【解析】陕西省咸阳市2014届高三下学期第二次模拟考试数学(理)试题
2014年全国高考陕西省数学(理)试卷及答案【精校版】
输出a 1,a 2,...,a N结束是否i >Ni =i +1S =a iS =1，i =1输入N开始a i =2*S2014年陕西高考数学试题（理）一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（本大题共10小题，每小题5分，共50分）.1.已知集合2{|0,},{|1,}M x x x R N x x x R =≥∈=<∈，则MN =（ ）.[0,1]A .[0,1)B .(0,1]C .(0,1)D2.函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是（ ）.2A π .B π .2C π .4D π3.定积分1(2)xx e dx +⎰的值为（ ）.2Ae + .1B e + .C e .1De -4.根据右边框图，对大于2的整数N ， 得出数列的通项公式是（ ）.2n A a n = .2(1)n B a n =- .2n n C a = 1.2n n D a -=5.已知底面边长为1的正四棱柱的各顶点均在 同一个球面上，则该球的体积为（ ）32.3A π .4B π .2C π 4.3D π6.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离 不小于．．．该正方形边长的概率为（ ） 1.5A 2.5B 3.5C 4.5D 7.下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）（A ）()12f x x = （B ）()3f x x = （C ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（D ）()3xf x =8.原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则12z z =”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）（A ）真，假，真 （B ）假，假，真 （C ）真，真，假 （D ）假，假，假 9.设样本数据1210,,,x x x 的均值和方差分别为1和4，若i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,,10i =），则12,10,y y y 的均值和方差分别为（ ）（A ）1+,4a （B ）1,4a a ++ （C ）1,4 （D ）1,4+a 10.如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（ ）（A ）3131255y x x =- （B ）3241255y x x =-（C ）33125y x x =- （D ）3311255y x x =-+二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11.已知,lg ,24a x a==则x =________.12.若圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为_______. 13. 设20πθ<<，向量()()sin 2cos cos 1a b θθθ==，，，，若//a b ，则=θtan _______.14. 观察分析下表中的数据：多面体 面数（F ） 顶点数（V ) 棱数（E ) 三棱锥 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体6812猜想一般凸多面体中，E V F ，，所满足的等式是_________.15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）.A (不等式选做题)设,,,a b m n R ∈，且225,5a b ma nb +=+=22m n +的最小值为.B （几何证明选做题）如图，ABC ∆中，6BC =，以BC 为直径的半圆分别交,AB AC于点,E F ，若2AC AE =,则EF =.C （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点(2,)6π到直线sin()16πρθ-=的距离是三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分） 16. （本小题满分12分）ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，.（1）若c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； （2）若c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值. 17. （本小题满分12分）四面体ABCD 及其三视图如图所示，过棱AB 的中点E 作平行于AD ，BC 的平面分 别交四面体的棱CA DC BD ，，于点H G F ，，.２２１俯视图左视图 主视图ABCDEFGH（1）证明：四边形EFGH 是矩形；（2）求直线AB 与平面EFGH 夹角θ的正弦值. 18.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，已知点)2,3(),3,2(),1,1(C B A ，点),(y x P 在ABC ∆三边围成的 区域（含边界）上（1）若0PA PB PC ++=，求OP ；（2）设),(R n m AC n AB m OP ∈+=，用y x ,表示n m -，并求n m -的最大值. 19.（本小题满分12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上 的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：（1）设X 表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X 的分布列；（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于．．．2000元 的概率.20.（本小题满分13分）如图，曲线C 由上半椭圆22122:1(0,0)y x C a b y a b+=>>≥和部分抛物线22:1(0)C y x y =-+≤连接而成，12,C C 的公共点为,A B ，其中1C 的离心率为32. （1）求,a b 的值；（2）过点B 的直线l 与12,C C 分别交于,P Q （均异于点,A B ），若AP AQ ⊥，求直线l的方程.21.（本小题满分14分） 设函数()ln(1),()'(),0f x x g x xf x x =+=≥，其中'()f x 是()f x 的导函数.（1）11()(),()(()),n n g x g x g x g g x n N ++==∈，求()n g x 的表达式；（2）若()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设n N +∈，比较(1)(2)()g g g n +++与()n f n -的大小，并加以证明.参 考 答 案一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（本大题共10小题，每小题5分，共50分）.1.B2.B3.C4.C5.D6.C7.D8.B9.A 10.A二、 填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.12.22(1)1x y +-= 13.1214.2F V E +-= 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分） 16. 解：（1）c b a ，，成等差数列 2a c b ∴+=由正弦定理得sin sin 2sin A C B +=sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+()sin sin 2sin A C A C ∴+=+（2）c b a ，，成等比数列22b ac ∴=由余弦定理得2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==== 222a c ac +≥（当且仅当a c =时等号成立）2212a c ac+∴≥（当且仅当a c =时等号成立）2211112222a c ac +∴-≥-=（当且仅当a c =时等号成立）即1cos 2B ≥所以B cos 的最小值为1217、解：（1）由该四面体的三视图可知：,,BD DC BD AD AD DC ⊥⊥⊥，2,1BD DC AD ===由题设，BC ∥面EFGH 面EFGH 面BDC FG = 面EFGH面ABC EH =BC ∴∥FG ，BC ∥EH ， FG ∴∥EH .同理EF ∥AD ，HG ∥AD ， EF ∴∥HG .∴四边形EFGH 是平行四边形又,,BD AD AD DC BD DC D ⊥⊥=∴AD ⊥平面BDCAD BC ∴⊥BC ∥FG ,EF ∥AD EF FG ∴⊥∴四边形EFGH 是矩形（2）如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系， 则(0,0,0)D ，(0,0,1)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C(0,0,1)DA =，(2,2,0)BC =-，(2,2,0)BC =-设平面EFGH 的一个法向量(,,)n x y z =BC ∥FG ,EF ∥AD0,0n DA n BC ∴⋅=⋅=x即得z =0-2x+2y =0⎧⎨⎩，取(1,1,0)n =18. 解：（1）因为0PA PB PC ++= 所以()()()0OA OP OB OP OC OP -+-+-=即得1()(2,2)3OP OA OB OC =++=所以||22OP =（2）OP mAB nAC =+(,)(2,2)x y m n m n ∴=++即22x m n y m n =+⎧⎨=+⎩两式相减得：m n y x -=-令y x t -=，由图可知，当直线y x t =+过点(2,3)B 时，t 取得最大值1，故m n -的最大值为1.解：19.解：设A 表示事件“作物产量为300kg ”,B 表示事件“作物市场价格为6元／kg ”, 由题设知()0.5P A =，()0.4P B = 因为利润=产量⨯市场价格-成本 所以X 所有可能的取值为5001010004000⨯-=，500610002000⨯-= 3001010002000⨯-=，30061000800⨯-=(4000)()()(10.5)(10.4)0.3P X P A P B ===--=,(2000)()()()()(10.5)0.40.5(10.4)0.5P X P A P B P A P B ==+=-⨯+⨯-=,(800)()()0.50.40.2P X P A P B ===⨯=,所以X的分布列为sin |cos ,||||||BA n BA n BA n θ⋅∴=<>===⋅（2）设i C 表示事件“第i 季利润不少于2000元”(1,2,3)i =， 由题意知123,,C C C 相互独立，由（1）知，()(4000)(2000)0.30.50.8i P C P X P X ==+==+=(1,2,3)i =3季利润均不少于2000元的概率为3123123()()()()0.80.512P C C C P C P C P C ===3季中有2季利润不少于2000元的概率为2123123123()()()30.80.20.384P C C C P C C C P C C C ++=⨯⨯=所以，这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为0.5120.3840.896+=20.解：（1）在1C ，2C 方程中，令0y =，可得b=1,且得(1,0),(1,0)A B -是上半椭圆1C 的左右顶点，设1C 的半焦距为c ，由c a =及2221a c b -==，解得2a = 所以2a =，1b =（3）由（1）知，上半椭圆1C 的方程为221(0)4y x y +=≥， 易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为(1)(0)y k x k =-≠ 代入1C 的方程中，整理得：2222(4)240k x k x k +-+-= （*）设点P 的坐标(,)P P x y由韦达定理得2224P B k x x k +=+又(1,0)B ，得2244P k x k -=+，从而求得284P ky k -=+所以点P 的坐标为22248(,)44k kk k --++ 同理，由2(1)(0)1(0)y k x k y x y =-≠⎧⎨=-+≤⎩得点Q 的坐标为2(1,2)k k k ---- 22(,4)4kAP k k ∴=+，(1,2)AQ k k =-+ AP AQ ⊥0AP AQ ∴⋅=,即222[4(2)]04k k k k --+=+0k ≠，4(2)0k k ∴-+=，解得83k =-经检验，83k =-符合题意，故直线l 的方程为8(1)3y x =--21．解：()ln(1)f x x =+，1()1f x x '∴=+，()1xg x x∴=+（1）111()1111x x g x x x x+-===-+++ 0x ≥，11x ∴+≥，111x ∴≤+，1101x∴-≥+，即()0g x ≥，当且仅当0x =时取等号当0x =时，(0)0n g =当0x >时()0g x >1()(())n n g x g g x +=1()()1()n n n g x g x g x +∴=+，11()111()()()n n n n g x g x g x g x ++∴==+，即1111()()n n g x g x +-= ∴数列1{}()n g x 是以1()g x 为首项，以1为公差的等差数列 11111(1)1(1)1()()1n nxn n x g x g x x x+∴=+-⨯=+-⨯=+ ()(0)1n xg x x nx ∴=>+当0x =时，0(0)010n g ==+ ()(0)1n xg x x nx∴=≥+ （2）在0x ≥范围内()()f x ag x ≥恒成立，等价于()()0f x ag x -≥成立令()()()ln(1)1axh x f x ag x x x=-=+-+，即()0h x ≥恒成立， 221(1)1()1(1)(1)a x ax x ah x x x x +-+-'=-=+++ 令()0h x '>，即10x a +->，得1x a >- 当10a -≤即1a ≤时，()h x 在[0,)+∞上单调递增()(0)ln(10)00h x h ≥=+-=所以当1a ≤时，()h x 在[0,)+∞上()0h x ≥恒成立；当10a ->即1a >时，()h x 在[1,)a -+∞上单调递增，在[0,1]a -上单调递减， 所以()(1)ln 1h x h a a a ≥-=-+ 设()ln 1(1)a a a a ϕ=-+>1()1a aϕ'=- 因为1a >，所以110a-<，即()0a ϕ'<，所以函数()a ϕ在(1,)+∞上单调递减 所以()(1)0a ϕϕ<=，即(1)0h a -< 所以()0h x ≥不恒成立综上所述，实数a 的取值范围为(,1]-∞ （3）由题设知：12(1)(2)()231n g g g n n ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++， ()ln(1)n f n n n -=-+比较结果为：(1)(2)()ln(1)g g g n n n ++⋅⋅⋅+>-+ 证明如下：上述不等式等价于1111ln(1)2341n n +++⋅⋅⋅+<++ 在（2）中取1a =，可得ln(1),01x x x x+>>+ 令1,x n N n +=∈，则11ln 1n n n +>+，即1ln(1)ln 1n n n +->+ 故有1ln 2ln12-> 1ln 3ln 23-> ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1ln(1)ln 1n n n +->+ 上述各式相加可得：1111ln(1)2341n n +>+++⋅⋅⋅++ 结论得证.。
