要性——坐标系将几何对象和数、几何关系和方程函数之间建立了密切的联系，这样就可以对空间形式的研究归结成比较成熟也容易驾驭的数量关系的研究.（2）空间直角坐标与前面学过的直线坐标、平面直角坐标首尾呼应，形成一个体系．因此，在空间直角坐标系的教学中，要充分利用平面直角坐标系进行类比和对比，让学生有效地建立空间直角坐标系的概念，体会确定空间一点的位置需要三个坐标，会用空间直角坐标系刻画点的位置．（2）通过习题，会求已知点关于坐标轴、坐标平面的对称点的坐标，进一步加强空间观念，培养空间想象力．教学中要引导学生探索空间中八个卦限中的点以及各种特殊位置的点的坐标特点．2.4.2空间两点的距离公式--------1 课时重点：空间两点的距离公式难点：空间两点的距离公式的推导教学建议：（1）教师设计好探究的过程，类比平面两点间距离公式，推导空间两点的距离公式；（2）结合实例，让学生体会将空间几何问题转化为平面几何问题的方法．具体说明：（1）空间两点间的距离可以化归到平面两点间的距离，教学时注意这个化归过程的设计．例如：首先让学生明白由长方体的棱长,,a b c 求对角线l的公式：l =12PP 学生注意：1P 与A 的x 、y 坐标相同，因而它们之间的距离就可以转化为直线坐标运算，即112P A z z =-，同理，12AB y y =-，212BP x x =-，代入即可得空间两点的距离公式．反过来，可将一些简单的平面公式推广到空间，如两点的中点公式，圆的方程到球面方程.（2）对于空间两点的距离公式，当其中一个点为坐标原点时，就得到一种特殊情形：OP =（五）本章所蕴涵的数学思想方法本章主要数学思想方法有：对应思想、数形结合思想、转化与化归思想、函数与方程思想、分类讨论思想等．数学思想方法的教学原则为：反复渗透，渐进发展，学生反思领悟.（六）教学中的几个注意点1．注意把握教学要求教学中，注意控制教学的难度，避免进行综合性强、难度较大的数学题的训练，避免在解题技巧上做文章.如用坐标法证明平面几何题要求不宜过高，适可而止.2．关注重要数学思想方法的教学重要的数学思想方法不怕重复.思想方法的教学应该渗透在平时的教学中.《普通高中数学课程标准》要求“坐标法”贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法.在教学中应自始至终强化这一思想方法，这是解析几何的特点.教学中注意“数”与“形”的结合.“数形结合”是双向的：几何问题代数解答与代数关系几何解释.3．关注学生的动手操作和主动参与P 1P 2 A。
高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.1 平面直角坐标
2.1 平面直角坐标ຫໍສະໝຸດ 中的基本公式课程目标1.理解实数与数轴上的点的对应关 系,理解实数与位移的对应关系. 2.掌握数轴上两点间的距离公式,理 解数轴上的向量加法的坐标运算. 3.探索并掌握平面直角坐标系中两 点的距离公式和中点公式. 4.通过对两点的距离求解过程的探 索,进一步体会“坐标法”的基本思 想,学会构造直角三角形解决问题的 基本思路.
思考 4 点 P(x,y)关于点 G(x0,y0)的对称点的坐标是什么?
提示:点 P(x,y)关于点 G(x0,y0)的对称点的坐标为(2x0-x,2y0-y).
思考 5 教材中的“?”
如果数轴上的单位长取作 1 cm,你能在数轴上标出数 0.001,0.000 1 和 2对应的点吗?你能说明在数轴上确实存在这些点吗?
若 AB∥x 轴或与 x 轴重合,则|AB|=|x2-x1|;若 AB∥y 轴或与 y 轴重合,则 |AB|=|y2-y1|.
思考 3 算术平方根 ������2 + ������2的几何意义是什么?
提示: ������2 + ������2表示点(x,y)到原点的距离.
3.中点公式 (1)直线上的中点坐标公式. 已知数轴上两点 A(x1),B(x2),则线段 AB 的中点 M 的坐标为������1+2������2. (2)平面内的中点坐标公式. 设平面内两点 A(x1,y1),B(x2,y2)的中点 M(x,y),则 x=������1+2������2,y=������1+2 ������2.
2.平面直角坐标系中的基本公式 平面直角坐标系中两点 A(x1,y1),B(x2,y2)的距离公
式:d(A,B)= (������2-������1)2 + (������2-������1)2.