陕西省咸阳市2024届高三下学期高考模拟检测(二)数学(理科)试题 (含答案与解析)_2907
咸阳市2024年高考模拟检测（二）数学（理科）注意事项：1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟2．答卷前，考生务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的．1. 若复数z 满足()1i 34i z -=+，则复数z 的共轭复数的虚部为（）A. 12-B.72C.72i D. 72-2. 已知集合105x A x x ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，(){}22log 16B x y x ==-，则()R A B ⋂=ð（ ）A. ()1,4-B. []1,4-C. (]1,5-D. ()4,53. 已知在边长为1的菱形ABCD 中，角A 为60︒，若点E 为线段CD 的中点，则AE EB ⋅=（ ）A.B.34C. 34-D. 32-4. 已知角α始边为x 轴的非负半轴，顶点为坐标原点，若它的终边经过点()1,2P -，则sin2cos2αα+=（ ） A.15B. 95-C. 75-D. 15-5. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42S =，812S =，则20S =（ ） A. 30B. 58C. 60D. 906. 执行如图的程序框图，则输出的结果是（ ）的A. 5050B. 4950C. 166650D. 1717007. 已知平面区域Ω中的点满足))110x y x y ⎡⎤⎡⎤+--+<⎣⎦⎣⎦，若在圆面222x y +≤中任取一点P ，则该点取自区域Ω的概率为（ ） A13B.14C. 16D.178. 当函数3sin 4cos y x x =+取得最小值时，πsin 6x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.B.C.D.9. 为了强化学生安全意识，落实“12530”安全教育，某学校让学生用这5个数字再加一个0来设定自己教室储物柜密码，若两个0之间至少有一个数字，且两0不都在首末两位，可以设置的密码共有（ ） A. 72B. 120C. 216D. 24010. 若将()ln ln ln y x y x =+-确定的两个变量y 与x 之间的关系看成()y f x =，则函数()y f x =的图象大致为（ ）A. B..C. D.11. 已知点F 为双曲线221169x y -=的右焦点，过点F 的直线l （斜率为k ）交双曲线右支于M ，N 两点，若线段MN 的中垂线交x 轴于一点P ，则MN PF=（ ）A.54B.58 C. 45 D. 85 12. 已知函数()222cos22x a f x x =+，若0x =是函数()f x 的唯一极小值点，则a 的取值范围为（ ） A. [)1,+∞ B. ()0,1 C. [)1,-+∞ D. (],1-∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知总体的各个个体的值由小到大依次为2,4,4,6,,,12,14,18,20a b ，且总体的平均值为10，则49a b+的最小值为________．14. P 为抛物线24y x =上任意一点，点()2,4A ，设点P 到y 轴的距离为d ，则PA d +的最小值为____________．15. 已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若cos sin a b C B =+，设点D 为边AC 的中点，且4BD AC ==，则ABC S = _____________．16. 已知三棱锥D ABC -中，4,3,5AB AC BC ===，三角形DBC 为正三角形，若二面角D BC A --为120︒，则该三棱锥的外接球的体积为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17. 已知正项数列{}n a 满足()2221212n n n a a a +++⋅⋅⋅+=，*N n ∈．（1）若1n n n b a a +=-，请判断并证明数列{}n b 的单调性；（2）若211n n n c a a +⎛⎫= ⎪⎝⎭，求数列{}n c 的前n 项和n S ．18. 陕西省从2022年秋季启动新高考，新高考“312++”模式中“3”为全国统一高考科目的语文、数学、外语，“1”为首选科目，要求从物理、历史2门科目中确定1门，“2”为再选科目，要求从思想政治、地理、化学、生物学4门科目中确定2门，共计产生12种组合．某班有学生50名，在选科时，首选科目选历史和物理的统计数据如下表所示：历史 物理 合计男生 2 23 25 女生 8 17 25 合计 104050附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．α 0.100 0050 0.010 0.005 0.001a χ 2706 3.841 6.635 7.879 10.828（1）根据表中的数据，判断是否有99%的把握认为学生选择历史与性别有关；（2）从选择历史的10名学生中任意抽取3名同学参加学校“铭记历史，强国有我”演讲比赛，设X 为抽取的三名学生中女生的人数，求X 的分布列，并求数学期望和方差．19. 在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．（1）求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；（2）是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．20. 已知两圆1C ：()22125x y -+=，2C ：()2211x y ++=，动圆C 在圆1C 的内部，且与圆1C 相内切，..与圆2C 相外切．（1）求点C 轨迹方程；（2）设点()1,0M -，()1,0N ，过点M 的直线交C 于P ，Q 两点，求PQN V 的内切圆面积的最大值． 21. 已知函数()1eln x f x a x a -=-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()ln 1f x x x ≥-+，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分，考生从22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4-4：坐标系与参数方程】22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos ,1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为22cos 3ρρθ-=． （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的一般方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求ABC 面积的最大值．【选修4-5：不等式选讲】23. 已知函数()2133f x x x =++-． （1）解不等式()5f x >；（2）设函数()2312g x x x m =-++，若函数()f x 与()g x 的图象无公共点，求参数m 的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的．1. 若复数z 满足()1i 34i z -=+，则复数z 共轭复数的虚部为（）A. 12-B.72C.72i D. 72-【答案】D 【解析】【分析】根据复数除法运算可求得z ，由共轭复数和虚部定义可求得结果.的的详解】由()1i 34i z -=+得：()()()()34i 1i 34i 17i 17i 1i 1i 1i 222z +++-+====-+--+， z ∴的共轭复数17i 22z =--，则其虚部为72-.故选：D.2. 已知集合105x A x x ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，(){}22log 16B x y x ==-，则()R A B ⋂=ð（ ）A. ()1,4-B. []1,4-C. (]1,5-D. ()4,5【答案】B 【解析】【分析】计算出集合A 、B 后，借助补集定义及交集定义即可得. 【详解】由105x x +≥-，即()()15050x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩，解得15x -≤<，故{}15A x x =-≤<， 由()22log 16y x =-，可得2160x ->，即>4x 或<4x -，故{}R 44B x x =-≤≤ð， 故(){}R 14A B x x ⋂=-≤≤ð. 故选：B.3. 已知在边长为1的菱形ABCD 中，角A 为60︒，若点E 为线段CD 的中点，则AE EB ⋅=（ ）A.B.34C. 34-D. 32-【答案】C 【解析】【分析】借助向量的线性运算及数量积公式计算即可得【详解】2211113122444AE EB AD AB AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+-=-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C.【4. 已知角α的始边为x 轴的非负半轴，顶点为坐标原点，若它的终边经过点()1,2P -，则sin2cos2αα+=（ ） A.15B. 95-C. 75-D. 15-【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数的定义求出sin α，cos α，再由二倍角公式代入计算可得. 【详解】因为角α的终边经过点()1,2P -， 所以sin α==，cos α==， 所以2sin2cos22sin cos 2cos 1ααααα+=+-272215=⨯+⨯-=-. 故选：C5. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42S =，812S =，则20S =（ ） A. 30 B. 58C. 60D. 90【答案】D 【解析】【分析】借助等差数列片断和的性质计算即可得. 【详解】由数列{}n a 为等差数列，故4S 、84S S -、128S S -、1612S S -、2016S S -亦为等差数列， 由42S =，812S =，则8410S S -=，故12818S S -=，161226S S -=，201634S S -=，即有1281830S S =+=，16122656S S =+=，12063490S S ==+. 故选：D.6. 执行如图的程序框图，则输出的结果是（ ）A. 5050B. 4950C. 166650D. 171700【答案】D 【解析】【分析】把问题转化成为求数列的和，根据数列求和的方法求解. 【详解】问题转化为：已知{}n a 中，n a n =，n A 是数列{}n a 的前n 项和，n S 是数列{}n A 的前n 项和.最终求100S .所以()2111222n n n A n n +==+， ()()22210011121001210022S =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+11001012015050262⨯⨯=⨯+171700=. 故选：D【点睛】关键点点睛：正整数前n 项的平方和公式：()()222211231216n n n n +++⋅⋅⋅+=++要记清，这是求解的一个重点.7. 已知平面区域Ω中的点满足))110x y x y ⎡⎤⎡⎤+--+<⎣⎦⎣⎦，若在圆面222x y +≤中任取一点P ，则该点取自区域Ω的概率为（ ） A.13B.14C. 16D.17【答案】B 【解析】【分析】先求出A 、B 所表示区域的面积，然后代入几何概率公式，计算即可得答案． 