北师大版与人教B版高中数学教材解析几何的比较
北师大版与人教B版高中数学教材解析几何的比较解析几何作为现代数学中的重要分支和促进科技发展的基本数学工具，是现代人所必须熟悉和知晓的。
在现代数学的教学之中，解析几何是高等数学的基石，于是其中一部分进入中学课堂构成了中学生必须学习的“平面解析几何”课程，这样可以为学生后续进一步在大学数学课中学习相关内容奠定良好的基础，也可以一定程度上提升学生的思维水平。
在高中数学课程中的平面解析几何力图帮助学生接受并且能够适当运用“将代数方法用以解决几何问题”的思想，讨论的核心问题是“曲线与方程”。
而研究的图形主要是直线与二次曲线。
具体来说将平面解析几何引入高中教材的教育价值在于：一、让学生理解解析几何的基本思想，体会数形结合思想。
解析几何本身是一个沟通几何与代数的学科。
在学习平面解析几何的过程中，学生不单亲历将几何问题代数化以及代数问题几何化得过程，反复体味始终贯穿于其中的数形结合思想的本质，学习并掌握一种普适的、必要的解决问题的方法。
二、培养学生灵活应用所学知识解决综合问题的能力。
高中阶段的平面解析几何主要包含了直线、圆以及圆锥曲线等内容。
通过分析相关习题和教材可以看出平面解析几何相关的题目往往涉及了诸如三角函数、平面向量、不等式、解方程等多方面的数学知识。
这也就要求学生具备良好的功底——掌握扎实的基础知识之余能够灵活地进行综合应用，才能够有效地解决各种各样的解析几何问题。
同时，高中平面解析几何也是培养学生观察能力、推理论证能力、提出问题和解决问题的能力、归纳总结的能力等促进学生数学思维水平提高的一种重要载体。
三、为学生进一步学习解析几何理论知识做知识储备。
解析几何课程是众多高等院校的基础课程之一，也是高中阶段的平面解析几何内容的深化。
为了帮助学生更容易的学习和掌握，有必要为学生搭建从初等数学向高等数学自然过渡的桥梁。
由此可见平面解析几何是高中阶段数学很重要的一部分，高中教师和学生应引起充分重视。
在学习之余，本人也花费了相当多的精力到教学实践之中。
高一数学高效课堂资料2.1.1数轴上的基本公式
【补偿训练】已知数轴上有点A(-2),B(1), D(3),点C
在直线AB上,且有 AC＝1 .问:在线段DC上是否存在点
BC 2
E,使 d(C，E)＝1 ?若存在,求出点E的坐标;若不存在,
d(E，D) 4
请说明理由.
【自主总结】1.向量与线段的区别与联系
(1)向量AB 与线段AB既有联系又有区别,向量 AB 的起 点和终点分别是线段AB的两个端点,向量 AB 的长度等 于线段AB的长度,但向量 AB 的两个端点有起点、终点 的顺序之分,而线段的两个端点没有顺序,向量既有长
度又有方向,而线段只有长度没有方向.
(2)注意向量、向量的长度,线段、线段的长度的表示 的区别,向量记为AB ,向量 AB 的长度记为| AB|,线段 记为AB或BA,AB的长度记为|AB|或|BA|.
B.OB=| OB| D.BA=OA-OB
【解析】选B.由于点A在原点的右侧,点B在原点的左 侧,可知点A表示的数x1比点B表示的数x2大, 即OA=x1>0,OB=x2<0, 所以OA=|OA |=|x1|=x1, OB=x2≠| OB |=|x2|=-x2, AB=x2-x1=OB-OA,BA=x1-x2=OA-OB.所以选项B不正确.
【解析】AB=x2-x1=(a-b)-(a+b)=-2b,BA=-AB=2b. d(A,B)=|x2-x1|=|-2b|=2|b|,d(B,A)=d(A,B)=2|b|.
【方法技巧】 数轴上的基本公式应用思路与方法
(1)已知向量 AB，BC，AC 中的两个的坐标,求另外一个 的坐标时,使用AC=AB+BC求解.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
的最小值为 13
例4．△ABD和△BCE是在直线AC同侧的 两个等边三角形，用坐标法证明： |AE|=|CD|. 证明：如图，以B点为坐标原点，取AC 所在的直线为x轴建立直角坐标系. 设△ABD和△BCE的边长 分别为a和c， 则A(－a，0)，C(c，0)
系或者是直角坐标系），将几何问题转化 为代数问题，再通过一步步地计算来解决 问题的方法. 用坐标法证题的步骤
用坐标法证题的步骤
（1）根据题设条件，在适当位置建立坐 标系（直线坐标系或者是直角坐标系）； （2）设出未知坐标； （3）根据题设条件推导出所需未知点的 坐标，进而推导结论.