【详解】根据题意可得集合22{(,)|2}A x y x y =+≤所表示的区域即为如图所表示的圆及内部的平面区域，面积为2π，集合))}{(,)|110B x y x y x y ⎡⎤⎡⎤=+--+<⎣⎦⎣⎦，表示的平面区域即为图中的阴影部分，设,xOA xOB αβ=∠=∠，所以tan 1,tan 1βα===-， ()tan tan tan tan 11tan tan AOB βαβαβα-∠=-===+⋅，所以π4AOB ∠=，所以阴影部分的面积为：21ππ42S r ==， 根据几何概率的计算公式可得π122π4P ==， 故选：B ．8. 当函数3sin 4cos y x x =+取得最小值时，πsin 6x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据辅助角公式，结合三角函数的性质可得43cos sin ,sin cos ,55x x θθ=-=-=-=-即可由和差角公式求解.详解】()3sin 4cos 5sin ,y x x x θ=+=+其中34cos ,sin ,55θθ==， 当π2π,Z 2x k k θ+=-+∈时，取最小值，此时π2π,Z 2x k k θ=--+∈，故43cos sin ,sin cos,55x x θθ=-=-=-=-【故π1314s in cos 62552x x x --⎛⎫+=+=+⨯= ⎪⎝⎭， 故选：A9. 为了强化学生安全意识，落实“12530”安全教育，某学校让学生用这5个数字再加一个0来设定自己教室储物柜密码，若两个0之间至少有一个数字，且两0不都在首末两位，可以设置的密码共有（ ） A. 72 B. 120 C. 216 D. 240【答案】C 【解析】【分析】分两个0之间有一个数字，两个数字和三个数字，结合排列知识进行求解，相加后得到答案. 【详解】从左到右的6个位置分别为,,,,,A B C D E F ，若两个0之间有一个数字，此时两个0的位置有,A C 或,B D 或,C E 或,D F 四种情况， 在把剩余的4个数进行全排列，此时共有444A 96=种，若两个0之间有两个数字，此时两个0的位置有,A D 或,B E 或,C E 三种情况， 剩余的4个数进行全排列，此时有443A 72=种，若两个0之间有三个数字，此时两个0的位置有,A E 或,B F 两种情况， 剩余的4个数进行全排列，此时有442A 48=种， 综上，可以设置的密码共有967248216++=个. 故选：C10. 若将()ln ln ln y x y x =+-确定的两个变量y 与x 之间的关系看成()y f x =，则函数()y f x =的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用对数的运算及排除法即可求解.【详解】由()ln ln lny x y x=+-得()2y x y x xy x=-=-，显然1x≠，所以21xyx=-，由0x>，0y>得1x>，所以()()211xf x xx=>-，排除AB，由()211222411xf x xx x==-++≥+=--，当且仅当2x=时取等号，可排除D．故选：C．11. 已知点F为双曲线221169x y-=的右焦点，过点F的直线l（斜率为k）交双曲线右支于M，N两点，若线段MN的中垂线交x轴于一点P，则MNPF=（）A.54B.58C.45D.85【答案】D【解析】【分析】设直线MN的方程及M N、的坐标，利用韦达定理、弦长公式计算即可.【详解】设双曲线方程22221x ya b-=，焦距2c，显然4,3,5a b c===，不妨设MN的方程为：()()()1122,,,y k x c M x y N x y=-、，MN 的中点为Q ，则1212,22x x y y Q ++⎛⎫⎪⎝⎭，联立双曲线方程()222222222222222120x y b a k x ca k x a c k a b a b y kx ck ⎧-=⎪⇒-+--=⎨⎪=-⎩， 所以2222222121222222223,,4ca k a c k a b x x x x k a k b a k b +⎛⎫+==-≠± ⎪--⎝⎭，则2121222222y y x x ckb k c a k b++⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭，()2222221ab k MN a k b +==-，易知222222222,ca k cb k Q a k b a k b ⎛⎫⎪--⎝⎭， 则2222222221:PQ ca k cb kl y x k a k b a k b ⎛⎫=--+⎪--⎝⎭， 令2222322222222220P cb k ca k c k y x a k b a k b a k b =⇒=+=---， 则()22322222221cb k c k PF c a k b a k b+=-=-- 所以285MN a PFc ==. 故选：D12. 已知函数()222cos 22x a f x x =+，若0x =是函数()f x 的唯一极小值点，则a 的取值范围为（ ） A. [)1,+∞ B. ()0,1C. [)1,-+∞D.(],1-∞【答案】A【解析】【分析】对a 分类讨论，通过二阶求导得出函数()f x 的单调性，得出0x =是函数()f x 的唯一极小值点的条件.【详解】因为()2222coscos 1222x a af x x x x =+=++，所以()sin f x x ax -'=+， 令()()sing x f x x ax ==-+'，()cos g x x a -'=+， 当1a ≥时，()cos 0g x x a '=-+≥，故()g x 单调递增， 又()00g =，故当0x >时()0g x >，当0x <时()0g x <， 所以()f x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 故0x =是函数()f x 的唯一极小值点，符合题意； 当1a <时，()010g a =-'+<，故一定存在0m >，使得()g x 在()0,m 单调递减， 此时0x =不是函数()f x 的极小值点，不合题意， 综上所述，a 的取值范围为[)1,+∞， 故选：A.【点睛】关键点点睛：本题关键是通过二阶求导，得出函数()f x 的单调性，对a 分类讨论得出结果.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知总体的各个个体的值由小到大依次为2,4,4,6,,,12,14,18,20a b ，且总体的平均值为10，则49a b+的最小值为________． 【答案】54【解析】【分析】根据平均数得到方程，求出20a b +=，由基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由题意得0244612141110820a b +++++++=++，解得20a b +=， 由于612a b <<<，故()491491941549132020204a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当94a bb a =，8,12a b ==时，等号成立. 故答案为：5414. P 为抛物线24y x =上任意一点，点()2,4A ，设点P 到y 轴的距离为d ，则PA d +的最小值为____________．1##1-+ 【解析】【分析】将点P 到y 轴的距离转化为到准线的距离，再转化为到焦点的距离，利用两点之间线段最短来求解.【详解】由已知得点P 到抛物线准线的距离为1d +，又抛物线焦点()1,0F ，则111111PA d PA d PA PF AF +=++-=+-≥-=-=.1.15. 已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若cos sin a b C B =+，设点D 为边AC 的中点，且4BD AC ==，则ABC S = _____________．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理结合三角恒等变换先得B ，再根据平面向量的线性运算及数量积公式、三角形面积公式计算即可.【详解】易知(),,0,π,πA B C A B C ∈++=，sin 0C >，由正弦定理可知：()sin sin cos sin sin A B C C B B C =+=+sin cos sin cos tan B C C B B =+⇒=π6B =，又点D 为边AC 的中点，且4BD AC ==，所以22222242642cos BD BA BC BD BA BC BA BC c a ac B =+⇒=++⋅==++， 由()2222162cos AC BC BA a c ac B =-⇒=+- ，cos 12ac B ac =⇒=1sin 2ABC S ac B ==△.故答案为：16. 已知三棱锥D ABC -中，4,3,5AB AC BC ===，三角形DBC 为正三角形，若二面角D BC A --为120︒，则该三棱锥的外接球的体积为________．【解析】【分析】依题意可得90BAC ∠=︒，球心O 在过BC 的中点1O 与平面ABC 垂直的直线上，同时也在过BCD △的中心2O 与平面BCD 垂直的直线上，即可得到1260O OO ∠=︒，求出22,OO O D ，从而求出三棱锥D ABC -的外接球的半径为R ，即可得到外接球的体积.【详解】解：如图，∵4,3,5AB AC BC ===，即222AB AC BC +=，∴90BAC ∠=︒. ∴球心O 在过BC 的中点1O 与平面ABC 垂直的直线上， 同时也在过BCD △的中心2O 与平面BCD 垂直的直线上，. ∴这两条直线必相交于球心O . ∵二面角D BC A --的大小为120︒， 易知1260O OO ∠=︒，2190OO O ∠=︒，1211133O O O D ===，2125tan 306OO O O ∴=⋅︒==，212233O D O D === ， ∴三棱锥D ABC -的外接球的半径为R OD ====∴三棱锥D ABC -的外接球的体积为3344ππ33V R ==⨯=.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17. 已知正项数列{}n a 满足()2221212n n n a a a +++⋅⋅⋅+=，*N n ∈． （1）若1n n n b a a +=-，请判断并证明数列{}n b 的单调性；（2）若211n n n c a a +⎛⎫= ⎪⎝⎭，求数列{}n c 的前n 项和n S ．【答案】（1）数列{}n b 是单调递减数列，证明见解析（2）1nn + 【解析】【分析】（1）根据题意，当2n ≥时，()22212112n n n a a a --++⋅⋅⋅+=，两式相减求得2n a n =，得到n b =10n n b b +-<，即可得证；（2）由n a =，可得()11111n c n n n n ==-++，结合裂项求和，即可求解.【小问1详解】解：因为()()222121N 2n n n a a a n *+++⋅⋅⋅+=∈，当1n =时，211a =；当2n ≥时，()22212112n n n a a a --++⋅⋅⋅+=， 两式相减得：()()()211222n n n n n a n n +-=-=≥， 又因为1n =时，2211n a a ==， 因为0n a >，所以n a =，则1n n n b a a +=-=又因为1n n b b +-=-0==<所以数列{}n b 是单调递减数列． 【小问2详解】解：由n a =，可得()21111111n n n c a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++⎝⎭则12311111111223341n n S c c c c n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111nn n =-=++． 18. 陕西省从2022年秋季启动新高考，新高考“312++”模式中“3”为全国统一高考科目的语文、数学、外语，“1”为首选科目，要求从物理、历史2门科目中确定1门，“2”为再选科目，要求从思想政治、地理、化学、生物学4门科目中确定2门，共计产生12种组合．某班有学生50名，在选科时，首选科目选历史和物理的统计数据如下表所示：历史 物理 合计男生 2 23 25 女生 8 17 25 合计 104050附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．α 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001a χ 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828（1）根据表中的数据，判断是否有99%的把握认为学生选择历史与性别有关；（2）从选择历史的10名学生中任意抽取3名同学参加学校“铭记历史，强国有我”演讲比赛，设X 为抽取的三名学生中女生的人数，求X 的分布列，并求数学期望和方差． 【答案】（1）没有 （2）分布列见解析；期望为()125E X =，方差()2875D X =【解析】【分析】（1）由公式计算出2χ，对照临界表中的数据，即可得出答案；（2）求出X 的可能取值及其对应的概率，即可求出X 的分布列，再由数学期望和方差公式即可求出X 的数学期望和方差． 【小问1详解】将表中的数据带入，得到：()()()()222()50(217823) 4.5 6.63525251040n ad bc a b c d a c b d χ-⨯⨯-⨯===<++++⨯⨯⨯，所以没有99%的把握认为学生选择历史与性别有关． 【小问2详解】由题意知，X 的可能取值为1,2,3，则()()()2112328288333101010C C 1C C 7C 71,2,3C 15C 15C 15P X P X P X ⨯⨯=========，所以分布列为：X 12 3P115 715 715则数学期望()177121231515155E X =⨯+⨯+⨯=， 方差()2221211271272812351551551575D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.19. 在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．（1）求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；（2）是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析（2）存在；4AP =- 【解析】【分析】（1）根据线线垂直可证明线面垂直，进而根据线面垂直即可求证， （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角即可求解. 【小问1详解】证明：如图，设,M N 分别为,EF AB 边的中点，连接,,MN DM CN ，因为⊥AE 平面,,5,4,3ABC AE CD BF AE CD BF ===∥∥， 所以42AE BFMN CD +===，//MN BF ,进而MN CD ∥， 即四边形CNMD 为平行四边形，可得MD CN ∥，在底面正三角形ABC 中，N 为AB 边的中点，则CN AB ⊥， 又⊥AE 平面ABC ，且CN ⊂平面ABC ，所以AE CN ⊥．由于⋂=AE AB A ，且AE AB ⊂、平面ABFE ，所以CN ⊥平面ABFE ． 因为,MD CN CN ⊥∥平面ABFE ，则MD ⊥平面ABFE ， 又MD ⊂平面DEF ，则平面DEF ⊥平面AEFB ． 【小问2详解】如图，以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，则()())0,0,5,0,2,4,E D F．设点()0,0,P t，则)()()1,1,0,2,1,0,2,4DF DE DP t =--=-=--．设平面PDF 的法向量为()1111,,n x y z = ，平面EDF 的法向量为()2222,,n x y z =．由题意知110,0,n DF n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()111110,240,y z y t z --=-+-=⎪⎩ 令12z =，则114,y t x =-=，即14,2n t ⎫=-⎪⎭， 220,0,n DF n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即222220,20,y z y z --=-+=⎪⎩取22z =，则)22n = ， 由121212π1cos ,cos32n n n n n n ⋅====，28290t t +-=，解得：4t =±-，由于点P 为线段AE 上一点，故05t ≤≤，所以4t =-，当4t =-时，二面角P DF E --所成角为锐角，即存在点P 满足，此时4AP =-．20. 已知两圆1C ：()22125x y -+=，2C ：()2211x y ++=，动圆C 在圆1C 的内部，且与圆1C 相内切，与圆2C 相外切．（1）求点C 的轨迹方程；（2）设点()1,0M -，()1,0N ，过点M 的直线交C 于P ，Q 两点，求PQN V 的内切圆面积的最大值．【答案】（1）22198x y +=（2）64π81【解析】【分析】（1）借助圆与圆的位置关系及椭圆定义计算即可得；（2）设出直线方程，联立直线与圆锥曲线的方程，得到与y 有关韦达定理；表示出PQN V 的面积，计算出PQN V 的周长，借助等面积法可表示出PQN V 的内切圆的半径，利用换元法结合对勾函数性质可得半径的最大值即可得内切圆面积的最大值.【小问1详解】设点(),C x y 为所求曲线轨迹上任意一点，动圆C 半径为r ， 则15CC r =-，21CC r =+， 即有121262CC CC C C +=>=，由椭圆的定义知，点C 是以()1,0-，()1,0为焦点，3a =的椭圆，则2918b =-=，所以点C 的轨迹方程为22198x y +=； 【小问2详解】由题意知，直线PQ 的斜率不为0，设直线方程为1x my =-，点()11,P x y ，()22,Q x y ， 联立221981x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，可得()228916640m y my +--=， ()()()222Δ1646489230410m m m =-+⨯⨯+=+>， 则1221689m y y m +=+，1226489y y m =-+，1212PNQS MN y y=-==，又PNQV的周长l为4312⨯=，所以PNQV的内切圆半径2Srl===令t=，则1t≥，设函数()18f t tt=+，由对勾函数的性质可得函数()f t在1t≥时单调递增，故()9f t≥，则89r≤，此时PNQV的内切圆面积的最大值2max64ππ81S r==．.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标()11,x y，()22,x y；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x+、12x x（或12y y+、12y y）的形式；（5）代入韦达定理求解.21. 已知函数()1e lnxf x a x a-=-+.（1）讨论()f x的单调性；（2）若()ln1f x x x≥-+，求a的取值范围.【答案】（1）()f x在(),1ln a∞--上单调递减，()f x在()1ln,a∞-+上单调递增（2）[)1,+∞【解析】为【分析】（1）求出导函数，解导函数不等式结合定义域即可求解单调区间；（2）()ln 1f x x x ≥-+即ln 1ln e ln 1e ln a x x a x x +-++-≥+，令()e xg x x =+，利用单调性得ln 1ln a x x ≥+-，再构造函数()1ln h x x x =+-，利用导数研究函数最值即可求解.【小问1详解】因为()1e ln x f x a x a -=-+，定义域为R ，所以()1e 1x f x a -'=-，因为0a >，令()1e 10x f x a -'=-=，解得1ln x a =-，当1ln x a <-时，()0f x '<，则()f x 在(),1ln a ∞--上单调递减；当1ln x a >-时()0f x '>，则()f x 在()1ln ,a ∞-+上单调递增；综上：()f x 在(),1ln a ∞--上单调递减，()f x 在()1ln ,a ∞-+上单调递增.【小问2详解】因为()1e ln x f x a x a -=-+，所以()ln 1f x x x ≥-+等价于ln 1ln e ln 1ln e ln a x x a x x x x +-++-≥+=+，令()e xg x x =+，上述不等式等价于()()ln 1ln g a x g x +-≥， 显然()g x 为单调增函数，所以所求不等式等价于ln 1ln a x x +-≥，即ln 1ln a x x ≥+-，令()1ln h x x x =+-，则()111x h x x x-=-='， 在()0,1上，()0h x '>，()h x 单调递增，在()1,∞+上，()0h x '<，()h x 单调递减，所以()max ()10h x h ==，所以ln 0≥a ，所以1a ≥，即a 的取值范围是[)1,+∞.【点睛】关键点点睛：本题考查了导数在函数中的应用，关键是第二问题中涉及不等式恒成立问题，需将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.（二）选考题：共10分，考生从22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4-4：坐标系与参数方程】22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos ,1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为22cos 3ρρθ-=．（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的一般方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求ABC 面积的最大值．【答案】（1）()2214x y -+=，sin cos cos 0x y ααα⋅-⋅+=（2）2【解析】【分析】（1）利用公式把极坐标方程转化为直角坐标方程；消去参数t ，可把直线的参数方程化成一般方程. （2）把直线参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，表示出ABC 的面积，结合基本（均值）不等式可求最大值.【小问1详解】∵曲线C 的极坐标方程为22cos 3ρρθ-=，∴曲线C 的直角坐标方程为22230x y x +--=，即()2214x y -+=， 又∵直线l 的参数方程为cos ,1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数）， ∴直线l 的一般方程为sin cos cos 0x y ααα⋅-⋅+=．【小问2详解】将直线l 的参数方程cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数）带入()2214x y -+=中， 得到()()22cos 1sin 14t t αα-++=，化简可以得到：2204t t πα⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，则124t t πα⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，1220t t =-<，1212AB t t t t =+=-=====圆心C 到直线l 的距离d ==，则13sin 21sin 2222ABC S AB d αα-++=⋅⋅=≤= ， 当且仅当3sin 21sin 2αα-=+，即sin 21α=时取等号．所以ABC 面积的最大值为2．【选修4-5：不等式选讲】23. 已知函数()2133f x x x =++-．（1）解不等式()5f x >；（2）设函数()2312g x x x m =-++，若函数()f x 与()g x 的图象无公共点，求参数m 的取值范围． 【答案】（1）3|5x x ⎧<-⎨⎩或75x ⎫>⎬⎭（2）73,12⎛⎫-∞-⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）分类讨论去绝对值，然后列不等式求解；（2）通过观察图象可得()()f x g x =在[)1,+∞上无解，然后转化为()2min 372m x x <--，利用二次函数的性质求最值即可.【小问1详解】()125,2121334,1252,1x x f x x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=++-=--<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩， 若()5f x >，即12255x x ⎧≤-⎪⎨⎪->⎩或11245x x ⎧-<<⎪⎨⎪->⎩或1525x x ≥⎧⎨->⎩， 解之得35x <-或75x >， 则原不等式的解集为3|5x x ⎧<-⎨⎩或75x ⎫>⎬⎭； 【小问2详解】 的函数()2312g x x x m =-++， 若函数()f x 与()g x 的图象无公共点，即()()f x g x =在[)1,+∞上无解，可得：231252x x m x -++=-无解，即23720x x m ---=在[)1,+∞上无解， 即()2min 372m x x <--，[)1,x ∞∈+， 因为函数227733723612y x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭， 当[)1,x ∞∈+时，min 7312y =-， 所以7312m <-，即m 的取值范围为73,12∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭．。
陕西省咸阳市高三数学模拟考试(二)文(扫描版)新人教A版
陕西省咸阳市2014届高三数学模拟考试（二）文（扫描版）新人教A版2014年咸阳市高考模拟考试试题（二）文科数学参考答案一、选择题二、填空题： 11. 19 12. 222222123456131234563+++++=+++++ 13. 1 14 . 14 15. A. (,2][4,)-∞-+∞ B ． 30 C. 1三、16.（本小题满分12分）解: 由已知及三角形面积公式得1sin cos ,2S ac B B == 化简得sin ,B B =即tan B ，又0,B π<<所以3B π=.（1）解法1：由2c a =及正弦定理得,sin 2sin C A =，又因为23A B π+=，所以2sin()2sin 3A A π-=，化简可得tan 3A =而203A π<<， ∴6A π=，()362C ππππ=-+=. ………………………………………6分解法2：由余弦定理得,22222222cos 423,b a c ac B a a a a =+-=+-=∴.b =∴::2a b c =,知6A π=，∴()362C ππππ=-+=.………………………………………6分 （2）由3B π=，,3A π=知ABC ∆为正三角形，又2a =，所以cos ABC S ac B ∆== ………………………………………12分 17. （本小题满分12分）解：（1）证明：当1n =时，由1143S a =-得：1143a a =-，即11a =；当2n ≥时，由43n n S a =-及1143n n S a --=-，相减得：114()n n n n S S a a ---=-， 即14()n n n a a a -=-（2n ≥），即143n n a a -=（2n ≥）， 知数列{}n a 是以1为首项，以43为公比的等比数列；………………………………………6分（2）由（1）知：14()3n n a -=，得114()3n n n b b -+-=，所以21324311()()()()n n n b b b b b b b b b b -=-+-+-++-+ 012214444()()()()3333n b -=+++++ 11411()43213()4313n n --⎡⎤⨯-⎢⎥⎣⎦=+=-+⋅-………………………………………12分 18. （本小题满分12分）解：（1）解：易知，AE ⊥平面BCDE ，所以11111333A BCDE BCDE V S AE -=⋅=⨯⨯=………………………………6分 （2）证明：∵平面BCDE ⊥平面ADE ,AE BE ⊥，∴AE ⊥平面BCDE ，而BD 平面BCDE ，∴BD AE ⊥，又,BD CE AE CE E ⊥=,∴BD ⊥平面ACE ……………………………12分19.