证明：取A为坐标原点， y AB所在பைடு நூலகம்直线为x轴， 建立平面直角坐标系
xOy，
O A D(b-a,c) C(b,c)
x B(a,0)
依据平行四边形的性质可设点A，B，C， D的坐标为A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)， D(b－a，c)，
A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，D(b－a，c)，
思考： 在一条高速公路上距离出发点的一个以 千米为单位的数就可以确定车的位置，请 问在一个电影院里如何确定你的位置？飞 行员要想和地面指挥指挥中心联系，该如 何报告他的位置？ 一维直线 二维平面
数轴
平面直角坐标系 空间直角坐标系
三维空间
用数字或其符号来确定一个点或物体 的位置的方法叫坐标方法.
用数来刻画形的方法. 用数量关系(方程、函数、不等式) 研究图形性质. 解析法
所以 AB2=a2，AD2=(b－a)2+c2， AC2=b2+c2，BD2=(b－2a)2+c2，
AC2+BD2=4a2+2b2+2c2－4ab
=2(2a2+b2+c2－2ab)，
AB2+AD2=2a2+b2+c2－2ab，
所以 ：AC2+BD2=2(AB2+AD2).
二. 坐标法
坐标法：就是通过建立坐标系（直线坐标
2 2
y B2 A(x1,y1) A2 A1 O
B(x2,y2)
C
x B1
当AB平行于x轴时，d(A，B)=|x2－x1|；
当AB平行于y轴时，d(A，B)=|y2－y1|；
当B为原点时，d(A，B)= x1 y1
2
2
典例剖析： 例1．已知□ABCD的三个顶点A(－3，0)， B(2，－2)，C(5，2)，求顶点D的坐标。 解：因为平行四边形的 两条对角线的中点相同， 所以它们的坐标也相同。 设D点的坐标为(x，y)，
两点间的距离公式
当AB不平行于坐标轴时，也不在坐标轴 上时，从点A和点B分别向x轴，y轴作垂线 y B(x ,y ) AA1，AA2，BB1，BB2， B
2 2 2
垂足分别为A1(x1，0)， A2(y1，0)，B1(0，x2)，
A(x1,y1) A2 A1 O
C
x B1
B2(0，y2)，其中直线BB1和AA2相交于点C。
在直角△ACB中，|AC|=|A1B1|=|x2－x1|， |BC|=|A2B2|=|y2－y1|， 由勾股定理得 |AB|2=|AC|2+|BC|2=|x2－x1|2+|y2－y1|2， 由此得到计算两点间距 离的公式： d(A，B)=|AB|
（ x2 x1 ) ( y 2 y1 )
则
x 2 3 5 2 2 1 y 2 0 2 1 2 2
x 0 解得 y 4
所以点D的坐标是 (0，4).
若已知点P(x，y)，则点P关于点M(x0，y0) 对称的点坐标为P’(2x0－x，2y0－y).
变式练习： △ABC中A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)） 求三角形ABC的重心G坐标.
D ( ,
2
a
3a 2
)
，E ( ,
2
a ac
2
c
3c 2
) ，
a ac c
2 2
于是|AE|=
|CD|=
c2 4
3c 2 4
(
a 2
c) (
2
3 2
a 0) 2
a 2 ac c 2
所以|AE|=|CD|.
变式练习： 已知□ABCD，求证：AC2+BD2=2(AB2+AD2).
( x 0) 2 (0 1) 2 ( x 2) 2 (0 2) 2
令A(0，1)，B(2，2)，P(x，0)， 则问题转化为在x轴上求一点P(x，0)，使 得|PA|+|PB|取最小值.
A(0，1)关于x轴的对称点为A’(0，－1)，
∵ (| PA | | PB |) min | A ' B | 13 即函数y=
y B(x 2,y 2)
x1 x2 x3 x 3 y y1 y 2 y3 3
A(x 1,y 1) M(x ,y) O C(x 3,y 3) x
2
例3.求函数y=
x2 1 x2 4x 8
的最小值.
解：函数的解析式可化为
x2 1 x2 4x 8
必修2第二章： 平面解析几何初步 2.1平面直角坐标系中的基本公式 2.1.1 数轴上的基本公式 2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式
2.1.1 数轴上的基本公式
点的坐标 线段的中点坐标公式 线段的长度d(A,B)
2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式
点的坐标 线段的中点坐标公式 线段的长度d(A,B)