（本小题满分13）解:（1）根据“某段高速公路的车速(/km h )分成六段”,符合系统抽样的原理,故此调查公司在采样中,用到的是系统抽样方法.( 注意每间隔50辆就抽取一辆这一条件)…………3分设中位数的估计值为为x ，则0.0150.0250.0450.06(95)0.5x ⨯+⨯+⨯+⨯-=，解得97.5x =，即中位数的估计值为97.5. (注意中位数是左右两边的矩形的面积相等的底边的值)…………6分(2)从图中可知，车速在[)80,85的车辆数为10.015402m =⨯⨯=（辆），分别记为12B B ,；车速在[85,90)车辆数为20.025404m =⨯⨯=（辆），分别记为123A A A ,,,4A ，从这6辆车中随机抽取两辆共有15种情况：121A A A A (,),(,)，14A A (,)，111223A B A B A A (,),(,),(,),24A A (,),2122A B A B (,),(,),34A A (,),3132414211(,),(,),(,),(,),(,)A B A B A B A B B B ， 注意穷举所有的可能结果)抽出的2辆车中车速在[85,90)的车辆数为0的只有12(,)B B 一种，故所求的概率115P =.…12分 20. （本小题满分13分）解：（1）由直线:2l y x =+和圆222:O x y b +=b =，解得b =又c e a ==22213a a -=，得23a = 故椭圆C 的方程为：22132x y +=……………………………5分 （2）解法1：由（1）知：(A ，依题意知，直线m 的斜率存在且不为0，设直线m 的方程为：()(0)y k k =≠，所以圆心(0,0)O 到直线m 的距离d ==因为直线m 与圆O 相交，所以d r <=<解得220k k <≠且.直线m 与圆O 相交的弦长RS ===，所以11=22ORS S RS d ∆⋅== 解得22115k k ==或，均适合220k k <≠且，所以15k k =±=±或， 故直线m的方程为(5y x y x =±=±或.……………………………13分解法2：由直线m 过点(A ，设直线:m x ty =0x ty +=原点O 到直线m 的距离为d =又RS ==212t >于是12ORS S RS d ∆=⋅===21t =或25t =于是直线:m x y =±:m x =即直线m 的方程为0,0.x y x ±==…………………………13分21.（本小题满分14分）解: （1）()ln 1(0)f x x x x =-+>,∴11()1x f x x x-'=-=, ∴(1)=0f '，由导数的几何意义知：曲线()f x 在点(1,0)处的切线的斜率为0，故所求切线方程为0y =. ……………………………4分（2）由（1）知：11()1x f x x x-'=-=,∴当01x <<时,()0f x '>; 当1x >时,()0f x '<.()(1)0f x f ∴≤=,()f x ∴的最大值为0. …………………8分（3）解法1：依题意1max 2max()()f x g x ≤ 其中1(0,)x ∈+∞，2[1,2]x ∈ 由（2）知1max ()(1)0f x f ==问题转化为：存在[1,2]x ∈，使得32max 0()4x ax a x -≥⇔≤=，其中[1,2]x ∈ 所以4a ≤ ……………………………14分解法2：对任意1(0,)x ∈+∞，总存在2[1,2]x ∈使得12()()f x g x ≤成立，等价于 1max 2max ()()f x g x ≤，其中1(0,)x ∈+∞，2[1,2]x ∈由（2）知max ()0f x =，因此只要对任意[1,2]x ∈恒有max ()0g x ≥当0a ≤时，3()g x x ax =-在2[1,2]x ∈时恒为正，满足题意.当0a >时，2()33(g x x a x '=-=，知()g x 在(,-∞和)+∞上单调递增，在(上单调递减.1≤即03a <≤时, 由max ()(2)820g x g a ==-≥,得4a ≤，即03a <≤；若12<≤即312a <≤时,()g x 在上递减,在上递增,而(1)10g a =-<，(2)82g a =-在(3,4]为正,在(4,12]为负,可得34a <≤；2>即12a >时(1)0,(2)0g g <<不合题意. 综上知a 的取值范围为4a ≤. ……………………………14分。
数学_2014年陕西省某校高考数学二模试卷(理科)(含答案)
2014年陕西省某校高考数学二模试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共50分）1. 若集合A ={−1, 1}，B ={0, 2}，则集合{z|z =x +y, x ∈A, y ∈B}中的元素的个数为( )A 5B 4C 3D 2 2. 复数Z =1−3i 1+i的实部是（ ）A 2B −1C 1D −43. 在等差数列{a n }中，a 1+3a 3+a 15=10，则a 5的值为（ ） A 2 B 3 C 4 D 54. 条件p:|x +1|>2，条件q:x ≥2，则￢p 是￢q 的（ ）A 充分非必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要的条件 5. 已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若F 2H 的中点M 在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率为( ) A √2 B √3 C 2 D 36. 运行如图所示框图的相应程序，若输入a ，b 的值分别为log 23和log 32，则输出M 的值是（ ）A 0B 1C 2D −17. 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A 48B 32+8√17C 48+8√17D 808. △ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，asinAsinB +bcos 2A =√2a ，则b a=( )A 2√3B 2√2C √3D √29. 设第一象限内的点(x, y)满足约束条件{2x −y −6≤0x −y +2≥0，若目标函数z =ax +by(a >0, b >0)的最大值为40，则5a+1b的最小值为（ ）A 256B 94C 1D 410. 规定[x]表示不超过x 的最大整数，例如：[3.1]=3，[−2.6]=−3，[−2]=−2；若f′(x)是函数f(x)=ln|x|导函数，设g(x)=f(x)⋅f′(x)，则函数y =[g(x)]+[g(−x)]的值域是（ ）A {−1, 0}B {0, 1}C {0}D {偶数}二、填空题（每小题5分，共25分）： 11. 已知向量a →=(√3, 1)，b →=(0, −1)，c →=(k, √3)．若a →−2b →与c →共线，则k =________． 12. 观察下列式子：1+122<32，1+122+123<53，1+122+132+142<74，…，则可以猜想：1+122+132+142+⋯+120112<________．13. 函数f(x)={2x −2,x ≤1x 2−4x +3，x >1的图象和函数g(x)=ln(x −1)的图象的交点个数是________．14. 如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线y =x 2和曲线y =√x 围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC 内随机投一点（该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是________．不等式选讲选做题15. 不等式|x +1|+|x −1|<3的解集为________．坐标系与参数方程选做题16. 已知两曲线参数方程分别为{x =√5cosθy =sinθ (0≤θ<π)和{x =54t 2y =t(t ∈R)，它们的交点坐标为________．几何证明选讲选做题17. 如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB=7，C是圆上一点使得BC=5，∠BAC=∠APB，则AB=________．三、解答题（本题6小题，共75分解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤）18. 设函数f(x)=2cos2x+sin2x+a(a∈R)．（1）求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；（2）当x∈[0,π6]时，f(x)的最大值为2，求a的值，并求出y=f(x)(x∈R)的对称轴方程．19. 如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD为正方形，AD=PD=2，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点．（1）求证：AP // 平面EFG；（2）求平面GEF和平面DEF的夹角．20. 已知等差数列{a n}的公差大于0，且a3，a5是方程x2−14x+45=0的两根，数列{b n}的前n项的和为S n，且S n=1−12b n.（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记c n=a n b n，求证c n+1≤c n．21. 某高校在2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75, 80)，第2组[80, 85)，第3组[85, 90)，第4组[90, 95)，第5组[95, 100]得到的频率分布直方图如图所示．(1)分别求第3，4，5组的频率；(2)若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，(A)已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率；(B)学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，第4组中有ξ名学生被考官D面试，求ξ的分布列和数学期望．22. 椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为√2，倾斜角为45∘的直线l过点F．(1)求该椭圆的方程；(2)设椭圆的另一个焦点为F1，问抛物线y2=4x上是否存在一点M，使得M与F1关于直线l 对称，若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．23. 设函数f(x)＝2ln(x−1)−(x−1)2．（1）求函数f(x)的单调递增区间；（2）若关于x的方程f(x)+x2−3x−a＝0在区间[2, 4]内恰有两个相异的实根，求实数a 的取值范围．2014年陕西省某校高考数学二模试卷（理科）答案1. C2. B3. A4. A5. A6. C7. C8. D9. B10. A11. 112. 4021201113. 214. 1315. (−32，32)16. (1, 2√55)17. √3518. 解：（1）f(x)=1+cos2x+sin2x+a=√2sin(2x+π4)+1+a，∵ ω=2，∴ T=π，∴ f(x)的最小正周期π；当2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2(k∈Z)时f(x)单调递增，解得：kπ−3π8≤x≤kπ+π8(k∈Z)，则x∈[kπ−3π8, kπ+π8](k∈Z)为f(x)的单调递增区间；（2）当x∈[0, π6]时，π4≤2x+π4≤7π12，当2x +π4=π2，即x =π8时，sin(2x +π4)=1， 则f(x)max =√2+1+a =2， 解得：a =1−√2，令2x +π4=kπ+π2(k ∈Z)，得到x =kπ2+π8(k ∈Z)为f(x)的对称轴．19. 解：（1）如图，以D 为原点，以DA ，DC ，DP 为方向向量建立空间直角坐标系D −XYZ则P(0, 0, 2)，C(0, 2, 0)G(1, 2, 0)，E(0, 1, 1)，F(0, 0, 1)，A(2, 0, 0) ∴ AP →=(−2, 0, 2)，EF →=(0, −1, 0)，EG →=(1, 1, −1)． 设平面EFG 的法向量为n →=(x, y, z)⊂ ∴ {EG →⋅n →=0˙即{−y =0x +y −z =0∴ {x =z y =0令x =1， 则n →=(1, 0, 1)．∵ n →⋅AP →=1×(−2)+0×0+1×2=0， ∴ AP →⊥n →又AP 不在平面EFG 内， ∴ AP // 平面EFG（2）∵ 底面ABCD 是正方形，∴ AD ⊥BC 又PD ⊥平面ABCD∴ AD ⊥PD 又PD ∩CD =D ，∴ AD ⊥平面PCD ． ∴ 向量DA →是平面PCD 的一个法向量，DA →=(2, 0, 0) 又由（1）知平面EFG 的法向量n →=(1, 0, 1)． ∴ cos <n →，DA →>=|n →|⋅|DA →|˙=22√2=√22． ∴ 二面角G −EF −D 的平面角为45∘．20. 解：（1）∵ a 3，a 5是方程x 2−14x +45=0的两根，且数列{a n }的公差d >0，∴ a3=5，a5=9，公差d=a5−a35−3=2.∴ a n=a5+(n−5)d=2n−1．又当n=1时，有b1=S1=1−12b1，∴b1=23.当n≥2时，有b n=S n−S n−1=12(b n−1−b n)，∴b nb n−1=13(n≥2).∴ 数列{b n}是等比数列，b1=23，q=13.∴ b n=b1q n−1=23n.（2）由(I)知c n=a n b n=2(2n−1)3n ，c n+1=2(2n+1)3n+1，∴ c n+1−c n=2(2n+1)3n+1−2(2n−1)3n=8(1−n)3n+1≤0.∴ c n+1≤c n．21. 解：(1)根据所给的频率分步直方图中小正方形的长和宽，得到第三组的频率为0.06×5=0.3；第四组的频率为0.04×5=0.2；第五组的频率为0.02×5=0.1．(2)用分层抽样法可知从第三组抽取3人从第四组抽取2人从第五组抽取1人。
【解析版】陕西省咸阳市2014年高考模拟考试试题(一)数学(文)试题
2014年咸阳市高考模拟考试试题（一）文 科 数 学考生须知：1、本试题卷分第Ⅰ卷(客观题)和第Ⅱ卷（主观题）两部分，试卷共4页21题；满分为150分；考试时间为120分钟。
2、第Ⅰ卷，第Ⅱ卷都做在答题卷上，做在试题卷上不得分。
参考公式：样本数据1x ，2x ， ，n x 的标准差球的表面积公式24S R π=其中R 表示球的半径如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次实验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)k kn kn n p k C p p -=-（k=0，1，2，…，n ）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1．平面向量a ＝（1,1），b ＝（－1，m ），若a ∥b ，则m 等于（ ）A ．1 B.－1 C.0 D.±1 【答案】B【解析】因为a ∥b ，所以m+1=0，即m=-1. 2．抛物线24x y =的焦点坐标是（ ）A ．（2，0）B ．（0，2）C ．（l ，0）D ．（0，1）【答案】D【解析】易知抛物线的焦点在y 轴上，所以抛物线24x y =的焦点坐标是（0，1）。
3. 已知A=｛x|2()lg(2)f x x x =--,x ∈R ｝，B=｛x ｜|x ＋1|<4，x>0｝,则A B=（ ）A ．（0,1） B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 【答案】C【解析】A=｛x|2()lg(2)f x x x =--,x ∈R ｝{}|12x x x =<->或，B=｛x ｜|x ＋1|<4，x>0｝{}|03x x =<<,所以A B=(2,3)。
陕西省咸阳市2014届高三高考模拟考试(二)理综试题
陕西省咸阳市2014届高三高考模拟考试（二）理综试题本试卷分选择题和非选择题两部分，时间150分钟，满分300分。
第Ⅰ卷(选择题，共21题126分)注意事项1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用铅笔涂写在答题卡和答题纸上。
考试结束，将答题卡和答题纸一并交回。
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。
3.可能用到的相对原子质量H-1 C-12 0-16 F-19 S-32 K-39 Ca-40 Fe-56 Cu-64Ba-137一、选择题(本题共13小题，每小题6分，共78分，在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。
1.下列有关细胞中元素及化合物的叙述，正确的是A.细胞中的糖类、脂质、蛋白质、核酸共有的元素是C、H、O、NB.蛋白质的多样性是由DNA中碱基序列的多样性决定C.细胞中的激素、维生素、抗体、酶都是有机物，都能为生命活动提供能量D.细胞中激素、酶、抗体及tRNA发挥作用后都会立即失活，需不断合成2.颜色变化常作为生物实验结果观察的一项重要指标，下面是一些学生在实验中遇到的问题，其中的错误操作或想法是①用滴管在花生子叶薄片上滴加苏丹Ⅲ染液，发现满视野都呈现橘黄色，于是滴1-2滴50%盐酸洗去浮色②取新鲜的菠莱叶，加少许Si和无水乙醇，研磨液呈黄绿色，于是判断是菠菜叶用量太少导致③在纸层析法分离叶绿体中色素的结果中，蓝绿色带最宽，可判断为叶绿素a含量最多④用显微镜观察乳酸、酵母菌和蓝藻的细胞发现其都有核糖体和染色体⑤测定绿色植物的呼吸作用时需在暗处进行，可避免光合作用对实验结果的影响A. ①②④B. ①②④⑤C. ②③④⑤D. ①③3.通过实验研究温度对a、b、c三种酶活性的影响，结果如右图。
下列说法正确的是A．c酶的最适温度为36℃左右B. 当温度为任何固定值时，酶的用量都会影响实验结果C. 该实验中有两个自变量，因变量只有一个D. 若溶液的pH升高，则曲线b的顶点上移4.关于生物遗传变异的叙述，正确的是A．基因都是通过控制酶的合成控制代谢过程，进而控制生物的性状B．若某生物精原细胞含有n对等位基因，则其产生的配子的基因型种类为C．人工诱导多倍体方法很多，目前最常用最有效的方法是低温处理植物分生组织细胞D．染色体结构发生变异则染色体上基因的数目、种类或排列顺序会发生改变5.图甲是青蛙离体的神经一肌肉标本示意图，图中AB十BC=CD，乙是突触放大模式图。
陕西省咸阳市2014届高三下学期第二次模拟考试文综试题 Word版含答案.pdf
陕西省咸阳市2014届高考模拟考试（二） 文科综合 地理试题 一 选择题 大气污染物、特别是PM2.5一般都集中在对流层低层，也就是距离地面1到1.5公里的位置，这一层也叫做边界层。
在一天中，下午2点边界层最高，距离地面1.5至2公里，晚上可能降低至200至300米。
读完成-3题A.太阳辐射B.气温C. 地温D.污染物的浓度 2.下图为某市某日不同时间气温垂直变化图，如果只考虑温度的影响，雾霾层高度最低的时间为 图1A. 5时B. 8时C. 15时D. 20时 3.智能交通在我国正在迅速发展，某市发布雾霾天气对交通运输的影响需用到的地理技术和信息数据为 ①GPS ②GIS ③气象要素 ④车流量⑤交通拥堵情况⑥人口分布状况A.①③⑤⑥B.②③⑤⑥C. ②③④⑤D. ①③④⑥ 下图为我国某沿海城市1998---2008年人口变化统计图。
读图完成4-5题 图2 4.图示时期内人口变化说法正确的是A.人口迁出量不断增加B.人口迁入量逐年递增C.出生率小于死亡率D.人口自然增长率逐年下降。
5.人口数量变化对该地的直接影响是A. 住房紧张B.环境恶化C.促进产业升级D. 人口老龄化问题突出 东北是我国大豆的主产区，但近几年的播种面积和产量都不稳定，图6为“2009－2010年四省区大豆种收情况统计图”。
读图完成-7题。
?图? 6．依据图信息，下列说法正确的是 A．内蒙古的大豆单位面积产量在降低 B．内蒙古和吉林省的大豆播种面积增减幅度大体相当 C．辽宁省的大豆播种面积最小，是因为热量条件差 D．内蒙古大豆的单产增幅最大，是因为荒漠化治理成果显著 .受产销收益的影响，东北地区减少的大豆播种区域最可能改种的作物是 A．冬小麦 B．棉花 C．油菜? D．玉米 图4 8．成渝建设中是 A．地B．河网密布C．高寒缺氧D．气候湿热 ．有 ． ．促进沿线地区产业结构调整与优化 ． ． 下图为世界某著名山地不同坡向植被分布图。
2014年咸阳市高考模拟考试试题(理)讲解
2014年咸阳市高考模拟考试试题（三）理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 参考公式： 样本数据1x ，2x ，，n x 的标准差锥体体积公式(n s x x =++-13V Sh =其中x 为样本平均数其中S 为底面面积、h 为高如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合{}20,Mx x x x R =-≤∈，集合(]0,1N =，则集合M 、N 的关系是（ ）A ．MN B ．NM C ．M N = D ．N M Ø且N M Ø2、复数21ii-的虚部为 （ ）A ．i -B ．iC ．－1D ．１3、按照如图程序运行，则输出k 的值为（ ）A.2B.3C.4D.54、在251()x x-的展开式中，x 的系数为 （ ）A ．10-B ．20-C ．10D ．205、已知a ，R b ∈,则“0a b +>且0ab >”是“0a >且0b >”成立的( )A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 6．已知函数()2sin(),(0,(0,))2f x x πωϕωϕ=+>∈的部分图象如右图所示，其中点P 是图象的一个最高点.则()0f = ( )C.1D.27A 、B 、CA. 直角三角形B. 钝角三角形C. 等边三角形D. 等腰非等边三角形8、过点(1P 作圆221O x y ：＋＝的两条切线，切点分别为A 和B ，则弦长||AB =（ ）A B ．2 C D ．49如图，长方形的四个顶点为)2,0(),2,4(),0,4(),0,0(C B A O ，曲线x y =经过点B ．现将一质点随机投入长方形OABC 中，则质点落在图中阴影区域的概率是 A ．125 B ．21C ．32 D ．43 10、设[]m 表示不超过实数m 的最大整数，则在直角坐标平面xoy 上，满足[][]222x y +=的点(),P x y 所成的图形的面积为 ( )A.1B. 2C.3D.4第Ⅱ卷 （共100分）二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．）11. 若抛物线C ；()220y px p =>与双曲线2213x y -=的一个焦点相同，则抛物线方程为.12.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 .13、用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（用n表示）．14、我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机准备着舰．如果甲乙两机必须相邻着舰，而丙丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有种.15、（考生注意：请在下列三个小题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题评分.）A．（不等式选做题）已知22345,x y x y+=+则最小值为.B.(几何证明选做题)如图,已知圆的两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点, 且DF CF==::4:2:1AF FB BE=.若CE与圆相切,则线段CE的长为．C.（坐标系与参数方程选做题）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线:l y x=与圆C：4cosρθ=相交于A、B两点，则以AB为直径的圆的面积为.三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16、（本小题满分12分）已知在等比数列}{na中，11=a，且2a是1a和13-a的等差中项．（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）若数列}{nb满足)(*Nnanb nn∈+=，求}{nb的前n项和nS．17、（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C-中，点O是11AC的中点，AO⊥平面111A B C.已知90BCA∠=，1AA=AC=BC=2．（Ⅰ）求证：11AB A C⊥；（Ⅱ）求11AC与平面11AA B所成角的正弦值.EA…①②③18、（本小题满分12分）（Ⅰ）证明两角差的余弦公式()();cos cos cos sin sin C αβαβαβαβ--=+； （II ）若()35αβ+=-cos ，5413sin πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，02,,,παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭求4cos πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 19. （本小题满分12分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ,P为椭圆C 上一点.（Ⅰ）若12PF F ∆周长为6，离心率12e =，求椭圆C 的方程； （Ⅱ）过右焦点2F 作斜率为k 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，交y 轴于点M ，且2MB BF =,若||2k ≤，求椭圆C 的离心率e 的范围. 20、（本小题满分13分）某公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作，180分以下者到“乙部门”工作，另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”．（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中共选取8人，再从选取的8人中选3人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？（Ⅱ）若从所有“甲部门”人选中随机选3人，用X 表示所选人员中能担任“助理工作”的人数，写出X 的分布列，并求出X 的数学期望．21、（本小题满分14分）已知()()ln 1,f x x x x R +=-+?()1()g x mx m R =-?（Ⅰ）求函数()y f x =的单调区间；（Ⅱ）若()()f x g x ≤恒成立，求m 的取值范围；（Ⅲ）若数列{}n a 各项均为正数，11,a =在2m =时，*1()()2,n n n a f a g a n N +=++?，求证：21nn a ? （*n N Î）2014年咸阳市高考模拟考试试题（三）理科数学参考答案一、 选择题：（每小题5分，共50分）二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11、28y x =； 12、8π；13、62n +；14、24；15、A 、1；B 、2；C 、2π. 三、解答题：（共75分）16、解：（Ⅰ）11=a ，2a 是1a 和13-a 的等差中项，得22a =1a +13-a =3a ；又}{n a 为等比数列，2112q a q a =，2=q 所以； ---------------------3分 所以 12-=n n a ； -----------------------6分（Ⅱ）由)(*N n a n b n n ∈+=12-+=n n n b所以 )2222()321(12321-++++++++=++++=n n n n b b b b S=122)1(-++n n n ； ---------------------12分 17、解：以O 为坐标原点，11AC 所在直线为y 轴，过O 垂直11AC 的直线为x 轴，OA 为z 轴，建立如图所示的直角坐标系由勾股定理得AO =,则(1,(0,1,0)A A -,()(11(0,1,0),2,1,0,C B C（Ⅰ）()(112,1,3,AB AC =-=110,AB AC ⋅=∴11AB AC ⊥.---------------------6分 （Ⅱ）设11AC 与平面1AA B 所成的角为θ∵()()(111110,2,0,2,2,0,AC A B A A ===,设平面1AA B 的一个法向量(),,n x y z =，则11100A B n A A n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即00x y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩1,1,3n ⎛=- ⎝⎭ ∴1121sin cos ,7AC n θ==所以11AC 与平面11AA B 所成角的正弦值为217.---12分 18、（Ⅰ）解：如图，在直角坐标系xoy 中作单位圆o ，当,αβ为锐角时作出角,αβ，其终边分别交单位圆于,A B 两点， 则()cos ,sin A αα()cos ,sin B ββ，()()-------------5OA OB OA OB αβαβαβαβ⋅=-=-=+cos cos cos cos sin sin 分由诱导公式可以得到,αβ为任意角时上式也成立 --------6分（Ⅱ）∵02,,,παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴()0444,,,πππαβπβ⎛⎫+∈-∈- ⎪⎝⎭又()35αβ+=-cos ，5413sin πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴()4125413παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭sin ,cos ------9分 31245164451351365ππααββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+--=-⨯+⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos cos (). -------------12分19、解：（Ⅰ）∵12PF F ∆周长为6，离心率12e =，∴22612a c c a +=⎧⎪⎨=⎪⎩解得2,1,a c b ==∴=所求椭圆C 的方程为22143x y += -------------4分（Ⅱ）由已知设直线AB 方程为()y k x c =-, 则()()20,,0,M kc F c -，∵2MB BF =,∴,22c kc B ⎛⎫- ⎪⎝⎭.-------------6分又因为点B 在椭圆C 上，∴22222144c k c a b +=，则()2222222222244471442a c cb ac k a c a c -⎛⎫-=-=⋅≤ ⎪⎝⎭-------------8分∴422481720a a c c -+≤，即4221780e e -+≤()()222180ee --≤，2182e ≤≤，因为椭圆的离心率小于11e ≤< -------------12分 20、解：（Ⅰ）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率为82205= 根据茎叶图，甲部门人选10人，乙部门人选10人 ∴选中的甲部门人选有21045⨯=人，乙部门人选有21045⨯=人 ---------3分 用A 表示“至少有一名甲部门人选被选中”，则它的对立事件A 表示“没有一名甲部门人选被选中”，则343813()1()114C P A P A C =-=-=故至少有一人是“甲部门”人选的概率是1314-------------6分 （Ⅱ）依题意，所选毕业生中能担任“助理工作”的人数X 的取值分别为0,1,2,303643101(0)30C C P X C === 12643103(1)10C C P X C ===21643101(2)2C C P X C === 30643101(3)6C C P X C === -------------10分 ∴X 的分布列为1311901233010265EX =⨯+⨯+⨯+⨯= -------------13分 21、解：（Ⅰ）求导'11()1xf x x x-=-=，由'()0f x =，得1x =. 当()0,1x Î时，'()0f x >； 当()1,x ??时，'()0f x <.所以，函数()y f x =在()0,1上是增函数，在()1,+?上是减函数. -------------5分 (Ⅱ) 令()()()()ln 12h x f x g x x m x =-=-++ 则()()'11h x m x=-+ 若10m +≤时，()'0h x >，()h x 在定义域上是增函数，()()1120h m =-++>()()f x g x ≤不恒成立. -------------7分若10m +>时，由()'0h x =得11x m=+ 当10,1x m 骣÷çÎ÷ç÷桫+时，'()0h x >，()h x 在10,1m 骣÷ç÷ç÷桫+上是增函数； 当1,1x m 骣÷ç??÷ç÷桫+时，'()0h x <，()h x 在1,1m骣÷ç+?÷ç÷桫+上是减函数. 所以，()h x 在()0,+?上的最大值为()1()1ln 101h m m=-+?+，解得1m e ≥-所以当1m e ≥-时()()f x g x ≤恒成立. -------------10分(Ⅱ)方法二由 ()()f x g x ≤恒成立得：ln 2x x m x-+≥恒成立. -------------7分 令ln 2()x x h x x -+=，则()'ln 1x h x x +=-，由()'0h x =得1x e =()h x ∴在1(0,)e 单调递增，在1(,)e +∞单调递减m a x1()()1h x h e e∴==-，故1m e ≥- -------------10分 （Ⅲ）由题意，正项数列{}n a 满足：*111,ln 2,n n n a a a a n N +==++? .用数学归纳法.21nn a ?，*.n N Î1) 当1n =时，11121a =?，不等式成立； 2) 假设n k =时，21kk a ?，那么，当1n k =+时，由（1）知()ln 1(1)f x x x f =-+?，即有不等式()ln 10x x x ?>. 于是 1ln 2k k k a a a +=++ 12k k a a ?++()121122121k k k a +=+-Ｗ-=-，成立. 由1)、2)知21nn a ?，*n N Î，成立 -------------14分（Ⅲ） 方法二由（1）知()ln 1(1)f x x x f =-+?，即有不等式()ln 10x x x ?>. 于是 1ln 2k k k a a a +=++ 12k k a a ?++ ()211k a =+-∴()()()1111121,121212n n n n n n a a a a a -+-+≤++≤+≤≤+=即∴21n n a ?，*n N Î -------------14分。
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【解析】陕西省咸阳市2014届高三下学期第二次模拟考试数学（理）试题第I 卷（选择题共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小 题，每小题5分，共50分）． 1.已知全集U=R ，集合A=｛x ｜2x＞1｝，B=｛x ｜x 2+3一4<0｝，则A ∩B 等于（ ） A.（0，1） B.（1，＋∞） C.（一4，1） D.（一∞，一4） 【答案】A【 解析】因为集合A=｛x ｜2x＞1｝{}=|0x x >，B=｛x ｜x 2+3X 一4<0｝=｛x ｜－4＜x＜1｝，所以A ∩B=（0，1）.2.已知i 为虚数单位，复数z ＝2i （2一i ）的实部为a ，虚部为b ，则log a b 等于（ ） A. 0 B. 1 C ．2 D.3 【答案】C【 解析】因为z ＝2i （2一i ）24,2,4i a b =+==所以，所以log a b=2. 3.设,a b 是两个非零向量，则“a b >0"是“,a b 夹角为锐角”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B【 解析】若“a b >0"，则,a b 夹角为锐角或0；若,a b 夹角为锐角，则“a b >0"。
所以“a b >0"是“,a b 夹角为锐角”的必要不充分条件。
4.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ） A.13 B. 23C. 2D. 1 【答案】B【 的正方形，四棱锥的高为1，所以该几何体的体积为12=1=33V 。
5、设展开式的常数项为（ ）A.12B.6C 、4 D. l 【答案】B【 解析】22004sin 4cos 4n xdx x ππ==-=⎰，所以424441rr r r r C x C xx --⎛⎫= ⎪⎝⎭，令2402r r -==得，所以展开式的常数项为246C =。
6.已知一只蚂蚁在圆：x 2＋y 2＝1的内部任意随机爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁爬行在区域｜x ｜+｜ y ｜≤1内的概率是（ ） A 、2πB 、2πC 、4πD 、4π【答案】A【 解析】不等式｜x ｜+｜ y ｜≤1的正方形，所该蚂蚁爬行在区域｜x ｜+｜ y ｜≤1内的概率是2S P S π==正圆。
7.已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0 时,f(x)＝2＋f(12)log 2x ，则f(－2)＝（ ）A. 1B. 3 C ．一1 D ．一3 【答案】D【 解析】因为21111()2()log ,()12222f f f =+=所以，又21(2)2()log 23,(2)32f f f =+=-=-所以。
8．定义一种运算符号“”，两个实数a ，b 的“a b ”运 算原理如图所示，若输人a ＝2cos，b ＝2tan， 则输出P ＝（ ）A.4B ．2C 、0 D.一2 【答案】A【 解析】因为1192cos1,2tan 234a b ππ====，所以(1)2(11)4P b a =+=+=。
9.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼一15飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法种数为（ ）A. 12 B ．18 C ．24 D.48 【答案】C【 解析】把甲、乙看作1个元素和戊全排列，调整甲、乙，共有22224A A =种方法；再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的3个空位种，有236A =种方法，由分步计算原理可得总的方法种数为：22222324A A A =。
10.设函数f(x)的导函数为f '(x)，对任意x ∈R 都有f(x) >f '(x)成立，则（ ） A. 3f(ln2）＞2f(ln3) B ．3f( 1n2）＝2f( 1n3）C. 3f(ln2）＜2f(ln3）D. 3f(ln2）与2f( 1n3）的大小不确定 【答案】A【 解析】因为对任意x ∈R都有f(x) >f '(x)成立，，所以令2()()()(),()0x x x x f x e f x e f x F x F x e e '-'==<则，所以函数()()xf x F x R e =在上单调递减，所以(ln 3)(ln 2)(ln 3)(ln 2),32f f F F <<即，因此选A 。
第11卷（非选择题）二、填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．已知函数f(x)＝，且函数g(x)＝f(x)＋x 一a 只有一个零点，则实数a的取值范围是＿＿＿ 【答案】(1,)+∞ 【 解析】画出函数f(x)＝的图像，由图像可知：要是函数f(x)＝与函数y x a =-+只有一个交点，则需满足1a >，所以实数a 的取值范围是(1,)+∞。
12.观察下列等式：则第n 个等式为＿＿＿＿＿＿【答案】2222212342112343n n n +++鬃?+=++++鬃? 【 解析】观察不等式的规律可得：第6个等式为222222123456131234563+++++=+++++。
13.如图为函数f(x) ＝tan （42x ππ-）的部分图象，点A 为函数f （x ）在y 轴右侧的第一个零点，点B 在函数f(x)图象上，它的纵坐标为1，直线AB 的倾斜角等于＿＿＿＿．【答案】45 【 解析】由tan 0=,244242x x k x k πππππ⎛⎫-=-=+⎪⎝⎭得即，所以A 点的坐标为（2,0）；由tan 1=,3442424x x k x k ππππππ⎛⎫-=-+=+⎪⎝⎭得即，所以B 点的坐标为（3,1），所以10132AB k -==-，所以直线AB 的倾斜角等于4π。
14.一个酒杯的轴截面是开口向上的抛物线的一段弧，它的口宽是的4杯深20，在杯内放一玻璃球，当玻璃球的半径r 最大取＿＿＿＿时，才能使玻璃球触及杯底． 【答案】1【 解析】由题可知抛物线的方程为22(020)x y y =≤≤，设小球的截面圆心为0(0,)y ,抛物线上点(,)M x y ，点M 到圆心距离平方为2222220000()2()2(1)r x y y y y y y y y y =+-=+-=+-+2r 在(0,0)时取到最小值，则小球触及杯底,所以010y -≥,得001y <≤,即01r <≤,故当玻璃球的半径r 最大取1时，才能使玻璃球触及杯底15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A.（不等式选讲选做题）已知a ，b ，c ，d ∈R ，且a 2＋b 2＝2，c 2＋d 2＝2，则ac ＋bd 的最大值为＿＿＿ 【答案】2【 解析】因为()()()22222a bcd ac bd ++≥+（当且仅当da=bc 时等号成立），所以2ac bd +≤=，当且仅当da=bc 时等号成立，即ac ＋bd 的最大值为2.B.（几何证明选讲选做题）如图，已知△ABC 的∠BAC 的平分线与BC 相交于点D, △ABC 的外接圆的切线AE 与BC 的延长线相交于点E ，若EB ＝8，EC ＝2，则ED ＝＿＿＿＿【答案】4【 解析】如图，因为AE 是圆的切线，所以∠ABC=∠CAE ，又因为AD 是∠BAC 的平分线，所以∠BAD=∠CAD ，从而∠ABC+∠BAD=∠CAE+∠CAD ，因为∠ADE=∠ABC+∠BAD ，∠DAE=∠CAE+∠CAD ，所以∠ADE=∠DAE ，故EA=ED ，因为EA 是圆的切线，所以由切割线定理知， EA 2= EC ·EB=16，而EA=ED ，所以ED=4。
C.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆ρ＝4cos θ的圆心到直线()6R πθθ=∈的距离是＿＿＿＿【答案】1【 解析】圆ρ＝4cos θ的平面直角坐标为2240x y x +-=，所以圆心为（2,0），直线()6R πθθ=∈的平面直角坐标方程为30y -=，所以圆心到直线的距离为d 。
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）． 16.（本小题满分12分）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且△ABC 的面积为S accosB （1）若c ＝2a ，求角A ，B ，C 的大小； （2)若a ＝2，且43A ππ≤≤，求边c 的取值范围．17.（本小题满分12分） 在等差数列中，公差d ≠0，a 1＝1且a 1，a 2 ，a 5成等比数列．在数列中,b 1＝3，（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前n项和为Tn．18.（本小题满分12分）如图，梯形ABCD中，AB／／CD，∠B＝∠C＝90°，AB＝2BC＝2CD＝2 ．E为AB 中点．现将该梯形沿DE析叠．使四劝形BCDE所在的平面与平面ADE垂直。
（1)求证：BD⊥平面ACE;(2）求平面BAC与平面EAC夹角的大小．19.（本小题满分12分）在椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>，中，F1，F2分别为左右焦点A1，A2，B1，B2分别为四个顶点，已知菱形A1 B1A2B2和菱形B1F1B2 F2的面个积分别为和（1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的右顶点A2作两条互相垂直的直线分别和椭圆交于另一点P，Q，试判断直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．20.（本小题满分13分）在2014年俄罗斯索契冬奥会某项目的选拔比赛中，A,B 两个代表队进行对抗赛，每 队三名队员,A 队队员是A 1,A 2,A 3,B 队队员是B 1,B 2,B 3，按以往多次比赛的统计， 对阵队员之间胜负概率如下表，现按表中对阵方式出场进行三场比赛，每场胜队得 1分，负队得0分，设A 队，B 队最后所得总分分别为．（1)求A 队得分为1分的概率；（2）求的分布列；并用统计学的知识说明哪个队实力较强． 21．（本小题满分14分）已知函数f(x)＝lnx －mx ＋m ，m ∈R. （1)已知函数f(x)在点（l ，f （1））处与x 轴相切，求实数m 的值； （2）求函数f(x)的单调区间；(3)在(1)的结论下，对于任意的0<a <b,证明：理 科 数 学 参 考 答 案一．选择题二．填空题11. (1,)+∞ 12. 2222212342112343n n n +++鬃?+=++++鬃? 13. 45 14. 114题解析 由题可知抛物线的方程为22(020)x y y =≤≤，设小球的截面圆心为0(0,)y ,抛物线上点(,)M x y ，点M 到圆心距离平方为2222220000()2()2(1)r x y y y y y y y y y =+-=+-=+-+2r 在(0,0)时取到最小值，则小球触及杯底,所以010y -≥,得001y <≤,即01r <≤,故当玻璃球的半径r 最大取1时，才能使玻璃球触及杯底. 15. .2.4.1A B C三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）.16.（本小题满分12分）解:由三角形面积公式及已知得1sin cos ,2S ac B B ==化简得sin ,B B =即tan B =又0,B π<<故3B π=.………………………3分（1）由余弦定理得,22222222cos 423,b a c ac B a a a a =+-=+-=∴.b =∴::2a b c =,知,62A C ππ==………………………………………6分（2）由正弦定理得,sin sin a c A C =即sin 2sin ,sin sin a C Cc A A == 由2,3C A π=-得2222sin()2(sin cos cos sin )3331,sin sin A A A c A A πππ--===+又由,43A ππ≤≤知1tan A ≤≤故1].c ∈+ (12)分17.（本小题满分12分）解：（1）依题意得122151a a a a =⎧⎨=⎩，即21114d d +=⋅+（）（）解得2=d （0=d 不合要求，舍去）. ∴12121n a n n =+-=-（）.在数列{}n b 中,由121-=+n n b b ，得112(1).n n b b +-=-即数列{}1n b -是首项为=-11b 2，公比为2的等比数列．得11222.n n n b --=⋅=即2 1.nn b =+ ……………………………………6分 （2）由(1) 得(1)(21)2nn n a b n ⋅-=-⋅∴231123252(23)2(21)2n nn T n n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅23412123252(23)2(21)2n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅相减得231122(2222)(21)2n n n n T n -+-=+++⋅⋅⋅++--⋅21122(222)(21)22(12)22(21)212n n n n n n ++=-+++⋅⋅⋅+--⋅-=-+⋅--⋅-整理得16(23)2n n T n +=+- ……………………………………12分18. （本小题满分12分）（1）证明：∵平面BCDE ⊥平面ADE ,AE BE ⊥ ∴AE ⊥平面BCDE而BD 平面BCDE ∴BD AE ⊥ 又,BD CE AE CE E ⊥=, ∴BD ⊥平面ACE ……………………6分(2)解法1:设BDCE O =,过点O 作OF AC ⊥于F ,连接BF ,易证AC BF ⊥,即OFB ∠是二面角B AC E --的平面角在Rt OFB ∆中,OB BF ==得sin OB OFB BF ∠==所以60OFB ∠=,即平面BAC 与平面EAC 夹角的大小为60.……………………12分 解法2：取B 为原点，直线,BE BC 分别为y 轴和z 轴，建立如图所示的坐标系B xyz -，则(1,1,0),(0,0,1)A C ∴(1,1,0),(0,0,1),BA BC ==设(,,)m x y z =是平面ABC 的法向量，则由00m BA m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得(,,)(1,1,0)0(,,)(0,0,1)0x y z x y z ⋅=⎧⎨⋅=⎩，取(1,1,0)m =-，由（1）BD ⊥平面ACE 知平面ACE 的一个法向量(0,1,1)n BD ==∴1cos ,2m n m n m n⋅<>===-⋅，得,120m n <>=，可知平面BAC 与平面EAC 夹角的大小为60.……………………12分 19. （本小题满分12分）解：（1）依题意知：22212221222a b c a b c b ⎧⎪=+⎪⎪⋅⋅=⎨⎪⎪⋅⋅=⎪⎩，解得2243a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 即椭圆22:143x y C +=. ……………………5分(2)解法1：由题意知，直线2A P 与直线2A Q 的斜率均存在且不为0，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ,设直线2A P 的方程为：(2)y k x =-,直线2A Q 的方程为：1(2)y x k =--由22(2)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩联立消去y 整理可得：2222(43)164(43)0k x k x k +-+-=， 容易知0∆>恒成立，所以0k R k ∈≠且，由韦达定理得：2124(43)243k x k -⋅=+，所以2122(43)43k x k -=+，代人11(2)y k x =-可得：121243ky k -=+，所以2222(43)12(,)4343k k P k k --++，同理可得：2222(43)12(,)3434k k Q k k -++, 当PQ x ⊥轴时，22222(43)2(43)4334k k k k --=++，解得21k =，此时直线PQ 方程为27x =，知直线PQ过点2(,0)7；当直线PQ 与x 轴斜交时，直线PQ 的方程为：22221272(43)()344(1)34k k k y x k k k ---=-+-+，化简可得：272()4(1)7k y x k -=--知直线PQ 过定点2(,0)7.综上知,直线PQ 恒过定点2(,0)7. ……………………12分解法2：显然符合条件的直线PQ 存在，且斜率不为0，设直线:PQ x ty m =+，11(,)P ty m y +，22(,)Q ty m y +，则由2(2,0)A 及220A P A Q ⋅=得1122(2,)(2,)0ty m y ty m y +-⋅+-=化简得221212(1)(2)()(2)0t y y t m y y m ++-++-= ① 22223()4123412x ty m ty m y x y =+⎧⇒++=⎨+=⎩即222(34)63120t y tmy m +++-=依题意 222(6)4(312)(34)0tm m t ∆=--+>，即2234t m +>21212226312,3434tm m y y y y t t --+==++，代入①得 222223126(1)(2)(2)03434m tm t t m m t t --++-+-=++ 化简得 271640m m -+=，解得27m =或2m =（舍去）此时直线2:7PQ x ty =+，过定点2(,0)7综上知,直线PQ 恒过定点2(,0)7. ……………………12分解法3：设直线1122:,(,),(,)PQ y kx m P x kx m Q x kx m =+++，则由2(2,0)A 及220A P A Q ⋅=得1122(2,)(2,)0x kx m x kx m -+⋅-+=化简得221212(1)(2)()40k x x km x x m ++-+++= ① 222234()123412y kx m x kx m x y =+⎧⇒++=⎨+=⎩即222(34)84120k x kmx m +++-=依题意 222(8)16(3)(34)0km m k ∆=--+>，即2234k m +>21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++，代入①得2222(1)(412)8(12)(4)(34)0k m km km m k +---+++= 化简得2241670k km m ++=，解得2m k =-或27m k =- 当2m k =-时，直线:2PQ y kx k =-，过点2(2,0)A ，不合理，舍去； 当27m k =-时，直线2:7PQ y kx k =-，过定点2(,0)7.当直线PQ x ⊥轴时，易得直线2:7PQ x =，也过定点2(,0)7.综上知,直线PQ 恒过定点2(,0)7. ……………………12分20.（本小题满分13分）解:（1）设A 队得分为1分的事件为0A , ∴023*********()357357357105P A =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.……………………5分（2）ξ的可能取值为0,1,2,313412(0)357105P ξ==⨯⨯=，23412413341(1)357357357105P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=022312(3)()357105P P A ξ===⨯⨯=, 12411240(2)1105105105105P ξ==---=∴ξ的分布列为:于是 124140121570123105105105105105E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=,∵ 3ξη+=, ∴1583105E E ηξ=-=. 由于E E ηξ>, 故B 队比A 队实力较强. ……………………13分21.（本小题满分14分）解: 由()ln ,f x x mx m =-+得1()(0)f x m x x '=->(1)依题意得(1)10f m '=-=,即1m = ……………………3分(2)当0m ≤时, 1()0f x m x '=->,知函数()f x 在(0,)+∞递增;当0m >时, 1()()m x m f x x --'=,由()0f x '>得1(0,)x m ∈,由()0f x '>得1(,)x m ∈+∞即函数()f x 在1(0,)m 递增,在1(,)m +∞上递减. ……………………9分 (3)由(1) 知1m =,得()ln 1,f x x x =-+对于任意的0a b <<，()()11f b f a b a a -<--可化为 (ln )(ln )11,b b a a b a a ---<--其中0a b <<ln11ba b a ⇔<-,其中0a b << ln 1,1ln 10,11t t t t t t ⇔<>⇔-+<>-,即()0,1f t t <> 由(2)知, 函数()f x 在(1,)+∞递减,且(1)0f =,于是上式成立故对于任意的0a b <<，()()11f b f a b a a -<--成立. ……………………14分。